А. И. Богданов СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ ГОДОГРАФОВ

А. И. Богданов
СОПРЯЖЕННЫЕ
ТОЧКИ
ГОДОГРАФОВ
ВОЛН
ОТРАЖЕННЫХ
Задача об определении формы неплоской отражающей по­
верхности и скорости в однородной изотропной среде, ее
покрывающей, может быть принципиально разрешена при на­
личии прямого и обратного или, что то же самое, встречных
удлиненных годографов отраженных волн. Эти годографы,
полученные при наблюдении прихода отраженных волн из двух
соседних пунктов взрыва методикой .двойного^ непрерывного
профилирования, должны иметь взаимные точки. Особенностью
прямого и обратного годографов является то, что некоторые
части их обусловлены приходом волн, отраженных от одного
и того же участка отражающей поверхности. Размеры и
взаимоотношения этих частей годографов и их форма опреде­
ляются конфигурацией общего для обоих годографов участка
отражающей поверхности в интервале наблюдения (фиг. 1).
Те две точки прямого и обратного годографов, которые
обусловлены приходом волн, возбужденных в разных пунктах
взрыва, но отраженных от одного и того же элемента отра­
жающей поверхности, назовем с о п р я ж е н н ы м и . Так, со­
пряженными будут точки Л и В, а также С и D (фиг. 1) прямого
и обратного годографов, отвечающие приходу волн, отрдженных от крайних точек Е и Ж общего для обоих годографов
участка ЕЖ отражающей поверхности. Сопряженными являются
также и взаимные точки прямого и обратного годографов.
Другими словами, отрезки АС и BD прямого и обратного
годографов, обусловленные приходом волн, отраженных от
одного и того же участка ЕЖ отражающей поверхности, можно
рассматривать как образованные совокупностью сопряженных
точек.
Форма участка отражающей поверхности и скорость в
покрывающей среде могут быть определены способом под­
бора [3]. Задаваясь рядом произвольных значений скорости
в покрывающей среде, по прямому и обратному годографам
отраженных волн можно построить (например, способом эллипсов
или полей времен) семейство отражающих площадок, отвечаю­
щих наблюденным годографам при различных значениях
скорости.
Эти значения скорости являются параметром семейств
площадок. Истинным значением скорости в покрывающей среде
будет то, при котором площадки двух семейств (построенных
по прямому и обратному годографам) совместятся одна с другой.
•Совместившиеся площадки будут представлять отражающую
поверхность, удовлетворяющую как прямому, так и обратному
годографам отражен­
ных волн. Полученное
решение является един­
ственным и однознач­
ным.
Этот путь решения
поставленной
задачи
кропотлив, трудоемок,
но универсален и при­
годен для любых форм
отражающей поверхно­
сти (не имеющей угло­
вых точек). Было бы
проще сначала опреде­
лить значение скорости
в среде, покрывающей
Фиг. I.
отражающую поверх­
/ — прямой годограф, полученный при взрыве в точ­
ность, и затем постро­
ке О'; 2 —обратный годограф, полученный при взры­
ве в точке (У; 3—части прямого и обратного годогра­
ить ее, либо сразу оп­
фов, обусловленные приходом волн, отраженных от
одного и того же участка отражающей поверхности;
ределить ее очертания
4—участок отражающей поверхности, давший прямой
годограф отраженных волн; 5 — участок отражающей или координаты ряда
поверхности, давший обратный годограф отраженных
ее точек без предвари­
волн; б — участок отражающей поверхности, общий
для части прямого и обратного годографов отраженных
тельного знания ско­
волн.
рости в среде, ее по­
крывающей, путем ее
исключения или параллельного определения по совокуп­
ности прямого и обратного годографов отраженных волн.
Зта задача может быть решена, и ее решение излагается
далее. Для частного случая совокупности отраженных точек —
взаимных точек —эта задача уже решена Н. Н. Пузыревым [2],
Ю. В. Ризниченко [3], В. Н. Рудневым [4J и Ю. А. Дикгофом [1].
Как прямой, так и обратный годограф, полученный от неплоской (криволинейной) отражающей поверхности, за исклю­
чением редких частных случаев, не является гиперболой.
Независимо от формы годографа почти все, за исключением
«способа кажущихся скоростей во взаимных точках, известные
приемы определения скорости в покрывающей отражающую
поверхность среде по годографу отраженных волн в рассмат­
риваемом случае не могут быть использованы, так как выведены
в предположении плоской отражающей поверхности.
4
Недостатком способа кажущихся скоростей является, воцервых, то, что для определения скорости в. покрывающей
среде используются лишь только две взаимные сопряженные
точки встречных годографов, и, во-вторых, то, что для опре­
деления скорости используются кажущиеся скорости.
Являясь производными величинами, кажущиеся скорости
. определяются по годографам недостаточно точно, и ошибки
; в их определении
^ дают
погрешность
< как в определении
^ скорости, так и в опS ределении координат
/ точек отражающей
поверхности. Избе­
жать необходимости
использовать кажу­
щиеся скорости для
определения скоро­
сти в среде, покрыва­
ющей отражающую
поверхность, и коор­
динат
точек
по­
верхности, имеющей
неплоскую (криво\линейную)
форму,
принципиально не­
возможно. Но точ'ность
определения
скорости и коорди­
нат точек отража­
ющей поверхности
фт. 2.
можно существенно
0/x,.z,)
повысить, если эти
определения вести не
по двум взаимным
точкам встречных годографов, а по большему числу пар
сопряженных точек прямого и обратного годографов. Для того
чтобы это определение можно было произвести, необходимо
найти точку обратного годографа, сопряженную с заданной точ­
кой прямого годографа, или наоборот. Эта задача может быть
решена следующим образом.
Даны прямой и обратный годографы отраженных волн,
имеющие взаимные точки, т. е. отвечающие приходу волн,
отраженных от одноименной отражающей поверхности.
На прямом годографе (фиг. 2) дана точка А с координа­
тами хд и /д. Кажущаяся скорость в точке А равна УД. За
начало системы координат возьмем точку О', соответствующую
положению пункта взрыва прямого годографа. Тйчка О", со­
ответствующая пункту взрыва обратного годографа, находится
на расстоянии L от точки О' на оси абсцисс. Линия наблюдений
плоская. Отражающая поверхность криволинейная. Среда,
сокрывающая отражающую поверхность, однородная, изотропная
и характеризуется неизвестным нам значением скорости v.
Требуется определить на обратном годографе отраженных
волн координаты х^ и t^ точки В, сопряженной с точкой А
прямого годографа, координаты хо и Zo точки О отражающей
поверхности, отвечающей сопряженным точкам Л и В, и
значение скорости v в среде, покрывающей отражающую
поверхность. Следует заметить, что для нахождения точки В,
лежащей на обратном годографе, сопряженной с заданной
точкой А прямого годографа, достаточно определить только
одну ее координату: либо х^, либо t^, так как вторая координата
определится формой обратного годографа отраженных волн.
Для вывода уравнения координат х^ и /^ точки В, сопря­
женной с заданной точкой А, через координаты Хд и /^ точки А
и значения кажущейся скорости v\ в ней воспользуемся
выражениями, данными Ю. В. Ризниченко [3] для координат
Хо и ZQ точки О, находящейся на отражающей поверхности
и давшей приход отраженного от нее луча в точку А' (фиг 2),
лежащую на дневной поверхности. Для отраженного луча,
пришедшего в точку А' из пункта взрыва О' и отразившегося
от точки О, фиктивным пунктом взрыва будет являться точка 0^
с координатами х^ и z^. Из обозначений, приведенных на фиг 2,
видно, что координаты фиктивного пункта взрыва х^ и 2^ равны
следующим выражениям:
Xi = XA — vtA sin I А,
(1)
Zi = VtA COS lA,
(2)
sin iA=^i.
(3)
а
где
Угол наклона cp касательной к отражающей поверхности
в точке О может быть найден из уравнения
^ g ^ - ^ =
cos/д
'
(4)-
в правых частях всех этих четырех уравнений имеется
лишь одна неизвестная нам величина v, равная скорости в по­
крывающей среде.
Из фиг. 2 следует далее, что координаты XQ И ZO точки
отражения О равны следующим выражениям:
зсо = ^ + f c o s 9 ' = = - Y - + Atg(M 4-9')cos9',
(5)
так как
а
(б)
Далее из фиг. 2 следует, что
Zi
У<д cos 1д
hcos(p = -Y =
(7)
2
Подставляя в уравнение (5) значения для Xi и hcos<p из
уравнений (1) и (7), получим
^А ~ " ' л ^'" ' л
Хо =
2
" ' д ^°5 *А
'
2
tg(/A + 9') =
= "2- + -Y- fcos /А tg (lA + ^) — smiA].
(8)
Найдем выражение для tg{iA + <p)'
• sin f,
vt.
,
,.
,
.
tgf^ + t g , ,
•*g'A+
cosi
Уд
1-tg'A-
- sin /д
cos / ,
Произведя необходимые преобразования, будем иметь:
—7— COS /д
tg(iA + <p) =
(9)
1
г - sin / ,
Подставляя полученное выражение для tg(iA + 9) в выраже­
ние (8) для Хо, получим
—г- cos2 i .
vt.
Хо =
sinu
А
1
г- sin 1л
После преобразования будем иметь
,
ХО =
1 / ^А ,
"'А^
. .
(10)
ХА
vt
• sin //
Подставляя полученное выражение для Хо в выражение (6)
и произведя преобразования, получим следующее выражение
для Zo:
Zi,=
cos I,
vt:
(11)
vt.
•sin I A
Для абсциссы Хд точки В обратного годографа, сопряжен­
ной с заданной точкой А прямого годографа, легко вывести
следующее уравнение:
Хв s= хб —Zo tg iB = Xo — 2о tg (i + (p),
(I2)
где / — угол падения и отражения сейсмического луча, пада­
ющего в точку отражения О из пункта взрыва О" и прихо­
дящего в точку В с абсциссой х^, лежащую на дневной по­
верхности.
Найдем выражение для tg (/ Ф (р), определив предварительно
выражение для угла i. Из фиг. 2 видно, что
igW
(13)
9 ' ^ - i + tgjtg,,
Из уравнения (13) после соответствующих преобразований
получим следующее выражение для tg/:
• + tg(p
tgi=-
L—Xo
(14)
tgp
Определив выражение для tg i, легко получаем выражение
для tgii + q>):
tg (/ + ?')=
?^
rzr^-
(I_tg2y)_2tg9.-
(15)
Zo
Подставляя полученное выражение для ig(i + ^) в уравне-,
ние (12), будем иметь следующее выражение для х^:
(1 —tgV) + 2tg9»
X„=Xo—Zo-
(I_tg2y)_2tg9>
L —XQ
(16)
Здесь Хо и Zo даются уравнениями (10) и (11), а tg95 —урав­
нением (4),
'8
Для ординаты /в точки В из фиг. 2 легко находим следу­
ющее выражение:
ts^\[V{L-x,Y
+ zl+V{x,-XB)^-Vzl).
(17>
Для удобства расчетов и пользования в дальнейшем полу­
ченными уравнениями выразим все линейные величины в до­
лях L и введем следующие обозначения:
L
sin 1А
= Р;
(18)
= К;
(19).
V
=
"А
у/в
L
^'
(20)
= Т.
(21).
Тогда для интересующих нас величин получим следующие
выражения:
(22>
/
^ =
1
р2 \
ггУ—к})^^-^
к ^ — ^
.-1-м
;
(23)
_:L.(i_tg2y)+2fg?>
(2б>
(l-tgV)-2tg9>
»- —
9-
TC--U-
(28)
По формулам (22—28) могут быть вычислены для различных
значений Р, К и М координаты точки В обратного годографа
{в долях L и /д), сопряженной с заданной точкой А прямого
годографа, а также координаты точки отражения О (также
в долях L).
В качестве примера на фиг. 3 и 4 приведены совмещенные
совокупности семейств кривых, дающих, с одной стороны, за­
висимость отношения ординат точек В и А [-f—j и абсциссы
точки В \—^), а с другой, — координат точек отражений для
двух постоянных значений Р (равных 2,0 и 0) и ряда зна­
чений К и М, являющихся параметрами совокупности семейств
кривых, охватывающих практически все возможные случаи со­
отношений этих величин. Так как фиг. 3 и 4 приводятся в ка­
честве иллюстрации, то сетка кривых семейств на них сильно
разрежена.
Построенные совокупности семейств кривых для различных
значений Р с параметрами /С и М не могут быть исполь­
зованы непосредственно для определения Хо, Zo и v, так как
в параметры К я М входит неизвестная нам величина v.
Однако на основании построенных семейств кривых зависимости
-т— от —j- с параметрами К а М представляется возможным
t
X
построить третье семейство кривых зависимости -— от -^
•с другим параметром, который содержал бы только известные
нам величины и не содержал неизвестную величину v. В качестве такого параметра может быть выбрано отношение -дт-,
равное
К "'А . "
"А и
(29)
М
L
v*j^
;в которое входят все известные нам величины.
Для рассмотренного нами выше случая Р = 2,0 семейство
f
V
1С
кривых зависимости _£. от 5. с параметром -^ будет пред'А
^
ч:тавлять собой совокупность кривых, веерообразно расходя^в = Р = 2,0 и ординатой
щихся из одной' точки с абсциссой —^
J0
1)
I)
11
HI-J
a.
?-l
^.l^-^i:.
«4>
—»-
-rO
— 1 —
7
/
s
/.
р-1
= 0,5. Это семейство кривых совместно с семейст­
вами кривых с параметрами К и М изображено на фиг. За.
Для случая Р — 0 семейство кривых зависимости-^ от - р
tA~
Р
^<
^J'
.Оз^
*А^
\^
•4?
.<bV
5
^Г
г
Фиг. 36.
К
с параметром -^ будет представлять собой совокупность криtB
вых, почти параллельных оси ——
, (фиг. 4а).
А
Совокупности этих трех семейств кривых зависимости
-J- ОТ -^-- С параметрами К, 'М и -д^- для различных значений
Р могут служить набором палеток, пригодных для определе­
ния параметров /< и М и, следовательно, величины v по сово­
купности прямого и обратного годографов отраженных волн.
Определив же параметры К п М, легко найти координаты
13
точек отражения, лежащих на отражающей поверхности, с
Z
х
помощью семейств кривых зависимости-^ ^'^~7~ ^ парамет­
рами К а М, построенных для
тех ^в
же значений Р, что и семейство кривых зависимости -,'в- от —j—
(фиг. 36 и 46). Правила
пользования набором таких палеток, вычисленных для различ­
ных значений Р, сводятся к следующему.
Даны прямой и обратный годографы отраженных волн, имею­
щие взаимные точки. Выбираем на прямом годографе точку А
X
с абсциссой f = -r~i равной тому значению Р, для которого
построена палетка. Определяем ординату этой точки /д и зна­
чение в ней кажущейся скорости «д. Перестраиваем обратный
14
годограф в осях координат Т~ и "ТГ в тех же вертикальном и"
горизонтальном масштабах, что и палетка, но отсчитывая х от
пункта взрыва О'. Накладываем палетку (вычерченную на
кальке) на перестроенный обратный годограф в осях координат
— и /7 и находим точку В обратного годографа, сопряжен-ную с заданной точкой А прямого годографа, как точку пересе­
чения обратного годографа с одной из кривых семейства с пара^
""J А
метром jvT ' величина которого равна ^
(все эти величины
для выбранной точки А нам известны). Снимаем с палетки
параметры Кв и Мв, отвечающие найденной нами точке В. По'
этим значениям параметров легко определяем координаты
-[- ^ -f^ точки отражения по семействам кривых зависимости.
- ^ и -^ с параметрами К я М для того же самого значения Р.
Таким образом, координаты точки отражения определяются без
знания скорости v. Последняя может быть найдена попутно из
определенных значений параметров Кв и Мв по формулам:
. = :^^^
(30>
'А
И
V = MBV*^.
(31)
где Кв И Мв — значения определенных нами параметров для.
найденной точки В.
Значения v, вычисленные по формулам (30) и (31), должны:
быть тождественными. Это может служить критерием надеж­
ности определения значения кажущейся скорости vX в выбран­
ной точке А прямого годографа.
С целью практического использования кривые зависимости
— от ~- и -Y- от - ^ рекомендуется построить для более
Ь А
Lt
Lt
LI
К'
дробных, чем на фиг. 3 и 4, значений параметров К, М к jrи в более крупном масштабе. Следует рекомендовать по­
строить их для четырех значений Р, равных 0; 0,5; 1,5 и 2,0,
встречающихся наиболее часто на практике. Эти семейства
кривых могут быть использованы как для определения точек
обратного годографа, сопряженных с заданными точками пря­
мого годографа, так и наоборот. В последнем случае палетки,
построенные на прозрачной бумаге, должны накладываться на
перестроенный прямой годограф своей обратной стороной.
Построение палеток для случая Р = 1,0 (взаимные точки)
не рекомендуется, потому что в этом случае семейства кривых
15
'в „^ ^в
зависимости -~от -у- превращаются в одну точку с абсцисX
t
•сой -р- = Р — 1 = 0 и ординатой ~ =• 1.
Координаты точки отражения и значение скорости v в среде,
покрывающей отражающую поверхность, в этом случае могут
•быть определены по номограмме Ю. А. Дикгофа с использо­
ванием кажущихся скоростей во взаимных точках. В случаях же
Рф1 значение кажущейся скорости VB В сопряженной точке
В обратного годографа является излишним и не используется
для определения координат точки отражения (вместо нее исполь­
зуется значение /в в этой точке). Определив положение точки В
и вычислив в ней значение кажущейся скорости, мы можем
•его использовать для контроля за точностью определения ко­
ординат точки отражения. Определенная нами точка отраже­
ния должна лежать на луче, проведенном из сопряженной
точки В под углом, синус которого равен отношению опре­
деленных нами значений v и VB. НО надобность в этом конт­
роле вряд ли имеется. Можно предполагать, что точность
•определения координат точки отражения по параметрам К и М
•будет выше, чем по параметру М и аналогичному ему пара­
метру - ^ .
в
Однако на основании рассмотрения семейств кривых зави­
симости -f— от —
. с различными параметрами следует, что
'А
'-•
ошибка в определении кажущейся скорости приведет к ошиб­
кам в определении параметров -jrr я М, что очень слабо по­
влияет на величину параметра К.
Применение изложенного выше способа для интерпретации
наблюденных годографов позволит в будущем более опреде.ленно судить о даваемой им точности, преимуществах и не­
достатках по сравнению с известными приемами и способами
обработки получаемых при работе по методу отраженных волн
экспериментальных годографов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Д и к г о ф Ю. А. Способ исключенных средних скоростей. Сб. «При•кладная геофизика'), вып. 8. Гостоптехиздат, 1952.
2. П узы р е в Н. Н. Определение средней скорости по взаимным точ­
кам на годографах отраженных волн. Сб. «Прикладная геофизика>>, вып. 1.
Гостоптехиздат, 1945.
3. Р и з н и ч е н к о Ю. В. Геометрическая сейсмика слоистых сред.
Тр. ИТГ АН СССР, т. II, 1946.
4. Р у д н е в В. Н. Вычисление средних скоростей по кажущимся скоро­
стям на взаимных точках. Сб. «Прикладная геофизика», вып. 1. Гостоптех­
издат .1945.