Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

1
Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой
Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в
отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости,
с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в
евклидовом пространстве. Уравнение прямой дается как
пересечение двух плоскостей.
Рассмотрим ортонормированный
базис в пространстве и найдем
уравнение
плоскости,
проходящей
через
точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
перпендикулярно
вектору n = ( A, B, C ). Вектор n
называют нормалью (вектором
нормали).
Пусть M ( x , y , z ) – произвольная
(текущая) точка плоскости. Тогда
вектор M 0 M = r − r0 =
= ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 )
перпендикулярен
вектору
n,
следовательно, их скалярное произведение равно нулю
(r − r0 , n ) = 0 .
(1)
Уравнение (1) и есть уравнение искомой плоскости в векторном
виде. Перепишем его в скалярном виде
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ,
(2)
Ax + By + Cz + D = 0 ,
(3)
или
где D = − ( Ax0 + By0 + Cz0 ).
Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости.
Если нормаль единичная, т.е. n = 1, n = n 0 =
= (cosα , cos β , cos γ ) , то уравнение плоскости
нормальным. Из (1) получим
x cosα + y cos β + z cos γ − ρ = 0 ,
где ρ = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ .
называют
(4)
2
Выясним геометрический смысл величин, входящих в
нормальное уравнение плоскости (4). Углы α , β , γ – это углы
между ортами i , j , k и нормалью n 0 , направленной от начала
∧
координат к плоскости, ρ = (r0 , n ) = r0 ⋅ cos(r0 , n 0 ) – расстояние
0
от начала координат до плоскости.
Пусть M1 ( x1 , y1 , z1 ) − произвольная точка, не лежащая в
плоскости.
Из рисунка видно, что
( r1 , n 0 ) = x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ = ρ + δ
δ = x1 cosα + y1 cos β + z1 cos γ − ρ .
(5)
или
δ
называют
Величину
M1
от
отклонением
точки
плоскости. Отклонение δ может
отличаться от расстояния точки
M1 от плоскости только знаком.
Из (5) видно, чтобы найти
M1
от
отклонение
точки
плоскости,
достаточно
в
нормальном уравнении плоскости
заменить текущие координаты на
координаты точки M1 .
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку M 0 (1,2,3) перпендикулярно вектору n = ( 3,−5,1) .
Найти расстояние точки M1 (0,−2,4) от искомой плоскости.
Решение. Воспользуемся уравнением (2). Получим
3x − 5 y + z + 4 = 0 ,
(6)
искомое уравнение плоскости. Запишем его в нормальном виде.
Чтобы записать общее уравнение плоскости(3) в нормальном
виде, достаточно умножить его на нормирующий множитель
sgn D
µ=−
, где D ≠ 0 . Поскольку в нашем случае D =
2
2
2
A + B +C
3
1
1
,
. Умножая уравнение (6) на µ = −
35
35
получим нормальное уравнение плоскости
3
5
1
4
−
x+
y−
z−
=0.
(7)
35
35
35
35
Отклонение найдем по формуле (5).
1
18
δ=
( −5 ⋅ 2 − 4 − 4) = −
. Расстояние точки M1 от
35
35
18
.
плоскости очевидно равно
35
Пусть в общем уравнении (3) все коэффициенты A, B, C и D
отличны от нуля. Тогда его можно переписать в виде
x y z
x
y
z
(8)
+
+
= 1 или + + = 1
D
D
D
a b c
−
−
−
C
A
B
Уравнение (8) называют уравнением плоскости в отрезках.
Легко убедиться, что a , b , c – это отрезки на осях координат,
отсекаемые плоскостью (убедиться в этом самостоятельно).
Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ,
M 3 ( x3 , y3 , z3 ) .
Выберем
произвольную точку M ( x , y , z ) на плоскости. Тогда векторы
4 > 0, то µ = −
M 1M , M 1M 2 , M 1M 3 будут лежать в этой плоскости.
Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.
( M 1 M , M1 M 2 , M1 M 3 ) = 0
x − x1 y − y1 z − z1
или
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 .
(9)
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
Уравнение (9) и есть искомое уравнение.
Рассмотрим угол между двумя плоскостями
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .
(10)
4
Т.к. угол между нормалями n1 = ( A1 , B1 , C1 ) , n2 = ( A2 , B2 , C2 ) и
линейный угол двугранного угла между плоскостями равны, то
очевидно
(n , n )
(11)
cosθ = 1 2 ,
n1 ⋅ n2
где θ -угол между плоскостями.
Из (11) следует условие перпендикулярности двух плоскостей
A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .
(12)
Если плоскости параллельны, то нормали n1 , n2 коллинеарны,
следовательно
A1 B1 C1
=
=
.
(13)
A2 B2 C2
Равенство (13) выражает условие параллельности плоскостей.
Запишем теперь уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) параллельно двум неколлинеарным векторам a и
b . Пусть M ( x , y , z ) произвольная точка плоскости. Тогда
векторы M 0 M = r − r0 , a и b компланарные, следовательно,
линейно зависимые, т.е.
M 0 M = t1a + t2b
или
r = r0 + t1a + t2b .
(14)
Здесь t1 , t2 некоторые параметры, а уравнение (14) называется
векторным параметрическим уравнением плоскости.
Всякий вектор, лежащий на прямой или на прямой,
параллельной данной прямой, называется направляющим
вектором данной прямой. Запишем уравнение прямой,
проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и имеющей
5
z
M0
направляющий вектор a = ( l , m, n).
Пусть M ( x , y , z ) - произвольная
точка этой прямой. Тогда векторы
M 0 M и a коллинеарны, т.е.
M 0 M = ta , где t - некоторый
r
a
M
r
r
r
r0
параметр. Т.к. M 0 M = r − r0 , то
r = r0 + ta .
(15)
x
Уравнение (15) называют векторным
параметрическим уравнением прямой (сравним с (14)).
Поскольку r = ( x , y , z ), r0 = ( x0 , y0 , z0 ), то из (15) получим
параметрические уравнения прямой
x = x0 + tl , y = y0 + tm, z = z0 + tn .
(16)
Из (16) получим
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
=t.
(17)
l
m
n
Уравнения (17) называют каноническими уравнениями прямой.
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через две
данные точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и M1 ( x1 , y1 , z1 ) .
0
Решение.
y
Вектор
M 0M 1 = ( x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) возьмем
в
качестве направляющего. Тогда
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
(18)
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
Уравнения (18) -искомые уравнения.
Две плоскости пересекаются по прямой, поэтому система двух
уравнений
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
(19)

+
+
+
=
0
A
x
B
y
C
z
D
2
2
2
 2
определяет прямую в пространстве. Перейдем от уравнений (19)
к каноническим уравнениям прямой.
n1 = ( A1 , B1 , C1 )
n2 = ( A2 , B2 , C2 )
и
Поскольку нормали
перпендикулярны соответствующим плоскостям, то вектор
6
n1 × n2 коллинеарен их линии пересечения. Тогда вектор
a = n1 × n2 можно взять за направляющий вектор прямой.
Раскрывая векторное произведение a = n1 × n2 , получим
координаты направляющего вектора
B C1
A C1
A B1
l= 1
, m=− 1
, n= 1
.
(20)
B2 C 2
A2 C 2
A2 B2
Если ( x0 , y0 , z0 ) - некоторое решение системы (19), то
параметрические уравнения прямой совпадают с (16), l,m,n
определяются формулами (20).
Рассмотрим теперь уравнение прямой в плоскости xОy, т.е. в
плоскости z = 0. В этом случае уравнение (19) перепишем в виде
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
(21)

=
0
.
z

Если заранее оговорить условие, что прямая лежит в плоскости z
= 0, то второе уравнение в (21) можно опустить. В результате
получим уравнение
A1 x + B1 y + D1 = 0 .
(22)
Уравнение (22) называют общим уравнением прямой на
плоскости xOy. Если B1 ≠ 0, то из (22) получим
A
D
y = − 1 x − 1 = kx + b .
(23)
B1
B1
Уравнение
(23)
называют
уравнением прямой с угловым
коэффициентом k = tgα , где α угол между прямой и осью Ox.
Найдем угол между двумя прямыми
y = k1 x + b1 , y = k2 x + b2 .
Поскольку α2 = α1 + ϕ , то ϕ = α 2 − α 1 ,
tgα 2 − tgα1
k −k
tgϕ = tg (α 2 − α1 ) =
= 2 1 .
(24)
1 + tgα1 ⋅ tgα 2 1 + k1 ⋅ k2
Из равенства (24) можно получить условие параллельности и
перпендикулярности двух прямых на плоскости:
7
1
.
(25)
k2
Нормальное уравнение прямой и уравнение в отрезках на
плоскости получаются из соответствующих уравнений
плоскости при z = 0. Отклонение точки M1 ( x1 , y1 ) от прямой
также получается из соответствующей формулы для плоскости
при z = 0.
k1 = k 2 , k1 = −
Лекция 1.3 Вопросы для самоконтроля.
1. Каков геометрический смысл коэффициентов А,В,С в общем
уравнении плоскости?
2. Каков геометрический смысл коэффициентов и свободного
члена в нормальном уравнениии плоскости?
3. Как нормировать общее уравнение плоскости?
4. Как найти отклонение δ точки М от плоскости?
5. Как связан знак отклонения δ с расположением точки М и
начала координат относительно плоскости?
6. Каковы условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей?
7. Каковы векторные параметрические уравнения плоскости и
прямой?
8. Что называется направляющим вектором прямой?
9. Каков геометрический смысл углового коэффициента k
прямой, лежащей в плоскости Z=0?
10. Если прямая задана как пересечение двух плоскостей, одна
из которых Z=0, то как найти нормальное уравнение этой
прямой?
11. Если прямая на плоскости Z=0 задана нормальным
уравнением, то как найти отклонение точки М, лежащей в
этой плоскости, от прямой?
12. Как расположена плоскость относительно системы
координат, если ее уравнения следующие: А) Ах+Ву+Сz=0;
Б) By+Cz+D=0; В) Ax+Cz+D=0; Г) Ax+By+D=0; Д) Cz+D=0;
Е) By+D=0; Ж) Ax+D=0.