Теория устойчивости

Теория устойчивости.
Для приложений весьма актуальным является вопрос определения условий,
при которых достаточно малое изменение начальных условий вызывает сколь
угодно малое изменение решения. Если х – изменяется на конечном отрезке, то
ответ на такой вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решения от
начальных значений (теорема о существовании и единственности). Если х
принимает сколь угодно большие значения, то эти вопросы решает теорема об
устойчивости решения.
Определение. Пусть нам дана система дифференциальных уравнений:
dyi
  i ( x, y1 , y2 ,..., yn ) i  1, n
dx
(1)
Решения i ( x) i  1, n системы (1) устойчивы по Ляпунову, если >0 можно
найти ()>0 такое, что для всякого yi (x) - решения (1), начальные условия
которого удовлетворяют соотношениям
yi ( x0 )   i ( x0 )   ( )  yi ( x)   i ( x)  
i  1, n x  x0
(2)
Если два решения одной и той же системы (1) в начальный момент
времени отличаются друг от друга на малое число, то для устойчивой системы
(1) эти два решения будут отличаться на некоторое малое число во всех точках.
Определение. Если число  из предыдущего определения можно выбирать
независящим от начального момента х0 , то такая устойчивость называется
равномерной в области Х.
Отметим, что если система (1) удовлетворяет условиям теоремы о
непрерывной зависимости решения от начальных условий, то в определении
вместо x  x0 , может быть записано x0  x  xn , т.е. это означает, что при близких
начальных условиях решения остаются близкими на конечном отрезке от х0 до
хn .
1
Определение. Если при сколь угодно малом >0, хоть для одного решения
yi (x) второе неравенство из (2) не выполняется, то решение i ( x) i  1, n
называется неустойчивым.
Определение. Если  i (x) не только устойчиво, но и удовлетворяет
соотношению: yi ( x)  i ( x)  0 при x   , при условии что yi ( x0 )  i ( x0 )   ( ) ,
тогда решение  i (x) называется асимптотически устойчивым.
Из асимптотической устойчивости еще не следует устойчивость решения.
Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных
систем ( далее ЛДС).
Пусть дана ЛДС:
dy
 A(t ) y (t )  f (t )
dt
(1)
Здесь A(t) и f(t) непрерывные функции от t   , . И пусть
dy
 A(t ) y (t ) соответствующая однородная система.
dt
(2)
Определение. (1) называется устойчивой (или вполне не устойчивой),
если все решения этой системы y(t) соответственно устойчивы (неустойчивы)
по Ляпунову при t   .
Замечание. Необходимо отметить, что решения ЛДС либо все устойчивы,
либо все неустойчивы.
Теорема: Для устойчивости ЛДС (1) при любой правой части f(t)
необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение
соответствующей однородной системы (2).
Доказательство:
2
 Пусть  (t ) некоторое устойчивое решение системы (1), t0  t   . Значит
>0 ()>0:  yi (x) - решения системы (1) при t0  t   будет справедливо
неравенство:
y(t )  (t )  
если выполняется y(t0 ) (t0 )  
(3)
(4)
Но если y и  решения (1), то
x(t )  y (t )   (t )
(5)
решение однородной системы (2).
Любое решение однородной системы всегда можно представить в виде (5).
Соответственно по (3) и (4) получаем, что x(t )   если x(t )   . Это
выполняется x(t), значит выполнится и для х0=0 , т.е. тривиальное решение
однородной системы (2) устойчиво по Ляпунову при t   .
Замечание. Из доказательства следует, что устойчивость тривиального
решения системы (2) вытекает из устойчивости хотя бы одного решения
линейной неоднородной системы (1) при любой правой части f(x), которая
может быть даже тождественно равна 0.
 Пусть х0=0 – тривиальное решение однородной системы (2). И пусть х0
устойчиво по Ляпунову при t   , тогда, если x(t) произвольное решение
однородной системы (2): x(t0 )   ( , t0 ) выполняется при условии, что x(t )   .
Пусть  (t ) , y(t) некоторые произвольные решения системы (1), тогда из
y(t0 )  (t0 )   будет следовать, что y(t )  (t )    t0  t   (это следует из
определения x(t)). Последние два неравенства означают, что  (t ) будут
устойчивыми по Ляпунову при t   .
Следствие. ЛДС устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой
системы, и вполне не устойчива, если неустойчиво ее некоторое решение.
3
Следствие. Неоднородная ЛДС устойчива тогда и только тогда, когда
устойчива соответствующая ей однородная.
Замечание. Поведение решений неоднородной ЛДС (1) при любой правой
части совпадает с поведением решений соответствующей однородной системы
(2), следовательно, далее мы будем исследовать на устойчивость только
однородную систему (2).
Определение: ЛДС (1) называется равномерно устойчивой, если все
решения этой системы равномерно устойчивы при t   .
Теорема. ЛДС (1) равномерно устойчива тогда и только тогда, когда
тривиальное решение соответствующей ей однородной системы (2)
равномерно устойчиво при t   .
Определение. ЛДС (1) называется асимптотически устойчивой, если
все ее решения асимптотически устойчивы.
Теорема. Система (1) асимптотически устойчива тогда и только тогда,
когда тривиальное решение соответствующей системы (2) асимптотически
устойчиво при t   .
Следствие. Для асимптотической устойчивости системы (1) при любой
правой части необходимо и достаточно, что бы была асимптотически устойчива
система (2).
Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем.
Пусть дана однородная ЛДС (2). A(t) матрица состоящая из непрерывных
функций. Покажем, что устойчивость системы (2) эквивалентна
ограниченности всех его решений.
4
Теорема. Однородная ЛДС (2) устойчива по Ляпунову тогда и только
тогда, когда каждое решение y (t ) будет ограничено на полуоси t  t0 ,  .
Следствие. Если неоднородная ЛДС (1) устойчива, то все ее решения или
ограничены или не ограничены при t   .
Теорема. Однородная ЛДС (2) асимптотически устойчива тогда и только
тогда, когда все ее решения y (t )  0 при t   .
Следствие. Асимптотически устойчивая ЛДС (2) или (1) асимптотически
устойчива в целом.
Устойчивость линейных дифференциальных систем с постоянной
матрицей.
Пусть
dx
 Ax(t )
dt
(1)
где А квадратная матрица (nxn) с постоянными коэффициентами. Будем искать
решение в виде x(t )  e Atu . Подставим это решение в систему (1).
dx
du
 Ae At u (t )  e At u(t )  Ae At u  e At
0
dt
dt

(2)
du
 0  u - константа
dt
Т.е. решение системы (1) с постоянной матрицей А ищется в виде x(t )  Ce At
(3)
где С – константа.
Пусть заданы начальные условия x(t0 )  x0 , тогда подставив их в (3)
получим x(t0 )  x0  Ce At  x(t )  e A(t t ) x0
0
0
(4)
5
Пусть 1 , 2 ,...m собственные значения матрицы А , mn. Т.е. определена
клетка Жордана и e1 , e2 ,...em собственные вектора соответствующие 1 , 2 ,...m .
Пусть S – матрица преобразований, тогда:
A  S 1diagJ1 (1 ), J 2 (2 ),...J m (m )S
Ji – соответствующие клетки Жордана.
Тогда в соответствие с (4) решение системы (1) выглядит так:


x(t )  S 1diag e J1 ( 1 )( t t0 ) , e J 2 ( 2 )( t t0 ) ,...e J m ( m )(t t0 ) Sx(t0 )


(t  t0 )
(t  t0 )2
(t  t0 )k 1
exp( J k (k )(t  t0 ))  exp( k (t  t0 ))  E 
I1 
I 2  ... 
I k 1 
1!
2!
(k  1)!


Ij – единичная матрица с поднятой на j диагональю.
Теорема. Линейная однородная система (1) с постоянной матрицей А
устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы
А имеют не положительные вещественные части. Re  j  0 j  1, n , при чем
собственным значениям, имеющим нулевую вещественную часть
соответствуют только простые элементарные делители, т.е. соответствует
единичная Жорданова клетка.
Доказательство:
 Пусть нам даны собственные значения  j   j  i j , j  1, p (р – кратность)
причем  j  0 . И k  k  ik , k  1, q ( q – кратность) , у которых
действительная часть нулевая. Т.е. общее максимально число клеток Жордана
для А: m=p+q . Тогда, если мы используем (5), то решение можно записать в
виде:
p
q
y (t )   e j (cos  j t  i sin  j t ) Pj (t )   (cos  k t  i sin  k t )Ck
j 1
 t
(6)
k 1
Pj (t ) - полиномиальные векторы. Ck - векторы постоянных.
Покажем что (6) ограничено. Т.к.  j  0 , cos t  i sin t  1, а Pj (t ) имеют
ограниченную степень, которая ниже кратности собственного значения  j , то
6
 t
e j Pj (t )  0 при t   . Ck - ограниченные константы. Т.о. |y(t)|< M, где М
константа. Т.е. решение ограничено и следовательно устойчиво, а значит и
система устойчива.
 Пусть (1) устойчива. Покажем, что все собственные значения матрицы А
имеют неположительные вещественные части.
Докажем от противного. Пусть существует такое собственное значение
s    i
при чем  >0. Система (1) однородная и следовательно мы можем
выписать частное решение соответствующее s :   Ce t C  0 . Оценим норму
s
 :   C e t  et C  , t   . Значит, решение будет неограниченно, что
s
противоречит условию устойчивости, тогда мы получаем, что Re  j  0 j  1, n .
Покажем, что каждое собственное значение с нулевой действительной
частью имеет только простой элементарный делитель. Предположим, что А
приведена к Жордановой нормальной форме, т.е.
A  Sdiag J1 (1 ), J 2 (2 ),...J m (m )S 1 ,
det( s )  0 . И некоторому s с нулевой
действительной частью соответствует жорданова клетка размерности ls>1,
тогда соответствующее частное решение можно выписать в виде:
 (t )  Sdiag 0,0,..., exp( J s (s )t ),...,0,0S 1
(7)
матричное решение системы (1).
Подставим это решение в систему (1) и получим тождество. Домножим (7) на S
и S-1 и получим:
S 1 (t ) S  diag 0,0,..., exp( J s (s )t ),...,0,0 , т.к. это тоже решение (1), найдем его норму:
S 1 (t ) S  diag 0,0,..., exp( J s (s )t ),...,0,0  exp( J s (s )t )
n
Пусть A  max  aij , тогда с другой стороны:
1 i  n
j 1
S 1 (t ) S  S 1   (t )  S
exp( J s (s )t )  1 
(8)
t t2
t l s 1
t l s 1
  ... 

1! 2!
(ls  1)! (ls  1)!
Воспользуемся (8) и получим:
7
 (t ) 
t l s 1
(ls  1)! S S 1
(9)
Знаменатель ограничен, следовательно при t   выражение (9) тоже   , что
невозможно для устойчивого решения. Т.о. мы получаем, что собственные
значения, у которых действительная часть равна 0 имеют только простые
элементарные делители. 
Замечание. Устойчивая линейная однородная система с постоянной
матрицей А равномерно устойчива относительно начального момента t0.
Теорема. Линейная однородная система (1) с постоянной матрицей А
асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные
значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части.
Второй метод Ляпунова.
Определение.
Пусть дана система дифференциальных уравнений:
dxi
 f1 (t , x1 , x2 ,...xn ) i  1, n
dt
(1)
и эта система имеет решение xi  xi 0 , xi 0 -константа. Тогда траектория (если
рассматривать точку с координатами ( x1 , x2 ,...xn )  R n , а t-время, то изменение
координат по времени даст нам некоторую траекторию) сводится к одной точке
M ( x10 , x20 ,...xn0 ) . Эта точка называется точкой покоя данной системы.
В частности тривиальное решение xi 0  0 тоже точка покоя для этой
системы, при чем она находится в начале координат.
Определение. Пусть дана система (1), будем исследовать на устойчивость
ее точку покоя и ее тривиальное решение. Если с течением времени точки всех
траекторий будут приближаться к началу координат или хотя бы не удалятся от
него, то тогда данную точку покоя можно назвать устойчивой.
8
Пусть    ( x1, x2 ,...xn ) расстояние от xi (t ) i  1, n до точки покоя, т.е.

1/ 2

n
   ( x(t )) 2 
 i 1

. Исследуем знак производной функции    ( x1, x2 ,...xn ) , что бы
определить характер возрастания или убывания:
n
d
 dxi n 


fi
dt i 1 xi dt i 1 xi
В этом выражении правая часть – некоторая известная функция fi ,
следовательно, знак этой часть можно определить, т.е. остается потребовать,
что бы
d
 0 t  0 . В этом случае точка будет устойчива, и траектории всех
dt
точек не будут удаляться от начала координат.
Для удобства вычисляют
d 2
, т.к. знаки производных этих функций
dt
совпадают. Но точка покоя может быть устойчива и асимптотически устойчива
и при не монотонном приближении к точке покоя с возрастанием t. Поэтому
вместо  или 2 Ляпунов предложил использовать некоторою функцию:
V ( x1 , x2 ,...xn ) или V (t , x1 , x2 ,...xn ) , которая в некотором смысле является обобщением
расстояния от заданной точки до начала координат. Основное свойство V и :
если V мало то и  мало. Такие функции V получили название функции
Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости. Если существует дифференцируемая
функция V (t , x1 , x2 ,...xn ) , удовлетворяющая в некоторой h окрестности начала
n
координат ( h   xi ) ||x||h при tt0 условиям:
2
i 1
1). V (t , x1, x2 ,...xn )  W ( x1, x2 ,...xn )  0
W непрерывная функция, обращающаяся в 0 только в начале координат,
т.е. V (t ,0,0,...0)  W (0,0,...0)  0
2).
n
dV V
V


fi  0 Неположительна вдоль интегральных кривых (1).
dt
t i 1 xi
9
dV V

 ( gradV , F )
dt
t
 f1 
 
F   ... 
f 
 n
Такая производная, зависящая от t и от x - субстанциальная.
Т.е. V вдоль интегральных кривых при возрастании t не возрастает и тогда
точка покоя устойчива.
Замечание. Если функция V (функция Ляпунова) не зависит от t , то
первое условие теоремы заменяется условием не отрицательности
 V x1 ,..., xn   0  , причем функция Ляпунова обращается в ноль только в
начале координат, то есть там достигается строгий минимум .
Определение. Функция V t , x1 ,..., xn , удовлетворяющая условию (1)
теоремы Ляпунова называется определенно-положительной.
Замечание. Если в условие (1) теоремы Ляпунова изменить знаки
неравенства на противоположные, то функция Ляпунова будет называться
определенно-отрицательной.
V t , x1 ,..., x n   W  x1 ,..., x n   0
W  inf V t , x1 ,..., x n 
f
Если рассматривать функцию V, зависящую только от аргументов x, то
мы ее можем определить в виде  1 V x1 ,..., xn  , тогда при   0 , она будет
определенно положительной, а при   1, определенно отрицательной.
Пример: исследовать на устойчивость точку x=0, y=0.
 x |  2 y  6 xy 2
Система:  |
 y  5 x  15 x 2 y
Тривиальное решение А(0,0) : x=0, Y=0.
V x, y   x 2  y 2 , где  ,  - некоторые коэффициенты.
  5,   2
10




dV
 10 x  2 y  6 xy 2  4 y 5 x  15 x 2 y  60 x 2 y 2  60 x 2 y 2  0
dt
Точка А(0,0) устойчива.
Следствие 1 из теоремы. При выполнении условий теоремы Ляпунова,
все решения x(t ) системы (1) с достаточно малыми по норме начальными
значениями xt 0 ; t 0  0, бесконечно продолжаемы вправо и ограничены
на полуоси t 0 , .
Следствие 2. Если для линейной однородной системы (1), где матрица
А(t) принадлежит пространству непрерывных функций, определенных на
t 0 , , существует положительно определенная функция V t , x1 ,..., xn , для
которой
dV
 0 , то все решения xi этой системы определены и ограничены
dt
на полуоси t 0 , .
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть
существует дифференцируемая функция Ляпунова V t , x1 ,..., xn  , которая
в h окрестности начала координат удовлетворяет условиям:
1.) V t , x1 ,..., xn  определенно-положительная, то есть V t, x  W x  0 ,
где W x непрерывная функция аргументов x1 ,..., xn  , равная нулю
только в начале координат;
2.)
dV
dV
~
 W  x   0 , функция
определенно-отрицательная, то есть
dt
dt
~
W x  обращается в ноль только в начале координат;
3.) функция Ляпунова V равномерно по t стремится к нулю при
условии, что x  0 , то есть   0   : x   ;V t, x1 ,..., xn    , t  t 0 . При
этом условии точка покоя системы (1) – начало координат, будет
асимптотически устойчивой.
11
Следствие. Если для линейной однородной системы (1) существует
определенно-положительная функция Ляпунова, которая удовлетворяет
условиям предыдущей теоремы, то каждое решение этой системы будет
асимптотически устойчивым в целом.
Исследование на устойчивость по первому приближению.
Определение. Пусть начало координат xi  0, i  1, n - это точка покоя для
системы
dx
 f t , x  .
dt
(1)
И пусть правая часть системы (1) f t, x удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности, а значит может быть
представлена в виде : f t, x  At x  F t, x
(2)
это разложение в ряд Тейлора, где А(t) – матрица, а для вектора F(t,x)
выполняется: lim
x 0
F t , x 
x
 0 . Тогда линейная однородная система вида
dx
 At x
dt
(3)
называется первым приближением или линеаризацией системы (1).
Понятно, что матрица А будет состоять из частных производных
функции f по переменным xi , в окрестности точки х=0.
 f 
A   i t ,0 . То есть если матрица А(t)=А не зависит от t (она
 xi 
постоянная), то система уравнений будет асимптотически устойчива, при
условие, что Re  j  0; j  1, n .
xy
 dx
 dt   x  y  1  t
Пример: 
2
 dy  2 x  3 y  y
 dt
1 t2
t0
12
 1  1
A

 2  3
x2 y2
F
x
1  t 2
0
A  I 

y4
1  t 
2 2
x2  y2
1 
2
D  16  20  4
1
 1   3     2  3  4  2  2  2  4  5
3
1, 2 
 4  2i
 2  i
2
Re  j  2  0  точка покоя
асимптотически устойчива.
Типы точек покоя.
I собственные значения 1 , 2 - действительны и различны ( 1  2 ). Тогда
решение можно записать в виде z t   C1e 1t e1  C2 e 2t e2 .
1.)
1  0; 2  0 - тогда точка покоя будет устойчивым узлом, так как
все точки траектории находящиеся в начальный момент t 0 в любой  окрестности начала координат, при достаточно большом t, стремится к
точкам, принадлежащим сколь угодно малой  - окрестности начала
координат.
2.) 1  0; 2  0 - получим неустойчивый узел.
13
3.) 1  0; 2  0 - тогда точка покоя называется седлом.
II собственные значения комплексные 1, 2  p  iq
1.) p  0, q  0 - тогда точка покоя называется устойчивым фокусом.
2.) p  0; q  0 - неустойчивый фокус.
3.)
p  0; 1, 2  iq - точка будет устойчивой и называться центром.
14
III 1  2 - кратные корни.
z t   C1ee t  C2 et  f e t , е – собственный вектор, f – присоединенный
вектор.
1.)   0 , тогда при t  , zt   0 , то есть точка покоя будет
асимптотически устойчивой, это будет устойчивый узел.
2.)   0 , тогда точка покоя – неустойчивый узел.
15