8. Введение в математический анализ.
advertisement
Бубнов В.Ф., Веременюк В.В.
курс лекций для студентов строительных специальностей
Введение в математический анализ
2013 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
§1. Множества и операции над ними. .......................................................... 3
1.1. Множества и их элементы. ............................................................ 3
1.2. Подмножества. Операции над множествами. .............................. 3
1.3. Числовые множества. ..................................................................... 4
1.4. Грани числовых множеств. ............................................................ 5
1.5. Логические символы (кванторы). .................................................. 7
§2. Множество комплексных чисел. ............................................................. 7
2.1. Основные понятия. Геометрическая интерпретация комплексных
чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. ................................................ 7
2.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами. .............................................................................................. 9
2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действие над
комплексными числами в тригонометрической форме. .................................... 9
2.4. Показательная форма комплексного числа. ................................ 10
§3. Числовые функции одной действительной переменной, основные понятия. .................................................................................................................... 11
3.1. Понятие функции. Способы задания. График функции. Монотонность, периодичность, четность и нечетность. ........................................... 11
3.2. Сложная и обратная функции. Определение функции, заданной
параметрически. ................................................................................................... 13
§4. Числовая последовательность и ее предел. .......................................... 15
§5. Свойства сходящихся последовательностей. ....................................... 16
§6. Достаточное условие существования предела последовательности. . 20
§7. Определение числа е. .............................................................................. 20
§8. Предел функции. ..................................................................................... 21
§9. Свойства функций, имеющих предел. .................................................. 23
§10. Достаточные условия существования предела функции. ................. 24
§11. Непрерывность функции в точке. ........................................................ 25
§12. Непрерывность сложной функции. ..................................................... 27
§13. Непрерывность элементарных функций. ............................................ 28
§14. Односторонние пределы функции. Односторонняя непрерывность.
Классификация точек разрыва. .......................................................................... 30
14.1. Односторонние пределы функции. Односторонняя непрерывность. ..................................................................................................................... 30
14.2. Классификация точек разрыва. ................................................... 31
§15. Функции, непрерывные на отрезке. ................................................... 33
§16. Бесконечно большие функции. Обобщенное определение предела.
Замена переменной в пределе. ........................................................................... 33
16.1. Бесконечно большие функции. Обобщенное определение предела. ....................................................................................................................... 33
16.2. Замена переменной в пределе. .................................................... 34
§17. Бесконечно малые (б.м.) функции. .................................................... 35
17.1. Основные определения. ............................................................... 35
2
17.2. Важные свойства бесконечно малых функций. ........................ 36
§18. Первый замечательный предел. ......................................................... 37
18.1. Первый замечательный предел. ................................................. 37
18.2. Главные следствия из 1-го замечательного предела (1-я часть
таблицы эквивалентности). ................................................................................ 37
§19. Второй замечательный предел. .......................................................... 39
19.1. Второй замечательный предел. ................................................... 39
19.2. Главные следствия из 2-го замечательного предела (2-я часть
таблицы эквивалентности). ................................................................................ 40
§20. Асимптоты графика функции. ........................................................... 41
20.1. Вертикальные асимптоты. ........................................................... 41
20.2. Наклонные асимптоты. ................................................................ 42
§1. Множества и операции над ними.
1.1. Множества и их элементы.
Под множеством понимают совокупность определенных и отличных
друг от друга объектов (элементов), объединенных общим характерным признаком в единое целое. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом O. В математике вместо термина
«множество» часто говорят «класс», «семейство», «совокупность». Множество считается определенным, если указаны все его элементы или правило их
нахождения (характерное свойство элементов).
Множества и их элементы обозначают обычно буквами латинского алфавита: множества – прописными А,В,С,…, их элементы – строчными
а,b,с,…. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут a A , если а не
принадлежит множеству А, пишут a A или a A .
Если множество
состоит из элементов a,b,c,d, ... , то пишут
A a ,b,c,d ,.... Если множество А задается указанием характерного свойства
Р(x) его элементов, это записывают так: A x Px.
1.2. Подмножества. Операции над множествами.
Определение 1. Множества А и В называется равными, если каждый
элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый
элемент множества В является элементом множества А. Равенство множеств
А и В обозначают так: А = В.
Определение 2. Множество А называется подмножеством множества B,
если каждый элемент множества A является элементом множества B.
Если A – подмножество множества B, но A B , то пишут A B . Запись A B , означает, что или A B , или A B . В частности, для любого
множества А имеет место соотношение: A А .
Будем рассматривать всевозможные подмножества одного и того же
множества, которое назовем основным или универсальным. Обозначим универсальное множество буквой U.
3
Определение 3. Объединением множеств A, B U называется множество А В , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя
бы одному из множеств A или B :
А В = x x A или x B
Операция объединения множеств подчиняется коммутативному и ассоциативному законам: А В = В А , А В С А В С A B C .
Очевидно, что А А А , А O = А, А U U и A B B , если A B .
Определение 4. Пересечением множеств A, B U называется множество А В , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат
обоим множествам одновременно: А В = x x A и x B .
Операция пересечения множеств подчиняется коммутативному и ассоциативному законам: А В = В А , А В С А В С A B C .
Очевидно, что А А А , А O = O, А U А и A B A , если A B .
Операции объединения и пересечения множеств подчиняются дистрибутивному закону (закон группировки, правило вынесения за скобки):
A ( B C ) ( A B ) ( A C ).
Определение 5. Разностью двух множеств A, B U называется множество В\А, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат В,
но не принадлежат А: В\А = x x В, но x А .
Очевидно, что В\А = B, если A B = O.
Определение 6. Разность U\A называется дополнением множества A до
универсального множества U и обозначается А : А = U\A = x U x A .
Очевидно, что А А U , А А O, А А , U O.
1.3. Числовые множества.
В математическом анализе изучаются числовые множества – множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.
Натуральные числа – это множество чисел {1, 2, 3, 4, …}. Обозначается это множество буквой N . Сумма и произведение натуральных чисел является натуральным числом.
Целые числа – это множество чисел, состоящее из натуральных чисел,
числа 0 и чисел, противоположных натуральным числам. Обозначается это
множество буквой Z . Таким образом, Z { 0; 1; 2; 3; ... } . Сумма, произведение и разность двух целых чисел является целым числом.
Рациональные числа – это множество чисел, состоящее из чисел вида
m
, где m,n Z, n 0 . Обозначается это множество буквой Q . Сумма, разn
ность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) двух рациональных чисел является рациональным числом.
Десятичная дробь – это запись рационального числа в виде x,b1b2...bk ,
4
где x Z , k N , а b1,b2 , ...,bk – цифры. К виду
m
такая дробь приводится с
n
b1b2...bk
.
10k
Периодическая десятичная дробь – это запись вида x,b1b2...bk ( c1c2...c ) ,
где x Z , а bi и ci – цифры. Выражение ( c1c2...c ) в этой записи называется
периодом
дроби.
Данную
запись
следует
понимать
как
1
1
x,b1b2...bk c1c2 ...cc1c2...c ... . Например, 0,( 3 ) 0,333... или 0,1( 3 ) 0,1666....
3
6
Можно сказать, что множество рациональных чисел – это совокупность
всех десятичных дробей и периодических десятичных дробей.
Действительные числа – это множество чисел, состоящее из рациональных чисел и бесконечных непериодических десятичных дробей. Обозначается это множество буквой R . Сумма, разность, произведение и частное
(если знаменатель не равен нулю) двух действительных чисел является действительным числом. Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами. Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) рационального и иррационального
чисел является иррациональным числом. Иррациональными числами являются, например, 2 , lg 5, . Действительные числа принято изображать точками на прямой (числовой прямой). Если x, y R и x y , то точка x лежит на
числовой прямой левее точки y.
Ясно, что в соответствии с определением 2 п.1.2 имеет место включение N Z Q R .
В процессе изучения математического анализа часто приходится иметь
дело со следующими подмножествами множества действительных чисел:
- интервал ( a; b ) x R a x b ;
помощью формулы x,b1b2...bk x
- отрезок [a;b] x R a x b ;
- бесконечный справа интервал ( a; ) x R x a ;
- бесконечный слева интервал ( ; a ) x R x a .
Используя понятия и операции, изученные выше, можем записать:
( a; b ) [a;b] , ( a;b ) ( a; ) , ( a;b ) [a;b] \ { a;b } , [a;b] ( a; b ) .
1.4. Грани числовых множеств.
Определение 1. Множество действительных чисел A R называется
ограниченным сверху, если существует такое действие число М, что каждый
элемент x A удовлетворяет неравенству x M . При этом число M называется верхней гранью множества А.
С геометрической точки зрения все точки ограниченного сверху множества A лежат на числовой прямой левее точки M – верхней грани этого
множества.
Ясно, что любое ограниченное сверху множество A R имеет бесконечно много верхних граней (если число M является верхней гранью множе5
ства А, то для любого числа 0 число M также является верхней гранью этого множества).
Из определения 1 следует, что множество A R является неограниченным сверху, если для любого числа M найдется такой элемент x1 A , что
x1 M , т.е. это множество не имеет ни одной верхней грани.
Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного
сверху множества A R называется его точной верхней гранью. Более точно, действительное число М является точной верхней гранью множества
A R , если для любого элемента x A выполняется неравенство x M , но
для любого числа M1 M найдется такой элемент x1 A , что x1 M1 . Точную верхнюю грань обозначают M sup A (от латинского слова supremum).
Принцип супремума. Всякое ограниченное сверху числовое множество
A R имеет точную верхнюю грань.
Обоснование этого, на первый взгляд, очевидного утверждения потребовало принятия в математическом анализе так называемой аксиомы непрерывности множества действительных чисел – аксиомы Дедекинда (1872 г.):
если все точки числовой прямой разбиты на два непустых класса, причём все
точки первого класса расположены левее всех точек второго, то существует
либо самая правая точка первого класса, либо самая левая точка второго. На
основании этой аксиомы несложно обосновать принцип супремума (сделайте
это самостоятельно).
Точная верхняя грань множества A R может принадлежать, а может
и не принадлежать данному множеству. Например, sup( ; a ) a ( ; a ) , а
sup [a;b] b [a;b] . Если множество A R не является ограниченным сверху,
то принято, что sup A . Например, sup N .
Определение 3. Множество действительных чисел A R называется
ограниченным снизу, если существует такое действие число М, что каждый
элемент x A удовлетворяет неравенству x M . При этом число M называется нижней гранью множества А.
С геометрической точки зрения все точки ограниченного снизу множества A лежат на числовой прямой правее точки M – нижней грани этого множества.
Любое ограниченное снизу множество A R имеет бесконечно много
нижних граней (если число M является нижней гранью множества А, то для
любого числа 0 число M также является верхней гранью этого множества).
Из определения 3 следует, что множество A R является неограниченным снизу, если для любого числа M найдется такой элемент x1 A , что
x1 M , т.е. это множество не имеет ни одной нижней грани.
Определение 4. Наибольшая из всех нижних граней ограниченного
снизу множества A R называется его точной нижней гранью. Более точно,
действительное число М является точной нижней гранью множества A R ,
если для любого элемента x A выполняется неравенство x M , но для лю6
бого числа M1 M найдется такой элемент x1 A , что x1 M1 . Точную верхнюю грань обозначают M inf A (от латинского слова infinum).
Принцип инфинума. Всякое ограниченное снизу числовое множество
A R имеет точную нижнюю грань.
Обоснование этого факта также опирается на аксиому Дедекинда.
Точная нижняя грань множества A R может принадлежать, а может и
не принадлежать данному множеству. Например, inf( a; ) a ( a; ) , а
inf [a;b] a [a; b] . Если множество A R не является ограниченным снизу,
то принято, что inf A . Например, inf Z .
Определение 5. Множество A R называется ограниченным, если оно
одновременно ограничено и сверху, и снизу, т.е. существуют такие числа
M 2 M1 , что все точки множества A лежат на отрезке M1; M 2 .
Например, множества ( a; b ) и [a;b] ограничены, а множества ( a; ) ,
( ; a ) , N , Z, Q не являются ограниченными.
1.5. Логические символы (кванторы).
При доказательстве и формулировке определений и теорем приходится
повторять отдельные слова и выражения. Чтобы сократить записи, используют следующие логические символы (кванторы).
Квантор общности обозначается , читается: «любой», «всякий», «каждый». С помощью квантора общности выражение «для любого элемента
х из множества М» можно записать короче: x M .
Квантор существования обозначается , читается: «существует»,
«найдется» С помощью квантора существования выражение «существует
х, принадлежащее множеству М» записывают так: x M .
Символ логического следования означает «следует», «вытекает».
Символ эквивалентности обозначает равносильность утверждений расположенных по разные стороны от него, и читается: «тогда и только тогда,
когда…», «равносильно…», «необходимо и достаточно», «означает».
Например, формулировка определения точной верхней грани при использовании кванторов звучит так: M sup A для x A выполнено
x M и для M1 M x1 A такой, что x1 M1 .
§2. Множество комплексных чисел.
2.1. Основные понятия. Геометрическая интерпретация комплексных
чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.
Существуют задачи, где действительных чисел недостаточно для их
решения, например, квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, является x 2 1 0 , так как не существует действительного числа, квадрат которого равнялся бы -1.
Обозначим 1 i , откуда i 2 1 . Величина i называется мнимой
7
единицей. Тогда решение уравнения x2 1 0 можно записать в виде:
x1,2 i .
Определение 1. Комплексным числом (complex – сложный) называется
выражение вида z x i y , где x, y R , а величина i есть мнимая единица.
При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и
обозначается x Re z , число y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y Im z .
Множество всех комплексных
чисел обозначается C . Т.о.,
C {x iy x, y R} . Ясно, что R C , т.е. множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел.
Два комплексных числа z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 называется равными
тогда и только тогда, когда x1 x2 ; y1 y 2 , т.е. у них совпадают действительные и мнимые части: Re z1 Re z2 , Im z1 Im z2 .
Комплексное число z 0 0 i называется и обозначается 0 (ноль). Оно
совпадает с числом 0 множества действительных чисел. Чисто действительные числа, т.е. числа вида x 0 i , принято записывать просто как x.
Понятие «меньше» и «больше» для комплексных чисел не определены.
Определение 2. Комплексное число z x iy называется сопряженным
комплексному числу z x iy . Два комплексного числа, отличающихся
лишь знаком при мнимой части, называется комплексно-сопряженными.
Аналогично тому, как действительные
числа геометрически можно интерпретировать
как точки на числовой прямой, комплексные
числа принято геометрически интерпретировать
как точки на координатной плоскости Re O Im
(см. рис. 1), где ось абсцисс обозначается O Re
(действительная ось), а ось ординат – O Im
(мнимая ось). Эта плоскость называют комплексной плоскости. Например, на рис. 1 приведено
изображение
пары
комплексносопряженных чисел z x iy и z x iy .
Итак, каждому комплексному числу z x iy соответствует определенная точка (х,у) комплексной плоскости и, наоборот, каждой точке (х,у)
этой плоскости соответствует определенное число z x iy , т.е. между точками плоскости и элементами множества C существует взаимно однозначное
соответствие.
Определение 3. Расстояние от точки (х,у) комплексной плоскости до
начало координат называется модулем комплексного числа z x iy и обозначается z . Ясно, что
z = x2 y 2 .
(1)
Определение 4. Аргументом комплексного числа z x iy называется
8
угол , который образует радиус-вектор точки (х,у) комплексной плоскости
с положительным направлением действительной оси O Re (см. рис. 1). Положительное значение аргумента отмеряется от оси O Re против часовой
стрелки, отрицательное – по часовой стрелке.
Для комплексного числа z x iy 0 аргумент z определяется системой равенств
x
x
y
y
cos
2
,
sin
.
(2)
2
2
2
z
z
x y
x y
Очевидно, что модуль комплексного числа z определяется однозначно,
а аргумент – с точностью до 2k , k Z . Значение аргумента, удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента. Главное значение аргумента комплексного числа обозначается arg z , а множество
всех значений аргумента – Argz , т.е. Argz = arg z + 2k , k Z .
2.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами.
Запись комплексного числа в виде x iy называется алгебраической
формой комплексного числа. Действия над комплексными числами производятся по тем же правилам, что и действие над многочленами с действительными коэффициентами.
Суммой комплексных чисел называется комплексное число, действительная и мнимая часть которого равны суммам соответствующих частей
слагаемых:
z1 z2 x1 iy1 x2 iy 2 x1 x2 i y1 y2 .
Умножение комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 находится с
использованием закона дистрибутивности (с учетом, что i 2 1 ):
z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 ix1 y2 iy1x2 y1 y2i2
= x1x2 y1y2 ix1 y2 y1x2 .
Запоминать эту формулу нет необходимости, важно помнить, что используется закон дистрибутивности и соотношение i 2 1 . Отметим, что
следуя этому правилу, получаем: z z z 2 – действительное число.
Деление комплексного числа z1 на z2 0 производится путем умножеz
ния числителя и знаменателя дроби 1 на число z2 , комплексно сопряженz2
ному знаменателю, а затем выделением действительной и мнимой частей.
2 i 2 i 3 2i 6 4i 3i 2 4 7i 4 7
Например,
=
i.
3 2i 3 2i3 2i
94
13
13 13
2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действие над
комплексными числами в тригонометрической форме.
Как мы видели в п.2.1 любому комплексному числу z x iy , задан9
ному в алгебраической форме, соответствует точка комплексной плоскости,
положение которой однозначно определяется ее декартовыми координатами
(х,у) . Эту же точку можно однозначно определить (см. рис.1) заданием аргумента ; и модуля комплексного числа z . Легко видеть, что выполняются соотношения x z cos , y z sin . Следовательно, комплексное число z x iy , используя его модуль и аргумент, можно записать
в виде
z z (cos i sin ) .
(3)
Выражение (3) называется тригонометрической формой записи комплексного
числа. Чтобы перейти от алгебраической формы к тригонометрической находят модуль комплексного числа по формуле (1) и его аргумент, используя
систему (2).
Тригонометрической формой комплексного числа удобно пользоваться
при выполнении операций умножения, деления, а также при возведении в натуральную степень и извлечении корня n-й степени, n N . Например, пусть
z1 z1 (cos 1 i sin 1 ) и z2 z2 (cos 2 i sin2 ) . Тогда
z1 z2 z1 z2 (cos 1 cos2 sin 1 sin2 i (cos 1 sin2 cos 2 sin1 ))
z1 z2 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) ,
т.е. при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их
модули перемножаются, а аргументы складываются.
Аналогично, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются (обоснуйте это правило самостоятельно, учитывая, что
аргументы комплексно-сопряженных чисел, как видно из рис. 1, связаны равенством z z ).
Число z n
z
z
...
z , где n N , используя полученное ранее правило
n раз
умножения, можно найти по формуле
n
z n z (cos n i sin n ) .
Корнем n-й степени, n N , из комплексного числа z называется такое
n
комплексное число n z , что n z z . Будем использовать тригонометрическую форму (3) комплексного числа. Учитывая то, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до 2k , k Z , из определения корня получаем формулу
arg z 2k
arg z 2k
n
z n z cos
i sin
(4)
, k 1, 2,...,n 1 .
n
n
Из формулы (4) следует, что ровно n различных значений корня n-й степени n z .
2.4. Показательная форма комплексного числа.
Более удобной формой записи комплексного числа является показа10
тельная. Чтобы получить ее, воспользуемся определением
ei cos i sin , R .
(5)
Как видно из материала п. 2.3 функция ei обладает свойствами показатель-
ной функции: ei0 1 , ei( 12 ) ei1 ei2 , ei( 12 ) ei1 : ei2 , ei
n
ein . Кроме
того, очевидно, что ei 1 , R .Учитывая это и сравнивая равенства (3) и
(5), видим, что комплексное число z с аргументом можно записать в форме
z z ei , которая и называется показательной формой записи комплексноi
2
го числа. В частности, e i , e2i 1 , ei 1. С использованием показательной формы записи комплексного числа операции, рассмотренные в п.
2.3, можно записать так:
z
z
n
z1 z2 z1 z2 ei( 1 2 ) , 1 1 ei( 1 2 ) , z n z ein ,
z2
z2
n
z
n
z e
i
arg z 2k
n
,
k 1, 2,...,n 1 .
Отметим, что из равенства (5) можно получить формулы
ei ei
ei e i
cos
, sin
,
2
2i
которые называются формулами Эйлера.
§3. Числовые функции одной действительной переменной, основные понятия.
3.1. Понятие функции. Способы задания. График функции. Монотонность, периодичность, четность и нечетность.
Вообще говоря, функция – это правило, которое позволяет каждой
точке x (аргументу функции) из некоторого множества D числовой прямой
ставить в соответствие определенное число y (значение функции для данного
аргумента). Множество D аргументов функции называется ее областью определения. Значения функции, которые она принимает, когда аргумент пробегает всю область определения, образуют на числовой прямой некоторое
множество E, которое называется областью значений функции.
Для записи функций принято обозначение y f ( x ) , где x – аргумент
функции, y – значение функции при данном значении аргумента, f – математическая запись правила, устанавливающего связь между значениями x и y.
Для области определения функции используется обозначение D( f ( x )) (или,
если это не может привести к путанице, – просто D( y ) ). Для области значе11
ний функции используется обозначение E( f ( x )) (или просто E( y ) ).
Итак, чтобы определить функцию y f x , нужно задать область определения D( y ) и закон f, переводящий элементы x D( y ) в числа y (зная
этот закон и множество D( y ) , можем определить область значений E( y ) ).
Графиком функции y f x называется множество точек на плоскости xOy
с координатами x, f ( x ) , где x D( y ) .
Наиболее широко применяемыми способами задания функции, которые
позволяют применять к их исследованию методы математического анализа,
являются аналитический и описательный методы, а также неявный метод.
Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью
некоторой формулы задается алгоритм вычисления значений функции f x
для каждого из значений аргумента x D . При аналитическом способе задания функции область определения D( y ) либо указывают, либо понимают
под D( y ) множество значений аргумента х, при которых данная формула
имеет смысл (в этом случае D( y ) называют естественной областью опре-
деления функции). Например, y sin x , x 0; . Здесь D( y ) 0; – за 2
2
данная область. А например, если функции задана формулой y lg 3 x , то ее
естественной областью определения является D( y ) ( 0; ) , что следует из
определения логарифмов.
Следующий пример иллюстрирует описательный метод задания функции: д л я п о л о ж и т е л ь н ы х x ф у н к ц и я определяется аналитически
y lg 3 x , а для отрицательных x – по правилу f ( x ) f ( x ) .
lg 3 x, x 0
Формально это записывается так y
. Кстати, в этом примере
3
lg
(
x
),
x
0
естественная область определения функции – вся числовая прямая за исключением значения x 0 .
Неявный метод задания состоит в следующем. Рассматривается уравнение F( x, y ) 0 с двумя переменными. Говорят, что это уравнение неявно
задает функцию y f x на некотором множестве D( y ) , если выполняется
тождество F( x, f ( x )) 0 , x D( y ) . Например, уравнение x2 y 2 1 0 неявно задает пару функций y 1 x2 , x 0;1 .
Функция y f x называется монотонно возрастающей на интервале
( a; b ) , принадлежащем ее области определения, если для любых точек
12
x1, x2 ( a; b ) из условия x1 x2 следует неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) . При этом
сам интервал ( a; b ) называется интервалом возрастания функции.
Функция y f x называется монотонно убывающей на интервале ( a; b ) ,
принадлежащем ее области определения, если для любых точек x1, x2 ( a; b )
из условия x1 x2 следует неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) . При этом сам интервал
( a; b ) называется интервалом убывания функции.
Говорят, что функция является монотонной на интервале ( a; b ) , если
она либо монотонно возрастает на этом интервале, либо – монотонно убывает. При этом сам интервал называют интервалом монотонности функции.
Функция y f x с областью определения D( y ) называется периодической, если существует такое число T 0 (которое называется периодом
функции), что для любого x D( y ) значение ( x T ) D( y ) и
f ( x T ) f ( x ) . Наименьшее из таких чисел T называется наименьшим положительными периодом функции, или просто – периодом.
Если T0 – наименьший положительный период функции, то все числа
T0 n , где n N , (и только они!!!) являются периодами этой функции.
Функция y f x называется четной (нечетной), если:
1) область определения функции D( y ) симметрична относительно
точки 0 (т.е. если x D( y ) , то и ( x ) D( y ) );
2) для любого x D( y ) выполняется равенство f ( x ) f ( x ) (для нечетной функции – условие f ( x ) f ( x ) ).
Сумма двух четных (нечетных) функций – четная (нечетная) функция. Произведение двух четных или двух нечетных функций – четная
функция. Произведение четной и нечетной функции – нечетная функция.
График четной функции симметричен относительно оси Oy, график
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3.2. Сложная и обратная функции. Определение функции, заданной параметрически.
Пусть на некотором множестве D определена числовая функция
u x и Eu – множество ее значений. Далее, пусть на подмножестве
множества E u задана функция y f и , т.е. D( f ( u )) E( u ) . Обозначим
через Dy множество тех значений x D , для которого ( x ) D( f ( u )) . Тогда
13
каждому x Dy можно поставить в соответствие одно вполне определенное
значение y E( f ( u )) из множества значений функции y f u . В этом случае говорят, что на множестве Dy задана сложная функция аргумента х, которая записывается так: F( x ) f x . При этом функция u x называется внутренней, а функция y f и – внешней. Часто сложную функцию называют также композицией функций f или , или суперпозицией этих
функций и обозначают F f .
Отметим, что функция y f х является отображением множества
D y E y . Пусть это отображение является взаимно однозначным (т.е. каждому элементу y E f ставится в соответствие единственный элемент
x D f , и наоборот). Тогда мы можем сказать, что на множестве E( y ) задана функция со значениями в D( y ) . А именно, каждому элементу y E f
ставится в соответствие элемент x D f , такой, что y f х . Эта функция
называют обратной к функции y f х и обозначают x f 1 y или просто
f 1 . Из этого определения следует, что если функция f 1 является обратной
по отношению к функции f, то функция f является обратной по отношению к
1
f 1 , т.е. f 1 f . На этом основании функции f и f 1 называют взаимнообратными. Не всякая функция f имеет обратную. Функция, имеющая обратную, называется обратимой.
Нетрудно обосновать следующую теорему.
Теорема. Если числовая функция y f х монотонна на D( y ) , то существует обратная функция x f 1 y . При этом, если f – возрастает, то и
f 1 возрастает, а если f – убывает, то f 1 убывает.
Сформулируем общее правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y f х , заданной аналитически:
1. решая уравнение y f х относительно х, находим x f 1 y ;
2. меняя обозначения переменной х на у, а у на х, получаем функцию
у f 1 х , обратную к данной.
Пример. Показать, что функция y 5 x 4 имеет обратную, и найти ее
аналитическое выражение.
Решение. Функция y 5 x 4 монотонно возрастает на R и следовательно, имеет обратную. Решив уравнение y 5 x 4 относительно х, полу-
14
чим x f 1 y =
y4
. Поменяв местами обозначения, найдем обратную
5
x4
функцию y =
.
5
Отметим, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y x .
Теперь мы познакомимся с параметрическим способом задания
функций, который часто применяется в различных областях приложения маx ( t )
тематики. Говорят, что пара функций
, где t D R – параметр, заy
(
t
)
дает параметрически функцию
y F( x ) , если t 1( x ) , при этом
F( x ) ( 1( x )) . Отметим, что часто невозможно найти аналитическое выражение для y F( x ) , но мы можем применять к исследованию такой функции методы математического анализа (исследуя функции ( t ) и ( t ) .
§4. Числовая последовательность и ее предел
Определение 1. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т.е. функция, которая каждому натуральному числу по определенному закону ставит в соответствие некоторое
действительное число an f n, an R , n N (т.е. областью определения
этой функции является множество N натуральных чисел).
Числовая последовательность обозначается annN , где an – формула,
позволяющая найти n-й член последовательности по его номеру n (эту формулу еще называют формулой общего члена последовательности, или коротко – общим членом последовательности), либо предъявляется список значений a1 , a2 , a3 ,..., an , .... , заключенный в фигурные скобки, который позволяет
определить общий член последовательности.
1
1 1 1 1 3 5 7 2n 1
Например, 1, , , ,..., , , , ,...
.
n nN 2 3 4 2 4 6 8 2n nN
Определение 2. Пусть A, R и 0 . Интервал ( A ; A ) называется окрестностью точки А и обозначается О А . Число при этом называется радиусом окрестности.
Определение 3. Число А называется пределом (конечным) числовой
последовательности annN , если для любого (сколь угодно малого) положи15
тельного числа найдется такое натуральное число N (зависящее от ),
что для всех номеров n N члены этой последовательности удовлетворяют
неравенству a n A . В этом случае пишут A lim an .
n
Другими словами, какое бы малое 0 , мы ни выбрали, всегда найдется номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся в
окрестности точки А. Если последовательность имеет конечный предел, то
ее называют сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела, – расходящейся.
Используя кванторы, определение предела последовательности можно
записать так: lim an A 0 N N : n N an A .
n
Отметим, что если an A , то lim an A , т.е. предел константы есть эта
n
константа.
1
0.
n n
Пример. Доказать, пользуясь определением, что lim
1
. Надо доказать, что 0 такой номер
n
1
1
N , что для всех n N будет выполнятся неравенство A , т.е. .
n
n
Решение. Итак, А = 0; an
Решая это неравенство относительно n и, учитывая, что n N , получим:
1
1
n , откуда N 1 , где x обозначает целую часть числа x.
2n 1
2.
n
n
Упражнение. Докажите, пользуясь определением, что lim
§5. Свойства сходящихся последовательностей
Определение. Последовательность an называется ограниченной, если
существует такое число M > 0, что an М для номера n N .
Упражнение 1. Покажите, что последовательность an будет ограниченной, если такое число M > 0 и такой номер n0 1 , что an М для
n n0 .
Теорема 1. Если последовательность an сходится, то она ограничена:
lim an A M R : an M ,n N .
n
Доказательство. Пусть an сходящаяся последовательность. Так как
16
A lim an , то для любого 0 такой номер n0 N , что для любого n n0
n
выполняется неравенство an A . Тогда для любого 0 имеет место
неравенство an an A A an A A A , т.е. an A при, что и
означает ограниченность последовательности (см. упр 1).
Следствие. Если последовательность неограниченна, то она не имеет
предела (расходится).
Замечание. Ограниченность последовательности, является необходимым условием сходимости последовательности, но не достаточным. Например, последовательность
1 1; 1; 1; ... является ограниченной расхоn
дящейся последовательностью.
Теорема 2. Если lim an 0 , то такое число М > 0 и такой номер
n
n0 N , что an M для всех n n0 (в этом случае говорят, что последовательность a n отделена от нуля).
Доказательство. Пусть A lim an . Возьмем
n
A
0 . По определе-
2
нию такой n0 N , что при n n0 выполняется неравенство an A
Так как всегда an A A an , то при n n0 имеем an
A
A
.
2
.
2
1
Следствие. Если lim an 0 , то последовательность ограничена.
n
an
Теорема 3. (монотонность предела). Пусть A lim an , B lim bn и наn
n
чиная с некоторого номера n0 выполняется неравенство
an bn .
(1)
Тогда A B .
Доказательство. Предположим противное:
A B . Возьмем
BA
0 . По определению номер n1 N такой, что для n n1
4
B A
выполняется неравенство an A
, откуда
4
B 3A B A
an
.
(2)
4
2
Аналогично, номер n2 N такой, что для n n2 выполняется неравен17
ство bn B
B A
, откуда
4
A 3B B A
.
(3)
4
2
Положим n3 max n0 , n1 , n2 . Тогда для n n3 должны выполняться все три
bn
неравенства (1)-(3). Но из (2) и (3) следует, что bn an , а это противоречит
(1). Итак, предположение, что A B , привело нас к противоречию. Следовательно, A B .
Следствие. Если A lim an и начиная с некоторого номера n0 N выn
полняется неравенство an М , где M R , то A M .
Замечание. Неравенство (1) может быть и строгим, но это не будет гарантировать строгое неравенство A B в теореме 3.
Упражнение 2. Приведите пример, иллюстрирующий это замечание.
Теорема 4. (алгебраические свойства пределов). Пусть A lim an ,
n
B lim bn . Тогда: 1) lim an lim an A для R ;
n
n
n
2) lim an bn lim an lim bn A B ;
n
n
n
3 ) lim an bn lim an lim bn A B ;
n
n
n
an A
an nlim
.
n bn
lim bn B
4 ) Е с л и B 0 , lim
n
Замечание. Свойства 1)-2) в теореме объединяются одним названием –
свойство линейности. Его можно сформулировать так:
lim an bn lim an lim bn A B для , R .
(4)
n
n
n
Доказательство. Докажем 1)-2), т.е. равенство (4), при 0 . Нам
надо показать, что для 0 такой номер n0 , что при n n0 будет
выполнено
an bn A B .
Берем 0 . Положим 1
2
и выберем n1 так, чтобы было
an A 1
для n n1 . Положим 2
2
(5)
и выберем n2 так, чтобы было
18
(6)
bn B 2
(7)
для n n2 . Возьмем n0 max n1 , n2 (следовательно, будут выполняться неравенства (6) и (7) одновременно) и для n n0 имеем:
an bn A B = an A bn B an A bn B <
< 1 2
, т.е. выполняется неравенство (5).
2 2
Докажем свойство 3. Нам надо показать, что для 0 такой но-
мер n0 , что при n n0 будет выполнено
an bn AB .
(8)
Из теоремы 1 следует, что такое число M 1 0 , что для всех n N будет
bn M 1 . Тогда по следствию из теоремы 3 получим
B M1 .
(9)
Аналогично, такое число M 2 0 , что для всех n N будет a n M 2 , а по
следствию из теоремы 3 получим:
A M2.
Берем 0 . Положим 1
2М 1
(10)
и определяем n1 такое, чтобы было
an A 1
при n n1 . Положим 2
2М 2
(11)
и определяем n2 такое, чтобы было
bn B 2
(12)
при n n2 . Возьмем n0 max n1 , n2 (следовательно, будут выполняться неравенства (9)-(12) одновременно) и при
n n0
имеем:
anbn AB
= an bn Abn Abn AB = bn an A Abn B bn an A A bn B <
< M 11 M 2 2
, т.е. выполняется неравенство (8).
2 2
Доказательство свойства 4) рекомендуется провести самостоятельно по
следующей схеме: вначале, используя следствие из теоремы 2, доказать, что
1 1
lim , затем использовать уже доказанное свойство 3).
n bn
B
Замечание. Если lim an lim bn 0 , то
n
n
19
an
называется неопределенноbn
0
стью вида . Аналогично определяется неопределенность вида ,
0
0 , , 1 . Вычисление пределов для этих неопределенных выраже
ний называют раскрытием неопределенностей.
Используя теорему 4, п. 3 и пример из §4, имеем: для любого m N
m
1
1
lim m lim 0 .
n n
n n
Упражнение 3. Используя это равенство и теорему 4 найти
2n3 3n 4
lim 3
.
2
n n 2n 4
§6. Достаточное условие существования предела последовательности.
Определение 1. Последовательность a n называется монотонно неубывающей
(невозрастающей),
an1 a n an1 a n .
если
для
n N
выполняется
Теорема. Если последовательность a n монотонно неубывающая (невозрастающая) и ограничена, то существует lim an .
n
Доказательство. Т.к. последовательность ограничена, то ее точные
верхние и нижние грани (см. п.1.4, §1). Рассмотрим случай неубывающей последовательности (второй случай рассматривается аналогично с использованием понятия inf ). Положим A supan и покажем, что lim an =А, т.е. для
n
0
такой номер n0 N , что для n n0 будет выполняться нера-
венство a n A . Берем 0 . По определению точной верхней грани
такое ak E , что ak E . Положим n0 k номеру этого члена последовательности. Тогда для всех n n0 в силу монотонного неубывания последовательности a n имеем an an0 A . С другой стороны, опять же по определению верхней грани an A . Таким образом, для n n0 имеем:
A an A , т.е. a n A .
§7. Определение числа е.
1 n
Теорема. Для последовательности an 1 существует предел
n
20
n
1
lim1 e , где число е удовлетворяет условию 2 e 3 .
n
n
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
n
1
n 1 n n 1 1 n n 1n 2 1
an 1 1
1! n
2! n 2
3!
n3
n
n n 1n 2 n n 1 1
+
,
(1)
n!
nn
где выражение k! k k 1k 2 2 1 называется факториалом. В правой
части равенства (1) числитель каждого слагаемого делим на соответствующую степень числа n и получаем:
1
1
1
1
2
1
1
2
n 1
.
(2)
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2! n 3! n n
n! n n
n
Из равенства (2) следует, что
an 2, n N .
(3)
Кроме того, последовательность a n монотонно неубывающая, т.е.
an1 an , n N .
(4)
Это вытекает из того, что при увеличении номера от n до n+1, во-первых, в
сумме (2) добавится одно положительное слагаемое, а во-вторых, в правой
части (2) каждое выражение в скобках увеличится. Далее замечаем, что каждое выражение в скобках в правой части (2) меньше 1, а каждый факториал
k! 2 k 1 . Тогда из (2) получаем:
1 1
1
, n N .
(5)
an 1 1
2 22
2 n 1
Так
как
по
формуле
суммы
геометрической
прогрессии
n
1 1
1
1 0,5
1
1 2 n 1
2 n 1 2 , то из (5) имеем:
2 2
1 0,5
2
2
an 2, n N .
(6)
Из (3) и (6) следует, что последовательность a n ограничена. Тогда, с учетом
(4), теорема из §6 гарантируют существование предела lim an e , а из (3) и
n
(6) и теоремы 3§5 вытекает, что 2 e 3 .
Замечание. Известно, что число е – иррациональное, его значение с
точностью до 10 9 равно е = 2,718281828 (легко запомнить: 1828 – год рождения Л.Н.Толстого). Показательная функция y e x называется экспонентой.
§8. Предел функции.
Понятие предела функции является одним из ключевых в математическом анализе.
Пусть x0 R – точка числовой прямой, и функция f x определена в
21
некоторой окрестности O x0 , 0 , этой точки за исключением, может
быть, самой точки x0 (понятие окрестности конечной точки было введено в
определении 2 §4). Отметим, что чем меньше значение , тем меньше значение радиуса окрестности .
Определение 1. Число А называется пределом функции f x при
x x0 , если для 0 (сколь угодно малого) можно указать такое число
0 , что для x O ( x0 ) O x0 , x x0 , выполняется неравенство
f x A . В этом случае пишут A lim f x . Данное определение предела
x x0
функции в точке называют определением предела по Коши или на языке
" " .
Это определение можно перефразировать так. Какую бы малую окрестность O ( A ) мы ни взяли, найдется малая окрестность O ( x0 ) из области
определения функции, что для x O ( x0 ) , x x0 , значение f ( x ) O ( A ) .
Отметим, что чем меньше значение , тем меньше значение радиуса окрестности .
Определение 2. Число А называется пределом функции f x при
x (при x ), если для сколь угодно малого 0 можно указать
такое число L L 0 , что для x L (для x L ), принадлежащего области определения функции, выполняется неравенство f x A . В этом
случае пишут: lim f x ( lim f x ).
x
x
Это определение можно перефразировать так. Какую бы малую окрестность O ( A ) мы ни взяли, найдется достаточно большое число L 0 , что
для всех x L ( x L ) из области определения функции значение
f ( x ) O ( A ) . Отметим, что чем меньше значение , тем больше значение
L 0.
Чтобы объединить эти два определения, рассмотрим следующие понятия. Окрестностью точки называется интервал , О . Для
точки окрестностью называется интервал , О . Тогда общее определение предела выглядит так.
Определение 3. Пусть x0 – или конечная точка числовой прямой, или
, или . Число А называется пределом функции f x при x x0 , если
для 0 (сколь угодно малого) можно указать такое число 0 , что
для x O ( x0 ) , x x0 , принадлежащего области определения функции, выполняется неравенство f x A .
Отметим, что если f ( x ) A ( const ) в окрестности O ( x0 ) , то
lim f x A .
x x0
Для лучшего понимания определения предела функции имеет смысл
разобрать формулировку его отрицания. А именно, Число А не является
пределом функции f x при x x0 , если существует такое 0 , что для
22
0 в окрестности O ( x0 ) найдется такое значение аргумента x, принадлежащего области определения функции, что f x A .
Пример. Доказать, что lim a x 0 для a ( 0;1 ) .
x
Решение. Итак, здесь x0 , f ( x ) a x , A 0 . Берем 0 . Надо
найти такое 0 , чтобы для всех x выполнялось неравенство
f x A , т.е. в нашем случае a x . Решая последнее неравенство, имеем: x log a . Т.о., искомое log a .
1
Упражнение. Доказать, что lim a 0 для a 0 .
x x
§9. Свойства функций, имеющих предел.
Определение. Функция f x называется ограниченной в окрестности
точки x0 (конечной или бесконечной), если существует такое число С 0 и
такая окрестность O x0 , что f x определена в этой окрестности за исключением, может быть, самой точки x0 , и для любого x O x0 , x x0 , выполняется f x C .
Теорема 1. Если функция имеет предел при x x0 , то она ограничена
в окрестности точки x0 .
Следствие. Если функция не ограничена в окрестности точки x0 , то
она не имеет предела при x x0 .
Теорема 2. Если lim f x 0 , то существует такое число С 0 и такая
x x0
окрестность O x0 , что для всех x O x0 , x x0 , выполняется неравенство
f x C (в этом случае говорят, что в данной окрестности функция отделена от нуля).
1
Следствие. Если существует lim f x 0 , то функция
ограничена
x x0
f x
в окрестности точки x0 .
Теорема 3. (монотонность предела) Если f x g x для любого
x O x0 , x x0 , и lim f x А , lim g x B , то A B .
x x0
Следствие.
Если
x x0
f x M
для
любого
x O x0 ,
x x0 ,
и
lim f x А, то A M .
x x0
Теорема
4.
(алгебраические
lim f x А , lim gx B . Тогда:
x x0
x x0
1) lim f x lim f x A, для R ;
x x0
x x0
23
свойства
пределов)
Пусть
2) lim f x gx lim f x lim gx A B ;
x x0
x x0
x x0
3) lim f x g x = lim f x lim gx A B ;
x x0
x x0
x x0
lim f x
f x x x0
A
4) если B 0 , то lim
.
x x0 g x
lim gx B
x x0
Доказательства теорем 1-4 проводятся совершенно аналогично доказательствам соответствующих теорем §5. Фактически, слова «существует такой
номер n0 » следует заменить на « такая окрестность O x0 », слова «для
любых номеров n n0 » – на слова «для любых x O x0 , x x0 ,», слова «положим n0 max n1 , n2 » – на слова «положим O x0 = O1 x0 O 2 x0 » и
т.д. Например, проведем доказательство теоремы 2 (сравните с доказательстA
вом теоремы 2 §5). Пусть lim f x A 0 . Возьмем 0 . По определеx x0
2
нию предела существует такая O x0 , что для x O x0 , x x0 , выполняется неравенство
f x A
A
. Т.к. всегда
f x A A f x , то для
2
x O x0 , x x0 , выполняется
f x
A
. В качестве упражнения прове-
2
дите аккуратные доказательства теорем 1,3 и 4, пользуясь соображениями,
изложенными выше.
§10. Достаточные условия существования предела функции.
Теорема (предел сжатой функции). Пусть
f x g x h x , x O1 x0 , x x0 ,
(1)
и
lim f x lim hx A .
x x0
x x0
(2)
Тогда существует lim gx А .
x x0
Доказательство. Надо показать, что для любого 0 существует такая окрестность O x0 , что для любого x O x0 , x x0 , выполняется неравенство g x A . Берем 0 . Из условия (2) теоремы и определения
предела функции следует: существует такая O 2 x0 , что для x O 2 x0 ,
x x0 , выполняется неравенство f x A . Это вместе с (1) дает:
g x A f x A , x O 2 x0 O1 x0 , x x0 .
Аналогично, существует такая O3 x0 , что
24
(3)
g x A h x A , x O3 x0 O1 x0 , x x0 .
(4)
Положим O x0 O 2 x0 O3 x0 O1 x0 . Тогда любого x O x0 , x x0 ,
выполняются оба неравенства (3) и (4), то есть g x A .
Следствие. Пусть последовательности a n и bn и функция g x таковы, что: 1) an g x bn при n N и x n,n 1 ;
2) существует lim an lim bn A . Тогда lim g x A .
n
n
x
Доказательство. Рассмотрим ступенчатую функцию f x , которая
определена так: f x an при x n,n 1, n N . Покажем, что существует
lim f x A , т.е. для 0 существует такая окрестность O , что для
x
x O будет выполнено неравенство f x A . Так как lim an A ,
n
то для 0 существует такой номер n0 , что при n n0 выполняется неравенство a n A . Тогда положим O = On0 и будем иметь: если
x O (т.е. x n0 ), то значение f x совпадет с одним из an , где n n0 ,
откуда f x A a n A . Аналогично, рассматривая ступенчатую функцию h x , которая определяется так: h x = bn при x n,n 1, n N , доказываем, что существует lim hx A . Так как из условия 1) следствия вытекаx
ет, что f x g x h x при всех x 1, то по теореме о сжатой функции существует lim g x A .
x
§11. Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f x называется непрерывной в точке x 0 , если:
1) она определена в этой точке (в частности из этого следует, что x 0 – конечная точка);
2) lim f x = f x0 .
(1)
x x0
Требование 2) данного определения можно переформулировать следующим
образом
lim f x0 x = f x0 .
(2)
x 0
Если в точке x 0 нарушено хотя бы одно из условий, то функция называется
разрывной в точке x 0 , а точка x 0 – точкой разрыва.
Сформулируем теперь алгебраические свойства функций, непрерывных в
точке.
Теорема. Пусть функции f x и g x непрерывны в точке x 0 . Тогда:
1) для R функция f x непрерывна в точке x 0 ;
2) функция f x g x непрерывна в точке x 0 ;
3) функция f x g x непрерывна в точке x 0 ;
25
4) если g x0 0 , то функция
f x
непрерывна в точке x 0 .
g x
Все эти свойства вытекают из теоремы 4 §9. Докажем, например, свойство 2).
lim f x g x
Функция f x g x определена в точке x 0 и
= lim f x lim g x = f x0 g x0 . Следовательно, функция
x x0
x x0
x x0
f x g x
не-
прерывна в точке x 0 .
В дальнейшем нам понадобится следующее очевидное утверждение (для
обоснования следует использовать (2), это предлагается сделать самостоятельно).
Определение. Полным приращением функции f x в точке x 0 , которое
соответствует приращению аргумента x x x 0 , называется величина
f x0 ,x f x0 x f x0 .
Лемма. Функция f x непрерывна в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует lim f x0 ,x 0 .
x 0
Комментируя это утверждение, можно сказать, что функция f x является непрерывной в точке x 0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому
приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение
функции f x0 ,x .
Теорема (непрерывность обратной функции). Пусть функции f x и
f 1( y ) взаимно обратны, y0 f ( x0 ) , и функция f x непрерывна в точке x0
и монотонна в некоторой окрестности O( x0 ) . Тогда функция f 1 y непрерывна в точке y 0 .
Доказательство. Для определенности, будем считать, что функция
f x монотонно возрастает в окрестности O( x0 ) . Случай убывания рассматривается аналогично.
Нам надо доказать, что lim f 1 y = f 1( y0 ) x0 , т.е. для 0 сущеy y0
ствует такая окрестность O y0 , что для любого y O y0 , принадлежащего
области определения обратной функции f 1( y ) , выполняется неравенство
f 1( y ) x0 .
Возьмем малое 0 . По условию теоремы выполняется (1). Тогда для
0 существует такая окрестность O1 x0 , что для любого x O1 x0 выполняется неравенство f ( x ) y0 , т.е. f ( x ) O y0 . Радиус окрестности
1 уменьшим, если это необходимо, чтобы 1 и O1 x0 O( x0 ) . Последнее неравенство означает, что функция f x монотонно возрастает в окрест
ности O1( x0 ) . Положим m f ( x0 1 ) , M f ( x0 1 ) . В силу условия
2
2
26
монотонного возрастания имеем: m y0 M , а в силу выбора 1 функция
f x монотонно возрастает на отрезке [ m; M ] .
Выберем такое малое 0 , чтобы окрестность O y0 целиком лежала
внутри интервала ( m; M ) . По теореме из п. 3.2 §3 функция f 1( y ) монотонно возрастает в этой окрестности. Тогда для любого y O y0 , принадлежащего области определения обратной функции f 1( y ) , имеем
m yM
f 1( m ) f 1( y ) f 1( M )
x0
1
f 1( y ) x0 1 .
2
2
1
(напомним, что 1 ), что и требовалось.
2
Еще отметим важный факт. Из определения непрерывности и теоремы 2
§9 получаем важное свойство: если функция f x является непрерывной в
точке x 0 и f ( x0 ) 0 ( f ( x0 ) 0 ), то существует такое число С 0 ( C 0 ) и
такая окрестность O x0 , что для всех x O x0 выполняется неравенство
f ( x0 ) C ( f ( x0 ) C ).
Тогда f 1( y ) x0
§12. Непрерывность сложной функции.
Теорема (о пределе сложной функции). Пусть lim f x A , функция
x x0
F y определена в окрестности точки А и непрерывна в этой точке. Тогда
lim F f x F A ,
существует
предел
сложной
функции
т.е.
x x0
lim F f x F lim f x .
x x0
x x0
Доказательство. Для доказательства надо показать: для любого 0
существует такая окрестность O x0 , что для x O x0 , x x0 , выполняется неравенство F f x F A . Из условия теоремы имеем:
1) для 0 существует такая O x0 , что для x O x0 , x x0 , выполняется неравенство f x A ;
2) lim F y F A (по определению непрерывности), т.е. для любого
y A
0 существует такая O A , что для y O A выполняется неравенство
F y F A .
Теперь берем произвольно 0 и по нему выбираем так, чтобы при
y A выполнялось неравенство F y F A , т.е. F( x ) O F( A ) .
Далее, по этому (уже выбранному) числу 0 выбираем O x0 , чтобы при
x O x0 , x x0 , выполнялось неравенство f x A . Тогда для
x O x0 , x x0 , имеем неравенство f x A y A , откуда следует
27
неравенство F f x F A F y F A .
Следствие (непрерывность сложной функции). Если функция y f x
непрерывна в точке x 0 , а функция F y непрерывна в точке y0 f x0 , то
функция F f x непрерывна в точке x 0 .
§13. Непрерывность элементарных функций
Равенство (1) в определении непрерывности функции в точке (§11)
можно рассматривать, как правило нахождения предела непрерывной функции. Сейчас мы рассмотрим такие функции, про которые известно, что они
являются непрерывными в любой точке своей естественной области определения. Кроме того, эти функции наиболее часто встречаются в приложениях
математики.
Базовыми элементарными функциями (БЭФ) будем называть следующие функции: 1, x, sin x, , ln x .
Теорема 1. (о непрерывности БЭФ). БЭФ непрерывны в каждой точке
своей области определения.
Доказательство. Надо показать (см. лемму §11), что для каждой базовой элементарной функции выполняется равенство lim f x0 ,x 0 для любого
x 0
x 0 из области определения. Проведем доказательство для 1, sin x, ln x .
1. Пусть f x 1 , тогда f x0 , x 0 для x0 R . Поэтому, очевидно,
lim f x0 ,x 0 .
x 0
2. f x sin x . Т.к. по известной формуле f x0 ,x sinx0 x sin x0
x
x
2 cos( x0
) sin
и sin x x (см. рис., sin x < M x A дуга(M x A ) x ), то
2
2
0 f x0 ,x x . Отсюда по теореме о пределе сжатой функции lim f x0 ,x 0
x 0
для x0 R .
3. f x ln x . Вначале докажем неравенство
ln(1 x ) 2x , x ( 0; 0,5 ) .
(1)
1
1
1
2
Выберем такое n N , что
x , тогда
2 x . Из доказательстn 1
n
n n 1
n
1
ва теоремы §7 следует, что для n N выполняется 1 e , откуда
n
28
1
1
1
1
ln1 . В результате имеем: ln(1 x ) ln1 2x .
n n
n n
Теперь докажем, что
ln(1 x ) 4x , x ( 0; 0,25 ) .
(2)
Используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии, имеем:
1
x2
2
3
1 x x x ... 1 x
1 2x , т.к. для x ( 0; 0,25 ) выполня1 x
1 x
x2
ется
x (проверьте!). Тогда с учетом (1) получаем:
1 x
1
ln(1 x ) ln
ln(1 2x ) 4x . Теперь возьмем x0 0 и малое по модулю
1 x
x
значение x (например, x 0 ). Тогда с учетом (1) и (2) мы имеем:
4
2 x
x 4 x
f x0 ,x lnx0 x log a x0 ln1
, т.е. 0 f x0 ,x
. Отсюда
x0
x0
x0
по теореме о пределе сжатой функции lim f x0 ,x 0 для x0 0 .
x 0
Отметим, что из данной теоремы и теоремы о непрерывности обратной
функции (§11), непрерывными в любой точке своей области определения являются функции y e x , y arcsin x , y arccos x , y arctgx .
Определение. Элементарными функциями называются функции, которые получаются из БЭФ путем применения конечного числа следующих
операций: сложение, умножение (функции на функцию и функции на число),
деления функций, операции суперпозиции и операции взятия обратной функции (для монотонных функций).
Например, y cos x – элементарная функция. Действительно,
cos x sin x , т.е. она получается путем композиции базовой элементар2
ной функции sin x и функции u x , которая получается из БЭФ 1 и x
2
путем умножения на число
и операции сложения.
2
Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке
своей естественной области определения.
Доказательство. Если элементарная функция получена из базовых
элементарных функций путем применения конечного числа операций сложения, умножения и деления, то теорема следует из алгебраических свойств
функций непрерывных в точке (см. §11). Если же она получена из базовых
элементарных функций путем применения конечного числа операции суперпозиции, то применяем следствие из §12. Если же она получена из базовых
элементарных функций путем применения конечного числа операции взятия
обратной функции (для монотонных функций), то применяем теорему о не29
прерывности обратной функции из §11.
Замечание. Равенство (1) из определения непрерывности в §11 можно
рассматривать, как правило вычисление предела от элементарной функции,
если предельная точка x 0 входит в ее естественную область определения.
Это следует из теоремы 2. Проблемы возникают, когда или предельная точка
x 0 не входит в область определения, или x0 , или x0 .
Проиллюстрируем данное замечание на примерах.
2 x2 6x 20
Пример 1. Найти lim 2
. Предельная точка x0 5 не входит в
x 5 x 4 x 5
2 x 2 6 x 20
область определения элементарной функции y
, так как в этой
x2 4x 5
точке знаменатель обращается в нуль. Выполним следующие преобразования
2 x 2 6 x 20 2 x 5x 2 2 x 2
2 x 2
. Функция
тоже элементарная
x 1x 5 x 1
x2 4x 5
x 1
и точка x0 5 входит в ее область определения. Таким образом, имеем
lim
x 5
2x 2 14 7
.
2
x 5
x 5
x 1x 5
x 4x 5
x 1
6 3
Пример 2. Найти lim ln cos x . Функция y ln cos x элементарная и
2 x 2 6 x 20
lim
2x 5x 2
lim
x 0
точка x0 0 входит в ее область определения. Таким образом, имеем
lim ln cos x = ln cos 0 ln1 0 .
x 0
§14. Односторонние пределы функции. Односторонняя непрерывность.
Классификация точек разрыва.
14.1. Односторонние пределы функции. Односторонняя непрерывность.
Иногда приходится рассматривать предел функции при условии, что
точка х приближаясь к точке x 0 , остается либо правее, либо левее ее. Это
может быть, в частности, когда область определения функции находится левее (или правее) точки x 0 .
Определение. Число А называется пределом слева (пределом справа)
функции f x при x x 0 , если для 0 существует такая окрестность
O x0 , что для x O x0 , такого, что x x0 ( x x 0 ), выполняется неравенство f x A . Предел слева обозначается так: f ( x0 0 ) lim f x A .
x x0 0
Предел справа обозначается это так: f ( x0 0 ) lim f x A .
x x0 0
Пределы слева и справа функции f x называются односторонними
пределами. Отметим, что пределы lim f x и lim f x фактически являx
ются односторонними пределами.
30
x
Теорема. Предел lim f x существует тогда и только тогда, когда суx x0
ществуют и равны между собой оба односторонних предела, причем
lim f x f ( x0 0 ) f ( x0 0 ) .
x x0
Доказательство этой теоремы оставляем в качестве упражнения.
Пример. Функция f x задана описательным способом: f ( x ) e x при
x ( ;1 ) и f ( x ) x 2 при x [1; ) . Найти f (1 0 ) и f (1 0 ) .
Для решения замечаем, что на интервале ( ;1 ) функция f x совпа1
дает с элементарной функцией ex . Тогда f (1 0 ) lim e x . На интервале
x 1
e
(1; ) функция f x совпадает с элементарной функцией x 2 . Тогда
f (1 0 ) lim( x 2 ) 3 . Кстати, т.к. f (1 0 ) f (1 0 ) , то общий предел
x 1
lim f x не существует.
x 1
Определение. Функция f x является непрерывной справа (непрерывной слева) в точке x0 R , если lim f x f ( x0 ) ( lim f x f ( x0 ) ).
x x0 0
x x0 0
Необходимость таких понятий возникает, когда мы, например, изучаем
функцию, заданную на отрезке [ a;b ] . В этом случае говорят, что функция
непрерывна в точке a, если она непрерывна справа в этой точке.
Из определения следует, что функция, рассмотренная в примере 1, является непрерывной справа, т.к. f (1 ) 3 , и не является непрерывной слева.
14.2. Классификация точек разрыва.
Если функция f x не является непрерывной в точке x0 , то эта точка
называется точкой разрыва функции f x . Различают следующие случаи:
10. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если существует lim f x , но либо f x не определена в точке x0 , т.е. x0 D f , либо
x x0
lim f x f x0 .
x x0
20. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют оба односторонних предела, но они не равны между собой.
При этом величина f x0 0 f x0 0 называется скачком функции в
точке x0 .
30. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода, если в этой
точке хотя бы один из односторонних пределов не существует (как конечное
значение).
Таким образом, если x0 точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить односторонние пределы.
Замечание. Следует обратить внимание на то, что в определении устранимого разрыва требуется существование lim f x . В этом случае мы моx x0
31
жем доопределить функцию f x в точке x0 по правилу f x0 lim f x и
x x0
добиться того, чтобы эта точка стала точкой непрерывности (т.е. устранить
разрыв). Такая ситуация невозможна в случаях разрыва 1-го или 2-го рода,
т.к. по теореме из п. 14.1 предел lim f x не будет существовать.
x x0
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию, заданную описа 1
x 3 , x 1
тельным способом: f x x2 , 1 x 2 . Найти ее точки разрыва, указать их
2 x, x 2
характер.
Решение. Т.к. на каждом из промежутков ;1,1; 2,2, функция
совпадает с элементарными функциями, то на этих интервалах она непрерывна, за исключением точки х 3 (которая не входит в область определе1
ния функции
). Кроме того, точками «подозрительными» на разрыв бух3
дут точки, в которых «соединяются» различные элементарные функции, т.е.
точки х = 1 и х = 2.
1) Исследуем поведение функции в окрестности точки х 3 . Для это1
го вычислим односторонние пределы: lim f x lim
(так как
x30
x30 x 3
x 3 , то знаменатель стремится к нулю, но при этом остается меньше нуля.
Поэтому f x не ограничена в окрестности точки x 3 и по следствию из
теоремы 1 §9 конечного предела нет). Из этого уже следует (предел справа
можно и не вычислять), что в точке x 3 функция f x имеет разрыв второго рода.
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 1. Для этого вы1
1
числим (см. пример 1) односторонние пределы lim f x lim
;
x10
x10 x 3
4
2
lim f x lim x 1 . Так как односторонние пределы существуют и конечx1 0
x 1 0
ны, но не равны между собой, то в точке х = 1 функция f x имеет разрыв
первого рода, т.е. график функции претерпевает скачок при переходе через
эту точку, равный 3 / 4 .
3) Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 2. Для этого вычислим односторонние пределы f 2 0 lim x2 4 ; f 2 0 lim 2 x 4 .
x 2 0
x 2 0
Так как односторонние пределы существуют и равны значению f 2 22 4 ,
то это означает, что в точке х = 2 функция f x непрерывна.
Для лучшего понимания данного примера сделайте схематичный график рассмотренной в нем функции (используя результаты исследования).
32
§15. Функции, непрерывные на отрезке.
Функция f x называется непрерывной на множестве M R , если
она непрерывна в каждой точке этого множества. Записывается это так:
f x C M .
Теорема 1. Пусть функция f x непрерывна на отрезке a ,b , т.е.
f x Ca, b . Тогда:
1) существует x1, x2 a,b такие, что f x1 min f x , f x2 max f x ;
xa ,b
xa ,b
2) f x принимает на отрезке a ,b все промежуточные значения между
max и min, т.е. если число f x1 , f x2 , то существует такое
x0 a ,b, что f x0 .
Следствие 1. Если f x Ca, b , то f x ограничена на a ,b .
Следствие 2. Если f x Ca, b и f a f b 0 , то существует по крайней мере одна точка x0 a ,b такая, что f x0 0 , если f x Ca, b и монотонна на a ,b , то существует единственная точка x0 такая, что f x0 0 .
Пункт 1-й этой теоремы можно сформулировать так: функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений (подумайте, почему это утверждение может оказаться неверным, если слово отрезок заменить на слово интервал).
Определение. Функция f x называется равномерно непрерывной на
отрезке a ,b , если для 0 можно указать такое 0 , что для
x1, x2 a,b ,
из
неравенства
x1 x2
следует
неравенство
f ( x1 ) f ( x2 ) .
Теорема 2. Функция, непрерывная на отрезке, является равномерно непрерывной на этом отрезке.
Мы приводим эти две теоремы без доказательства, т.к. это выходит за
рамки программы математики для технических вузов. Но в то же время, в
дальнейшем они будут использоваться. Разобрать доказательства этих теоерм
можно по учебникам по математическому анализу Г.М.Фихтенгольца и
Л.И.Кудрявцева.
§16. Бесконечно большие функции. Обобщенное определение предела. Замена переменной в пределе.
16.1. Бесконечно большие функции. Обобщенное определение предела.
Определение. Запись lim f x (или lim f x ) означает, что
x x0
x x0
для любого числа M 0 существует такая окрестность O x0 , что для
x O x0 , x x0 , выполняется неравенство f x M (или f x M ), т.е.
f x OM M , (или f x OM , M ).
33
Аналогично определяются понятия f ( x0 0 ) , f ( x0 0 ) ,
f ( x0 0 ) , f ( x0 0 ) Рассмотрим теперь самое общее определение
предела.
Определение 1. Запись A lim f x ( x0 и А могут быть конечными или
x x0
бесконечными) означает, что для любой окрестности O A существует такая окрестность O x0 , что для x O x0 , x x0 , выполняется условие
f x O A .
Определение 2. Функция f x называется бесконечно большой при
x x0 , если lim f x (бесконечно большой при x x0 0 , если
x x0
f ( x0 0 ) , бесконечно большой при x x0 0 , если f ( x0 0 ) ).
1
Пример 1. f x = является бесконечно большой при x 0 .
x
1
Пример 2. Функция из примера 2 в §14 g( x )
бесконечно
x 3
большая при x 3 .
16.2. Замена переменной в пределе.
Теорема. Пусть lim f x A , а функция x t и значение t0 таковы,
x x0
что lim t x0 , причем существует такая окрестность O t0 , что t x0
t t0
при t O t0 , t t0 . Тогда существует lim f t A .
t t0
Доказательство. Надо доказать, что для любой окрестности O A
существует такая окрестность O t0 , что для t O t0 , t t0 , выполняется:
f t O A . По условию теоремы имеем (см.определение 1 п. 16.1):
1) для O A существует такая O x0 , что
2) для O x0
f ( x ) O A , x O x0 , x x0 ;
существует такая O1 t0 , что
(1)
t O x0 , t O1 t0 , t t0 .
(2)
Теперь, берем произвольную окрестность O A . Выбираем O x0 так,
чтобы выполнялось (1). Затем по этой окрестности O x0 выбираем O1 t0
так, чтобы выполнялось (2). Положим O t0 O1 t0 O t0 . Тогда для
t O t0 , t t0 , будет, во-первых, x t x0 , а во-вторых, x t O x0 .
Тогда для этих t будет: f t f x O A . Теорема доказана.
Замечание. В случае, когда x0 бесконечно удаленная точка, условие
« t x0 при t O t0 , t t0 » конечно же является излишним.
В качестве иллюстрации метода замены переменной рассмотрим простой пример:
34
1
x
t
1
lim sin t 0 0 lim sin t sin 0 0
(3)
x
t 0
x
при x
Хотя этот пример проще сделать с использованием теоремы о пределе слож1
1
ной функции §12: lim sin sin lim sin 0 0 , обратите внимание на выx
x x
x
кладки (3), т.к. подобный прием будет часто использоваться в §§18 и 19.
§17. Бесконечно малые (б.м.) функции.
17.1. Основные определения.
Вначале отметим очевидный факт: lim x 0 lim x 0 .
x x0
x x0
Определение. Функция x называется бесконечно малой при x x0 ,
если lim x 0 , но ( x ) 0 в некоторой окрестности точки x0 , если
x x0
x x0 . Записывают это так x o(1 ) =0 при x x0 , что читается как «о малое от 1».
Например, sin x o(1 ) при x 0 , но sin x o(1 ) при x .
2
Б.м. функции принято обозначать строчными буквами греческого алфавита: x , x , x и т.д.
Пусть x и x б.м. функции при x x0 .
10. Функции x и x называются эквивалентными б.м. функциями,
x
если lim
1 . Записывается это так: x ~ x при x x0 .
x x0 x
20. Функции x и x имеют одинаковый порядок малости при
x
x x0 , если lim
С 0, . Записывается это как x O x при
x x0 x
x x0 , а читается это как «О большое от x ».
30. Функция x имеет более высокий порядок малости по отношению
x
к x при x x0 , если lim
0 . Записывается это как x o x
x x0 x
при x x0 , а читается как «о малое от x ».
40. Б.м. функция x называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости ( k 0 ) по сравнению с б.м. функцией x при x x0 , если
x
x и k x одного порядка малости, т.е. lim
С 0, . Записываетk
x x0 x
ся это как x O k x при x x0
35
17.2. Важные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Пусть x o(1 ) и x o(1 ) при x x0 . Тогда:
1) x x o(1 ) при x x0 ;
2) если функция f x ограничена в окрестности точки x0 (см. определение §9), то f x x o(1 ) при x x0 .
3) x x o x при x x0 и x x o x при x x0 .
Доказательство. 2) Так как 0 f x x M x 0 при x x0 , то
по теореме о пределе сжатой функции §10 lim f x x 0 . Пункты 1) и 3)
x x0
обосновать самостоятельно.
Теорема 2 (свойства эквивалентных б.м.). Пусть x o(1 ) , x o(1 ) ,
1x o(1 ) и 1x o(1 ) при x x0 . Тогда:
1) если x o x при x x0 , то x x ~ x при x x0 ;
2) если 1 x ~ x и 1x ~ x при x x0 , то x ~ x при x x0 ;
3) если 1 x ~ x и 1 x ~ x при x x0 , то x x o x при
x x0 и x x o x при x x0 ;
4) если 1x ~ x и 1x ~ x при x x0 , то x ( x ) ~1x 1x
при x x0 и x ( x ) ~ 1x 1x при x x0 ;
x
5) если 1 x ~ x и 1 x ~ x при x x0 , и lim 1 A , то
x x0 1x
x
lim
A.
x x0 x
Доказательство. Используем алгебраические свойствам предела (см.
§9) и определения п. 17.1.
x x
x
x
1) lim
lim
1 lim
1 0 1 1;
x x0
x x0 x
x
x x0 x
x
x
x
x 1x
2) lim
lim
lim 1 1 1 1;
lim
x x0 x
x x0 1x ( x )
x x0 1x x x0 ( x )
x x
x
x
3) lim
lim
1 lim
111 0 ;
x x0
x x0 x
x
x x0 x
x
x x x
x
x
5) A lim 1 lim 1
lim 1 lim
x x0 1x
x x0 1x x x
x x0 x x x0 1x
x
x
x
= lim
. Пункт 4) обосновать самостоятельно.
1 1 lim
lim
x x0 x
x x0 x
x x0 x
Замечание. Теорема 2 является одним из важных инструментов вычисления пределов с использованием эквивалентных б.м. функций. Основной
набор эквивалентностей, которые применяются наиболее часто, приведен в
§§18 и 19.
36
§18. Первый замечательный предел.
18.1. Первый замечательный предел.
sin x
Теорема. Существует lim
1.
x0 x
Доказательство. Рассмотрим единичную окружность. Т.к. функция
sin x
четная, то рассмотрим ее только на интервале 0, . Возьмем
x
2
дугу AM единичного круга, соответствующую централь-ному углу, радианная мера которого равна х. Тогда OA 1 , OP sin x , PM cos x , AT tg x .
Т.к. площадь сектора ОАМ удовлетворяет неравенству SOMA Sсек. SOTA ,
1
1
1
2
т.е. OA OP OA x OA AT , то мы имеем: sin x x tg x . Разделив
2
2
2
x
1
sin x
это неравенство на sin x 0 , получим: 1
или cos x
1
sin x cos x
x
sin x
(помним, что x 0, ). В силу четности функций
, cos x последнее
2
x
двойное неравенство справедливо и для x ,0 . Т.о., для
2
sin x
x ,0 0, выполняется неравенство cos x
1 . Т.к.
2
2
x
f x
lim cos x 1 , то согласно теореме о пределе сжатой функции §10 имеем
x 0
sin x
1.
x0 x
С учетом понятий, рассмотренных в п. 17.1, теорему можно сформулировать так: sin x ~ x при x 0 .
lim
18.2. Главные следствия из 1-го замечательного предела (1-я часть
таблицы эквивалентности).
Следствие. Пусть x o(1 ) при x x0 . Тогда имеют место следующие эквивалентности при x x0 :
1) sin x ~ x ; 2) tg x ~ x ; 3) arcsin x ~ x ; 4) arctg x ~ x .
Доказательство. Докажем первые три эквивалентности (используя
доказанную теорему и метод замены переменной из §16).
37
t x
sin x
lim sin t 1
1. lim
t 0
t 0 t
x x0 x
при x x0
tg x
sin x
1
2. lim
lim
1.
x x0 x
x x0 x
cos x
t x
z arcsin t
arcsin x
arcsin
t
lim
lim z 1 .
3. lim
t 0
z 0
t 0
z 0 sin z
x x0
x
t
при x x0
при t 0
Используя данное следствие и теорему 2 п. 17.2. получаем ряд полезных при вычислении пределов соотношений. Пусть x o(1 ) при x x0 .
Тогда при x x0 :
1) sin ( x ) arctg ( x ) ~ ( ( x ))2 tg( x ) sin ( x ) arctg( x ) ~ ( x ) ;
2) tg ( x ) sin ( x ) o( ( x )) .
Пример 1. Найти порядок малости функции tgx sin x относительно
б.м. x при x 0 (см. п. 17.1).
Решение. Как мы видели выше, функция tgx sin x при x 0 является
б.м. более высокого порядка, чем x. Выполним преобразование и воспользуx x
2 x
2
sin
2
1 cos x
2
2
2
емся теоремой 2 п. 17.2: tgx sin x sin x
sin x
~x
cos x
cos x
cos x
x3
x3
. Т.к. lim cos x 1 , то ( tgx sin x ) ~ . Т.о., функция tgx sin x при
2 cos x
2
x 0
x 0 является б.м. 3-го порядка малости относительно б.м. x, т.е.
( tgx sin x ) O( x3 ) при x 0 .
Пример 2. Найти предел:
2
2 x
x4
4 x
2 sin
2
sin
1
1 cos x lim
2
lim
4 lim 4 2 4 lim 164 . Здесь мы ис12
2
2
2
6
x 0 x
x0 arctg x
x 0
x 0 x
4
tgx
x x
пользовали следствие из 1-го замечательного предела и теорему 2 п. 17.2: т.к.
x
6
x , x2 и б.м. при x 0 , то ( arctg 6 x )12 ~ ( 6 x )12 x2 , tg x2 ~ x2 и
2
x2
2 x
sin ~
при x 0 .
2 4
tgx sin x
Пример 3. Найти предел: lim
.
2
x0 x arcsin x
Решение. Приведем вначале ошибочное решение. Т.к. при x 0 имеtgx sin x
xx
ем tgx ~ x , sin x ~ x , arcsin x2 ~ x2 , то lim
lim 3 0 . Но хоро2
x0 x arcsin x
x 0 x
шо разобравшись с примером 1, решаем правильно:
38
tgx sin x
x3
lim
2
3 0,5 .
x 0 x arcsin x
x 0 2x
lim
§19. Второй замечательный предел.
19.1. Второй замечательный предел.
x
1
Теорема. Существует lim 1 e .
x
x
Доказательство. Для любого x 1 существует такое n N , что будет
1
1 1
выполнено неравенство n x n 1 , откуда
. Следовательно, для
n 1 x n
таких х и n будут выполнены два неравенства
n
n
x
1 1 1
(1)
1
1 1 ,
x
x
n 1
1
1
n
n 1
1
1
x
n 1
x
1
1 .
(2)
x
n
1 n1
1
Рассмотрим две последовательности an 1
и bn 1 .
n 1
n
По теореме из §7 и алгебраическим свойствам пределов имеем:
n
n 1
1
1
1 e
lim an lim 1
(3)
lim 1
: lim 1
e,
n
n
n
n 1 n n 1
n 1 1
n 1
n
1
1
1
lim bn lim 1 lim 1 lim 1 e 1 e .
(4)
n
n
n
n
n n n
Из неравенств (1) и (2) следует, что
x
1
an 1 bn , x n,n 1 , n N .
(5)
x
Выполнение условий (3), (4) и (5) позволит применить следствие из теоремы
x
1
о пределе сжатой функции §10, т.е. существует lim 1 e .
x
x
Замечание 1. Используя замену переменной в пределе и алгебраические свойства предела, имеем:
x 1 t
x
1t
1
t
1
1
1
1 t
lim 1 t
lim 1
lim1
lim
t 1 t
x
t
x
1 t t 2 t
при x
t 2 s
t
s 2
2
s
1
1
1
1
1 lim1
lim 1
lim 1 lim 1 e .
s
s s
t
s
t 2
s s s
при t
39
1
1
Замечание 2. Аналогично получаем: lim 1 xx e и lim 1 xx e .
x0 0
x0 0
Учитывая эти замечания 2-й замечательный предел можно сформулировать
x
1
1
так: lim 1 lim 1 xx e .
x
x x 0
19.2. Главные следствия из 2-го замечательного предела (2-я часть
таблицы эквивалентности).
Следствие. Если x o(1 ) при x x0 . Тогда имеют место следующие эквивалентности при x x0 :
1) ln 1 x ~ x ; 2) e x 1 ~ x .
Доказательство. Т.к. функция y ln x – непрерывна, то применим
теорему о пределе сложной функции ко 2-му замечательному пределу:
1
1
1 ln e ln lim 1 xx lim ln1 x .
(6)
x 0
x 0 x
Используя (6) и замену переменной в пределе, имеем:
t x
ln1 x
= lim ln1 t 1 , т.е. ln1 x ~ x при
lim
t 0
t 0 t
x x0
x
при x x0
x x0 . Вторую эквивалентность e x 1 ~ x докажите в качестве упражнения.
4x
1 x
Пример. Вычислить lim
.
x x 1
Решение. Обозначим через А величину этого предела (если он существует). Т.к. функция y ln x – непрерывна, то применим теорему о пределе
сложной функции:
4x
1 x
1 x
1 x
ln A ln lim
1
lim 4x ln
lim 4x ln1
x x 1
x
x 1
x 1 x
2
4x 2
lim 4x ln1
8.
lim
x
x x 1
x 1
2
Поэтому, исходный предел A e8 . Здесь мы использовали, что
o(1 )
x 1
2
2
при x , откуда ln1
при x .
~
x 1 x 1
ax 1
Пример. Вычислить lim
.
x0
x
x ln a o(1 )
ax 1
e x ln a 1
Решение. lim
lim
при x 0
ln a .
x 0
x 0
x
x
e x ln a 1 ~ x ln a
40
§20. Асимптоты графика функции.
Говорят, что прямая является асимптотой графика функции
y f ( x ) , если расстояние от точек некоторого подмножества 1 до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек этого подмножества от начала координат. В формульном виде это выглядит так. Обозначим R x2 f 2( x ) – расстояние от точки графика ( x, f ( x )) 1 до начала
координат, ( x ) – расстояние от этой точки до прямой . Тогда
lim ( x ) 0 .
R
(1)
Асимптоты позволяют, во-первых, более точно строить графики функций, а
во-вторых, более точно оценивать поведение функций в районе точек разрыва 2-го рода, и . Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.
20.1. Вертикальные асимптоты.
Теорема 1. Прямая x x0 является вертикальной асимптотой графика
функции y f ( x ) тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из односторонних пределов равен или .
Доказательство. Пусть прямая : x x0 является вертикальной асимптотой графика функции y f ( x ) . Тогда для точки ( x, f ( x )) расстояние
( x ) x x0 . По определению ( x ) 0 , а R . Т.к. из неравенства треугольника R 2( x ) f 2( x ) ( x ) (сделайте для себя чертеж для лучшего
понимания). Тогда f ( x ) при x x0 0 , откуда и следует, что, по
крайней мере, один из односторонних пределов равен или .
Пусть, по крайней мере, один из односторонних пределов равен
или . Для определенности считаем, что f ( x0 0 ) . Тогда, если
R , то x x0 0 , т.е. ( x ) x x0 0 . Это означает, что прямая x x0
является вертикальной асимптотой графика функции y f ( x ) .
Следствие. Если функция y f ( x ) не имеет точек разрыва 2-го рода,
то ее график не имеет вертикальных асимптот.
Отметим, что в примере 2 §14 прямая x 3 является вертикальной
асимптотой графика исследуемой в этом примере функции.
20.2. Наклонные асимптоты.
Прямая y kx b является наклонной асимптотой графика функции
y f ( x ) при x (при x ), если условие (1) выполняется в виде
lim ( x ) 0 ( lim ( x ) 0 ).
(2)
x
x
Если выполняются оба условия (2), то эта прямая называется двусторонней наклонной асимптотой. Если k 0 , то наклонная асимптота называется горизонтальной.
Теорема 2. Существование 2-х конечных пределов
41
f(x)
и b lim f ( x ) kx
x
x
x
является необходимым и достаточным условием того, что прямая y kx b
есть наклонная асимптота графика функции y f ( x ) при x .
Доказательство. Предварительно отметим очевидный факт:
lim g( x ) a lim g( x ) a 0 , который будем использовать в дальk lim
x
x
нейшем.
Пусть прямая : y kx b является наклонной асимптотой графика
функции y f ( x ) при x . Тогда для точки ( x, f ( x )) расстояние
kx b f ( x )
( x )
. Из определения (2) следует:
k2 1
b f( x)
f( x)
0 lim kx b f ( x ) lim x k
lim x k
. Тогда
x
x
x
x
x
x
f(x)
f( x)
lim k
0 , откуда получаем: lim
k . Опять используем (2):
x
x
x
x
0 lim kx b f ( x ) lim b ( f ( x ) kx ) , и это дает: lim f ( x ) kx b .
x
x
x
Обратно, пусть существуют оба предела (3). Тогда
b ( f ( x ) kx )
lim
0 lim ( x ) , т.е. выполняется требование (2), и пряx
x
k2 1
мая : y kx b является наклонной асимптотой графика функции y f ( x )
при x . Ясно, что по доказанному, если один из пределов (3) не существует, то никакая прямая y kx b не может быть наклонной асимптотой
графика функции y f ( x ) при x .
Теорема 3. Существование 2-х конечных пределов
f(x)
и b lim f ( x ) kx
(4)
x
x
x
является необходимым и достаточным условием того, что прямая y kx b
есть наклонная асимптота графика функции y f ( x ) при x .
k lim
Теорема 4. Существование 2-х конечных пределов
f(x)
и b lim f ( x ) kx
(5)
x
x
x
является необходимым и достаточным условием того, что прямая y kx b
есть двусторонняя наклонная асимптота графика функции y f ( x ) .
Доказательства теорем 3 и 4 полностью аналогичны доказательству
теоремы 2.
Следствие. Если lim f ( x ) b ( lim f ( x ) b , lim f ( x ) b ), то
k lim
x
x
42
x
прямая y b является горизонтальной асимптота графика функции y f ( x )
при x (при x , двусторонней горизонтальной асимптотой).
Обоснование следствия сделайте самостоятельно.
1
ex
Пример. Исследовать график функции y
на наличие асимптот.
Решение. Данная функция является элементарной с D( y ) { x 0 } .
Поэтому ее график может иметь только одну вертикальную асимптоту x 0
(см. следствие из теоремы 1). Находим f ( 0 0 ) lim
x 0 0
x 0 0 величина
1
ex
0 (т.к. при
1
является отрицательной бесконечно большой функциx
1
1
ей, т.е. ). Теперь находим f ( 0 0 ) lim e x (т.к. при x 0 0
x 0 0
x
1
величина является положительной бесконечно большой функцией, т.е.
x
1
). Тогда в силу теоремы 1 прямая x 0 является вертикальной асимx
птотой. Т.к. по теореме о пределе сложной функции §12
lim
x
1
ex
e
lim
1
x x
e0 1 , то прямая y 1 является (см. следствие из теорем
2-4) двусторонней горизонтальной асимптотой.
43
