Дифференциальные и интегральные уравнения 205

Дифференциальные и интегральные уравнения
205
НЕКОРРЕКТНАЯ ПРОДОЛЖИМОСТЬ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
Сурков П.Г.1
e-mail: [email protected]
Задача продолжимости решения в положительном направлении
времени для дифференциальных уравнений с последействием рассматривалась многими авторами [1, 2, 3], а для линейных дифференциальных уравнений изучена достаточно полно. Для продолжимости
решения назад ситуация существенно меняется, так как продолжимость имеет место только для некоторого класса решений, называемых двусторонними [4].
В этом сообщении задача продолжимости решения назад рассматривается как некорректная. Для её решения используется метод
регуляризации Тихонова [5]. Подобный подход для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием развивался
в работе [6].
1. Постановка задачи. Рассматривается линейное стационарное дифференциальное уравнение с последействием
dx(t)
=
dt
Z0
dη(s)x(t + s), t ∈ R+ = (0, +∞),
(1)
−r
где x:[−r, +∞)→ Rn ; r > 0; элементы матричной функции η являются функциями с ограниченными изменениями на [−r,0]. Уравнение
(1) для начального момента t0 =0 и произвольной начальной функции ϕ ∈ C([−r,0], Rn ) имеет единственное решение x(·,ϕ):[−r,+∞) →
Rn , удовлетворяющее начальному условию x(s,ϕ)=ϕ(s) при s∈[−r,0]
[3]. Определим функциональные элементы решения xt(·,ϕ)=x(t+·,ϕ),
t>0, как элементы пространства C([−r,0], Rn ) [7]. Отображения
T (t):ϕ→xt (·,ϕ), t>0, являются непрерывными [3]. Они позволяют
корректно по заданной предыстории ϕ находить элементы истории
xt (·,ϕ) динамического процесса. Обратные отображения T −1 (t), t>0
1 Работа выполнена в рамках Программы ведущих научных школ России (проект НШ-7581.2006.1) и Программы поддержки фундаментальных исследований
Президиума РАН (№22 Процессы управления“).
”
206
Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции
не являются непрерывными и задача восстановления предыстории
по элементу истории является некорректной. При решении задачи
восстановления предыстории удобно от пространства C([−r,0], Rn )
перейти к сепарабельному гильбертовому пространству состояний
H = H[−r,0]= Rn × L2 ([−r,0], Rn ) со скалярным произведением
R0
hψ, ϕiH =ψ | (0)ϕ(0)+ ψ | (s)ϕ(s)ds. Это возможно, так как опера−r
торы T (t), t>0, допускают непрерывные расширения на пространство H [8]. При построении расширений обозначения операторов не
меняются.
Задача продолжения решения назад сводится к задаче восстановления предыстории по элементу истории динамического процесса. В
этой задаче исходная информация описывается функцией x = x(·) ∈
H формирующей элемент истории динамического процесса. Отвечающая ей предыстория ϕt ∈ H должна находиться как решение
уравнения
T (t)ϕ = x, t > 0.
(2)
Последнее уравнение имеет решение не для всех функций x(·) ∈ H,
так как произвольный элемент множества H может моделировать
элемент истории динамического процесса только приближенно. В
таком случае речь идёт о приближенном восстановлении предыстории процесса, т.е. о приближенном решении задачи продолжения
решения линейного стационарного дифференциального уравнения с
последействием в сторону убывания времени. Для решения поставленной задачи будем использовать метод регуляризации Тихонова.
2. Регуляризация задачи. В уравнении (2) функция x представляет собой произвольный элемент пространства H и её можно
рассматривать как информацию xδ = x о некоторой точной истории
xT , заданную с определённой погрешностью δ, hxT −xδ , xT −xδ i 6 δ 2 .
Выбор этой погрешности δ и определит значение регуляризующего
оператора (РО), определяющего приближенный элемент предыстории. Согласно методу А.Н. Тихонова [5], построения РО для уравнения (2) сводится к поиску элемента ϕα , минимизирующего функционал
M α [ϕ, xδ , t] = hT (t)ϕ − xδ , T (t)ϕ − xδ iH + αΩ[ϕ], α > 0.
Здесь Ω[ϕ] — стабилизирующий функционал следующего вида
(3)
Дифференциальные и интегральные уравнения
Ω[ϕ] = ϕ| (0)Gϕ(0) +
R0
207
(ϕ| (s)Qϕ(s) + ϕ̇| (s)P ϕ̇(s)) ds, где G, Q, P —
−r
положительно-определённые n× n-матрицы, а параметр α определяется как функция допустимой погрешности δ из уравнения невязки
hT (t)ϕα − xδ , T (t)ϕα − xδ iH = δ 2 .
(4)
Элемент ϕα минимизирующий функционал (3) определяет значение
регуляризующего оператора R(xδ , δ). При этом α определяется уравнением невязки (4). Решая задачу минимизации, получим систему
уравнений для нахождения элемента ϕα
(T ∗ (t)T (t)ϕ)(s) + α(Qϕ(s) − P ϕ00 (s)) = (T ∗ (t)xδ )(s),
(T ∗ (t)T (t)ϕ)(0) + α(Gϕ(0) + P ϕ0 (0)) = (T ∗ (t)xδ )(0),
ϕ0 (−r) = 0, s ∈ [−r, 0], t > 0.
(5)
Здесь T ∗ (t) — оператор, сопряженный к T (t).
3. Явная форма системы уравнений (5). Используя явные
представления операторов T (t) и T ∗ (t), уравнения (5) можно переписать в виде
Φ0 (t, θ)ϕ(0) +
R0
Φ(t, θ, s)ϕ(s)ds + αQϕ(θ) − αP ϕ00 (θ) = f (t, θ),
−r
Ψ0 (t)ϕ(0) +
R0
Ψ(t, s)ϕ(s)ds + αGϕ(0) + αP ϕ0 (0) = g(t),
−r
где z 0 (−r) = 0, θ ∈ [−r, 0], t > r и
Φ0 (t, θ) = K | (t, θ)V (t) +
R0
K | (t + s, θ)V (t + s)ds,
−r
Φ(t, θ, s) = K (t, θ)K(t, s) +
|
Ψ0 (t) = V | (t)V (t) +
Ψ(t, s) = V | (t)K(t, s) +
R0
−r
R0
−r
R0
f (t, θ) = K | (t, θ)ϕ(0) +
R0
−r
V | (t + s)V (t + s)ds,
V | (t + s1 )K(t + s1 , s)ds1 ,
−r
g(t) = V | (t)ϕ(0) +
K | (t + s1 , θ)K(t + s1 , s)ds1 ,
R0
K | (t + s, θ)ϕ(s)ds,
−r
V | (t + s)ϕ(s)ds, θ ∈ [−r, 0], t > r.
208
Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Рис. 1: Численный эксперимент
Здесь K(t, α) = V (t)η(α) − V (t − r)η(α − r) −
Rα
α−r
dV (z) dz z=t+s−α
η(s)ds,
V — матричная функция Коши, являющаяся матричным решением
уравнения (1), удовлетворяющим начальным условиям V (t) = 0, t ∈
[−r, 0), V (0) = In , где In — единичная матрица порядка n.
4. Пример. Рассмотрим скалярное уравнение x0 (t) = bx(t − 1),
t > −1, с заданной на интервале [−1, 0] историей xT (s) = bes + 1 −
be−1 . Значение регуляризующего оператора R(u, δ) соответствующей
некорректной задачи есть функция z1 , удовлетворяющая системе
дифференциальных уравнений
z10 = z2 , z20 = pq z1 +
1
αp ψ
−
1
αp x1 ,
ψ 0 = −bϕ, ϕ0 = bz1
(6)
с краевыми условиями
z2 (−1) = 0, ψ(−1) + αb(gz1 (0) + pz2 (0)) = x1 (−1),
ψ(0) = bϕ(0), ϕ(−1) = z1 (0),
(7)
где x1 (s) = −b2 es + (b2 e−1 − b)s + b2 (2 − e−1 ) + b, s ∈ [−1, 0]. При
решении краевой задачи (6), (7) применялся метод преобразования
Лапласа. Был проведён численный эксперимент, при этом в качестве параметров системы и стабилизирующего функционала были
Дифференциальные и интегральные уравнения
209
приняты значения p = 1, q = 3, g = 1, b = 1. Значение регуляризующего оператора было вычислено для различных значений параметра стабилизации α. Также были вычислены нормы разности
z1 − x−1 значения регуляризующего оператора R(u, δ(α)) = z1 и истинной предыстории x−1 в пространствах H = R × L2 ([−1, 0], R) и
C = C([−1, 0], R). При α = 10−5 имеем ||z1 − x−1 ||H = 0, 0060911 и
||z1 − x−1 ||C = 0, 0329383. На рис. 1 приведены графики, где по оси
абсцисс откладывается t, а по оси ординат z1 и x−1 . График функции
z1 изображён чёрным цветом, а функции x−1 — серым.
Список литературы
[1]. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения.
— М.: Мир, 1967. 548 c.
[2]. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972. 352 c.
[3]. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. 424 c.
[4]. Муровцев А.Н., Мышкис А.Д. О двусторонних решениях линейных дифференциально-функциональных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 2. C. 246–250.
[5]. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. 288 c.
[6]. Долгий Ю.Ф., Путилова Е.Н. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как
некорректная задача // Дифференциальные уравнения. 1993.
Т. 29, № 8. C. 1317–1323.
[7]. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. 211 c.
[8]. Долгий Ю.Ф. Характеристическое уравнение в задаче устойчивости периодических систем с последействием // Изв. Урал. Гос.
Ун-та. 1998. № 10. (Математика и механика. Вып. 1.) C. 34–43.