стабилизация неминимально-фазовых систем с высокой

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ
СИСТЕМ С ВЫСОКОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
СТЕПЕНЬЮ ВЫХОДА
С. Б. Ткачев
МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, Россия
Для гладкой аффинной системы со скалярным управлением
(1)
ẋ = A(x) + B(x)u,
где x ∈ Rn , u ∈ R1 , рассматривается задача стабилизации заданного
положения равновесия x0 ∈ Ω, Ω ⊆ Rn , A(x0 ) = 0, при полностью
известном векторе состояния.
Пусть фиксирована некоторая функция y = h(x) — выход системы, при котором относительная степень ρ системы (1) в точке x = 0
больше 2. Нормальная форма системы (1) имеет вид
(2)
ż1 = z2 , . . . , żr−1 = zr ,
żr = f (z, η) + g(z, η)u,
η̇ = q(z, η),
y = z1 ,
где z = (z1 , z2 , . . . , zr )T ∈ Rr , η = (η1 , . . . , ηn−r )T ∈ Rn−r , f (0, 0) = 0,
g(0, 0) 6= 0, q(0, 0) = 0.
Если нулевая динамика η̇ = q(0, η) является асимптотически
устойчивой, то методы построения стабилизирующей обратной связи
известны [1]. В случае, когда ρ = 1 или ρ = 2, можно использовать
метод виртуальных выходов [2]. В случае, когда ρ > 2, доказаны
следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть нормальная форма аффинной системы (1) с
выходом y = h(x) в окрестности точки x = 0 имеет вид (2), причем q(z, η) ≡ p(y, η) ≡ p(z1 , η). Для того, чтобы система (1) имела виртуальный выход с относительной степенью ρ = r в точке
x = 0 и асимптотически устойчивую нулевую динамику, необходимо и достаточно, чтобы положение равновесия η = 0 нелинейной
системы
(3)
η̇ = p(v, η)
с управлением v было стабилизируемо гладкой обратной связью v =
v(η). Каждой такой стабилизирующей обратной связи в системе (3) соответствует виртуальный выход y = z1 − v(η) = h(x) −
1
v(Ψ(x)) системы (1) относительной степени ρ = r в точке x = 0
и асимптотически устойчивая нулевая динамика.
Теорема 2. Если в системе (2) q(z, η) ≡ p(z1 , z2 , η), а управления v1 = v1 (η), v2 = v2 (η), v1 (0) = 0, v2 (0) = 0, стабилизируют
положение равновесия η = 0 системы
(4)
η̇ = p(v1 , v2 , η)
и удовлетворяют условиям
(5)
dv1 (η) = v2 (η),
dt η̇=p(v1 (η),v2 (η),η)
0
0
1 − v1 pz2 (0, 0, 0) 6= 0,
то система (2) с виртуальным выходом φ(z, η) = z1 − v1 (η) имеет
ρ = r в точке (z, η) = 0, а нулевая динамика, соответствующая
этому виртуальному выходу, асимптотически устойчива в точке
η = 0.
Доказанные теоремы позволяют выделить класс аффинных систем, для которых существует стабилизирующее управление, получаемое на основе теории нормальной формы [1].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ
№12-07-00329 и Программы Президента по поддержке ведущих научных школ, грант НШ-3659.2012.1.
Список литературы
1.
2.
Isidori A.Nonlinear control systems. 3-rd ed. London: Springer, 1995.
Крищенко А.П., Панфилов Д.Ю., Ткачев С.Б. Построение минимально фазовых аффинных систем // Дифференциальные уравнения.
2002. № 11. Т. 38. С. 1483 – 1489.
STABILIZATION OF NONMINIMUM-PHASE SYSTEMS
WITH HIGH RELATIVE DEGREE OF OUTPUT
S. B. Tkachev
Bauman Moscow State Technical University, Russia
The stabilization problem of nonminimum-phase SISO affine systems
is considered. The method of virtual outputs is expanded on the case
when the relative degree of output is greater then 2.
2