5 - Квант

Untitled-1
1
30.09.2009, 17:01
2-3.P65
1
30.09.2009, 17:15
ÑÅÍÒßÁÐÜ
ÎÊÒßÁÐÜ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ
2009
©
Þ
¹5
ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
%
!
Ó÷ðåäèòåëè — Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ
íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè
ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è
îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà),
ÈÔÒÒ ÐÀÍ
Èçäàòåëü – ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ
«Áþðî Êâàíòóì»
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Êîñìè÷åñêèé íàíîëèôò. Ê.Áîãäàíîâ
'
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è Ì2146–Ì2153, Ô2153–Ô2159
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2124–Ì2130, Ô2138–Ô2144
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Ñ.Ñ.Êðîòîâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí,
Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ,
À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü
ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ,
Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ
ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷,
Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ,
À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí,
Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ,
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà)
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ
À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé,
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
1970 ÃÎÄÀ
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
È.Ê.Êèêîèí
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ
01-18.p65
&
'
'
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü
!"
!$
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Çàãàäêè ìàãíèòíîé ñòðåëêè (ïðîäîëæåíèå). È.Ëååíñîí
Èîíîñôåðà è øóì öóíàìè. À.Ñòàñåíêî
!&
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Îá îäíîé íåòî÷íîñòè Èñààêà Íüþòîíà. Á.Êîíäðàòüåâ
"
"!
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ñíîâà î òåîðåìå Ìîðëåÿ. Ë.Øòåéíãàðö
Åùå äâà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ìîðëåÿ
"#
"&
"'
#
À.Í.Êîëìîãîðîâ
#%
#&
1
Ê Ì Ø
Çàäà÷è
Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8»
Ëåòíèé òóðíèð èìåíè À.Ï.Ñàâèíà
!
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé,
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ,
À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé,
Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé,
Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð
Òîâàðíûé çíàê «Æóðíàë «Êâàíò»
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ
ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì»
© 2009, ÐÀÍ,
Ôîíä Îñèïüÿíà, æóðíàë «Êâàíò»
Ïðÿìàÿ Ñèëüâåñòðà. Ñ.Òàáà÷íèêîâ, Â.Òèìîðèí
Ìíîãîëèêèé ïðîòîí. È.Èâàíîâ
Çàäà÷à Ýðäåøà – Ñåêåðåøà: ïðîäîëæåíèå èñòîðèè.
Â.Êîøåëåâ, À.Ðàéãîðîäñêèé
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ñîõðàíåíèå ïîëíîé ýíåðãèè â çàäà÷àõ òåðìîäèíàìèêè.
À.×åðíîóöàí
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XLIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå
Ìîñêîâñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2009 ãîäà
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
Èíôîðìàöèÿ (12)
Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé (27)
ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
I
II
III
IV
Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå È.Èâàíîâà
Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê
Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
 èçäàíèè æóðíàëà «Êâàíò» ôèíàíñîâîå ó÷àñòèå ïðèíèìàåò
ÎÀÎ «ÒÅÕÑÍÀÁÝÊÑÏÎÐÒ»
30.09.09, 16:31
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Ïðÿìàÿ Ñèëüâåñòðà
Ñ.ÒÀÁÀ×ÍÈÊÎÂ, Â.ÒÈÌÎÐÈÍ
Çàäà÷à
 1893 ãîäó Ñèëüâåñòð ïîñòàâèë òàêóþ çàäà÷ó [1]:
âåðíî ëè, ÷òî ñðåäè ëþáîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà
òî÷åê íà ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé,
íàéäåòñÿ ïàðà òî÷åê òàêàÿ, ÷òî ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
íèõ ïðÿìàÿ íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ òî÷åê äàííîãî ìíîæåñòâà? (Òàêàÿ ïðÿìàÿ, åñëè îíà ñóùåñòâóåò,
íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà.) Íåñìîòðÿ íà ýëåìåíòàðíóþ ôîðìóëèðîâêó, çàäà÷à îñòàâàëàñü íåðåøåííîé
40 ëåò. Âîçìîæíî, åþ ïðîñòî íèêòî íå çàíèìàëñÿ. Â
1933 ãîäó èçâåñòíûé âåíãåðñêèé ìàòåìàòèê Ýðäåø
ïåðåîòêðûë çàäà÷ó Ñèëüâåñòðà è, ïîñëå íåñêîëüêèõ
íåóäà÷íûõ ïîïûòîê åå ðåøèòü, ñîîáùèë åå ñâîåìó
êîëëåãå Òèáîðó Ãðþíâàëüäó (ïîçæå Ãðþíâàëüä ñìåíèë
ñâîþ ôàìèëèþ íà Ãàëëàè; îí áîëåå èçâåñòåí ïîä ýòîé
âòîðîé ôàìèëèåé). Ãàëëàè âñêîðå ðåøèë çàäà÷ó. Îäíàêî øèðîêóþ èçâåñòíîñòü îíà ïîëó÷èëà åùå ÷åðåç 10
ëåò, â 1943 ãîäó, êîãäà Ýðäåø îïóáëèêîâàë åå â
ïîïóëÿðíîì àìåðèêàíñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì æóðíàëå
American Mathematical Monthly [2]. Îäíîâðåìåííî ñ
çàäà÷åé â ðåäàêöèþ áûëî ïðåäñòàâëåíî è ðåøåíèå,
ïîëó÷åííîå Ãàëëàè. Âñêîðå â ðåäàêöèþ ïîñòóïèëî åùå
íåñêîëüêî ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ Áàêîì, Êåëëè, Øòåéíáåðãîì è Ñòèíðîäîì.
Îòâåò íà âîïðîñ Ñèëüâåñòðà ïîëîæèòåëüíûé:
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî íåêîëëèíåàðíîãî
(ò.å. íå ëåæàùåãî íà îäíîé ïðÿìîé) íàáîðà òî÷åê íà
ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ Ñèëüâåñòðà.
Ìû áóäåì íàçûâàòü ýòî óòâåðæäåíèå òåîðåìîé Ñèëüâåñòðà – Ãàëëàè. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå îïóáëèêîâàííîå
äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû (1941) ïðèíàäëåæèò
Ìåëüõèîðó. Èçâåñòíî ìíîæåñòâî äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû Ñèëüâåñòðà – Ãàëëàè, èñïîëüçóþùèõ èäåè èç ñàìûõ
ðàçíûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè. Ìû îáñóäèì íåêîòîðûå
èç ýòèõ èäåé. Âî-ïåðâûõ, ìû ðóêîâîäñòâóåìñÿ ïðèíöèïîì: ïîëåçíåé çíàòü ðàçëè÷íûå äîêàçàòåëüñòâà îäíîé è
Äæ.Ñèëüâåñòð
01-18.p65
Ï.Ýðäåø
2
òîé æå òåîðåìû, ÷åì îäèíàêîâûå äîêàçàòåëüñòâà ðàçíûõ òåîðåì. Âî-âòîðûõ, ðàçëè÷íûå èäåè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè ñâÿçàíû ñ ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè òåîðèÿìè, è ìû õîòèì äàòü ÷èòàòåëþ ïðåäñòàâëåíèå îá ýòèõ òåîðèÿõ.
Íåìíîãî èñòîðèè: Ñèëüâåñòð, Ýðäåø è Ãàëëàè
Ïðåæäå ÷åì ãîâîðèòü î ðåøåíèÿõ çàäà÷è Ñèëüâåñòðà,
ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î ñàìîì Ñèëüâåñòðå (1814–
1897). Ýòî ìàòåìàòèê, ïîëó÷èâøèé ôóíäàìåíòàëüíûå
ðåçóëüòàòû â òåîðèè èíâàðèàíòîâ, ïîëèëèíåéíîé àëãåáðå, òåîðèè ÷èñåë è êîìáèíàòîðèêå. Êñòàòè, Ñèëüâåñòðó ïðèíàäëåæèò òåðìèí «äåòåðìèíàíò». Êýëè è
Ñèëüâåñòð – âîò äâà ñàìûõ çíàìåíèòûõ ìàòåìàòèêà
âèêòîðèàíñêîé Àíãëèè.
Äæåéìñ Äæîçåô Ñèëüâåñòð ðîäèëñÿ â ñåìüå êóïöà
Àáðàõàìà Äæîçåôà. Ôàìèëèþ Ñèëüâåñòð îí âçÿë
ïîçæå. Ñèëüâåñòð ñìåíèë íåñêîëüêî øêîë è êîëëåäæåé, à çàòåì ó÷èëñÿ â Êåìáðèäæñêîì óíèâåðñèòåòå.
Òàì îí çàíÿë âòîðîå ìåñòî ïî ðåçóëüòàòàì î÷åíü
ñåðüåçíîãî âûïóñêíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ýêçàìåíà. Ýêçàìåí, â ïðèíöèïå, äàâàë ïðàâî íà ïîëó÷åíèå îäíîâðåìåííî ñòåïåíåé áàêàëàâðà è ìàãèñòðà. Íî Ñèëüâåñòð íå
ïîëó÷èë ýòè ñòåïåíè, òàê êàê îòêàçàëñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìàëüíîé ïðîöåäóðû, âêëþ÷àâøåé ïðèçíàíèå
êàíîíîâ àíãëèêàíñêîé öåðêâè. Íàó÷íûå ñòåïåíè Ñèëüâåñòð ïîëó÷èë òîëüêî ÷åðåç 4 ãîäà, óæå áóäó÷è ïðîôåññîðîì ôèçèêè â ëîíäîíñêîì óíèâåðñèòåòå.
Ñðàçó ïîñëå ýòîãî Ñèëüâåñòð ïåðååõàë â ÑØÀ, ÷òîáû
ïðåïîäàâàòü ìàòåìàòèêó â óíèâåðñèòåòå Âèðäæèíèè.
Òàì îí íå ïðîðàáîòàë è ïÿòè ìåñÿöåâ. Ïðè÷èíà óõîäà
ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî êîëëåãè íå ïîääåðæàëè åãî â
ñòðåìëåíèè âûãíàòü îäíîãî ñòóäåíòà.
Ïîñëå áåçóñïåøíîãî ïîèñêà ðàáîòû â ÑØÀ Ñèëüâåñòð âåðíóëñÿ â Àíãëèþ è ñòàë ðàáîòàòü ñïåöèàëèñòîì
ïî îöåíêå ôèíàíñîâûõ ðèñêîâ ñòðàõîâûõ êîìïàíèé.
Òîëüêî â 1855 ãîäó (ò.å. â
âîçðàñòå 40 ëåò) åìó óäàëîñü
ïîëó÷èòü ïîñòîÿííóþ àêàäåìè÷åñêóþ ïîçèöèþ â Êîðîëåâñêîé âîåííîé àêàäåìèè â
Âóëâè÷å.
Òàê âûøëî, ÷òî ðàñöâåò ìàòåìàòè÷åñêîé êàðüåðû Ñèëüâåñòðà ïðèøåëñÿ íà ïåíñèîííûé âîçðàñò.  1877–1883
ãîäàõ Ñèëüâåñòð âîçãëàâëÿë
îòäåëåíèå ìàòåìàòèêè â àìåðèêàíñêîì Óíèâåðñèòåòå
Äæîíñà Õîïêèíñà, îñíîâàë
«Àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòè÷åñÒ.Ãàëëàè
30.09.09, 16:31
ÏÐßÌÀß
êèé æóðíàë» (American Journal of Mathematics). Ñ
1883 ãîäà äî êîíöà æèçíè Ñèëüâåñòð ðóêîâîäèë êàôåäðîé ãåîìåòðèè â Îêñôîðäå. Çàäà÷à Ñèëüâåñòðà ïðèõîäèòñÿ íà ýòîò, ïîñëåäíèé, ïåðèîä åãî æèçíè. Íåäàâíî
ïîÿâèëàñü ïîäðîáíàÿ áèîãðàôèÿ Ñèëüâåñòðà [3].
Èìÿ Ïàëà Ýðäåøà (1913–1996), îäíîãî èç ñàìûõ
èçâåñòíûõ è âëèÿòåëüíûõ ìàòåìàòèêîâ 20 âåêà, êîíå÷íî, çíàêîìî ÷èòàòåëÿì; åìó çàäà÷à Ñèëüâåñòðà îáÿçàíà
ñâîåé çàïîçäàëîé ïîïóëÿðíîñòüþ. Çà ñâîþ æèçíü Ýðäåø îïóáëèêîâàë 1475 ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòàòåé (ýòî
àáñîëþòíûé ðåêîðä ñðåäè ìàòåìàòèêîâ âñåõ âðåìåí è
íàðîäîâ). Áîëüøèíñòâî ñòàòåé áûëî íàïèñàíî ñ ñîàâòîðàìè, êîòîðûõ íàñ÷èòûâàåòñÿ 511.  ñâÿçè ñ ýòèì áûëî
ââåäåíî «÷èñëî Ýðäåøà». ×èñëî Ýðäåøà äëÿ ìàòåìàòèêà – ýòî êîëè÷åñòâî ñîàâòîðîâ, îòäåëÿþùèõ åãî îò
Ýðäåøà. ×èñëî Ýðäåøà äëÿ ñàìîãî Ýðäåøà ðàâíî
íóëþ, ó åãî ñîàâòîðîâ ýòî ÷èñëî ðàâíî åäèíèöå, ó
ñîàâòîðîâ ñîàâòîðî⠖ äâîéêå, è ò.ä. Áîëüøèíñòâî
àêòèâíî ðàáîòàþùèõ ìàòåìàòèêîâ èìååò ìàëûå ÷èñëà
Ýðäåøà (íå áîëüøå 8). Íàïðèìåð, ÷èñëà Ýðäåøà
àâòîðîâ ýòîé ñòàòüè ðàâíû 3 è 5.
Òèáîð Ãàëëàè (1912–1992) áûë áëèçêèì äðóãîì
Ýðäåøà. Åùå çàäîëãî äî òîãî, êàê îíè âïåðâûå óâèäåëè
äðóã äðóãà, îíè áûëè çíàêîìû çàî÷íî, êàê ñàìûå
àêòèâíûå ó÷àñòíèêè êîíêóðñà ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷,
ïðîâîäèìîãî Âåíãåðñêèì ìàòåìàòè÷åñêèì æóðíàëîì
äëÿ ñòàðøåé øêîëû (ýòîò æóðíàë áûë áëèçîê ïî
ñîäåðæàíèþ ê æóðíàëó «Êâàíò»). Ãàëëàè ñòàë ïîáåäèòåëåì ïðåñòèæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû Ýòâåøà
è, êàê òàêîâîé, áûë ïðèíÿò â óíèâåðñèòåò âíå êîíêóðñà. Îëèìïèàäà Ýòâåøà – ñàìàÿ ñòàðàÿ â ìèðå, îíà
ïðîâîäèòñÿ ñ 1894 ãîäà ïî èíèöèàòèâå Âåíãåðñêîãî
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáùåñòâà, êîòîðîå âîçãëàâëÿë â òî âðåìÿ èçâåñòíûé ôèçèê áàðîí Ëîðàí Ýòâåø.
Ìíîãèå ïîáåäèòåëè ýòîé îëèìïèàäû ñòàëè â ïîñëåäñòâèè çíàìåíèòûìè ìàòåìàòèêàìè è ôèçèêàìè.
Êåëëè è Øòåéíáåðã
Òåïåðü, ïîñëå äîëãîãî èñòîðè÷åñêîãî ââåäåíèÿ, ïðèñòóïèì ê ìàòåìàòèêå. Ïîæàëóé, ñàìîå ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè ïðèíàäëåæèò
Êåëëè (îíî áûëî îïóáëèêîâàíî Êîêñòåðîì [4]).
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, äëÿ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà M òî÷åê íà ïëîñêîñòè ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà íå ñóùåñòâóåò.
Òîãäà íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âñå òî÷êè êîëëèíåàðíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Ðàññìîòðèì òðè
íåêîëëèíåàðíûå òî÷êè A, B è C èç ìíîæåñòâà M,
òàêèå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ïðÿìîé BC
ìèíèìàëüíî (ò.å. ñðåäè âñåõ ïàð «òî÷êà ìíîæåñòâà
Ì» è «ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè
ìíîæåñòâà Ì» âûáåðåì òàêóþ, â êîòîðîé ðàññòîÿíèå
îò òî÷êè äî ïðÿìîé ïîëîæèòåëüíî è ìèíèìàëüíî).
Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ BC ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå
òðè òî÷êè ìíîæåñòâà Ì, èíà÷å îíà áóäåò ïðÿìîé
Ñèëüâåñòðà. Òîãäà äâå èç ýòèõ òî÷åê, ñêàæåì  è Ñ,
ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè A íà ïðÿìóþ BC. Ïðîòèâîðå÷èå ïîëó÷àåòñÿ èç òàêîãî ôàêòà: ðàññòîÿíèå îò îäíîé èç ýòèõ òî÷åê äî ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé A ñ äðó-
01-18.p65
3
!
ÑÈËÜÂÅÑÒÐÀ
ãîé òî÷êîé, áóäåò
ìåíüøå, ÷åì ðàññòîÿíèå îò A äî ïðÿìîé
BC (ðèñ. 1).
Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå, ÷òî âûñîòà òóïîóÐèñ. 1
ãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà,
îïóùåííàÿ èç âåðøèíû òóïîãî óãëà, ìåíüøå âûñîòû, îïóùåííîé
èç âåðøèíû îñòðîãî óãëà. Äîêàæèòå òàêæå àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Ðåøåíèå Êåëëè î÷åíü ïðîñòî, íî îáëàäàåò òàêèì
íåäîñòàòêîì (ñêîðåå ýñòåòè÷åñêèì è ìåòîäîëîãè÷åñêèì, ÷åì ñîáñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêèì).  ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ïîíÿòèÿ òî÷êè, ïðÿìîé
è îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè. Åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå â
íåé íèêàê íå ôèãóðèðóåò. Íà ñàìîì äåëå, åñòü ìíîãî
ñïîñîáîâ îïðåäåëèòü «ðàññòîÿíèå» íà ïëîñêîñòè. Ýòè
ðàçíûå «ðàññòîÿíèÿ» îòëè÷íû îò ïðèâû÷íîãî åâêëèäîâà ðàññòîÿíèÿ, íî îáëàäàþò ïîõîæèìè (èëè äàæå
èäåíòè÷íûìè) ñâîéñòâàìè. Òî, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå, íå âàæíî äëÿ îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè
ìåæäó òî÷êàìè è ïðÿìûìè. Ìíîãèå èç àëüòåðíàòèâíûõ
«ðàññòîÿíèé» ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè. Êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì òàêîé âîïðîñ: ìîæíî ëè îáîéòèñü â äîêàçàòåëüñòâå
òåîðåìû òîëüêî ðàññìîòðåíèåì âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê è ïðÿìûõ, íî íå èñïîëüçîâàòü òàêèå ïîíÿòèÿ,
êàê ðàññòîÿíèå, óãîë, ïåðïåíäèêóëÿð è ò.ä. Îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî äîêàçàòü òåîðåìó, èñïîëüçóÿ òîëüêî îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè ìåæäó òî÷êàìè è ïðÿìûìè è
îòíîøåíèå ïîðÿäêà ìåæäó òî÷êàìè íà ïðÿìîé: òàêîå
äîêàçàòåëüñòâî ïðèíàäëåæèò Øòåéíáåðãó.
Óïðàæíåíèå 2. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê Ì.
Âûáåðåì òî÷êó X èç M è ïðÿìóþ L, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó X
è íå ñîäåðæàùóþ äðóãèõ òî÷åê ìíîæåñòâà Ì. Ìû ìîæåì
ñ÷èòàòü, ÷òî íè îäíà ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Õ, íå ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà (èíà÷å òåîðåìà äîêàçàíà). Íàçîâåì ñîåäèíèòåëüíîé ïðÿìîé ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ïî ìåíüøåé ìåðå 2
òî÷êè ìíîæåñòâà Ì. ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî êîíå÷íîå
÷èñëî ñîåäèíèòåëüíûõ ïðÿìûõ. Ñðåäè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé L ñ ðàçëè÷íûìè ñîåäèíèòåëüíûìè ïðÿìûìè íàéäåòñÿ òàêàÿ
òî÷êà Y, ÷òî îòðåçîê XY íå ñîäåðæèò äðóãèõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî ñîåäèíèòåëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó
Y, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà.
Óêàçàíèå. Åñëè íåò, òî ñîåäèíèòåëüíàÿ ïðÿìàÿ LY , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Y, ñîäåðæèò ïî ìåíüøåé ìåðå òðè òî÷êè ìíîæåñòâà Ì. Çíà÷èò, ñ êàêîé-òî ñòîðîíû îò Y íà ïðÿìîé LY ëåæàò
äâå òî÷êè ìíîæåñòâà Ì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z òó èç òî÷åê ñ ýòîé
ñòîðîíû îò Y, êîòîðàÿ áóäåò âòîðîé ïî ñ÷åòó îò Y (â ñìûñëå
ïîðÿäêà òî÷åê íà ïðÿìîé). Îäíó èç òî÷åê ìíîæåñòâà Ì,
ëåæàùèõ íà ïðÿìîé XZ, ìîæíî ñîåäèíèòü ñ îäíîé èç òî÷åê
ìíîæåñòâà Ì, ëåæàùèõ íà ïðÿìîé LY òàê, ÷òî ïåðåñå÷åíèå
ñîîòâåòñòâóþùåé ñîåäèíèòåëüíîé ïðÿìîé ñ ïðÿìîé L íàõîäèòñÿ ñòðîãî âíóòðè îòðåçêà XY (çäåñü íóæåí íåáîëüøîé ïåðåáîð
ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê). Ïðîòèâîðå÷èå ñ
âûáîðîì òî÷êè Y.
Ãàëëàè
Íàìå÷åííîå âûøå äîêàçàòåëüñòâî Øòåéíáåðãà ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé äîêàçàòåëüñòâà Ãàëëàè. Ñàìî äîêàçàòåëüñòâî Ãàëëàè èñïîëüçóåò ÷óòü áîëüøå, à èìåííî,
ìåðó óãëîâ è ïîíÿòèå ïàðàëëåëüíîñòè.
30.09.09, 16:31
"
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Ñíîâà ðàññìîòðèì ïðÿìóþ L, ïðîõîäÿùóþ ðîâíî
÷åðåç îäíó òî÷êó X íàøåãî ìíîæåñòâà. Ïðåäñòàâèì
ñåáå ïëîñêîñòü âëîæåííîé â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî
(÷òîáû îòëè÷àòü åå îò äðóãèõ ïëîñêîñòåé, íàçîâåì åå
íà÷àëüíîé), è çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó O, íå
ïðèíàäëåæàùóþ íà÷àëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ.2). ×åðåç
òî÷êó O è ïðÿìóþ L ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü.
Ðèñ. 2
Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëüíóþ åé ïëîñêîñòü Ð, è ñïðîåöèðóåì íà÷àëüíóþ ïëîñêîñòü íà ïëîñêîñòü Ð èç òî÷êè Î.
Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ L íå èìååò îáðàçà íà ïëîñêîñòè Ð,
ïîñêîëüêó íèêàêîé ëó÷, íà÷èíàþùèéñÿ â O è ïðîõîäÿùèé ÷åðåç L, íå ïåðåñå÷åò Ð. Âûðàæàÿñü îáðàçíî, L
ïåðåõîäèò â «áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè л. ×åòêîå óòâåðæäåíèå (êîòîðîå íåòðóäíî ïðîâåðèòü) ñîñòîèò âîò â ÷åì: ïðÿìûå â íà÷àëüíîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îäíó è òó æå òî÷êó íà ïðÿìîé
L, ïðîåöèðóþòñÿ â ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðÿìàÿ L ïðîõîäèò ÷åðåç ðîâíî
îäíó òî÷êó X ìíîæåñòâà M. Êðîìå òîãî, ìû ìîæåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç X è
åùå îäíó òî÷êó ìíîæåñòâà M, îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàò
êàêóþ-íèáóäü òðåòüþ òî÷êó ìíîæåñòâà Ì. Îáðàçû
ýòèõ ïðÿìûõ ïðè íàøåé ïðîåêöèè ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, ñîäåðæàùèìè ïî ìåíüøåé ìåðå
ïî äâå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ (ïðîåêöèè ìíîæåñòâà M
íà ïëîñêîñòü Ð). Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè ïîëó÷àåòñÿ èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî M ′ íà ïëîñêîñòè è
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, òàêîå, ÷òî
êàæäàÿ èç ýòèõ ïðÿìûõ ñîäåðæèò ïî ìåíüøåé ìåðå äâå
òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ , è âñå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ ñîäåðæàòñÿ â îáúåäèíåíèè ýòèõ ïðÿìûõ. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ, ñîåäèíÿþùóþ äâå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ è îáðàçóþùóþ íàèìåíüøèé íåíóëåâîé óãîë ñ íàïðàâëåíèåì
ðàññìàòðèâàåìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.
Ýòà ïðÿìàÿ íå ìîæåò
ñîäåðæàòü íèêàêîé
òðåòüåé òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
ýòà
ïðÿìàÿ ñîäåðæèò
Ðèñ. 3
òðè òî÷êè À,  è Ñ,
òî îäíà èç ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ À èëè C ñ òî÷êîé E
èëè D ìíîæåñòâà M ′ , îáðàçóåò åùå ìåíüøèé óãîë ñ
íàïðàâëåíèåì íàøèõ ïðÿìûõ (ðèñ. 3).
01-18.p65
4
Ñêîëüêî ïðÿìûõ?
Óêàæåì îäíî èíòåðåñíîå ñëåäñòâèå òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè.
Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòìå÷åíû n òî÷åê íà
ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà íàéäåòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå n ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ ïàðû
îòìå÷åííûõ òî÷åê.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì âåñòè èíäóêöèþ ïî êîëè÷åñòâó òî÷åê. Äëÿ òðåõ íåêîëëèíåàðíûõ òî÷åê óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî äëÿ ëþáîãî íàáîðà èç n òî÷åê ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Ðàññìîòðèì òåïåðü íàáîð èç
n + 1 âûäåëåííîé òî÷êè. Ïóñòü À – îäíà èç ýòèõ òî÷åê.
Åñëè îñòàâøèåñÿ n âûäåëåííûõ òî÷åê ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé, òî, ñîåäèíÿÿ êàæäóþ èç íèõ ñ òî÷êîé À,
ïîëó÷èì åùå n ïðÿìûõ; óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî îñòàâøèåñÿ n âûäåëåííûõ
òî÷åê íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà, ñîãëàñíî
ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, îíè îïðåäåëÿþò ïî ìåíüøåé ìåðå n ïðÿìûõ (êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò äâå
èç îñòàâøèõñÿ âûäåëåííûõ òî÷åê). Ìîæåò òàê ñëó÷èòüñÿ, ÷òî âñå ýòè ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó À.  ýòîì
ñëó÷àå íàçîâåì òî÷êó À ïëîõîé. Åñëè âñå âûäåëåííûå
òî÷êè ïëîõèå, òî ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ äâå âûäåëåííûå
òî÷êè, îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò è òðåòüþ. Ïðîòèâîðå÷èå
ñ òåîðåìîé Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè.
Çàìå÷àíèå. Åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ñêîëüêî ïðÿìûõ
Ñèëüâåñòðà îïðåäåëÿåò äàííîå íåêîëëèíåàðíîå ìíîæåñòâî èç n òî÷åê? Èçâåñòíî [5], ÷òî ïðÿìûõ Ñèëüâåñòðà
äîëæíî áûòü íå ìåíüøå, ÷åì 3n/7. Ãàíñåí äîêàçàë â
ñâîåé äèññåðòàöèè (1981), ÷òî ïðÿìûõ Ñèëüâåñòðà
âñåãäà íå ìåíüøå, ÷åì n/2. Ê ñîæàëåíèþ, äîêàçàòåëüñòâî Ãàíñåíà î÷åíü ñëîæíî, è åãî íèêîìó íå óäàëîñü
ïðîâåðèòü. Óíãàð äîêàçàë [6], ÷òî n òî÷åê, íå ëåæàùèõ
íà îäíîé ïðÿìîé, îïðåäåëÿþò ïî ìåíüøåé ìåðå 2[n/2]
ðàçíûõ íàïðàâëåíèé. Ýòó îöåíêó íåëüçÿ óëó÷øèòü.
Íà ñôåðå
Îáñóäèì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè. Îíî áûëî ïðåäëîæåíî Å.Ìåëüõèîðîì è,
íåçàâèñèìî, Í.Ñòèíðîäîì – èçâåñòíûì àìåðèêàíñêèì
òîïîëîãîì. È ñàìî äîêàçàòåëüñòâî òîïîëîãè÷åñêîå.
Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ïåðåéäåì ñ ïëîñêîñòè íà ñôåðó.
Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ ñôåðû íà ïëîñêîñòü. Öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ – ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå
ñôåðû íà ïëîñêîñòü, ïðè êîòîðîì ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êó ñôåðû ñ åå îáðàçîì íà ïëîñêîñòè, âñåãäà
ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ñôåðû. Ìû ìîæåì ïðîåöèðîâàòü
ñôåðó íà ëþáóþ ïëîñêîñòü, íå ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç
öåíòð. Ïðè òàêîé ïðîåêöèè â êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè
áóäåò îòîáðàæàòüñÿ ïàðà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê ñôåðû. Êðîìå òîãî, íà ñôåðå íàéäåòñÿ òàêàÿ
áîëüøàÿ îêðóæíîñòü (ò.å. ïåðåñå÷åíèå ñôåðû ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñôåðû), ïðîåêöèè òî÷åê
êîòîðîé íå îïðåäåëåíû. Ýòà îêðóæíîñòü ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè, íà êîòîðóþ ìû ïðîåöèðóåì.
Îïèøåì òåïåðü î÷åíü ïîëåçíóþ êîíñòðóêöèþ ñôåðè÷åñêîé äâîéñòâåííîñòè. Êàæäîé ïàðå äèàìåòðàëüíî
ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê íà ñôåðå ñîîòâåòñòâóåò áîëüøàÿ îêðóæíîñòü. À èìåííî, ïðîâåäåì ñîîòâåòñòâóþ-
30.09.09, 16:31
ÏÐßÌÀß
ùèé äèàìåòð ñôåðû, à òàêæå ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ
÷åðåç öåíòð è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äèàìåòðó. Ýòà ïëîñêîñòü âûñå÷åò íà ñôåðå íåêîòîðóþ áîëüøóþ îêðóæíîñòü. Îáðàòíî, êàæäîé áîëüøîé îêðóæíîñòè íà ñôåðå
ñîîòâåòñòâóþò ðîâíî äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè – êîíöû äèàìåòðà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ïëîñêîñòè äàííîé áîëüøîé îêðóæíîñòè.
Òåïåðü êàæäîé òî÷êå íà ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò
ïàðà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê íà ñôåðå
(ýòî ñîîòâåòñòâèå óñòàíàâëèâàåòñÿ öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé, êàê îïèñàíî âûøå), à ñëåäîâàòåëüíî, è íåêîòîðàÿ
áîëüøàÿ îêðóæíîñòü.
Óïðàæíåíèÿ
3. Ñôåðè÷åñêàÿ äâîéñòâåííîñòü «óâàæàåò» îòíîøåíèå èíöèäåíòíîñòè: åñëè òî÷êà A ëåæèò íà áîëüøîé îêðóæíîñòè b,
òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü à ïðîõîäèò ÷åðåç
òî÷êó B.
4. Òðè òî÷êè íà ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå áîëüøèå îêðóæíîñòè íà ñôåðå
ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó è òó æå
ïàðó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê.
5. Ïóñòü òî÷êàì À è  îòâå÷àþò áîëüøèå îêðóæíîñòè a è b.
Äîêàæèòå, ÷òî óãîë ìåæäó a è
b ðàâåí ñôåðè÷åñêîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó A è B (ðèñ. 4).
Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî òåîðåìà Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè
ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåìó
óòâåðæäåíèþ. Ïóñòü äàíî
Ðèñ. 4
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî áîëüøèõ îêðóæíîñòåé íà ñôåðå. Òîãäà, åñëè íå âñå ýòè
îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó è òó æå ïàðó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê, òî íàéäåòñÿ òî÷êà,
ñîäåðæàùàÿ ðîâíî äâå îêðóæíîñòè èç íàøåãî ìíîæåñòâà.
Ìåëüõèîð, Ñòèíðîä è Ýéëåð
Îïèøåì òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî Ìåëüõèîðà è Ñòèíðîäà.
Íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ïðî áîëüøèå
îêðóæíîñòè íà ñôåðå, è òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíà
òåîðåìà Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè. Íà ñàìîì äåëå ìîæíî
äîêàçàòü áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê íà ñôåðå. Áóäåì íàçûâàòü ýòè
òî÷êè âåðøèíàìè. Ðàññìîòðèì òàêæå êîíå÷íîå ÷èñëî
ïðîñòûõ êðèâîëèíåéíûõ äóã, ñîåäèíÿþùèõ íåêîòîðûå ïàðû âåðøèí. Äîïóñòèì, ÷òî ýòè äóãè íå èìåþò
îáùèõ òî÷åê, êðîìå âåðøèí. Íàçîâåì ýòè äóãè ðåáðàìè. Åñëè íà ñôåðå íàðèñîâàòü âåðøèíû è ðåáðà, òî
îíè ðàçîáüþò âñþ ñôåðó íà íåñêîëüêî êóñêîâ, êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü ãðàíÿìè. Âñþ êàðòèíêó, âêëþ÷àþùóþ âåðøèíû, ðåáðà è ãðàíè, ìû íàçîâåì êàðòîé íà ñôåðå.
Òåîðåìà 3. Íå ñóùåñòâóåò òàêîé êàðòû íà ñôåðå,
÷òî êàæäàÿ ãðàíü îãðàíè÷åíà ïî ìåíüøåé ìåðå òðåìÿ
ðåáðàìè, à èç êàæäîé âåðøèíû âûõîäèò ïî ìåíüøåé
ìåðå øåñòü ðåáåð.
Èç ýòîé ÷èñòî òîïîëîãè÷åñêîé òåîðåìû âûòåêàåò
óòâåðæäåíèå ïðî áîëüøèå îêðóæíîñòè íà ñôåðå, ñôîð-
01-18.p65
5
#
ÑÈËÜÂÅÑÒÐÀ
ìóëèðîâàííîå â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà è ýêâèâàëåíòíîå òåîðåìå Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Fk – ÷èñëî ãðàíåé, îãðàíè÷åííûõ k ðåáðàìè, a Vk – ÷èñëî âåðøèí, èç êîòîðûõ
âûõîäèò k ðåáåð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç F, E è V, ñîîòâåòñòâåííî, îáùåå ÷èñëî ãðàíåé, ÷èñëî ðåáåð è ÷èñëî
âåðøèí, ïðèíàäëåæàùèõ ðàññìàòðèâàåìîé êàðòå. Ìû
áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíîé òåîðåìîé Ýéëåðà:
F – E + V = 2.
×èòàòåëü, ñêîðåå âñåãî, çíàêîì ñ ýòîé òåîðåìîé; åñëè
ýòî íå òàê, ìû ðåêîìåíäóåì äîêàçàòü åå ïî èíäóêöèè.
Ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ïàð (âåðøèíà, âûõîäÿùåå èç
íåå ðåáðî). Ñ îäíîé ñòîðîíû, êàæäîå ðåáðî îãðàíè÷åííî ðîâíî äâóìÿ âåðøèíàìè. Çíà÷èò, òàêèõ ïàð ðîâíî
2Å. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî òàêèõ ïàð ðàâíî
6V6 + 7V7 + … ≥ 6V . Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
2E ≥ 6V .
Ïîñ÷èòàåì òåïåðü êîëè÷åñòâî ïàð (ãðàíü, ðåáðî íà åå
ãðàíèöå). Ñ îäíîé ñòîðîíû, êàæäîå ðåáðî ëåæèò íà
ãðàíèöå ðîâíî äâóõ ãðàíåé. Çíà÷èò, òàêèõ ïàð ðîâíî
2E. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî òàêèõ ïàð ðàâíî
3F3 + 4F4 + … ≥ 3F . Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
2 E ≥ 3F .
Êîìáèíèðóÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà, ïðèõîäèì ê
ïðîòèâîðå÷èþ:
6 ( E + 2 ) = 6V + 6F ≤ 2E + 4 E = 6 E .
Óïðàæíåíèÿ
6. Ðàññìîòðèì êàðòó íà ñôåðå. Êîëè÷åñòâî ðåáåð, âûõîäÿùèõ
èç äàííîé âåðøèíû, íàçîâåì ïîðÿäêîì ýòîé âåðøèíû. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàæäàÿ ãðàíü îãðàíè÷åíà ïî ìåíüøåé ìåðå òðåìÿ
ðåáðàìè, òî ñðåäíèé ïîðÿäîê âåðøèíû íå ïðåâîñõîäèò 6.
(Ñðåäíèé ïîðÿäîê âåðøèíû – ýòî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå
ïîðÿäêîâ âñåõ âåðøèí, òî åñòü ñóììà ïîðÿäêîâ âñåõ âåðøèí,
äåëåííàÿ íà êîëè÷åñòâî âåðøèí.)
7. Ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. ×èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà, âûõîäÿùèõ èç äàííîé
âåðøèíû, íàçîâåì ïîðÿäêîì âåðøèíû. ×èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà, ëåæàùèõ íà äàííîé ãðàíè, íàçîâåì ïîðÿäêîì ãðàíè.
Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäíèé ïîðÿäîê âåðøèíû, à òàêæå ñðåäíèé
ïîðÿäîê ãðàíè íå ïðåâîñõîäÿò 6. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, ñðåäíèé ïîðÿäîê ãðàíè êîòîðîãî ïðåâûøàåò 5,5.
8. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé òåîðåìîé Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ïàðàëëåëüíû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè ïðÿìûå íå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó è òó æå
òî÷êó. Òîãäà íàéäåòñÿ òî÷êà, ñîäåðæàùàÿ ðîâíî äâå ïðÿìûå
ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî äâîéñòâåííàÿ òåîðåìà Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè ýêâèâàëåíòíà òåîðåìå ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Óêàçàíèå: âîñïîëüçóéòåñü óòâåðæäåíèåì ïðî áîëüøèå
îêðóæíîñòè íà ñôåðå, à òàêæå öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé ñôåðû íà
ïëîñêîñòü, ïðè êîòîðîé áîëüøèå îêðóæíîñòè ïåðåõîäÿò â ïðÿìûå.
9. Ïîêàæèòå, ÷òî â óòâåðæäåíèè äâîéñòâåííîé òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè ìîæíî ïðåäïîëàãàòü áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè,
÷òî ñðåäè ðàññìàòðèâàåìîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ïðÿìûõ íåò
íèêàêîé ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. Óêàçàíèå: ýòîãî ìîæíî
äîáèòüñÿ, ïðîåöèðóÿ ñôåðó íà ïîäõîäÿùóþ ïëîñêîñòü.
Ýëêèñ è Çàéäåíáåðã
Íàêîíåö, åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè, êîòîðîå áûëî ïðèäóìàíî íåçàâèñèìî
Í.Ýëêèñîì è Ì.Çàéäåíáåðãîì. Íà÷íåì ñ äâóõ óïðàæ-
30.09.09, 16:31
$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
íåíèé – îíè äîñòàòî÷íî ñëîæíûå, ïî óðîâíþ êàê
ñåðüåçíûå îëèìïèàäíûå çàäà÷è. Ðåøåíèÿ è óêàçàíèÿ ê
ýòèì çàäà÷àì ìîæíî íàéòè â êíèãå [7] (çàäà÷à 38, á).
Óïðàæíåíèÿ
10. Ïóñòü ÀÂÑ – òðåóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè, à PQR –
âïèñàííûé â íåãî òðåóãîëüíèê (òàê, ÷òî âåðøèíû Ð, Q, R
òðåóãîëüíèêà PQR ïðèíàäëåæàò, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîðîíàì ÀÂ,
ÂÑ, ÀÑ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ; ðèñ. 5). Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü
îäíîãî èç òðåõ òðåóãîëüíèêîâ, îñòàþùèõñÿ ïðè âûêèäûâàíèè òðåóãîëüíèêà PQR
èç òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, íå ïðåâûøàåò ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà PQR.
11. Åñëè â ïðåäûäóùåì
óïðàæíåíèè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà APR ñîâïàäàåò ñ
ïëîùàäüþ òðåóãîëüíèêà
Ðèñ. 5
PQR, à ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ PBQ è QCR íå ìåíüøå, òî ñòîðîíû PQ, QR è RP ïàðàëëåëüíû, ñîîòâåòñòâåííî,
ñòîðîíàì ÑÀ, ÀÂ, ÂÑ.
Äîêàæåì òåïåðü äâîéñòâåííóþ òåîðåìó Ñèëüâåñòðà–
Ãàëëàè (à òåì ñàìûì è ñàìó òåîðåìó Ñèëüâåñòðà–
Ãàëëàè). Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ÷èñëî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Äîïóñòèì, ÷òî íå âñå ýòè ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç
îäíó òî÷êó. Ìû òàêæå ìîæåì ïðåäïîëàãàòü áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå
ïðÿìûõ íåò ïàðàëëåëüíûõ. Òîãäà ìîæíî ðàññìîòðåòü
òðåóãîëüíèêè, îãðàíè÷åííûå ðàçëè÷íûìè òðîéêàìè
ïðÿìûõ. Ñðåäè âñåõ òàêèõ òðåóãîëüíèêîâ âûáåðåì
òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè. Îáîçíà÷èì ýòîò
òðåóãîëüíèê ÷åðåç PQR. Òåïåðü ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî
÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ íàøåãî
ìíîæåñòâà ïðîõîäèò åùå êàêàÿ-òî òðåòüÿ ïðÿìàÿ íàøåãî ìíîæåñòâà (ýòî ïðåäïîëîæåíèå äîëæíî ïðèâåñòè
íàñ ê ïðîòèâîðå÷èþ).  ÷àñòíîñòè, åñòü ïðÿìûå íàøåãî
ìíîæåñòâà, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà
PQR, íî íå ñîâïàäàþùèå ñî ñòîðîíàìè ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèê PQR èìååò, ïî îïðåäåëåíèþ, ìèíèìàëüíóþ ïëîùàäü, ýòè äîïîëíèòåëüíûå
ïðÿìûå íå çàõîäÿò âíóòðü òðåóãîëüíèêà. Çíà÷èò, îíè
îãðàíè÷èâàþò òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, îïèñàííûé âîêðóã
òðåóãîëüíèêà PQR. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ïðèâåäåííûõ âûøå óïðàæíåíèé. Ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ ïëîùàäè, åñëè òîëüêî ñòîðîíû
òðåóãîëüíèêà PQR íå ïàðàëëåëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì
ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Îäíàêî ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå ïðÿìûõ íåò
ïàðàëëåëüíûõ.
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà: êîíòðïðèìåð1
Ê ðàçðÿäó íåîæèäàííîñòåé ìîæíî îòíåñòè òîò ôàêò,
÷òî «êîìïëåêñèôèêàöèÿ» òåîðåìû Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè íå âåðíà.
Òî÷êè è ïðÿìûå, ïðî êîòîðûå ìû ãîâîðèëè äî ñèõ ïîð,
áûëè äåéñòâèòåëüíûìè òî÷êàìè è äåéñòâèòåëüíûìè
ïðÿìûìè. Åñëè ââåñòè íà ïëîñêîñòè ñèñòåìó êîîðäèíàò,
1 ×èòàòåëü, íå çíàêîìûé ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ìîæåò
ïðîïóñòèòü ýòîò ðàçäåë áåç óùåðáà äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøåãî òåêñòà.
01-18.p65
6
òî äåéñòâèòåëüíûå òî÷êè èçîáðàçÿòñÿ ïàðàìè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äåéñòâèòåëüíóþ ïðÿìóþ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ îïðåäåëåííîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ
äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îäíàêî â êà÷åñòâå
êîîðäèíàò ìîæíî áðàòü è êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ñîîòâåòñòâåííî, ìîæíî ãîâîðèòü î êîìïëåêñíûõ òî÷êàõ, êîìïëåêñíûõ ïðÿìûõ è ò.ä. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ
òî÷åê ïëîñêîñòè ñëîæíåå ñåáå ïðåäñòàâèòü, ïîñêîëüêó
îíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûì ÷åòûðåõìåðíûì, à íå äâóìåðíûì, ïðîñòðàíñòâîì. Ðàññìîòðèì òàêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
z3 + w3 + (1 + 2z + 3w ) = zw (1 + 2z + 3w ) = 0 .
3
Ñóùåñòâóåò ðîâíî 9 êîìïëåêñíûõ òî÷åê (ò.å. ïàð
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (z, w)), óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîé
ñèñòåìå – ïî òðè òî÷êè íà êàæäîé èç òðåõ ïðÿìûõ z =
= 0, w = 0, 1 + 2z + 3 w = 0. Íàïðèìåð, åñëè ïîäñòàâèòü
z = 0 â ïåðâîå óðàâíåíèå, òî ïîëó÷èòñÿ êóáè÷åñêîå
óðàâíåíèå íà w, ó êîòîðîãî òðè êîìïëåêñíûõ ðåøåíèÿ
– îíè ñîîòâåòñòâóþò òðåì òî÷êàì íà ïðÿìîé z = 0; òî÷íî
òàêæå ìîæíî ïîñòóïèòü ñ äâóìÿ îñòàëüíûìè ïðÿìûìè.
Êîìïëåêñíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ëþáûå äâå èç
ýòèõ äåâÿòè òî÷åê, ñîäåðæèò è íåêîòîðóþ òðåòüþ òî÷êó.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íå ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíîé ïðÿìîé,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âñå 9 ðàññìàòðèâàåìûõ òî÷åê.
Óïðàæíåíèå 12. Äîêàæèòå ýòè óòâåðæäåíèÿ.
Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
òåîðåìà Ñèëüâåñòðà–Ãàëëàè íå èìååò ìåñòà. Çàìåòèì,
÷òî êîýôôèöèåíòû â âûðàæåíèè 1 + 2z + 3w ìîæíî
âûáèðàòü ïî÷òè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (èçáåãàÿ òîëüêî íåêîòîðûõ âûðîæäåíèé, ïðè êîòîðûõ îäíà èç
äåâÿòè òî÷åê óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü); íàïðèìåð,
ìîæíî ñ òåì æå óñïåõîì âçÿòü e + πz + iw .
Îòìåòèì, êñòàòè, ÷òî óðàâíåíèå z3 + w3 + (1 + 2z +
3
+ 3w ) = 0 çàäàåò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êóáè÷åñêóþ êðèâóþ, à óðàâíåíèå zw (1 + 2z + 3w ) = 0 îïèñûâàåò òî÷êè ïåðåãèáà ýòîé êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì, íàøè
äåâÿòü òî÷åê – ýòî òî÷êè ïåðåãèáà êîìïëåêñíîé êóáè÷åñêîé êðèâîé. Èç ýòèõ äåâÿòè òî÷åê òîëüêî òðè ìîãóò
áûòü âåùåñòâåííûìè.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. J.J.Sylvester. Mathematical Question 11851. – Educational
Times, 59 (1893), 98.
2. P. Erdos. Problem 4065. – Amer. Math. Monthly, 50
(1943), 65.
3. K.Parshall. James Joseph Sylvester: Jewish mathematician
in a Victorian world. – John Hopkins University Press,
Baltimore, 2006.
4. H.S.M.Coxeter. A problem of collinear points. – Amer.
Math. Monthly, 55 (1948), 26–28.
5. L.Kelly, W.Moser. On the number of ordinary lines
determined by n points. – Canad. J. Math., 1: (1958), 210–219.
6. P.Ungar. 2N Noncollinear Points Determine at Least 2N
Directions. – Journal of Combinatorial Theory, Series A, 33
(1982), 343–347.
7. Ä.Î.Øêëÿðñêèé, Í.Í.×åíöîâ, È.Ì.ßãëîì. Ãåîìåòðè÷åñêèå îöåíêè è çàäà÷è èç êîìáèíàòîðíîé ãåîìåòðèè. –
Áèáëèîòåêà ìàòåìàòè÷åñêîãî êðóæêà, âûï. 17. – Ì.: 1974.
(Îêîí÷àíèå ñëåäóåò)
30.09.09, 16:31
Ìíîãîëèêèé ïðîòîí
È.ÈÂÀÍÎÂ
È
ÇÓ×Àß ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÂÅÙÅÑÒÂÀ, ÔÈÇÈÊÈ ÓÇÍÀ-
ëè, èç ÷åãî ñäåëàíû àòîìû, äîáðàëèñü äî àòîì
íîãî ÿäðà è ðàñùåïèëè åãî íà ïðîòîíû è íåéòðîíû. Âñå ýòè øàãè äàâàëèñü äîâîëüíî ëåãêî – íàäî
áûëî ëèøü ðàçîãíàòü ÷àñòèöû äî íóæíîé ýíåðãèè,
ñòîëêíóòü èõ äðóã ñ äðóãîì, è òîãäà îíè ñàìè ðàçâàëèâàëèñü íà ñîñòàâíûå ÷àñòè.
À âîò ñ ïðîòîíàìè è íåéòðîíàìè òàêîé òðþê óæå íå
ïðîøåë. Õîòÿ îíè è ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíûìè ÷àñòèöàìè,
èõ íå óäàåòñÿ «ðàçëîìàòü íà ÷àñòè» íè â êàêîì äàæå
ñàìîì ñèëüíîì ñòîëêíîâåíèè. Ïîýòîìó ôèçèêàì ïîòðåáîâàëèñü äåñÿòèëåòèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèäóìàòü ðàçíûå ñïîñîáû çàãëÿíóòü âíóòðü ïðîòîíà, óâèäåòü åãî
óñòðîéñòâî è ôîðìó.  íàøè äíè èçó÷åíèå ñòðóêòóðû
ïðîòîíà – îäíà èç ñàìûõ àêòèâíûõ îáëàñòåé ôèçèêè
ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.
Ïðèðîäà äàåò íàìåêè
Èñòîðèÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ
áåðåò ñâîå íà÷àëî ñ 1930-õ ãîäîâ. Êîãäà â äîïîëíåíèå
ê ïðîòîíàì áûëè îòêðûòû íåéòðîíû (1932), òî, èçìåðèâ èõ ìàññó, ôèçèêè ñ óäèâëåíèåì îáíàðóæèëè, ÷òî
îíà î÷åíü áëèçêà ê ìàññå ïðîòîíà. Áîëåå òîãî, îêàçàëîñü, ÷òî ïðîòîíû è íåéòðîíû «÷óâñòâóþò» ÿäåðíîå
âçàèìîäåéñòâèå ñîâåðøåííî îäèíàêîâûì îáðàçîì. Íàñòîëüêî îäèíàêîâûì, ÷òî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ÿäåðíûõ ñèë,
ïðîòîí è íåéòðîí ìîæíî ñ÷èòàòü êàê áû äâóìÿ ïðîÿâëåíèÿìè îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû – íóêëîíà: ïðîòîí –
ýòî ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûé íóêëîí, à íåéòðîí –
íåéòðàëüíûé íóêëîí. Ïîìåíÿéòå ïðîòîíû íà íåéòðîíû
– è ÿäåðíûå ñèëû (ïî÷òè) íè÷åãî íå çàìåòÿò.
Ôèçèêè ýòî ñâîéñòâî ïðèðîäû âûðàæàþò êàê ñèììåòðèþ – ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî çàìåíû ïðîòîíîâ íà íåéòðîíû, ïîäîáíî òîìó
êàê áàáî÷êà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî çàìåíû ëåâîãî
íà ïðàâîå. Ýòà ñèììåòðèÿ, êðîìå òîãî ÷òî îíà ñûãðàëà
âàæíóþ ðîëü â ÿäåðíîé ôèçèêå, áûëà íà ñàìîì äåëå
ïåðâûì íàìåêîì íà òî, ÷òî ó íóêëîíîâ èìååòñÿ èíòåðåñíîå âíóòðåííåå ñòðîåíèå. Ïðàâäà òîãäà, â 30-å ãîäû,
ôèçèêè ýòîò íàìåê íå îñîçíàëè.
Ïîíèìàíèå ïðèøëî ïîçæå. Íà÷àëîñü ñ òîãî, ÷òî â
1940-50-å ãîäû â ðåàêöèÿõ ñòîëêíîâåíèÿ ïðîòîíîâ ñ
ÿäðàìè ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ó÷åíûå ñ óäèâëåíèåì
îáíàðóæèâàëè âñå íîâûå è íîâûå ÷àñòèöû. Íå ïðîòîíû, íå íåéòðîíû, íå îòêðûòûå ê òîìó âðåìåíè ïèìåçîíû, êîòîðûå óäåðæèâàþò íóêëîíû â ÿäðàõ, à
êàêèå-òî ñîâñåì íîâûå ÷àñòèöû. Ïðè âñåì ñâîåì ðàçíîîáðàçèè ýòè íîâûå ÷àñòèöû îáëàäàëè äâóìÿ îáùèìè
ñâîéñòâàìè. Âî-ïåðâûõ, îíè, òàê æå êàê è íóêëîíû,
î÷åíü îõîòíî ó÷àñòâîâàëè â ÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ
– ñåé÷àñ òàêèå ÷àñòèöû íàçûâàþò àäðîíàìè. À âî-
01-18.p65
7
âòîðûõ, îíè áûëè èñêëþ÷èòåëüíî íåñòàáèëüíûìè.
Ñàìûå íåóñòîé÷èâûå èç íèõ ðàñïàäàëèñü íà äðóãèå
÷àñòèöû âñåãî çà òðèëëèîííóþ äîëþ íàíîñåêóíäû, íå
óñïåâ ïðîëåòåòü äàæå íà ðàçìåð àòîìíîãî ÿäðà!
Äîëãîå âðåìÿ «çîîïàðê» àäðîíîâ ïðåäñòàâëÿë èç
ñåáÿ ïîëíóþ ìåøàíèíó. Â êîíöå 1950-õ ãîäîâ ôèçèêè
óçíàëè óæå äîñòàòî÷íî ìíîãî ðàçíûõ âèäîâ àäðîíîâ,
íà÷àëè ñðàâíèâàòü èõ äðóã ñ äðóãîì è âäðóã óâèäåëè
íåêóþ îáùóþ ñèììåòðè÷íîñòü, äàæå ïåðèîäè÷íîñòü èõ
ñâîéñòâ. Áûëà âûñêàçàíà äîãàäêà, ÷òî âíóòðè âñåõ
àäðîíîâ (â òîì ÷èñëå è íóêëîíîâ) ñèäÿò íåêèå ïðîñòûå
îáúåêòû, êîòîðûå ïîëó÷èëè íàçâàíèå «êâàðêè». Êîìáèíèðóÿ êâàðêè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, ìîæíî ïîëó÷àòü
ðàçíûå àäðîíû, ïðè÷åì èìåííî òàêîãî òèïà è ñ òàêèìè
ñâîéñòâàìè, êîòîðûå îáíàðóæèâàëèñü â ýêñïåðèìåíòå.
×òî äåëàåò ïðîòîí ïðîòîíîì?
Ïîñëå òîãî êàê ôèçèêè îòêðûëè êâàðêîâîå óñòðîéñòâî àäðîíîâ è óçíàëè, ÷òî êâàðêè áûâàþò íåñêîëüêèõ
ðàçíûõ ñîðòîâ, ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî èç êâàðêîâ ìîæíî
ñêîíñòðóèðîâàòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö. Òàê ÷òî óæå
íèêîãî íå óäèâëÿëî, êîãäà ïîñëåäóþùèå ýêñïåðèìåíòû
ïðîäîëæàëè îäèí çà äðóãèì íàõîäèòü íîâûå àäðîíû.
Íî ñðåäè âñåõ àäðîíîâ îáíàðóæèëîñü öåëîå ñåìåéñòâî
÷àñòèö, ñîñòîÿùèõ, òî÷íî òàê æå êàê è ïðîòîí, òîëüêî
èç äâóõ u-êâàðêîâ è îäíîãî d-êâàðêà. Ýòàêèå «ñîáðàòüÿ» ïðîòîíà. È âîò òóò ôèçèêîâ ïîäñòåðåãàë ñþðïðèç.
Äàâàéòå ñíà÷àëà ñäåëàåì îäíî ïðîñòîå íàáëþäåíèå.
Åñëè ó íàñ åñòü íåñêîëüêî ïðåäìåòîâ, ñîñòîÿùèõ èç
îäèíàêîâûõ «êèðïè÷èêîâ», òî áîëåå òÿæåëûå ïðåäìåòû ñîäåðæàò áîëüøå «êèðïè÷èêîâ», à áîëåå ëåãêèå –
ìåíüøå. Ýòî î÷åíü åñòåñòâåííûé ïðèíöèï, êîòîðûé
ìîæíî íàçûâàòü ïðèíöèïîì êîìáèíèðîâàíèÿ èëè ïðèíöèïîì íàäñòðîéêè, è îí ïðåêðàñíî âûïîëíÿåòñÿ êàê â
ïîâñåäíåâíîé æèçíè, òàê è â ôèçèêå. Îí ïðîÿâëÿåòñÿ
äàæå â óñòðîéñòâå àòîìíûõ ÿäåð – âåäü áîëåå òÿæåëûå
ÿäðà ïðîñòî ñîñòîÿò èç áîëüøåãî ÷èñëà ïðîòîíîâ è
íåéòðîíîâ.
Îäíàêî íà óðîâíå êâàðêîâ ýòîò ïðèíöèï ñîâåðøåííî
íå ðàáîòàåò, è, íàäî ïðèçíàòüñÿ, ôèçèêè åùå íå äî
êîíöà ðàçîáðàëèñü, ïî÷åìó. Îêàçûâàåòñÿ, òÿæåëûå
ñîáðàòüÿ ïðîòîíà òîæå ñîñòîÿò èç òåõ æå ñàìûõ êâàðêîâ, ÷òî è ïðîòîí, õîòÿ îíè â ïîëòîðà, à òî è â äâà ðàçà
òÿæåëåå ïðîòîíà. Îíè îòëè÷àþòñÿ îò ïðîòîíà (è ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé) íå ñîñòàâîì, à âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì êâàðêîâ, òåì, â êàêîì ñîñòîÿíèè îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ýòè êâàðêè íàõîäÿòñÿ. Äîñòàòî÷íî èçìåíèòü âçàèìíîå ïîëîæåíèå êâàðêî⠖ è ìû èç ïðîòîíà
ïîëó÷èì äðóãóþ, çàìåòíî áîëåå òÿæåëóþ ÷àñòèöó.
À ÷òî áóäåò, åñëè âñå-òàêè âçÿòü è ñîáðàòü âìåñòå
áîëüøå òðåõ êâàðêîâ? Ïîëó÷èòñÿ ëè íîâàÿ òÿæåëàÿ
30.09.09, 16:31
&
ÊÂÀÍT 2009/¹5
÷àñòèöà? Óäèâèòåëüíî, íî íå ïîëó÷èòñÿ – êâàðêè
ðàçîáüþòñÿ ïî òðîå è ïðåâðàòÿòñÿ â íåñêîëüêî ðàçðîçíåííûõ ÷àñòèö. Ïî÷åìó-òî ïðèðîäà «íå ëþáèò» îáúåäèíÿòü ìíîãî êâàðêîâ â îäíî öåëîå! Ëèøü ñîâñåì
íåäàâíî, áóêâàëüíî â ïîñëåäíèå ãîäû, ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ íàìåêè íà òî, ÷òî íåêîòîðûå ìíîãîêâàðêîâûå ÷àñòèöû âñå æå ñóùåñòâóþò, íî ýòî ëèøü ïîä÷åðêèâàåò,
íàñêîëüêî ïðèðîäà èõ íå ëþáèò.
Èç ýòîé êîìáèíàòîðèêè ñëåäóåò î÷åíü âàæíûé è
ãëóáîêèé âûâîä – ìàññà àäðîíîâ âîâñå íå ñêëàäûâàåòñÿ
èç ìàññû êâàðêîâ. Íî åñëè ìàññó àäðîíà ìîæíî óâåëè÷èòü èëè óìåíüøèòü ïðîñòûì ïåðåêîìáèíèðîâàíèåì
ñîñòàâëÿþùèõ åãî êèðïè÷èêîâ, çíà÷èò, âîâñå íå ñàìè
êâàðêè îòâåòñòâåííû çà ìàññó àäðîíîâ. È äåéñòâèòåëüíî, â ïîñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ óäàëîñü óçíàòü, ÷òî
ìàññà ñàìèõ êâàðêîâ ñîñòàâëÿåò ëèøü îêîëî äâóõ
ïðîöåíòîâ îò ìàññû ïðîòîíà, à âñÿ îñòàëüíàÿ òÿæåñòü
âîçíèêàåò çà ñ÷åò ñèëîâîãî ïîëÿ (åìó îòâå÷àþò ñïåöèàëüíûå ÷àñòèöû – ãëþîíû), ñâÿçûâàþùåãî êâàðêè
âìåñòå. Èçìåíÿÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êâàðêîâ, íàïðèìåð îòîäâèãàÿ èõ ïîäàëüøå äðóã îò äðóãà, ìû òåì
ñàìûì èçìåíÿåì ãëþîííîå îáëàêî, äåëàåì åãî áîëåå
ìàññèâíûì, èç-çà ÷åãî è âîçðàñòàåò ìàññà àäðîíà (ðèñ.1).
èõ äðóã ê äðóãó, òåïåðü ÿâëÿþòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíûìè
ïàðòîíàìè è íàðÿäó ñ êâàðêàìè íåñóò «âåùåñòâî» è
ýíåðãèþ áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà. Îïûòû ïîêàçàëè,
÷òî ïðèìåðíî ïîëîâèíà ýíåðãèè çàïàñåíà â êâàðêàõ, à
ïîëîâèíà – â ãëþîíàõ.
Ïàðòîíû óäîáíåå âñåãî èçó÷àòü â ñòîëêíîâåíèè ïðîòîíîâ ñ ýëåêòðîíàìè. Äåëî â òîì, ÷òî, â îòëè÷èå îò
ïðîòîíà, ýëåêòðîí íå ó÷àñòâóåò â ñèëüíûõ ÿäåðíûõ
âçàèìîäåéñòâèÿõ è åãî ñòîëêíîâåíèå ñ ïðîòîíîì âûãëÿäèò âåñüìà ïðîñòî: ýëåêòðîí íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ
èñïóñêàåò âèðòóàëüíûé ôîòîí, êîòîðûé âðåçàåòñÿ â
çàðÿæåííûé ïàðòîí è ïîðîæäàåò â êîíöå êîíöîâ áîëüøîå ÷èñëî ÷àñòèö (ðèñ.2). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýëåêòðîí ÿâëÿåòñÿ îòëè÷íûì ñêàëüïåëåì äëÿ «âñêðûòèÿ»
ïðîòîíà è ðàçäåëåíèÿ åãî íà îòäåëüíûå ÷àñòè – ïðàâäà,
Ðèñ.2. Ïðè ñòîëêíîâåíèè ïðîòîíà ñ ýëåêòðîíîì ìåæäó íèìè
«ïðîñêàêèâàåò» êâàíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ – ôîòîí.
Ñòàëêèâàÿñü ñ îäíèì èç ïàðòîíîâ â ïðîòîíå, îí ïîðîæäàåò
ìíîãî âòîðè÷íûõ àäðîíîâ, íàïðèìåð ìåçîíîâ
Ðèñ.1. Óñëîâíîå èçîáðàæåíèå ïðîòîíà è íåñêîëüêèõ åãî
«ñîáðàòüåâ». Öâåòíûå òî÷êè – ýòî êâàðêè, êîòîðûå ñâÿçàíû
äðóã ñ äðóãîì ãëþîííûì ïîëåì (ãîëóáîå îáëà÷êî). Íåñìîòðÿ
íà òî, ÷òî âñå ýòè ÷àñòèöû ñîñòàâëåíû èç îäíèõ è òåõ æå
êâàðêîâ, ó íèõ ðàçíûå ìàññû è ðàçíûå âðåìåíà æèçíè.
Ìàññû ÷àñòèö âûðàæåíû â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ –
ìåãàýëåêòðîíâîëüòàõ (ÌýÂ)
×òî òâîðèòñÿ âíóòðè áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà?
Âñå îïèñàííîå âûøå êàñàåòñÿ íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà,
íà ÿçûêå ôèçèêî⠖ ýòî óñòðîéñòâî ïðîòîíà â åãî
ñèñòåìå ïîêîÿ. Îäíàêî â ýêñïåðèìåíòå ñòðóêòóðà ïðîòîíà áûëà âïåðâûå îáíàðóæåíà â äðóãèõ óñëîâèÿõ –
âíóòðè áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà.
 êîíöå 1960-õ ãîäîâ â ýêñïåðèìåíòàõ ïî ñòîëêíîâåíèþ ÷àñòèö íà óñêîðèòåëÿõ áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ëåòÿùèå ñ îêîëîñâåòîâîé ñêîðîñòüþ ïðîòîíû âåëè ñåáÿ òàê,
ñëîâíî ýíåðãèÿ âíóòðè íèõ íå ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî, à ñêîíöåíòðèðîâàíà â îòäåëüíûõ êîìïàêòíûõ îáúåêòàõ. Ýòè ñãóñòêè âåùåñòâà âíóòðè ïðîòîíîâ çíàìåíèòûé ôèçèê Ðè÷àðä Ôåéíìàí ïðåäëîæèë íàçûâàòü
ïàðòîíàìè (îò àíãëèéñêîãî part – ÷àñòü).
 ïîñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëè èçó÷åíû ìíîãèå
ñâîéñòâà ïàðòîíî⠖ íàïðèìåð, èõ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, èõ êîëè÷åñòâî è äîëÿ ýíåðãèè ïðîòîíà, êîòîðóþ
êàæäûé èç íèõ íåñåò. Îêàçûâàåòñÿ, çàðÿæåííûå ïàðòîíû – ýòî êâàðêè, à íåéòðàëüíûå ïàðòîíû – ýòî ãëþîíû.
Äà-äà, òå ñàìûå ãëþîíû, êîòîðûå â ñèñòåìå ïîêîÿ
ïðîòîíà ïðîñòî «ïðèñëóæèâàëè» êâàðêàì, ïðèòÿãèâàÿ
01-18.p65
8
ëèøü íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ. Çíàÿ, êàê ÷àñòî ïðîèñõîäÿò òàêèå ïðîöåññû íà óñêîðèòåëå, ìîæíî èçìåðèòü
êîëè÷åñòâî ïàðòîíîâ âíóòðè ïðîòîíà è èõ çàðÿäû.
Êòî òàêèå ïàðòîíû íà ñàìîì äåëå?
È çäåñü ìû ïîäõîäèì ê åùå îäíîìó ïîðàçèòåëüíîìó
îòêðûòèþ, êîòîðîå ñäåëàëè ôèçèêè, èçó÷àÿ ñòîëêíîâåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ.
 îáû÷íûõ óñëîâèÿõ âîïðîñ î òîì, èç ÷åãî ñîñòîèò òîò
èëè èíîé ïðåäìåò, èìååò óíèâåðñàëüíûé îòâåò äëÿ âñåõ
ñèñòåì îòñ÷åòà. Íàïðèìåð, ìîëåêóëà âîäû ñîñòîèò èç
äâóõ àòîìîâ âîäîðîäà è îäíîãî àòîìà êèñëîðîäà – è íå
âàæíî, ñìîòðèì ëè ìû íà íåïîäâèæíóþ èëè íà äâèæóùóþñÿ ìîëåêóëó. Îäíàêî ýòî ïðàâèëî – êàçàëîñü áû,
òàêîå åñòåñòâåííîå! – íàðóøàåòñÿ, åñëè ðå÷ü èäåò îá
ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèöàõ, äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðîñòÿìè,
áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ñâåòà.  îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà
ñëîæíàÿ ÷àñòèöà ìîæåò ñîñòîÿòü èç îäíîãî íàáîðà
ñóá÷àñòèö, à â äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷åòà – èç äðóãîãî.
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñîñòà⠖ ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîå!
Êàê òàêîå ìîæåò áûòü? Êëþ÷åâûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ
îäíî âàæíîå ñâîéñòâî: êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â íàøåì ìèðå
íå ôèêñèðîâàíî – ÷àñòèöû ìîãóò ðîæäàòüñÿ è èñ÷åçàòü.
Íàïðèìåð, åñëè ñòîëêíóòü âìåñòå äâà ýëåêòðîíà ñ
äîñòàòî÷íî áîëüøîé ýíåðãèåé, òî âäîáàâîê ê ýòèì äâóì
ýëåêòðîíàì ìîæåò ðîäèòüñÿ ëèáî ôîòîí, ëèáî ýëåêòðîí-ïîçèòðîííàÿ ïàðà, ëèáî åùå êàêèå-íèáóäü ÷àñòè-
30.09.09, 16:31
ÌÍÎÃÎËÈÊÈÉ
öû. Âñå ýòî ðàçðåøåíî êâàíòîâûìè çàêîíàìè, èìåííî
òàê è ïðîèñõîäèò â ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ.
Íî ýòîò «çàêîí íåñîõðàíåíèÿ» ÷àñòèö ðàáîòàåò ïðè
ñòîëêíîâåíèÿõ ÷àñòèö. À êàê æå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî îäèí
è òîò æå ïðîòîí ñ ðàçíûõ òî÷åê çðåíèÿ âûãëÿäèò
ñîñòîÿùèì èç ðàçíîãî íàáîðà ÷àñòèö? Äåëî â òîì, ÷òî
ïðîòîí – ýòî íå ïðîñòî òðè êâàðêà, ñëîæåííûå âìåñòå.
Ìåæäó êâàðêàìè ñóùåñòâóåò ñèëîâîå ãëþîííîå ïîëå.
Âîîáùå, ñèëîâîå ïîëå (êàê, íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííîå
èëè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå) – ýòî íåêàÿ ìàòåðèàëüíàÿ
«ñóùíîñòü», êîòîðàÿ ïðîíèçûâàåò ïðîñòðàíñòâî è ïîçâîëÿåò ÷àñòèöàì îêàçûâàòü ñèëîâîå âëèÿíèå äðóã íà
äðóãà.  êâàíòîâîé òåîðèè ïîëå òîæå ñîñòîèò èç ÷àñòèö,
ïðàâäà èç îñîáåííûõ – âèðòóàëüíûõ. Êîëè÷åñòâî ýòèõ
÷àñòèö íå ôèêñèðîâàíî, îíè ïîñòîÿííî «îòïî÷êîâûâàþòñÿ» îò êâàðêîâ è ïîãëîùàþòñÿ äðóãèìè êâàðêàìè.
Ïîêîÿùèéñÿ ïðîòîí äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê òðè êâàðêà, ìåæäó êîòîðûìè ïåðåñêàêèâàþò ãëþîíû. Íî åñëè âçãëÿíóòü íà òîò æå ïðîòîí èç
äðóãîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñëîâíî èç îêíà ïðîåçæàþùåãî
ìèìî «ðåëÿòèâèñòñêîãî ïîåçäà», òî ìû óâèäèì ñîâñåì
èíóþ êàðòèíó. Òå âèðòóàëüíûå ãëþîíû, êîòîðûå ñêëåèâàëè êâàðêè âìåñòå, ïîêàæóòñÿ óæå ìåíåå âèðòóàëüíûìè, «áîëåå íàñòîÿùèìè» ÷àñòèöàìè. Îíè, êîíå÷íî,
ïî-ïðåæíåìó ðîæäàþòñÿ è ïîãëîùàþòñÿ êâàðêàìè, íî
ïðè ýòîì êàêîå-òî âðåìÿ æèâóò ñàìè ïî ñåáå, ëåòÿò
ðÿäîì ñ êâàðêàìè, ñëîâíî íàñòîÿùèå ÷àñòèöû. Òî, ÷òî
âûãëÿäèò ïðîñòûì ñèëîâûì ïîëåì â îäíîé ñèñòåìå
îòñ÷åòà, ïðåâðàùàåòñÿ â äðóãîé ñèñòåìå â ïîòîê ÷àñòèö!
Çàìåòüòå, ñàì ïðîòîí ìû ïðè ýòîì íå òðîãàåì, à òîëüêî
ñìîòðèì íà íåãî èç äðóãîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.
Äàëüøå – áîëüøå. ×åì áëèæå ñêîðîñòü íàøåãî «ðåëÿòèâèñòñêîãî ïîåçäà» ê ñêîðîñòè ñâåòà, òåì áîëåå
óäèâèòåëüíóþ êàðòèíó âíóòðè ïðîòîíà ìû óâèäèì. Ïî
ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ñêîðîñòè ñâåòà ìû çàìåòèì, ÷òî
ãëþîíîâ âíóòðè ïðîòîíà ñòàíîâèòñÿ âñå áîëüøå è
áîëüøå. Áîëåå òîãî, îíè èíîãäà ðàñùåïëÿþòñÿ íà
êâàðê-àíòèêâàðêîâûå ïàðû, êîòîðûå òîæå ëåòÿò ðÿäîì
è òîæå ñ÷èòàþòñÿ ïàðòîíàìè.  ðåçóëüòàòå óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðîòîí, ò.å. ïðîòîí, äâèæóùèéñÿ îòíîñèòåëüíî íàñ ñî ñêîðîñòüþ, î÷åíü áëèçêîé ê ñêîðîñòè
ñâåòà, ïðåäñòàåò â âèäå âçàèìîïðîíèêàþùèõ îáëà÷êîâ
êâàðêîâ, àíòèêâàðêîâ è ãëþîíîâ, êîòîðûå ëåòÿò âìåñòå
è êàê áû ïîääåðæèâàþò äðóã äðóãà (ðèñ.3).
×èòàòåëü, çíàêîìûé ñ òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè, ìîæåò çàáåñïîêîèòüñÿ. Âñÿ ôèçèêà îñíîâàíà íà òîì
ïðèíöèïå, ÷òî ëþáîé ïðîöåññ ïðîòåêàåò îäèíàêîâî âî
âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. À òóò ïîëó÷àåò-
ÏÐÎÒÎÍ
'
ñÿ, ÷òî ñîñòàâ ïðîòîíà çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà, èç
êîòîðîé ìû åãî íàáëþäàåì?!
Äà, èìåííî òàê, íî ýòî íèêàê íå íàðóøàåò ïðèíöèï
îòíîñèòåëüíîñòè. Ðåçóëüòàòû ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññî⠖
íàïðèìåð, êàêèå ÷àñòèöû è ñêîëüêî ðîæäàþòñÿ â
ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ – äåéñòâèòåëüíî îêàçûâàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè, õîòÿ ñîñòàâ ïðîòîíà çàâèñèò îò
ñèñòåìû îòñ÷åòà.
Ýòà íåîáû÷íàÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, íî óäîâëåòâîðÿþùàÿ âñåì çàêîíàì ôèçèêè ñèòóàöèÿ ñõåìàòè÷íî ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ðèñóíêå 4. Çäåñü ïîêàçàíî, êàê ñòîëêíîâåíèå äâóõ ïðîòîíîâ ñ áîëüøîé ýíåðãèåé âûãëÿäèò
Ðèñ.4 Ñõåìàòè÷íîå èçîáðàæåíèå ñòîëêíîâåíèÿ äâóõ ïðîòîíîâ ïðè î÷åíü áîëüøîé ýíåðãèè: â ñèñòåìå ïîêîÿ âòîðîãî
ïðîòîíà (à), â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ (á), â ñèñòåìå ïîêîÿ
ïåðâîãî ïðîòîíà (â). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ âçàèìîäåéñòâèå
ïðîòîíîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç îáìåí «ãëþîííîãî äåðåâà»,
íî ê êîìó èìåííî åãî îòíîñèòü (ê ïåðâîìó èëè êî âòîðîìó
ïðîòîíó èëè æå ñ÷èòàòü îòäåëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì) –
çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà
â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà: â ñèñòåìå ïîêîÿ îäíîãî
ïðîòîíà, â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ, â ñèñòåìå ïîêîÿ
äðóãîãî ïðîòîíà. Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïðîòîíàìè
îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç êàñêàä ðàñùåïëÿþùèõñÿ ãëþîíîâ, íî òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå ýòîò êàñêàä ñ÷èòàåòñÿ
«âíóòðåííîñòüþ» îäíîãî ïðîòîíà, â äðóãîì ñëó÷àå –
Ðèñ.3. Ñõåìàòè÷íîå èçîáðàæåíèå ïðîòîíà â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ìåäëåííî äâèæóùèéñÿ ïðîòîí (à) ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü
â âèäå òðåõ êâàðêîâ (ñïëîøíûå ëèíèè), êîòîðûå ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ãëþîíàìè (øòðèõîâûå ëèíèè). Â áûñòðî äâèæóùåìñÿ
ïðîòîíå (á) ãëþîíû óæå èíîãäà ëåòÿò ðÿäîì ñ êâàðêàìè. Ïðè ñêîðîñòè ïðîòîíà, î÷åíü áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà (â), è ãëþîíû,
è ïîðîæäåííûìè èìè êâàðê-àíòèêâàðêîâûå ïàðû ñòàíîâÿòñÿ ïîëíîïðàâíûìè ïàðòîíàìè – ñîñòàâëÿþùèìè ÷àñòÿìè ïðîòîíà
01-18.p65
9
30.09.09, 16:31
ÊÂÀÍT 2009/¹5
÷àñòüþ äðóãîãî ïðîòîíà, à â òðåòüåì – ýòî ïðîñòî íåêèé
îáúåêò, êîòîðûì îáìåíèâàþòñÿ äâà ïðîòîíà. Ýòîò
êàñêàä ñóùåñòâóåò, îí ðåàëåí, íî ê êàêîé ÷àñòè ïðîöåññà åãî íàäî îòíîñèòü – çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà.
Òðåõìåðíûé ïîðòðåò ïðîòîíà
Âñå ðåçóëüòàòû, ïðî êîòîðûå ìû òîëüêî ÷òî ðàññêàçàëè, áàçèðîâàëèñü íà ýêñïåðèìåíòàõ, âûïîëíåííûõ
äîâîëüíî äàâíî – â 60-70-õ ãîäàõ ïðîøëîãî âåêà.
Êàçàëîñü áû, ñ òåõ ïîð âñå óæå äîëæíî áûòü èçó÷åíî
è âñå âîïðîñû äîëæíû íàéòè ñâîè îòâåòû. Íî íåò –
óñòðîéñòâî ïðîòîíà ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ îäíîé èç
ñàìûõ èíòåðåñíûõ òåì â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.
Áîëåå òîãî, â ïîñëåäíèå ãîäû èíòåðåñ ê íåé ñíîâà
âîçðîñ, ïîòîìó ÷òî ôèçèêè ïîíÿëè, êàê ïîëó÷èòü
«òðåõìåðíûé» ïîðòðåò áûñòðî äâèæóùåãîñÿ ïðîòîíà,
êîòîðûé îêàçàëñÿ ãîðàçäî ñëîæíåå ïîðòðåòà íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà.
Êëàññè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû ïî ñòîëêíîâåíèþ ïðîòîíîâ ðàññêàçûâàþò ëèøü î êîëè÷åñòâå ïàðòîíîâ è èõ
ðàñïðåäåëåíèè ïî ýíåðãèè. Â òàêèõ ýêñïåðèìåíòàõ
ïàðòîíû ó÷àñòâóþò êàê íåçàâèñèìûå îáúåêòû, à çíà÷èò, èç íèõ íåëüçÿ óçíàòü, êàê ïàðòîíû ðàñïîëîæåíû
äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, êàê èìåííî îíè ñêëàäûâàþòñÿ â ïðîòîí. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äîëãîå âðåìÿ ôèçèêàì
áûë äîñòóïåí ëèøü «îäíîìåðíûé» ïîðòðåò áûñòðî
ëåòÿùåãî ïðîòîíà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñòðîèòü íàñòîÿùèé, òðåõìåðíûé
ïîðòðåò ïðîòîíà è óçíàòü ðàñïðåäåëåíèå ïàðòîíîâ â
ïðîñòðàíñòâå, òðåáóþòñÿ ãîðàçäî áîëåå òîíêèå ýêñïåðèìåíòû, ÷åì òå, êîòîðûå áûëè âîçìîæíû 40 ëåò íàçàä.
Òàêèå ýêñïåðèìåíòû ôèçèêè íàó÷èëèñü ñòàâèòü ñîâñåì
íåäàâíî, áóêâàëüíî â ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå. Îíè
ïîíÿëè, ÷òî ñðåäè îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà ðàçíûõ ðåàêöèé, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò ïðè ñòîëêíîâåíèè ýëåêòðîíà
ñ ïðîòîíîì, åñòü îäíà îñîáåííàÿ ðåàêöèÿ – ãëóáîêîâèðòóàëüíîå êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå, – êîòîðàÿ è
ñìîæåò ðàññêàçàòü î òðåõìåðíîé ñòðóêòóðå ïðîòîíà.
Âîîáùå, êîìïòîíîâñêèì ðàññåÿíèåì, èëè ýôôåêòîì
Êîìïòîíà, íàçûâàþò óïðóãîå ñòîëêíîâåíèå ôîòîíà ñ
êàêîé-íèáóäü ÷àñòèöåé, íàïðèìåð ñ ïðîòîíîì. Âûãëÿäèò îíî òàê: ïðèëåòàåò ôîòîí, ïîãëîùàåòñÿ ïðîòîíîì,
êîòîðûé íà êîðîòêîå âðåìÿ ïåðåõîäèò â âîçáóæäåííîå
ñîñòîÿíèå, à ïîòîì âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå,
èñïóñêàÿ ôîòîí â êàêîì-íèáóäü íàïðàâëåíèè.
Êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå îáû÷íûõ ñâåòîâûõ ôîòîíîâ íå ïðèâîäèò íè ê ÷åìó èíòåðåñíîìó – ýòî ïðîñòîå
îòðàæåíèå ñâåòà îò ïðîòîíà. Äëÿ òîãî ÷òîáû «âñòóïèëà
â èãðó» âíóòðåííÿÿ ñòðóêòóðà ïðîòîíà è «ïî÷óâñòâîâàëèñü» ðàñïðåäåëåíèÿ êâàðêîâ, íàäî èñïîëüçîâàòü ôîòîíû î÷åíü áîëüøîé ýíåðãèè – â ìèëëèàðäû ðàç
áîëüøå, ÷åì â îáû÷íîì ñâåòå. À êàê ðàç òàêèå ôîòîíû
– ïðàâäà, âèðòóàëüíûå – ëåãêî ïîðîæäàåò íàëåòàþùèé
ýëåêòðîí. Åñëè òåïåðü îáúåäèíèòü îäíî ñ äðóãèì, òî è
ïîëó÷èòñÿ ãëóáîêî-âèðòóàëüíîå êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå (ðèñ.5).
Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü ýòîé ðåàêöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî
îíà íå ðàçðóøàåò ïðîòîí. Íàëåòàþùèé ôîòîí íå ïðîñòî áüåò ïî ïðîòîíó, à êàê áû òùàòåëüíî åãî îùóïûâàåò
è çàòåì óëåòàåò ïðî÷ü. Òî, â êàêóþ ñòîðîíó îí óëåòàåò
01-18.p65
10
Ðèñ.5. Ñõåìà ãëóáîêî-âèðòóàëüíîãî êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ. Íàëåòàþùèé ýëåêòðîí èñïóñêàåò âèðòóàëüíûé ôîòîí,
êîòîðûé è ðàññåèâàåòñÿ íà ïðîòîíå íàïîäîáèå ýôôåêòà
Êîìïòîíà
è êàêóþ ÷àñòü ýíåðãèè ó íåãî îòáèðàåò ïðîòîí, çàâèñèò
îò óñòðîéñòâà ïðîòîíà, îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ
ïàðòîíîâ âíóòðè íåãî. Èìåííî ïîýòîìó, èçó÷àÿ ýòîò
ïðîöåññ, ìîæíî âîññòàíîâèòü òðåõìåðíûé îáëèê ïðîòîíà, êàê áû «âûëåïèòü åãî ñêóëüïòóðó».
Ïðàâäà, äëÿ ôèçèêà-ýêñïåðèìåíòàòîðà ñäåëàòü ýòî
î÷åíü íåïðîñòî. Íóæíûé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò äîâîëüíî
ðåäêî, è çàðåãèñòðèðîâàòü åãî òðóäíî. Ïåðâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå îá ýòîé ðåàêöèè áûëè ïîëó÷åíû
ëèøü â 2001 ãîäó íà óñêîðèòåëå HERA â íåìåöêîì
óñêîðèòåëüíîì êîìïëåêñå DESY â Ãàìáóðãå; íîâàÿ
ñåðèÿ äàííûõ ñåé÷àñ îáðàáàòûâàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàòîðàìè. Âïðî÷åì, óæå ñåãîäíÿ, íà îñíîâàíèè ïåðâûõ
äàííûõ, òåîðåòèêè ðèñóþò òðåõìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ
êâàðêîâ è ãëþîíîâ â ïðîòîíå. Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà,
ïðî êîòîðóþ ôèçèêè ðàíüøå ñòðîèëè ëèøü ïðåäïîëîæåíèÿ, íàêîíåö ñòàëà «ïðîñòóïàòü» èç ýêñïåðèìåíòà.
Æäóò ëè íàñ êàêèå-íèáóäü íåîæèäàííûå îòêðûòèÿ â
ýòîé îáëàñòè? Âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî äà.  êà÷åñòâå
èëëþñòðàöèè ñêàæåì, ÷òî â íîÿáðå 2008 ãîäà ïîÿâèëàñü
èíòåðåñíàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ñòàòüÿ, â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî áûñòðî ëåòÿùèé ïðîòîí äîëæåí èìåòü âèä íå
ïëîñêîãî äèñêà, à äâîÿêîâîãíóòîé ëèíçû. Òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîòîìó, ÷òî ïàðòîíû, ñèäÿùèå â öåíòðàëüíîé
îáëàñòè ïðîòîíà, ñèëüíåå ñæèìàþòñÿ â ïðîäîëüíîì
íàïðàâëåíèè, ÷åì ïàðòîíû, ñèäÿùèå íà êðàÿõ. Áûëî
áû î÷åíü èíòåðåñíî ïðîâåðèòü ýòè òåîðåòè÷åñêèå ïðåäñêàçàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî!
Ïî÷åìó âñå ýòî èíòåðåñíî ôèçèêàì?
Çà÷åì âîîáùå ôèçèêàì íàäî çíàòü, êàê èìåííî ðàñïðåäåëåíî âåùåñòâî âíóòðè ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ?
Âî-ïåðâûõ, ýòîãî òðåáóåò ñàìà ëîãèêà ðàçâèòèÿ ôèçèêè. Â ìèðå åñòü ìíîãî ïîðàçèòåëüíî ñëîæíûõ ñèñòåì,
ñ êîòîðûìè ñîâðåìåííàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà ïîêà íå
ìîæåò ïîëíîñòüþ ñîâëàäàòü. Àäðîíû – îäíà èç òàêèõ
ñèñòåì. Ðàçáèðàÿñü ñ óñòðîéñòâîì àäðîíîâ, ìû îòòà÷èâàåì ñïîñîáíîñòè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, êîòîðûå âïîëíå
ìîãóò îêàçàòüñÿ óíèâåðñàëüíûìè è, âîçìîæíî, ïîìîãóò â ÷åì-òî ñîâñåì èíîì, íàïðèìåð ïðè èçó÷åíèè
ñâåðõïðîâîäíèêîâ èëè äðóãèõ ìàòåðèàëîâ ñ íåîáû÷íûìè ñâîéñòâàìè.
Âî-âòîðûõ, òóò åñòü íåïîñðåäñòâåííàÿ ïîëüçà äëÿ
ÿäåðíîé ôèçèêè. Íåñìîòðÿ íà ïî÷òè âåêîâóþ èñòîðèþ
èçó÷åíèÿ àòîìíûõ ÿäåð, òåîðåòèêè äî ñèõ ïîð íå çíàþò
òî÷íûé çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ.
30.09.09, 16:31
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Èì ïðèõîäèòñÿ ýòîò çàêîí îò÷àñòè óãàäûâàòü, èñõîäÿ
èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, îò÷àñòè êîíñòðóèðîâàòü íà îñíîâå çíàíèé î ñòðóêòóðå íóêëîíîâ. Òóò-òî è
ïîìîãóò íîâûå äàííûå î òðåõìåðíîì óñòðîéñòâå íóêëîíîâ.
Â-òðåòüèõ, íåñêîëüêî ëåò íàçàä ôèçèêè ñóìåëè ïîëó÷èòü íè ìíîãî íè ìàëî íîâîå àãðåãàòíîå ñîñòîÿíèå
âåùåñòâà – êâàðê-ãëþîííóþ ïëàçìó.  òàêîì ñîñòîÿíèè êâàðêè íå ñèäÿò âíóòðè îòäåëüíûõ ïðîòîíîâ è
íåéòðîíîâ, à ñâîáîäíî ãóëÿþò ïî âñåìó ñãóñòêó ÿäåðíîãî âåùåñòâà. Äîñòè÷ü åãî ìîæíî, íàïðèìåð, òàê: òÿæåëûå ÿäðà ðàçãîíÿþòñÿ â óñêîðèòåëå äî ñêîðîñòè, î÷åíü
áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà, è çàòåì ñòàëêèâàþòñÿ ëîá â
ëîá.  ýòîì ñòîëêíîâåíèè íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ
âîçíèêàåò òåìïåðàòóðà â òðèëëèîíû ãðàäóñîâ, êîòîðàÿ
è ðàñïëàâëÿåò ÿäðà â êâàðê-ãëþîííóþ ïëàçìó. Òàê âîò,
îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ýòîãî ÿäåðíîãî
ïëàâëåíèÿ òðåáóþò õîðîøåãî çíàíèÿ òðåõìåðíîãî óñòðîéñòâà íóêëîíîâ.
Íàêîíåö, ýòè äàííûå î÷åíü íóæíû äëÿ àñòðîôèçèêè.
Êîãäà òÿæåëûå çâåçäû âçðûâàþòñÿ â êîíöå ñâîåé
æèçíè, îò íèõ ÷àñòî îñòàþòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî êîìïàêòíûå
îáúåêòû – íåéòðîííûå è, âîçìîæíî, êâàðêîâûå çâåçäû.
Ñåðäöåâèíà ýòèõ çâåçä öåëèêîì ñîñòîèò èç íåéòðîíîâ,
à ìîæåò áûòü äàæå è èç õîëîäíîé êâàðê-ãëþîííîé
ïëàçìû. Òàêèå çâåçäû óæå äàâíî îáíàðóæåíû, íî ÷òî
ïðîèñõîäèò ó íèõ âíóòðè – ìîæíî òîëüêî äîãàäûâàòüñÿ. Òàê ÷òî õîðîøåå ïîíèìàíèå êâàðêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæåò ïðèâåñòè ê ïðîãðåññó è â àñòðîôèçèêå.
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Êîñìè÷åñêèé íàíîëèôò
Ê.ÁÎÃÄÀÍÎÂ
È
ÇÂÅÑÒÍÎ, ×ÒÎ ÌÍÎÃÈÅ ÑÏÓÒÍÈÊÈ ÇÅÌËÈ,
íàïðèìåð ñïóòíèêè ñâÿçè è ìåòåîðîëîãè÷åñêèå
ñïóòíèêè, íàõîäÿòñÿ íà ãåîñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ è, òàêèì îáðàçîì, ìîãóò íåïîäâèæíî âèñåòü íàä
îäíîé è òîé æå òî÷êîé åå ïîâåðõíîñòè.
Îöåíèì âûñîòó H ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Ïóñòü RÇ = 6400 êì = 6,4 ◊ 106 ì –
ðàäèóñ Çåìëè, Ò = 24 ÷ = 86400 ñ – ïåðèîä åå îáðàùåíèÿ
âîêðóã îñè. Òîãäà ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü v ãåîñòàöèîíàðíîãî ñïóòíèêà â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé
ñ îñüþ Çåìëè, ðàâíà
v=
2π ( RÇ + H )
.
T
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå
ñïóòíèêà a äîëæíî áûòü ðàâíî óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ g íà äàííîé âûñîòå:
a=
 RÇ 
g = g0 

 RÇ + H 
v2
,
RÇ + H
2
, ãäå g0 = 9,8 ì ñ2 ,
a = g.
Îòñþäà ïîñëå íåñêîëüêèõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
H=
3
g0 RÇ2Ò 2
− RÇ = 35900 êì .
4π2
Åùå ó Ê.Ý.Öèîëêîâñêîãî âîçíèêëà ìûñëü èñïîëüçîâàòü ãåîñòàöèîíàðíûå ñïóòíèêè, à âñå íåîáõîäèìîå äëÿ
ðàáîòû äîñòàâëÿòü òóäà íà êîñìè÷åñêîì ëèôòå ïî
01-18.p65
11
òðîñó, ñîåäèíÿþùåìó ñïóòíèê ñ òî÷êîé íà Çåìëå, íàä
êîòîðîé îí íàõîäèòñÿ. Îäíàêî ïðîñòûå ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî òàêîé òðîñ, ñäåëàííûé äàæå èç ñàìûõ ïðî÷íûõ ñîðòîâ ñòàëè, îáîðâåòñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé
òÿæåñòè.
Íàéäåì, êàêîé ìîæåò áûòü ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà L
òðîñà èç ñòàëè, êîòîðûé íå ðàçîðâåòñÿ ïîä ñèëîé
ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Ïðåäåë ïðî÷íîñòè ñòàëè σïð =
= 0,8 ÃÏà, ïëîòíîñòü ñòàëè ρ = 7800 êã ì3 . Åñëè S –
ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðîñà, òî âåñ P òðîñà
äëèíîé L è ïëîòíîñòüþ ρ ðàâåí P = ρgLS . Êîãäà òðîñ
ïîäâåøåí çà îäèí êîíåö, ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå σ
(îòíîøåíèå ñèëû óïðóãîñòè òðîñà ê ïëîùàäè åãî
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ) â ñàìîé âåðõíåé òî÷êå òðîñà
ðàâíî
P
σ=
= ρgL .
S
×òîáû òðîñ íå ðàçîðâàëñÿ, σ äîëæíî áûòü ìåíüøå
σïð , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
σïð
L<
≈ 10 êì .
ρg
Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå äëèíû òðîñà äåéñòâèòåëüíî
ãîðàçäî ìåíüøå âûñîòû ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû ñïóòíèêà.
Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ñàìûìè ïðî÷íûìè ìàòåðèàëàìè íà Çåìëå ñåãîäíÿ ÿâëÿþòñÿ óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè.
Òåîðåòè÷åñêè èõ ïðî÷íîñòü äîëæíà ñîñòàâëÿòü îêîëî
300 ÃÏà, îäíàêî ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ íå áîëåå 60 ÃÏà. Ýòè ðàçëè÷èÿ, ïî-âèäèìîìó,
âûçâàíû îòñóòñòâèåì òåõíîëîãèè ïðîèçâîäñòâà äëèííûõ íàíîòðóáîê áåç äåôåêòîâ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ
äëèíà íàíîòðóáîê ñîñòàâëÿåò íå áîëåå íåñêîëüêèõ
30.09.09, 16:29
ÊÂÀÍT 2009/¹5
ìèëëèìåòðîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ íàíîòåõíîëîãèé ñòàíåò âîçìîæíûì èçãîòîâëåíèå áåçäåôåêòíûõ íàíîòðóáîê äëèíîé â
ñîòíè è òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ. Ýòî ñäåëàåò âîçìîæíûì
âåðíóòüñÿ ê èäåå êîñìè÷åñêîãî ëèôòà, èñïîëüçóÿ âìåñòî òðîñà íàíîòðóáêè.
Íàéäåì ìàññó Ì óãëåðîäíîé íàíîòðóáêè äëèíîé L =
= 1 êì è äèàìåòðîì D = 1,4 íì, ñ÷èòàÿ, ÷òî íàíîòðóáêà
ñîñòîèò èç àòîìîâ óãëåðîäà, îáðàçóþùèõ ïðàâèëüíûå
øåñòèóãîëüíèêè ñ ðåáðîì d = 0,14 íì (ñì. ðèñóíîê).
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî øèðèíà øåñòèóãîëüíèêà (ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ðåáðàìè) ñîñòàâëÿåò
a = d 3 . Âäîëü ïåðèìåòðà íàíîòðóáêè óêëàäûâàåòñÿ
ïîëîñêà èç n òàêèõ øåñòèóãîëüíèêîâ, ïðè÷åì
πD
n=
= 18 .
d 3
Îáùåå ÷èñëî àòîìîâ óãëåðîäà â ýòèõ øåñòèóãîëüíèêàõ
ðàâíî 4n. Àíàëîãè÷íûå ïîëîñêè èç n àòîìîâ ïîâòîðÿþòñÿ âäîëü äëèíû íàíîòðóáêè ÷åðåç ðàññòîÿíèå, ðàâíîå 3d. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî àòîìîâ N ó òàêîé
íàíîòðóáêè äëèíîé L ñîñòàâèò
N = 4n
L
4 ⋅ 18 ⋅ 103 ì
=
= 1,7 ⋅ 1014 .
3d 3 ⋅ 0,14 ⋅ 10−9 ì
Ìàññà òàêîé íàíîòðóáêè áóäåò ðàâíà
M = N ⋅ 12 ⋅ 1,67 ⋅ 10−27 êã = 3,4 ⋅ 10−12 êã .
Ñ÷èòàÿ ïðî÷íîñòü òðîñà èç íàíîòðóáîê ðàâíîé σïð =
3
= 300 ÃÏà, à åãî ïëîòíîñòü ρ = 1400 êã ì , îïðåäåëèì
ìàêñèìàëüíóþ äëèíó Lmax ýòîãî òðîñà, íå îáðûâàþùåãîñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Ïðè÷åì èçìåíåíèåì óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðè óäàëåíèè îò
Çåìëè ñíà÷àëà áóäåì ïðåíåáðåãàòü.
Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòîâ äëÿ ñòàëüíîãî
òðîñà è íàéäåì íàïðÿæåíèå íàøåãî òðîñà èç íàíîòðóáîê: σ = ρgL . ×òîáû òðîñ íå ðàçîðâàëñÿ, äîëæíî
âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
σ
σ < σïð , èëè Lmax < ïð ª 22000 êì .
ρg
Óæå íåïëîõîé ðåçóëüòàò.
À êàêîé ìîæåò áûòü ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà Lmax ýòîãî
íå îáðûâàþùåãîñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé òÿæåñòè
òðîñà, åñëè ó÷åñòü èçìåíåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ ïðè óäàëåíèè îò Çåìëè?
Ïóñòü ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðîñà ðàâíà S.
Òîãäà âåñ dP îòðåçêà òðîñà äëèíîé dH è ïëîòíîñòüþ ρ
2
 RÇ 
ðàâåí dP = ρgSdH , ãäå g = g0 
 . Åñëè òðîñ
 RÇ + H 
äëèíîé L ïîäâåñèòü çà îäèí êîíåö, òî íàïðÿæåíèå â
ñàìîé âåðõíåé òî÷êå òðîñà áóäåò ðàâíî
σ=
L
P
dH
L
= ρg0 RÇ2 ∫
= ρg0 RÇ
.
2
S
R
Ç +L
0 ( RÇ + H )
Ïîñëåäíèé ñîìíîæèòåëü â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî
âûðàæåíèÿ ïðè çíà÷åíèÿõ L > RÇ ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ, ñòðåìÿñü ê åäèíèöå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåíèå σ íå ìîæåò áûòü áîëüøå ρg0 RÇ ª 0,3 σïð .
Òàêèì îáðàçîì, òðîñ, ñäåëàííûé èç óãëåðîäíûõ
íàíîòðóáîê, â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå Çåìëè ìîæåò áûòü
ëþáîé äëèíû, òàê êàê îí íèêîãäà íå ðàçîðâåòñÿ ïîä
äåéñòâèåì ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Ýòî äåëàåò èäåþ êîñìè÷åñêîãî ëèôòà âïîëíå ðåàëüíîé.
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Áëàãîòâîðèòåëüíûé ôîíä «Íîâàÿ ìûñëü» (ó÷ðåäèòåëü ÇÀÎ «Ôèíàì») îáúÿâëÿåò êîíêóðñ ñðåäè
ëèö, ñêëîííûõ ê êðèòè÷åñêîìó àíàëèçó ðàçëè÷íûõ ïðîáëåì ôèçèêè, ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè.
Êîíêóðñàíò äîëæåí ñàì ïîñòàâèòü çàäà÷ó è ïðåäñòàâèòü åå ðåøåíèå.
Öåëü êîíêóðñà: âûÿâëåíèå è ïîîùðåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî è êîíñòðóêòèâíî ìûñëÿùèõ ëþäåé.
Êîíêóðñ – åæåãîäíûé. Óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ î÷åðåäíîãî êîíêóðñà îáúÿâëÿþòñÿ â äåêàáðå, èòîãè
ïîäâîäÿòñÿ â ìàå ñëåäóþùåãî ãîäà, ïðè÷åì îòäåëüíî äëÿ ëèö íå ñòàðøå 18 ëåò è äëÿ ëèö äî 35 ëåò.
Ïðåìèàëüíûå ôîíäû ôîðìèðóþòñÿ â ñëåäóþùèõ ðàçìåðàõ:
äëÿ ó÷àñòíèêîâ âîçðàñòíîé êàòåãîðèè äî 18 ëåò – 300000 ðóá. (ãëàâíàÿ ïðåìèÿ 150000 ðóá., òðè
ïîîùðèòåëüíûå ïî 50000 ðóá.);
äëÿ ó÷àñòíèêîâ âîçðàñòíîé êàòåãîðèè äî 35 ëåò – 500000 ðóá. (ãëàâíàÿ ïðåìèÿ 200000 ðóá., òðè
ïîîùðèòåëüíûå ïî 100000 ðóá.).
Îðãêîìèòåò êîíêóðñà ïëàíèðóåò âïîñëåäñòâèè óâåëè÷åíèå îáúåìîâ íàãðàäíûõ ôîíäîâ.
Îáðàùåíèå-äåêëàðàöèÿ Îðãêîìèòåòà êîíêóðñà ê ó÷àñòíèêàì, ïðàâèëà îôîðìëåíèÿ çàÿâîê, ñðîêè,
ìåñòî è ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ êîíêóðñíûõ ìàòåðèàëîâ, à òàêæå ïðî÷àÿ èíôîðìàöèÿ – âñå ýòî áóäåò
îïóáëèêîâàíî â øåñòîì íîìåðå æóðíàëà «Êâàíò» çà 2009 ãîä è â íà÷àëå äåêàáðÿ ïîìåùåíî íà ñàéòå
æóðíàëà «Êâàíò».
01-18.p65
12
30.09.09, 16:29
Çàäà÷à Ýðäåøà – Ñåêåðåøà:
ïðîäîëæåíèå èñòîðèè
Â.ÊÎØÅËÅÂ, À.ÐÀÉÃÎÐÎÄÑÊÈÉ
Ñíîâà â ïóòü
 «Êâàíòå» ¹2 çà ýòîò ãîä áûëà îïóáëèêîâàíà íàøà
ñòàòüÿ «Çàäà÷à Ýðäåøà – Ñåêåðåøà î âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ» [1]. Òàì ìû ðàññêàçûâàëè óäèâèòåëüíóþ (à ìåñòàìè äàæå ðîìàíòè÷åñêóþ) èñòîðèþ îäíîé
èç ñàìûõ êðàñèâûõ è ïîïóëÿðíûõ ïðîáëåì êîìáèíàòîðíîé ãåîìåòðèè – èñòîðèþ, êîòîðàÿ íà÷àëàñü 75 ëåò
íàçàä è êîòîðàÿ âåñüìà äàëåêà îò ñâîåãî çàâåðøåíèÿ.
×èòàòåëþ, æåëàþùåìó êàê ñëåäóåò ïîíÿòü èñòîêè òîãî,
î ÷åì ìû ïîâåäåì ðå÷ü â íûíåøíåé ñòàòüå, íåîáõîäèìî,
êîíå÷íî, âîîðóæèòüñÿ âûøåóïîìÿíóòîé ñòàòüåé, âåäü
çäåñü ìû ëèøü íàïîìíèì êðàòêîå ñîäåðæàíèå «ïðåäûäóùèõ ñåðèé», à ïîñëå äâèíåìñÿ â ïðèíöèïèàëüíî
íîâûå äëÿ íàñ, äî ñèõ ïîð íåèçâåäàííûå îáëàñòè.
Èòàê, îñíîâíûìè îáúåêòàìè íàøåãî èññëåäîâàíèÿ
áûëè ìíîæåñòâà òî÷åê îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè. Íàïîìíèì, ÷òî òàêîâû âñå ìíîæåñòâà, íèêàêèå òðè
ýëåìåíòà êîòîðûõ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Íàøåé
öåëüþ áûëî îòûñêàíèå äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà n çíà÷åíèÿ ôóíêöèè g (n ) , êîòîðóþ ìû ïîëàãàëè
ðàâíîé íàèìåíüøåìó g òàêîìó, ÷òî â ëþáîì ìíîæåñòâå
îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåì ìîùíîñòü
g, îáÿçàòåëüíî åñòü n òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè
âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà.
Ñïåðâà ìû îáñóäèëè âîïðîñ î ïîâåäåíèè ôóíêöèè
g (n ) ïðè n ∈ {3,4,5,6} è âûÿñíèëè, ÷òî âñÿêèé ðàç
g (n ) = 2n −2 + 1 . Çàòåì ìû óáåäèëèñü â òîì, ÷òî âîîáùå
ïðè âñåõ n ≥ 3 âåëè÷èíà g (n ) êîíå÷íà è ÷òî, áîëåå
òîãî, g (n ) ≤ 4n , òî÷íåå g (n ) ≤ C2nn−−25 + 1 ïðè n ≥ 5 .
Íàêîíåö, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïÿòü-òàêè ïðè ëþáîì n
g ( n ) ≥ 2n − 2 + 1 .
Âîò, â ñóùíîñòè, è âñå. Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî ýòî
ëèøü íà÷àëî ïóòè. È äåëî íå òîëüêî â òîì, ÷òî òî÷íûé
âèä ôóíêöèè g (n ) ïî-ïðåæíåìó íåèçâåñòåí (ìû ëèøü
ìîæåì âåðèòü âñëåä çà àâòîðàìè ïðîáëåìû, ÷òî
g (n ) = 2n −2 + 1 ); äåëî åùå è â òîì, ÷òî èñõîäíàÿ çàäà÷à
äîïóñêàåò ðÿä âåñüìà åñòåñòâåííûõ, íè÷óòü íå ìåíåå
êðàñèâûõ îáîáùåíèé è, êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü â íàóêå,
ìîäèôèêàöèé. Èìåííî î íèõ ìû òåïåðü è ïîãîâîðèì.
Âûïóêëûå è ïóñòûå ìíîãîóãîëüíèêè
Ìîäèôèêàöèÿ çàäà÷è Ýðäåøà – Ñåêåðåøà
Ñïóñòÿ áåç ìàëîãî ïîëâåêà ñ ìîìåíòà âûõîäà â ñâåò
çàìå÷àòåëüíîé ñòàòüè [2], à òî÷íåå â 1978 ãîäó, Ï.Ýðäåø ïðåäëîæèë ñëåãêà âèäîèçìåíèòü óñëîâèå èñõîäíîé
ïðîáëåìû, êîòîðàÿ ê òîìó âðåìåíè ñòàëà êëàññè÷åñêîé.
01-18.p65
13
Îí çàäàëñÿ âîïðîñîì: ÷òî åñëè ìû áóäåì èñêàòü â òîì
èëè èíîì ìíîæåñòâå : îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè íå ïðîñòî âåðøèíû âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, íî
âåðøèíû òàêèõ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, âíóòðè
êîòîðûõ íåò äðóãèõ òî÷åê ìíîæåñòâà : ? Òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè åñòåñòâåííî íàçûâàòü ïóñòûìè èëè äûðàìè.
Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàí
ïðèìåð äûðû è ïðèìåð íå äûðû.
Ââåäåì âåëè÷èíó
h (n) , êîòîðàÿ ïîñëóæèò àíàëîãîì âåëè÷èíû g (n ) â ðàìêàõ íî- Ðèñ 1. Ïðèìåð äûðû è íå äûðû
âîé çàäà÷è. ×òî ýòî
çíà÷èò? Ïî èäåå, âñå î÷åíü ïðîñòî. Äîïóñòèì, äëÿ
äàííîãî íàòóðàëüíîãî n ≥ 3 ìû íàøëè òàêîå ÷èñëî h,
÷òî â ëþáîì ìíîæåñòâå îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåì ìîùíîñòü h, åñòü ïóñòîé n-óãîëüíèê è
íàéäåòñÿ ìíîæåñòâî îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè,
èìåþùåå ðàçìåð h – 1 è äûð íà n âåðøèíàõ íå
ñîäåðæàùåå. Âîò è ïîëîæèì òîãäà h (n) = h. Ïðîñòî?
Íå ñîâñåì. Äåëî â òîì, ÷òî ñõîäó íå âïîëíå ïîíÿòíî,
ïî÷åìó íàëè÷èå ïóñòûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ â ïðîèçâîëüíîì h-òî÷å÷íîì ìíîæåñòâå ãàðàíòèðóåò íàì èõ ïðèñóòñòâèå â êàæäîì ìíîæåñòâå ðàçìåðà h + 1. Âîçíèêàåò
ïðîáëåìà ñ ñîáëþäåíèåì óñëîâèÿ ïóñòîòû, êîòîðîãî
ðàíüøå (ò.å. ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû g (n ) ) âîâñå íå
áûëî. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ïðåæäå ìû ñïîêîéíî
ãîâîðèëè î ïîãðàíè÷íîé âåëè÷èíå g (n ) , íà÷èíàÿ ñ
êîòîðîé âñÿêîå ìíîæåñòâî ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà
ñîäåðæàëî âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, òî îòíûíå òàêîå
ñïîêîéñòâèå åùå íóæíî çàñëóæèòü. Ïî ñ÷àñòüþ, ïðîáëåìà ëåãêî óñòðàíèìà.
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü ïðè íåêîòîðîì h ëþáîå
ìíîæåñòâî îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåå
ìîùíîñòü h, ñîäåðæèò âûïóêëûé è ïóñòîé n-óãîëüíèê. Òîãäà òî æå ñàìîå âåðíî è äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà îáùåãî ïîëîæåíèÿ ðàçìåðà h + 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî : ìîùíîñòè h + 1. Ïóñòü 0 – ìíîãîóãîëüíèê,
ÿâëÿþùèéñÿ åãî âûïóêëîé îáîëî÷êîé (ñì. [1]). Óäàëèì èç : ëþáóþ âåðøèíó ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà.
Îñòàíåòñÿ ìíîæåñòâî ðàçìåðà h, â êîòîðîì, ïî íàøåìó
ïðåäïîëîæåíèþ, åñòü âûïóêëûé è ïóñòîé n-óãîëüíèê.
Î÷åâèäíî, âûêèíóòàÿ íàìè âåðøèíà íàõîäèòñÿ âíå
ýòîãî n-óãîëüíèêà. Çíà÷èò, : ñîäåðæèò âûïóêëûé è
ïóñòîé n-óãîëüíèê. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Åñëè êàæäîìó h, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî
30.09.09, 16:30
"
ÊÂÀÍT 2009/¹5
ðàçìåðà h áåç âûïóêëûõ è ïóñòûõ n-óãîëüíèêîâ, ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå 0, à êàæäîìó h, äëÿ êîòîðîãî
ïîäîáíîãî ìíîæåñòâà íåò, ñîïîñòàâëÿòü 1, òî, ââèäó
óòâåðæäåíèÿ 1, âîçíèêíåò îäíà èç òðåõ ñèòóàöèé,
èçîáðàæåííûõ ãðàôè÷åñêè íà ðèñóíêå 2.  ïåðâîé
Ðèñ. 2. Ñèòóàöèè, âîçíèêàþùèå ïðè îïðåäåëåíèè h (n )
ñèòóàöèè h (n) = 3, âî âòîðîé –
h (n) = h, â òðåòüåé ñèòóàöèè
ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî h (n) = ∞
èëè ÷òî h (n) íå ñóùåñòâóåò.
Ïîïðîáóåì ðàçîáðàòüñÿ ñ ìàëûìè n. Î÷åâèäíî, ÷òî h(3) = 3.
Çíàÿ äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî
g(4) = 5, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî è
Ðèñ. 3. ×åòûðå òî÷êè áåç
h(4) = 5. Èëëþñòðàöèè ê òîìó
âûïóêëûõ ÷åòûðåõïðåæíèå (ðèñ. 3, 4).
óãîëüíèêîâ
Ðèñ. 4. Âàðèàíòû âçèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïÿòè òî÷åê
Òàê, ìîæåò, h (n) = g (n)?
...È Ýðäåø òîëüêî çðÿ ñòàðàëñÿ, ïðèäóìûâàÿ ìîäèôèêàöèþ ñâîåé ñòàðîé çàäà÷è? Ý íåò, âñå êóäà èíòåðåñíåå. Âî-ïåðâûõ, íà ðèñóíêå 5 èçîáðàæåí ïðèìåð ìíîæåñòâà èç äåâÿòè òî÷åê: îíî â îáùåì ïîëîæåíèè, è, êàê ïîëîæåíî, âûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè íà åãî ýëåìåíòàõ ñòðîÿòñÿ; îäíàêî íè îäèí èç ýòèõ
ïÿòèóãîëüíèêîâ ïóñòûì íå ÿâëÿåòñÿ.
Ðèñ. 5. Ïðèìåð äåâÿòè òî÷åê áåç
Èòàê, h (5 ) ≥ 10 >
âûïóêëûõ è ïóñòûõ ïÿòèóãîëüíèg (5 ) = 9 . Íà ñàìîì
>
êîâ
äåëå h (5 ) = 10. Ýòî
ïîêàçàë Õ.Õàðáîðò â 1978 ãîäó. Ìû íå ñòàíåì ïðèâîäèòü çäåñü åãî ðàññóæäåíèå, êîòîðîå, âïðî÷åì, íå î÷åíü
è ñëîæíîå.
À â 1983 ãîäó, ìîæíî ñêàçàòü, ãðÿíóë ãðîì ñðåäè
ÿñíîãî íåáà: Äæ.Õîðòîí äîêàçàë íåñóùåñòâîâàíèå âåëè÷èíû h(7) è, ñòàëî áûòü, âñåõ h (n) ïðè n ≥ 7 . Äëÿ
êàæäîãî h îí ïîñòðîèë ïðèìåð ìíîæåñòâà èç h òî÷åê íà
ïëîñêîñòè, â êîòîðîì íåò âûïóêëûõ è ïóñòûõ ñåìè-
01-18.p65
14
óãîëüíèêîâ. Â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû îïèøåì õîðòîíîâñêóþ êîíñòðóêöèþ.
Ìíîæåñòâà Õîðòîíà
Èòàê, íàì íóæíî äëÿ êàæäîãî h ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî
íà ïëîñêîñòè, ðàçìåð êîòîðîãî h è â êîòîðîì ëþáîé
âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó
âíóòðè. Ðàäè ðåàëèçàöèè ýòîãî çàìûñëà íàì ïîòðåáóåòñÿ âñïîìíèòü îïðåäåëåíèÿ «÷àøåê» è «êðûøåê».
×àøêè è êðûøêè: êðàòêîå íàïîìèíàíèå. Êîíå÷íî,
îïðåäåëåíèå ÷àøåê è êðûøåê ìû óæå äàâàëè â ñòàòüå
[1], è èìåííî ê íåé íàì ñëåäóåò îòîñëàòü ÷èòàòåëÿ.
Ñîîòâåòñòâåííî, çäåñü ìû íå ñòàíåì âäàâàòüñÿ â êàêèåëèáî ïîäðîáíîñòè. Ìû ëèøü ïîä÷åðêíåì, ÷òî è ÷àøêè,
è êðûøêè îïðåäåëÿþòñÿ â íåêîòîðîé (ëþáîé) ñèñòåìå
êîîðäèíàò, êàêîâóþ îòíûíå ìû áóäåì ñ÷èòàòü ðàç è
íàâñåãäà çàôèêñèðîâàííîé íà ïëîñêîñòè.  ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òèïè÷íàÿ ÷àøêà è òèïè÷íàÿ êðûøêà
âûãëÿäÿò òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6.
Ðèñ. 6. Ñèñòåìà êîîðäèíàò è òèïè÷íûå ÷àøêà è êðûøêà â íåé
Íàïîìíèì åùå, ÷òî k-÷àøêà – ýòî ÷àøêà ñ k óçëàìè
è, ñòàëî áûòü, k – 1 çâåíüÿìè. Íàïðèìåð, ÷àøêà íà
ðèñóíêå 6 ÿâëÿåòñÿ 6-÷àøêîé. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è k-êðûøêè.
È äëÿ ÷åãî æå íàì ÷àøêè ñ êðûøêàìè? À âñå äåëî
â òîì, ÷òî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ïðîñòîå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáîé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê íà
ïëîñêîñòè, ó êîòîðîãî â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
íåò ñòîðîí, ïàðàëëåëüíûõ îñè Oy (íàçîâåì òàêèå
ñòîðîíû âåðòèêàëüíûìè), ëèáî ñîäåðæèò 5-÷àøêó,
ëèáî ñîäåðæèò 5-êðûøêó.
Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ ìû ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Âûâîä èç óòâåðæäåíèÿ
òàêîé: åñëè äëÿ äàííîãî h ìû ïîñòðîèëè ìíîæåñòâî
ðàçìåðà h íà ïëîñêîñòè, â êîòîðîì íèêàêèå äâå òî÷êè íå
ñëóæàò êîíöàìè âåðòèêàëüíîãî îòðåçêà è â êîòîðîì ëþáàÿ 5-÷àøêà è ëþáàÿ 5-êðûøêà ñîäåðæàò õîòÿ áû îäíó
òî÷êó ýòîãî ìíîæåñòâà, òî è ëþáîé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê â ýòîì ìíîæåñòâå íå ïóñò. (Ìû ãîâîðèì, ÷òî
÷àøêà (èëè êðûøêà) ñîäåðæèò òî÷êó, åñëè ýòó òî÷êó
ñîäåðæèò âûïóêëûé ïÿòèóãîëüíèê, ïîëó÷åííûé èç
íàøåé ÷àøêè (êðûøêè) äîáàâëåíèåì íåäîñòàþùåãî
ðåáðà.)
Íåáîëüøîå óïðîùåíèå çàäà÷è. Èòàê, íàì íóæíî
äëÿ êàæäîãî h ïðèäóìàòü ìíîæåñòâî ìîùíîñòè h íà
ïëîñêîñòè, â êîòîðîì íåò âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ è â
êîòîðîì êàæäàÿ 5-÷àøêà è êàæäàÿ 5-êðûøêà â èçâåñòíîì ñìûñëå ñîäåðæàò òî÷êè. À â ñóùíîñòè, çà÷åì äëÿ
êàæäîãî h? Íà ñàìîì äåëå, âïîëíå õâàòèò íàì è
ïðîèçâîëüíîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë hk , k = 1, 2, 3, … Ïðîñòî ââèäó óòâåð-
30.09.09, 16:30
ÇÀÄÀ×À
ÝÐÄÅØÀ
–
ÑÅÊÅÐÅØÀ:
æäåíèÿ 1 íå áûâàåò
ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 7
(ñðàâíèòå ñ ðèñóíêîì
2), âåäü åñëè åñòü íà
ãðàôèêå íîëü, òî è
Ðèñ. 7. Íåâîçìîæíàÿ ñèòóàöèÿ
ñëåâà îò íåãî ñòîÿò
òîëüêî íóëè.
 äàëüíåéøåì ìû ðàññìîòðèì k = 4, 5, 6, … è â
êà÷åñòâå hk âîçüìåì 2k . Äàáû ñäåëàòü èçëîæåíèå
ïðåäåëüíî ÿñíûì, ìû ñïåðâà âî âñåõ ïîäðîáíîñòÿõ
îïèøåì êîíñòðóêöèþ â ñëó÷àå k = 4.
Ñëó÷àé k = 4. Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå
ìíîæåñòâà èç øåñòíàäöàòè òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Îíî
äîëæíî áûòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ, è â íåì íå äîëæíî áûòü
ïóñòûõ 5-÷àøåê èëè 5-êðûøåê, à òàêæå âåðòèêàëüíûõ
îòðåçêîâ. Îðãàíèçóåì èòåðàòèâíûé ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ. Èäåÿ ïðîñòàÿ: åñëè óæå åñòü êàêîå-òî ìíîæåñòâî,
òî åãî êîïèþ, ïîëó÷åííóþ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà
«äîñòàòî÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå», îáúåäèíèì ñ íèì è
âñå âìåñòå îáúÿâèì íîâûì ìíîæåñòâîì. Ïîíÿòíî ñðàçó,
÷òî, ñòàðòîâàâ ñ îäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà, ìû çà ÷åòûðå
øàãà êàê ðàç è ïîëó÷èì øåñòíàäöàòü òî÷åê.
×òî æ, ïîëîæèì S1 = {(0;0 )} , ò.å. S1 – ýòî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç îäíîé òî÷êè – íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ.8,à). Ñäâèíåì ýòî ìíîæåñòâî íà âåêòîð
(1; 8), ïîëó÷èòñÿ ìíîæåñòâî S2 = {(0;0 ), (1;8 )} , êîòîðîå ìû ñ ëåãêîñòüþ èçîáðàçèì íà ðèñóíêå 8,á. Òåïåðü
S2 ìû ñäâèãàåì íà âåêòîð (17; 4). Èìååì
ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ
#
ÈÑÒÎÐÈÈ
Ðèñ. 9. Ìíîæåñòâî Õîðòîíà äëÿ k = 4
äåëàåòñÿ ïóòåì ñðàâíèòåëüíî íåõèòðîãî ïåðåáîðà. Ìû
ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîìó ðàçîáðàòüñÿ â ýòîì. Áóäåò
íå î÷åíü ëåãêî! Âîçìîæíî, ñëåäóþùèå èëëþñòðàöèè
(ðèñ.10 è 11), ïîêàçûâàþùèå òèïè÷íûå 5-÷àøêè (âñåãäà íåïóñòûå), ñëåãêà ïîìîãóò ÷èòàòåëþ.
Ðèñ. 10. 5-÷àøêà â ìíîæåñòâå S 4
S3 = S2 ∪ {(17;4 ), (18;12 )} .
Ýòî ñâîåãî ðîäà «çìåéêà», ïîêàçàííàÿ â óìåíüøåííîì
ïî îñè x ìàñøòàáå íà ðèñóíêå 8,â.
Ðèñ. 11. 5-÷àøêè â ìíîæåñòâå S 5
Ðèñ. 8. Èòåðàòèâíîå ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà Õîðòîíà äëÿ k =
= 1, 2, è 3
Äàëåå îñóùåñòâëÿåì ñäâèã âñåé çìåéêè íà âåêòîð
(17 ; 2) = (289; 2) (ñîâñåì äàëåêî îò èñõîäíîé çìåéêè
2
ðàñïîëàãàåì åå êîïèþ). Îáðàçóåòñÿ ìíîæåñòâî S4 ñ
ïðàâîé ÷àñòè ðèñóíêà 8,ã, êîòîðóþ ìû íàäëåæàùèì
îáðàçîì ïðîìàñøòàáèðîâàëè â ñðàâíåíèè ñ äðóãèìè
÷àñòÿìè òîãî æå ðèñóíêà.
Íàêîíåö, èç S4 ôîðìèðóåì S5 ïðè ïîìîùè ïåðåíîñà
íà 173; 1 = (4913; 1) (ðèñ.9). Î÷åâèäíà çàêîíîìåð-
(
)
íîñòü? Íó êîíå÷íî: 17 = 24 + 1 = 2k + 1 , 8 = 23 = 2k−1 , è
î÷åðåäíîå ìíîæåñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî çà
(
)
i 3−i
, i = 0, 1, 2, 3. Ïðè ýòîì,
ñ÷åò ñäâèãà íà 17 ;2
ðàçóìååòñÿ, S5 = 2k = 16 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. ßñíî, ÷òî
â S5 âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ íåò. Îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî íåò â S5 è ïóñòûõ 5-÷àøåê ñ 5-êðûøêàìè. Ýòî
01-18.p65
15
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà êëþ÷åâóþ èäåþ: âñÿêàÿ ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ äâå òî÷êè èç îäíîé ïîëîâèíêè
ìíîæåñòâà Õîðòîí, îñòàâëÿåò äðóãóþ ïîëîâèíêó ïî
îäíó îò ñåáÿ ñòîðîíó.
Ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî k. Ïóñòü òåïåðü k – êàêîå
óãîäíî, áîëüøåå ÷åòûðåõ. Ïðîäåëàåì àáñîëþòíî òó æå
ïðîöåäóðó, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. À èìåííî,
ïîëîæèì c = 2k + 1 (ýòî àíàëîã ñåìíàäöàòè) è ñòàðòóåì
ñ S1 = {(0;0 )} . Ìíîæåñòâî S2 ìû ïîëó÷àåì, îáúåäèíÿÿ
S1 ñî ñâîåé êîïèåé, âîçíèêàþùåé ïðè ñäâèãå S1 íà
âåêòîð c0 ; 2k −1 = 1; 2k −1 (àíàëîã âåêòîðà (1; 8)).
Ìíîæåñòâî S3 çàäàåòñÿ âåêòîðîì c1; 2k −2 (àíàëîã
âåêòîðà (17; 4)). È òàê äàëåå. Ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî
èìååò íîìåð k + 1 , òàê ÷òî åãî ìîùíîñòü â êàê ðàç
ñîâïàäàåò ñ hk = 2k , è îáðàçóåòñÿ îíî ïóòåì ïåðåíîñà
ñâîåãî ïðåäøåñòâåííèêà – ìíîæåñòâà Sk – íà âåêòîð
ck −1; 20 = ck −1; 1 (àíàëîã âåêòîðà 173; 1 ). Èíûìè
ñëîâàìè, ìû ñíîâà îðãàíèçóåì èòåðàòèâíûé ïðîöåññ, â
êîòîðîì íà êàæäîì øàãå ìû êîïèðóåì óæå èìåþùååñÿ
ìíîæåñòâî, óíîñÿ åãî «äîñòàòî÷íî äàëåêî» îò èñõîäíèêà.
(
(
) (
) (
)
30.09.09, 16:30
)
(
(
)
)
$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Ïîíÿòíî, ÷òî âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ â Sk +1 íåò. Ïðîâåðêó æå òîãî
ôàêòà, ÷òî íåò òàì òàêæå íè ïóñòûõ 5÷àøåê, íè ïóñòûõ 5-êðûøåê, ìû ñíîâà
ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. Ýòî åùå òðóäíåå, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå; çàòî
åñëè âû ðàçîáðàëèñü ñ k = 4 , òî è
ïðî÷èå çíà÷åíèÿ k âàì áóäóò ïîäâëàñòíû.
À ÷òî æå ñ øåñòèóãîëüíèêàìè?
Ìåæäó ïðî÷èì, ïðî ñëó÷àé n = 6 ìû
ïîêà ñîâñåì íå ãîâîðèëè. Ìû ñäåëàëè
ýòî íàìåðåííî, ïîñêîëüêó ó ýòîãî ñëó÷àÿ âåñüìà èíòðèãóþùàÿ èñòîðèÿ, êîòîðàÿ çàñëóæèâàåò îòäåëüíîãî èçëîæåíèÿ.
 òå÷åíèå äîâîëüíî äîëãîãî âðåìåíè
ñ ìîìåíòà ïîñòàíîâêè íîâîé çàäà÷è
(ò.å., íàïîìíèì, ñ 1978 ãîäà) î âåëè÷èíå h(6) íè÷åãî èçâåñòíî íå áûëî.
Íèêòî íå çíàë äàæå, êîíå÷íà ëè îíà.
Çà íåèìåíèåì ëó÷øåãî ñòàëè ïðèäóìûâàòü íèæíèå îöåíêè, õîòÿ âïîëíå
ìîãëî ñòàòüñÿ, ÷òî h(6) íå ñóùåñòâóåò.
Îöåíêà h (6 ) ≥ g (6 ) = 17 òðèâèàëüíà.
 1985 ãîäó Ä.Ðàïïîïîðò ñ ïîìîùüþ
Ðèñ. 12. Êîíñòðóêöèÿ Îâåðìàðñà äëÿ 29 òî÷åê
êîìïüþòåðà ïîñòðîèë ïðèìåð èç äâàäÊîøåëåâà èõ 43, è ðàáîòà åãî çàíèìàåò áîëåå ïÿòèäåñÿöàòè òî÷åê íà ïëîñêîñòè, ñðåäè êîòîðûõ íå áûëî øåñòè
òè æóðíàëüíûõ ñòðàíèö.
âåðøèí âûïóêëîãî è ïóñòîãî øåñòèóãîëüíèêà. Â 1988
Çàìåòèì, ÷òî åñëè âåðíà ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå
ãîäó Ì.Îâåðìàðñ, Á.Øîëòåí è È.Âèíñåíò ïðèâåëè
g (n ) = 2n −2 + 1 , òî h (6 ) ≤ g (8 ) = 65 . Ìû âåðèì â áîëåå
àíàëîãè÷íûé êîìïüþòåðíûé ïðèìåð èç äâàäöàòè øåññèëüíûé ôàêò:
òè òî÷åê.  2001 ãîäó âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà óñîâåðÃèïîòåçà. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî h(6) = 30.
øåíñòâîâàëàñü, Îâåðìàðñ âåðíóëñÿ ê çàäà÷å è ïðåäúÿÈíûìè ñëîâàìè, íèêàêèå âû÷èñëèòåëüíûå ìîùíîñòè
âèë ïðèìåð óæå èç äâàäöàòè äåâÿòè òî÷åê. Ýòî òåêóùèé
óæå íå ïîìîãóò, ïî-âèäèìîìó, óòî÷íèòü ðåçóëüòàò
ðåêîðä, è îí èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 12 (â ïðàâîé
Îâåðìàðñà.
êîëîíêå êîîðäèíàòû òî÷åê).
Òîëüêî â 2006 ãîäó ñòàëî ÿñíî, ÷òî óñèëèÿ Îâåðìàðñà
Ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ çàäà÷
íå áûëè íàïðàñíûìè: Ò.Ãåðêåí äîêàçàë, ÷òî
h (6 ) ≤ g (9 ) . Íåçàâèñèìî îò íåãî â òîì æå ãîäó Ê.ÍèÏî÷òè ïóñòûå ìíîãîóãîëüíèêè
êîëàñ óñòàíîâèë íåðàâåíñòâî h (6 ) ≤ g (25 ) , êîòîðîå,
Êîëü ñêîðî ìû çíàåì, ÷òî çàäà÷à î âåëè÷èíå h(n)
êîíå÷íî, íàìíîãî õóæå ãåðêåíîâñêîãî. Îñíîâûâàÿñü íà
ñîäåðæàòåëüíà, îñìûñëåííî ðàññìîòðåòü åå îáîáùåèäåÿõ Ãåðêåíà, Ï.Âàëüòð äàë çíà÷èòåëüíî áîëåå êîðîòíèå, ïðè êîòîðîì èùåòñÿ íå ïóñòîé ìíîãîóãîëüíèê, à
êîå äîêàçàòåëüñòâî îöåíêè h (6 ) ≤ g (15 ) . Â ëþáîì
ìíîãîóãîëüíèê ñ íå áîëåå k òî÷êàìè èñõîäíîãî ìíîæåñëó÷àå ïîëó÷àëîñü, ÷òî çàâåäîìî
ñòâà âíóòðè. Ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðàíè÷íóþ âåëè÷èíó
ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü h(n, k) . Òóò èìååòñÿ ãðîìàäíîå
h (6 ) ≤ g (9 ) ≤ C29⋅−92−5 + 1 = 1717 .
ïîëå äëÿ èññëåäîâàíèé, òàê êàê ïðî h(n, k) èçâåñòíî
Ñïóñòÿ ãîä Â.Êîøåëåâ (îäèí èç àâòîðîâ ýòîé ñòàòüè)
äîâîëüíî ìàëî. Ìû ïåðå÷èñëèì çäåñü ïðàêòè÷åñêè âñå
çàèíòåðåñîâàëñÿ çàäà÷åé, è åìó óäàëîñü åùå ïðîäâèêîãäà-ëèáî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû.
íóòüñÿ â íåé. Ñåé÷àñ, áëàãîäàðÿ Êîøåëåâó è ÎâåðìàðÂî-ïåðâûõ,
ñó, ìû èìååì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ
h (3, k ) = 3 , h (4, k ) = 5 , h (5,0 ) = 10 , h (5, ≥ 1) = 9 .
30 ≤ h (6 ) ≤ g (8 ) ≤ C28⋅−82−5 + 1 = 463 .
Âî-âòîðûõ, ïîíÿòíî, ÷òî
Òåõíèêà äîêàçàòåëüñòâ, êîòîðóþ èñïîëüçóþò è Ãåðh ( n ) = h ( n,0 ) ≥ h ( n,1) ≥ h (n,2 ) ≥ …
êåí, è Íèêîëàñ, è Âàëüòð, è Êîøåëåâ, î÷åíü ïîõîæà íà
òó, êîòîðóþ ìû ïðèìåíÿëè â ðàçäåëå «À ÷òî ñ ïÿòèÑ äðóãîé ñòîðîíû, â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñëåäîâàóãîëüíèêàìè?» ñòàòüè [1]. Òàì ðå÷ü øëà î âëîæåííûõ
òåëüíîñòü çàâåäîìî ïåðåñòàåò óáûâàòü, à èìåííî, äëÿ
äðóã â äðóãà âûïóêëûõ îáîëî÷êàõ è ïåðåáèðàëèñü
âñåõ k, íà÷èíàÿ ñ îïðåäåëåííîãî k′ = k′ (n ) ,
h (n, k ) = g (n ) . Èíûìè ñëîâàìè, åñëè âûïóêëûé nðàçëè÷íûå ñëó÷àè èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Íà ñåé
ðàç ýòèõ ñëó÷àåâ ãîðàçäî áîëüøå: äëÿ ïðèìåðà, ó
óãîëüíèê â ìíîæåñòâå åñòü, òî â íåì íå ñëèøêîì ìíîãî
01-18.p65
16
30.09.09, 16:30
ÇÀÄÀ×À
ÝÐÄÅØÀ
–
ÑÅÊÅÐÅØÀ:
òî÷åê ìíîæåñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî k′ (n ) ≤ g (n ) − n , îäíàêî òî÷íûå çíà÷åíèÿ äëÿ k′ – äåëî áóäóùåãî.
Äàëåå, åñëè, íàîáîðîò, ôèêñèðîâàòü k è óâåëè÷èâàòü
n, òî â êàêîé-òî ìîìåíò ñðàáîòàåò êîíñòðóêöèÿ òèïà
õîðòîíîâñêîé è âåëè÷èíà h (n, k ) îáðàòèòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Îïÿòü æå, âîïðîñ ïîèñêà ýòîãî ìîìåíòà –
íåïðîñòàÿ çàäà÷à äëÿ èññëåäîâàòåëÿ! Âîò h (7,0 ) = ∞ ,
à ïðî h (7,1) ìû íè÷åãî íå çíàåì; h (8,1) = ∞ , à ÷òî ñ
h (8,2 ) , íå ÿñíî; h (9,2 ) = ∞ , íî êîíå÷íà ëè âåëè÷èíà
h (9,3 ) – ïîêà âîïðîñ; è òàê äàëåå: íå ñóùåñòâóþò
h (10,3 ), h (11,6 ), h (12,9 ), h (13,12 ), h (14,15 ),
h (15,22 ), h (16,29 ), h (17,36 ), …
Çàìåòèì, ÷òî âåñü ïåðå÷åíü ïîäîáíûõ ðåçóëüòàòîâ
ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå Áë.Ñåíäîâà [3].
Íà ñàìîì äåëå, ñ ðîñòîì n âåëè÷èíà k, ïðè êîòîðîé,
ïî Ñåíäîâó, h (n, k ) çàâåäîìî íå ñóùåñòâóåò, âåäåò ñåáÿ
n
ïðèìåðíî òàê æå, êàê 4 2 . Ñîâñåì íåäàâíî Êîøåëåâ
ñóìåë çàìåíèòü óïîìÿíóòóþ ôóíêöèþ íà çíà÷èòåëüíî
áîëüøóþ (áëèçêóþ ê 2n ). Â ðåçóëüòàòå íå ñóùåñòâóþò
( )
h (12,11), h (13,19 ), h (14,39 ),
h (15,69 ), h (16,139 ), h (17,251), …
Çàìåòèì íàïîñëåäîê, ÷òî çàâåäîìî h (6,1) ≤ g (7 ) è ÷òî,
ïî-âèäèìîìó, h (6,1) = g (6 ) = 17 .
Òðåõìåðíûé àíàëîã g (n)
Äî ñèõ ïîð ìû «æèëè» íà ïëîñêîñòè, è, êàê âèäíî,
òàêàÿ æèçíü óæå èçîáèëîâàëà âñÿ÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè. Èìåÿ æåëàíèå åùå óñëîæíèòü ñåáå ñóùåñòâîâàíèå,
ìîæíî ïîïðîáîâàòü âûéòè â ïðîñòðàíñòâî.
Òóò åñòü îäíà âàæíàÿ òîíêîñòü: à ÷òî òåïåðü ìû áóäåì
ðàçóìåòü ïîä îáùíîñòüþ ïîëîæåíèÿ? Ïîíÿòíî, ÷òî
íèêàêèå òðè òî÷êè ïî-ïðåæíåìó íå äîëæíû ïîïàäàòü
íà îäíó ïðÿìóþ. Íî îáû÷íî çàìå÷àþò áîëüøåå: ëþáûå
òðè òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå ïîðîæäàþò ïëîñêîñòü, òàê
äàâàéòå ñ÷èòàòü, ÷òî íèêàêèå ÷åòûðå òî÷êè íàøåãî
ìíîæåñòâà íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè.
Âìåñòî âûïóêëûõ n-óãîëüíèêîâ áóäåì èñêàòü îòíûíå
âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ñ n âåðøèíàìè. Ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîãðàíè÷íóþ âåëè÷èíó íàçîâåì g3 (n ) , ïîä÷åðêèâàÿ, òåì ñàìûì, ÷òî òåïåðü ó íàñ òðè, à íå äâà
èçìåðåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîé ñâÿçè âåëè÷èíó g (n )
÷àñòî îáîçíà÷àþò g2 ( n ) .
Âåëè÷èíà g3 ( n ) êîíå÷íà âñåãäà, ïîäîáíî ñâîåìó
«ïëîñêîìó» àíàëîãó. Áîëåå òîãî, g3 (n ) ≤ g2 (n ) . Ïîêàæèòå ýòî! (Ïîäñêàçêà: èñïîëüçóéòå ïðîåêöèè ìíîãîãðàííèêîâ íà ïëîñêîñòü.) Òóò òàêæå èìåþòñÿ ñïåöèôè÷åñêèå îöåíêè. Íàïðèìåð,
g3 (n ) ≤ C2nn−−37 + 3 .
Êðîìå òîãî, g3 (4 ) = 4, g3 (5 ) = 6, g3 (6 ) = 9 .
Ðàçóìååòñÿ, è òóò íåïî÷àòûé êðàé äàëüíåéøåé ðàáîòû. À âåäü áûâàþò æå åùå ìíîãîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà...
Òðåõìåðíûé àíàëîã h (n)
Íó, òóò óæå âñå ÿñíî. Ïðàâäà, îò÷åãî áû íàì íå
ðàññìîòðåòü è h3 (n ) ?
01-18.p65
17
ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ
ÈÑÒÎÐÈÈ
%
Ðåçóëüòàòîâ, êîíå÷íî, åùå ìåíüøå – äåë íà áóäóùåå
íåâïðîâîðîò. Ïðèíöèïèàëüíî èçâåñòíî ëèøü, ÷òî h3 (n )
ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ n ≤ 7 (íàïðèìåð, h3 (4 ) = 4 ,
h3 (5 ) = 6 , h3 (6 ) = 9 ) è íå ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ n ≥ 22 .
À ïðè n ∈ {8,…,21} – âàøà, ÷èòàòåëè, âîò÷èíà. Êàæäûé íîâûé ôàêò öåíåí.
Î ìèíèìàëüíîì ÷èñëå âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ
Äàâàéòå íàïîñëåäîê ñïóñòèìñÿ ñ íåáåñ íà çåìëþ (ò.å.
âåðíåìñÿ íà ïëîñêîñòü) è îáñóäèì åùå îäèí êðàñèâûé
âîïðîñ, ñâÿçàííûé ñ çàäà÷åé Ýðäåøà – Ñåêåðåøà.
Äåéñòâèòåëüíî, ìû çíàåì, ÷òî â êàæäîì ìíîæåñòâå
: èç x ≥ g (n ) òî÷åê åñòü n âåðøèí âûïóêëîãî
n-óãîëüíèêà. Åñëè ñàìî ìíîæåñòâî : ïîðîæäàåò âûïóêëûé x-óãîëüíèê, òî â íåì, êîíå÷íî, áóäåò ìàññà
èíòåðåñóþùèõ íàñ îáúåêòî⠖ Cxn øòóê. À êàêîâî,
ñïðàøèâàåòñÿ, ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî âûïóêëûõ
n-óãîëüíèêîâ â ìíîæåñòâå èç x òî÷åê íà ïëîñêîñòè? Ýòî
êîëè÷åñòâî ìû îáîçíà÷èì G (n, x ) .
Ïî àíàëîãèè ââåäåì è âåëè÷èíó H (n, x ) , ðàâíóþ
íàèìåíüøåìó êîëè÷åñòâó âûïóêëûõ è ïóñòûõ n-óãîëüíèêîâ â ìíîæåñòâå èç x òî÷åê íà ïëîñêîñòè.
 íåêîòîðîì ñìûñëå âåëè÷èíà H (n, x ) èçó÷åíà ëó÷øå âåëè÷èíû G (n, x ) . Ýòî ñâÿçàíî õîòÿ áû ñ òåì, ÷òî
óæå h(7) íå ñóùåñòâóåò, è ìíîãîîáðàçèå ïîòåíöèàëüíûõ ñèòóàöèé â ðåçóëüòàòå íå ñòîëü âåëèêî. Ïîñåìó ìû
ëèøü îáñóäèì çäåñü ïîâåäåíèå H (n, x ) . Íà÷íåì ñ
n = 3.
Ñåé÷àñ èçâåñòíî, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî c > 0
x2 − cx ln x ≤ H (3, x ) ≤
3771 2
x .
2240
Íàèáîëåå ëþáîïûòíà, âïðî÷åì, ÷óòü áîëåå ñëàáàÿ
âåðõíÿÿ îöåíêà H (3, x ) ≤ 3x2 , ïîëó÷åííàÿ ñ ïîìîùüþ
âåðîÿòíîñòíîé êîíñòðóêöèè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ «ðàñ÷åñêà», èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 13.  íåé x çóáöîâ
äëèíû 1, è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè çóáöàìè
ðàâíû åäèíèöå. Ñ êàæäîãî çóáöà áåðåòñÿ «ñëó÷àéíàÿ»
òî÷êà. Ïîëó÷àåòñÿ ñëó÷àéíîå ìíîæåñòâî : ìîùíîñòè
x. Ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ñòðîãî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ íàøå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò íå
áîëüøå 3x2 ïóñòûõ
òðåóãîëüíèêîâ, à ñòàëî áûòü, ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî ñ íå áîëåå Ðèñ. 13. Ðàñ÷åñêà
3x2 ïóñòûìè òðåóãîëüíèêàìè. Â ïîñëåäíåì «ñòàëî
áûòü» çàêëþ÷åíà ãëóáîêàÿ ôèëîñîôèÿ âåðîÿòíîñòíîãî
ìåòîäà â êîìáèíàòîðèêå (ñì., íàïðèìåð, [4]).
Óïîìÿíóòûå âûøå ìåòîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå
âïîëíå ýëåìåíòàðíû, è ñòðîãîãî ðàññóæäåíèÿ ìû òóò íå
ïðèâåäåì. Îäíàêî ñîçäàòü ïðåäñòàâëåíèå î âåðîÿòíîñòíîé òåõíîëîãèè ïîïûòàåìñÿ.
Èòàê, ïðåäñòàâèì ñåáå ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò (æåëàþùèå ìîãóò ïîïðîáîâàòü ñìîäåëèðîâàòü åãî íà êîìïüþòåðå). Ïîëîæèì x = 1000 è ðàññìîòðèì íàøó
ðàñ÷åñêó. Âîçüìåì â ðóêó èãîëêó è ñòàíåì íàóãàä
òûêàòü åþ â ïîñëåäîâàòåëüíûå çóáöû, êàæäûé ðàç
îòìå÷àÿ òî÷êó, â êîòîðóþ âîòêíóëàñü èãîëêà. Âîçíèêíóò òî÷êè a1,…, a1000 . Ïîãëÿäèì íà âñå òðåóãîëüíèêè,
30.09.09, 16:30
&
ÊÂÀÍT 2009/¹5
îáðàçîâàííûå ýòèìè òî÷êàìè, è ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî
ñðåäè íèõ ÿâëÿþòñÿ ïóñòûìè. Îáîçíà÷èì íàéäåííóþ
âåëè÷èíó ÷åðåç t1 . Ïðîäåëàåì àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó
åùå 999 ðàç, òàê ÷òî â èòîãå ó íàñ áóäåò 1000 ÷èñåë
t1,…,t1000 . Íàéäåì èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå t. Ñêîðåå âñåãî, ó íàñ ïîëó÷èòñÿ t ≤ 3 ⋅ 106 . Ïî÷åìó? Íó, ýòîòî êàê ðàç è äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ «íå âïîëíå
ýëåìåíòàðíûõ» ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Âîò ïðîâåäèòå ýêñïåðèìåíò è óâèäèòå! Äàëåå, âñå òî æå ñàìîå
îñóùåñòâèì äëÿ x = 2000, 3000, …, 10000. Ïî÷òè
íàâåðíÿêà âñÿêèé ðàç áóäåò âûõîäèòü, ÷òî t ≤ 3x 2 .
Îïèñàííûé ýêñïåðèìåíò (êîëü ñêîðî â íåì íå íàðóøèòñÿ îáåùàííàÿ îöåíêà) äàåò óâåðåííîñòü â òîì, ÷òî
«ñðåäíåå ÷èñëî» ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ â ñëó÷àéíîì
ìíîæåñòâå : ðàçìåðà x íà ðàñ÷åñêå íå ïðåâîñõîäèò
3x2 . Åñëè âëîæèòü â ïîíÿòèå ñðåäíåãî ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë, òî óæå áåçî âñÿêîãî ýêñïåðèìåíòà
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â ñðåäíåì ó ñëó÷àéíîé êîíôèãóðàöèè òî÷åê íà ðàñ÷åñêå çàâåäîìî íå áîëüøå 3x2
ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ. Íî òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ó íåêîòîðîé êîíêðåòíîé êîíôèãóðàöèè òàêæå íå áîëüøå 3x2
ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ. Âîò è âñå.
Êñòàòè, ýêñïåðèìåíò – ýòî îòëè÷íûé ñïîñîá ïîäáèðàòü íàèáîëåå ïîäõîäÿùóþ êîíñòðóêöèþ òèïà ðàñ÷åñêè, ñòàðòóÿ ñ êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷àòü îöåíêè äëÿ
H (3, x ) è ïð.
Ïðèâåäåì åùå íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ î âåëè÷èíàõ
H (n, x ) :
äëÿ íåêîòîðîãî c1 > 0
1 2
976 2
x − c1x ≤ H (4, x ) ≤
x ;
4
448
393 2
x − 4
 6  ≤ H (5, x ) ≤ 320 x ;
666 2
x .
2240
Ïîñëåäíÿÿ íèæíÿÿ îöåíêà òàêàÿ ñòðàííàÿ ïî òîé
ïðîñòîé ïðè÷èíå, ÷òî, êàê ìû ïîìíèì, ëèøü ñîâñåì
íåäàâíî áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå h (6 ) : åñëè áû
ýòî áûëî íå òàê, òî H (6, x ) ðàâíÿëàñü áû íóëþ.
Èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò c H (n, x ) ïðè n ≥ 7 .
0 < H (6, x ) ≤
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. Â.Êîøåëåâ, À.Ðàéãîðîäñêèé. Çàäà÷à Ýðäåøà – Ñåêåðåøà
î âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ. – «Êâàíò», ¹2, 2009.
2. P.Erdös, G.Szekeres. A combinatorial problem in geometry.
– Compositio Math., 2 (1935), 463–470.
3. Áë.Ñåíäîâ. Îáÿçàòåëüíûå êîíôèãóðàöèè òî÷åê íà ïëîñêîñòè. – «Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà», 1 (1995),
2, 491–516.
4. À.Ì.Ðàéãîðîäñêèé. Âåðîÿòíîñòü è àëãåáðà â êîìáèíàòîðèêå. – Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2008.
5.Â.Êîøåëåâ. Çàäà÷à Ýðäåøà – Ñåêåðåøà î ïóñòûõ øåñòèóãîëüíèêàõ íà ïëîñêîñòè. – «Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì», ò. 16 (2009), ¹2, 21–73.
ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ
ÁÐÓÑÎ×ÊÈ
(Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
Ïðèíöèï óñòðîéñòâà òàêèõ ãîëîâîëîìîê î÷åíü ïðîñòîé: â
ïðÿìîóãîëüíîé êîðîáêå ëåæàò äåðåâÿííûå áðóñî÷êè ðàçíîé
ôîðìû, èõ ìîæíî ïåðåäâèãàòü, íî íåëüçÿ âûíèìàòü è ïåðåêëàäûâàòü. (Ïî-âèäèìîìó, «êëîöêè» áûëè ñâîåîáðàçíîé
âàðèàöèåé çíàìåíèòîé «Èãðû â 15».) Çàäà÷à â òîì, ÷òîáû èç
íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ ïîëó÷èòü äðóãóþ (êîíêðåòíóþ) ðàññòàíîâêó ýòèõ áðóñî÷êîâ. Èíîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû òîëüêî îäèí
áðóñî÷åê çàíÿë îïðåäåëåííóþ ïîçèöèþ, à
èíîãäà – ÷òîáû âñå.
Ìîæíî óñëîæíèòü çàäà÷ó: äîáèòüñÿ öåëè
çà ìèíèìàëüíîå ÷èñëî õîäîâ èëè çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ.
Êàê ïðàâèëî, ïîäîáíûå ãîëîâîëîìêè
äîâîëüíî òðóäíû, è
ïîèñê ðåøåíèÿ ìîæåò
ïîòðåáîâàòü íåìàëûõ
óñèëèé. Íàïðèìåð,
èçâåñòíî, ÷òî íåâîçìîæíî ðåøèòü ÷åìïèîíñêóþ ãîëîâîëîìÐèñ. 1
01-18.p65
18
êó (ðèñ. 1) ìåíåå, ÷åì
çà 59 õîäîâ.
Èãðà áûñòðî îáðåëà èçâåñòíîñòü è ïîïóëÿðíîñòü, ñòàëè
ïîÿâëÿòüñÿ åå ìíîãî÷èñëåííûå ìîäèôèêàöèè. Íà ðèñóíêå 2
ïîêàçàíî äðóãîå íà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå áðóñî÷êîâ. Çäåñü
íóæíî ïåðåäâèíóòü
áîëüøîé êâàäðàò íà
ìåñòî ÷åòûðåõ ìàëåíüêèõ êâàäðàòèêîâ. Èíòåðåñíî, ÷òî
âïåðâûå êðàò÷àéøåå Ðèñ. 2
ðåøåíèå – çà 81 õîä
– îïóáëèêîâàë Ìàðòèí Ãàðäíåð â 1964 ãîäó.
Èçãîòîâèòü ãîëîâîëîìêó ñ áðóñî÷êàìè íåñëîæíî è â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ. Ñêëåéòå êîðîáêó ñ äíîì â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíèêà ðàçìåðîì 4 ¥ 5 , âûðåæüòå èç áóìàãè èëè ôàíåðû
áðóñî÷êè ðàçìåðîì 1 ¥ 1 , 1 ¥ 2 è 2 ¥ 2 . Ðåêîìåíäóåòñÿ
äåëàòü êîðîáêó äëÿ áðóñî÷êîâ ñ íåáîëüøèì ïðèïóñêîì,
÷òîáû èõ áûëî ëåãêî ïåðåäâèãàòü.
Ìîæíî ñäåëàòü è ïîïûòàòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü îäíó
èç ïðèâåäåííûõ ãîëîâîëîìîê, à ìîæíî ïðèäóìàòü è ÷òî-òî
íîâîå.
Å.Åïèôàíîâ
30.09.09, 16:30
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì
çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé
ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû
îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ÿíâàðÿ 2010 ãîäà ïî àäðåñó:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè
ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå
«Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹5–2009» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå,
íàïðèìåð «Ì2146» èëè «Ô2153».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî. Â
ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì
êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî
ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì
êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è Ì2149 è Ì2150 ïðåäëàãàëèñü íà Ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà.
Çàäà÷è Ì2146–Ì2153, Ô2153–Ô2159
M2146. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè íàðèñîâàëè 2008
ãðàôèêîâ êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíîâ. Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî èç íèõ ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, èìåþùàÿ îáùèå òî÷êè ñ ëþáûì ãðàôèêîì, êðîìå íåãî?
Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ
M2147.  êàæäîé êëåòêå áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè çàïèñàíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî òàê, ÷òî âñå
áåñêîíå÷íûå â îáå ñòîðîíû ãîðèçîíòàëüíûå è âåðòèêàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë ïåðèîäè÷åñêèå.
Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ãîðèçîíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ðàçëè÷íûìè íàèìåíüøèìè ïåðèîäàìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ
áåñêîíå÷íî ìíîãî âåðòèêàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
ñ ðàçëè÷íûìè íàèìåíüøèìè ïåðèîäàìè.
Å.Çíàê
M2148. Ïî êðóãó âûïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3, …, 100 â
íåêîòîðîì ïîðÿäêå. Ïåòÿ âû÷èñëèë 100 ñóìì âñåõ
òðîåê ñîñåäíèõ ÷èñåë è íàïèñàë íà äîñêå íàèìåíüøóþ
èç ýòèõ ñóìì. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîãëî áûòü
íàïèñàíî íà äîñêå?
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2149. Â òðåóãîëüíèêå ABC ñòîðîíû AB è BC ðàâíû.
Òî÷êà D âíóòðè òðåóãîëüíèêà òàêîâà, ÷òî
∠ADC = 2∠ABC . Äîêàæèòå, ÷òî óäâîåííîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè B äî âíåøíåé áèññåêòðèñû óãëà ADC
ðàâíî AD + DC.
Ñ.Áåðëîâ
M2150.  ñòðàíå Ëåîíàðäèè âñå äîðîãè – ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì. Êàæäàÿ äîðîãà ñîåäèíÿåò äâà ãîðîäà
è íå ïðîõîäèò ÷åðåç äðóãèå ãîðîäà. Äåïàðòàìåíò ñòàòèñòèêè âû÷èñëèë äëÿ êàæäîãî ãîðîäà ñóììàðíîå ÷èñëî
19-31.p65
19
æèòåëåé â ãîðîäàõ, îòêóäà â íåãî âåäóò äîðîãè, è
ñóììàðíîå ÷èñëî æèòåëåé â ãîðîäàõ, êóäà âåäóò äîðîãè
èç íåãî. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîãî ãîðîäà
ïåðâîå ÷èñëî îêàçàëîñü íå ìåíüøå âòîðîãî.
Í.Ãðàâèí
M2151. ×èñëîâîé òðåóãîëüíèê
1
1
1
2
1
3
1
2
1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
…
ñîñòàâëåí ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Â ïåðâîé ñòðîêå
îäíî ÷èñëî, ðàâíîå 1.  k-é ñòðîêå (k = 2, 3, …)
çàïèñûâàåòñÿ 2k – 1 ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ðàâíî
ñóììå òðåõ ÷èñåë: ÷èñëà, ñòîÿùåãî íàä íèì, è äâóõ åãî
ñîñåäåé â ïðåäûäóùåé ñòðîêå (åñëè íåêîòîðûõ èç òàêèõ
òðåõ ÷èñåë íåò, òî îíè ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè 0). Äîêàæèòå, ÷òî â ñðåäíåì ñòîëáöå íå âñòðåòèòñÿ ÷èñåë, äàþùèõ
îñòàòîê 2 ïðè äåëåíèè íà 3.
Ê.Êàèáõàíîâ
M2152*. Ïàðà ( p, q ) ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ îñîáîé, åñëè ñóùåñòâóåò a, ïðåäñòàâèìîå â âèäå
a = x p + y p = zq + t q äëÿ íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ x, y,
z, t, íî íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå u pq + v pq , ãäå u è v –
íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ïðîñòîå
÷èñëî p âõîäèò â áåñêîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõ ïàð.
Â.Ñåíäåðîâ
M2153*. Ñóììà òåëåñíûõ óãëîâ ïðè âåðøèíàõ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ðàâíà π . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé ìàðøðóò ïî åãî ðåáðàì, ïðîõîäÿùèé
30.09.09, 16:33
ÊÂÀÍT 2009/¹5
÷åðåç êàæäóþ åãî âåðøèíó ðîâíî îäèí ðàç. (Òåëåñíûé
óãîë èçìåðÿåòñÿ ïëîùàäüþ ôèãóðû, âûñåêàåìîé ñîîòâåòñòâóþùèì ìíîãîãðàííûì óãëîì íà åäèíè÷íîé ñôåðå. Ïëîùàäü âñåé åäèíè÷íîé ñôåðû ðàâíà 4π .)
È.Áîãäàíîâ
Ô2153. Ïî ïðÿìîé äîðîãå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0
áåæèò êðîëèê. Íà ðàññòîÿíèè L îò äîðîãè íàõîäèòñÿ
ëèñà. Â òîò ìîìåíò, êîãäà êðîëèê îêàçûâàåòñÿ áëèæå
âñåãî ê ëèñå, îíà åãî çàìå÷àåò è áðîñàåòñÿ â ïîãîíþ.
Ñêîðîñòü ëèñû òàêàÿ æå, êàê ó êðîëèêà, íî ëèñà áåæèò
ñ «óïðåæäåíèåì» – âåêòîð ñêîðîñòè ëèñû íàïðàâëåí
âñå âðåìÿ â òî÷êó, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ âïåðåäè êðîëèêà
íà ðàññòîÿíèè d îò íåãî. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ó÷àñòíèêàìè çàáåãà.
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô2159. Ýêðàí îñâåùåí óäàëåííûì èñòî÷íèêîì ñâåòà.
Íà ïóòè ñâåòîâîãî ïó÷êà ðàñïîëàãàþò ëèíçó, ñêëååííóþ èç äâóõ ïëîñêîâûïóêëûõ ñòåêëÿííûõ ëèíç. Äèàìåòð ïåðâîé ëèíçû D1 = 5 ñì, åå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå
F1 = 20 ñì, äèàìåòð âòîðîé ëèíçû D2 = 1 ñì, åå
ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F2 = 10 ñì. Ëèíçû ñêëååíû
ïëîñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè, ïëîñêîñòü ñêëåéêè ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ýêðàíà, ãëàâíûå îïòè÷åñêèå îñè ëèíç
ñîâïàäàþò. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ýêðàíà íóæíî
ðàñïîëîæèòü ýòó ëèíçó, ÷òîáû íà ýêðàíå ïîëó÷èëîñü
ÿðêîå ïÿòíî ìèíèìàëüíîãî äèàìåòðà? Âî ñêîëüêî ðàç
îñâåùåííîñòü â öåíòðå ýòîãî ïÿòíà áîëüøå îñâåùåííîñòè ýêðàíà áåç ëèíçû?
Ç.Ðàôàèëîâ
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2124–Ì2130,
Ô2138–Ô2144
Ô2154. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ïîêîèòñÿ
ìîíåòà, äðóãàÿ òàêàÿ æå ìîíåòà ñêîëüçèò ïî ñòîëó.
Ïîñëå àáñîëþòíî óïðóãîãî óäàðà ñêîðîñòè ìîíåò îêàçàëèñü îäèíàêîâûìè ïî âåëè÷èíå. Íàéäèòå óãîë ðàçëåòà ìîíåò.
À.Ïðîñòîâ
M2124. Ïóñòü n ≥ 3 – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, a
x1, x2,…, xn – ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâàì
Ô2155. Ìîëü ãåëèÿ íàõîäèòñÿ â ñîñóäå ïîä ïîðøíåì
ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ. Ñ ãàçîì ïðîâîäÿò çàìêíóòûé ïðîöåññ.  ïåðâîé ÷àñòè ïðîöåññà ãàç ðàñøèðÿåòñÿ,
ïðè ýòîì òåïëîåìêîñòü åãî îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé è
ðàâíîé Ñ = 100 Äæ/Ê, çàòåì ãàç îõëàæäàþò äî
íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû ïðè íåèçìåííîì îáúåìå è,
íàêîíåö, èçîòåðìè÷åñêè ñæèìàþò äî íà÷àëüíîãî îáúåìà.  ïåðâîé ÷àñòè ïðîöåññà ãàç ïîëó÷èë êîëè÷åñòâî
òåïëîòû Q = 1 Äæ. Íàéäèòå ðàáîòó ãàçà â ýòîì
ïðîöåññå.
À.Òåïëîâ
Ïðè êàêèõ n ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ÷èñëà x1, x2,…, xn
ðàâíû?
Ô2156. Ïðîèçâîäÿò ðàñ÷åò «àòîìà âîäîðîäà», â êîòîðîì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòîíîì è ýëåêòðîíîì ñîñòàâëÿåò d = 1 ìêì, à ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå â 3 ðàçà áîëüøå. Êàêîé áóäåò ìàêñèìàëüíàÿ
ñêîðîñòü ýëåêòðîíà â òàêîì «àòîìå»?
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ô2157. Êîàêñèàëüíûé êàáåëü ñîñòîèò èç öåíòðàëüíîé
æèëû äèàìåòðîì d = 1 ìì è ïðîâîäÿùåé îïëåòêè
äèàìåòðîì D = 5 ìì. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó æèëîé è
îïëåòêîé çàïîëíåíî äèýëåêòðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòüþ ε = 3 . Íàéäèòå åìêîñòü è èíäóêòèâíîñòü â ðàñ÷åòå íà 1 ì òàêîãî êàáåëÿ, à òàêæå âåëè÷èíó
âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ – ïðè ïîäêëþ÷åíèè ðåçèñòîðà òàêîé âåëè÷èíû ê êîíöó êóñêà êàáåëÿ íå ïðîèñõîäèò
îòðàæåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, áåãóùåé âäîëü
íåãî.
À.Ñëîæíîâ
Ô2158. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C = 10 ìêÔ, êàòóøêà
èíäóêòèâíîñòüþ L = 1 Ãí è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì
R = 300 Îì ñîåäèíåíû «çâåçäîé», à ñâîáîäíûå âûâîäû
ïîäêëþ÷åíû ê òðåì ôàçàì ñåòè íàïðÿæåíèåì U = 220Â
è ÷àñòîòîé f = 50 Ãö. Íàéäèòå íàïðÿæåíèå â îáùåé òî÷êå
ýëåìåíòîâ ïî îòíîøåíèþ ê «íóëåâîìó» ïðîâîäó.
À.Çèëüáåðìàí
19-31.p65
20
x12 − x1x2 + x22 = x22 − x2 x3 + x32 = …
… = xn2−1 − xn −1xn + xn2 = xn2 − xn x1 + x12 .
Îòâåò: â òî÷íîñòè ïðè íå÷åòíûõ n.
Åñëè n ÷åòíî, òî íàáîð x1 = a, x2 = b, x3 = a, x4 = b,...
…, xn −1 = a , xn = b óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïðè ëþáûõ a è b. Çàìåòèì, ÷òî âîçìîæíû è äðóãèå íàáîðû:
íàïðèìåð, ïðè n = 4 óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò íàáîð
x1 = b + c, x2 = b, x3 = b + c, x4 = c, ãäå b è c – ëþáûå
÷èñëà.
Ïóñòü òåïåðü n íå÷åòíî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x1 – íàèáîëüøåå (èëè îäíî èç
íàèáîëüøèõ) ñðåäè äàííûõ ÷èñåë. Òîãäà èç ðàâåíñòâà
x12 − x1x2 + x22 = x22 − x2 x3 + x32
ñëåäóåò
x12 − x32 − x1x2 + x2 x3 = 0 ⇔
⇔ ( x1 − x3 ) ( x1 + x3 ) − x2 ( x1 − x3 ) = 0 ⇔
⇔ ( x1 − x3 )( x1 + x3 − x2 ) = 0 .
 ñèëó âûáîðà ÷èñëà x1 èìååì x1 ≥ x2 ; ïîýòîìó
x1 − x2 ≥ 0 , çíà÷èò, x1 + x3 − x2 > 0 . Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî x1 − x3 = 0 , ò.å. x3 = x1 , è x3 – òàêæå îäíî èç
íàèáîëüøèõ ñðåäè äàííûõ ÷èñåë. Ðàññóæäàÿ äàëåå
òàêèì æå îáðàçîì, ïîëó÷àåì x5 = x3 , x7 = x5 , …
..., xn = xn −2 , x2 = xn , x4 = x2 , …, xn −1 = xn −3 . Òàêèì
îáðàçîì, âñå äàííûå n ÷èñåë ðàâíû.
Ïðèâåäåì òàêæå äðóãîå ðåøåíèå äëÿ íå÷åòíîãî n.
Çàïèøåì èñõîäíûå ðàâåíñòâà â âèäå
 x1 ( x1 − x2 ) = − x3 ( x2 − x3 ),

 x2 ( x2 − x3 ) = − x4 ( x3 − x4 ),


 x ( x − x ) = − x ( x − x ).
1
2
1
2
 n n
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x1 − x2 > 0 . Òîãäà, ïîñëåäîâàòåëüíî èñïîëüçóÿ âñå ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì x2 − x3 < 0 ,
30.09.09, 16:33
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
x3 − x4 > 0 , x4 − x5 < 0 , x5 − x6 > 0 , …, xn − x1 > 0 ,
x1 − x2 < 0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèòñÿ ê ïðîòèâîðå÷èþ ïðåäïîëîæåíèå î
òîì, ÷òî x1 − x2 < 0 . Åñëè æå x1 − x2 = 0 , òî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì x2 − x3 = 0 , x3 − x4 = 0 , …
..., xn − x1 = 0 , îòêóäà x1 = x2 = … = xn .
Îòìåòèì, ÷òî ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îäíîé èç
çàäà÷ ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
ýòîãî ãîäà.
Â.Ñåíäåðîâ
M2125. Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC îêðóæíîñòü ω
êàñàåòñÿ ñòîðîí CA è AB â òî÷êàõ B1 è C1 ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êà D, îòëè÷íàÿ îò B1 è C1 , íàõîäèòñÿ
íà ðàññòîÿíèè AC1 îò òî÷êè A. Ïðÿìûå DB1 è DC1
ïåðåñåêàþò âòîðîé ðàç îêðóæíîñòü ω â òî÷êàõ B2
è C2 . Äîêàæèòå, ÷òî B2C2 – äèàìåòð îêðóæíîñòè
ω , ïåðïåíäèêóëÿðíûé îòðåçêó DA.
Ïóñòü I – öåíòð îêðóæíîñòè ω .
Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî òî÷êà D ëåæèò âíóòðè
îêðóæíîñòè ω (ñì. ðèñóíîê). Òàê êàê IB1 ⊥ AB1 , òî
∠IB2 B1 + ∠ADB1 = ∠IB1B2 + ∠AB1D = 90° , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî IB2 ⊥ AD . Òàê
æå äîêàçûâàåì, ÷òî
IC2 ⊥ AD . Çíà÷èò (ïîñêîëüêó B2 è C2 íå ñîâïàäàþò), ïðÿìàÿ B2C2 ïðîõîäèò ÷åðåç I è ïåðïåíäèêóëÿðíà AD, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Äðóãèå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè D ìîæíî ðàññìîòðåòü àíàëîãè÷íî.
Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå ∠ (a, b ) äëÿ óãëà
îò ïðÿìîé a äî ïðÿìîé b,
îòñ÷èòûâàåìîãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ( ∠ (a, b ) îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ ÷èñëà âèäà πk , ãäå
k – öåëîå ÷èñëî), ìîæíî ïåðåïèñàòü ðåøåíèå, èçëîæåííîå âûøå, òàê, ÷òîáû îíî íå çàâèñåëî îò ðàñïîëîæåíèÿ
òî÷êè D:
∠ ( IB2, B1B2 ) + ∠ ( B1B2, AD ) =
π
.
2
Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è ïðåäëàãàëñÿ
íà ðåãèîíàëüíîì ýòàïå Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû.
Ð.Æåíîäàðîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ
= ∠ ( B1B2, IB1 ) + ∠ ( AB1, B1B2 ) =
M2126. Íà âå÷åðèíêå êîìïàíèþ èç 20 ÷åëîâåê òðåáóåòñÿ óñàäèòü çà 4 ñòîëà. Ðàññàäêà íàçûâàåòñÿ óäà÷íîé, åñëè ëþáûå äâà ÷åëîâåêà, îêàçàâøèåñÿ çà îäíèì
ñòîëîì, ÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè. Âûÿñíèëîñü, ÷òî óäà÷íûå ðàññàäêè ñóùåñòâóþò, ïðè÷åì ïðè ëþáîé óäà÷íîé
ðàññàäêå çà êàæäûì ñòîëîì ñèäÿò ðîâíî ïî 5 ÷åëîâåê.
Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ïàð äðóçåé
â ýòîé êîìïàíèè?
Îòâåò: 160.
Åñëè äâà ÷åëîâåêà íå ÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè, òî áóäåì
ãîâîðèòü, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ íåäðóãàìè. Îáùåå ÷èñëî
19-31.p65
21
«ÊÂÀÍÒÀ»
20 ⋅ 19
= 190 ,
2
ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî
ïàð íåäðóãîâ ðàâíî 30.
Äîêàæåì, ÷òî ìåíüøå ÷åì 30 ïàð íåäðóãîâ áûòü íå
ìîãëî. Ïóñòü ýòî íå òàê. Òîãäà íàéäåòñÿ ÷åëîâåê A, ó
êîòîðîãî íå áîëåå äâóõ íåäðóãîâ (åñëè ó êàæäîãî
÷åëîâåêà íå ìåíåå òðåõ íåäðóãîâ, òî ÷èñëî ïàð íåäðóãîâ
3 ⋅ 20
íå ìåíüøå ÷åì
= 30 ). Ïóñòü A ïðè íåêîòîðîé
2
óäà÷íîé ðàññàäêå îêàçàëñÿ çà ñòîëîì T. Ïî óñëîâèþ çà
ñòîëîì T âñåãî 5 ÷åëîâåê. Òàê êàê ó A íå áîëåå äâóõ
íåäðóãîâ, òî çà îäíèì èç îñòàâøèõñÿ òðåõ ñòîëîâ âñå
ñèäÿùèå ÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè A. Çíà÷èò, åñëè ïåðåñàäèòü A çà ýòîò ñòîë (à â îñòàëüíîì ðàññàäêó íå ìåíÿòü),
òî íîâàÿ ðàññàäêà îêàæåòñÿ óäà÷íîé, íî çà ñòîëîì T
áóäóò ñèäåòü 4 ÷åëîâåêà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
Ïðèâåäåì ïðèìåð, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ, â êîòîðîì èìååòñÿ ðîâíî 30 ïàð íåäðóãîâ. Ðàçîáüåì âñåõ
ëþäåé íà 5 ÷åòâåðîê, è ïóñòü ëþáàÿ ïàðà ëþäåé èç
îäíîé ÷åòâåðêè – íåäðóãè, à ëþáàÿ ïàðà èç ðàçíûõ
÷åòâåðîê – äðóçüÿ.  òàêîì ñëó÷àå ó êàæäîãî ÷åëîâåêà
3 ⋅ 20
= 30 ïàð
ðîâíî 3 íåäðóãà, è âñåãî èìååòñÿ
2
íåäðóãîâ. Â îïèñàííîé ñèòóàöèè ðàññàäêà ÿâëÿåòñÿ
óäà÷íîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþäè èç îäíîé
÷åòâåðêè îêàçûâàþòñÿ çà ðàçíûìè ñòîëàìè. Òåì ñàìûì, óäà÷íûå ðàññàäêè ñóùåñòâóþò, è ïðè ëþáîé
óäà÷íîé ðàññàäêå çà êàæäûì ñòîëîì îêàæåòñÿ ïî
îäíîìó ÷åëîâåêó èç êàæäîé ÷åòâåðêè, ò.å. ðîâíî 5
÷åëîâåê.
Ï.Êîæåâíèêîâ
ïàð ëþäåé â äàííîé êîìïàíèè ðàâíî
M2127. Âíóòðè âåòâè ãèïåðáîëû x = y2 + 1 ðàñïîëîæåíû îêðóæíîñòè ω1, ω2, ω3,… òàê, ÷òî ïðè êàæäîì
n > 1 îêðóæíîñòü ωn êàñàåòñÿ ãèïåðáîëû â äâóõ
òî÷êàõ è êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè ωn−1 , à îêðóæíîñòü
ω1 èìååò ðàäèóñ 1 è êàñàåòñÿ ãèïåðáîëû â òî÷êå
(1; 0). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ðàäèóñ îêðóæíîñòè ωn ðàâåí íàòóðàëüíîìó ÷èñëó.
Ïóñòü òî÷êà ( xn ; 0 ) – öåíòð îêðóæíîñòè ωn , à rn – åå
ðàäèóñ. Èç ïîñòðîåíèÿ îêðóæíîñòåé ñðàçó âûòåêàåò,
÷òî r1 = 1, x1 = 1 + r1 = 2 è
(1)
xn +1 − xn = rn +1 + rn
ïðè n ≥ 1 (ðèñ. 1).
Îêðóæíîñòü ωn (n ≥ 2 ) çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
( x − xn )2 + y2
= rn2 .
Ïîäñòàâèâ â ýòî ðàâåíñòâî y2 = x2 − 1 , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò àáñöèññû x òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ωn è ãèïåðáîëû:
( x − xn )2 + x2 − 1 = rn2
⇔
¤ 2x2 − 2xn x + xn2 − rn2 − 1 = 0 . (2)
Êàñàíèå îêðóæíîñòè è ãèïåðáîëû îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå
êîðíåé â êâàäðàòíîì óðàâíåíèè (2), çíà÷èò, åãî äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íîëü:
(
)
2
2
xn2 − 2 xn2 − rn2 − 1 = 0 ⇔ xn = 2rn + 2 .
30.09.09, 16:34
(3)
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Ðèñ. 1
Ðàâåíñòâî (3) äëÿ îêðóæíîñòè ωn+1 âûãëÿäèò êàê
( 3′ )
xn2+1 = 2rn2+1 + 2 .
Âû÷èòàÿ èç ðàâåíñòâà ( 3′ ) ðàâåíñòâî (3), èìååì
(
ìèòüñÿ ê êîñèíóñó óãëà íàêëîíà àñèìïòîòû ãèïåðáîëû,
2rn
1
. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äðîáè
ðàâíû
ò.å. ê
xn
2
íåêîòîðûì ïîäõîäÿùèì äðîáÿì äëÿ ðàçëîæåíèÿ 2 â
öåïíóþ äðîáü (ýòî îáúÿñíÿåòñÿ èçâåñòíîé ñâÿçüþ ìåæäó ëèíåéíûìè ðåêêóðåíòàìè, öåïíûìè äðîáÿìè è
óðàâíåíèÿìè Ïåëëÿ – ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ Â.Ñåíäåðîâà è À.Ñïèâàêà «Óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ» â «Êâàíòå» ¹3,
4 è 6 çà 2002 ã.).
Âûáîð ðàäèóñà r1 = 1 ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû
äàííîé ãèïåðáîëû â òî÷êå (1; 0) ðàâåí 1. Ìîæíî
óñòàíîâèòü, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ãèïåðáîëû â òî÷êå
êàñàíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ ωn ðàâåí rn3 .
Ñàìûì ëþáîïûòíûì â äàííîé çàäà÷å, âèäèìî, ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ëèíåéíîãî ñîîòíîøåíèÿ ( ∗ ) äëÿ ðàäèóñîâ
òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îêðóæíîñòåé. Âîîáùå, åñëè
âïèñûâàòü öåïî÷êó êàñàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé â ãèïåðy2
áîëó x2 −
= 1 , B > 0, òî ðàäèóñû òðåõ ïîñëåäîâàB
òåëüíûõ îêðóæíîñòåé áóäóò óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ
rn +1 = (4 B + 2 ) rn − rn −1 .
)
xn2+1 − xn2 = 2 rn2+1 − rn2 ⇔ ( xn +1 − xn )( xn +1 + xn ) =
= 2 (rn +1 − rn )(rn +1 + rn ) ,
( ∗′ )
Îêðóæíîñòè ìîæíî âïèñûâàòü è âî âíåøíîñòü ãèïåðáîëû x2 − By2 = 1 (ðèñ.2), è òîãäà ðàäèóñû òðåõ ïîñ-
îòêóäà, ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (1), íàõîäèì xn +1 + xn =
= 2 (rn +1 − rn ) . Âû÷èòàÿ èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà (1),
èìååì
2xn = rn +1 − 3rn .
(4)
Ïðè n = 1, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåì 4 = r2 − 3 , ò.å. r2 = 7 .
Âîçâåäåì â êâàäðàò (4), è ïîäñòàâèì (3):
4 xn2 = rn2+1 − 6rn +1rn + 9rn2 ⇒
fi 8rn2 + 8 = rn2+1 − 6rn +1rn + 9rn2 ⇔
¤ rn2+1 − 6rn +1rn + rn2 = 8 . (5)
Èòàê, ïîëó÷åíî ñèììåòðè÷íîå ñîîòíîøåíèå (5), ñâÿçûâàþùåå ðàäèóñû rn è rn +1 . Ïåðåôîðìóëèðîâàòü (5)
ìîæíî òàêèì îáðàçîì: ÷èñëî rn +1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ x2 − 6rn x + rn2 = 8 . Åñëè n ≥ 2 , òî, ðàññìîòðåâ ñîîòíîøåíèå, àíàëîãè÷íîå (5), äëÿ ðàäèóñîâ rn è
rn +1 , ïîëó÷èì, ÷òî rn −1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ x2 − 6rn x + rn2 = 8 . Òîãäà ïî òåîðåìå Âèåòà rn −1 +
+ rn +1 = 6rn , ÷òî äàåò ðåêêóðåíòíîå ñîîòíîøåíèå
rn +1 = 6rn − rn −1
(∗)
äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñîâ. Èç òîãî ÷òî r1 è r2 – öåëûå
÷èñëà ïî öåïî÷êå âûâîäèì, ÷òî âñå rn ÿâëÿþòñÿ öåëûìè.
Çàìå÷àíèÿ. Åñëè óðàâíåíèå (2) èìååò íóëåâîé äèñêðèx
ìèíàíò, òî x = n – åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ýòîãî
2
óðàâíåíèÿ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî àáñöèññà òî÷êè êàñàxn
. Èç ãåîìåòíèÿ îêðóæíîñòè ωn è ãèïåðáîëû ðàâíà
2
rn
äîëæíî ñòðåðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîíÿòíî, ÷òî
xn
19-31.p65
22
Ðèñ. 2
ëåäîâàòåëüíûõ îêðóæíîñòåé áóäóò óäîâëåòâîðÿòü òîìó
æå ñîîòíîøåíèþ ( ∗′ ).
Äëÿ öåïî÷êè îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ïàðàáîëó,
ðàäèóñû îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ (ñì.
çàäà÷ó Ì.Åâäîêèìîâà ñ XXXII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1998 ã.).
Åñëè æå öåïî÷êó õîòÿ áû èç òðåõ îêðóæíîñòåé óäàåòñÿ
y2
= 1 , òî ñîîòíîøåíèå íà ðàäèâïèñàòü â ýëëèïñ x2 +
B
óñû áóäåò èìåòü âèä
rn +1 = (2 − 4 B ) rn − rn −1 .
Â.Ðàñòîðãóåâ, Ï.Êîæåâíèêîâ
M2128. Âàñÿ îòìåòèë 10 êëåòîê â êëåò÷àòîé òàáëèöå 10 × 10 êëåòîê. Âñåãäà ëè Ïåòÿ ìîæåò âûðåçàòü èç
30.09.09, 16:34
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
!
«ÊÂÀÍÒÀ»
ýòîé òàáëèöû ïî ëèíèÿì ñåòêè 19 ôèãóðîê âèäà
Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî k ÷èñëî
òàê, ÷òîáû ôèãóðêè íå ñîäåðæàëè îòìå÷åííûå êëåòêè?
 ns 
kn − 1 =  k 2  − 1 äåëèòñÿ íà 2s ; òîãäà kn äàåò îñòà



òîê 1 ïðè äåëåíèè íà 2s . Èòàê, â ñóììå
n
n
ñëàãàåìûõ äàþò îñòàòîê
1n + 2n + … + (n − 1) ðîâíî
2
s
2
1 ïðè äåëåíèè íà , à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå äåëÿòñÿ íà
n
n
2s . Èìååì: 1n + 2n + … + (n − 1) ≡ ≡ 2s −1 mod 2s ,
2
ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà íå äåëèòñÿ íà 2s è òåì áîëåå
2s
Îòâåò: íå âñåãäà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Âàñÿ îòìåòèë 10 êëåòîê òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå (çíà÷îê «X»). Ðàññìîòðèì òåïåðü
øàõìàòíóþ ðàñêðàñêó
äîñêè (ïðè êîòîðîé âñå
îòìå÷åííûå êëåòêè ÿâëÿþòñÿ ÷åðíûìè). Çàìåòèì,
÷òî ôèãóðêà, íå ñîäåðæàùàÿ îòìå÷åííûõ êëåòîê,
íå ìîæåò ñîäåðæàòü òàêæå íè îäíó èç ÷åðíûõ
êëåòîê A, B, C. Çíà÷èò,
âñå âûðåçàííûå Ïåòåé ôèãóðêè ñîäåðæàò íå áîëåå
50 – 10 – 3 = 37 ÷åðíûõ
êëåòîê. Íî ïîñêîëüêó êàæäàÿ ôèãóðêà ñîäåðæèò ïî äâå
÷åðíûõ è ïî äâå áåëûõ êëåòêè, ìîæåò áûòü âûðåçàíî íå
 37 
áîëåå   = 18 ôèãóðîê.
2
È.Áîãäàíîâ, Î.Ïîäëèïñêèé
M2129. Íàéäèòå âñå ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n > 1 è
n
k, äëÿ êîòîðûõ 1n + 2 n + … + (n − 1) = nk .
Îòâåò. n = 3, k = 2.
Ïåðâîå ðåøåíèå. Åñëè n = 3, òî k = 2. Ïóñòü n íå÷åòíî,
n > 3. Òîãäà ïðè ÷åòíîì x ñóììà 1n + 2n + … + x n
x
äåëèòñÿ íà
. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó a n + bn äå2
n
ëèòñÿ íà a + b, êàæäàÿ èç ñóìì 1n + ( x − 1) ,
n
n
x
x

x

n
.
2n + ( x − 2 ) , …,  − 1 +  + 1 äåëèòñÿ íà
2
2

2

n
x
Îñòàþòñÿ ñëàãàåìûå   è x n , êîòîðûå, î÷åâèäíî,
2
x
n
äåëÿòñÿ íà . Çíà÷èò, 1n + 2n + … + (n − 1) äåëèòñÿ íà
2
n −1
n −1
n −1 
> 1 ïðè n > 3.
. Íî ÍÎÄ 
, n = 1 è
2
2
 2

n
n
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè n > 3 ñóììà 1 + 2n + … + (n − 1)
èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü, íà êîòîðûé íå äåëèòñÿ n.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðè ëþáîì ÷åòíîì n ñóììà
n
1n + 2n + … + (n − 1) íå äåëèòñÿ íà n. Íàì ïîíàäîáèòñÿ
ñëåäóþùàÿ ëåììà.
s
Ëåììà. Ïðè íå÷åòíîì a ÷èñëî a2 − 1 äåëèòñÿ íà 2s .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî s. Ïðè s = 1
óòâåðæäåíèå âåðíî. Ïóñòü ïðè s = r óòâåðæäåíèå âåðíî.
r +1
( )
r
(
2
r
)(
r
)
Òîãäà a2 − 1 = a2 − 1 = a2 − 1 a2 + 1 äåëèòñÿ íà
2r +1 , òàê êàê ïåðâàÿ ñêîáêà äåëèòñÿ íà 2r , à âòîðàÿ
÷åòíà. Ïåðåõîä èíäóêöèè ñäåëàí, è ëåììà äîêàçàíà.
Ïóñòü n = 2s l, ãäå s ≥ 1 , l – íå÷åòíî. Î÷åâèäíî, s < n,
ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ÷åòíîãî k ÷èñëî kn äåëèòñÿ íà 2s .
19-31.p65
23
(
)
íà n.
Çàìå÷àíèå 1. Ðàññóæäàÿ êàê â íà÷àëå ðåøåíèÿ, íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì íå÷åòíîì n ñóììà
n
1n + 2n + … + (n − 1) äåëèòñÿ íà n.
Çàìå÷àíèå 2. Ïðè æåëàíèè ëåììó ëåãêî óñèëèòü: ïðè
s
íå÷åòíîì a è íàòóðàëüíîì s ÷èñëî a2 − 1 äåëèòñÿ íà
2s+ 2 .
Âòîðîå ðåøåíèå. Ïðîâåðèâ çíà÷åíèÿ n = 2, 3, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîäõîäèò òîëüêî n = 3, ïðè ýòîì k = 2. Ïîêàæåì,
÷òî ïðè n ≥ 4 ðåøåíèé íåò.
Ëåììà. Ïðè íàòóðàëüíûõ n ≥ 4 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
n
1  n − 1
1
≤
 < .
2
n  n 
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî íåðàâåíñòâó Áåðíóëëè,
n
n
1 
1
 n 

>2,

 = 1 +
 ≥ 1+
n − 1
n −1
 n − 1

îòêóäà ñëåäóåò ïðàâîå íåðàâåíñòâî. Ëåâîå íåðàâåíñòâî
äîêàæåì èíäóêöèåé ïî n. Áàçà ïðè n = 4 ïðîâåðÿåòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî; ïåðåõîä ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ
n +1
n
1
n
1
n
 n 
 n − 1
=
>
> ⋅
.


 ⋅
 n + 1
 n  n +1 n n +1 n +1
Ëåììà äîêàçàíà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøëîñü ðåøåíèå ñ n ≥ 4 . Èç ëåì1
n
ìû ñëåäóåò, ÷òî (n − 1) > ⋅ nn = nn −1 . Òîãäà
n
n
nk > (n − 1) > nn −1 , îòêóäà k ≥ n . Çàìåòèì, ÷òî ïðè
ëþáîì s = 1, …, n – 1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
s
s
 n − 1
(ýòî – ñíîâà íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè),

 ≥ 1−
n
 n 
n
sn
1
n− s
 n − 1
ïîýòîìó èç ëåììû èìååì 
 ≤
 ≤ s.
2
 n 
 n 
Çíà÷èò,
1=
(n − 1)n + … + 1n
nk
≤
(n − 1)n + … + 1n
nn
n
=
n
 n − (n − 1) 
1 1
1
 n − 1
= 
 ≤ + 2 + … + n−1 < 1 .
 +…+ 
n
n
2
2
2




Ïðîòèâîðå÷èå.
Çàìå÷àíèå. Óðàâíåíèå ýòîé çàäà÷è âîçíèêëî èç ðàññìîòðåíèÿ áîëåå îáùèõ óðàâíåíèé â íàòóðàëüíûõ
y
÷èñëàõ: 1n + 2n + … + x n = ( x + 1) . Ìåòîäîì ïåðâîãî
ðåøåíèÿ çàäà÷è ìîæíî íàéòè âñå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâ-
30.09.09, 16:34
"
ÊÂÀÍT 2009/¹5
íåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè íå÷åòíîñòè n: (n, x, y) =
= (1, 2, 1) è (n, x, y) = (3, 2, 2). Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÷åòíûõ n ìû óìååì äîêàçûâàòü ëèøü, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé (x, y) êîíå÷íî. Î áëèçêèõ óðàâíåíèÿõ â
öåëûõ ÷èñëàõ ñì. òàêæå â ðåøåíèè çàäà÷è Ì2025 â
«Êâàíòå» ¹ 3 çà 2007 ãîä.
È.Áîãäàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ
M2130. Äàí ïëîñêèé (íåâûïóêëûé) øåñòèóãîëüíèê
ABCDEF, â êîòîðîì AB = DE, BC = EF, CD = FA,
–FAB = 3 –CDE , ∠BCD = 3 ∠EFA , ∠DEF = 3 ∠ABC
(çäåñü èìåþòñÿ â âèäó âíóòðåííèå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãóò áûòü áîëüøå 180°).
Èçâåñòíî, ÷òî íèêàêèå äâå ñòîðîíû øåñòèóãîëüíèêà
íå ïàðàëëåëüíû. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå AD, BE è CF
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Èç ðàâåíñòâà óãëîâ â óñëîâèè ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ
øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 4 (∠ABC + ∠CDE + ∠EFA ) , à ñ
äðóãîé ñòîðîíû ýòà ñóììà ðàâíà 4 ⋅ 180° , îòêóäà
∠ABC + ∠CDE + ∠EFA = 180° . (Îòìåòèì, ÷òî òàê êàê
óãëû øåñòèóãîëüíèêà ìåíüøå 360°, òî êàæäûé èç óãëîâ
ABC, CDE, EFA ìåíüøå 120°. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè,
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ∠EFA < 60° ; òîãäà â øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF ïëîñêèé óãîë BCD ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî).
Ïîñòðîèì òðåóãîëüíèê A′C′E′ , â êîòîðîì óãëû A′ , C′ ,
E′ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî óãëàì CDE, EFA, ABC.
Ïóñòü òî÷êè D′ , F ′ , B′ ñèììåòðè÷íû ñîîòâåòñòâåííî
òî÷êàì A′ , C′ è E′ îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ C′E′ , A′E′
è A′C′ . Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû øåñòèóãîëüíèêîâ
ABCDEF è A′B′C′D′E′F ′ ðàâíû, è, êðîìå òîãî, â
øåñòèóãîëüíèêå A′B′C′D′E′F′ ðàâíû ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, à äèàãîíàëè A′D′ , B′E′ è C′F ′
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, òàê êàê ýòî âûñîòû â
òðåóãîëüíèêå A′C′E′ .
Ïðèìåíèâ ïîäõîäÿùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ê øåñòèóãîëüíèêó A′B′C′D′E′F′ , ìîæåì ïîëó÷èòü øåñòèóãîëüíèê A1B1C1D1E1F1 , â êîòîðîì A1 = A , B1 = B è
íàïðàâëåíèå îáõîäà
êîíòóðîâ ABCDEF è
A1B1C1D1E1F1 îäèíàêîâîå (ñêàæåì, ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå; ðèñ.
1). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñîâïàäåíèå
ýòèõ äâóõ øåñòèóãîëüíèêîâ.
Èç ðàâåíñòâà óãëîâ
øåñòèóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóÐèñ. 1
þùèå âåêòîðû BC è
B1C1 , CD è C1D1 è ò.ä. ñîíàïðàâëåíû, â ÷àñòíîñòè C
ëåæèò íà ëó÷å B1C1 , F – íà ëó÷å A1F1 , à â ñèëó
ðàâåíñòâà ñòîðîí ED = E1D1 (è, çíà÷èò, DD1 = EE1 ).
Äîïóñòèì, ÷òî D ≠ D1 , è ïóñòü òî÷êè X è Y òàêîâû, ÷òî
CX = FY = DD1 . Òîãäà D1X = DC , ñëåäîâàòåëüíî,
òî÷êà X ëåæèò íà ïðÿìîé C1D1 , ïðè÷åì
XC1 = XD1 − C1D1 = CD − C1D1 = AF − A1F1 = FF1 .
19-31.p65
24
Êðîìå òîãî, åñëè X ëåæèò íà îòðåçêå C1D1 , òî F ëåæèò
íà îòðåçêå A1F1 ; åñëè æå X ëåæèò íà ïðîäîëæåíèè
îòðåçêà C1D1 çà òî÷êó C1 , òî F ëåæèò íà ïðîäîëæåíèè
îòðåçêà A1F1 çà òî÷êó F1 . Àíàëîãè÷íî, Y ëåæèò íà
ïðÿìîé E1F1 è YF1 = CC1 , ïðè÷åì òî÷êè Y è C ëèáî
îäíîâðåìåííî ëåæàò ñîîòâåòñòâåííî íà îòðåçêàõ E1F1
è B1C1 , ëèáî íà ïðîäîëæåíèÿõ ýòèõ îòðåçêîâ (çà òî÷êè
F1 è C1 ). Ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè FFY
è
1
XC1C ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì. Çàìåòèì (ýòî ñóùåñòâåííî! – ñì. çàìå÷àíèå íèæå), ÷òî ýòè òðåóãîëüíèêè
íåâûðîæäåííûå: CX ≠ 0 ïî ïðåäïîëîæåíèþ, C ≠ C1
(èíà÷å F1 = Y è CD CX FY AF ), X ≠ C1 (èíà÷å
F1 = F è BC CX FY EF ). Èç ðàâåíñòâà òðåóãîëüðàâåí
íèêîâ èìååì ∠FFY
1 = ∠XC1C . Îäíàêî ∠FFY
1
∠AFE ëèáî 180° − ∠AFE , à ∠XC1C ðàâåí ∠BCD
ëèáî 180° − ∠BCD . Ïðè÷åì èç ïðåäûäóùèõ âûâîäîâ î
ðàñïîëîæåíèè òî÷åê C, X, F, Y ñëåäóåò, ÷òî åñëè
∠FFY
= ∠AFE , òî ∠XC1C = ∠BCD , à åñëè
1
∠FFY
=
180° − ∠AFE , òî ∠XC1C = 180° − ∠BCD . Â
1
ëþáîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî ∠AFE = ∠BCD – ïðîòèâîðå÷èå.
Ñëåäîâàòåëüíî, D = D1 , îòêóäà âûòåêàåò ñîâïàäåíèå
øåñòèóãîëüíèêîâ ABCDEF è A1B1C1D1E1F1 .
Çàìå÷àíèå. Ïðèâåäåì ïðèìåð øåñòèóãîëüíèêà, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî â ýòîé çàäà÷å óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ
ñóùåñòâåííûì. Ïîñòðîèì
ïàðàëëåëîãðàìì ACDF, â
êîòîðîì ∠ACD = 80° è
AF > AC, E – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ
AFD è CDF. Ïîñòðîèì íà
ñòîðîíå AC âíå ïàðàëëåëîãðàììà òðåóãîëüíèê
ACB, ðàâíûé òðåóãîëüíèêó DFE (ðèñ.2). Òîãäà
ïî ïîñòðîåíèþ â øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF ðàâíû ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, è ∠FAB = Ðèñ. 2
= 3∠CDE = 150°, ∠BCD =
= 3∠EFA = 120° , ∠DEF = 3∠ABC = 270° .
Îäíàêî BE íå ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà
ACDF (òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ AD è CF), òàê êàê E ëåæèò
íà ñðåäíåé ëèíèè, ïàðàëëåëüíîé CD, è îòëè÷íà îò
öåíòðà ïàðàëëåëîãðàììà, à B íå ëåæèò íà ýòîé ñðåäíåé
ëèíèè.
Í.Áåëóõîâ,
Ï.Êîæåâíèêîâ
Ô2138. Ïîäúåìíûé
êðàí ìåäëåííî ïîäíèìàåò ñ ïîìîùüþ òðîñà ïëàâàþùåå â âîäå
áðåâíî (ðèñ.1). Òðîñ
ïðèêðåïëåí ê îäíîìó
êîíöó áðåâíà, êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü
30.09.09, 16:34
Ðèñ. 1
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
òîíêèì öèëèíäðîì ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ. Ìàññà
áðåâíà m, äëèíà L. Îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé âîäû è
äðåâåñèíû γ = 4/3. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g.
Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå áðåâíà ãîðèçîíòàëüíîå. 1) Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó À íóæíî ñîâåðøèòü êðàíó,
÷òîáû ïîëíîñòüþ âûòàùèòü áðåâíî èç âîäû?
2) Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû íàòÿæåíèÿ
Ò òðîñà îò âûñîòû íàä âîäîé h ïðèïîäíèìàåìîãî
êîíöà áðåâíà. Óêàæèòå õàðàêòåðíûå òî÷êè ãðàôèêà.
3) Êàêóþ ðàáîòó A∆h ñîâåðøèò êðàí ïðè ïåðåâîäå
áðåâíà èç îäíîãî íàêëîííîãî ïîëîæåíèÿ â äðóãîå
íàêëîííîå ïîëîæåíèå, â êîòîðîì âåðõíèé êîíåö áðåâíà ïîäíÿëñÿ íà âûñîòó ∆h = L/5?
1) Ìèíèìàëüíàÿ ðàáîòà êðàíà ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè áðåâíà:
mgL
A=
.
2
2) Áðåâíî â ïðîöåññå ïîäúåìà áóäåò îáðàçîâûâàòü
íåêèé óãîë α ñ ïîâåðõíîñòüþ âîäû, ïîêà íå ïðèìåò
âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå, îñòàâàÿñü ÷àñòè÷íî ïîãðóæåííûì â âîäó. Áðåâíî íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, åñëè âûïîëíÿþòñÿ äâà óñëîâèÿ
(ðèñ.2).
à) Ñóììà âñåõ äåéñòâóþùèõ íà áðåâíî ñèë
ðàâíà íóëþ, èëè, â
ïðîåêöèÿõ íà âåðòèêàëüíóþ îñü:
T + FA − mg = 0 ,
ãäå FA = mgγx0 L –
àðõèìåäîâà ñèëà, x0
Ðèñ. 2
– äëèíà ÷àñòè áðåâíà,
ïîãðóæåííîé â âîäó.
á) Ñóììà ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé
îñè âðàùåíèÿ ðàâíà íóëþ, èëè, âûáðàâ îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âåðõíèé êîíåö áðåâíà:
mg
L
x 
x 

cos α −  mgγ 0   L − 0  cos α = 0 .
2
L 
2 

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèëà Ò íàòÿæåíèÿ òðîñà íå çàâèñèò
îò óãëà íàêëîíà áðåâíà îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòà. Ðåøàÿ
ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì, ÷òî â âîäå áóäåò íàõîäèòüñÿ ÷àñòü áðåâíà äëèíîé

1 L
x0 = L  1 − 1 −  = .
γ 2

Ïîêà áðåâíî áóäåò îñòàâàòüñÿ â íàêëîííîì ïîëîæåíèè,
ñèëà íàòÿæåíèÿ òðîñà áóäåò ïîñòîÿííîé è ðàâíîé
mg 3 . Ïîñëå òîãî êàê áðåâíî ïðèìåò âåðòèêàëüíîå
ïîëîæåíèå, ñèëà íàòÿæåíèÿ òðîñà áóäåò ëèíåéíî âîçðàñòàòü îò mg 3 äî mg:
γx 

T = mg − FA = mg  1 −
.
L

19-31.p65
25
#
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû íàòÿæåíèÿ
òðîñà Ò îò âûñîòû h
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 3.
3) Ïîäúåì âåðõíåãî
êîíöà áðåâíà íà
âûñîòó ∆h ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîé ñèëå íàòÿæåíèÿ
mg 3 . Ïîýòîìó èñêîìàÿ ðàáîòà ðàâíà
Ðèñ. 3
A∆h = T ∆h =
mg L mgL
=
.
3 5
15
Â.×èâèë¸â
Ô2139. Â îòêðûòîì êîñìîñå òðè íåáîëüøèõ àñòåðîèäà èç-çà ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ñáëèæàþòñÿ
äðóã ñ äðóãîì âäîëü
îáùåé ïðÿìîé, íåïîäâèæíîé îòíîñèòåëüíî
çâåçä. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé îò ñðåäíåãî
àñòåðîèäà äî êðàéíèõ îñòàåòñÿ ðàâíûì n = 2 âïëîòü
äî èõ ñòîëêíîâåíèÿ (ñì. ðèñóíîê). Ìàññà ëåâîãî
àñòåðîèäà m1 , öåíòðàëüíîãî m2 . Íàéäèòå ìàññó m3
ïðàâîãî àñòåðîèäà.
Ïóñòü óñêîðåíèÿ àñòåðîèäîâ ðàâíû a1 , a2 , a3 , ïåðâûå
äâà óñêîðåíèÿ íàïðàâëåíû âïðàâî, à òðåòüå – âëåâî. Â
ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òðåòüèì àñòåðîèäîì, óñêîðåíèÿ ïåðâûõ äâóõ ðàâíû a1 + a3 è a2 + a3 ñîîòâåòñòâåííî. ×òîáû îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé îò m1 è m2 äî
m3 ñîõðàíÿëîñü íåèçìåííûì, îíî äîëæíî áûòü ðàâíî
îòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ óñêîðåíèé:
(a1 + a3 ) : (a2 + a3 ) = 3r : 2r = 3 : 2 .
Îòñþäà ïîëó÷èì ñâÿçü óñêîðåíèé:
a3 = 2a1 − 3a2 .
Èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ íàéäåì óñêîðåíèÿ
àñòåðîèäîâ:
m
m
m
m
a1 = G 22 + G 32 , a2 = G 32 − G 21 ,
r
9r
r
4r
m1
m
+ G 22 .
2
9r
4r
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ ñâÿçè óñêîðåíèé, ïîëó÷èì
a3 = G
m 
m1 m2

m

+
= 2  m2 + 3  − 3  3 − m1  ,
9
4
9 

 4

îòêóäà íàéäåì
m3 =
104m1 + 63m2
.
19
È.Âîðîáüåâ
Ô2140. Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå ëîðäà Êåëüâèíà íàøëè
pV-äèàãðàììó çàìêíóòîãî öèêëè÷åñêîãî ïðîöåññà
òåïëîâîé ìàøèíû (ñì. ðèñóíîê). Ïðîöåññ 1–2 –
30.09.09, 16:34
$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
èçîáàðà, ïðîöåññ 2–3
– àäèàáàòà, 3–1 –
èçîòåðìà. Îò âðåìåíè ÷åðíèëà âûöâåëè,
è êîîðäèíàòíûå îñè
íà äèàãðàììå èñ÷åçëè. Èçâåñòíî, ÷òî ðàáî÷èì âåùåñòâîì ìàøèíû áûë èäåàëüíûé
ãàç (ãåëèé) êîëè÷åñòâîì ν = 2 ìîëü.
Ìàñøòàá ïî îñè äàâëåíèé: 1 ìàë. êë. =
= 1 àòì, ïî îñè îáúåìîâ: 1 ìàë. êë. = 1 ë. 1) Âîññòàíîâèòå ïîëîæåíèå êîîðäèíàòíûõ îñåé è âû÷èñëèòå
ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå ãàçà â äàííîì öèêëè÷åñêîì
ïðîöåññå. 2) Âû÷èñëèòå ìàêñèìàëüíóþ è ìèíèìàëüíóþ òåìïåðàòóðû ãàçà â öèêëå. 3) Íàéäèòå ðàáîòó
AT ãàçà íà èçîòåðìå 3–1. 4) Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà η .
Ïðèìå÷àíèå. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R =
òì ( ìîëü ◊ Ê ) .
= 0,082 ë.àò
1) Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ðàçíîñòü äàâëåíèé ∆p = p − p3
îò òî÷êè 3 è ðàçíîñòü îáúåìîâ ∆V = V − V1 îò òî÷êè 1.
Òîãäà óðàâíåíèå èçîòåðìû çàïèøåòñÿ â âèäå
pV = ( p3 + ∆p ) (V1 + ∆V ) = const .
Ðàññìîòðåâ òðè òî÷êè íà èçîòåðìå – íàïðèìåð, òî÷êè 1,
3 è îäíó â ñåðåäèíå ãðàôèêà, – ìîæíî ñîñòàâèòü
ñèñòåìó óðàâíåíèé è âûðàçèòü p3 è V1 .
À ìîæíî p3 è V1 íàéòè áîëåå òî÷íûì ñïîñîáîì.
Çàìåòèì, ÷òî p1 − p3 ÷èñëåííî, â êëåòêàõ, ðàâíî V3 − V1 ,
çíà÷èò, â ýòîì ìàñøòàáå ãðàôèê èçîòåðìû ñèììåòðè÷åí
îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè p ↔ V è p3 ÷èñëåííî
ðàâíî V1 è ðàâíî íåêîòîðîìó ÷èñëó à. Òàêèì îáðàçîì,
÷èñëåííî ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå
∆p∆V + a ( ∆p + ∆V ) + a2 = const .
Åñëè îòìåòèòü íåñêîëüêî òî÷åê íà äàííîì ãðàôèêå è
ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè y = ∆p∆V îò
x = ∆p + ∆V , òî ãðàôèêîì áóäåò ïðÿìàÿ ñ êîýôôèöèåíòîì íàêëîíà k = = –a. Òàê, íàéäåì p3 ≈ 1 àòì ,
V1 ≈ 1 ë , è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå
pmax = p1 ≈ 32 àòì . Ïîëîæåíèå êîîðäèíàòíûõ îñåé
ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì.
2) Òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ è ìèíèìàëüíóþ òåìïåðàòóðû â öèêëå:
pV
Tmin = T1 = T3 = 1 1 ≈ 195 Ê ,
νR
pV
Tmax = T2 = 2 2 ≈ 780 Ê .
νR
3) Ðàáîòó ãàçà íà èçîòåðìå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê
ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì èçîòåðìû ñî çíàêîì ìèíóñ:
AT ≈ −11,2 êÄæ .
4) ÊÏÄ öèêëà íàéäåì êàê îòíîøåíèå ðàáîòû À ãàçà çà
öèêë ê ïîäâåäåííîìó êîëè÷åñòâó òåïëîòû Q+ = Q12 =
= A12 + νCV (T2 − T1 ) = 5 A12 2 . Ðàáîòû îïðåäåëèì ïî
ãðàôèêó:
A ≈ −13,0 êÄæ è A12 ≈ 9,7 êÄæ .
19-31.p65
26
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
2A
A
η=
=
⋅ 100% ≈ 54% .
Q+ 5 A12
À.Øåðîíîâ
Ô2141.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñõåìà êîòîðîé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 1, íàïðÿæåíèå
ìåæäó çàæèìàìè Ñ è
D ðàâíî UCD = 15 Â.
Èçâåñòíî,
÷òî
R r . 1) Îïðåäåëèòå ïîêàçàíèå èäåàëüíîãî âîëüòìåòðà, ïîäêëþ÷åííîãî ê êëåììàì
A è Â. 2) ÏðåäïîëîÐèñ. 1
æèì, ÷òî ê êëåììàì À
è  ïîäêëþ÷åí èäåàëüíûé àìïåðìåòð. Óêàæèòå íàïðàâëåíèå òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç êàæäûé èç ðåçèñòîðîâ è àìïåðìåòð.
Ïî óñëîâèþ ñîïðîòèâëåíèå «âíóòðåííåãî» ó÷àñòêà
öåïè ìíîãî áîëüøå r. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëó òîêà,
èäóùåãî ïî íåìó, ìîæíî íå ó÷èòûâàòü ïðè ðàñ÷åòå
íàïðÿæåíèé è ñèë òîêîâ âî «âíåøíåì» ó÷àñòêå öåïè.
Ñèëû òîêîâ, òåêóùèõ ïî âåòâÿì CED è CFD, ðàâíû
U
I0 = CD .
r + 2r
Íàïðÿæåíèå ìåæäó òî÷êàìè F è Å ñîñòàâëÿåò
U
UFE = UCE − UCF = I0 ⋅ 2r − I0 ⋅ r = CD .
3
1) Ïðè ïîäêëþ÷åíèè èäåàëüíîãî âîëüòìåòðà òîê ÷åðåç
íåãî íå èäåò. Ñèëû òîêîâ â âåòâÿõ FAE è FBE
ñîñòàâëÿþò
UFE
UFE
IFAE =
= IFAE .
è IFBE =
R + 4R
2R + 3R
Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå À (ïîêàçàíèå èäåàëüíîãî
âîëüòìåòðà) ðàâíî
U AB = UFB − UFA = IFBE ⋅ 2R − IFAE ⋅ R =
UFE UCD
=
=1B.
5
15
2) Ñîïðîòèâëåíèå èäåàëüíîãî àìïåðìåòðà ðàâíî íóëþ,
è ýòî ðàâíîñèëüíî çàìûêàíèþ êëåìì À è Â. Ïðè
ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè áîëüøèé òîê òå÷åò ÷åðåç
ðåçèñòîð ñ ìåíüøèì ñîïðîòèâëåíèåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî IFA > IFB
è IAE < IBE . Ïîýòîìó
òîê ÷åðåç àìïåðìåòð
òå÷åò â íàïðàâëåíèè îò
À ê Â (òàê êàê ïîëíûé
òîê, ïðîòåêàþùèé îò
F ê óçëàì À è Â, ðàâåí
òîêó, òåêóùåìó îò À è
 ê Å). Íàïðàâëåíèÿ
âñåõ òîêîâ óêàçàíû íà
ðèñóíêå 2.
Ì.Ïðîñêóðèí Ðèñ. 2
=
30.09.09, 16:34
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ô2142. N = 2009 îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðîâ åìêîñòüþ Ñ = 10 ìêÔ êàæäûé çàðÿäèëè äî îäèíàêîâûõ
íàïðÿæåíèé U = 10 Â è ñîåäèíèëè ïîñëåäîâàòåëüíî,
ïðè÷åì n = 100 øòóê îêàçàëèñü ïîäêëþ÷åííûìè â
îäíîé ïîëÿðíîñòè, à îñòàëüíûå – â äðóãîé. Êîíöû
ïîëó÷èâøåéñÿ öåïî÷êè ñîåäèíèëè ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R = 1 êÎì. Êàêîé ïîëíûé çàðÿä ïðîòå÷åò
ïî ðåçèñòîðó è ñêîëüêî â íåì âûäåëèòñÿ òåïëà?
Íàéäåì çàðÿä q, ïðîòåêøèé çà áîëüøîå âðåìÿ ÷åðåç
ðåçèñòîð. Çàðÿäû êàæäîãî èç n êîíäåíñàòîðîâ ðàâíû
òåïåðü CU + q, îñòàëüíûå êîíäåíñàòîðû èìåþò çàðÿäû
CU – q. Ñ ó÷åòîì ðàçëè÷èÿ ïîëÿðíîñòåé êîíäåíñàòîðîâ
íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå äîëæíî áûòü íóëåâûì ïðè
óñëîâèè
(CU + q ) n − (CU − q )( N − n ) = 0 .
Îòñþäà ïîëó÷èì âåëè÷èíó ïðîòåêøåãî çàðÿäà:
CU ( N − 2n )
≈ 0,9 ⋅ 10−4 Êë .
N
Òåïåðü íàéäåì âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå òåïëî. Íà÷àëüíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñîñòàâëÿåò
∆ϕíà÷ = U ( N − 2n ) , êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
ðàâíà íóëþ. Çíà÷èò, â ðåçèñòîðå âûäåëèòñÿ êîëè÷åñòâî
òåïëîòû
2
CU 2 ( N − 2n )
1
≈ 0,8 Äæ .
Q = q∆ϕíà÷ =
2
2N
Ç.Ðàôàèëîâ
q=
Ô2143. Íà êîëüöåâîé ñåðäå÷íèê ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé
ïðîíèöàåìîñòüþ ñëîæåííûì âäâîå èçîëèðîâàííûì
òîíêèì ïðîâîäîì íàìîòàíà êàòóøêà ñ áîëüøèì ÷èñëîì âèòêîâ (ïîëó÷èëèñü äâå îäèíàêîâûå êàòóøêè –
îäíà ñ âûâîäàìè À è Á, äðóãàÿ – ñ âûâîäàìè  è Ã.
Èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè ÀÁ ðàâíà 1 Ãí. Ê òî÷êàì Â
è à ïîäêëþ÷èëè ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 1000 Îì, ê
âûâîäàì À è Á ïðèñîåäèíèëè èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ÷àñòîòû 1000 Ãö ñ àìïëèòóäîé 1 Â.
Êàêîé òîê òå÷åò ÷åðåç ðåçèñòîð? Êàê èçìåíèòñÿ
òîê, åñëè âûâîäû Â è Ã ïîìåíÿòü ìåñòàìè?
Äâå êàòóøêè è ðåçèñòîð ïîäêëþ÷åíû ïîñëåäîâàòåëüíî.
Íóæíî ðàçîáðàòü äâà ñëó÷àÿ: ìàãíèòíûå ïîòîêè â
ñåðäå÷íèêå âû÷èòàþòñÿ èëè ñêëàäûâàþòñÿ. Ýòè ñëó÷àè
«ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè» ïðè îáìåíå òî÷åê  è Ã.
Åñëè ïîòîêè âû÷èòàþòñÿ, òî ñóììàðíûé ìàãíèòíûé
%
«ÊÂÀÍÒÀ»
ïîòîê ðàâåí íóëþ, è ðåçèñòîð îêàçûâàåòñÿ ïîäêëþ÷åííûì íàïðÿìóþ ê èñòî÷íèêó. Òîê ÷åðåç íåãî ïðè ýòîì
ñîñòàâëÿåò
U
I=
= 1 ìÀ .
R
 ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç
êàæäóþ èç êàòóøåê óäâàèâàåòñÿ – âòîðàÿ êàòóøêà
äîáàâëÿåò ïîòîê, ðàâíûé «ñâîåìó», åñëè ðàññåÿíèÿ
ìàãíèòíûõ ëèíèé íåò. Ó÷èòûâàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè äâóõ
êàòóøåê, ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R è êàòóøêè èíäóêòèâíîñòüþ 4L
è òîê îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå
I=
U
≈ 0,24 ìÀ .
R + 16ω2 L2
Ìû ïîäñòàâëÿëè àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ,
ïîýòîìó çíà÷åíèÿ òîêîâ òîæå ïîëó÷èëèñü àìïëèòóäíûìè.
À.Çèëüáåðìàí
2
Ô2144. Çðèòåëüíàÿ òðóáà èìååò îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 1 ì è îêóëÿð ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì
5 ñì. Ëèíçû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 106 ñì äðóã îò
äðóãà, íà îáúåêòèâ ïàäàåò øèðîêèé ïó÷îê ëó÷åé, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Íàéäèòå óãîë ðàñõîæäåíèÿ âûõîäÿùåãî ïó÷êà. Äèàìåòð îêóëÿðà 0,5 ñì.
Ðàññìîòðèì ïàäàþùèé ëó÷, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé
îïòè÷åñêîé îñè. Ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â ïåðâîé ëèíçå
(îáúåêòèâ) îí ïåðåñå÷åò ýòó îñü íà ðàññòîÿíèè d = 6 ñì
îò îêóëÿðà (ýòî çàäíèé ôîêóñ îáúåêòèâà). Äàëåå îí
ïðîéäåò ÷åðåç îêóëÿð è ïåðåñå÷åò ãëàâíóþ îñü íà
ðàññòîÿíèè f = 30 ñì îò íåãî (ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû
ëèíçû 1 d + 1 f = 1 F ). Çà ýòîé òî÷êîé ïó÷îê ðàñõîäèòñÿ, ïðè÷åì óãîë ðàñõîæäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êðàéíèì èç
ëó÷åé. Åñëè äèàìåòð îêóëÿðà D, òî óãîë îòêëîíåíèÿ ϕ
ýòîãî ëó÷à îò ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
1
D
tg ϕ =
=
.
2f 120
Óãîë ðàñõîæäåíèÿ ïó÷êà δ âäâîå áîëüøå. Ó÷èòûâàÿ
ìàëîñòü óãëà, ìîæíî çàïèñàòü
1
δ ª 2ϕ ª
ðàä ª 1 .
60
À.Ïðîñòîâ
Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé!
Ìû ðàäû ñîîáùèòü íàøèì ÷èòàòåëÿì, ÷òî âûøåë â ñâåò îáíîâëåííûé âàðèàíò ýëåêòðîííîãî àðõèâà
æóðíàëà «ÊÂÀÍÒ». Íà äèñêå âûëîæåíû âñå íîìåðà æóðíàëà ñ 1970 ïî 2008 ãîä âêëþ÷èòåëüíî, à òàêæå äâà
ïðèëîæåíèÿ ê æóðíàëó: êíèãà Í.Á.Âàñèëüåâà, À.Ï.Ñàâèíà, À.À.Åãîðîâà «Èçáðàííûå îëèìïèàäíûå çàäà÷è.
Ìàòåìàòèêà» è êíèãà Ê.Þ.Áîãäàíîâà «Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé». Èìååòñÿ õîðîøàÿ ñèñòåìà ïîèñêà íóæíîãî âàì
ìàòåðèàëà.
Äèñê ìîæíî ïðèîáðåñòè â ðåäàêöèè æóðíàëà «ÊÂÀÍÒ». Íàøè êîîðäèíàòû – íà ïîñëåäíåé ñòðàíèöå
æóðíàëà. Ïèøèòå, çâîíèòå, ìû âàñ æäåì.
Ìû òàêæå íàïîìèíàåì íàøèì ÷èòàòåëÿì, ÷òî ïðèøëî âðåìÿ ïîäïèñûâàòüñÿ íà æóðíàë «ÊÂÀÍÒ» íà ïåðâîå
ïîëóãîäèå 2010 ãîäà. Æóðíàë «ÊÂÀÍÒ» âûõîäèò îäèí ðàç â äâà ìåñÿöà âìåñòå ñ ïðèëîæåíèåì ê æóðíàëó è
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òîëüêî ïî ïîäïèñêå.
Ïîäïèñàòüñÿ íà «ÊÂÀÍÒ» ìîæíî â ëþáîì ïî÷òîâîì îòäåëåíèè ñâÿçè. Íàø ïîäïèñíîé èíäåêñ â êàòàëîãå
àãåíòñòâà «ÐÎÑÏÅ×ÀÒÜ» 70465.
19-31.p65
27
30.09.09, 16:34
&
ÊÌØ
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Çàäà÷è
1.
Ïåòÿ è Âàñÿ åäóò â ñîñåäíèõ âàãîíàõ ïîåçäà. Âàãîí,
â êîòîðîì åäåò Ïåòÿ, – ïÿòûé îò «ãîëîâû» ïîåçäà, à
âàãîí, â êîòîðîì åäåò Âàñÿ, – ñåäüìîé ñ «õâîñòà».
Ñêîëüêî âàãîíîâ â ïîåçäå?
Ì.Àõìåäæàíîâà
ãðèáîâ. Ìîãóò ëè âñå ãðèáû ñòàòü õîðîøèìè ïîñëå
òîãî, êàê íåêîòîðûå ÷åðâÿêè ïåðåïîëçóò èç ïëîõèõ
ãðèáîâ â õîðîøèå?
À.Êàíåëü
4.
Äëÿ äâóõ ðàçíûõ øàðèêîâ ëåãêî ñäåëàòü êîëå÷êî,
êîòîðîå ìîæíî ïëîòíî íàäåòü íà êàæäûé øàðèê (÷òîáû íå áûëî ùåëåé).
À åñëè âçÿòü äâå ðàçíûå êàðòîôåëèíû? Âñåãäà ëè
óäàñòñÿ èçãîòîâèòü ïðîâîëî÷íîå êîëüöî, âîçìîæíî
èçîãíóòîå è íå ïëîñêîå, êîòîðîå ìîæíî áóäåò ïëîòíî
íàäåòü íà êàæäóþ èç êàðòîôåëèí?
Ã.Ãàëüïåðèí
2.
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ôèãóðà, âñå óãëû ìåæäó åå
ñîñåäíèìè îòðåçêàìè ïðÿìûå. Êàê ñ ïîìîùüþ òîëüêî
êàðàíäàøà è ëèíåéêè áåç äåëåíèé ïðîâåñòè ïðÿìóþ,
êîòîðàÿ îòñåêàëà áû îò ôèãóðû êóñîê, ïî ïëîùàäè
ðàâíûé ïîëîâèíå ïëîùàäè ôèãóðû?
Â.Êðþêîâ
5.
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
3.
Ãðèá íàçûâàåòñÿ ïëîõèì, åñëè â íåì íå ìåíåå 10
÷åðâÿêîâ. Åñëè æå â ãðèáå ìåíüøå 10 ÷åðâÿêîâ, îí
ñ÷èòàåòñÿ õîðîøèì.  ëóêîøêå 90 ïëîõèõ è 10 õîðîøèõ
Ïî êîðèäîðó èäåò òîëïà. Ïåðåä ðàçâèëêîé êîðèäîðà ñòîèò ðàçäåëèòåëü. Îí íàïðàâëÿåò îäíîãî ÷åëîâåêà íàëåâî, à äðóãîãî íàïðàâî, òàê ÷òî ïîòîê äåëèòñÿ íà
äâå îäèíàêîâûå ÷àñòè. Ïðè ïîìîùè íåñêîëüêèõ òàêèõ
ðàçäåëèòåëåé ìîæíî îòäåëèòü ÷åòâåðòü ïîòîêà èëè òðè
âîñüìûõ åãî. À ìîæíî ëè îòäåëèòü òðåòü ïîòîêà?
Â.Àðíîëüä
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8
êëàññîâ.
19-31.p65
28
30.09.09, 16:34
Ê
Ì
Ø
Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà
'
«Ìàòåìàòèêà 6–8»
Ìû ïðîäîëæàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 6–8
êëàññîâ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» èëè ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó: math@kvant.info (ñ
ïîìåòêîé «Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6–8»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ.
Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è
ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé
òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé
òóðíèð.
6. Íà íîâîì ñàéòå «Ðàçãîâîðû.ru» çàðåãèñòðèðîâàëèñü 2000 ÷åëîâåê. Êàæäûé èç íèõ ïðèãëàñèë ê ñåáå â
äðóçüÿ ïî 1000 ÷åëîâåê. Äâà ÷åëîâåêà îáúÿâëÿþòñÿ
äðóçüÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé èç íèõ
ïðèãëàñèë äðóãîãî â äðóçüÿ. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ïàð äðóçåé ìîãëî îáðàçîâàòüñÿ?
À.Ýâíèí
7. Ìîæíî ëè êâàäðàò ðàçðåçàòü íà 9 êâàäðàòîâ è
ðàñêðàñèòü èõ òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü 1 áåëûé, 3 ñåðûõ
è 5 ÷åðíûõ êâàäðàòîâ, ïðè÷åì îäíîöâåòíûå êâàäðàòû
áûëè áû ðàâíû, à ðàçíîöâåòíûå êâàäðàòû – íå ðàâíû?
Í.Àâèëîâ
8. Äâåñòè ãèðåê ìàññîé 1 ã, 2 ã, …, 200 ã ðàçëîæèëè íà
äâå ÷àøè âåñîâ òàê, ÷òî ëþáûå äâå ãèðè ñ ðàçíèöåé
ìàññ 100 ã ïîïàëè íà ðàçíûå ÷àøè è ëþáûå äâå ãèðè
ñ ñóììîé ìàññ 201 ã òîæå ïîïàëè íà ðàçíûå ÷àøè. Ïðè
ýòîì âåñû îêàçàëèñü â ðàâíîâåñèè. Çàòåì ñ êàæäîé
÷àøè óáðàëè âñå ãèðè ÷åòíîé ìàññû. Äîêàæèòå, ÷òî
âåñû ñíîâà áóäóò â ðàâíîâåñèè.
Â.Ïðîèçâîëîâ
9. Íàéäóòñÿ ëè òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà a, b, c, d , ÷òî
= ! + > ! + ? ! + @ ! = 100100?
Ì.Ìóðàøêèí
10. Íà ñòîðîíàõ BC è CD ðîìáà ABCD âçÿëè òî÷êè P
è Q ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî BP = CQ. Äîêàæèòå, ÷òî
öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí) òðåóãîëüíèêà APQ ëåæèò íà äèàãîíàëè BD ðîìáà.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ëåòíèé òóðíèð èìåíè À.Ï.Ñàâèíà
Êàæäûé ãîä â êîíöå èþíÿ óâëå÷åííûå ìàòåìàòèêîé øêîëüíèêè ñîáèðàþòñÿ â êðàñèâîì ìåñòå Êîñòðîìñêîé îáëàñòè, ÷òîáû
ñîðåâíîâàòüñÿ â ðåøåíèè çàäà÷. Òóðíèð íîñèò èìÿ Àíàòîëèÿ
Ïàâëîâè÷à Ñàâèíà, îñíîâàòåëÿ êîíêóðñà «Ìàòåìàòèêà 6–8»
æóðíàëà «Êâàíò». Áëàãîäàðÿ êîíêóðñó â 1993 ãîäó è âîçíèê ýòîò
òóðíèð ìàòåìàòè÷åñêèõ áîåâ. Îðãàíèçàòîðû òóðíèðà – æóðíàë
«Êâàíò» è îáðàçîâàòåëüíàÿ ïðîãðàììà «Áîëüøàÿ ïåðåìåíà»
(ðóêîâîäèòåëü Ã.Â. Êîíäàêîâ).
Ýòèì ëåòîì êîìàíäû ñúåõàëèñü íà 7 äíåé (ñ 26 èþíÿ ïî 2 èþëÿ
2009 ãîäà) ïîä ãîðîä Ñóäèñëàâëü íà æèâîïèñíóþ áàçó îòäûõà
«Áåðåíäååâû Ïîëÿíû». Ìíîãèå ðåáÿòà ïðèåõàëè ñþäà ãîðàçäî
ðàíüøå – îíè ó÷èëèñü â ëåòíåé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëå, êîòîðàÿ
íà÷àëàñü 11 èþíÿ, ïîñëå êîòîðîé ðåøèëè îñòàòüñÿ íà òóðíèð.
 íûíåøíåì ãîäó äðóã ñ äðóãîì èãðàëè êîìàíäû 6–8 êëàññîâ:
8 êîìàíä 6 êëàññîâ, 12 êîìàíä 7 êëàññîâ è 8 êîìàíä 8 êëàññîâ.
Øêîëüíèêè ïðèåõàëè èç Ìîñêâû, Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, Èâàíîâà,
Êîñòðîìû, Òàìáîâà è ×åðíîãîëîâêè. Êîìàíäà Òàìáîâà áûëà
ïðèãëàøåíà íà òóðíèð êàê ïîáåäèòåëü êîíêóðñà «Ìàòåìàòèêà
6–8» æóðíàëà «Êâàíò».
 äåíü çàåçäà (25 èþíÿ) ñðàçó áûëà ïðîâåäåíà îæèâëåííàÿ
ìàòåìàòè÷åñêàÿ èãðà «Ìàãè÷åñêèé êâàäðàò». Ïîáåäèòåëÿìè ñòàëè
êîìàíäû «Ôðàêòàë» (6 êëàññ, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã), «Èíòåëëåêòóàë» (7 êëàññ, Ìîñêâà) è «218-Á» (8 êëàññ, Ìîñêâà).
Íà ñëåäóþùèé äåíü ïðîøëà óñòíàÿ êîìàíäíàÿ îëèìïèàäà, ïî
ðåçóëüòàòàì êîòîðîé êîìàíäû áûëè ðàçäåëåíû íà ëèãè ïî
19-31.p65
29
êëàññàì, ïðè ýòîì 7 êëàññ áûë ðàçáèò íà äâå ëèãè. Äàëåå â
êàæäîé ëèãå ïðîõîäèëè ìàòåìàòè÷åñêèå áîè. Ïîñëåäíèé äåíü
òóðíèðà – ôèíàëüíûå áîè, êîòîðûå îïðåäåëèëè ïîáåäèòåëåé â
êàæäîé ëèãå.
 ëèãå 8 êëàññîâ ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà «Ìîñêâà-Þã».
Åå ñîáðàëà Ò.Ï. Çîðèíà â èþíüñêîé ëåòíåé ìàòåìàòè÷åñêîé
øêîëå 2008 ãîäà. Çà ãîä ñ íåáîëüøèì ðåáÿòà âûèãðàëè ðàçíûå
òóðíèðû, âêëþ÷àÿ ýòîò òóðíèð â ïðîøëîì ãîäó.  âûñøåé ëèãå 7
êëàññîâ ëó÷øåé ñòàëà êîìàíäà êðóæêà ÌÖÍÌÎ ïîä ðóêîâîäñòâîì À.Â. Ñïèâàêà. Ëó÷øèå øåñòèêëàññíèêè – ðåáÿòà èç êðóæêà
«Ôðàêòàë» Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, èõ ïðåèìóùåñòâî îêàçàëîñü îùóòèìûì è âî âðåìÿ áîåâ, è âî âðåìÿ êîìàíäíîé îëèìïèàäû.
Ëó÷øåé âî âòîðîé ëèãå 7 êëàññîâ ñòàëà êîìàíäà øêîëû 82 èç
×åðíîãîëîâêè Ìîñêîâñêîé îáëàñòè. Íèæå â òàáëèöå ïðèâåäåí
ñïèñîê âñåõ êîìàíä-ïðèçåðîâ òóðíèðà.
 îäèí èç äíåé òóðíèðà ó÷àñòíèêè îòäîõíóëè îò áîå⠖
ïðîøëà ëè÷íàÿ îëèìïèàäà.  êàæäîé ïàðàëëåëè ïðîâîäèëîñü
ñâîå ñîñòÿçàíèå ñî ñâîèìè çàäà÷àìè.
 6 êëàññå çà ðåøåíèå âñåõ çàäà÷ «ãðàí-ïðè» ïîëó÷èë Àíäðåé Âîëãèí (êîìàíäà ÌÖÍÌÎ), à äèïëîì I ñòåïåíè âûèãðàë
êîñòðîìè÷ Èâàí Ïåòðåíêî. Ëó÷øèì ñåìèêëàññíèêîì ñòàë Íèêèòà Ñîïåíêî (êîìàíäà Òàìáîâà), ëó÷øèì âîñüìèêëàññíèêîì –
Ìèõàèë Àðòåìüåâ (ãèìíàçèÿ 1543, Ìîñêâà).
Îáëàäàòåëÿìè äèïëîìîâ II ñòåïåíè ñòàëè: Ñåìåí Âåð÷åíêî
(8 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1543), Ìàðèÿ Ñàíäðèêîâà (8 êëàññ, ÖÎ 218),
30.09.09, 16:34
!
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Ëèãà
Äèïëîì
Êîìàíäà
Êàïèòàí
Ðóêîâîäèòåëü
Âûñøàÿ 8
Âûñøàÿ 8
Âûñøàÿ 8
Âûñøàÿ 8
Âûñøàÿ 8
Âûñøàÿ 7
Âûñøàÿ 7
Âûñøàÿ 7
Âûñøàÿ 7
Âûñøàÿ 7
Âûñøàÿ 6
Âûñøàÿ 6
Âûñøàÿ 6
Âûñøàÿ 6
Âûñøàÿ 6
Ïåðâàÿ 7
Ïåðâàÿ 7
I ñòåïåíè
II ñòåïåíè
II ñòåïåíè
III ñòåïåíè
III ñòåïåíè
I ñòåïåíè
II ñòåïåíè
II ñòåïåíè
III ñòåïåíè
III ñòåïåíè
I ñòåïåíè
II ñòåïåíè
II ñòåïåíè
III ñòåïåíè
III ñòåïåíè
I ñòåïåíè
II ñòåïåíè
Ìîñêâà-Þã
Ãèìíàçèÿ 1514, Ìîñêâà
Ëèöåé 14, Òàìáîâ
ÖÎ 218, Ìîñêâà
Ãèìíàçèÿ 1543, Ìîñêâà
ÌÖÍÌÎ, Ìîñêâà
Ñáîðíàÿ Êîñòðîìû
Èíòåëëåêòóàë, Ìîñêâà
Ãèìíàçèÿ 1543, Ìîñêâà
Ãèìíàçèÿ 1514, Ìîñêâà
Ôðàêòàë, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Âîðîáüåâû Ãîðû, Ìîñêâà
ÖÎ 218, Ìîñêâà
Êâàíòèê, Ìîñêâà
Ãîðíûå Âîðîáüè, Ìîñêâà
Øêîëà 82, ×åðíîãîëîâêà
Øêîëà 179, Ìîñêâà
Ô.Ëÿùåíêî
À.Ïîíôèëåíêî
Í.Ñîïåíêî
Ì.Ñàíäðèêîâà
Ì.Àðòåìüåâ
Ò.Ëåâèíñîí
Ð.Öâåòíèêîâ
Þ.Ãðåáåííèêîâà
Þ.Êîòåëüíèêîâà
Ò.Ñòåïàíîâ
Å.Öåéòèíà
È.Ãóùåíêî-×åâåðäà
À.Çåðöàëîâ
Â.Âîëêîâ
À.Ìåëüíèê
À.Ïîòàïîâ
È.Ïàíòåëååâà
Ò.Ï.Çîðèíà
Î.Ð.Ãîðñêàÿ
À.Â.Áóðìèñòðîâà
À.Ä.Áëèíêîâ
À.Â.Õà÷àòóðÿí
À.Â.Ñïèâàê
Ä.À.Êàëèíèí
Í.Ì.Íåòðóñîâà
È.Â.Ðàñêèíà
Ò.Â.Æèòíèêîâà
À.Ï.Ïîãîäà
Ò.Ï.Çîðèíà
Þ.À.Áëèíêîâ
È.À.Íèêîëàåâà
Ò.Ï.Çîðèíà
Ë.Í.Ãîëîâêî
À.Þ.Þðêîâ
Þëèÿ Ãðåáåííèêîâà (7 êëàññ, «Èíòåëëåêòóàë»), Ìàêñèì Õàáàðîâ (7 êëàññ, øêîëà 30, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã), Àëåêñåé Áûñòðîâ (6
êëàññ, Êîñòðîìà), Ñòåïàí Êàðãàëüöåâ (6 êëàññ, ÖÎ 218), Íèêèòà
Óâàðîâ (6 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1543) è Ìèõàèë ßãóäèí (6 êëàññ,
êîìàíäà ÌÌÌÔ).
Äèïëîìàìè III ñòåïåíè íàãðàæäåíû Àëåêñåé Âèíîãðàäîâ (8
êëàññ, ãèìíàçèÿ 1514), Àííà Äîáðîâîëüñêàÿ (8 êëàññ, ãèìíàçèÿ
1514), Ëåâ Ñèíÿêîâ (8 êëàññ, «Ìîñêâà-Þã»), Ïåòð Ìåëüíè÷åíêî
(7 êëàññ, ÖÎ 218), Áîãäàí Ñëàâîâ (7 êëàññ, øêîëà 179), Ìàðèíà
Õà÷àòóðÿí (7 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1543), Èâàí Áóðåíåâ (6 êëàññ,
«Ôðàêòàë»), Àíäðåé Çåðöàëîâ (6 êëàññ, ÖÎ 218), Äàðüÿ Ëåáåäåâà (6 êëàññ, «Ôðàêòàë»), Ñåðãåé Ïîëåâîé (6 êëàññ, «Ìîñêâà-Þã»)
è Ïàâåë Øåâ÷óê (6 êëàññ, «Ãîðíûå Âîðîáüè»).
Ïîìèìî ýòîãî, ìíîãèå ðåáÿòà áûëè ïîîùðåíû äèïëîìàìè çà
óñïåøíîå ó÷àñòèå è ïîõâàëüíûìè ãðàìîòàìè.
 ÷àñû, ñâîáîäíûå îò îñíîâíûõ ñîðåâíîâàíèé, ó÷àñòíèêè
îëèìïèàäû ñëóøàëè ëåêöèè ïî ìàòåìàòèêå, êîòîðûå ÷èòàëè
À.Â.Ñïèâàê, Ñ.È.Òîêàðåâ, À.Á.Ñêîïåíêîâ, À.Â.Øàïîâàëîâ, À.À.Çàñëàâñêèé, Ñ.Ã.Âîë÷åíêîâ. Íî ðàçâëå÷åíèÿ áûëè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèå. Íèêîãäà íå ïóñòîâàëè ôóòáîëüíîå ïîëå è âîëåéáîëüíàÿ ïëîùàäêà. Ïî âå÷åðàì ïðîõîäèëè èíòåëëåêòóàëüíûå èãðû,
êîòîðûå ïðîâîäèëè Í.Ì.Íåòðóñîâà è À.Â.Õà÷àòóðÿí. Î÷åíü èíòåðåñíûå ïóòåøåñòâèÿ-ýêñêóðñèè îðãàíèçîâûâàëà Ò.Ï.Çîðèíà, êîòîðàÿ äàâíî óâëåêàåòñÿ èñòîðèåé Ñóäèñëàâëÿ è îêðåñòíûõ çåìåëü è òåïåðü ñòàëà, íàâåðíîå, ñàìûì ëó÷øèì ýêñêóðñîâîäîì
ïî ýòîìó äðåâíåìó ãîðîäó.
Áîëåå ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ î ðåçóëüòàòàõ òóðíèðà è ôîòîãðàôèè ìîæíî ïîñìîòðåòü íà ñàéòå
http://kostroma-open.info/20090626.html
Îòáîðîì çàäà÷ è ñîñòàâëåíèåì âàðèàíòîâ çàíèìàëàñü ìåòîäè÷åñêàÿ êîìèññèÿ ïîä ðóêîâîäñòâîì Àëåêñàíäðà Âàñèëüåâè÷à
Øàïîâàëîâà.  íåå âîøëè À.Ä.Áëèíêîâ, Þ.À.Áëèíêîâ, Í.Ò.Ãðåáåíèê, Å.Ñ.Ãîðñêàÿ, Ñ.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Çàñëàâñêèé, Ä.À.Êàëèíèí,
Ò.Â.Êàðàâàåâà, Ï.Â.Ìàðòûíîâ, Ê.À.Ìàòâååâ, Ä.Â.Ïðîêîïåíêî,
È.Â.Ðàñêèíà, À.Á.Ñêîïåíêîâ, Ê.À.Ñêîïöîâ, Ñ.È.Òîêàðåâ, À.Â.Øàïîâàëîâ. Ñóùåñòâåííûé âêëàä â ðàáîòó êîìèññèè âíåñëè ðóêîâîäèòåëè êîìàíä. Êíèãè è äðóãèå ïðèçû äëÿ ïîáåäèòåëåé ïðåäîñòàâèëè æóðíàë «Êâàíò», êîìïàíèÿ «ßíäåêñ» è Ôîíä ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ è ïðîñâåùåíèÿ (äèðåêòîð Ñ.È.Êîìàðîâ).
Ïî òðàäèöèè, èäóùåé åùå îò ïåðâûõ òóðíèðîâ, â òóðíèðå áûëî
çàÿâëåíî ìíîãî íîâûõ àâòîðñêèõ çàäà÷. Èç íèõ ìû ïîñòàðàëèñü
âûáðàòü òàêèå, ãäå èç óñëîâèé ñëåäóåò ÷óòü-÷óòü áîëüøå, ÷åì
ìîæíî îæèäàòü, èëè â ðåøåíèè åñòü íåîæèäàííûé ïîâîðîò è
êðàòêîñòü. Ïîñëå íîìåðà êàæäîé çàäà÷è óêàçàíî, äëÿ êàêèõ
êëàññîâ îíà íàèáîëåå ïîäõîäèò.
19-31.p65
30
Èçáðàííûå çàäà÷è òóðíèðà
1 (7–8). Ó òðåõ áðàòüåâ Àíòîíà, Áîðè è Âàñè äíè
ðîæäåíèÿ ñîâïàäàþò. Îêàçàëîñü, ÷òî êîãäà Aíòîíó
èñïîëíèòñÿ 12 ëåò, ñóììà âîçðàñòîâ äâóõ äðóãèõ áðàòüåâ ðàçäåëèòñÿ íà 12 áåç îñòàòêà. Òî æå ñàìîå ñëó÷èòñÿ, êîãäà 12 ëåò èñïîëíèòñÿ Áîðå. Äîêàæèòå, ÷òî òàê æå
áóäåò, êîãäà 12 ëåò èñïîëíèòñÿ Âàñå.
À.Øàïîâàëîâ
2 (7). Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC (AB =
= AC) ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BD. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó D ïåðïåíäèêóëÿðíî BD, ïåðåñåêàåò
ñòîðîíó BC â òî÷êå K. Äîêàæèòå, ÷òî BK = 2CD.
Ôîëüêëîð
3 (7–8). Òðè ñòàëêåðà äîøëè äî Êàìåííîé Àíîìàëèè.
Îòòóäà ê êëàäó âåäåò òðîïà äëèíîé 100 ì. Ñòàëêåðû
çíàþò, ÷òî ïåðâûé ïîøåäøèé ïî òðîïå îêàìåíååò â
ïðîèçâîëüíîì ìåñòå è ÷òî òàêàÿ æå ó÷àñòü æäåò è
âòîðîãî. Îáà îæèâóò â òîò ìîìåíò, êîãäà òðåòèé áóäåò
èäòè ïî òðîïå è ñóììàðíîå ðàññòîÿíèå îò íåãî äî äâóõ
îêàìåíåâøèõ ñïóòíèêîâ áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíî 100 ì.
Ìîãóò ëè ñòàëêåðû äîáðàòüñÿ äî êëàäà áåç ðèñêà
îêàìåíåòü íàâñåãäà?
À.Áëèíêîâ, È.Ðàñêèíà
4 (8). Òðè îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó Ð è
ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ À,  è Ñ. Èçâåñòíî, ÷òî
öåíòð îäíîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ïðÿìîé ÀÐ, à öåíòð
äðóãîé – íà ïðÿìîé ÂÐ. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð òðåòüåé
îêðóæíîñòè ëåæèò íà ïðÿìîé ÑÐ.
Á.Ôðåíêèí
5 (8). Ìîæíî ëè ðàçáèòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà
îò 1 äî 2009 íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â
îäíîé ãðóïïå ðàâíÿëàñü ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë â äðóãîé
ãðóïïå?
À.Øàïîâàëîâ
6 (8). Íà êëåò÷àòîé áóìàãå íàðèñîâàí 222-óãîëüíèê
ñî ñòîðîíàìè ïî ãðàíèöàì êëåòîê. Èç êàêîãî íàèìåíüøåãî ÷èñëà êëåòîê ìîæåò ñîñòîÿòü ýòîò ìíîãîóãîëüíèê?
À.Øàïîâàëîâ
30.09.09, 16:34
Ê
7 (6–8). Ïî êðóãó ñòîÿò ëæåöû è ðûöàðè, âñåãî 100
÷åëîâåê.  ïåðâûé ðàç êàæäîãî ñïðîñèëè «Âåðíî ëè,
÷òî òâîé ñîñåä ñïðàâà – ëæåö?» Äâîå îòâåòèëè «äà»,
îñòàëüíûå – «íåò». Âî âòîðîé ðàç êàæäîãî ñïðîñèëè:
«Âåðíî ëè, ÷òî òâîé ñîñåä ñëåâà ÷åðåç îäíîãî – ëæåö?»
È ñíîâà äâîå îòâåòèëè «äà», îñòàëüíûå – «íåò». Â
òðåòèé ðàç ñïðîñèëè: «Âåðíî ëè, ÷òî ñòîÿùèé íàïðîòèâ òåáÿ – ëæåö?» Ñêîëüêî ÷åëîâåê íà ýòîò ðàç îòâåòÿò
«äà»?
À.Øàïîâàëîâ
8 (7–8). Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
çàïèñûâàåìîå îäèíàêîâûìè öèôðàìè è äåëÿùååñÿ íà
2009.
Ñ.Òîêàðåâ
9 (8). Äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéäèòå åãî óãëû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî òðè èç íèõ
ðàâíû, à âñå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàçëè÷íû.
À.Çàñëàâñêèé
10 (7–8). Ìîæíî ëè ðàçáèòü êâàäðàò 20 × 20 íà
äîìèíîøêè 1 × 2 òàê, ÷òîáû êàæäàÿ ãðàíè÷èëà ïî
îòðåçêó ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì äðóãèõ äîìèíîøåê?
À.Øàïîâàëîâ
11 (7–8). Íà äîñêó âûïèñàíû ÷åðåç çàïÿòóþ ÷èñëà 1,
2, 3, …, 2009. Äâîå èãðàþùèõ ïî î÷åðåäè çàìåíÿþò
êàêóþ-íèáóäü çàïÿòóþ íà + èëè × (óìíîæèòü). Åñëè
ïîñëå çàìåíû âñåõ çàïÿòûõ ðåçóëüòàò áóäåò ÷åòíûì,
âûèãðûâàåò ïåðâûé, åñëè íå÷åòíûì – âòîðîé. Êòî èç
èãðîêîâ ìîæåò âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë ñîïåðíèê?
À.Øàïîâàëîâ
12 (7–8). Äåñÿòü ðåáÿò íà ëóæàéêå èãðàþò â ïåéíòáîë. Ñíà÷àëà êàæäûé âûñòðåëèë êðàñêîé â áëèæàéøåãî ê ñåáå. (Åñëè èãðîêîâ, ðàñïîëîæåííûõ áëèæå âñåãî
ê ñòðåëÿþùåìó, íåñêîëüêî, òî îí ñòðåëÿåò â ëþáîãî èç
íèõ.) Çàòåì êàæäûé âûñòðåëèë â íàèáîëåå óäàëåííîãî
îò ñåáÿ (åñëè òàêîâûõ íåñêîëüêî – òî â ëþáîãî èç íèõ).
Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ïîðöèé êðàñêè ìîãëî â èòîãå
ïîïàñòü â îäíîãî èãðîêà?
Ñ.Òîêàðåâ
13 (7–8).  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà ìåäèàíà
BM. Íàéäèòå ∠ABC, åñëè ∠BAC = 30° , à ∠BMC =
= 45° .
Ñ.Òîêàðåâ
14 (7–8). Ìîæíî ëè âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî
200 âûïèñàòü ïî êðóãó òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ äâóõ
ñîñåäíèõ ÷èñåë õîòÿ áû îäíî îòëè÷àëîñü îò äðóãîãî íà
öåëîå ÷èñëî ïðîöåíòîâ?
È.Àêóëè÷
15 (7–8). Íàçîâåì ðàçíîñòîðîííîñòüþ òðåóãîëüíèêà îòíîøåíèå åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíû ê íàèìåíüøåé,
à ðàçíîóãîëüíîñòüþ – îòíîøåíèå åãî íàèáîëüøåãî óãëà
ê íàèìåíüøåìó. Ïåòÿ óâåðåí, ÷òî ÷åì áîëüøå ðàçíîñòîðîííîñòü òðåóãîëüíèêà, òåì áîëüøå åãî ðàçíîóãîëüíîñòü. Ïðàâ ëè îí?
È.Àêóëè÷
Ì
!
Ø
ëåííûé èç ôàíåðû. Óãîëüíèê ìîæíî ïðèêëàäûâàòü ê
äîñêå (â òîì ÷èñëå ê óæå íà÷åð÷åííûì ïðÿìûì è
òî÷êàì) è ÷åðòèòü ëèíèè ïî åãî êðàþ. Âñåãäà ëè ìîæíî
ïîñòðîèòü êàêóþ-íèáóäü èç âûñîò íàðèñîâàííîãî òðåóãîëüíèêà?
À.Áëèíêîâ, Þ.Áëèíêîâ
17 (8). Íà ñòîëå ëåæàò 10 êóñêîâ ñûðà. Ïåòÿ ñúåäàåò
ñàìûé ìàëåíüêèé (ïî âåñó) êóñîê. Çàòåì îí ðåæåò îäèí
èç îñòàâøèõñÿ íà ñòîëå êóñêîâ íà äâå ÷àñòè, è ñíîâà
áåðåò ñåáå ñàìûé ìàëåíüêèé èç ïîëó÷èâøèõñÿ 10
êóñêîâ. Ýòè äåéñòâèÿ – ðàçðåçàíèå è âçÿòèå êóñêà –
Ïåòÿ ïîâòîðÿåò, ïîêà íå ñúåñò 9 êóñêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî
Ïåòÿ ñúåñò íå áîëåå ïîëîâèíû ñûðà (ïî âåñó).
À.Øàïîâàëîâ
18 (8). Èçìåðèâ äëèíû ñòîðîí è âûñîò íåêîòîðîãî
òðåóãîëüíèêà, Òàíÿ ïîëó÷èëà 6 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë è
çàïèñàëà èõ íà 6 êàðòî÷êàõ. Ïåðåòàñîâàâ êàðòî÷êè, îíà
âûñëàëà èõ Áîðå. Âñåãäà ëè ñìîæåò Áîðÿ âûáðàòü èç
íèõ òðè êàðòî÷êè, íà êîòîðûõ âûïèñàíû äëèíû ñòîðîí?
Á.Ôðåíêèí
19 (6–8). Åñòü 63 îäèíàêîâûå ñ âèäó ìîíåòû, îäíà èç
íèõ – ôàëüøèâàÿ, îíà ëåã÷å íàñòîÿùåé. Åñòü ÷àøå÷íûå
âåñû áåç ãèðü, ó êîòîðûõ ïðàâàÿ ÷àøà âûìàçàíà
êðàñêîé. Êàê çà 5 âçâåøèâàíèé âûÿâèòü ôàëüøèâóþ
ìîíåòó, åñëè ìîíåòû, ïîáûâàâøèå íà ïðàâîé ÷àøå,
íåëüçÿ ïîñëå ýòîãî êëàñòü íà ëåâóþ?
À.Øàïîâàëîâ
20 (8).  êëàññå 32 ÷åëîâåêà. Êàæäûé èç íèõ íàçâàë
äâà ÷èñëà: êîëè÷åñòâî åãî îäíîêëàññíèêîâ ñ òàêèì æå
ðîñòîì, íî äðóãèì âåñîì, è êîëè÷åñòâî åãî îäíîêëàññíèêîâ ñ òàêèì æå âåñîì, íî äðóãèì ðîñòîì. Ñðåäè
íàçâàííûõ ÷èñåë âñòðåòèëèñü âñå ÷èñëà îò 0 äî 10.
Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîì êëàññå ìîæíî âûáðàòü äâóõ
÷åëîâåê ñ îäèíàêîâûì ðîñòîì è îäèíàêîâûì âåñîì.
Ê.Ìàòâååâ, À.Øàïîâàëîâ
21 (8). Ðåøèòå ñèñòåìó
 x 5 + y 3 = 2z,
 5
3
 y + z = 2x,
 5
3
 z + x = 2y.
22 (8). Íà äîñêå íàïèñàíû äâà âûðàæåíèÿ: x + y + z
è x2 + y2 + z2 . Èãðàþò äâîå, îíè ïî î÷åðåäè çàìåíÿþò
x, y è z â âûðàæåíèÿõ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè (âíà÷àëå
ïåðâûé èãðîê çàìåíÿåò x, çàòåì âòîðîé – y, è íàêîíåö
ïåðâûé – z). Ïåðâûé èãðîê õî÷åò, ÷òîáû â èòîãå îáà
âûðàæåíèÿ äåëèëèñü íà 101, à âòîðîé ïûòàåòñÿ ïîìåøàòü ýòîìó. Êòî ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû
íè èãðàë åãî ïðîòèâíèê?
Â.Ñåíäåðîâ, È.Áîãäàíîâ
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Ä.Êàëèíèí, À.Øàïîâàëîâ
16 (7–8). Íà äîñêå íàðèñîâàí íåðàâíîáåäðåííûé
òðåóãîëüíèê. Èìååòñÿ óãîëüíèê òîé æå ôîðìû, âûïè-
19-31.p65
31
Â.Ñåíäåðîâ
30.09.09, 16:34
!
…åñëè ó âàñ èìååòñÿ ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü, ñîâåðøåííî
ãëàäêàÿ, êàê çåðêàëî, à èç âåùåñòâà òâåðäîãî, êàê ñòàëü, íå
ïàðàëëåëüíàÿ ãîðèçîíòó, íî íåñêîëüêî íàêëîííàÿ, è åñëè
âû ïîëîæèòå íà íåå ñîâåðøåííî êðóãëûé øàð èç âåùåñòâà
òÿæåëîãî è âåñüìà òâåðäîãî, íàïðèìåð èç áðîíçû, òî ÷òî,
äóìàåòå âû, îí ñòàíåò äåëàòü, áóäó÷è ïðåäîñòàâëåí ñàìîìó ñåáå?
…ïîâòîðÿÿ îïûòû ñîòíè ðàç, ìû ïîñòîÿííî íàõîäèëè, ÷òî
îòíîøåíèå ïðîéäåííûõ ïóòåé ðàâíî îòíîøåíèþ êâàäðàòîâ âðåìåí èõ ïðîõîæäåíèÿ ïðè âñåõ íàêëîíàõ ïëîñêîñòè…
Ñòåïåíè ñêîðîñòè, ïðèîáðåòàåìûå îäíèì è òåì æå
òåëîì ïðè äâèæåíèè ïî ðàçíûì íàêëîííûì ïëîñêîñòÿì,
ðàâíû ìåæäó ñîáîé, åñëè âûñîòû ýòèõ íàêëîííûõ ïëîñêîñòåé îäèíàêîâû…
Òåëà, îïóñêàþùèåñÿ ïî äóãàì, ñîîòâåòñòâóþùèì õîð-
äàì, íàêëîíåííûì ê ãîðèçîíòó…, ñîâåðøàþò äâèæåíèå, êàê
ïîêàçûâàåò îïûò, òàêæå â ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè è
ïðèòîì ìåíüøèå, íåæåëè äâèæåíèå ïî õîðäàì.
Ãàëèëåî Ãàëèëåé
…òåëî, ïàäàþùåå ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, … äâèæåòñÿ
íåñâîáîäíî, òàê êàê íàõîäÿùàÿñÿ âíèçó ïëîñêîñòü… ïðåïÿòñòâóåò òåëó ïàäàòü ïðÿìî, êàê ýòîãî òðåáóåò ñèëà òÿæåñòè.
Ëåîíàðä Ýéëåð
Ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû âíèç ïî
ñêëîíó ïîä äåéñòâèåì òÿæåñòè, âåñüìà è âåñüìà çàïóòàíû…
Ðè÷àðä Ôåéíìàí
?
À òàê ëè õîðîøî çíàêîìà âàì
íàêëîíàÿ ïëîñêîñòü
×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü – îáúåêò
íàáëþäåíèé, ïðèáîð äëÿ ïðîâåäåíèÿ îïûòîâ, ïðîñòîé
ìåõàíèçì? È òî, è äðóãîå, è òðåòüå – ïîòîìó è ñòàëà
ïåðñîíàæåì «Êàëåéäîñêîïà», òåì áîëåå ÷òî îòêðûòèå
îñíîâîïîëàãàþùèõ çàêîíîâ ìåõàíèêè òðóäíî ïðåäñòàâèòü áåç åå ó÷àñòèÿ. Âåëèêèé Ãàëèëåé, ñ êîòîðîãî è
íà÷àëîñü ñîâðåìåííîå åñòåñòâîçíàíèå, ñóìåë ñäåëàòü
åå íàäåæíûì ïîìîùíèêîì â ñâîèõ ýêñïåðèìåíòàõ è
âûâîäàõ, î ÷åì ìîæíî ñóäèòü ïî ÷èñëó óïîìèíàíèé î
íåé â åãî òðóäàõ, ÷òî ëèøü ìàëîé ÷àñòüþ îòðàæåíî â
ýïèãðàôå.
Êîíå÷íî, íàêëîííûå ïëîñêîñòè ïðèìåíÿëè åùå ñòðîèòåëè åãèïåòñêèõ ïèðàìèä, ïîäíèìàÿ ñ èõ ïîìîùüþ
êàìåííûå áëîêè ìàññîé â äâå ñ ïîëîâèíîé òîííû íà
âûñîòó â ïîëòîðàñòà ìåòðîâ. Íî ýòè ïëîñêîñòè – íåîòúåìëåìàÿ ÷àñòü è ñåãîäíÿøíåé íàøåé æèçíè. Ïðèíöèï èõ
äåéñòâèÿ èñïîëüçóåòñÿ â ëþáîì âèíòîâîì óñòðîéñòâå,
íà÷èíàÿ îò øóðóïîâ è êîí÷àÿ íàâèí÷èâàåìûìè êðûøêàìè áàíîê è áóòûëîê. À êàê îáîéòèñü áåç çíàíèé î
íàêëîííûõ ïëîñêîñòÿõ ïðè ñòðîèòåëüñòâå àâòîìîáèëüíûõ è æåëåçíûõ äîðîã, â îñîáåííîñòè íà ïåðåñå÷åííîé
èëè ãîðíîé ìåñòíîñòè, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ôóíèêóëåðîâ è ýñêàëàòîðîâ, ïðè ïðîêëàäêå ãîðíîëûæíûõ ñïóñêîâ
è âîçâåäåíèè òðàìïëèíîâ, ïðè îðãàíèçàöèè àòòðàêöèîíîâ èëè îáîðóäîâàíèè ïàíäóñîâ äëÿ èíâàëèäîâ, ïðè
èññëåäîâàíèè ñïîëçàíèÿ ëåäíèêîâ è ñõîäà ëàâèí?..
Ìíîæåñòâî ïðèìåðîâ ëèøü ïîäòâåðæäàþò âàæíîñòü
îáðàùåíèÿ ê ýòîìó ïðîñòîìó ìåõàíèçìó, «ïðîñòîòà»
êîòîðîãî, ïî ìíåíèþ Ôåéíìàíà, íå òàê î÷åâèäíà, êàê
êàæåòñÿ, â ÷åì ìû ïðèçûâàåì óáåäèòüñÿ è âàñ.
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ñêîðîñòü ìîíåòû, ñîñêàëüçûâàþùåé ñ êëèíà, èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå. Ãðàôè÷åñêèì ïîñòðîåíèåì íàéäèòå
ñêîðîñòü êëèíà.
2. Èç âåðõíåé òî÷êè âåðòèêàëüíîãî äèñêà ïðîðåçàí
æåëîá, ñîñòàâëÿþùèé óãîë
α ñ âåðòèêàëüíûì äèàìåòðîì äèñêà. Êàê çàâèñèò âðå-
32-47.p65
32
ìÿ ñêîëüæåíèÿ ãðóçèêà ïî æåëîáó îò óãëà α , åñëè
òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü?
3. Ïîä êàêèì óãëîì ê âåðòèêàëè äîëæåí áûòü íàïðàâëåí èç òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íàä íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ,
ãëàäêèé æåëîá, ÷òîáû øàðèê ñîñêîëüçíóë ïî íåìó íà
ïëîñêîñòü çà íàèìåíüøåå âðåìÿ?
4. Â ïðÿìîóãîëüíîé òðóáêå
íàõîäèòñÿ ïîðøåíü, ôîðìà
êîòîðîãî â ñå÷åíèè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå. Äàâëåíèå
æèäêîñòè ïî îáå ñòîðîíû
ïîðøíÿ â ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé òðóáêå îäèíàêîâî. Áóäåò ëè ïîðøåíü íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè?
5. Äâå ìåíçóðêè îäèíàêîâîé äëèíû çàïîëíåíû âîäîé, îäíà ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî, äðóãàÿ – ïîä
óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó. Êàê áóäóò ðàçëè÷àòüñÿ äàâëåíèÿ
âîäû íà äíî ìåíçóðîê?
6. Íà äîñêó ïîëîæèëè äâà îäèíàêîâûõ êèðïè÷à –
îäèí ïëàøìÿ, à âòîðîé íà ðåáðî. Êàêîé êèðïè÷ ñîñêîëüçíåò ñ äîñêè ïåðâûì (åñëè ïðè ýòîì îí íå
îïðîêèäûâàåòñÿ), êîãäà äîñêó ñòàíóò íàêëîíÿòü?
7. Áðóñîê íàõîäèòñÿ íà øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè, óãîë
íàêëîíà êîòîðîé ìîæíî èçìåíÿòü îò 0 äî 90°. ×òî ïðè
ýòîì áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ ñèëîé òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé
íà áðóñîê, åñëè ïðåíåáðå÷ü ÿâëåíèåì çàñòîÿ?
8. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì íàêëîíà α
ïîêîèòñÿ ìîíåòà ìàññîé m. Ñ êàêîé ñèëîé ðåàêöèè
íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü äåéñòâóåò íà ìîíåòó? ×åìó ðàâíà
ïðè ýòîì ñèëà òðåíèÿ?
9. Íà êëèí, ïëîñêîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë α ñ
ãîðèçîíòîì, ïîëîæèëè íåáîëüøîå òåëî. Êàêîå óñêîðåíèå íàäî ñîîáùèòü êëèíó â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, ÷òîáû òåëî ñâîáîäíî ïàäàëî?
10. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ëåæèò ìîíåòà, óäåðæèâàåìàÿ ñèëîé òðåíèÿ. Êàê îíà áóäåò äâèãàòüñÿ, åñëè åé
ñîîáùèòü ãîðèçîíòàëüíóþ
ñêîðîñòü âäîëü ïëîñêîñòè?
11. Êàêîé ñèëîé . ìîæíî óäåðæàòü íà ìåñòå áðóñîê
ìàññîé m, ëåæàùèé íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ
óãëîì ïðè îñíîâàíèè α ?
30.09.09, 12:33
12. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê óêðåïëåí íà òåëåæêå,
ñêàòûâàþùåéñÿ áåç òðåíèÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè.
Íàéäèòå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêà.
13. Ëåâûé êëèí ìåäëåííî âäâèãàþò ïîä ïðàâûé,
îòíîøåíèå êàòåòîâ â êîòîðîì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå.
Êàêèì äîëæåí áûòü óãîë α ,
÷òîáû ïðàâûé êëèí ïåðåâåðíóëñÿ?
14. Ïðè êàêîì óñëîâèè
âèíò ìîæåò ñëóæèòü äëÿ
êðåïëåíèÿ äåòàëåé?
15. Ñ âåðøèíû ñîðòèðîâî÷íîé ãîðêè ïîî÷åðåäíî ñêàòûâàþò äâà âàãîíà: îäèí
ïóñòîé, äðóãîé ãðóæåíûé. Êàêîé âàãîí ïðîåäåò äàëüøå ïî ïðÿìîëèíåéíîìó ó÷àñòêó ïîñëå ñêàòûâàíèÿ ñ
ãîðêè?
16. Åñëè àâòîìîáèëü âúåçæàåò íà ãîðó ïðè íåèçìåííîé ìîùíîñòè äâèãàòåëÿ, òî åãî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ
óìåíüøàåòñÿ. Ïî÷åìó?
17. Öèëèíäð, äèàìåòð êîòîðîãî ðàâåí åãî âûñîòå,
îäèí ðàç ñîñêàëüçûâàåò ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè âäîëü
ñâîåé îáðàçóþùåé, à äðóãîé ðàç ñêàòûâàåòñÿ ñ òîé æå
òî÷êè ïëîñêîñòè. Ñðàâíèòå ïîñòóïàòåëüíûå ñêîðîñòè
öèëèíäðà ó îñíîâàíèÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñ÷èòàÿ
êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó öèëèíäðîì è
ïëîñêîñòüþ î÷åíü ìàëûì.
18. Â êóçîâå ãðóçîâèêà íàõîäÿòñÿ òðè îäèíàêîâûõ
ãëàäêèõ áðåâíà, ðàñïîëîæåííûõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà êàêîé óãîë α
ìîæåò íàêðåíèòüñÿ êóçîâ, ÷òîáû âåðõíåå áðåâíî íå
ñêàòèëîñü íà áîðò?
Ìèêðîîïûò
Ñêëåéòå öèëèíäð èç ïëîòíîé áóìàãè (ìîæíî âçÿòü
êàðòîííóþ âòóëêó îò ðóëîíà òóàëåòíîé áóìàãè) è çàêðåïèòå íà åãî âíóòðåííåé ñòîðîíå êóñîê ïëàñòèëèíà.
Òàêîé öèëèíäð ìîæåò êàòèòüñÿ ââåðõ ïî íàêëîííîé
ïëîñêîñòè. Êàê ýòîãî äîáèòüñÿ?
Ëþáîïûòíî, ÷òî…
…íàèáîëåå ãåíèàëüíûì èçîáðåòåíèåì Àðõèìåäà áûë
âîäîïîäúåìíûé âèíò. Ïî îöåíêå Ãàëèëåÿ, ýòî óñòðîéñòâî «íå òîëüêî âåëèêîëåïíî, íî ïðîñòî ÷óäåñíî, ïîñêîëüêó ìû âèäèì, ÷òî âîäà ïîäíèìàåòñÿ â âèíòå,
áåñïðåðûâíî îïóñêàÿñü». Àðõèìåäîâ âèíò èñïîëüçîâàëñÿ, íàïðèìåð, â Åãèïòå êàê äëÿ ïîäúåìà âîäû íà
âîçâûøåííîñòè (íà âûñîòó äî 4 ìåòðîâ), êîòîðûõ
îáû÷íî ðàçëèâ Íèëà íå äîñòèãàë, òàê è äëÿ îñóøåíèÿ
íèçìåííûõ ìåñòíîñòåé.
…ñî âðåìåí ïîñëåäîâàòåëåé Àðõèìåäà – Ãåðîíà è
Ïàïïà – ìåõàíèêó ñòàëè ñ÷èòàòü íàóêîé î ïðîñòûõ
ìàøèíàõ: âîðîòå, ðû÷àãå, áëîêå, êëèíå è âèíòå. Äâà
ïîñëåäíèõ îñíîâàíû íà ñâîéñòâàõ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, çàêîí äåéñòâèÿ êîòîðîé, ïðàâäà, ñàìîìó Àðõèìåäó
èçâåñòåí íå áûë.
…èçó÷àÿ ðàâíîâåñèå çàìêíóòîé öåïî÷êè, íàáðîøåííîé íà äâå íàêëîííûå ïëîñêîñòè, ãîëëàíäñêèé ó÷åíûé
Ñèìîí Ñòåâèí â ñâîåé ðàáîòå «Íà÷àëà ñòàòèêè» äîêàçàë, ÷òî ñèëà, ñêàòûâàþùàÿ ãðóç, âî ñòîëüêî æå ðàç
32-47.p65
33
ìåíüøå åãî âåñà, âî ñêîëüêî ðàç âûñîòà ïëîñêîñòè
ìåíüøå åå äëèíû.
…â òðàêòàòå, ñîñòàâëåííîì â ïåðèîä ÷òåíèÿ èì ïóáëè÷íûõ ëåêöèé â 1597–1598 ãîäàõ, Ãàëèëåé, íå çíàÿ åùå
çàêîíà ðàçëîæåíèÿ ñèë, ðàññìàòðèâàë ñíà÷àëà ðû÷àã,
çàòåì ñâîäèë ê ðû÷àãó êëèí, ê êëèíó – íàêëîííóþ
ïëîñêîñòü, à ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè – âèíò.
…çàêîíû ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåë Ãàëèëåé óñòàíàâëèâàë ñ ïîìîùüþ íàêëîííîé ïëîñêîñòè – æåëîáà, îêëååííîãî èçíóòðè ïîëèðîâàííûì ïåðãàìåíòîì, ïðèìåíÿÿ
åå äëÿ «óìåíüøåíèÿ» óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ â
çàäàííîå ÷èñëî ðàç...
…ðàçáèðàÿ äâèæåíèå ïî ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ «íè âíèç
íå îïóñêàåòñÿ, íè ââåðõ íå ïîäíèìàåòñÿ», Ãàëèëåé
âûÿâèë ñâîéñòâî òåë ñîõðàíÿòü ñâîþ ñêîðîñòü, õîòÿ åùå
íå íàøåë ïîëíîé è òî÷íîé ôîðìóëèðîâêè çàêîíà
èíåðöèè, ÷òî ïðåäñòîÿëî ñäåëàòü Íüþòîíó.
…èññëåäóÿ ïåðåêàòûâàíèå øàðà «ñ ãîðêè íà ãîðêó»,
Ãàëèëåé ïðåäïîëîæèë, ÷òî, ãîâîðÿ ñîâðåìåííûì ÿçûêîì, ïðèîáðåòàåìàÿ ïðè ñïóñêå ñêîðîñòü íå çàâèñèò îò
ôîðìû ïóòè, ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ òåëî. Ãàëèëåé,
åñòåñòâåííî, íå çíàë, ÷òî òàêîå ïîëîæåíèå âûòåêàåò èç
çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, îäíàêî îí ýòîò çàêîí
ïðåä÷óâñòâîâàë è ïðèìåíÿë â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ
ïàäåíèÿ òåëà èëè äâèæåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè è
â îïûòàõ ñ ìàÿòíèêîì.
…Ãàëèëåé ãåîìåòðè÷åñêèì ìåòîäîì ïîñòðîèë òåîðèþ
äâèæåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè è äâèæåíèÿ ïî
õîðäàì êðóãà, ïîêàçàâ, ÷òî ïî äóãå êðóãà, êîòîðàÿ
ìåíüøå èëè ðàâíà ÷åòâåðòè îêðóæíîñòè, òåëî ñîñêàëüçûâàåò áûñòðåå, ÷åì ïî ñòÿãèâàþùåé õîðäå. Ýòèì îí
ïðåäâîñõèòèë ïîñòàíîâêó çàäà÷è î ïîèñêå ëèíèè áûñòðåéøåãî ñïóñêà – áðàõèñòîõðîíû, çàäà÷è, ðåøåííîé â
1697 ãîäó Èîãàííîì Áåðíóëëè. Óðàâíåíèå ýòîé êðèâîé,
îêàçàâøåéñÿ öèêëîèäîé, èñïîëüçóåòñÿ, êñòàòè, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñàííûõ òðàññ è «àìåðèêàíñêèõ» ãîðîê.
…ïðè çàâèí÷èâàíèè áîëòà ñ øàãîì ðåçüáû â 1 ìèëëèìåòð ñ ïîìîùüþ ãàå÷íîãî êëþ÷à äëèíîé 30 ñàíòèìåòðîâ ìû âûèãðûâàåì â ñèëå â äâå òûñÿ÷è ðàç, ÷òî ëèáî
ïîçâîëÿåò íàäåæíî ñêðåïëÿòü äåòàëè, ëèáî ëåãêèì
óñèëèåì ïåðåäâèãàòü áîëüøèå òÿæåñòè.
…÷òîáû àâòîìîáèëè íå âûëåòàëè íà ïîâîðîòàõ, äîðîãè â ýòèõ ìåñòàõ äåëàþò íàêëîííûìè. Ïðàâèëüíûé óãîë
íàêëîíà ñîîòâåòñòâóåò ðàäèóñó ïîâîðîòà è îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, íà êîòîðóþ íåîáõîäèìî óñòàíàâëèâàòü îãðàíè÷åíèå. À âîò âåëîñèïåäíûå òðåêè
èìåþò íà ïîâîðîòàõ ïåðåìåííûé íàêëîí – â ðàñ÷åòå íà
ðàçëè÷íûå ñêîðîñòè, äîñòèãàåìûå ñïîðòñìåíàìè.
×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î íàêëîííîé ïëîñêîñòè
(ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)
1. «Êîìáèíèðîâàííûå çàäà÷è ïî ìåõàíèêå» – 2003,
Ïðèëîæåíèå ¹6, ñ. 92;
2. «Î äèíàìèêå êðèâîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ» – 2005, ¹2,
ñ. 30;
3. «Öåíòð ìàññ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû» – 2006, ¹2, ñ. 25;
4. «Êàêàÿ ãîðêà ñàìàÿ áûñòðàÿ»?» – 2006, Ïðèëîæåíèå
¹6, ñ. 68;
5. «È òåëåæêà â ãîðó åäåò…» – 2008, ¹5, ñ. 35;
6. «Ïîäâîäíûå êàìíè» ñèëû Àðõèìåäà» – 2009, ¹2,
ñ. 46.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷
30.09.09, 12:33
!"
Ê ÂÀÀ ÍÂ
T «
2 0Ê
0 9Â
/¹
ØÊÎË
À5 Í Ò Å »
Çàãàäêè
ìàãíèòíîé
ñòðåëêè
È.ËÅÅÍÑÎÍ
Â
ÏÅÐÂÎÉ ×ÀÑÒÈ ÑÒÀÒÜÈ ÐÀÑÑÊÀÇÛÂÀËÎÑÜ Î ×ÅÒÛÐÅÕ
ïðîñòûõ çàãàäêàõ ìàãíèòíîé ñòðåëêè. À òåïåðü – áîëåå
òðóäíûå çàãàäêè.
Çàãàäêà ïÿòàÿ. Âîçüìèòå êîìïàñ, îñâîáîäèòå ñòðåëêó îò
çàæèìà (îí íóæåí äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòðåëêà ïîïóñòó íå
áîëòàëàñü è íå ñòèðàëà îñü) è ïîäíåñèòå êîìïàñ ê ìàññèâíîìó ïðåäìåòó èç ÷óãóíà, íàïðèìåð ê áàòàðåå îòîïëåíèÿ.
Âû óâèäèòå, ÷òî ê âåðõíåé ÷àñòè áàòàðåè ñòðåëêà áóäåò
îáðàùåíà ñèíèì êîíöîì, à ê íèæíåé ÷àñòè – êðàñíûì. Êàê
ýòî îáúÿñíèòü?
Ýòîò îïûò âïîëíå ìîæíî ïîêàçûâàòü êàê ôîêóñ, ïðè÷åì
âðÿä ëè êòî èç ïðèñóòñòâóþùèõ ñðàçó ñìîæåò åãî ðàçãàäàòü.
È ÷åì ñåâåðíåå âû æèâåòå, òåì áîëåå ÷åòêî áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ
ýòîò ýôôåêò.
Ìíîãî ëåò íàçàä îäíà èç ãàçåò íàïå÷àòàëà ëþáîïûòíóþ
ñòàòüþ î òîì, êàê ïðîõîäÿò âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû â
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò. Ñàìûì èíòåðåñíûì îêàçàëñÿ âîïðîñ, êîòîðûé çàäàëè íå ýêçàìåíàòîðû, à
îäíà èç ïîñòóïàþùèõ (è òàêîå ñëó÷àåòñÿ).
Çàãàäêà øåñòàÿ. Äåâóøêà ïðîäåëàëà äîìà îïûò, ðåçóëüòàò êîòîðîãî ïîêàçàëñÿ åé ñòðàííûì: áîëüøàÿ êîíñåðâíàÿ
áàíêà îòðûâàëà îò ñèëüíîãî ìàãíèòà ïðèòÿíóòóþ èì
æåëåçíóþ êíîïêó.  ÷åì òóò äåëî?
Ýòî è â ñàìîì äåëå çàãàäêà. Êîíñåðâíûå áàíêè äåëàþò èç
æåñòè, êîòîðàÿ íå íàìàãíè÷èâàåòñÿ. À åñëè îíà è «ïåðåäàåò»
äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà, ñ êîòîðûì ñîïðèêàñàåòñÿ, òî
óæ, êîíå÷íî, íå ìîæåò ñòàòü «ñèëüíåå» åãî è ïåðåòÿíóòü
êíîïêó íà ñâîþ ñòîðîíó. Íî îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîæåò!
Äàâàéòå ïðîâåðèì. Âñå, ÷òî íàì ïîòðåáóåòñÿ, ýòî äîñòàòî÷íî ñèëüíûé ïîäêîâîîáðàçíûé ìàãíèò è äâà áðóñêà èç íåìàãíèòíîãî æåëåçà (âåðíåå, èç ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè, òàê êàê
èç ÷èñòîãî æåëåçà ïî÷òè íè÷åãî íå äåëàþò). Ñ òàêèìè
áðóñêàìè óäîáíåå ñòàâèòü îïûòû, ÷åì ñ êíîïêîé è êîíñåðâíîé áàíêîé. Îäèí áðóñîê äîëæåí áûòü íåáîëüøèì – íàïðèìåð, ïîäîéäåò îáûêíîâåííûé áîëò, êîòîðûé çàìåíèò êíîïêó,
äðóãîé – ìàññèâíûì, îí çàìåíèò áàíêó.
Ñíà÷àëà óáåäèìñÿ, ÷òî íè áîëò, íè áðóñîê íå ÿâëÿþòñÿ
ìàãíèòàìè (âåðíåå, íå îáëàäàþò îñòàòî÷íûì ìàãíåòèçìîì,
ò.å. íå ìîãóò ñîõðàíÿòü íàìàãíè÷åííîñòü). Ïîäíåñåì èõ
ïîî÷åðåäíî íà íåñêîëüêî ñåêóíä ê ïîñòîÿííîìó ìàãíèòó, à
çàòåì – ê æåëåçíûì îïèëêàì (èõ ìîæíî çàìåíèòü ìåëêèìè
íåìàãíèòíûìè ãâîçäèêàìè, êàíöåëÿðñêèìè ñêðåïêàìè è ò.ï.).
Îïèëêè íå äîëæíû ïðèòÿãèâàòüñÿ íè ê áîëòó, íè ê áðóñêó.
Òåïåðü ðàñïîëîæèì íåìàãíèòíûé áðóñîê âåðòèêàëüíî,
ïîñòàâèì íà íåãî áîëò è ñâåðõó ïîäíåñåì ìàãíèò. Ïðè ýòîì
ìåæäó íèæíèì áðóñêîì è áîëòîì òîæå îáíàðóæèòñÿ ïðèòÿÍà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹3 çà ýòîò ãîä.
32-47.p65
34
æåíèå – áîëò ïåðåäàåò ìàãíèòíîå äåéñòâèå ìàãíèòà. À äàëüøå (âíèìàíèå!) íà÷èíàåòñÿ ñàìîå èíòåðåñíîå. Êàê âû äóìàåòå, ÷òî áóäåò, åñëè, ïðèäåðæèâàÿ áðóñîê íà ìåñòå, ïðèêîñíóòüñÿ ìàãíèòîì ê áîëòó, à çàòåì ïîòÿíóòü ìàãíèò ââåðõ?
Îòâåò êàê áóäòî î÷åâèäåí: ìàãíèò îòîðâåò áîëò îò áðóñêà.
Íè÷åãî ïîäîáíîãî – íå îòîðâåò, áîëò îñòàíåòñÿ íà ìåñòå.
Ñòðàííûé ðåçóëüòàò... Ìîæåò áûòü, áîëò ñëèøêîì òÿæåë?
Íî òîãäà ïî÷åìó ìàãíèò ëåãêî ïîäíèìàåò åãî, êîãäà ñíèçó íåò
áðóñêà?
Íåìíîãî èçìåíèì îïûò, äëÿ ÷åãî áóäåò óäîáíåå èñïîëüçîâàòü ìàãíèò íå â âèäå ïîäêîâû, à ïðÿìîé (ïîëîñîâîé):
ðàñïîëîæèì ìàãíèò ñíèçó, íà íåãî ïîñòàâèì áîëò, à ñâåðõó –
áðóñîê. Ïðèäåðæèâàÿ ìàãíèò, ïîòÿíåì íåìàãíèòíûé áðóñîê
ââåðõ. Íåâåðîÿòíî – áîëò îòðûâàåòñÿ îò ìàãíèòà è âèñèò íà
áðóñêå! È ÷åì ñèëüíåå ïîñòîÿííûé ìàãíèò (è ìàññèâíåå
ðàñïîëîæåííûé ñâåðõó áðóñîê), òåì âûøå ìîæíî ïîäíÿòü
áðóñîê ñ ïðèòÿíóòûì ê íåìó áîëòîì.
Àáèòóðèåíòêà áûëà ïðàâà: æåëåçî ñòàëî áîëåå ñèëüíûì
ìàãíèòîì, ÷åì ïîñòîÿííûé ìàãíèò (ñ êîòîðûì, êñòàòè, îíî
äàæå íå ñîïðèêàñàëîñü). Êàê æå òàêîå âîçìîæíî?
Íî ñåé÷àñ íàñòàëà ïîðà ðàçãàäàòü òàéíó áàòàðåè îòîïëåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî áàòàðåÿ íàìàãíè÷åíà, õîòÿ è î÷åíü ñëàáî
– íå óäåðæèò äàæå ëåãêóþ ñêðåïêó. È íàìàãíèòèòü åå ìîã
òîëüêî îäèí ìàãíèò – ýòî ñàìà Çåìëÿ. Ïî÷åìó æå þæíûé
ìàãíèòíûé ïîëþñ îêàçàëñÿ ó áàòàðåè ââåðõó, à ñåâåðíûé –
âíèçó? (À âîò â þæíîì ïîëóøàðèè, íàïðèìåð â Àâñòðàëèè,
âñå áóäåò íàîáîðîò.)
Ðàçãàäêó äàåò ïðîñòîé ýêñïåðèìåíò. Åñëè õîðîøî íàìàãíè÷åííóþ äëèííóþ ñïèöó ïîäâåñèòü òî÷íî â öåíòðå òÿæåñòè
(à ýòî íå òàê ïðîñòî, ïîýòîìó ëó÷øå ïîäâåñèòü íåíàìàãíè÷åííóþ ñïèöó, à óæå ïîòîì åå íàìàãíèòèòü), òî ìîæíî çàìåòèòü,
÷òî îäèí åå êîíåö íîðîâèò «êëþíóòü» âíèç, à äðóãîé «çàäèðàåò õâîñò». ×åì áëèæå ê ñåâåðó, òåì çàìåòíåå íàêëîí ñïèöû,
à íà ýêâàòîðå íàêëîí íå íàáëþäàåòñÿ âîâñå. Ýòî ÿâëåíèå, â
îòëè÷èå îò ìàãíèòíîãî ñêëîíåíèÿ, íàçâàëè ìàãíèòíûì íàêëîíåíèåì. Åãî ìîæíî îáíàðóæèòü è ñ ïîìîùüþ êîìïàñà, íî
íåîáû÷íîãî: ñòðåëêà êîìïàñà äîëæíà áûòü íàñàæåíà íå íà
âåðòèêàëüíóþ, à íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü (òàêîé ïðèáîð
íàçûâàåòñÿ èíêëèíàòîðîì, îò ëàòèíñêîãî inclinare – íàêëîíÿòü). Åñëè æå ñâîáîäíî ïîäâåøåííóþ ìàãíèòíóþ ñòðåëêó
äåðæàòü òî÷íî íàä ìàãíèòíûì ïîëþñîì (èëè íåïîäàëåêó îò
íåãî), òî îíà ðàñïîëîæèòñÿ âåðòèêàëüíî è áóäåò ñìîòðåòü
âíèç.
Äàííûå íà æåñòêèõ äèñêàõ êîìïüþòåðîâ çàïèñûâàþò íà òîíêèõ ìàãíèòíûõ ïîêðûòèÿõ
30.09.09, 12:34
ØÊÎËÀ
Çíàÿ î òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå íàêëîíåíèå, ëåãêî
ïîíÿòü, êàê èìåííî íàìàãíèòèëàñü áàòàðåÿ ïîä äåéñòâèåì
«êîñîãî» ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è ïî÷åìó âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ
åå ÷àñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé þæíûé è ñåâåðíûé ïîëþñû
ïîñòîÿííîãî, õîòÿ è ñëàáåíüêîãî, ìàãíèòà. (Ïîíÿòíî òàêæå,
÷òî â þæíîì ïîëóøàðèè íàìàãíè÷åííîñòü áóäåò ïðîòèâîïîëîæíîé.)
Åñëè ñ ïîìîùüþ ñèëüíîãî ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà ïåðåìàãíèòèòü ñïèöó, îíà, êîíå÷íî, ðàçâåðíåòñÿ â äðóãóþ ñòîðîíó. Ïðè
ýòîì òîò åå êîíåö, êîòîðûé áûë íàêëîíåí âíèç, áóäåò òåïåðü
ïðèïîäíÿò. Íà ñåâåðå Êàíàäû, íàïðèìåð, íàêëîí ñïèöû
áóäåò î÷åíü ñèëüíûì. À âîò ó ñòðåëêè îáû÷íîãî êîìïàñà
ìàãíèòíîå íàêëîíåíèå ïðàêòè÷åñêè íå çàìåòíî – ýòîìó
ïðåïÿòñòâóåò ñïîñîá êðåïëåíèÿ ñòðåëêè íà îñè. Êðîìå òîãî,
ýòà ñòðåëêà ñëèøêîì ìàëåíüêàÿ.
Òåïåðü ïîñòàðàåìñÿ îáúÿñíèòü «ôîêóñ» ñ áîëòîì, êîòîðûé
îòðûâàåòñÿ îò ìàãíèòà.
Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà âåùåñòâà ñâÿçàíû ñ ìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè åãî àòîìîâ. Ó íåêîòîðûõ ìåòàëëîâ (èõ íàçûâàþò
ôåððîìàãíèòíûìè, îò ëàòèíñêîãî íàçâàíèÿ æåëåçà – Ferrum)
îòäåëüíûå àòîìû-ìàãíèòèêè ñòðåìÿòñÿ îðèåíòèðîâàòüñÿ òàê,
÷òîáû èõ îäíîèìåííûå ïîëþñà áûëè íàïðàâëåíû â îäíó
ñòîðîíó. Òàêèì ñâîéñòâîì ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå îáëàäàþò ëèøü æåëåçî, êîáàëüò, íèêåëü è ðåäêèé ìåòàëë ãàäîëèíèé. Îäíàêî îäèíàêîâàÿ ìàãíèòíàÿ îðèåíòàöèÿ àòîìîâ èìååò ìåñòî òîëüêî â î÷åíü îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ ìåòàëëà,
íàçûâàåìûõ äîìåíàìè. Ðàçìåðû ýòèõ ìåëü÷àéøèõ ìàãíèòèêîâ-äîìåíîâ ñîñòàâëÿþò ïðèìåðíî 0,01–0,1 ìì. Åñëè îòøëèôîâàòü ïîâåðõíîñòü ìàãíèòà è ïîñûïàòü åå ìàãíèòíûì ïîðîøêîì, åãî ÷àñòèöû ðàñïîëîæàòñÿ â îñíîâíîì ïî ãðàíèöàì
äîìåíîâ, ÷åòêî îáîçíà÷èâ èõ êîíòóðû.
Ó êóñêà ÷èñòîãî æåëåçà â öåëîì íåò ñîáñòâåííîãî ìàãíåòèçìà, ïîòîìó ÷òî «ñòðåëêè» ðàçíûõ äîìåíîâ íàïðàâëåíû â
ðàçíûå ñòîðîíû è óíè÷òîæàþò äåéñòâèå äðóã äðóãà. Ïîäíåñåì òåïåðü ê êóñêó æåëåçà ìàãíèò. Ïîä åãî âëèÿíèåì «ñòðåëêè» âñåõ ìèêðîìàãíèòèêîâ, êàê ïî êîìàíäå, ïîâåðíóòñÿ â
îäíó ñòîðîíó. Èññëåäîâàíèÿ ïîä ìèêðîñêîïîì ïîêàçàëè, ÷òî
ïðîèñõîäèò ýòî ÿâëåíèå äîâîëüíî ëþáîïûòíûì îáðàçîì:
äîìåíû, êîòîðûå ñëó÷àéíî îêàçàëèñü «ïðàâèëüíî» îðèåíòèðîâàííûìè, óâåëè÷èâàþòñÿ â ðàçìåðàõ. Îíè ïðèñîåäèíÿþò
ê ñåáå, êàê áû «ïîåäàþò», ñîñåäíèå äîìåíû, ó êîòîðûõ
íàïðàâëåíèå ñîáñòâåííîé íàìàãíè÷åííîñòè îêàçàëîñü «íåïðàâèëüíûì» îòíîñèòåëüíî ïîäíåñåííîãî ìàãíèòà.  ðåçóëüòàòå æåëåçî íàìàãíè÷èâàåòñÿ. Ìàêñèìàëüíàÿ íàìàãíè÷åííîñòü äîñòèãàåòñÿ, êîãäà ìàãíèòíûå ìîìåíòû âñåõ äîìåíîâ
îðèåíòèðîâàíû â îäíó ñòîðîíó – äëÿ ýòîãî íóæåí î÷åíü
ñèëüíûé âíåøíèé ìàãíèò.
Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè óáðàòü ìàãíèò. Åñëè áû
âìåñòî ÷èñòîãî æåëåçà áûëà ñòàëüíàÿ èãîëêà, îíà òàê áû è
îñòàëàñü íàìàãíè÷åííîé: äîìåíàì â çàêàëåííîé ñòàëè íå
î÷åíü ïðîñòî âûñòðîèòüñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, íî òàê æå
òðóäíî è ïðèíÿòü ïðåæíþþ îðèåíòàöèþ. Èìåííî ýòî ñâîéñòâî èñïîëüçóþò äëÿ ñîçäàíèÿ ïîñòîÿííûõ ìàãíèòîâ. Â íèõ
íóæíî îðèåíòèðîâàòü êàê ìîæíî áîëüøå äîìåíîâ â îäíîì
íàïðàâëåíèè, íî òàê, ÷òîáû îíè ïîòîì ñàìè ñîáîé íå ðàçìàãíè÷èâàëèñü (ðàçìàãíè÷èâàíèå ïðîèñõîäèò ïðè ñèëüíûõ óäàðàõ è ïðè íàãðåâå äî âûñîêîé òåìïåðàòóðû).
Ïîíÿòíî, ÷òî ðàç äàæå îäèí àòîì ìàãíèòà èìååò ñåâåðíûé
è þæíûé ïîëþñà, òî íåâîçìîæíî èçãîòîâèòü ìàãíèò òîëüêî
ñ îäíèì ïîëþñîì. Òåì íå ìåíåå, ïðîäîëæàþòñÿ, õîòÿ ïîêà è
áåçóñïåøíî, ýêñïåðèìåíòàëüíûå ïîèñêè ìåëü÷àéøèõ «ìàãíèòíûõ ìîíîïîëåé», ó êîòîðûõ åñòü òîëüêî îäèí ïîëþñ (ïî
àíàëîãèè ñ òåì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ìîæíî ðàçäåëèòü
32-47.p65
35
Â
!#
«ÊÂÀÍÒÅ»
íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå).
Ïåðâûå ïîñòîÿííûå ìàãíèòû, êîòîðûå èçãîòîâëèâàëè åùå â XIX âåêå, äåëàëè èç óãëåðîäèñòîé, à çàòåì èç âîëüôðàìîâîé ñòàëè. Ìàãíèò ñ÷èòàëñÿ õîðîøèì, åñëè îí ìîã óäåðæàòü
ãðóç, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà
åãî ñîáñòâåííîé. Ñ ñåðåäèíû 30-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà íà÷àëè ïðèìåíÿòü ñïëàâû,
êîòîðûå ïî ìàãíèòíûì
ñâîéñòâàì ïðåâîñõîäèëè
ñòàëü â äåñÿòü è áîëåå ðàç.
Ýòî áûëè ñïëàâû æåëåçà ñ
íèêåëåì, àëþìèíèåì, êîáàëüòîì, ìåäüþ. Â 1952
ãîäó ïîÿâèëñÿ ñïëàâ ïëàòèíû ñ êîáàëüòîì, ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ êîòîðîãî áûëà
åùå âûøå.  1969 ãîäó íàÏðîñòåéøèé ýëåêòðîìàãíèò: íà
÷àëîñü ïðîìûøëåííîå ïðîôåððîìàãíèòíûé ñåðäå÷íèê
èçâîäñòâî ìàãíèòîâ, ñïîíàìîòàí ýëåêòðîïðîâîä â èçîñîáíûõ óäåðæèâàòü ãðóç,
ëÿöèè
ìàññà êîòîðîãî óæå â ñîòíè
ðàç ïðåâûøàëà èõ ñîáñòâåííóþ. Òàêèå ìàãíèòû áûëè ñäåëàíû èç ñïëàâîâ, ñîäåðæàùèõ
ðåäêèå ìåòàëëû – öåðèé, ïðàçåîäèì, ñàìàðèé. Ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîé ìàãíèò èç ñïëàâà ñàìàðèÿ ñ êîáàëüòîì, óìåùàþùèéñÿ íà ëàäîíè, ñïîñîáåí óäåðæàòü íåáîëüøîé àâòîìîáèëü âìåñòå ñ ïàññàæèðàìè. Ñåêðåò òàêîãî ñïëàâà â òîì, ÷òî
îí ñîñòîèò èç î÷åíü ìåëêèõ ñèëüíî íàìàãíè÷åííûõ ÷àñòèö
âûòÿíóòîé ôîðìû, êîòîðûå êàê áû âêðàïëåíû â ñëàáîìàãíèòíîå âåùåñòâî. Ïðè èçãîòîâëåíèè ìàãíèòà ýòè ÷àñòèöû
îðèåíòèðóþòñÿ â ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðåèìóùåñòâåííî
â îäíîì íàïðàâëåíèè è äàëüøå ñâîþ îðèåíòàöèþ íå òåðÿþò,
äàæå êîãäà âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå óáèðàþò.
 ÷èñòîì æåëåçå, åãî íàçûâàþò «ìÿãêèì», èëè â íèçêîóãëåðîäèñòîé ñòàëè, íàïðèìåð â îáû÷íîì ãâîçäå, ìàãíèòíûå
ñòðåëêè äîìåíîâ ïåðåîðèåíòèðóþòñÿ î÷åíü ëåãêî. Ïîýòîìó
íàìàãíè÷åííîå æåëåçî äàæå íå íàäî ñèëüíî íàãðåâàòü èëè
ïîäâåðãàòü ðåçêèì óäàðàì – îíî ðàçìàãíè÷èâàåòñÿ ñàìî ïî
ñåáå, è äîâîëüíî áûñòðî. Íî ýòî æå ñâîéñòâî äîìåíîâ
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â ñèëüíîì âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå îíè
ïî÷òè âñå ïðèíèìàþò îäíó îðèåíòàöèþ, è æåëåçî ñòàíîâèòñÿ
ñèëüíåéøèì ìàãíèòîì. Âîò ïî÷åìó â íàøåì îïûòå äîñòàòî÷íî ìàññèâíûé æåëåçíûé áðóñîê ñòàë áîëåå ñèëüíûì ìàãíèòîì, ÷åì ïîðîäèâøèé åãî ïîñòîÿííûé ìàãíèò.
Ïîäîáíûì ñâîéñòâîì ìÿãêîãî æåëåçà ïîëüçóþòñÿ ïðè
èçãîòîâëåíèè ýëåêòðîìàãíèòîâ: äîâîëüíî ñëàáîå ìàãíèòíîå
ïîëå êàòóøêè ñ òîêîì (ñîëåíîèäà) çíà÷èòåëüíî óñèëèâàåòñÿ, êîãäà âíóòðü êàòóøêè ââîäÿò ñåðäå÷íèê èç ìÿãêîãî
æåëåçà. Èç òàêîãî æå æåëåçà äåëàþòñÿ è ñåðäå÷íèêè òðàíñôîðìàòîðî⠖ âåäü îíè äîëæíû áûñòðî ïåðåìàãíè÷èâàòüñÿ, êîãäà ïî îáìîòêàì êàòóøåê òå÷åò ïåðåìåííûé òîê.
Èíòåðåñíî, ÷òî ìÿãêîå æåëåçî çà äîëè ñåêóíäû ðàçìàãíè÷èâàåòñÿ ïî÷òè ïîëíîñòüþ. Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü â íàøåì
âòîðîì îïûòå: îòâåäèòå ìàãíèò â ñòîðîíó – è áîëò ñðàçó
æå óïàäåò.
 çàêëþ÷åíèå ñòàòüè – äâå ïðîñòûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå
çàäà÷è íà ñìåêàëêó.
30.09.09, 12:34
!$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Çàäà÷à 1.  øêîëüíîì ôèçè÷åñêîì êàáèíåòå èìååòñÿ
áîëüøîé ïîëîñîâîé ìàãíèò, ïîëþñà êîòîðîãî êîãäà-òî áûëè
îêðàøåíû â ñèíèé è êðàñíûé öâåòà, è òî÷íî òàêàÿ æå ïî
ðàçìåðó íåíàìàãíè÷åííàÿ ïîëîñêà æåëåçà. Ñî âðåìåíåì âñÿ
êðàñêà ñ ìàãíèòà ñîøëà, òàê ÷òî åãî ñòàëî íåâîçìîæíî
îòëè÷èòü îò íåìàãíèòíîé ïîëîñêè. Êàê îïðåäåëèòü, êàêàÿ èç
ïîëîñîê ìàãíèòíàÿ, åñëè íåò íèêàêèõ äðóãèõ æåëåçíûõ
ïðåäìåòîâ?
Èîíîñôåðà è
øóì öóíàìè
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
«Ï
ÎÄÍßËÀÑÜ Ê ÍÅÁÓ ÂÎËÍÀ ÂÛÑÎÒÛ ÍÅÈÇÌÅÐÈÌÎÉ,
çàêðûëà ãðóäüþ ïîëîâèíó íåáà è, êà÷àÿ áåëûì õðåáòîì,
ñîãíóëàñü, ïåðåëîìèëàñü, óïàëà íà áåðåã è ñòðàøíîé òÿæåñòüþ ñâîåþ… ñìûëà âåñü áåðåã» (Ì.Ãîðüêèé). Òàêîâî õóäîæåñòâåííîå îïèñàíèå êàòàñòðîôè÷åñêèõ ÿâëåíèé, âðåìÿ îò
âðåìåíè ïðîèñõîäÿùèõ ó áåðåãîâ òåïëûõ ñòðàí è óæå óíåñøèõ æèçíè ñîòåí òûñÿ÷ ëþäåé.
Íî ïðè ÷åì òóò èîíîñôåðà, ðàñïîëîæåííàÿ íà âûñîòå
ïîðÿäêà ñîòåí êèëîìåòðîâ íàä çåìëåé è ìîðåì? À âîò
ïîñëóøàéòå.
Âñïîìíèì, êàê îáúÿñíÿþò ïîâåäåíèå âåùåñòâà, ïîïàâøåãî
âî âíåøíåå
ïîñòîÿííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñ
òüþ E0 . Ïóñòü èìååòñÿ ïëîñêèé ñëîé âåùåñòâà, ñîñòîÿùåãî
èç ÷àñòèö ñ ïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè çàðÿäàìè â
ðàâíûõ êîëè÷åñòâàõ, òàê ÷òî ýòîò ñëîé â öåëîì ýëåêòðè÷åñêè
íåéòðàëåí. È ïóñòü îí íàõîäèòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå,
ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëîñêîñòÿì ýòîãî ñëîÿ. Ïîä äåéñòâèåì
ïîëÿ ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû ñìåñòÿòñÿ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà E0 , îòðèöàòåëüíûå – â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè,
òàê ÷òî íà îáåèõ ïëîñêîñòÿõ ñëîÿ âîçíèêíóò ïîâåðõíîñòíûå
çàðÿäû, êîòîðûå ïîðî
äÿò âòîðè÷íîå ïîëå E1 ,
ïðîòèâîïîëîæíîå ïî íà
ïðàâëåíèþ ïîëþ E0
(ðèñ.1). Ýòî, òàê ñêàçàòü, íîðìàëüíîå ïîâåäåíèå âåùåñòâà, ïîëÿðèçîâàííîãî âíåøíèì
ïîëåì. Åãî ñîñòîÿíèå
ìîæíî îïèñàòü òàêèìè
Ðèñ. 1
ìàêðîñêîïè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, êàê äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ε è
êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ n. Îáå ýòè âåëè÷èíû áîëüøå
åäèíèöû.  ñëó÷àå âàêóóìà îíè ðàâíû åäèíèöå.
Òåïåðü ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, íàïðèìåð ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó
E = Em sin ωt .
(1)
Çäåñü Em – àìïëèòóäà, ω = 2π T – êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïîëÿ, Ò – ïåðèîä êîëåáàíèé. Êîíêðåòèçèðóåì âåùåñòâî
32-47.p65
36
Çàäà÷à 2. Ïîñëå òîãî êàê îïðåäåëèëè, êàêàÿ ïîëîñêà –
ìàãíèò, ïîëþñà ýòîãî ìàãíèòà çàõîòåëè çàíîâî îêðàñèòü
ñèíåé è êðàñíîé êðàñêîé. Êàê óçíàòü, êàêîé êîíåö ýòîé
ïîëîñêè íóæíî îêðàñèòü â ñèíèé öâåò, à êàêîé – â êðàñíûé?
Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ – êîãäà ó âàñ åñòü êîìïàñ è êîãäà åãî
íåò.
– ïóñòü îíî ñîñòîèò èç ýëåêòðîíîâ è ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ èîíîâ, ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëàçìó. Êàê èçâåñòíî,
ñàìûé ëåãêèé èç èîíîâ (ïðîòîí) ïî÷òè â äâå òûñÿ÷è ðàç
òÿæåëåå ýëåêòðîíà, ïîýòîìó ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
áóäåò çàìåòíî ñìåùàòü â òå÷åíèå ïåðèîäà òîëüêî ýëåêòðîíû,
è î èîíàõ ìîæíî íå äóìàòü – îíè íóæíû òîëüêî äëÿ òîãî,
÷òîáû âåùåñòâî â ñðåäíåì (â ïðîñòðàíñòâå è â òå÷åíèå
ïåðèîäà) îñòàâàëîñü ýëåêòðîíåéòðàëüíûì.
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, îïèñûâàþùèé äèíàìèêó ýëåêòðîíà â çàäàííîì ïåðåìåííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, çàïèøåì â
âèäå
eE
a = − 0 m sin ωt = ve′ = xe′′ .
(2)
me
Çäåñü à – ýòî óñêîðåíèå, me – ìàññà ýëåêòðîíà, e0 –
âåëè÷èíà åãî çàðÿäà; çíàê «ìèíóñ» ó÷èòûâàåò, ÷òî ñèëà,
äåéñòâóþùàÿ íà ýëåêòðîí, íàïðàâëåíà ïðîòèâ ïîëÿ; â êîíöå
ñòðî÷êè ôîðìóë ñäåëàíî íàïîìèíàíèå, ÷òî óñêîðåíèå åñòü
ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñêîðîñòè èëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò
ñìåùåíèÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (êîãäà xe = 0 ).
Òîò, êòî óìååò èíòåãðèðîâàòü, ñðàçó ñêàæåò, ÷òî äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñìåùåíèÿ ïî èçâåñòíîìó ãàðìîíè÷åñêè èçìåíÿþùåìóñÿ óñêîðåíèþ íóæíî ïîñëåäíåå óìíîæèòü íà
2
− 1 ω2 = − (T 2π ) .
À äëÿ òîãî, êòî íå óìååò, äîñòàòî÷íî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ àíàëîãèþ. Ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ ãðóçèêà ìàññîé m íà íèòè äëèíîé l.
Ýòèì «ãðóçèêîì» ìîæåò
âîîáðàçèòü ñåáÿ ×èòàòåëü,
à «íèòüþ» ïóñòü áóäóò
ñòðîïû êà÷åëåé. Íàðèñóåì èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè
êèíåìàòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ãðóçèêà: óñêîðåíèÿ
à, ñêîðîñòè v, ñìåùåíèÿ õ
(ðèñ.2; îñü t íàïðàâëåíà
âíèç). Ïîñêîëüêó êîëåáàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèå, ñìåùåíèå ìîæíî çàïèñàòü â
âèäå
x = xm sin ωt ,
ãäå xm – àìïëèòóäà ìàëûõ êîëåáàíèé, à èõ ÷àñòîòà, êàê èçâåñòíî, ðàâíà
ω = g l (g – êîíå÷íî, óñêîðåíèå ïîëÿ òÿãîòåíèÿ).
Ñèëà, âîçâðàùàþùàÿ ×èòàòåëÿ â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ðàâíà
F = −mg sin α ≈ −mg
x
,
l
30.09.09, 12:34
Ðèñ. 2
ØÊÎËÀ
îòêóäà óñêîðåíèå ðàâíî
F
g
a=
= − x = −ω2 x ,
m
l
è ñìåùåíèå –
a
x=− 2 ,
ω
(3)
÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Òóò ñàìîå ãëàâíîå – çíàê
«ìèíóñ», ò.å. òîò ôàêò, ÷òî ïðè êîëåáàíèÿõ óñêîðåíèå
íàïðàâëåíî ïðîòèâîïîëîæíî ñìåùåíèþ.
Ðàçóìååòñÿ, òîò æå ðåçóëüòàò äàñò è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(2).
Âåðíåìñÿ ê íàøåìó âåùåñòâó, íàõîäÿùåìóñÿ â ïåðåìåííîì
ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíà êàðòèíà
ïîëåé è çàðÿäîâ â òîò
ìîìåíò, êîãäà íàïðÿæåííîñòü âíåøíåãî
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
äîñòèãëà íàèáîëüøåãî
(àìïëèòóäíîãî) çíà÷åíèÿ Em . Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (3), â ýòîò ìîìåíò ñìåùåíèå çàðÿäîâ
ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíî
òîé êàðòèíå (ñì. ðèñ.1),
Ðèñ. 3
êîòîðàÿ áûëà ïðè ñòàöèîíàðíîì ïîëå. Â ðåçóëüòàòå òàêîãî ðàçäåëåíèÿ çàðÿäîâ
âîçíèêàåò ïîëå E1 , óñèëèâàþùåå âíåøíåå ïîëå.
Òóò íàäî îæèäàòü ÷åãî-òî íåîáû÷íîãî – è âîò îíî-òàêè
ïîÿâëÿåòñÿ. À èìåííî, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî, â îòëè÷èå îò
ýëåêòðîñòàòèêè, ãäå äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ áîëüøå åäèíèöû, òóò áóäåò âñå íàîáîðîò: ε < 1 , n < 1. Íî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ n = c0 c , äàåò çíà÷åíèå c > c0 – ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ïëàçìå áîëüøå, ÷åì â âàêóóìå! Ïîðà
êðè÷àòü «êàðàóë» è âûçûâàòü ìèëèöèþ, ïîñêîëüêó ýòî
ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíîìó ïîñòóëàòó ñîâðåìåííîé ôèçèêè. Íî
ïîäîæäåì, ÷òî áóäåò äàëüøå.
À äàëüøå âñïîìíèì, êàê ââîäèòñÿ òàêàÿ áåçðàçìåðíàÿ
ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà âåùåñòâà, êàê ε :
Pe = ε0 (ε − 1) E .
(4)
Ñìûñë Pe ïîíÿòåí õîòÿ áû èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè.
Äåéñòâèòåëüíî, [ε0 ] = Ô ì , [E ] =  ì (âñïîìíèì ïðèâû÷íûé ïëîñêèé êîíäåíñàòîð), òîãäà
[Pe ] = [ε0 E ] =
Ô Â Êë Êë ⋅ ì
⋅ =
=
.
ì ì ì2
ì3
Îòñþäà âèäíî, ÷òî Pe – ýòî îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ äèïîëåé. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî, åñëè êàæäûé ýëåêòðîí ñìåñòèëñÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà õ, âîçíèê ýëåêòðè÷åñêèé
äèïîëü ñ ìîìåíòîì
pe = −e0 x .
À åñëè ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà Ne , òî îáùèé äèïîëüíûé ìîìåíò ýòîé åäèíèöû îáúåìà áóäåò
Ne pe = − Ne e0 x = Pe .
Çàïèñàâ âûðàæåíèå (3) â âèäå
x=−
32-47.p65
( −e0 E )
a
F
=−
=−
,
2
2
ω
mω
meω2
37
Â
!%
«ÊÂÀÍÒÅ»
èç ðàâåíñòâà (4) ïîëó÷èì
N e2 E
− e 0 2 = ε0 (ε − 1) E
meω
è, ñîêðàòèâ íà Å, íàéäåì
Nee02
ε =1−
< 1.
(5)
ε0meω2
Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè Ne = 0 (íåò íè ýëåêòðîíîâ, íè èîíîâ)
èìååì ε = 1 , êàê è ïîëàãàåòñÿ äëÿ âàêóóìà. Êðîìå òîãî,
ïîñêîëüêó çàðÿä âõîäèò â êâàäðàòå, çíàê åãî íå èìååò
çíà÷åíèÿ: åñëè êàêèì-òî ÷óäîì çàêðåïèòü ýëåêòðîíû, òî
äâèæåíèå èîíîâ äàñò êà÷åñòâåííî òîò æå ðåçóëüòàò, íî
ãîðàçäî áîëåå ñëàáûé èç-çà èõ áîëüøîé ìàññû.
Íî âîò ÷òî ñàìîå ëþáîïûòíîå: ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðè êîòîðîì ïîëó÷åííàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ! Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà:
Nee02
.
(6)
ε0me
Ïðè ýòîé ÷àñòîòå ïëàçìà ñòàíîâèòñÿ ïîõîæåé íà ìåòàëë, à
îò ìåòàëëà ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îòðàæàþòñÿ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó è áûëî îáíàðóæåíî ñóùåñòâîâàíèå âûñîòíûõ èîíîñôåðíûõ ñëîåâ è âîçìîæíîñòü äàëüíåé ðàäèîñâÿçè.
Äà, à êàê æå áûòü ñ òåì, ÷òî ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû â ïëàçìå ïîëó÷èëàñü áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü ñâåòà â
âàêóóìå: c > c0 ? Íè÷åãî ñòðàøíîãî: äåëî â òîì, ÷òî ýòîò
ðåçóëüòàò ïîëó÷åí äëÿ ñëó÷àÿ èäåàëüíîé ãàðìîíè÷åñêîé
âîëíû, êîòîðàÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, ñóùåñòâîâàëà äî âîçíèêíîâåíèÿ Âñåëåííîé è áóäåò ñóùåñòâîâàòü âå÷íî. Íî òàêîé
âîëíû íå áûâàåò! Ðåàëüíî ñóùåñòâóåò âîëíîâîé ïàêåò, îãðàíè÷åííûé â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè, ñîñòîÿùèé èç íàáîðà âîëí ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè è, çíà÷èò, ñ ðàçëè÷íûìè
ñêîðîñòÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ïëàçìå. Ýòè ñîñòàâëÿþùèå
ãàðìîíèêè, îáãîíÿÿ äðóã äðóãà è îòñòàâàÿ äðóã îò äðóãà,
íåñóò ñóììàðíóþ ýíåðãèþ ñî ñêîðîñòüþ, íå ïðåâîñõîäÿùåé
c0 , – ñ òàê íàçûâàåìîé ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ.
Ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ (5) è (6) îêàçàëèñü ïîëåçíûìè ïðåæäå âñåãî äëÿ èññëåäîâàíèÿ âåðõíåé àòìîñôåðû.
Èç íèõ âèäíî, íàïðèìåð, ÷òî, èçìåíÿÿ ω , ìîæíî íàéòè
çíà÷åíèå Ne , ò.å. êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ â èîíîñôåðå.
Íî ïðè ÷åì çäåñü öóíàìè – ãèãàíòñêàÿ âîëíà, ïîðîæäàåìàÿ ïîäâîäíûì çåìëåòðÿñåíèåì? À âîò ïðè ÷åì. Äëèíà
òàêîé óåäèíåííîé âîëíû – ýòè âîëíû íàçûâàþò ñîëèòîíàìè – ïîðÿäêà äåñÿòêîâ è ñîòåí êèëîìåòðîâ (ïîýòîìó îíè è
íå î÷åíü-òî çàìåòíû â îòêðûòîì îêåàíå). Äëÿ òàêîé âîëíû
îêåàí, à òåì áîëåå ïðèáðåæíûå îòìåëè, – ìåëêèå ëóæè.
Ïîýòîìó ñêîðîñòü öóíàìè ìîæíî îöåíèòü ïî ôîðìóëå òåîω2p =
ðèè «ìåëêîé âîäû»:
v=
gh (ïðîâåðüòå ðàçìåðíîñòü).
3
Ïîëàãàÿ h ∼ 10 ì , ïîëó÷èì
v ∼ 10 ì ñ2 ⋅ 103 ì = 102 ì ñ
– íå âñÿêèé áàéêåð âûæìåò òàêóþ ñêîðîñòü! Òàê âîò,
ýòîò ñîëèòîí âîçìóùàåò àòìîñôåðó – îò íåãî èäåò ìîùíàÿ
àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà. Äîéäÿ äî èîíîñôåðû, îíà ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåò êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ Ne . À çîíäèðóÿ
âîçìóùåííóþ èîíîñôåðó ïðè ïîìîùè ýëåêòðîìàãíèòíûõ
âîëí, ìîæíî çà òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ óçíàòü î ïðèáëèæàþùåéñÿ îïàñíîñòè.
Ïîèñòèíå ÷óäåñíûì îáðàçîì çäåñü îêàçàëèñü ñâÿçàííûìè
âîëíû ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû!
30.09.09, 12:34
!&
À ÍÉ
T Ô
2 0 0À
9 /Ê
¹Ó
5 Ë Ü Ò À Ò È Â
Ô È Ç È × Å ÑÊÊÂ È
Îá îäíîé
íåòî÷íîñòè
Èñààêà
Íüþòîíà
Á.ÊÎÍÄÐÀÒÜÅÂ
Ââåäåíèå
Ëóíà – åñòåñòâåííûé ñïóòíèê Çåìëè – âåñüìà ïðèìå÷àòåëüíûé îáúåêò íà íåáå. Íåâîîðóæåííûì ãëàçîì íà íåé
âèäíû òåìíî-æåëòûå ïÿòíà, èõ íàçûâàþò «ìîðÿìè» è «ìàòåðèêàìè». Íåêîòîðûå äðåâíåãðå÷åñêèå ôèëîñîôû äàæå ïîëàãàëè, ÷òî ýòî îòðàæåíèå ëèêà Çåìëè. Íî åñëè ïðèñìîòðåòüñÿ,
ðèñóíîê ïÿòåí îñòàåòñÿ âñåãäà îäíèì è òåì æå, ÷òî äåëàåò
íåñîñòîÿòåëüíîé ýòó ýêñòðàâàãàíòíóþ ãèïîòåçó – ðèñóíîê
äîëæåí áûë áû ìåíÿòüñÿ èç-çà áûñòðîãî ñóòî÷íîãî âðàùåíèÿ
ñàìîé Çåìëè èëè, òàê êàê äðåâíèå ñ÷èòàëè Çåìëþ ïîêîÿùåéñÿ, èç-çà ñóòî÷íîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ëóíû. Åñëè
æå ïÿòíà ïðèíàäëåæàò ñàìîé Ëóíå, âûâîä áóäåò åùå áîëåå
èíòåðåñíûì: Ëóíà ñìîòðèò íà Çåìëþ âñåãäà îäíîé è òîé æå
ñâîåé ñòîðîíîé.
Âîçíèêàåò óâëåêàòåëüíàÿ íàó÷íàÿ çàäà÷à îáúÿñíåíèÿ íàáëþäàåìîãî ÿâëåíèÿ. Îäíàêî âïëîòü äî êîíöà ñåìíàäöàòîãî âåêà âñå àñòðîíîìè÷åñêèå òåîðèè ïåðâûì äåëîì áðàëèñü
çà îáúÿñíåíèå òîëüêî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ëóíû.
Ýòî è ïîíÿòíî, âåäü ñàìûìè çàìåòíûìè íà íåáå ÿâëÿþòñÿ
ôàçû Ëóíû è ñâÿçàííîå ñ íèìè åå ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå íà ôîíå çâåçä. Ïî ôàçàì Ëóíû îòñ÷èòûâàëè âðåìÿ, ïî
åå ïîëîæåíèþ ñðåäè çâåçä ìîæíî áûëî îïðåäåëÿòü äîëãîòó
êîðàáëÿ íà ìîðå. Ñîáñòâåííîå æå âðàùåíèå Ëóíû äîëãîå
âðåìÿ îñòàâàëîñü ñêðûòûì äëÿ çåìëÿí, è çàäà÷à î íåì
ìîãëà âîçíèêíóòü ëèøü ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîì óðîâíå
ðàçâèòèÿ àñòðîíîìèè. Íè â ôóíäàìåíòàëüíîì òðóäå Ïòîëåìåÿ «Àëüìàãåñò», ãäå Ëóíå ïîñâÿùåíû ÷åòâåðòàÿ è ïÿòàÿ
êíèãè, íè ó Êîïåðíèêà àâòîð ýòîé ñòàòüè íå íàøåë îáúÿñíåíèé óäèâèòåëüíîé îñîáåííîñòè âðàùàþùåéñÿ Ëóíû –
ðàâåíñòâà åå ñóòîê ëóííîìó ìåñÿöó.
íîå äâèæåíèå Ëóíû ñðàçó èñêëþ÷àåòñÿ, åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü çàäàåòñÿ ïî èçâåñòíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ëóííîãî
2π
ñèäåðè÷åñêîãî ìåñÿöà: Ω =
. Íî èíòåðåñíî, ÷òî
27,32 ñóò
Ëóíà âñåãäà áóäåò ñìîòðåòü íà öåíòð îäíîé è òîé æå ñòîðîíîé
â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îíà âðàùàåòñÿ âîêðóã ñâîåé
îñè ñ òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω .
Îáúÿñíèì, ïî÷åìó òàê ïîëó÷àåòñÿ. Ëþáàÿ òî÷êà íàøåãî äèñêà
íà ðàññòîÿíèè r îò öåíòðà èìååò ñêîðîñòü v = Ωr , è, êàê ãîâîðÿò
â ìåõàíèêå, çäåñü ñóùåñòâóåò ïîëå ñêîðîñòåé. Âàæíîé æå
õàðàêòåðèñòèêîé ëþáîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé ÿâëÿåòñÿ âèõðü (èëè
ðîòîð) ς . Íåîáõîäèìîñòü ïðèâëå÷åíèÿ ïîíÿòèÿ ðîòîðà âûòåêàåò
èç òîãî, ÷òî èìåííî îí ïðåäñòàâëÿåò ëîêàëüíîå âðàùåíèå â
çàäàííîé òî÷êå ïîëÿ ñêîðîñòåé. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè îáùåì
âðàùåíèè äèñêà ïðîèñõîäèò è ëîêàëüíîå (ñîáñòâåííîå) âðàùå1
ς. Â
íèå ëþáîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
2
îáùåì ñëó÷àå ðîòîð – ýòî âåêòîð, íî â äàííîé ïëîñêîé çàäà÷å
îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî îäíà åãî ñîñòàâëÿþùàÿ:
ς = rot 3 v =
Ω d 2
1 d
r =2Ω.
(r v ) =
r dr
r dr
( )
Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîé òî÷êå äèñêà ñ æåñòêèì âðàùåíèåì ðîòîð
ς ðàâåí óäâîåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ äèñêà. Ñëåäîâàòåëüíî, òâåðäîòåëüíîå âðàùåíèå çàìå÷àòåëüíî íå òîëüêî îäèíàêîâîñòüþ óãëîâûõ ñêîðîñòåé âñåõ ÷àñòèö äèñêà ïðè îáðàùåíèè
âîêðóã öåíòðàëüíîé îñè, íî åùå è òåì, ÷òî èíäóöèðóåìîå
ñîáñòâåííîå âðàùåíèå êàæäîé åãî ÷àñòèöû (â òîì ÷èñëå è ÷àñòèö
íà öåíòðàëüíîé îñè) áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ
ëîêàëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Äëÿ Ëóíû ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: ÷òîáû íàø ñïóòíèê ñìîòðåë íà Çåìëþ âñåãäà îäíîé
ñòîðîíîé, îí äîëæåí èìåòü ñîáñòâåííîå îñåâîé âðàùåíèå ñ òîé
æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω .
Äðóãèìè ñëîâàìè, âðàùåíèå ìàëîãî êðóæêà, âûäåëåííîãî
ìåëîì íà äèñêå, äëÿ ëþáîãî (!) íàáëþäàòåëÿ áóäåò òàêèì æå,
êàê è âèäèìîå âðàùåíèå Ëóíû. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî îäèí
è òîò æå âèä ïîâåðõíîñòè Ëóíû äëÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ íå
äîëæåí ñêðûâàòü ãëàâíîãî – åå îñåâîãî âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò è äðóãèõ (âíåøíèõ) òåë
ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Èç óêàçàííûõ îñîáåííîñòåé âðàùåíèÿ
Ëóíû ñëåäóåò: ëóííûå ñóòêè â òî÷íîñòè ðàâíû ëóííîìó
ìåñÿöó.
Çàêîíû Êåïëåðà
Âàæíûé øàã â ðàçâèòèè àñòðîíîìèè ñâÿçàí ñ îòêðûòèåì
òðåõ çàêîíîâ Êåïëåðà äâèæåíèÿ ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà.
1 (1609 ã.). Îðáèòà êàæäîé ïëàíåòû åñòü ýëëèïñ, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå (ðèñ.1). Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó, äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ýëëèïñó ñ
Îáúÿñíåíèå âðàùåíèÿ Ëóíû â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ïîñòóïàòåëüíî-âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå Ëóíû âîêðóã Çåìëè íà îäíîé ïðîñòîé, íî íåòðèâèàëüíîé
ìîäåëè. Ïóñòü îðáèòà Ëóíû ÷èñòî êðóãîâàÿ. Ïðåäñòàâèì
ñåáå, ÷òî â ïëîñêîñòè ýòîé îðáèòû ñ öåíòðîì â öåíòðå Çåìëè
ðàñïîëîæåí æåñòêèé äèñê è äëÿ Ëóíû â íåì íà ñîîòâåòñòâóþùåì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà âûðåçàí êðóæîê, â êîòîðîì îíà
ñâîáîäíî âðàùàåòñÿ âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè. Äèñê â öåëîì
òîæå âðàùàåòñÿ. Òîãäà íàáëþäàòåëü íà Çåìëå ìîæåò ïîäîáðàòü ýòîìó äèñêó òàêóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ω , ïðè
êîòîðîé Ëóíà íå áóäåò èìåòü íè ïîñòóïàòåëüíîãî, íè – ñàìîå
ãëàâíîå – âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ëþáîé
òî÷êè äèñêà, âêëþ÷àÿ è íàáëþäàòåëÿ â öåíòðå. Ïîñòóïàòåëü-
32-47.p65
38
Ðèñ.1. Òðàåêòîðèÿ ïëàíåòû – ýëëèïñ ñ öåíòðîì
â Î, òî÷êè f1 è f2 –
åãî ôîêóñû, Ï è À – ïåðèãåé è àïîãåé, r – ðàäèóñ-âåêòîð ïëàíåòû
Ð, θ – óãîë èñòèííîé àíîìàëèè
ïîëóîñÿìè a1 è a2 , a1 > a2 , óðàâíåíèå êîòîðîãî â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ñ íà÷àëîì â ôîêóñå f1 èìååò âèä
a1 1 − e2
r=
,
1 + e cos θ
(
30.09.09, 12:34
)
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
ãäå r – ðàäèóñ-âåêòîð äâèæóùåãîñÿ òåëà, θ – èñòèííàÿ
àíîìàëèÿ, ò.å. óãîë, èçìåíÿþùèéñÿ îò 0 äî 2π , å – ýêñöåíòðèñèòåò. Èìåííî â ôîêóñå f1 ýëëèïñà è íàõîäèòñÿ
Ñîëíöå.
2 (1609 ã.). Ðàäèóñ-âåêòîð ïëàíåòû çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè
âðåìåíè îïèñûâàåò ðàâíûå ïëîùàäè.
3 (1619 ã.) Êâàäðàòû ñèäåðè÷åñêèõ ïåðèîäîâ îáðàùåíèÿ
äâóõ ïëàíåò îòíîñÿòñÿ äðóã ê äðóãó êàê êóáû èõ ñðåäíèõ
ðàññòîÿíèé îò Ñîëíöà.
Êåïëåð ïîïûòàëñÿ îïèñàòü è äâèæåíèå Ëóíû ïî ýëëèïñó,
íî áåç îñîáûõ óñïåõîâ. ×òîáû ïðîíèêíóòü â òàéíû äâèæåíèÿ
Ëóíû, ìàëî áûëî îäíîé êèíåìàòèêè, íå õâàòàëî ãëàâíîãî –
çíàíèÿ äåéñòâóþùåé íà Ëóíó ñèëû.
Íàñòóïèëà ýïîõà Íüþòîíà. Â 1687 ãîäó âûøëè â ñâåò åãî
çíàìåíèòûå «Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè», ãäå Íüþòîí ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è
ïðèíöèïû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è, â ÷àñòíîñòè, çàëîæèë
îñíîâû íîâîé íàóêè – íåáåñíîé ìåõàíèêè. Çäåñü æå Íüþòîí ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãî ïîäòâåðäèë ïðåáûâàþùóþ â ïåëåíêàõ ãèïîòåçó î çàêîíå îáðàòíûõ êâàäðàòîâ è òåì ñàìûì
îòêðûë (ëó÷øå ñêàçàòü – ñòðîãî äîêàçàë, òàê êàê èäåþ
âûñêàçûâàëè è äðóãèå) çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Áûë
íàéäåí êëþ÷ ê îáúÿñíåíèþ ìíîãèõ òàéí Ïðèðîäû. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî çàêîíà Íüþòîí îáúÿñíèë è îáîáùèë ýìïèðè÷åñêèå çàêîíû Êåïëåðà.
Ñâîåé î÷åðåäè æäàëà è çàäà÷à î Ëóíå. Äëÿ íåå ê òîìó
âðåìåíè ñòàëè èçâåñòíû íîâûå, âåñüìà ëþáîïûòíûå è òîíêèå
íàáëþäàòåëüíûå ôàêòû. Ñ ïîÿâëåíèåì òåëåñêîïîâ áûëè
îáíàðóæåíû (è òî äàëåêî íå ñðàçó) ìàëûå ïîêà÷èâàíèÿ òåëà
Ëóíû. Ýòî ñëó÷èëîñü â 1637 ãîäó. Ãàëèëåé, ñèñòåìàòè÷åñêè
èçó÷àÿ Ëóíó â òåëåñêîï íà âèëëå â Àð÷åòðè (ãäå îí ïðåáûâàë
â êà÷åñòâå ïëåííèêà èíêâèçèöèè), îáíàðóæèë: «Ëóíà îòêðûâàåò è ñêðûâàåò ñâîè âîëîñû è ÷àñòü äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíîãî ïîäáîðîäêà, ÷òî ìîæíî íàçâàòü ïîíèæåíèåì è
ïîäíÿòèåì ëèöà». Êðîìå òîãî: «Ëóíà ïîâîðà÷èâàåò ñâîþ
ãîëîâó òî íàïðàâî, òî íàëåâî è îòêðûâàåò òî èëè äðóãîå óõî».
 ýòèõ ñëîâàõ èòàëüÿíñêèé ó÷åíûé êðàñî÷íî ïðåäñòàâèë
çàìå÷àòåëüíûé è òîíêèé ýôôåêò: ïåðèîäè÷åñêîå ïåðåìåùåíèå äåòàëåé ðåëüåôà îòíîñèòåëüíî êðàÿ âèäèìîãî ëóííîãî
äèñêà. Òàê áûëà îòêðûòà îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ Ëóíû (îò
ëàòèíñêîãî libratio – ïîêà÷èâàíèå). Òåîðèè áûë ñäåëàí
âûçîâ.
Êàê æå Íüþòîí îáúÿñíÿë âèäèìûå ïîêà÷èâàíèÿ òåëà
Ëóíû, ò.å. îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ?
Äâèæåíèå Ëóíû ïî çàêîíàì Êåïëåðà
Ñ îòêðûòèåì çàêîíîâ Êåïëåðà íà÷àëñÿ íîâûé ýòàï â
èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ Ëóíû. Ñåé÷àñ èçâåñòíî, ÷òî ìàññà
1
Ëóíû ðàâíà
îò ìàññû íàøåé ïëàíåòû (íè îäíà ïëàíå81,3
òà â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå íå èìååò ñòîëü ìàññèâíîãî, â
ñðàâíåíèè ñ íåé ñàìîé, ñïóòíèêà). Ëóíà äâèæåòñÿ ñ çàïàäà
íà âîñòîê ñî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ 1,02 êì/ñ ïî ïðèáëèçèòåëüíî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå âîêðóã íàøåé ïëàíåòû â òîì
æå íàïðàâëåíèè, â êàêîì äâèæåòñÿ è Çåìëÿ âîêðóã Ñîëíöà.
Îðáèòà Ëóíû äîâîëüíî âûòÿíóòà è èìååò ýêñöåíòðèñèòåò
a22
≈ 0,0549 , òàê ÷òî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæa12
äó öåíòðàìè Çåìëè è Ëóíû ðàâíî 363300 êì (Ëóíà â
ïåðèãåå), à ìàêñèìàëüíîå ñîñòàâëÿåò 405500 êì (Ëóíà â
àïîãåå). Ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ðàâíî 384400 êì – ýòî è åñòü
áîëüøàÿ ïîëóîñü a1 îðáèòû Ëóíû. Ñ õîðîøèì ïðèáëèæåå = 1−
32-47.p65
39
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
!'
íèåì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ïåðâîì ôîêóñå ýëëèïñà f1
íàõîäèòñÿ öåíòð Çåìëè. À âîò âî âòîðîì… Âïðî÷åì, âñå ïî
ïîðÿäêó.
Îáúÿñíåíèå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè Ëóíû
Äâèæåíèå Ëóíû âîîáùå î÷åíü ñëîæíîå, à îòêðûòàÿ Ãàëèëååì îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ îòíîñèòñÿ ê òîíêèì ÿâëåíèÿì â
íåáåñíîé ìåõàíèêå. Òðè ýìïèðè÷åñêèõ çàêîíà îïòè÷åñêîé
ëèáðàöèè äëÿ Ëóíû ñôîðìóëèðîâàë Äîìåíèêî Êàññèíè â
1693 ãîäó. Ïåðâûå äâà èç íèõ ãëàñÿò:
1) Ëóíà âðàùàåòñÿ ðàâíîìåðíî âîêðóã îñè, ïðè÷åì ïåðèîä
åå âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ ïî îðáèòå
âîêðóã Çåìëè.
2) Ïëîñêîñòü ýêâàòîðà Ëóíû ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé (ñåé÷àñ áû ñêàçàëè – ïî÷òè ïîñòîÿííûé) íàêëîí ê ýêëèïòèêå, ò.å.
ê ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà.
Íüþòîí îáúÿñíèë îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ Ëóíû êàê ñëåäñòâèå íåðàâíîìåðíîãî åå äâèæåíèÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå âîêðóã Çåìëè (ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êåïëåðà, â
ïåðèãåå ïîñòóïàòåëüíàÿ ñêîðîñòü áîëüøå, à â àïîãåå –
ìåíüøå) ïðè ñòðîãî ðàâíîìåðíîì âðàùåíèè âîêðóã îñè. Â
êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìû âèäèì ðîâíî ïîëîâèíó ïîâåðõíîñòè Ëóíû, îäíàêî çà ëóííûé ìåñÿö (ðàçëè÷àþò íåñêîëüêî ëóííûõ ìåñÿöåâ, íî áåç ïîòåðè ñìûñëà çäåñü ýòî ìîæíî
íå ó÷èòûâàòü) àñòðîíîìû ìîãóò âèäåòü äî 59% ýòîé ïîâåðõíîñòè.
Ðèñ.2. Îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ Ëóíû ïî äîëãîòå. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ
îðèåíòàöèÿ òåëà Ëóíû ïðåäñòàâëåíà òðåìÿ òî÷êàìè a, b, c. Ìàëûå
ñåêòîðû (âûäåëåíû áîëåå òîëñòûìè ëèíèÿìè) ïîêàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûå ïðè îáçîðå ñ Çåìëè ó÷àñòêè ëóííîé ïîâåðõíîñòè
Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 2. Çà ÷åòâåðòü ìåñÿöà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðèãåÿ Ï Ëóíà ïðîéäåò ïóòü íåìíîãî áîëüøå ÷åòâåðòè
âñåé îðáèòû, à âîêðóã îñè ïîâåðíåòñÿ ðîâíî íà 90°. Â ýòîì
ïîëîæåíèè ìû ñ ïðàâîãî (çàïàäíîãî) êðàÿ Ëóíû áóäåì
âèäåòü ñåêòîð, ðàíåå íåäîñòóïíûé íàì. Â àïîãåå À áóäåò
âèäíà òà æå ÷àñòü ïîâåðõíîñòè, ÷òî è â ïåðèãåå.  ñëåäóþùóþ
(òðåòüþ) ÷åòâåðòü ìåñÿöà Ëóíà ïðîéäåò óæå ìåíüøå ÷åòâåðòîé ÷àñòè îðáèòû, à óãîë ïîâîðîòà áóäåò ðîâíî 270°, òàê ÷òî
íàì îòêðîåòñÿ ðàíåå íåâèäèìàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ñ âîñòî÷íîãî êðàÿ. Ýòî è åñòü îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ Ëóíû ïî äîëãîòå.
Î÷åâèäíî, â òî÷êàõ À è Ï ëèáðàöèÿ ïî äîëãîòå îáðàùàåòñÿ
â íîëü.
Äëÿ ïîëíîòû äîáàâèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêæå ëèáðàöèÿ ïî
øèðîòå è ñóòî÷íàÿ ëèáðàöèÿ, íî èõ ìû ðàññìàòðèâàòü íå
áóäåì. Èç ñêàçàííîãî ÷èòàòåëü äîëæåí òàêæå óÿñíèòü, ÷òî
ïîä îïòè÷åñêîé ëèáðàöèåé ïîíèìàþò ëèøü êàæóùèåñÿ (÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèé ýôôåêò!) ïîêà÷èâàíèÿ òåëà Ëóíû.
Íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå Íüþòîí ïîëíîñòüþ îáúÿñíèë
îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ Ëóíû. Îäíàêî, ïîõîæå, äîïóñòèë ïðè
ýòîì îäíó íåòî÷íîñòü.
30.09.09, 12:34
"
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Êóäà ñìîòðèò Ëóíà?
Íàáëþäåíèÿ ñâèäåòåëüñòâóþò: ëóííûé øàð âñåãäà îáðàùåí ê Çåìëå ïðåèìóùåñòâåííî îäíîé ñòîðîíîé. Íî ïî÷åìó,
êàêèì îáðàçîì âîçíèêëà ñòîëü ÿðêàÿ îñîáåííîñòü â äâèæåíèè Ëóíû? Çíàìåíèòûé ìåõàíèê è ìàòåìàòèê Ëàãðàíæ
ïåðâûì ïðèáëèçèëñÿ ê îòâåòó íà ýòîò òðóäíûé âîïðîñ. Åùå
â 1764 ãîäó îí óñòàíîâèë, ÷òî «ôîðìà Ëóíû äîëæíà áûòü
ýëëèïñîèäîì ñ íàèáîëüøåé îñüþ, íàïðàâëåííîé ê Çåìëå
< ìû æå óòî÷íÿåì, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòà îñü íàïðàâëåíà íå
íà Çåìëþ, à ñîâåðøàåò íåáîëüøèå êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî
òî÷êè âòîðîãî ôîêóñà >. È åñëè äàæå ïåðâîíà÷àëüíî ïåðèîä
âðàùåíèÿ Ëóíû íå ñîâïàäàë ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ âîêðóã
Çåìëè, âñå ðàâíî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ äâà ýòèõ ïåðèîäà
äîëæíû áûëè ñðàâíÿòüñÿ èç-çà âëèÿíèÿ ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè
è ñâÿçàííîé ñ íèì ïðèëèâíîé äèññèïàöèåé ýíåðãèè âðàùåíèÿ
íàøåãî ñïóòíèêà».
 ñâîèõ «Íà÷àëàõ» Íüþòîí ïèøåò: «...Âñëåäñòâèå ýòîãî...
ïðîèñõîäèò, ÷òî ñ Çåìëè íàáëþäàåòñÿ îäíà è òà æå ñòîðîíà
Ëóíû; â äðóãîì ïîëîæåíèè òåëî Ëóíû íå ìîãëî áû íàõîäèòüñÿ â ïîêîå, à ïîñòîÿííî âîçâðàùàëîñü áû ê ýòîìó ïîëîæåíèþ, ñîâåðøàÿ êîëåáàíèÿ. Íî ýòè êîëåáàíèÿ, âñëåäñòâèå
ìàëîñòè äåéñòâóþùèõ ñèë, ïðîèñõîäèëè áû âåñüìà ìåäëåííî, òàê ÷òî òà ñòîðîíà, êîòîðàÿ äîëæíà áû áûòü ïîñòîÿííî îáðàùåíà ê Çåìëå, ìîãëà áû áûòü îáðàùåíà è ê äðóãîìó
ôîêóñó ëóííîé îðáèòû... áåç òîãî, ÷òîáû íåìåäëåííî áûòü
îòòÿíóòîé è ïîâåðíóòîé ê Çåìëå».
Îïðåäåëåííî, Íüþòîí ãîâîðèò çäåñü î âåñüìà òîíêîì
ýôôåêòå: èç-çà îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè íåìíîãî âûòÿíóòàÿ
ôèãóðà Ëóíû äîëæíà ñîâåðøàòü åùå è î÷åíü ìàëûå êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ, íî óæå íå êàæóùèåñÿ, à äåéñòâèòåëüíî
ïðîèñõîäÿùèå îòíîñèòåëüíî åå öåíòðà ìàññ. Ýòî – ïåðâîå
ïðåäñêàçàíèå ôèçè÷åñêîé ëèáðàöèè Ëóíû. Íî ïðè ýòîì ñàìî
ÿâëåíèå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè Íüþòîí îïèñûâàåò ñëèøêîì
ðàñïëûâ÷àòî è äàæå äâóñìûñëåííî. Äåéñòâèòåëüíî, èç åãî
ôðàçû, âûäåëåííîé âûøå êóðñèâîì, íåëüçÿ ïîíÿòü, êàê
ñòîðîíà Ëóíû, êîòîðàÿ äîëæíà áû áûòü ïîñòîÿííî îáðàùåíà
ê Çåìëå, ìîãëà áû áûòü îáðàùåíà è ê äðóãîìó ôîêóñó ëóííîé
îðáèòû. Âåäü ðàññòîÿíèå ìåæäó îáîèìè ôîêóñàìè îðáèòû
Ëóíû äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ 42207 êì, ÷òî ñîñòàâëÿåò 3,3
ïîïåðå÷íèêà Çåìëè – íå òàê óæ ìàëî. Ïîýòîìó óêàçàííûå
ñëîâà Íüþòîíà áîëüøå îçàäà÷èâàþò, ÷åì ïðîÿñíÿþò ñóòü
äåëà.
 äðóãîì ìåñòå «Íà÷àë» ÷èòàåì: «Òàê êàê äëÿ Ëóíû,
ïðè ðàâíîìåðíîì åå îáðàùåíèè âîêðóã îñè, ñóòêè ðàâíû
íàøåìó ìåñÿöó, òî ê íèæíåìó ôîêóñó åå îðáèòû áóäåò
âñåãäà îáðàùåíà ïî÷òè ïîñòîÿííî îäíà è òà æå ñòîðîíà
…» «Ê íèæíåìó» çíà÷èò êî âòîðîìó ôîêóñó îðáèòû. Ó
ýëëèïñà, êàê èçâåñòíî, åñòü äâà ôîêóñà: â îäíîì íàõîäèòñÿ
öåíòð Çåìëè (òî÷íåå, ñèñòåìû Çåìëÿ-Ëóíà), à íà äðóãîé,
ïî âûñêàçàííîìó çäåñü ìíåíèþ Íüþòîíà (âûäåëåíî êóðñèâîì), áóäåò âñåãäà îáðàùåíà ïî÷òè ïîñòîÿííî îäíà è òà æå
ñòîðîíà Ëóíû.
Îäíàêî íèêàêîé îïðåäåëåííîñòè ê ïåðâîìó óòâåðæäåíèþ
ýòà ôðàçà Íüþòîíà íå äîáàâëÿåò. Êàê ìîæåò âûäåëåííûé
ðàäèóñ Ëóíû ïî÷òè ïîñòîÿííî áûòü íàïðàâëåííûì â îäíó è
òó æå òî÷êó âíåøíåãî ïðîñòðàíñòâà? Âåäü ïðîöåññ îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè ïðîèñõîäèò íåïðåðûâíî. È êàê ñåé÷àñ ìû
óáåäèìñÿ, íà ñàìîì äåëå âñå íàîáîðîò: âûäåëåííûé ðàäèóñ
Ëóíû ïî÷òè ïîñòîÿííî íå íàïðàâëåí (!) â òî÷êó âòîðîãî
ôîêóñà, à ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ
íà íåãî.
Êîíå÷íî, íà îñíîâàíèè ñêàçàííîãî âðÿä ëè ìîæíî ãîâî-
32-47.p65
40
ðèòü îá îøèáêå Íüþòîíà, òåì íå ìåíåå, íåäîïîíèìàíèå
ñóòè äåëà â âîïðîñå î äåéñòâèòåëüíîì íàïðàâëåíèè âûäåëåííîãî ðàäèóñà Ëóíû â õîäå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè ïî
äîëãîòå ïðîÿâëÿåòñÿ ó Íüþòîíà ñîâåðøåííî îïðåäåëåííî.
Íå ÷óâñòâóåòñÿ ÷åêàííîé ÿñíîñòè, õàðàêòåðíîé äëÿ ýòîãî
âåëèêîãî ó÷åíîãî, àâòîðèòåò êîòîðîãî è ñåé÷àñ íåîáû÷àéíî
âûñîê. Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî íåêîòîðàÿ íåÿñíîñòü â îïèñàíèè äàííîãî ÿâëåíèÿ âñòðå÷àåòñÿ è â íàó÷íî-ïîïóëÿðíîé
ëèòåðàòóðå.
Çàìå÷àòåëüíûé ïîïóëÿðèçàòîð íàóêè ß.È.Ïåðåëüìàí â
êíèãå «Çàíèìàòåëüíàÿ àñòðîíîìèÿ» ñíà÷àëà ïèøåò: «…
êîãäà Ëóíà îêàçûâàåòñÿ â E, ðàäèóñ Ëóíû, îáðàùåííûé ê
Çåìëå â òî÷êå A, îïèøåò äóãó â 90° è áóäåò íàïðàâëåí … ê
òî÷êå … íåïîäàëåêó îò äðóãîãî ôîêóñà ëóííîé îðáèòû». À
íèæå ÷èòàåì: «…Ëóíà íåèçìåííî îáðàùåíà îäíîé è òîé æå
ñòîðîíîé íå ê Çåìëå, à ê äðóãîìó ôîêóñó ñâîåé îðáèòû….».
Çäåñü ïåðâàÿ ôðàçà (âåðíàÿ!) âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñî
âòîðîé.
Èçâåñòíûé ðîññèéñêèé àñòðîíîì Â.È.Áðîíøòýí â ñîäåðæàòåëüíîé êíèãå «Êàê äâèæåòñÿ Ëóíà» ïðèâîäèò áåç êàêèõëèáî êîììåíòàðèåâ óêàçàííûé âûøå âçãëÿä Íüþòîíà íà
õàðàêòåð äâèæåíèÿ Ëóíû.
È äàæå êðóïíûé ó÷åíûé, ñïåöèàëèñò ïî âðàùåíèþ Ëóíû
Ìîóòñóëàñ â èçâåñòíîé êîëëåêòèâíîé ìîíîãðàôèè «Ôèçèêà
è àñòðîíîìèÿ Ëóíû» (â ïåðåâîäå ñ àíãëèéñêîãî ÿçûêà),
ãîâîðÿ î ïðåäñêàçàíèè Íüþòîíîì ôèçè÷åñêîé ëèáðàöèè,
ïðèâîäèò åãî ñëîâà òàêæå, ê ñîæàëåíèþ, áåç êàêèõ-ëèáî
êðèòè÷åñêèõ êîììåíòàðèåâ.
Òàéíàÿ ðîëü âòîðîãî ôîêóñà
Ëþáîé ýëëèïñ, íå âûðîæäåííûé â îêðóæíîñòü, èìååò äâà
ôîêóñà. Â àñòðîíîìèè ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà óòâåðæäàåò: â
îäíîì èç ôîêóñîâ íàõîäèòñÿ ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð – äëÿ
ïëàíåò ýòî Ñîëíöå, äëÿ Ëóíû Çåìëÿ è ò.ä. Òî÷êà æå âòîðîãî
ôîêóñà äëÿ ïëàíåò íå èãðàåò íèêàêîé ôèçè÷åñêîé ðîëè è
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòî ãåîìåòðè÷åñêóþ òî÷êó. Äðóãàÿ
ñèòóàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ ïðè îïèñàíèè ñèíõðîííîãî äâèæåíèÿ Ëóíû. Çäåñü âòîðîé ôîêóñ êèíåìàòè÷åñêè âûäåëÿåòñÿ
èìåííî òåì, ÷òî âîêðóã íàïðàâëåíèÿ íà íåãî ãëàâíàÿ îñü
Ëóíû ñîâåðøàåò íåáîëüøèå êîëåáàíèÿ. Òàêîâà æå ðîëü
âòîðîãî ôîêóñà è äëÿ äðóãèõ ñïóòíèêîâ ñ ñèíõðîííûì
âðàùåíèåì â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå. Îäíàêî îñîáîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà äëÿ ÷åòûðåõ ãàëèëååâñêèõ ñïóòíèêîâ Þïèòåðà
ýòîò âòîðîé ôîêóñ íå èìååò, òàê êàê íàõîäèòñÿ ãëóáîêî
âíóòðè ñàìîãî Þïèòåðà. À âîò ñèñòåìà Çåìëÿ-Ëóíà óíèêàëüíà òåì, ÷òî òîëüêî çäåñü òî÷êà âòîðîãî ôîêóñà ëåæèò äàëåêî
çà ïðåäåëàìè Çåìëè (áîëåå òðåõ åå äèàìåòðîâ), è íå ñ÷èòàòüñÿ ñ ýòèì ôàêòîì â ñîâðåìåííîé íåáåñíîé ìåõàíèêå óæå
íåëüçÿ.
Ðèñ.3. Áîëüøîé ýëëèïñ – îðáèòà Ëóíû Ì (äëÿ íàãëÿäíîñòè ñæàòèå
ïðåóâåëè÷åíî), Ï è À – òî÷êè ïåðèãåÿ è àïîãåÿ, f1 è f2 – ôîêóñû
ýëëèïñà, öåíòð ìàññ Çåìëÿ-Ëóíà íàõîäèòñÿ â ïåðâîì ôîêóñå. Ìàëûé
ýëëèïñ èçîáðàæàåò ôèãóðó Ëóíû
30.09.09, 12:34
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
×òîáû âûÿñíèòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ íàïðàâëåíèåì ãëàâíîé
îñè, èëè áîëüøîé îñè èíåðöèè, Ëóíû â õîäå îïòè÷åñêîé
ëèáðàöèè ïî äîëãîòå, ðàññìîòðèì äâèæåíèå Ëóíû ïî ýëëèïñó ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì å = 0,0549 ïðè ñîâïàäåíèè ïåðèîäîâ
îñåâîãî âðàùåíèÿ è îáðàùåíèÿ Ëóíû âîêðóã Çåìëè (ðèñ.3).
Äàëåå îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ çàêîíàìè Êåïëåðà. Ñîãëàñíî
ïåðâîìó çàêîíó, â òî÷êå ïåðâîãî ôîêóñà ýëëèïñà íàõîäèòñÿ
öåíòð ìàññ Çåìëÿ-Ëóíà. Åùå â äðåâíîñòè àñòðîíîìû, à
ïîçäíåå è Êåïëåð, íàðÿäó ñ èñòèííîé àíîìàëèåé θ ââîäèëè
óãîë ýêñöåíòðè÷åñêîé àíîìàëèè ε . Îáà óãëà ñâÿçàíû ìåæäó
ñîáîé òàêèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì:
cos ε − e
cos θ =
.
1 − e cos ε
Çà âðåìÿ, ïðîòåêøåå îò ìîìåíòà, êîãäà Ëóíà íàõîäèëàñü â
ïåðèãåå ( ε = 0 , θ = 0 ), äî ìîìåíòà ñ çàäàííûìè â äàííûé
ìîìåíò âðåìåíè t çíà÷åíèÿìè ýòèõ óãëîâ ε è θ ðàäèóñâåêòîð Ëóíû çàìåòàåò ïëîùàäü
S=
a1a2
(ε − e sin ε ) .
2
Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà òðåáóåò, ÷òîáû îòíîøåíèå ýòîé ïëîùàäè ê ïîëíîé ïëîùàäè ýëëèïñà áûëî ðàâíî îòíîøåíèþ
ñîîòâåòñòâóþùèõ âðåìåí:
S
t
= ,
πa1a2 T
ãäå T – ïåðèîä îáðàùåíèÿ ïî ýëëèïñó. Îòñþäà íàõîäèì
t=
(ε − e sin ε ) T
2π
.
Ïîñêîëüêó îñåâàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ëóíû Ω
äîëæíà áûòü ðàâíà (ïî óñëîâèþ ñèíõðîííîãî åå îáðàùåíèÿ
2π
âîêðóã Çåìëè) ñðåäíåìó çíà÷åíèþ óãëîâîé ñêîðîñòè ω =
T
ïðè îáðàùåíèè âîêðóã íàøåé ïëàíåòû, òî óãîë ïîâîðîòà
áîëüøîé îñè èíåðöèè Ëóíû çà óêàçàííîå âðåìÿ t ðàâíî
Tω
(ε − e sin ε ) = ε − e sin ε .
2π
Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê f1MC . Â íåì
δ = tΩ = tω =
dC f1
sin χ
=
r
sin χ
, δ + χ = θ , è dC f1 = r
.
sin (θ − χ )
sin δ
Íàñ èíòåðåñóåò ðàññòîÿíèå ∆ = dC f2 = 2a1e − dC f1 . Äëÿ íåãî
èìååì
2
1 − e2 sin χ
∆
= 2e −
= 2e − 1 − e
(sin θ ctg δ − cos θ ) .
a1
1 + e cos θ sin δ
1 + e cos θ
Îïðåäåëèì òåïåðü ctg δ êàê ôóíêöèþ îò óãëà ε (èëè θ ):
1 + tg ε tg (e sin ε )
ctg δ = ctg (ε − e sin ε ) =
.
tg ε − tg (e sin ε )
Ïîñêîëüêó
cos ε =
e + cos θ
1 − e2 sin θ
1 − e2 sin θ
, sin ε =
, tg ε =
,
1 + e cos θ
1 + e cos θ
e + cos θ
Ðèñ.4. Ãðàôèê äëÿ âåëè÷èíû
àíîìàëèè θ
(
)
äàåò, ÷òî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ýôôåêò èñêîìîãî îòêëîíåíèÿ ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòó ýêñöåíòðèñèòåòà îðáèòû
Ëóíû.
Èòàê, ïðè îáðàùåíèè Ëóíû ïî ýëëèïñó âîêðóã Çåìëè
êîíåö áîëüøîé îñè èíåðöèè íàøåãî ñïóòíèêà íå âñåãäà áóäåò
íàïðàâëåí â òî÷êó âòîðîãî ôîêóñà, íî ñîâåðøàåò (áåç ó÷åòà
ìàëîé ôèçè÷åñêîé ëèáðàöèè) êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ â
îêðåñòíîñòè ýòîé ñàìîé òî÷êè:
−1,5933 ⋅ 10−3 ≤
∆
≤ 1,4275 ⋅ 10−3 .
a1
 ëèíåéíîé ìåðå
−612 êì ≤ ∆ ≤ 548 êì .
Îáðàòèì âíèìàíèå íà íåêîòîðóþ àñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî òî÷êè ôîêóñà f2 èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ∆ . Êàê
âû äóìàåòå, â ÷åì ïðè÷èíà òàêîé àñèììåòðèè?
∆
È åùå. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà äëÿ âåëè÷èíû
îïèñûâàåò
a1
îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ ïî äîëãîòå äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâîì ôîêóñå îðáèòû. À êàêîé áóäåò âåëè÷èíà
ýòîé ëèáðàöèè äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ïåðåìåñòèâøåãîñÿ âî âòîðîé ôîêóñ èëè â öåíòð ýëëèïñà? Äðóãèìè ñëîâàìè, â êàêîé
èç òðåõ óêàçàííûõ òî÷åê ìîæíî áóäåò âèäåòü íàèáîëüøóþ
äîïîëíèòåëüíóþ (ê 50%) ïëîùàäü Ëóíû?
Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû âäóì÷èâûì ÷èòàòåëÿì ïðåäëàãàåòñÿ íàéòè ñàìîñòîÿòåëüíî.
Àâòîð ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí ðåöåíçåíòàì Ê.Â.Õîëøåâíèêîâó è Â.Ã.Ñóðäèíó çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.
1 − e2 sin θ  e 1 − e2 sin θ 

tg 
 1 + e cos θ 
e + cos θ

.
2
2


e 1 − e sin θ
1 − e sin θ

− tg 
 1 + e cos θ 
e + cos θ


41
êàê ôóíêöèè óãëà èñòèííîé
∆
cos ε 2 1  1

cos ε
=−
e +  − 2 cos2 ε  e3 −
1 + 8 cos2 ε e4 + …
a1
2
32

24
1+
32-47.p65
∆
a1
 èòîãå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èñêîìîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
âòîðîãî ôîêóñà, íà êîòîðîì ïðîäîëæåíèå áîëüøîé îñè
èíåðöèè Ëóíû ïåðåñåêàåò ãëàâíóþ îñü îðáèòû Ëóíû, îòëè÷íî îò íóëÿ è ñâÿçàíî ñ ïîëóîñüþ a1 òàêèì ñîîòíîøåíèåì:
∆
= e + cos ε − ctg δ ⋅ 1 − e2 sin ε .
a1
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ýòîé ôîðìóëå ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå
4. Ðàçëîæåíèå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ýêñöåíòðèñèòåòà:
ïîëó÷àåòñÿ
ctg δ =
"
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
30.09.09, 16:38
"
ÂÀ
¹5
Ì À Ò Å Ì À ÒÊÈ
×ÍÅT Ñ 2Ê0 0È9 /É
ÊÐÓÆÎÊ
ÑÍÎÂÀ Î
ÒÅÎÐÅÌÅ
ÌÎÐËÅß
Ë.ØÒÅÉÍÃÀÐÖ
Òðè êîðîòêèå çàäà÷è î áèññåêòðèñàõ
Îäíîé èç ñàìûõ óäèâèòåëüíûõ è êðàñèâûõ òåîðåì â
ãåîìåòðèè ïî ïðàâó ñ÷èòàåòñÿ òåîðåìà Ìîðëåÿ, êîòîðàÿ
óòâåðæäàåò ñëåäóþùåå
(ðèñ.1):
Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
ñìåæíûõ òðèñåêòðèñ
óãëîâ (ò.å. ëó÷åé, äåëÿùèõ äàííûé óãîë íà
òðè ðàâíûå ÷àcòè) ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ðàâíîñòîðîííåãî
Ðèñ. 1
òðåóãîëüíèêà.
Òåîðåìà áûëà îòêðûòà â 1904 ãîäó àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêîì Ôðàíêîì Ìîðëååì (Frank Morley). Òîãäà îí ðàññêàçàë
îá ýòîé òåîðåìå ñâîèì äðóçüÿì, à îïóáëèêîâàë åå äâàäöàòü
ëåò ñïóñòÿ â ßïîíèè.
Ó ýòîé òåîðåìû åñòü, ê ñîæàëåíèþ, îäèí ñóùåñòâåííûé
«íåäîñòàòîê». Äî íåäàâíåãî âðåìåíè áûëè èçâåñòíû ëèøü
äîâîëüíî ñëîæíûå äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû (ñì. ñïèñîê
ëèòåðàòóðû â êîíöå ñòàòüè). Êàê ïðàâèëî, ó÷èòåëÿ, ðàññêàçûâàÿ ó÷åíèêàì îá ýòîé òåîðåìå, ãîâîðÿò, â êàêîì ãîäó è êåì
îíà áûëà îòêðûòà, ïîêàçûâàþò êðàñèâûé ÷åðòåæ, íî î÷åíü
ðåäêî åå äîêàçûâàþò. Íà íàø âçãëÿä, ýòîò «íåäîñòàòîê»
ìîæíî óñòðàíèòü.
 ýòîé íåáîëüøîé ñòàòüå ìû ïðåäëàãàåì òðè ñîâñåì íåòðóäíûå çàäà÷è, ðåøåíèÿ êîòîðûõ äîñòóïíû ïðàêòè÷åñêè ëþáîìó øêîëüíèêó. Ïîñëå
ýòèõ çàäà÷ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìîðëåÿ ñòàíîâèòñÿ ïî÷òè î÷åâèäíûì.
Çàäà÷à 1. Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î
Ðèñ. 2
(ðèñ.2). Äîêàæèòå, ÷òî
óãîë ÑΠíà 90° áîëüøå, ÷åì ïîëîâèíà óãëà A.
Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ∠ A = 2α , ∠ B = 2β ,
∠ C = 2 γ . ßñíî, ÷òî α + β + γ = 90° . Òîãäà β + γ = 90° − α .
Ñëåäîâàòåëüíî, ∠COB = 180° − (β + γ) = 180° − (90° − α) =
= α + 90° .
Çàäà÷à 2 (îáðàòíàÿ ê çàäà÷å 1). Âíóòðè òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ (ðèñ.3) âçÿòà òî÷êà Î òàê, ÷òî óãîë ÑΠíà 90°
Àâòîð ñòàòüè – ïðåïîäàâàòåëü øêîëû «Øóâó» èç Èåðóñàëèìà.
32-47.p65
42
áîëüøå, ÷åì óãîë ÑÀÎ, à óãîë ÑÎÀ íà 90° áîëüøå, ÷åì óãîë
ÑÂÎ. Äîêàæèòå, ÷òî AO, BO è CO ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ äàííîãî òðåóãîëüíèêà.
Ðèñ. 3
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì: ∠CAO = α , ∠CBO = β . Òîãäà, ïî
óñëîâèþ, ∠COA = β + 90° , ∠COB = α + 90° . Òî, ÷òî CO –
áèññåêòðèñà óãëà Ñ, î÷åâèäíî, òàê êàê â êàæäîì èç òðåóãîëüíèêîâ ÀCO è ÂCO ñóììà äâóõ óãëîâ îäèíàêîâà (êàæäàÿ èç
íèõ ðàâíà α + β + 90° ).
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ÀO – áèññåêòðèñà óãëà ÑÀÂ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Âîçüìåì òîãäà íà ñòîðîíå Ñ (èëè íà
åå ïðîäîëæåíèè) òî÷êó B1 òàê, ÷òîáû ëó÷ ÀO îêàçàëñÿ
áèññåêòðèñîé óãëà CAB1 (ñì. ðèñ.3). Ïðè ýòîì îêàæåòñÿ, ÷òî
Î – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà CAB1 . Òîãäà
ïîëó÷àåì (ñì. çàäà÷ó 1), ÷òî ∠COB1 = α + 90° , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ – âåäü ∠COB = α + 90° . Ñëåäîâàòåëüíî,
ÀO – áèññåêòðèñà óãëà À. Íî òàê êàê, êðîìå òîãî, ÑO –
áèññåêòðèñà óãëà Ñ, òî ÂO – áèññåêòðèñà óãëà Â, ÷òî è
òðåáîâàëîñü.
Çàäà÷à 3. Íà ñòîðîíàõ OA1 è OB1 ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà A1OB1 (ðèñ.4) ïîñòðîèëè âíåøíèì îáðàçîì
òðåóãîëüíèêè A1OA è B1OB òàê, ÷òî óãîë B1OB íà 60°
Ðèñ. 4
áîëüøå, ÷åì óãîë A1 AO , à óãîë A1OA íà 60° áîëüøå, ÷åì óãîë
B1BO . Ïðÿìûå AA1 è BB1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ñ.
Äîêàæèòå, ÷òî ÀÎ, ÂÎ è ÑÎ ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè
óãëîâ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì: ∠A1 AO = α , ∠B 1 BO = β . ßñíî,
÷òî ∠AA1O = ∠BB 1O . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ∠CA1B1 =
= ∠CB1 A1 (òàê êàê ∠OA1B1 = ∠OB1 A1 = 60° ), ò.å. òðåóãîëüíèê A1CB1 îêàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. Ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè A1OC è B1OC ðàâíû (ïî òðåì ñòîðîíàì), è êàæäûé
èç óãëîâ A1OC è B1OC ðàâåí 30°. Ïðè ýòîì ∠BOC = α + 90° ,
à ∠AOC = β + 90° .
Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. çàäà÷ó 2), ÀÎ, ÂÎ è ÑÎ ÿëÿþòñÿ
áèññåêòðèñàìè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìîðëåÿ
Ïóñòü ÀÂÑ – äàííûé òðåóãîëüíèê, à òðåóãîëüíèê XYZ
îáðàçîâàí òðèñåêòðèñàìè óãëîâ äàííîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ.5).
Äîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèê XYZ ðàâíîñòîðîííèé.
30.09.09, 16:38
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
∠B = 3β ,
∠A = 3α ,
∠C = 3γ . Ðàññìîòðèì
ïðîèçâîëüíûé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê
A1B1C1 (ðèñ. 6). Ïîñòðîèì íà ñòîðîíå B1C1
òðåóãîëüíèê A2 B1C1
òàê, ÷òîáû ∠A2 B1C1 =
Ðèñ. 5
= γ + 60° , à ∠A2C1B1 =
= β + 60° . Î÷åâèäíî, ÷òî ∠B1 A2C1 = α , òàê êàê α + β +
+ γ = 60° .
"!
ÊÐÓÆÎÊ
Òî÷íî òàê æå ïîñòðîèì åùå äâà òðåóãîëüíèêà A1C1B2 è
A1B1C2 (ñì. ðèñ.6).
Ëó÷è A2 B1 è B2 A1 ïåðåñåêóòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå Ì, òàê
êàê ñóììà óãëîâ B1 A2 B2 è A1B2 A2 ìåíüøå 180 ãðàäóñîâ. Ïðè
ýòîì äëÿ òðåóãîëüíèêà A2 B2 M âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷è
3. Ïîýòîìó A2C1 áóäåò áèññåêòðèñîé óãëà B1 A2 B2 , à B2C1
áóäåò áèññåêòðèñîé óãëà A1B2 A2 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
∠C1 A2 B2 = α , à ∠C1B2 A2 = β .
Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ è â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ
(äëÿ A2 B1 , C2 B1 , C2 A1 è B2 A1 ).
Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òðåóãîëüíèêå A2 B2C2
ïðîâåäåíû òðèñåêòðèñû, è îíè ïðè ñâîåì ïåðåñå÷åíèè
îïðåäåëÿþò ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Íî î÷åâèäíî, ÷òî
òðåóãîëüíèêè A2 B2C2 è ÀÂÑ ïîäîáíû (ïî óãëàì). Ñëåäîâàòåëüíî, è òðåóãîëüíèê XYZ òàêæå ðàâíîñòîðîííèé. Òåîðåìà
Ìîðëåÿ äîêàçàíà.
Ëèòåðàòóðà
1. Ã.Ñ.Ì.Êîêñåòåð, Ñ.Ï.Ãðåéòöåð. Íîâûå âñòðå÷è ñ ãåîìåòðèåé. – Ì.: Íàóêà, 1978.
2. Ã.Òîíîÿí, È.ßãëîì. Òåîðåìà Ìîðëåÿ. – «Êâàíò», ¹8,
1978.
3. Ç.À.Ñêîïåö. Ãåîìåòðè÷åñêèå ìèíèàòþðû. – Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1990.
4. Â.Â.Ïðàñîëîâ. Ãåîìåòðèÿ. Çàäà÷è ïî ïëàíèìåòðèè. –
Ì.:ÌÖÍÌÎ, 2007.
5. À.Connes. A new proof of Morley’s theorem. – Publications
Mathématiques de l’IHÉS, S88 (1998).
Ðèñ. 6
(
Îò ðåäàêöèè
Ñ ìîìåíòà îòêðûòèÿ òåîðåìû Ìîðëåÿ ïðîøëî óæå áîëüøå
âåêà, íî äî ñèõ ïîð ýòà íåîáûêíîâåííî êðàñèâàÿ çàäà÷à
ïðèâëåêàåò ê ñåáå âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ.  àíãëîÿçû÷íîé
ëèòåðàòóðå åå èíîãäà íàçûâàþò «Morley’s Miracle» («÷óäî
Ìîðëåÿ»). «Êâàíò» óæå ïèñàë îá ýòîé òåîðåìå â ¹ 8 çà 1978
ãîä â ñòàòüå Ã.Òîíîÿíà è È.ßãëîìà «Òåîðåìà Ìîðëåÿ», ãäå
ïðèâåäåíû ïåðâûå ýëåìåíòàðíûå, íî âåñüìà íåïðîñòûå åå
äîêàçàòåëüñòâà.
Ìû ïðåäëàãàåì âàøåìó âíèìàíèþ åùå äâà ýëåãàíòíûõ è
êîðîòêèõ ðàññóæäåíèÿ, íàéäåííûõ íå òàê äàâíî. Ïåðâîå
ïðèíàäëåæèò Äæ.Êîíâåþ (èçîáðåòàòåëþ èãðû «Æèçíü»), à
âòîðîå âçÿòî èç ìàòåìàòè÷åñêîãî ôîëüêëîðà. Îíè áëèçêè ïî
äóõó, íî â êàæäîì åñòü ñâîÿ èçþìèíêà.
Ñîâåòóåì òàêæå çàãëÿíóòü íà ñàéò
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/
Òàì ïðèâåäåíî áîëüøå äåñÿòêà äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû, â òîì
÷èñëå ïðèíàäëåæàùèõ è èçâåñòíûì ìàòåìàòèêàì.
Äîêàçàòåëüñòâî Êîíâåÿ
(0 , 0 , 0 ) , (α, β , γ ) , (α , β, γ ) , (α , β , γ ) ,
(α , β, γ ) , (α, β , γ ) , (α, β, γ ) , òàê êàê â êàæäîì ñëó÷àå
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
ñóììà óãëîâ ðàâíà 180°. Òåïåðü äëÿ êàæäîé òðîéêè óãëîâ
ïîñòðîèì êîíêðåòíûé òðåóãîëüíèê ñ ýòèìè óãëàìè, ñïåöèàëüíî ïîäáèðàÿ äëèíû ñòîðîí.
Äëÿ òðîéêè 0∗, 0∗, 0∗ ýòî áóäåò ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 1.
(
32-47.p65
)
43
(ðèñ.1,à). Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñ òðîéêàìè
(α , β , γ ) .
∗
∗
(
(α, β , γ )
∗
∗
è
)
Äëÿ òðîéêè α∗∗, β, γ ñäåëàåì òàê. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê BXC (ðèñ.1,á), â êîòîðîì óãîë ïðè âåðøèíå B ðàâåí β ,
ïðè âåðøèíå X ðàâåí α∗∗ , à ïðè âåðøèíå C ðàâåí γ . ×åðåç
Ðèñ. 1
Ïóñòü óãëû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 3α, 3β, 3γ .
Ââåäåì óäîáíîå îáîçíà÷åíèå: áóäåì ïèñàòü ϕ∗ âìåñòî ϕ + 60° .
Òîãäà α + β + γ = 0∗ . Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òðåóãîëüíèêè
ñ óãëàìè
)
Äëÿ òðîéêè α∗, β, γ ∗ – ýòî òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì ñòîðîíà, ñîåäèíÿþùàÿ âåðøèíû ñ óãëàìè α∗ è γ ∗ , ðàâíà 1
âåðøèíó X ïðîâåäåì äâà ëó÷à, êîòîðûå ïåðåñåêàþò ïðÿìóþ
BC â òî÷êàõ Y è Z ïîä óãëîì α∗ , è ïîäáåðåì ìàñøòàá òàê,
÷òîáû XY = XZ = 1. Ïðè ýòîì ñòîðîíà BX îêàæåòñÿ ðàâíîé
ñòîðîíå, ëåæàùåé ïðîòèâ óãëà α∗ â óæå ïîñòðîåííîì òðåóãîëüíèêå ñ óãëàìè α∗ , β , γ ∗ (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Ýòî
ïîòðåáóåòñÿ íàì ÷óòü äàëüøå. Àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì òðåóãîëüíèêè è äëÿ äâóõ îñòàâøèõñÿ òðîåê òàêîãî âèäà.
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè 7 òðåóãîëüíèêîâ. Ðàñïîëîæèì èõ êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2, è íà÷íåì ïðèäâèãàòü èõ äðóã ê äðóãó,
÷òîáû ïîëó÷èëñÿ ðèñóíîê 3. Ïî÷åìó âñå òàê õîðîøî ñîâïàäåò? Âî-ïåðâûõ, ñóììû óãëîâ ïðè âñåõ âíóòðåííèõ âåðøèíàõ
30.09.09, 16:38
""
ÊÂÀÍT 2009/¹5
íîì òðåóãîëüíèêå îáðàçîâàííûé òðèñåêòðèñàìè òðåóãîëüíèê
áóäåò ðàâíîñòîðîííèì.
Åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî
Ðàññìîòðèì ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê XYZ è îòðàçèì
åãî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî êàæäîé èç ñòîðîí, ïîëó÷èòñÿ
Ðèñ. 4
òðåóãîëüíèê PQR (ðèñ.4). Ïóñòü íàì äàí òðåóãîëüíèê ñ
óãëàìè 3α , 3β è 3γ . Òîãäà α + β + γ = 60° . Èç òî÷êè X
ïðîâåäåì ëó÷, îáðàçóþùèé óãîë γ ñ ëó÷îì XP, à èç òî÷êè Z
– îáðàçóþùèé óãîë α ñ ëó÷îì ZP. Ýòè ëó÷è îáÿçàòåëüíî
ïåðåñåêóòñÿ (â òî÷êå B), òàê êàê ñóììà óãëîâ, êîòîðûå îíè
îáðàçóþò ñ îòðåçêîì XZ, ìåíüøå 180° (ðèñ.5). Àíàëîãè÷íî
ïðîâåäåì ëó÷è ZA è YA ( ∠RZA = β , ∠RYA = γ ). ßñíî, ÷òî
Ðèñ. 2
ðàâíû 360°. Âî-âòîðûõ, êðàñíûé òðåóãîëüíèê ïðèìûêàåò ê
çåëåíûì ïî åäèíè÷íûì îòðåçêàì, à æåëòûå òðåóãîëüíèêè
ïðèìûêàþò ê çåëåíûì ïî ðàâíûì îòðåçêàì ïî ïîñòðîåíèþ
(âûøå ìû äîêàçàëè ýòî äëÿ òðåóãîëüíèêà BXC è òðåóãîëüíèêà ñ óãëàìè α∗ , β , γ ∗ , àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ëþáàÿ
ïàðà èç æåëòîãî è çåëåíîãî òðåóãîëüíèêîâ).
Îáðàçîâàâøèéñÿ òðåóãîëüíèê ABC ïîäîáåí èñõîäíîìó ïî
òðåì óãëàì, à ïîëó÷èâøàÿñÿ êàðòèíêà ñîâïàäàåò ñ òîé, ÷òî
ïîëó÷èòñÿ ïðè ïðîâåäåíèè òðèñåêòðèñ. Ïîýòîìó è â èñõîä-
Ðèñ. 5
óãîë ïðè âåðøèíå B â òðåóãîëüíèêå BXZ ðàâåí β , à óãîë ïðè
âåðøèíå A â òðåóãîëüíèêå AZY ðàâåí α . Ïóñòü ïðÿìàÿ PR
ïåðåñåêàåò BX è AY â òî÷êàõ S è T ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 6).
Òðåóãîëüíèêè SXZ è TYZ ðàâíû ïî ñòîðîíå è äâóì ïðèëåãàþùèì óãëàì. Ïîýòîìó SZ = TZ. Äàëåå, òðåóãîëüíèêè SBZ
Ðèñ. 6
è TZA ïîäîáíû (â êàæäîì åñòü óãëû α è β ). Èç äâóõ
ïîñëåäíèõ óòâåðæäåíèé ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà BZ:ZA = SZ:TA =
= TZ:TA. Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî ∠BZA = ∠ZTA = 180° −
− α − β . Òîãäà òðåóãîëüíèê BZA ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó ZTA
ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Òàêèì îáðàçîì,
∠ZBA = β , ∠ZAB = α . Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ òî÷åê X è Y âìåñòî òî÷êè Z ïðèâåäóò íàñ ê òðåóãîëüíèêó ABC,
óãëû êîòîðîãî ðàâíû 3α , 3β è 3γ . Ýòîò òðåóãîëüíèê
ïîäîáåí èñõîäíîìó, è, çíà÷èò, ñíîâà òåîðåìà äîêàçàíà.
Ðèñ. 3
32-47.p65
44
30.09.09, 16:38
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ñîõðàíåíèå
ïîëíîé ýíåðãèè
â çàäà÷àõ
òåðìîäèíàìèêè
ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì (çà âðåìÿ ïðîöåññà) âíóòðåííåé
ýíåðãèè ñòåíîê ñîñóäà è ïîðøíÿ. Òîãäà ïîëó÷àåì (ðèñ.1)
3
mv2 3
+ νRT1 = mgh2 + νRT2 .
mgh1 +
2
2
2
Òåïåðü çàïèøåì óñëîâèå ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Â
òåõ çàäà÷àõ òåðìîäèíàìèêè, ãäå äåéñòâóþùèìè ëèöàìè
ÿâëÿþòñÿ æèäêîñòè è òâåðäûå òåëà, âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ
âûñòóïàåò äîñòàòî÷íî îáîñîáëåííî ïî îòíîøåíèþ ê ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Áîëåå òîãî, ïåðâûå æå êà÷åñòâåííûå çàäà÷è
ïîêàçûâàþò, ÷òî òèïè÷íûå ïðîèñõîäÿùèå âîêðóã íàñ ïðåâðàùåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóþò âåñüìà çíà÷èòåëüíûì èçìåíåíèÿì ýíåðãèè ìåõàíè÷åñêîé.
Âîò õàðàêòåðíûé ïðèìåð.
Çàäà÷à 1. Íà êàêóþ âûñîòó ìîæíî áûëî áû ïîäíÿòü ãðóç
ìàññîé M = 100 êã, åñëè áû óäàëîñü ïîëíîñòüþ ïðåâðàòèòü â ðàáîòó ýíåðãèþ, âûäåëÿþùóþñÿ ïðè îõëàæäåíèè
ñòàêàíà âîäû îò 100 °Ñ äî 20 °Ñ? Ìàññà âîäû â ñòàêàíå
m = 250 ã.
Ðåøåíèå. Çàïèñàâ ñîîòíîøåíèå
Ðèñ. 1
è óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà äëÿ ãåëèÿ â íà÷àëüíîì
è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ ñèñòåìû:
p1S = mg , p1Sh1 = νRT1 ,
p2 S = mg , p2 Sh2 = νRT2 .
Îòñþäà, èñêëþ÷èâ äàâëåíèÿ, ïîëó÷èì
mgh1 = νRT1 , mgh2 = νRT2 .
Âèäíî, ÷òî áëàãîäàðÿ óñëîâèþ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîðøíÿ. Ïîäñòàâèâ ýòè ñîîòíîøåíèÿ
â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íàéäåì
5
mv2 5
= mgh2 ,
mgh1 +
2
2
2
câm ∆t = Mgh ,
ãäå câ = 4,2 ⋅ 103 Äæ (êã ⋅ Ê ) – óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû,
ïîëó÷èì
h = 84 ì.
Çàáûòü âûïèòü ñòàêàí ÷àÿ – äåëî îáû÷íîå, à âîò ïîäíÿòü
ñòîêèëîãðàììîâûé ãðóç ïî÷òè íà ñòîìåòðîâóþ âûñîòó –
äîñòîéíî Ãåðàêëà èëè Èëüè Ìóðîìöà!
Ñîâñåì äðóãàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â çàäà÷àõ ñ èäåàëüíûìè
ãàçàìè. Òàì èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé è âíóòðåííåé ýíåðãèè
âûñòóïàþò êàê òåñíî ñâÿçàííûå âåëè÷èíû îäíîãî ïîðÿäêà.
Íàèáîëåå ÿðêî ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â çàäà÷àõ, ãäå ñèñòåìà,
âûâåäåííàÿ èç ðàâíîâåñèÿ, ïðèõîäèò â íîâîå ðàâíîâåñíîå
ñîñòîÿíèå â ðåçóëüòàòå íåðàâíîâåñíîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Îñîáåííîñòü òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû íå ìîæåì
îïèñàòü ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñîâìåñòíî ñ óñëîâèåì êîíå÷íîãî ðàâíîâåñèÿ
ïîçâîëÿþò íàéòè ðåøåíèå.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Çàäà÷à 2.  âûñîêîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä
ïîðøíåì íàõîäèòñÿ ãåëèé. Ïîðøíþ òîë÷êîì ñîîáùàþò
ñêîðîñòü v = 2 ì/ñ. Íà ñêîëüêî âûøå íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ îêàæåòñÿ ïîðøåíü ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû â ðàâíîâåñèå? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà
íåò.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ê ñèñòåìå ãàç – ïîðøåíü òåïëî íå
ïîäâîäèòñÿ è ðàáîòà ýòîé ñèñòåìû íàä âíåøíèìè òåëàìè
ðàâíà íóëþ, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (ìåõàíè÷åñêàÿ ïëþñ
âíóòðåííÿÿ) ñîõðàíÿåòñÿ. Êðîìå òîãî, ïî óñëîâèþ ìîæíî
32-47.p65
45
èëè
h2 − h1 =
v2
= 8 ñì .
5g
Îòìåòèì, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì íàïðàâëåíèè òîëêíóëè ïîðøåíü – ââåðõ èëè âíèç.
Çàìå÷àíèå. Èíîãäà óäîáíåå çàïèñûâàòü óðàâíåíèÿ ïîäðóãîìó. Äëÿ ãàçà îòäåëüíî ìîæíî çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîé
ôîðìå âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè:
0 = ∆U + A ,
à ðàáîòó ãàçà íàä âíåøíèìè òåëàìè (íàä ïîðøíåì) ïðèðàâíÿòü ê èçìåíåíèþ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïîðøíÿ. Ýòî îñîáåííî óäîáíî â òåõ çàäà÷àõ, ãäå íàäî ó÷åñòü ïîäâîäèìîå ê
ñèñòåìå òåïëî.
Çàäà÷à 3.  âûñîêîì âåðòèêàëüíîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ìàññîé m = 16,6 êã íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü ãåëèÿ ïðè
òåìïåðàòóðå T1 = 200 Ê. Âíà÷àëå ïîðøåíü óäåðæèâàþò íà
âûñîòå h1 = 50 ñì, à çàòåì îòïóñêàþò. Íà êàêîé âûñîòå
îêàæåòñÿ ïîðøåíü ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ?
Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà
íåò.
Ðåøåíèå. Îòëè÷èå ýòîé çàäà÷è îò ïðåäûäóùåé ñîñòîèò â
òîì, ÷òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ ìîæíî çàïèñàòü òîëüêî
â êîíå÷íîì ïîëîæåíèè, à â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ñèëà
òÿæåñòè ïîðøíÿ íå ðàâíà ñèëå äàâëåíèÿ ãàçà. Òîãäà ïîëó÷èì
p2 S = mg , p2 Sh2 = νRT2 ,
30.09.09, 16:38
"$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
èëè
mgh2 = νRT2 .
Ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
3
3
mgh1 + νRT1 = mgh2 + νRT2 ,
2
2
íàéäåì
mgh1 +
îòêóäà
3
5
νRT1 = mgh2 ,
2
2
νRT1
= 80 ñì .
mg
Îòìåòèì, ÷òî êîíå÷íàÿ âûñîòà ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê
è ìåíüøå íà÷àëüíîé. Åñëè ñèëà äàâëåíèÿ ãàçà â íà÷àëüíîì
ñîñòîÿíèè ïðåâûøàåò âåñ ïîðøíÿ:
νRT1
p1S =
> mg ,
h1
òî ïîðøåíü ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ ïîéäåò ââåðõ è âûñîòà
óâåëè÷èòñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîðøåíü ïîéäåò âíèç è
âûñîòà óìåíüøèòñÿ.
Çàäà÷à 4.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè
òåìïåðàòóðå T1 = 240 Ê. Íà ïîðøíå ëåæèò ãðóç ìàññîé,
ðàâíîé ïîëîâèíå ìàññû ïîðøíÿ. Ãðóç ìãíîâåííî óáèðàþò è
äîæèäàþòñÿ ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ. ×åìó ñòàíåò
ðàâíà òåìïåðàòóðà ãàçà? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å óñëîâèÿ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ âûãëÿäÿò ïî-ðàçíîìó (ðèñ.2):
m

p1S =  m +  g , p2 S = mg ,
2

h2 = 0,4h1 + 0,6
ãäå m – ìàññà ïîðøíÿ, è ïîñëå ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèÿ
íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ òîëüêî ïîñëå ñíÿòèÿ ãðóçà è ñèñòåìà
ïîðøåíü – ãàç ïîñëå ýòîãî ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé. (Åñëè æå
âêëþ÷àòü â ñèñòåìó ãðóç, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëå
îòäåëåíèÿ îò ïîðøíÿ åãî óäåðæèâàþò íà ìåñòå, è òîãäà åãî
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîêðàùàåòñÿ.)
Çàäà÷à 5.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå
ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè
òåìïåðàòóðå T1 = 200 Ê. Òåìïåðàòóðó áûñòðî, òàê ÷òî
ïîðøåíü íå óñïåâàåò ñäâèíóòüñÿ ñ ìåñòà, ïîâûøàþò äî
T2 = 250 Ê. Êàêîé ñòàíåò àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà
ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ? Íàä ïîðøíåì ãàçà
íåò.
Ðåøåíèå. Ïîñëå áûñòðîãî íàãðåâàíèÿ ãàçà åãî äàâëåíèå
âîçðàñòåò, è ðàâíîâåñèå íàðóøèòñÿ. Ïîýòîìó óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ è çàêîí Ìåíäåëååâà –Êëàïåéðîíà íàäî çàïèñûâàòü äëÿ
ñèñòåìû äî íàãðåâàíèÿ (ðèñ.3):
p1S = mg, p1Sh1 = νRT1
è â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè:
p3 S = mg, p3 Sh2 = νRT3 ,
à çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè – äëÿ ñèñòåìû ñðàçó ïîñëå
Ðèñ. 3
íàãðåâàíèÿ è â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè:
3
3
mgh1 + νRT2 = mgh2 + νRT3 .
2
2
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
3
3
νRT1 + νRT2 = νRT3 + νRT3 ,
2
2
îòêóäà íàõîäèì
2T + 3T2
T3 = 1
= 230 Ê.
5
Ðèñ. 2
Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà ïîëó÷àþòñÿ ðàçíûå ñîîòíîøåíèÿ:
3
mgh1 = νRT1 , mgh2 = νRT2 .
2
Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ è çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
3
3
mgh1 + νRT1 = mgh2 + νRT2 ,
2
2
ïîëó÷èì
13
T1 = 208 Ê.
15
Çàìå÷àíèå. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ
õàðàêòåðíàÿ îøèáêà: â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, âûðàæàþùåãî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, çàïèñûâàþò íà÷àëüíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ íå êàê mgh1 , à êàê 1,5mgh1 , ò.å. ó÷èòûâàþò ëåæàâøèé íà ïîðøíå ãðóç. Ýòî íåâåðíî, òàê êàê ïîðøåíü
T2 =
32-47.p65
46
Çàäà÷à 6.  âûñîêîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä
òîíêèì ìàññèâíûì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ îäíîàòîìíûé èäåàëüíûé ãàç. Íàä ïîðøíåì íà íåêîòîðîé âûñîòå óäåðæèâàþò ãðóç, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà ìàññå ïîðøíÿ. Ãðóç îòïóñêàþò, è îí ïàäàåò íà ïîðøåíü. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå
àáñîëþòíî íåóïðóãîãî óäàðà ñèñòåìà ïðèõîäèò â ðàâíîâåñèå. Îêàçàëîñü, ÷òî ïîðøåíü â êîíöå íàõîäèòñÿ íà òîé æå
âûñîòå, ÷òî è â íà÷àëå. Âî ñêîëüêî ðàç íà÷àëüíàÿ âûñîòà
ãðóçà íàä äíîì ñîñóäà áîëüøå âûñîòû ïîðøíÿ? Òðåíèåì è
òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å íåëüçÿ ïðèðàâíèâàòü íà÷àëüíóþ è
êîíå÷íóþ ýíåðãèè ñèñòåìû, òàê êàê ïðè íåóïðóãîì óäàðå
÷àñòü ýíåðãèè ïåðåéäåò âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ïîðøíÿ è
ãðóçà. Ïîñêîëüêó òåïëîîáìåíîì ìåæäó ïîðøíåì è ãàçîì çà
âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ìû ïðåíåáðåãàåì, ýòó ýíåðãèþ ó÷èòûâàòü íå íàäî.
Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ïàäàþùåãî ãðóçà
è çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû ãðóç–ïîðøåíü ïðè
30.09.09, 16:38
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
"%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
kx 2 =
νRT2
.
3
Ïîäñòàâèâ â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íàéäåì
T2 = 0,9 T1 = 270 Ê.
Ðèñ. 4
íåóïðóãîì óäàðå (ðèñ.4):
mãð g αh1 =
mãðv2
2
(
)
, mãðv = mãð + mï v1 ,
ãäå h1 – íà÷àëüíàÿ âûñîòà ïîðøíÿ, αh1 – íà÷àëüíàÿ âûñîòà
ãðóçà íàä ïîðøíåì (íàì íàäî íàéòè α + 1). Òåïåðü çàïèøåì
çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ âñåé ñèñòåìû ïîñëå óäàðà:
3
v2
νRT1 + mãð + mï 1 + mãð + mï gh1 =
2
2
3
= νRT2 + (mãð + mï ) gh2 .
2
(
)
(
)
Îò òåìïåðàòóð ìû èçáàâèìñÿ, çàïèñàâ óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ è
óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì
ñîñòîÿíèÿõ:
p1S = mï g, νRT1 = p1Sh1,
(
)
p2 S = mãð + mï g,
νRT2 = p2 Sh2.
Ïîäñòàâèâ âñå â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è îáîçíà÷èâ
mãð = βmï , â äàííîé çàäà÷å β = 1, ïîëó÷èì
β2
3
5
mï gh1 +
mï gαh1 + mï (1 + β ) gh1 = mï (1 + β ) gh2 .
2
2
1+ β
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî h2 = h1 è β = 1 , íàéäåì
3 (1 + β )
α=
= 3,
2β
ò.å. íà÷àëüíàÿ âûñîòà ãðóçà íàä äíîì ñîñóäà äîëæíà áûòü â
4 ðàçà áîëüøå âûñîòû ïîðøíÿ.
Çàìå÷àíèå. Âûñîòà ïîðøíÿ îñòàëàñü ïðåæíåé íåñìîòðÿ íà
óâåëè÷åíèå âåñà ïîðøíÿ, ïîñêîëüêó ïðèîáðåòåííîé ïðè
óäàðå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè õâàòèëî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî
óâåëè÷åíèÿ âûñîòû (ñì. çàäà÷ó 2).
Çàäà÷à 7.  òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä íåâåñîìûì
ïîðøíåì íàõîäèòñÿ èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç ïðè òåìïåðàòóðå T1 = 300 Ê. Âíà÷àëå ïîðøåíü çàêðåïëåí è ñîåäèíåí ñ
äíîì öèëèíäðà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé. Ïîñëå òîãî
êàê ïîðøåíü îñâîáîäèëè è ñèñòåìà ïðèøëà â ðàâíîâåñèå,
îáúåì ãàçà îêàçàëñÿ â 1,5 ðàçà áîëüøå íà÷àëüíîãî. Íàéäèòå
êîíå÷íóþ òåìïåðàòóðó ãàçà (ïî øêàëå Êåëüâèíà). Òðåíèåì
è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â âèäå
kx2
3
3
,
νRT1 = νRT2 +
2
2
2
ãäå x – äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû, ðàâíàÿ ïî óñëîâèþ ïîëîâèíå
íà÷àëüíîé âûñîòû ïîðøíÿ ( x = h1 2 ). Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè è óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà–
Êëàïåéðîíà:
p2 S = kx , p2 ( S ⋅ 3x ) = νRT2
32-47.p65
47
 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå íå ÿâëÿåòñÿ
ñîñòîÿíèåì ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîìåíò, êîãäà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ (è òåìïåðàòóðà)
äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ïåðâàÿ èç ýòèõ
çàäà÷ âêëþ÷àëàñü â ïîñëåäíèå ãîäû â âàðèàíòû ÅÃÝ.
Çàäà÷à 8.  âàêóóìå çàêðåïëåí ãîðèçîíòàëüíûé öèëèíäð.
 öèëèíäðå íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü ãåëèÿ, çàïåðòîãî ïîðøíåì. Ïîðøåíü óäåðæèâàåòñÿ óïîðàìè è ìîæåò ñêîëüçèòü
âëåâî âäîëü ñòåíîê öèëèíäðà áåç òðåíèÿ. Â ïîðøåíü ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî
ñêîðîñòüþ v = 400 ì/ñ, è çàñòðåâàåò â íåì. Òåìïåðàòóðà
ãåëèÿ â ìîìåíò îñòàíîâêè ïîðøíÿ â êðàéíåì ëåâîì ïîëîæåíèè âîçðàñòàåò íà ∆T = 64 Ê. Êàêîâà ìàññà ïîðøíÿ?
Ñ÷èòàòü, ÷òî çà âðåìÿ äâèæåíèÿ ïîðøíÿ ãàç íå óñïåâàåò
îáìåíÿòüñÿ òåïëîì ñ ïîðøíåì è öèëèíäðîì.
Ðåøåíèå. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ïðè óäàðå
mv = (m + M ) v1
âûðàçèì íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ïîðøíÿ ñ ïóëåé è ïîäñòàâèì â
çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
(m + M ) v12
2
Ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
+
3
3
νRT1 = νRT2 .
2
2
m2v2
3
= νR∆T ,
2 (m + M ) 2
îòêóäà íàéäåì ìàññó ïîðøíÿ:
m2v2
− m = 90 ã.
3νR∆T
Çàäà÷à 9.  äëèííîì ãîðèçîíòàëüíîì öèëèíäðå ìåæäó
äâóìÿ îäèíàêîâûìè ïîðøíÿìè íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü
ãåëèÿ.  íà÷àëüíûé ìîìåíò îäèí ïîðøåíü ïîêîèòñÿ, à
äðóãîé ïðèáëèæàåòñÿ ê íåìó ñî ñêîðîñòüþ v = 12 ì/ñ. Íà
ñêîëüêî ãðàäóñîâ ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà áîëüøå
íà÷àëüíîé? Ìàññû ïîðøíåé m = 415 ã. Òðåíèåì ìåæäó
ïîðøíÿìè è öèëèíäðîì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, çà
ïîðøíÿìè ãàçà íåò.
Ðåøåíèå. Ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó, êîãäà ïîðøíè îêàæóòñÿ íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè
äðóã îò äðóãà è èõ ñêîðîñòè áóäóò îäèíàêîâû. (Ýòî îñîáåííî
õîðîøî âèäíî â ñèñòåìå îòñ÷åòà öåíòðà ìàññ, ãäå ïîðøíè â
ýòîò ìîìåíò íåïîäâèæíû.) Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè:
2mu2 3
mv2 3
+ νRT1 =
+ νRT2 .
2
2
2
2
Ñêîðîñòü ïîðøíåé â ìîìåíò íàèáîëüøåãî ñáëèæåíèÿ íàéäåì
èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
M=
mv = 2mu .
Ïîäñòàâèâ â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîëó÷èì
∆T = T2 − T1 =
mv2
= 12 Ê.
6νR
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 57)
30.09.09, 16:38
"&
À ÍÌ
T Ï2 È
00À
9/Ä
¹ 5Û
ÎÊËÂ È
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà
èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Ïî íîâîìó Ïîëîæåíèþ î Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ åå ðåãèîíàëüíûé è çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàïû ïðîâîäÿòñÿ
òîëüêî äëÿ ó÷àùèõñÿ 9–11 êëàññîâ. Áîëåå òîãî, Öåíòðàëüíûé
îðãêîìèòåò îëèìïèàäû íå ðåêîìåíäîâàë äîïóñêàòü âîñüìèêëàññíèêîâ ê ó÷àñòèþ â çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå îëèìïèàäû
çà 9 êëàññ. ×òîáû âîñïîëíèòü ýòè ïîòåðè, ãðóïïà îðãàíèçàöèé, ðàáîòàþùèõ ñ ìàòåìàòè÷åñêè îäàðåííûìè øêîëüíèêàìè, ó÷ðåäèëà è ïðîâåëà â 2008/09 ó÷åáíîì ãîäó äëÿ
ðîññèéñêèõ âîñüìèêëàññíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêóþ îëèìïèàäó
èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Îëèìïèàäà ïðîâîäèëàñü òàêæå â
Áîëãàðèè è Ãðóçèè. Äëÿ ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäà áûëà áåñïëàòíîé: åå ñïîíñèðîâàëè ÀÍÎÎ «Âÿòñêèé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ» (Êèðîâ) è ÎÎÎ «Êîìïàíèÿ ßíäåêñ»
(Ìîñêâà), îêàçàâøàÿ îëèìïèàäå òàêæå èíôîðìàöèîííóþ
ïîääåðæêó. Ïîëíàÿ èíôîðìàöèÿ îá îëèìïèàäå, âêëþ÷àÿ
çàäà÷è âñåõ ýòàïîâ ñ ðåøåíèÿìè, ðàçìåùåíà â Èíòåðíåòå íà
ñàéòå http://www.matol.ru/.
Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â òðè ýòàïà. Ïåðâûé – äèñòàíöèîííûé – ñîñòîÿëñÿ â äåêàáðå è ñîáðàë áîëåå 3000 ó÷àñòíèêîâ
èç 46 ðåãèîíîâ Ðîññèè. Ó÷àñòâîâàòü â íåì ìîãëè âñå æåëàþùèå âîñüìèêëàññíèêè è ó÷àùèåñÿ áîëåå ìëàäøèõ êëàññîâ.
Ýòàï âêëþ÷àë 7 òóðîâ, ïðîõîäèâøèõ â ðàçíîå âðåìÿ äíÿ è
ðàçíûå äíè íåäåëè, ÷òîáû êàæäûé, íåçàâèñèìî îò ÷àñîâîãî
ïîÿñà è ñìåíû, â êîòîðóþ îí ó÷èòñÿ, ìîã âûáðàòü óäîáíîå
äëÿ ó÷àñòèÿ âðåìÿ. ×òîáû ïðîéòè íà ñëåäóþùèé, ðåãèîíàëüíûé ýòàï, äîñòàòî÷íî áûëî ïîêàçàòü õîðîøèé ðåçóëüòàò õîòÿ
áû â îäíîì èç òóðîâ. Ñâîè ðàáîòû ó÷àñòíèêè ñêàíèðîâàëè è
îòïðàâëÿëè íà ïðîâåðêó ýëåêòðîííîé ïî÷òîé. Âàæíåéøóþ
ðîëü â ïðîïàãàíäå íîâîé îëèìïèàäû ñûãðàëè ó÷èòåëÿ è
ðóêîâîäèòåëè êðóæêîâ. Îêîëî 80 èç íèõ ïîëó÷èëè ñòàòóñ
äîâåðåííûõ ëèö åå Êîîðäèíàöèîííîãî ñîâåòà ñ ïðàâîì
ïðîâîäèòü òóðû äèñòàíöèîííîãî ýòàïà äëÿ ñâîèõ ïîäîïå÷íûõ â î÷íîì ðåæèìå îáû÷íîé îëèìïèàäû, à âî ìíîãèõ
ñëó÷àÿõ – è ïðàâîì ïåðâè÷íîé ïðîâåðêè ðàáîò.
Ðåãèîíàëüíûé ýòàï îëèìïèàäû ïðîõîäèë â 35 ðåãèîíàõ
Ðîññèè è ñîáðàë îêîëî 900 ó÷àñòíèêîâ. Îí áûë î÷íûì è
ïðîâîäèëñÿ äîâåðåííûìè ëèöàìè Êîîðäèíàöèîííîãî ñîâåòà. Êðîìå ïîáåäèòåëåé äèñòàíöèîííîãî ýòàïà ñþäà áûëè
ïðèãëàøåíû ëó÷øèå ó÷àñòíèêè ðÿäà äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ñîðåâíîâàíèé: Òóðíèðà ãîðîäîâ, îêðóæíûõ îëèìïèàä è
Ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðàçäíèêà â Ìîñêâå, ìóíèöèïàëüíîãî
Îáëàäàòåëü äèïëîìà I ñòåïåíè Íèêèòà Êîñèíîâ è ÷ëåíû æþðè
48-57.p65
48
Âðó÷åíèå äèïëîìà III ñòåïåíè Ñòåïàíó Êîìêîâó
ýòàïà Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå è ðÿäå
äðóãèõ ðåãèîíîâ Ðîññèè, ëè÷íûõ îëèìïèàä Óðàëüñêèõ òóðíèðîâ þíûõ ìàòåìàòèêîâ, Êóáêà ïàìÿòè À.Í. Êîëìîãîðîâà,
Êèðîâñêîé ëåòíåé ìíîãîïðåäìåòíîé øêîëû, îëèìïèàä èìåíè Å.Í.Àíèñèìîâîé â Èæåâñêå è èìåíè Ã.Ï.Êóêèíà â Îìñêå è
íåêîòîðûõ äðóãèõ.
Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ïðîâîäèëñÿ ïî çàäà÷àì, ñîñòàâëåííûì
Ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé Âñåðîññèéñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé
îëèìïèàäû. Â ðÿäå ðåãèîíîâ Ðîññèè, ãäå áûëè ñîõðàíåíû
îôèöèàëüíûå ðåãèîíàëüíûå îëèìïèàäû äëÿ âîñüìèêëàññíèêîâ, ýòè îëèìïèàäû ïðîâîäèëèñü ïî òåì æå çàäà÷àì, è èõ
ðåçóëüòàòû øëè â çà÷åò îëèìïèàäû èìåíè Ýéëåðà.
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ïðîøåë ñ 24 ïî 27 ìàðòà ïàðàëëåëüíî â Êèðîâå, Ìîñêâå, Îìñêå è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå (ó÷àñòíèêè
ðàñïðåäåëÿëèñü ìåæäó ýòèìè ãîðîäàìè ïî òåððèòîðèàëüíîìó ïðèçíàêó). Ïî ôîðìàòó è óðîâíþ òðóäíîñòè âàðèàíòà îí
ñîîòâåòñòâîâàë çàêëþ÷èòåëüíîìó ýòàïó Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ.  íåì ïðèíÿëè ó÷àñòèå 209 øêîëüíèêîâ:
167 âîñüìèêëàññíèêîâ, 39 ñåìèêëàññíèêîâ è 3 øåñòèêëàññíèêà èç Àðõàíãåëüñêîé, Áåëãîðîäñêîé, Âîëîãîäñêîé, Èðêóòñêîé, Êèðîâñêîé, Êîñòðîìñêîé, Êóðãàíñêîé, Ëåíèíãðàäñêîé,
Ìîñêîâñêîé, Íèæåãîðîäñêîé, Íîâîñèáèðñêîé, Îìñêîé, Ðîñòîâñêîé, Ñàìàðñêîé, Ñàðàòîâñêîé, Ñâåðäëîâñêîé, Òàìáîâñêîé, Òîìñêîé, ×åëÿáèíñêîé, Óëüÿíîâñêîé, ßðîñëàâñêîé îáëàñòåé, Êàì÷àòñêîãî, Êðàñíîäàðñêîãî, Êðàñíîÿðñêîãî, Ïåðìñêîãî êðàåâ, ðåñïóáëèê Áàøêîðòîñòàí, Ìàðèé Ýë, Òóâà,
Òàòàðñòàí, Ñàõà (ßêóòèÿ), Óäìóðòèÿ, ×óâàøèÿ, ãîðîäîâ Ìîñêâû è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, à òàêæå ãîðîäà Ïåòðîïàâëîâñêà
ðåñïóáëèêè Êàçàõñòàí.  Êèðîâñêîì ôèíàëå ó÷àñòâîâàëè 66
øêîëüíèêîâ, Ìîñêîâñêîì – 65, Îìñêîì – 45, Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì – 33. Íåïðîñòàÿ çàäà÷à ñîãëàñîâàíèÿ êðèòåðèåâ
îöåíêè ðåøåíèé è íàãðàæäåíèÿ ìåæäó ÷åòûðüìÿ ëîêàëüíûìè æþðè áûëà ñâîåâðåìåííî è óñïåøíî ðåøåíà ñ ïîìîùüþ
ýëåêòðîííîé ïåðåïèñêè è òåëåôîííûõ ïåðåãîâîðîâ, è óòðîì
27 ìàðòà íà âñåõ ÷åòûðåõ ëîêàëüíûõ ôèíàëàõ áûëî ïðîâåäåíî íàãðàæäåíèå ó÷àñòíèêîâ, ïîêàçàâøèõ íàèáîëåå âûñîêèå
ðåçóëüòàòû.
30.09.09, 16:43
"'
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñ ðåçóëüòàòîì 55
áàëëîâ èç 56 âîçìîæíûõ ñòàë ñåìèêëàññíèê èç ÔÌË 239
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà Äìèòðèé Êðà÷óí. Îí íàãðàæäåí äèïëîìîì I ñòåïåíè è ñïåöèàëüíûì äèïëîìîì çà àáñîëþòíî
ëó÷øèé ðåçóëüòàò. Äèïëîìàìè I ñòåïåíè íàãðàæäåíû òàêæå
5 ó÷àñòíèêîâ, ïîêàçàâøèõ ðåçóëüòàòû â äèàïàçîíå îò 39 äî
43 áàëëîâ: Ëåíàð Èñõàêîâ (Èæåâñê), Íèêèòà Êîñèíîâ (Óëüÿíîâñê), Ïàâåë Îñèïîâ (Òîìñê), Àëåêñàíäð Êàëìûíèí (Èðêóòñê), Íèêîëàé Êðîõìàëü (Áåëãîðîä). 124 ëó÷øèõ ðåçóëüòàòà, ïîêàçàííûõ ó÷àñòíèêàìè ôèíàëà, â òîì ÷èñëå ðåçóëüòàòû
âñåõ ïîáåäèòåëåé è ïðèçåðîâ, îïóáëèêîâàíû â Èíòåðíåòå ïî
àäðåñó
http://www.matol.ru/3etap_res.xls
ÇÀÄÀ×È ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÝÒÀÏÀ
1. Ó ðåêè æèâåò ïëåìÿ Ìóìáî-Þìáî. Îäíàæäû ñî ñðî÷íûì èçâåñòèåì â ñîñåäíåå ïëåìÿ îäíîâðåìåííî îòïðàâèëèñü ìîëîäîé âîèí Ìóìáî è ìóäðûé øàìàí Þìáî. Ìóìáî
ïîáåæàë ñî ñêîðîñòüþ 11 êì/÷ ê áëèæàéøåìó õðàíèëèùó
ïëîòîâ è çàòåì ïîïëûë íà ïëîòó â ñîñåäíåå ïëåìÿ. À
Þìáî, íå òîðîïÿñü, ñî ñêîðîñòüþ 6 êì/÷, ïîøåë ê äðóãîìó õðàíèëèùó ïëîòîâ è ïîïëûë â ñîñåäíåå ïëåìÿ îòòóäà.
 èòîãå Þìáî ïðèïëûë ðàíüøå, ÷åì Ìóìáî. Ðåêà ïðÿìîëèíåéíà, ïëîòû ïëûâóò ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ. Ýòà
ñêîðîñòü âñþäó îäèíàêîâà è âûðàæàåòñÿ öåëûì ÷èñëîì
êì/÷, íå ìåíüøèì 6. Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå åå
çíà÷åíèå?
Ì.Åâäîêèìîâ, â ðåäàêöèè Ë.Ñàìîéëîâà
2. Ïðè âñÿêîì ëè íàòóðàëüíîì n, áîëüøåì 2009, èç äðîáåé
1
2
3
n −1 n
,
,
,…,
, ìîæíî âûáðàòü äâå ïàðû äðîáåé
2
1
n n −1 n − 2
ñ îäèíàêîâûìè ñóììàìè?
À.Øàïîâàëîâ
3. Ñì. Çàäà÷ó Ì2149 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
4. Ñì. Çàäà÷ó Ì2150 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
5. Ìîæíî ëè âìåñòî çâåçäî÷åê âñòàâèòü â íåêîòîðîì
ïîðÿäêå â âûðàæåíèå
ÍÎÊ( * , * , * ) – ÍÎÊ( * , * , * ) = 2009
øåñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàê, ÷òîáû
ðàâåíñòâî ñòàëî âåðíûì?
Ð.Æåíîäàðîâ
6.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ AB = BD è ∠ABD = ∠DBC . Íà äèàãîíàëè BD
íàøëàñü òî÷êà K òàêàÿ, ÷òî BK = BC. Äîêàæèòå, ÷òî
∠KAD = ∠KCD .
Ñ.Áåðëîâ
7. Íà ñòîëå ëåæèò 10 êó÷åê ñ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 è 10
îðåõàìè. Äâîå èãðàþùèõ áåðóò ïî î÷åðåäè ïî îäíîìó îðåõó.
Èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà íà ñòîëå îñòàíåòñÿ 3 îðåõà. Åñëè
ýòî – òðè êó÷êè ïî îäíîìó îðåõó, âûèãðûâàåò òîò, êòî õîäèë
âòîðûì, èíà÷å – åãî ñîïåðíèê. Êòî èç èãðîêîâ ìîæåò
âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë ñîïåðíèê?
È.Ðóáàíîâ, À.Øàïîâàëîâ
8. Íà áåñêîíå÷íîé ëåíòå âûïèñàíû â ðÿä ÷èñëà. Ïåðâîé
èäåò åäèíèöà, à êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ èç
ïðåäûäóùåãî ïðèáàâëåíèåì ê íåìó íàèìåíüøåé íåíóëåâîé
öèôðû åãî äåñÿòè÷íîé çàïèñè. Ñêîëüêî çíàêîâ â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà, ñòîÿùåãî â ýòîì ðÿäó íà 9 ⋅ 10001000 -ì
ìåñòå?
È.Áîãäàíîâ
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë È.Ðóáàíîâ
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XXXV
Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå
Êàê è â ïðîøëîì ãîäó, çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï Âñåðîññèéñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû ïðîøåë â êîíöå àïðåëÿ â
ãîðîäå-êóðîðòå Êèñëîâîäñêå.  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå
60 äåâÿòèêëàññíèêîâ, 83 äåñÿòèêëàññíèêà è 77 ó÷àùèõñÿ 11
êëàññà, ïðåäñòàâëÿþùèõ 70 ðåãèîíîâ Ðîññèè. Äèïëîìû ïðèçåðîâ îëèìïèàäû ïîëó÷èëè 76 øêîëüíèêîâ (8 – ïî ïàðàëåëè 9 êëàññà, 28 – ïî ïàðàëëåëè 10 êëàññà è 40 – ïî
ïàðàëëåëè 11 êëàññà), äèïëîìàìè ïîáåäèòåëåé áûëè íàãðàæäåíû 15 ëó÷øèõ ó÷àñòíèêîâ (ïî 5 èç êàæäîé ïàðàëëåëè).  ñâÿçè ñ èçìåíåíèÿìè â îðãàíèçàöèè Âñåðîññèéñêèõ
îëèìïèàä Ôåäåðàëüíûé îêðóæíîé ýòàï, ïðîâîäèâøèéñÿ â
òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò, â 2009 ãîäó áûë îòìåíåí, ïîýòîìó ê
ó÷àñòèþ â çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå îëèìïèàäû äîïóñêàëèñü
ëèøü ïîáåäèòåëè ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà îëèìïèàäû 2009
ãîäà, à òàêæå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà
îëèìïèàäû 2008 ãîäà. Òàêàÿ ñõåìà îòáîðà ó÷àñòíèêîâ çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà íåñêîëüêî ðàñøèðèëà ãåîãðàôèþ îëèìïèàäû, îäíàêî íå ïîçâîëèëà ïðèåõàòü íà ãëàâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé ôîðóì ñòðàíû ìíîãèì ÿðêèì òàëàíòàì (ýòî îòðàçè-
48-57.p65
49
ëîñü â îñíîâíîì íà ïàðàëëåëè 9 êëàññà, â êîòîðîé êîëè÷åñòâî ó÷àñòíèêîâ áûëî íà ÷åòâåðòü ìåíüøå ïðîøëîãîäíåãî,
äà è ñðåäíèå ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ çàäàíèé îëèìïèàäû
îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íèæå ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêèõ çà ïîñëåäíèå ãîäû).
Òðàäèöèîííûìè ãîñòÿìè îëèìïèàäû ñòàëè êîìàíäû øêîëüíèêîâ èç Áîëãàðèè è Êèòàÿ. Íàøè çàðóáåæíûå êîëëåãè è
ñîïåðíèêè íà ìåæäóíàðîäíûõ îëèìïèàäàõ ïîäòâåðäèëè
âûñîêèé óðîâåíü ïîäãîòîâêè äîñòîéíûìè ðåçóëüòàòàìè.
Ïî ðåøåíèþ æþðè, áûëî âðó÷åíî íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ
èíäèâèäóàëüíûõ ïðèçîâ. Ïðèçû çà ðåøåíèå âñåõ çàäà÷
îëèìïèàäû ïîëó÷èëè äåâÿòèêëàññíèê Àëåêñåé Ïàõàðåâ èç
Óëüÿíîâñêà, îäèííàäöàòèêàññíèê Ãëåá Íåíàøåâ èç ÑàíêòÏåòåðáóðãà, à òàêæå âûñòóïàâøèé â ïàðàëëåëè 11 êëàññà
äåñÿòèêëàññíèê Âèêòîð Îìåëüÿíåíêî èç Áåëãîðîäà. Ïðèçàìè çà èçÿùíîå ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ áûëè íàãðàæäåíû äåâÿòèêëàññíèê Íèêèòà Êîñèíîâ (Óëüÿíîâñê) è äåñÿòèêëàññíèê Ìàêñèì Ïîïîâ (Íèæíåêàìñê).
Òðàäèöèîííûé îïðîñ ïîêàçàë, ÷òî â ïàðàëëåëè 9 êëàññà
30.09.09, 16:43
#
ÊÂÀÍT 2009/¹5
ó÷àñòíèêàì áîëüøå âñåãî ïîíðàâèëèñü çàäà÷è 7, 6 è 4, â
ïàðàëëåëè 10 êëàññà – 2, 6 è 3, â ïàðàëëåëè 11 êëàññà – 6, 8
è 4. Ñåìü èç ýòèõ çàäà÷-ëàóðåàòîâ âêëþ÷åíû â «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà» ïðîøëîãî íîìåðà.
Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ è ñïèñîê äèïëîìàíòîâ
çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.
ÇÀÄÀ×È ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÝÒÀÏÀ
7. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì I êàñàåòñÿ ñòîðîí AB, BC, AC
íåðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êàõ C1 , A1 , B1
ñîîòâåòñòâåííî. Îêðóæíîñòè ωB è ωC âïèñàíû â ÷åòûðåõóãîëüíèêè BA1IC1 è CA1IB1 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî
îáùàÿ âíóòðåííÿÿ êàñàòåëüíàÿ ê ωB è ωC , îòëè÷íàÿ îò IA1 ,
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A.
È.Áîãäàíîâ
8. Ñì. çàäà÷ó Ì2145 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
9 êëàññ
11 êëàññ
1. Çíàìåíàòåëè äâóõ íåñîêðàòèìûõ äðîáåé ðàâíû 600 è
700. Íàéäèòå íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå çíàìåíàòåëÿ
èõ ñóììû (â íåñîêðàòèìîé çàïèñè).
È.Áîãäàíîâ
1. Â ñòðàíå íåêîòîðûå ïàðû ãîðîäîâ ñîåäèíåíû äîðîãàìè,
êîòîðûå íå ïåðåñåêàþòñÿ âíå ãîðîäîâ. Â êàæäîì ãîðîäå
óñòàíîâëåíà òàáëè÷êà, íà êîòîðîé óêàçàíà ìèíèìàëüíàÿ
äëèíà ìàðøðóòà, âûõîäÿùåãî èç ýòîãî ãîðîäà è ïðîõîäÿùåãî
ïî âñåì îñòàëüíûì ãîðîäàì ñòðàíû (ìàðøðóò ìîæåò ïðîõîäèòü ïî íåêîòîðûì ãîðîäàì áîëüøå îäíîãî ðàçà è íå îáÿçàí
âîçâðàùàòüñÿ â èñõîäíûé ãîðîä). Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà
÷èñëà íà òàáëè÷êàõ îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì â ïîëòîðà ðàçà.
Ì.Ìóðàøêèí
2. Ñì. çàäà÷ó Ì2141 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
2
3. Äàíî íàòóðàëüíîå n > 1. ×èñëî a > n òàêîâî, ÷òî ñðåäè
÷èñåë a + 1, a + 2, …, a + n åñòü êðàòíûå êàæäîãî èç ÷èñåë
n2 + 1 , n2 + 2 , …, n2 + n . Äîêàæèòå, ÷òî a > n 4 − n 3 .
À.Ãîëîâàíîâ
4. Ñì. çàäà÷ó Ì2144 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
5. ×èñëà a, b è c òàêîâû, ÷òî
(a + b )(b + c )(c + a ) = abc,
(a
3
)(
)(
)
+ b3 b 3 + c3 c3 + a 3 = a 3b3c3 .
Äîêàæèòå, ÷òî abc = 0.
Ñ.Òîêàðåâ
6. Ñì. çàäà÷ó Ì2139 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
7. Ñì. çàäà÷ó Ì2140 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
8. Òðåóãîëüíèêè ABC è A1B1C1 èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè.
Âñåãäà ëè ìîæíî ïîñòðîèòü ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ è ëèíåéêè
òðåóãîëüíèê A2 B2C2 , ðàâíûé òðåóãîëüíèêó A1B1C1 è òàêîé,
÷òî ïðÿìûå AA2 , BB2 è CC2 áóäóò ïàðàëëåëüíû?
Ä.Òåð¸øèí
10 êëàññ
1. Íàéäèòå âñå òàêèå íàòóðàëüíûå n, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ
îòëè÷íûõ îò íóëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ a, b, c, d ìíîãî÷ëåí
(ax + b )1000 − (cx + d )1000
ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ âñåõ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ èìååò ðîâíî n íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ.
Â.Ñåíäåðîâ
2. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 9 êëàññà.
3. Ñì. çàäà÷ó Ì2142 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
4. Ïî êðóãó ñòîÿò 2009 öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, íå
ïðåâûøàþùèõ 100. Ðàçðåøàåòñÿ ïðèáàâèòü ïî 1 ê äâóì
ñîñåäíèì ÷èñëàì, ïðè÷åì ñ ëþáûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ÷èñëàìè ýòó îïåðàöèþ ìîæíî ïðîäåëàòü íå áîëåå k ðàç. Ïðè êàêîì
íàèìåíüøåì k âñå ÷èñëà ãàðàíòèðîâàííî ìîæíî ñäåëàòü
ðàâíûìè?
È.Áîãäàíîâ
5.  áåñêîíå÷íîé âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå äåëèòñÿ õîòÿ áû íà îäíî èç ÷èñåë 1005
è 1006, íî íè îäíî íå äåëèòñÿ íà 97. Êðîìå òîãî, êàæäûå äâà
ñîñåäíèõ ÷èñëà îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì íà k. Ïðè êàêîì
íàèìåíüøåì k òàêîå âîçìîæíî?
À.Ãîëîâàíîâ
6. Ñì. çàäà÷ó Ì2143 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
48-57.p65
50
2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1, a2,… òàêîâà, ÷òî a1 ∈ (1; 2 ) è
k
ak +1 = ak +
ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k. Äîêàæèòå, ÷òî â
ak
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü áîëåå îäíîé
ïàðû ÷ëåíîâ ñ öåëîé ñóììîé.
À.Ãîëîâàíîâ
3. Â òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ABCD âñå ïëîñêèå óãëû ïðè
âåðøèíàõ – íå ïðÿìûå, à òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò â òðåóãîëüíèêàõ ABC, ABD, ACD ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îïèñàííîé ñôåðû ïèðàìèäû ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ðåáåð AB, AC, AD.
È.Áîãäàíîâ
4. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíû âñå òî÷êè ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè ( x; y ) òàêèå, ÷òî x2 + y2 ≤ 1010 . Äâîå èãðàþò â èãðó
(õîäÿò ïî î÷åðåäè). Ïåðâûì õîäîì ïåðâûé èãðîê ñòàâèò
ôèøêó â êàêóþ-òî îòìå÷åííóþ òî÷êó è ñòèðàåò åå. Çàòåì
êàæäûì î÷åðåäíûì õîäîì èãðîê ïåðåíîñèò ôèøêó â êàêóþòî äðóãóþ îòìå÷åííóþ òî÷êó è ñòèðàåò åå. Ïðè ýòîì äëèíû
õîäîâ äîëæíû âñå âðåìÿ óâåëè÷èâàòüñÿ; êðîìå òîãî, çàïðåùåíî äåëàòü õîä èç òî÷êè â ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî
íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü
õîä. Êòî èç èãðàþùèõ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû
íè èãðàë åãî ñîïåðíèê?
È.Áîãäàíîâ
5. Ïóñòü 1 < a ≤ b ≤ c . Äîêàæèòå, ÷òî
log a b + logb c + log c a ≤ logb a + log c b + log a c .
Ä.Òåð¸øèí
6. Â íåêîòîðûõ êëåòêàõ äîñêè 10 × 10 ïîñòàâèëè k ëàäåé
è çàòåì îòìåòèëè âñå êëåòêè, êîòîðûå áüåò õîòÿ áû îäíà
ëàäüÿ (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ëàäüÿ áüåò êëåòêó, íà êîòîðîé ñòîèò).
Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì k ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïîñëå óäàëåíèÿ ñ äîñêè ëþáîé ëàäüè õîòÿ áû îäíà îòìå÷åííàÿ êëåòêà
îêàæåòñÿ íå ïîä áîåì?
Ñ.Áåðëîâ
7. Íà ñòîðîíàõ AB è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âûáðàíû
òî÷êè A1 è C1 ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè AC1 è CA1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P. Îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ
AA1P è CC1P âòîðè÷íî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Q, ëåæàùåé
âíóòðè òðåóãîëüíèêà ACD. Äîêàæèòå, ÷òî ∠PDA = ∠QBA .
Ë.Åìåëüÿíîâ
8. Ñì. çàäà÷ó 8 äëÿ 10 êëàññà.
30.09.09, 16:43
#
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Äèïëîìàíòû îëèìïèàäû
Äèïëîì ïîáåäèòåëÿ
ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè
Ïàõàðåâ Àëåêñåé – Óëüÿíîâñê, ãèìíàçèÿ 79,
Ìàëÿñîâà Âèêòîðèÿ – Ðîñòîâ-íà-Äîíó, Ýêîíîìè÷åñêèé ëèöåé
14,
Åãîðîâ Äìèòðèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Êðà÷óí Äìèòðèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Ìóêîñååâà Åêàòåðèíà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 30;
ïî 10 êëàññàì –
Áîíäàðåíêî Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Åðîõèí Ñòàíèñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Êóøíèð Àíäðåé – Èðêóòñê, ëèöåé 2,
Êëèìîâèöêèé Èîñèô – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Ïîïîâ Ìàêñèì – Íèæíåêàìñê, ëèöåé-èíòåðíàò 24;
ïî 11 êëàññàì –
Íåíàøåâ Ãëåá – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Îìåëüÿíåíêî Âèêòîð – Áåëãîðîä, ëèöåé 38,
Ãóñåâ Äàíèèë – Äçåðæèíñê, øêîëà 2 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ïðåäìåòîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî öèêëà,
Èâàíîâà Àëèíà – Êàçàíü, ëèöåé èì. Í.È.Ëîáà÷åâñêîãî ïðè
ÊÃÓ,
Áðàãèí Âëàäèìèð – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127.
Äèïëîì ïðèçåðà
ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè
Áóðîâà Îëüãà – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà»,
Ñåðãèåíêî ßðîñëà⠖ Êðàñíîäàð, ÍÎÓ ÂÏÎ «Èíñòèòóò
ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé è ýêîíîìèêè»,
Çàâîäîâ Àëåêñåé – Äîëãîïðóäíûé, ÔÌË 5,
ßíóøêîâñêèé Âëàäèìèð – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà»,
Êîñèíîâ Íèêèòà – Óëüÿíîâñê, ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé 20,
Òèòîâ Äìèòðèé – Óñòü-Ëàáèíñê, øêîëà 2,
Êóíÿâñêèé Ïàâåë – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1,
Öûáûøåâ Àëåêñåé – Ñàìàðà, ãèìíàçèÿ 1;
ïî 10 êëàññàì –
Áåðíøòåéí Àíòîí – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1,
Ãîðáà÷åâà Èðèíà – Êðàñíîäàð, ëèöåé 64,
Ìîêèí Âàñèëèé – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1,
Èñààê Åâãåíèé – Êóðãàí, øêîëà 38,
Áàëèöêèé Àëåêñåé – Æåëåçíîãîðñê, øêîëà 11 ñ óãëóáëåííûì
èçó÷åíèåì îòäåëüíûõ ïðåäìåòîâ,
Ãîðáàíü Ñòåïàí – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Êîçà÷èíñêèé Àëåêñàíäð – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà»,
Áåðäíèêîâ Àëåêñàíäð – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1,
Áîÿðîâ Èãîðü – Òîëüÿòòè, ëèöåé 51,
Ðåøåòíèêîâ Èâàí – Äîëãîïðóäíûé, ÔÌË 5,
Ìåíüùèêîâ Àíäðåé – Êóðãàí, øêîëà 38,
Ïîëîãîâà Àííà – Èæåâñê, ÈÅÃË «Øêîëà-30»,
Ñòåïàíîâ Áîðèñ – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9,
Âîòÿêîâ Àëåêñàíäð – Èæåâñê, ÝÌË 29,
Ìèôòàõîâ Àçàò – Íèæíåêàìñê, ëèöåé-èíòåðíàò 24,
Ñòðó÷êîâà Àííà – ßêóòñê, ëèöåé-èíòåðíàò «Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé»,
Èâëåâ Ôåäîð – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Êóïðèÿíîâ Àëåêñàíäð – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà
ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè,
Ìåäâåäü Íèêèòà – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà»,
Ñåðáèíà Äàðüÿ – Êóðãàí, ãèìíàçèÿ 47,
Áàãëàé Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ»,
Ãëóõîâ Åâãåíèé –Êîñòðîìà, ëèöåé 17,
48-57.p65
51
Ãîëîâà Àííà – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Íèêîëàåâ Ñåìåí – Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Ïÿòüäåñÿò
ñåäüìàÿ øêîëà»,
Ïå÷èíà Àííà – Äîëãîïðóäíûé, ÔÌË 5,
Ñàìîëþê Ñåðãåé – Òîìñê, øêîëà 41,
Ëàìòþãèí Àëåêñåé – Óëüÿíîâñê, øêîëà 21,
Ëûñåíêî Íèêîëàé – Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Ïÿòüäåñÿò
ñåäüìàÿ øêîëà»;
ïî 11 êëàññàì –
Ñîêîëîâ Âÿ÷åñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ãèìíàçèÿ 261,
Ñàâåíêîâ Êèðèëë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Ìàòäèíîâ Ìàðñåëü – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Ïîãîðåëîâ Äìèòðèé – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 165 èìåíè
65-ëåòèÿ ÃÀÇ,
Òûùóê Êîíñòàíòèí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Öàðüêîâ Îëå㠖 Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà»,
Íå÷àåâ Ñòàíèñëà⠖ Èðêóòñê, ãèìíàçèÿ 25,
Øàáàëèí Ôèëèïï – Êèðîâ, ÊÔÌË,
Áåðøàäñêèé Åôèì – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Àêñåíîâ Âèòàëèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
ßíóøåâè÷ Ëåîíèä – Ìîñêâà, öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Òåõíîëîãèè îáó÷åíèÿ»,
Àíòðîïîâ Àëåêñàíäð – Ïåðìü, øêîëà 146 ñ óãëóáëåííûì
èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, èíôîðìàòèêè,
Ãóñåâ Àíòîí – Îìñê, ëèöåé 64,
Êóâøèíîâ Àëåêñåé – Èæåâñê, ÝÌË 29,
Ñèâîëîáîâ Âèòàëèé – Òîìñê, ëèöåé ïðè Òîìñêîì ïîëèòåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå,
ßðîñëàâöåâ Èâàí – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Ãëþç Áîðèñ – Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22,
Êàëàøíèê Àííà – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Êðóëü ßðîñëà⠖ Óôà, øêîëà 42 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì
îòäåëüíûõ ïðåäìåòîâ,
Íèæèáèöêèé Åâãåíèé – Êðàñíîäàð, øêîëà 73,
Óñòèíîâ Íèêèòà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Êîíäàêîâà Åëèçàâåòà – Ìîñêâà, ëèöåé «Âîðîáüåâû ãîðû»,
×åðêàøèí Äàíèëà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533,
Àäóåíêî Àëåêñàíäð – Áðÿíñê, ãèìíàçèÿ 1,
Êðàñíîâ Äìèòðèé – Êóðãàíñêàÿ îáë., ï. Çàîçåðíûé, ãèìíàçèÿ 19,
Ëîáàñòîâ Ñòåïàí – Êèðîâ, ÔÌË,
Ëóêüÿíåö Åâãåíèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Îðëîâ Îëå㠖 Ïåðìü, øêîëà 146 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì
ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, èíôîðìàòèêè,
Ïîïîâ Ëåîíèä – Ïåðìü, øêîëà 146 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì
ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, èíôîðìàòèêè,
Ñóíãîðêèí Ìàêñèì – ×åáîêñàðû, ëèöåé 3,
Ãèëüìàí Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533,
Äóõîâ Êèðèëë – Æóêîâñêèé, ãèìíàçèÿ 1,
Ìàÿíöåâ Êèðèëë – Âîëãîðå÷åíñê, øêîëà 3,
Íèêèôîðîâ Äüóëóñòàí – ßêóòñê, ëèöåé-èíòåðíàò «Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé»,
Ïëîñêîíîñîâ Àíäðåé – Êàëóãà, øêîëà 6 èì. À.Ñ.Ïóøêèíà,
Ðîãóëåíêî Ñåðãåé – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1,
Ñî÷íåâ Ñåðãåé – Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22,
Øåðøíåâ Àëåêñåé – Ãàò÷èíà, ëèöåé 3,
Êîêóðèí Ìèõàèë – Éîøêàð-Îëà, øêîëà 20,
Êîëüöîâ Èâàí – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà ñ
óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ,
Ï.Êîæåâíèêîâ, Î.Ïîäëèïñêèé, Ä.Òåð¸øèí
30.09.09, 16:43
#
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï
XLIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû
øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå
 ýòîì ãîäó çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï îëèìïèàäû ïî ôèçèêå
ïðîõîäèë â ãîðîäå Æóêîâñêîì Ìîñêîâñêîé îáëàñòè íà áàçå
ôàêóëüòåòà àýðîìåõàíèêè è ëåòàòåëüíîé òåõíèêè Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà (ÔÀËÒ ÌÔÒÈ). Îñíîâíûå õëîïîòû ïî ïðèåìó ãîñòåé, èõ ðàçìåùåíèþ è ïèòàíèþ,
à òàêæå ïî îðãàíèçàöèè êóëüòóðíîé ïðîãðàììû âçÿë íà ñåáÿ
Ãåíåðàëüíûé ñïîíñîð îëèìïèàäû – Öåíòðàëüíûé àýðîãèäðîäèíàìè÷åñêèé èíñòèòóò (ÖÀÃÈ).
Æþðè îëèìïèàäû áûëî ñôîðìèðîâàíî èç ñîòðóäíèêîâ
íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ èíñòèòóòîâ Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê (ÈÒÝÔ, ÔÈÀÍ, ÖÀÃÈ), ïðîôåññîðîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ÌÔÒÈ, ÌÃÓ, ÍÃÓ, à òàêæå èç ïðåäñòàâèòåëåé Öåíòðàëüíîé ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèè ïî ôèçèêå è ñòóäåíòîâ
Ôèçòåõà – ïîáåäèòåëåé Ìåæäóíàðîäíûõ ôèçè÷åñêèõ îëèìïèàä ïðîøëûõ ëåò.
 ñîîòâåòñòâèè ñ íîâûì Ïîëîæåíèåì îá îëèìïèàäå, â
çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå ìîãëè ó÷àñòâîâàòü êàê ïîáåäèòåëè è
ïðèçåðû çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà ïðîøëîãîäíåé îëèìïèàäû,
òàê è ïîáåäèòåëè ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà êàæäîãî ñóáúåêòà
Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè (ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ îò ïàðàëëåëè 9, 10 è 11 êëàññîâ). Îñòàâøèåñÿ ìåñòà áûëè ñîîòâåòñòâåííî ðàñïðåäåëåíû ìåæäó ïðèçåðàìè ðåãèîíàëüíûõ îëèìïèàä.
Êàê îáû÷íî, îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â äâà òóðà – òåîðåòè÷åñêèé è ýêñïåðèìåíòàëüíûé. Âîò íåêîòîðûå ñïðàâî÷íûå
äàííûå îá ó÷àñòíèêàõ è äèïëîìàíòàõ îëèìïèàäû:
Êëàññ
Êîëè÷åñòâî
Äèïëîì
ó÷àñòíèêîâ ïîáåäèòåëÿ
ïðèçåðà
9
10
11
Âñåãî
48
90
86
224
5
7
7
19
16
29
23
68
Îäèííàäöàòèêëàññíèê Àíäðåé Êîðîëüêîâ èç ïîäìîñêîâíûõ Õèìîê
– ïîáåäèòåëü îëèìïèàäû
Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêîãî è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî òóðîâ è ñïèñîê äèïëîìàíòîâ îëèìïèàäû.
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ
9 êëàññ
Çàäà÷à 1. Áðåâíî íà ïðèâÿçè
Ñì. çàäà÷ó Ô2138 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
Íèíà Êóäðÿøîâà ñî ñâîèì ó÷èòåëåì ôèçèêè – Àïîëîíñêèì Àëåêñàíäðîì Íèêîëàåâè÷åì. Îíè åùå íå çíàþò, ÷òî ÷åðåç òðè ìåñÿöà
Íèíà çàâîþåò ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü íà Ìåæäóíàðîäíîé ôèçè÷åñêîé
îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ
48-57.p65
52
Çàäà÷à 2. Êîíôåòà íà òðàíñïîðòåðå
Âî âðåìÿ ýêñêóðñèè íà êîíäèòåðñêóþ ôàáðèêó ýêñïåðèìåíòàòîð Ãëþê çàìåòèë, ÷òî ñêîðîñòü êîíôåòû, ïîïàäàþùåé
èç óïàêîâî÷íîé ìàøèíû ïîä óãëîì α = 60° íà ëåíòó òðàíñïîðòåðà (ðèñ.1; âèä ñâåðõó), ñíà÷àëà óìåíüøàåòñÿ, à ïîòîì
óâåëè÷èâàåòñÿ. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 êîíôåòû ðàâíà ïî
ìîäóëþ ñêîðîñòè u ëåíòû òðàíñïîðòåðà
è ëåæèò â ïëîñêîñòè
ëåíòû. ×åìó ðàâíà ñêîðîñòü v0′ êîíôåòû îòíîñèòåëüíî ëåíòû
òðàíñïîðòåðà ñðàçó ïîñëå ïîïàäàíèÿ åå íà ëåíòó? Âû÷èñëèòå ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü vmin
êîíôåòû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî Ãëþêà.
Â.Ñëîáîäÿíèí
Çàäà÷à 3. Äâîéíîé ìîñò
Ñì. çàäà÷ó Ô2141 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
30.09.09, 16:43
Ðèñ. 1
#!
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Çàäà÷à 4. «Äîçàïðàâêà» ÷àéíèêà
Òåîðåòèê Áàã ðåøèë ïîïèòü ÷àéêó. Îí âçÿë òåïëîèçîëèðîâàííûé ÷àéíèê, ñíàáæåííûé ìèíèàòþðíûì òåðìîìåòðîì, è
âêëþ÷èë åãî â ýëåêòðè÷åñêóþ ñåòü. Òåðìîìåòð ïîêàçàë
òåìïåðàòóðó t0 = 20 °C . ×åðåç âðåìÿ τ1 = 1 ìèí , êîãäà âîäà
íàãðåëàñü äî òåìïåðàòóðû t1 = 40 °C , îí ñòàë
äîëèâàòü â ÷àéíèê âîäó.
 ìîìåíò τ2 = 3,5 ìèí ,
êîãäà òåìïåðàòóðà âîäû
äîñòèãëà t2 = 50 °C ,
Áàã îñòàíîâèëñÿ. Åùå
÷åðåç 5 ìèí âîäà çàêèïåëà. Íà ðèñóíêå 2 ïðèâåäåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ
òåìïåðàòóðû âîäû â ÷àéíèêå â õîäå åå íàãðåâà è
«äîçàïðàâêè». Êàêîé
Ðèñ. 2
áûëà òåìïåðàòóðà tx äîëèâàåìîé âîäû? Ñ÷èòàéòå, ÷òî âîäà áûñòðî ïåðåìåøèâàåòñÿ,
à òåðìîìåòð ïîêàçûâàåò òåêóùåå çíà÷åíèå åå òåìïåðàòóðû.
À.Âîðîíîâ
1) ×åðåç êîíäåíñàòîð òå÷åò òîê. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà Imax .
2) Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà ðàâíî d = 1 ñì, îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ òåïëîâóþ ìîùíîñòü, êîòîðàÿ ìîæåò âûäåëèòüñÿ âíóòðè êîíäåíñàòîðà ïðè èçìåíåíèè íàïðÿæåíèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè. Ïîñòðîéòå êà÷åñòâåííûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìîùíîñòè Ð îò
íàïðÿæåíèÿ U.
3) Ïóñòü òåïåðü íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïîñòîÿííî è
ðàâíî U1 = 2,0 ⋅ 103 B . Êàêàÿ ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü ìîæåò âûäåëèòüñÿ âíóòðè êîíäåíñàòîðà, åñëè èçìåíÿòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè? Ïðè êàêîì çíà÷åíèè d = d1 äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü? Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ çàïîëíåí âåùåñòâîì ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ d. Ïîñòðîéòå êà÷åñòâåííûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûäåëÿåìîé ìîùíîñòè Ð îò ðàññòîÿíèÿ d ìåæäó ïëàñòèíàìè.
Ñ.Êîçåë, Â.Ñëîáîäÿíèí
10 êëàññ
Çàäà÷à 1. Ãîëîâîêðóæèòåëüíûé àòòðàêöèîí
 ãîëîâîêðóæèòåëüíîì àòòðàêöèîíå ÷åëîâåê ìàññîé m =
= 70 êã ïðûãàåò ñ ïëàòôîðìû âíèç â îçåðî. Ê íîãàì ÷åëîâåêà
ïðèâÿçàí êîíåö ðåçèíîâîãî æãóòà íåêîòîðîé äëèíû L è
æåñòêîñòè k. Äðóãîé êîíåö æãóòà ïðèêðåïëåí ê ïëàòôîðìå.
Ó ïîâåðõíîñòè âîäû, ïðîëåòåâ ðàññòîÿíèå h = 90 ì, ÷åëîâåê
äîëæåí èìåòü íóëåâóþ ñêîðîñòü è óñêîðåíèå a0 = 2g . Ñ÷èòàéòå, ÷òî g = 10 ì ñ2 , à æãóò ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ãóêà.
Ðàçìåðàìè ÷åëîâåêà, ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà è äðóãèìè
ïîòåðÿìè ýíåðãèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îïðåäåëèòå:
1) äëèíó L íåðàñòÿíóòîãî æãóòà è åãî æåñòêîñòü k;
2) óäëèíåíèå æãóòà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (ïîñëå çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé);
3) ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü vmax ïàäåíèÿ ÷åëîâåêà;
4) àìïëèòóäó A è ÷àñòîòó ω ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
÷åëîâåêà íà æãóòå;
5) âðåìÿ τ ïàäåíèÿ ÷åëîâåêà äî ïîâåðõíîñòè âîäû.
Âíèìàíèå! Îò òî÷íîñòè âàøèõ ðàñ÷åòîâ âîçìîæíî áóäåò
çàâèñåòü æèçíü ÷åëîâåêà!
Ê.Çàõàð÷åíêî
Çàäà÷à 1. Øàðèê â ëóíêå
 ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîé ïëèòå ñäåëàíà ïîëóñôåðè÷åñêàÿ ãëàäêàÿ ëóíêà ðàäèóñîì R (ðèñ.3). Ìàëåíüêèé øàðèê
ìàññîé m ïðèêðåïëåí ñ
ïîìîùüþ ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé
L = R ê êðàþ ëóíêè (â
òî÷êå À).  íà÷àëüíûé
ìîìåíò íèòü íàòÿíóòà, à
øàðèê êàñàåòñÿ êðàÿ ëóíêè. Øàðèê îòïóñêàþò, è
îí áåç íà÷àëüíîé ñêîðîÐèñ. 3
ñòè íà÷èíàåò ñêîëüçèòü
âíèç. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè Ò â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ
øàðèêîì íèæíåãî ïîëîæåíèÿ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g.
Ä.Ïîäëåñíûé
Çàäà÷à 2. Ïðåëîìëåííûé ëó÷
Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå Ñíåëëèóñà íàøëè ÷åðòåæ îïòè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ.4). Îò âðåìåíè ÷åðíèëà âûöâåëè, è íà
÷åðòåæå îñòàëèñü âèäíû òîëüêî ïàäàþùèé ëó÷ è òðè òî÷êè:
ïðàâûé ôîêóñ F òîíêîé ëèíçû, òî÷êà À, â êîòîðîé ïðåëîìèëñÿ ïàäàþùèé ëó÷, è òî÷êà Â, ïðèíàäëåæàùàÿ ëåâîé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Âîññòàíîâèòå ïî ýòèì äàííûì ïîëîæåíèå ëèíçû è åå ãëàâíîé
îïòè÷åñêîé îñè è õîä ëó÷à
çà ëèíçîé.
Â.Ñëîáîäÿíèí
Çàäà÷à 3. Ñòîëêíîâåíèå àñòåðîèäîâ
Ñì. çàäà÷ó Ô2139 èç
«Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
Çàäà÷à 4. Íåëèíåéíàÿ
ïðîâîäèìîñòü
Íåêîòîðîå âåùåñòâî îáëàäàåò íåëèíåéíîé ïðîâîäèìîñòüþ.
Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ρ ýòîãî âåùåñòâà çàâèñèò îò íàïðÿ2
æåííîñòè Å ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïî çàêîíó ρ = ρ0 + AE , ãäå
7
3
2
−3
ρ0 = 1,0 ⋅ 10 Îì ⋅ ì è A = 1,0 ⋅ 10 Îì ⋅ ì Â . Ýòèì âåùåñòâîì çàïîëíåíî âñå ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Ïëîùàäü ïëàñòèí S = 1 ì 2 .
Ðèñ. 4
48-57.p65
53
Çàäà÷à 5. Ïîòåðÿííûå îñè
Ñì. çàäà÷ó Ô2140 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».
11 êëàññ
Çàäà÷à 2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ñ èíäóêòèâíîñòüþ
 ñõåìå íà ðèñóíêå 5 ïàðàìåòðû âñåõ ýëåìåíòîâ çàäàíû. Â
íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè, êîãäà êëþ÷ áûë ðàçîìêíóò, òîê â
öåïè, ñîäåðæàùåé êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L, îòñóòñòâîâàë. Êëþ÷ çàìûêàþò íà íåêîòîðîå âðåìÿ, à çàòåì ñíîâà
ðàçìûêàþò. Èçâåñòíî, ÷òî çà
âðåìÿ, ïîêà êëþ÷ áûë çàìêíóò, ÷åðåç êàòóøêó ïðîòåê
çàðÿä q0 . Çà âñå âðåìÿ ïîñëå
ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â ñõåìå
âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q0 . Ïðåäïîëàãàÿ èäåàëüíûìè âñå ýëåìåíòû öåïè,
îïðåäåëèòå:
1) ñèëó òîêà I0 , ïðîòåêàþ- Ðèñ. 5
ùåãî ÷åðåç êàòóøêó íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ðàçìûêàíèåì êëþ÷à;
2) çàðÿä q1 , ïðîòåêøèé ÷åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R
çà âðåìÿ, ïîêà êëþ÷ áûë çàìêíóò;
3) çàðÿä q2 , ïðîòåêøèé ÷åðåç ðåçèñòîð ïîñëå òîãî, êàê
êëþ÷ áûë ðàçîìêíóò;
4) ðàáîòó A, ñîâåðøåííóþ èñòî÷íèêîì ïîñòîÿííîãî òîêà â
òå÷åíèå âñåãî ïðîöåññà;
30.09.09, 16:44
#"
ÊÂÀÍT 2009/¹5
5) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, âûäåëèâøååñÿ â ñõåìå, ïîêà
êëþ÷ áûë çàìêíóò.
Óêàçàíèå. Íàéäèòå ñâÿçü ìåæäó çàðÿäîì, ïðîòåêøèì
÷åðåç ðåçèñòîð, è èçìåíåíèåì ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç
êàòóøêó.
À.Øåðîíîâ
Çàäà÷à 3. Òåïëîîáìåí ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé
 ñîñóä, ñîäåðæàùèé ñìåñü âîäû è ëüäà, â ìîìåíò âðåìåíè
τ = 0 îïóñòèëè íàãðåâàòåëü ìîùíîñòüþ P0 = 440 Âò . Íà
ðèñóíêå 6 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû t ñìåñè îò
âðåìåíè τ . Èçâåñòíî,
÷òî ìîùíîñòü Pò òåïëîâûõ ïîòåðü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè
òåìïåðàòóð ∆t = t − t0 ,
ãäå t0 – òåìïåðàòóðà
îêðóæàþùåé ñðåäû.
Ïðè ðàñ÷åòàõ âû ìîæåòå ïðèíÿòü t0 = 0 °C è,
Ðèñ. 6
ñëåäîâàòåëüíî, Pò =
= αt , ãäå α – ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, íå çàâèñÿùèé îò
òåìïåðàòóðû. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè
t ( τ ) , íàéäèòå:
1) íà÷àëüíóþ ìàññó ëüäà më â ñìåñè;
2) îáùóþ ìàññó M ñîäåðæèìîãî ñîñóäà;
3) êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè α ;
4) ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü íàãðåâàòåëÿ Pmax , ïðè êîòîðîé âîäà íèêîãäà íå çàêèïèò;
5) âðåìÿ τ1 îò íà÷àëà òàÿíèÿ ëüäà, â òå÷åíèå êîòîðîãî âîäà
â ñîñóäå çàêèïèò, åñëè ìîùíîñòü íàãðåâàòåëÿ P1 = 300 Âò .
Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ Ê ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 3,2 ⋅ 105 Äæ êã .
Ñ.Êîçåë
Çàäà÷à 4. Çàäà÷à Êåëüâèíà
Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå ëîðäà Êåëüâèíà íàøëè ãðàôèê
öèêëè÷åñêîãî ïðîöåññà, ñîâåðøåííîãî íàä îäíèì ìîëåì
èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà
(ðèñ.7). Ñî âðåìåíåì ÷åðíèëà
âûöâåëè, è îò êîîðäèíàòíûõ
îñåé Ò (òåìïåðàòóðà) è V
(îáúåì) íå îñòàëîñü è ñëåäà.
Èç ïîÿñíåíèé ê òåêñòó ñëåäîâàëî, ÷òî â òî÷êå À òåìïåðàòóðà 400 Ê, îáúåì 4 ë, äàâëåíèå
ãàçà ìèíèìàëüíî, à íà÷àëî êîÐèñ. 7
îðäèíàò íàõîäèòñÿ â íèæíåé
÷àñòè ðèñóíêà. Òàì æå áûë óêàçàí ìàñøòàá ïî îñÿì.
1) Âîññòàíîâèòå ïîñòðîåíèåì ïîëîæåíèå îñåé Ò è V.
2) Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå ãàçà â ýòîì ïðîöåññå.
Ã.Òàðíîïîëüñêèé
Çàäà÷à 5. Çàäà÷à ñ äâóìÿ ëèíçàìè
Íà ýêñïåðèìåíòàëüíîì òóðå ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ó÷àñòíèêàì áûëî ïðåäëîæåíî îïðåäåëèòü ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ
äâóõ òîíêèõ ñîáèðàþùèõ ëèíç, ðàñïîëîæåííûõ â òîðöàõ
ïîëîãî öèëèíäðà äëèíîé L = 20,0 ñì (ðèñ.8). Îäèí èç
Ðèñ. 8
48-57.p65
54
ó÷àñòíèêîâ, Âàñÿ Çàçíàéêèí, àêêóðàòíî âûïîëíèë ýêñïåðèìåíòû è ïîëó÷èë ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: à) åñëè ñëåâà îò
ëåâîãî òîðöà öèëèíäðà íà åãî îñè íà ðàññòîÿíèè
l1 = 5,0 ñì ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, òî ïîñëå
ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ñèñòåìó ñâåò âûõîäèò èç ïðàâîãî òîðöà
ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì; á) åñëè íà ëåâûé òîðåö ïîñëàòü
ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, òî ñïðàâà îò ïðàâîãî òîðöà íà
ðàññòîÿíèè l2 = 10,0 ñì ëó÷è ñõîäÿòñÿ â îäíó òî÷êó, ëåæàùóþ íà îñè öèëèíäðà. Îäíàêî ðàññ÷èòàòü ïî ýòèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ F1 è F2 îáåèõ
ëèíç Çàçíàéêèí íå ñìîã. Ïîìîãèòå áåäíîìó Âàñå.
Ñ.Êîçåë
ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÀËÜÍÛÉ ÒÓÐ
9 êëàññ
Çàäà÷à 1. Èññëåäîâàíèå ñòåêëà
Îáîðóäîâàíèå: ñòåêëÿííàÿ áóòûëêà; êóñî÷êè ñòåêëà; ïëàñòèêîâûé ñîñóä; ìåðíûé öèëèíäð; ïëàñòèêîâûé ñòàêàí÷èê;
ïåíîïëàñòîâàÿ êðûøêà; òåðìîìåòð; ñåêóíäîìåð; ïîëîñêà
ñêîò÷à; ãîðÿ÷àÿ è õîëîäíàÿ âîäà (ïî òðåáîâàíèþ); ïîäíîñ è
ñàëôåòêè äëÿ ïîääåðæàíèÿ â ÷èñòîòå ðàáî÷åãî ìåñòà.
1) Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ρ ñòåêëà, èç êîòîðîãî ñäåëàíà
áóòûëêà.
2) Îïðåäåëèòå ñóììàðíóþ òåïëîåìêîñòü Ñ êóñî÷êîâ
ñòåêëà.
Óêàçàíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòè ñòåêëà èññëåäóéòå çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû ñîäåðæèìîãî ïëàñòìàññîâîãî ñòàêàíà îò âðåìåíè è ïîñòðîéòå ãðàôèêè ýòèõ çàâèñèìîñòåé. Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà òåïëîåìêîñòè ñòåêëà ïî
ðåçóëüòàòàì ýòèõ èññëåäîâàíèé. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ìîùíîñòü
òåïëîâûõ ïîòåðü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóð
ìåæäó ñîäåðæèìûì ñòàêàíà è êîìíàòíîé òåìïåðàòóðîé.
3) Ñ÷èòàÿ, ÷òî ïëîòíîñòü êóñî÷êîâ ñòåêëà ðàâíà ïëîòíîñòè
áóòûëî÷íîãî ñòåêëà, îïðåäåëèòå óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü ñ
ñòåêëà.
Ïðèìå÷àíèå. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1000 êã ì3 , óäåëüíàÿ
òåïëîåìêîñòü âîäû c0 = 4200 Äæ ( êã ⋅ °Ñ ) . Ïðè ðàáîòå ñ
ãîðÿ÷åé âîäîé áóäüòå ïðåäåëüíî àêêóðàòíû! Ïðè èçìåðåíèè
òåìïåðàòóðû ïðèäåðæèâàéòå òåðìîìåòðû ðóêîé, ÷òîáû íå
ðàçáèòü èõ.
À.Øåðîíîâ, Ì.Îñèí
Çàäà÷à 2. Óðàãàí
Îáîðóäîâàíèå: ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ âåíòèëÿòîðîì èçâåñòíîé ìàññû Ì (ìàññà óêàçàíà íà êîðïóñå âåíòèëÿòîðà);
ìóëüòèìåòð â ðåæèìàõ âîëüòìåòðà è îììåòðà; øòàòèâ ñ
ìóôòîé è ëàïêîé; äâå ëèíåéêè; êàíöåëÿðñêèé çàæèì; çàæèì «êðîêîäèë»; äâå òîíêèå
ïðîâîëîêè.
Èçìåðüòå ÊÏÄ η âåíòèëÿòîðà. Èññëåäóéòå çàâèñèìîñòü
ÊÏÄ îò ïîäàâàåìîãî íà âåíòèëÿòîð íàïðÿæåíèÿ U. ÂåíÐèñ. 9
òèëÿòîð âêëþ÷åí â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ïðèâåäåííóþ íà ðèñóíêå 9. Äëÿ ñîåäèíåíèÿ
êîíòàêòà 5 ñ êîíòàêòàìè 1, 2, 3 è 4 èñïîëüçóéòå çàæèì
«êðîêîäèë». Ïðåäñòàâüòå ñâîè ðåçóëüòàòû â âèäå òàáëèöû.
Ïðèìå÷àíèå. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, åñëè íà
òåëî äåéñòâóåò ïîñòîÿííàÿ ñèëà F, òî èçìåíåíèå èìïóëüñà
òåëà ∆p çà âðåìÿ ∆t ðàâíî èìïóëüñó ñèëû: ∆p = F ∆t .
Óêàçàíèå. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè U
ñêîðîñòü v ïîòîêà âîçäóõà ïîñòîÿííà ïî âñåìó ñå÷åíèþ
ïîòîêà, èäóùåãî îò ëîïàñòåé, à â öåíòðàëüíîé ÷àñòè îíà
30.09.09, 16:44
##
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ðèñ. 10
ðàâíà íóëþ (ðèñ.10). Ïîëåçíîé ìîùíîñòüþ âåíòèëÿòîðà ñ÷èòàéòå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, ïåðåäàâàåìóþ
âîçäóõó çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïëîòíîñòü âîçäóõà ρ = 1,29 êã ì 3 . Çàêîðà÷èâàòü áàòàðåéêè çàïðåùåíî!
Ðàçðÿæåííûå áàòàðåéêè íå çàìåíÿþòñÿ!
Ì.Îñèí
10 êëàññ
Çàäà÷à 1. «Çâåçäíûé ÿùèê»
Îáîðóäîâàíèå: «÷åðíûé ÿùèê» ñ òðåìÿ âûâîäàìè; ìóëüòèìåòð â ðåæèìå âîëüòìåòðà; ìóëüòèìåòð â ðåæèìå àìïåðìåòðà; ñîåäèíèòåëüíàÿ êîëîäêà; îòâåðòêà; áàòàðåéêà; äâà ïðîâîäà; ðåçèñòîð ïåðåìåííîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
Âíóòðè «÷åðíîãî ÿùèêà» íàõîäÿòñÿ 3 ýëåìåíòà, ñîåäèíåííûå «çâåçäîé» (ðèñ.11). Óáåäèòåñü â ëèíåéíîñòè ýòèõ ýëåìåíòîâ, ïîñòðîèâ äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà åãî âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó (íå ìåíåå 10 òî÷åê). Îïðåäåëèòå
ïàðàìåòð Ri = ∆Ui ∆Ii äëÿ
êàæäîãî èç íèõ. Â ñîñòàâ
îäíîãî èç ýëåìåíòîâ âêëþ÷åí èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî
òîêà. Îïðåäåëèòå íîìåð ýòîãî ýëåìåíòà è ÝÄÑ - èñòî÷Ðèñ. 11
íèêà.
Ïðèìå÷àíèå. Íàïðÿæåíèå âûäàííîé áàòàðåéêè äîëæíî
ïðåâûøàòü 1 Â. Áóäüòå ïðåäåëüíî àêêóðàòíû ñ ÿùèêàìè – íå
ïåðåâîðà÷èâàéòå è íå òðÿñèòå èõ.  ñëó÷àå, åñëè ìåæäó
ëþáûìè äâóìÿ âûâîäàìè íåïîäêëþ÷åííîãî «÷åðíîãî ÿùèêà» íàïðÿæåíèå ïðåâûøàåò 4 Â, ñëåäóåò îáÿçàòåëüíî îáðàòèòüñÿ ê äåæóðíûì äëÿ ïðîâåðêè ÿùèêà.
À.Êîáÿêèí
Çàäà÷à 2. Óðàãàí â òðóáå
Îáîðóäîâàíèå: âåíòèëÿòîð èçâåñòíîé ìàññû Ì è øàðèê
äëÿ íàñòîëüíîãî òåííèñà èçâåñòíîé ìàññû m (ìàññû óêàçàíû
íà âåíòèëÿòîðå è øàðèêå ñîîòâåòñòâåííî); ðåãóëèðóåìûé
èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà; äâà ìóëüòèìåòðà; äâå ëèíåéêè;
êàíöåëÿðñêèé çàæèì; øòàòèâ; ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà è
òîíêàÿ ïðîâîëîêà; íèòêè; áóìàæíàÿ òðóáà; íîæíèöû è ñêîò÷
(ïî òðåáîâàíèþ).
1) Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 9 êëàññà.
2) Ïîñòàâüòå âåíòèëÿòîð âïëîòíóþ ê îäíîìó èç êîíöîâ
âûäàííîé âàì áóìàæíîé òðóáû. Ïîòîê âîçäóõà äîëæåí áûòü
íàïðàâëåí âíóòðü òðóáû. Âáëèçè äðóãîãî êîíöà òðóáû íà åå
îñè ñèììåòðèè ðàñïîëîæèòå òåííèñíûé øàðèê. Íàéäèòå ñèëó
F, äåéñòâóþùóþ íà øàðèê, ïîìåùåííûé â ïîòîê âîçäóõà,
âûõîäÿùèé èç òðóáû. Ïîëàãàÿ F = Av2 , îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò À. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ñêîðîñòü âîçäóõà íà âûõîäå èç òðóáû
ðàâíà ñêîðîñòè âîçäóõà, ñîçäàâàåìîé âåíòèëÿòîðîì.
Ì.Îñèí
11 êëàññ
Çàäà÷à 1. Ôîðìóëà Ãåðöà
Îáîðóäîâàíèå: äâà ñòàëüíûõ øàðèêà; òîíêàÿ ìåäíàÿ ïðîâîëîêà áåç èçîëÿöèè; áóìàæíûé òðàíñïîðòèð; òðè äåðåâÿííûå ëèíåéêè; êîíäåíñàòîð èçâåñòíîé åìêîñòè Ñ = 20 ìêÔ;
ðåçèñòîð ñ èçâåñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì R = 68 Îì; áàòàðåéêà;
äâå êíîïêè; ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà; ìóëüòèìåòð â ðåæèìå
âîëüòìåòðà c âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì RV = 1,0 ÌÎì , ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûé ñ ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì rV (íîìèíàëüíîå çíà÷åíèå íàïèñàíî íà ðàáî÷åì
ìåñòå); øåñòü êëåììíûõ êîëîäîê;
îòâåðòêà; äâà ïðîâîäà ñ çàæèìàìè
«êðîêîäèë»; ñêîò÷.
Ïîäâåñüòå øàðèêè íà áèôèëëÿðíûõ ïîäâåñàõ (ðèñ.12). Èññëåäóéòå, êàê çàâèñèò âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ
τ äâóõ îäèíàêîâûõ ñòàëüíûõ øàðèêîâ îò èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñ- Ðèñ. 12
òè v, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò çàâèñèìîñòè
τ = Bvα . Îïðåäåëèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè α . Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì îïðåäåëèòå âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ τ1 ïðè îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè v1 = 10 ì ñ . Ïðîâåäèòå èçìåðåíèÿ äëÿ íå
ìåíåå ÷åì ñåìè ðàçëè÷íûõ îòíîñèòåëüíûõ ñêîðîñòåé øàðèêîâ. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âðåìåíè äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ
ñêîðîñòè íå äîëæíà ïðåâûøàòü 20%.
Óêàçàíèå. Åñëè íåçàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð áîëüøîé åìêîñòè çàðÿæàåòñÿ â òå÷åíèå íåáîëüøîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè
è íàïðÿæåíèå íà íåì äîñòàòî÷íî ìàëî, òàê ÷òî òîê çàðÿäêè
IC ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ, òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
∆qC qC
dq
=
IC = C ª
.
∆t
dt
t
Å.Áîãåð
Çàäà÷à 2. Êîëåáàíèÿ ëèíåéêè
Îáîðóäîâàíèå: ïðèêðåïëåííàÿ ê ñòîëó ìåòàëëè÷åñêàÿ
ëèíåéêà; äëèííàÿ äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà; êàíöåëÿðñêèé çàæèì; øàðèêè èç áóìàãè; øòàòèâ.
Ïîñòðîéòå òàáëèöó çàâèñèìîñòè êðóãîâîé ÷àñòîòû ω êîëåáàíèé ñâîáîäíîãî êîíöà ìåòàëëè÷åñêîé ëèíåéêè îò äëèíû L
åå ñâîáîäíîãî êîíöà â äèàïàçîíå îò 10 ñì äî 20 ñì ñ øàãîì
2 ñì.
Â.Ñëîáîäÿíèí
Äèïëîìàíòû îëèìïèàäû
Äèïëîì ïîáåäèòåëÿ
ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè
Ïàíüêîâ Àëåêñàíäð – Ïåðìü, øêîëà 9 èì. À.Ñ.Ïóøêèíà,
Áåãóí Àëåêñàíäð – Âëàäèâîñòîê, øêîëà 35,
Àðçàìàññêèé Ëå⠖ Êàëèíèíãðàä, ëèöåé 23,
Ïàðèíîâ Äàíèèë – Âîðîíåæ, ãèìíàçèÿ 9,
Âèíîãðàäîâ Êîíñòàíòèí – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà;
Ãîðíîñòàåâ Äìèòðèé – ñ. Øîêøà (Ðåñïóáëèêà Ìîðäîâèÿ),
Øîêøèíñêàÿ øêîëà,
Êîíîíîâ ßêî⠖ Óëàí-Óäý, Ðîññèéñêàÿ ãèìíàçèÿ 59,
Àíòîíåíêî Äèíèèë – Ðîñòîâ-íà-Äîíó, Åñòåñòâåííî-íàó÷íûé
ëèöåé 11,
Òàðàñîâ Àðòåì – Êèðîâ, ÔÌË,
Êîâàëåâ Êèðèëë – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà,
Ôðîëîâ Ôåäîð – Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé
ëèöåé;
ïî 10 êëàññàì –
Êàðåëèíà Ëþáîâü – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9 ,
ïî 11 êëàññàì –
Êîðîëüêîâ Àíäðåé – Õèìêè, ëèöåé 11,
48-57.p65
55
30.09.09, 16:44
#$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
Ãðèãîðüåâûõ Äàíèë – Èæåâñê, Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé
ëèöåé 29,
Àëþøèí Àëåêñåé – Ìîñêâà, ÑÓÍà ÌÃÓ,
Òîëìà÷åâ Ëå⠖ Ìîñêâà, øêîëà 192,
Êóäðÿøîâà Íèíà – Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ,
Ñîáîëåâ Àíòîí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ»,
Çåìëÿíîâ Âëàäèñëà⠖ Óðàé, ãèìíàçèÿ.
Äèïëîì ïðèçåðà
ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè
Øóðàíîâ Äìèòðèé – Óôà, ãèìíàçèÿ 3 èì. À.Ì.Ãîðüêîãî,
×óðèëîâ Àíòîí – Åôðåìîâ, Åôðåìîâñêèé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ëèöåé,
Çàíî÷êèí Àíäðåé – Ñàðîâ, ëèöåé 15,
Àêèíüùèêîâ Àëåêñåé – Âåëèêèé Íîâãîðîä, øêîëà 23,
Íèêèòåíêîâ Ïàâåë – Ñìîëåíñê, ãèìíàçèÿ èì. Í.Ì.Ïðæåâàëüñêîãî,
Áóáèñ Àíòîí – Òàòàðñòàí, ÔÌË 131,
Øåëü Åãîð – Òþìåíü, øêîëà 29,
Ãîëîâåøêèí Àëåêñàíäð – Ìîñêâà, ëèöåé 1303,
Ïðîêîôüåâ Âàäèì – Ðÿçàíü, øêîëà 3,
Äåõòÿðåíêî ßðîñëà⠖ Áðÿíñê, øêîëà 41,
Ëó÷íèêîâ Èëüÿ – Êèðîâ, øêîëà 21,
Ãàìîâ Àðòåìèé – Ñàðîâ, ëèöåé 15,
Áîãäàíîâ Ñâÿòîñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,
Øóìàêîâ Àíòîí – Îìñê, ãèìíàçèÿ 117,
Öûáðîâ Ôåäîð – Ðåñïóáëèêà Êîìè, ãèìíàçèÿ,
Èîíîâ Àíäðåé – Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Ïÿòüäåñÿò
ñåäüìàÿ øêîëà»;
ïî 10 êëàññàì –
Íèêîëàåâ Åãîð – Ðåñïóáëèêà Ìàðèé Ýë, Ïîëèòåõíè÷åñêèé
ëèöåé-èíòåðíàò,
Àëåêñååâ Àëåêñåé – Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî
êðàÿ,
Ñòðîéíîâ Åâãåíèé – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Áàéíåâ Âèòàëèé – Ñàðàíñê, ëèöåé 43,
Êà÷àëîâ Âÿ÷åñëà⠖ Ìîñêâà, øêîëà-èíòåðíàò «Èíòåëëåêòóàë»,
Êîíîâàëîâ Àëåêñàíäð – Äîëãîïðóäíûé, ëèöåé 5 «Ôèçìàò»,
Ëàâðîâ Ïåòð – Ïåðìü, øêîëà 146,
Àíàñêèí Âèêòîð – Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ,
Êàçååâ Íèêèòà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ»,
Äàâûäîâ Èâàí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ»,
Ñòàðè÷êîâ Íèêèòà – Êàëóãà, øêîëà 46,
Àðòàìîíîâ Äìèòðèé – Ñàðîâ, ëèöåé 15,
Ñàäêîâ Âèêòîð – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1,
Ñâåòîãîðîâ Àëåêñàíäð – Êàëóãà, ãèìíàçèÿ,
Ðàçóìîâ Äìèòðèé – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 40,
Êîñòèí Ïåòð – Áåëãîðîä, ëèöåé 38,
Îôåíãåéì Äìèòðèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ»,
Êóðî÷êèí Íèêèòà – ×åáîêñàðû, ëèöåé 3,
Ïîïîâ Ôåäîð – Ïåðìü, øêîëà 146,
Êèì Àëåêñàíäð – Ðåñïóáëèêà Ñàõà (ßêóòèÿ), Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé,
Ðûêîâ Àíäðåé – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127,
Øóñòèêîâà Àííà – Çàðå÷íûé, ëèöåé 230,
Ìàðãàðèòîâ Àðòåìèé – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà,
Áåáåõ Èëüÿ – Ðåñïóáëèêà Êîìè, Ðåñïóáëèêàíñêèé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ëèöåé-èíòåðíàò,
Ïåðåâîùèêîâ Äåíèñ – Êèðîâ, øêîëà 21,
Òîìàñ Ïàâåë – Íîâîñèáèðñê, ëèöåé 130 èì. Ì.À.Ëàâðåíòüåâà,
Áåëÿí÷èêîâ Ìèõàèë – Ìåæäóðå÷åíñê, ãèìíàçèÿ 20,
Ñìèðíîâ Íèêîëàé – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 3,
Êîìåíäàòÿí Àíäðåé – Ñàìàðà, ÔÌØ;
ïî 11 êëàññàì –
Êðàâ÷óê Ïåòð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ»,
Óñìàíîâà Äèíàðà – Ìèàññ, ëèöåé 6,
Ñâåòêèí Ìèõàèë – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Êîñòàðåâ Èëüÿ – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533,
Öûìáàëîâ Èâàí – Òâåðü, ëèöåé 35 ÎÀÎ «ÐÆÄ»,
Ôàäååâ Àëåêñåé – Íîâî÷åáîêñàðñê, ëèöåé 18,
Ñòàðêîâ Ãðèãîðèé – Íîÿáðüñê, øêîëà 7,
Îáèäèíà ßíà – Îðåíáóðã, ãèìíàçèÿ 3,
Êàçååâ Àëåêñàíäð – Ïåòðîïàâëîâñê-Êàì÷àòñêèé, øêîëà 33,
Áåðñåíåâ Íèêèòà – Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ 1925,
Òðåãóáîâ Äìèòðèé – Êèðîâ, ÔÌË,
Ñàôîøêèí Àëåêñåé – Ðÿçàíü, ãèìíàçèÿ 2 èì. È.Ï.Ïàâëîâà,
Áû÷èí Àíäðåé – Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ,
Ìèõàéëîâà Àíàñòàñèÿ – Îðåíáóðã, ãèìíàçèÿ 3,
Âëàñþê Àëåêñàíäð – Íîâîñèáèðñê, ÑÓÍÖ ÍÃÓ,
Ëåâäèê Ïàâåë – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 39,
Ëèáåðçîí Äàíèèë – Êèðîâ, ÔÌË,
Äîðîøåíêî Àíäðåé – Îìñê, ëèöåé 92,
Äóáîâ Àëåêñàíäð – Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé,
Êèÿí Ñåðãåé – Òàìáîâ, ëèöåé 14,
Êóçíåöîâ Èâàí – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ,
Ëèñèöêèé Äìèòðèé – Áåëîðåöê, Êîìïüþòåðíàÿ øêîëà,
Ìàòðîñîâ Ìèõàèë – Íîâîâîðîíåæ, øêîëà 2.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Êîçåë, Â.Ñëîáîäÿíèí
ÏÐÎÃÓËÊÈ Ñ ÔÈÇÈÊÎÉ
 ãîðàõ òåëà âåñÿò áîëüøå èëè ìåíüøå?
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
... Â ãîðàõ ïëîòíîñòü âîçäóõà, à âìåñòå ñ íåé è ñèëà
Àðõèìåäà, ìîæåò çíà÷èòåëüíî óìåíüøàòüñÿ. Äîâîëüíî
ïðîñòûå ðàñ÷åòû (âûïîëíèòå èõ ñàìè) ïîêàçûâàþò, ÷òî
âåñ òåë ïëîòíîñòüþ, íàïðèìåð, 1/3 ïëîòíîñòè âîäû íå
48-57.p65
56
ïàäàåò, à ðàñòåò ñ ïîäúåìîì íà âûñîòó. Òàê, âåñ ïåíîïëàñòà, ïëîòíîñòü êîòîðîãî îêîëî 50 êã/ì3, óâåëè÷èâàåòñÿ,
êîãäà âû ïîäíèìàåòåñü â ãîðû. Êîíå÷íî, äëÿ êèðïè÷à,
ãèðè è ÷åëîâåêà âûâîä, ñäåëàííûé â áîëüøèíñòâå ó÷åáíèêîâ, îñòàåòñÿ âåðíûì.
Ê.Áîãäàíîâ
30.09.09, 16:44
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ìîñêîâñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ
îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2009 ãîäà
24 ìàÿ â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý. Áàóìàíà ïðîøëà î÷åðåäíàÿ Ìîñêîâñêàÿ ãîðîäñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå ñðåäè ñòóäåíòîâ
òåõíè÷åñêèõ âóçîâ.  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 75 ñòóäåíòîâ èç 8 âóçîâ Ìîñêâû.
Ïî ðåçóëüòàòàì êîìàíäíîãî çà÷åòà ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà
êîìàíäà ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 155 áàëëîâ, âòîðîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
èíñòèòóòà ñòàëè è ñïëàâîâ (ÌÈÑèÑ) (129 áàëëîâ), òðåòüå
ìåñòî – êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíñòèòóòà
ýëåêòðîííîé òåõíèêè (80 áàëëîâ).
 ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë È.Èâàíîâ èç ÌÃÒÓ
èì. Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøèé 50 áàëëîâ, âòîðîå ìåñòî çàâîåâàë À.Âÿòñêèõ (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 46 áàëëîâ), òðåòüå
ìåñòî – Ï.Êàðïîâ (ÌÈÑèÑ, 31 áàëë).
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
1. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíûé ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè
àâòîìîáèëÿ ìàññîé m ïðè ìàêñèìàëüíî áûñòðîì ïîâîðîòå åãî
íà 90 ãðàäóñîâ, åñëè ñêîðîñòü äî è ïîñëå ïîâîðîòà ðàâíà v.
Ïîâîðîò ïðîèñõîäèò íà ïðåäåëå ñöåïëÿåìîñòè êîëåñ ñ äîðîãîé, ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ ðàâíà F.
2. Äîñêà ìàññîé m ñâîèìè êîíöàìè îïèðàåòñÿ íà öèëèíäð
ðàäèóñîì R è íà êàòóøêó ïî âíóòðåííåìó ðàäèóñó r1 ,
êîòîðûå ëåæàò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òî îñè
èõ ãîðèçîíòàëüíû è ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. Îñè êàòóøêè
è öèëèíäðà ñâÿçàíû æåñòêèìè ïîâîäêàìè. Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé, öèëèíäðîì è êàòóøêîé ðàâåí 1,
ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó êàòóøêîé, öèëèíäðîì è ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ îòñóòñòâóåò. Êàêóþ ñèëó íåîáõîäèìî
ïðèëîæèòü ê äîñêå, ÷òîáû ñäâèíóòü åå ñ ìåñòà, åñëè âíåøíèé
ðàäèóñ êàòóøêè r2 è 2R = r1 + r2 ?
3. Ïëàíåòíàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ïëàíåò îäèíàêîâîé
ìàññû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè l, âðàùàþùèõñÿ îòíîñèòåëüíî èõ îáùåãî öåíòðà ìàññ. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êðóãîâîé
ñòàöèîíàðíîé îðáèòû êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà â ýòîé ñèñòåìå.
4. Òåïëîâàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ïî öèêëó Êàðíî, çàáèðàÿ
òåïëî îò íàãðåâàòåëÿ ñ òåìïåðàòóðîé T1 è îòäàâàÿ òåïëî
Ñîõðàíåíèå ïîëíîé ýíåðãèè ...
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 45)
Óïðàæíåíèÿ
1. Â âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì
íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå 200 Ê.
Íàä ïîðøíåì ñíà÷àëà óäåðæèâàþò ãðóç òàê, ÷òî îí åäâà êàñàåòñÿ
ïîâåðõíîñòè ïîðøíÿ, à çàòåì îòïóñêàþò. Êàêîé ñòàíåò òåìïåðàòóðà (â êåëüâèíàõ) ãàçà ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ? Ìàññà
ãðóçà ðàâíà ïîëîâèíå ìàññû ïîðøíÿ. Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì
ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
2. Â âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì
íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ. Íà ïîðøíå ëåæèò ãðóç ñ
ìàññîé, ðàâíîé ìàññå ïîðøíÿ. Ãðóç ìãíîâåííî óáèðàþò è äîæèäàþòñÿ ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ âûñîòà, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïîðøåíü? Íàä ïîðøíåì
ãàçà íåò. Ñ÷èòàòü, ÷òî çà âðåìÿ äâèæåíèÿ ïîðøíÿ ãàç íå óñïåâàåò
îáìåíÿòüñÿ òåïëîì ñ ïîðøíåì è öèëèíäðîì.
3. Â âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì
48-57.p65
57
#%
õîëîäèëüíèêó ñ òåìïåðàòóðîé T2 . Îïðåäåëèòå ðàáîòó, ïîëó÷àåìóþ â êàæäîì öèêëå, åñëè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè â
êàæäîì öèêëå ïðè òåïëîîáìåíå ∆S , à ÊÏÄ ìàøèíû η .
5. Îïðåäåëèòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå, íàõîäÿùåéñÿ íà îñè Z c êîîðäèíàòîé z = à, åñëè ÷àñòü
ïëîñêîñòè XY ìåæäó âåòâÿìè ãèïåðáîëû x2 − y2 = a2 çàðÿæåíà ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà σ .
6. Îïðåäåëèòå ïîòîê âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
÷åðåç áîêîâûå ïîâåðõíîñòè äâóõ îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ êîíòóðîâ ñ òîêîì I , íàìîòàííûõ â âèäå îäíîñëîéíîé ñïèðàëè ñ
âíóòðåííèì äèàìåòðîì R, âíåøíèì äèàìåòðîì 2R è áîëüøèì ÷èñëîì âèòêîâ N. Êîíòóðû ñîîñíû, ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè δ R , à òîêè â íèõ òåêóò â ïðîòèâîïîëîæíûõ
íàïðàâëåíèÿõ.
7. Òîíêîñòåííûé äëèííûé öèëèíäð òîëùèíîé d, ðàäèóñîì
R è äëèíîé L âûïîëíåí èç ìàòåðèàëà ñ ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ
σ è êîíöåíòðàöèåé ýëåêòðîíîâ n è âðàùàåòñÿ âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω â ìàãíèòíîì ïîëå.
Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âñåõ òî÷êàõ ïåðïåíäèêóëÿðíà
ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà è ðàâíà Â. Ê êîíöàì öèëèíäðà
ïîñðåäñòâîì ñêîëüçÿùèõ êîíòàêòîâ ïðèëîæåíà ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëîâ U. Îïðåäåëèòå òîê âäîëü îñè öèëèíäðà.
8. Òîíêîñòåííûé äëèííûé ïðîâîäÿùèé öèëèíäð òîëùèíîé δ , ðàäèóñîì R è äëèíîé L íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì
ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ Å, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè. Öèëèíäð âðàùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñîáñòâåííîé
îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Îïðåäåëèòå ìîìåíò ñèë, ïðèêëàäûâàåìûõ ê öèëèíäðó äëÿ ïîääåðæàíèÿ âðàùåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ, åñëè êîýôôèöèåíò ýëåêòðîïðîâîäèìîñòè ïðîâîäíèêà γ .
9. Â âàøåì ðàñïîðÿæåíèè îñòàëàñü òîëüêî ïåðèôåðèéíàÿ
÷àñòü çîííîé ïëàñòèíêè, ïðî êîòîðóþ âàì áîëüøå íè÷åãî íå
èçâåñòíî. Åñëè îñâåòèòü ïëàñòèíêó ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì
ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ , òî ïó÷îê îòêëîíèòñÿ íà óãîë α è
ñôîêóñèðóåòñÿ â òî÷êå íà ðàññòîÿíèè l îò ïëàñòèíêè. ×òî
ïðîèçîéäåò, åñëè îñâåòèòü ïëàñòèíêó ïó÷êîì ñâåòà ñ äëèíîé
âîëíû Λ ?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Ãîëóáåâ, Ì.ßêîâëåâ
íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå 200 Ê.
Íàä ïîðøíåì ñíà÷àëà óäåðæèâàþò ãðóç òàê, ÷òî îí åäâà êàñàåòñÿ
ïîâåðõíîñòè ïîðøíÿ, à çàòåì îòïóñêàþò. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ãðóç ìãíîâåííî óäàëÿþò ñ ïîðøíÿ. Íàéäèòå òåìïåðàòóðó ãàçà ïîñëå òîãî, êàê ñèñòåìà ñíîâà ïðèäåò â ðàâíîâåñèå.
Ìàññà ãðóçà ðàâíà ìàññå ïîðøíÿ. Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
4. Â âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì
íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå 300 Ê.
Òåìïåðàòóðó áûñòðî (òàê, ÷òî ïîðøåíü íå óñïåâàåò ñäâèíóòüñÿ ñ
ìåñòà) ïîâûøàþò äî 350 Ê. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ
âûñîòà ïîðøíÿ íàä äíîì öèëèíäðà ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû ê
ðàâíîâåñèþ? Íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
5. Â òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä íåâåñîìûì ïîðøíåì
íàõîäèòñÿ èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç. Âíà÷àëå ïîðøåíü çàêðåïëåí è ñîåäèíåí ñ äíîì öèëèíäðà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé.
Ïîñëå òîãî, êàê ïîðøåíü îñâîáîäèëè è ñèñòåìà ïðèøëà â ðàâíîâåñèå, îáúåì ãàçà óâåëè÷èëñÿ â 4 ðàçà. Âî ñêîëüêî ðàç ïðè ýòîì
óìåíüøèëîñü åãî äàâëåíèå? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü,
íàä ïîðøíåì ãàçà íåò.
30.09.09, 16:44
#&
2 0È
0 9ß
/¹
Î Ò Â Å Ò Û , Ó ÊÊÂÀÀ ÍÇ TÀ Í
,5 Ð Å Ø Å Í È ß
ÊÌØ
ÇÀÄÀ×È
(ñì. «Êâàíò» ¹ 4)
1. 2054 = 764 + 26 + 1264
Ïî óñëîâèþ Ä è Ó – ðàçíûå öèôðû. Íàèìåíüøåå âîçìîæíîå
çíà÷åíèå Ä = 2 ïðè Ó = 1. Ïîïðîáóåì ñ÷èòàòü E = 0. Ïîëó÷èì
+
+
ÌÀË
2À
12ÀË
20ÖË
Èç ïîñëåäíåãî ñòîëáöà Ë + À = 10. Öèôðû 0, 1, 2 çàíÿòû.
Îñòàëèñü 4 ñëó÷àÿ: Ë = 3, À = 7, èëè Ë = 4, À = 6, èëè Ë =
= 7, À = 3, èëè Ë = 6, À = 4. Ïåðåáèðàÿ èõ, íàõîäèì îòâåò.
2. Áàðîí íå õâàñòàåò.
Ïðèâåäåì ïðèìåð äëÿ N = 19 (ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòî íàèìåíüøåå âîçìîæíîå N):
9|18|7|16|5|14|3|12|1|10|11|2|13|4|15|6|17|8|19.
3. Äà.
Íàçîâåì ñòîèìîñòüþ ÷àÿ â ïðÿíèêàõ êîëè÷åñòâî ïðÿíèêîâ
(âîçìîæíî, íåöåëîå), êîòîðîå ìîæíî êóïèòü çà òå æå äåíüãè,
÷òî è ÷àé. Ïðè ïîäîðîæàíèè ñòîèìîñòü ÷àÿ â ïðÿíèêàõ îñòàíåòñÿ ïðåæíåé. Çàìåíèì ìûñëåííî ÷àé ïðÿíèêàìè. Òàê êàê
öåíû îáà ðàçà ïîâûøàëèñü íà îäíî è òî æå ÷èñëî ïðîöåíòîâ,
êàæäûé ðàç êîëè÷åñòâî ïðÿíèêîâ, êîòîðûå ìîæíî êóïèòü íà
1 ðóáëü, óìåíüøàëîñü â îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç. Ïîñêîëüêó
ïîñëå ïåðâîãî ïîäîðîæàíèÿ ýòî êîëè÷åñòâî óìåíüøèëîñü íå
áîëüøå, ÷åì íà îäèí ïðÿíèê, ïîñëå âòîðîãî ïîäîðîæàíèÿ îíî
òàêæå óìåíüøèòñÿ íå áîëüøå, ÷åì íà îäèí ïðÿíèê. Çíà÷èò,
ðóáëÿ íà ÷àé õâàòèò.
4. Îáîçíà÷èì ëàäüè öèôðàìè 1, 2, 3, 4 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå,
ãäå 1 – ëàäüÿ â ëåâîì íèæíåì óãëó. Õîäû âëåâî, âïðàâî,
ââåðõ, âíèç áóäåì îáîçíà÷àòü Ë, Ï, Â, Í ñîîòâåòñòâåííî. Ñåðèþ õîäîâ îäíîé ëàäüåé áóäåì îáîçíà÷àòü öèôðîé è ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ áóêâ. Âîò âàðèàíò õîäîâ, ñîáèðàþùèé ëàäüè â
öåíòðå:
3Ë, 4ÂË, 1ÏÂË, 2ÍÏÂËÍ, 3ÍÏÂ, 4ÍÏÂ, 1ËÍÏÂ, 3ËÍÏ,
2Â, 4ÏÍËÂ, 2ÏÍËÂ, 4ÏÍËÂ, 2ÏÍËÂ, 3Â.
5. 60°.
Åñëè ïîäâåñèòü òåëî çà îäíó òî÷êó, òî îíî îáÿçàòåëüíî ïîâåðíåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû öåíòð
òÿæåñòè (òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ñèëû
òÿæåñòè) ëåæàë íà âåðòèêàëè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà.
Äâà ïåðâûõ ïîäâåøèâàíèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè ïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè – òî÷êó Î (ðèñ. 1). Ïðè
ïîäâåøèâàíèè çà òî÷êó C âåðòèêàëü ñíîâà ïðîéäåò ÷åðåç òî÷êó
Ðèñ. 1
O. Óãîë ìåæäó íåé è ñòîðîíîé
AB áóäåò ðàâåí 60°. (Òðåóãîëüíèê AOB ïðÿìîóãîëüíûé, ïîýòîìó CO = CB è òðåóãîëüíèê BCO ðàâíîáåäðåííûé, íî îäèí
èç åãî óãëîâ ðàâåí 60° – çíà÷èò, ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.)
õîðäå äèñêà, áóäåò îäíèì
è òåì æå.
3. Íóæíî ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùóþ
÷åðåç äàííóþ òî÷êó À è
êàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòè ñ
çàäàííûì óãëîì íàêëîíà
α â íåêîòîðîé òî÷êå A′ , Ðèñ. 2
à öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè
äîëæåí ëåæàòü íà âåðòèêàëè
ïîä òî÷êîé À (ðèñ.3). Òîãäà
äâèæåíèå ïî æåëîáó, ðàñïîëîæåííîìó ïî ïðÿìîé AA′
ïîä óãëîì α 2 ê âåðòèêàëè,
áóäåò ïðîèñõîäèòü çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ (ñì. ðåøåíèå
çàäà÷è 2).
4. Ïîðøåíü áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè, òàê êàê
ïðîåêöèè ñèë äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà îñü òðóáêè ñëåâà è
ñïðàâà ðàâíû.
Ðèñ. 3
5. Äàâëåíèå æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ãëóáèíîé, îòñ÷èòûâàåìîé ïî âåðòèêàëè, èñõîäÿ èç
÷åãî â ïåðâîé ìåíçóðêå äàâëåíèå âîäû íà äíî áóäåò â äâà
ðàçà áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé.
6. Êèðïè÷è íà÷íóò ñêîëüçèòü îäíîâðåìåííî, òàê êàê äåéñòâóþùèå íà íèõ ñèëû òðåíèÿ ðàâíû – îíè íå çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ òðóùèõñÿ ïîâåðõíîñòåé.
7. Äî îïðåäåëåííîãî óãëà α 0 (ðàñ÷åò äàåò çíà÷åíèå
tg α 0 = µ , ãäå µ – êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ) ðàñòåò
ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ, óäåðæèâàþùàÿ áðóñîê íà ïëîñêîñòè, ïðè
äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè óãëà íà áðóñîê äåéñòâóåò ñèëà òðåíèÿ
ñêîëüæåíèÿ,
óáûâàþùàÿ äî íóëÿ ïðè äîñòèæåíèè 90°.
8. R = −mg, Fòð = mg sin α .
9. Íà÷àâ ñâîáîäíî ïàäàòü, òåëî çà íåêîòîðîå âðåìÿ ñìåñòèòñÿ
ïî âåðòèêàëè íà âûñîòó
h, ïðîïîðöèîíàëüíóþ
óñêîðåíèþ g (ðèñ. 4).
Çà òî æå âðåìÿ êëèí
äîëæåí ñìåñòèòüñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè íå ìåíåå ÷åì íà ïåðåìåùåíèå s, ïðîïîðöè- Ðèñ. 4
îíàëüíîå óñêîðåíèþ à (ñì. çàøòðèõîâàííûé òðåóãîëüíèê íà
ðèñóíêå). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî s h = ctg α , ïîëó÷àåì a = g ctg α .
10. Êàê òîëüêî ìîíåòà ïîëó÷èò óêàçàííóþ ñêîðîñòü, ñèëà òðåíèÿ îêàæåòñÿ íàïðàâëåííîé ïðîòèâîïîëîæíî åé. Òàê êàê ýòà
ñèëà ãîðèçîíòàëüíà, òî îíà íå ñìîæåò ïðåïÿòñòâîâàòü äâèæåíèþ ìîíåòû âíèç ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Â ðåçóëüòàòå ìîíåòà ñòàíåò äâèãàòüñÿ ïî êðèâîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 5.
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ñì. ðèñ.2.
2. Ïîñêîëüêó óñêîðåíèå ãðóçèêà ïðîïîðöèîíàëüíî äëèíå æåëîáà, âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî ëþáîìó æåëîáó, ïðîðåçàííîìó ïî
58-64.p65
58
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
11. Fx = mg sin α , Fy ≤ mg cos α (ñì. ðèñ. 6).
12. Ïîñêîëüêó ìàÿòíèê íàõîäèòñÿ íà òåëåæêå, ñêàòûâàþùåéñÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óñêîðåíèåì a = g sin α , åãî ïîëî-
30.09.09, 16:46
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
æåíèå ðàâíîâåñèÿ áóäåò
òàêèì, ïðè êîòîðîì ìàÿòíèê äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ñ òåì
æå óñêîðåíèåì, ÷òî è
òåëåæêà. Íà ðèñóíêå 7
âèäíî, ÷òî ýòî âîçìîæíî, ëèøü êîãäà íèòü
ìàÿòíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíà íàêëîííîé ïëîñêîñòè.
Ðèñ. 7
13. tg α > 0,75 .
14. Äëÿ òàêèõ âèíòîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 2πr h , ãäå
r è h – ðàäèóñ è øàã âèíòà ñîîòâåòñòâåííî.
15. Îäèíàêîâî, åñëè íå ó÷èòûâàòü ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà;
âòîðîé âàãîí, åñëè ñîïðîòèâëåíèå ó÷èòûâàòü.
16. Ïðè äâèæåíèè â ãîðó íåîáõîäèìî óâåëè÷èòü ñèëó òÿãè, à
ïðè ïîñòîÿííîé ìîùíîñòè äâèãàòåëÿ ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè
óìåíüøåíèè ñêîðîñòè àâòîìîáèëÿ.
17. Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííîãî â çàäà÷å óñëîâèÿ ñêîðîñòü
öèëèíäðà ó îñíîâàíèÿ ïëîñêîñòè â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, òàê
êàê âî âòîðîì ñëó÷àå ÷àñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè öèëèíäðà
áóäåò ïðåîáðàçîâàíà â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âðàùåíèÿ.
18. Âåðõíåå áðåâíî (2) îñòàíåòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðè α < 30° .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ñèëû òÿæåñòè ýòîãî áðåâíà
ïðîéäåò ëåâåå òî÷êè îïîðû î íèæíåå áðåâíî (1), è âåðõíåå
áðåâíî ñêàòèòñÿ íà áîðò.
Ìèêðîîïûò
Íàäî ðàçìåñòèòü öèëèíäð íà
íàêëîííîé ïëîñêîñòè òàê,
êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 8,
òîãäà îí áóäåò âåñòè ñåáÿ
ïîäîáíî èãðóøêå «Âàíüêàâñòàíüêà», êîãäà ìîìåíò
Ðèñ. 8
ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî
òî÷êè îïîðû çàñòàâëÿåò ôèãóðêó ðàçâîðà÷èâàòüñÿ, âçáèðàÿñü
ââåðõ. Íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ïðè áîëüøèõ óãëàõ íàêëîíà
ïëîñêîñòè öèëèíäð ìîæåò íà÷àòü ïðîñêàëüçûâàòü ïî íåé.
ÇÀÃÀÄÊÈ ÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÑÒÐÅËÊÈ
Çàäà÷è 1. Êîíöîì îäíîé èç ïîëîñîê íàäî ïðèêîñíóòüñÿ ê
ðàçíûì ìåñòàì âòîðîé ïîëîñêè. Åñëè ïåðâàÿ ïîëîñêà – ìàãíèò, îíà áóäåò ïðèòÿãèâàòü âòîðóþ â ëþáîì ìåñòå. Åñëè æå
ïåðâàÿ ïîëîñêà íåìàãíèòíàÿ, îíà áóäåò ñ íàèáîëüøåé ñèëîé
ïðèòÿãèâàòüñÿ ê êîíöàì âòîðîé ïîëîñêè, ñ ìåíüøåé ñèëîé –
áëèæå ê åå öåíòðó è ñîâñåì íå áóäåò ïðèòÿãèâàòüñÿ òî÷íî â
öåíòðå (ãäå ñåâåðíûé è þæíûé ïîëþñà ìàãíèòà êàê áû óíè÷òîæàþò äðóã äðóãà).
Çàäà÷è 2. Åñëè åñòü êîìïàñ, òî ìàãíèòíóþ ïîëîñêó, êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ ìàãíèòîì, íóæíî ïîäíåñòè ê êîìïàñó è ïîñìîòðåòü,
êàê îíà áóäåò äåéñòâîâàòü íà ñòðåëêó. Òîò êîíåö ïîëîñêè, êîòîðûé ïðèòÿíóë ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà, íàäî ïîêðàñèòü â êðàñíûé öâåò, à äðóãîé êîíåö ïîëîñêè (îí ïðèòÿãèâàåò
êðàñíûé êîíåö ñòðåëêè) – â ñèíèé. Åñëè êîìïàñà íåò, òî ïîäâåñüòå ìàãíèò íà íèòêå òî÷íî â öåíòðå (èëè ïîëîæèòå íà ïëàâàþùèé â âîäå ïðåäìåò) è ïîñìîòðèòå, êàê îí áóäåò îðèåíòèðîâàòüñÿ ïî ñòîðîíàì ñâåòà. Òîò êîíåö áðóñêà, êîòîðûé ñìîòðèò íà ñåâåð, íàäî ïîêðàñèòü â ñèíèé öâåò.
ÑÎÕÐÀÍÅÍÈÅ ÏÎËÍÎÉ ÝÍÅÐÃÈÈ
 ÇÀÄÀ×ÀÕ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
1. T = 240 Ê .
4. δ = 10% .
58-64.p65
2. δ = 60% .
5. k = 5.
59
3. T = 224 Ê .
ÐÅØÅÍÈß
#'
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
ÈÌÅÍÈ ËÅÎÍÀÐÄÀ ÝÉËÅÐÀ
1. 26 êì/÷.
Îáîçíà÷èì ìåñòî îáèòàíèÿ ïëåìåíè Ìóìáî-Þìáî ÷åðåç O,
õðàíèëèùå, ê êîòîðîìó ïîáåæàë Ìóìáî, ÷åðåç M, à õðàíèëèùå, ê êîòîðîìó ïîøåë Þìáî, ÷åðåç U. Î÷åâèäíî, ÷òî M íàõîäèòñÿ âûøå ïî òå÷åíèþ, ÷åì O, à U íèæå. Ïóñòü ðàññòîÿíèÿ îò O äî M è U ðàâíû x è y êì ñîîòâåòñòâåííî (x < y),
ñêîðîñòü ðåêè ðàâíà v êì/÷. Íà ïóòü îò O äî U Þìáî çàòðàòèë y/6 ÷àñîâ, à Ìóìáî x/11 + (x + y)/v ÷àñîâ. ßñíî, ÷òî
â ñîñåäíåå ïëåìÿ Þìáî ïðèïëûâàåò ðàíüøå Ìóìáî òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà y/6 < x/11 + (x + y)/v. Òàê êàê
x < y, èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî y/6 < y/11 +
+ (y + y)/v. Ñîêðàòèâ íà y è ïðåîáðàçîâàâ, ïîëó÷àåì
v < 26,4 êì/÷. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî ñêîðîñòü ðåêè ìîãëà ðàâíÿòüñÿ 26 êì/÷. Äëÿ ýòîãî â íåðàâåíñòâå y/6 < < x/11 + (x + y)/v ïîëîæèì v = 26 êì/÷ è ðàâíîñèëüíî
ïðåîáðàçóåì åãî ê âèäó y/x < 111/110. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî (íàïðèìåð, ïðè y = 1,12 êì, x = 1,11 êì), ÷òî è çàâåðøàåò ðåøåíèå.
2. Äà.
n +1− a n +1
Êàæäàÿ èç äàííûõ äðîáåé èìååò âèä
=
− 1 , ãäå
a
a
1 ≤ a ≤ n . Ñòàëî áûòü, íàì òðåáóåòñÿ íàéòè òàêèå ðàçëè÷íûå
íàòóðàëüíûå ÷èñëà a, b, c è d, íå áîëüøèå 2009, äëÿ êîòîðûõ
n +1
 n +1
 n +1
 n +1

− 1 + 
− 1 = 
− 1 + 
− 1 . Óáðàâ ìèíóñ

 a
  b
  c
  d

åäèíèöû è ïîäåëèâ çàòåì íà n + 1, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå ðà1 1 1 1
+ = + . Îñòàëîñü ïîäîáðàòü óäîâëåòâîðÿþùèå
âåíñòâî
a b c d
åìó äðîáè. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, âçÿâ ëþáîå ðàâåíñòâî äâóõ
ñóìì ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ, ÍÎÊ êîòîðûõ íå
áîëüøå 2009, è ïîäåëèâ åãî íà ýòîò ÍÎÊ. Íàïðèìåð, ðàâåí1 1 1 1
+ = + .
ñòâî 1 + 4 = 2 + 3, ïîäåëåííîå íà 12, äàåò
12 3 6 4
5. Íåò.
Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå (ÍÎÊ) íåñêîëüêèõ ÷èñåë äåëèòñÿ
íà êàæäîå èç íèõ è, ñëåäîâàòåëüíî, íà êàæäûé èõ äåëèòåëü.
Çíà÷èò, åñëè ñðåäè ÷èñåë, îò êîòîðûõ íàõîäÿò ÍÎÊ, åñòü
÷åòíîå, òî ÍÎÊ òîæå áóäåò ÷åòíûì. Ðàçíîñòü äâóõ ÷åòíûõ
÷èñåë – ÷èñëî ÷åòíîå, à 2009 – íå÷åòíîå. Çíà÷èò, åñëè òàêèå øåñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóþò,
òî âñå ÷åòíûå ÷èñëà ñðåäè íèõ äîëæíû áûòü â îäíîì ÍÎÊå.
Ñðåäè øåñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òðè ÷åòíûõ è òðè íå÷åòíûõ, çíà÷èò, îäèí ÍÎÊ áóäåò íàõîäèòñÿ îò
òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷åòíûõ ÷èñåë, à äðóãîé – îò òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë. Íî ñðåäè òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ êàê ÷åòíûõ, òàê è íå÷åòíûõ ÷èñåë åñòü êðàòíîå òðåì.
Ñëåäîâàòåëüíî, îáà ÍÎÊà êðàòíû òðåì, è èõ ðàçíîñòü äåëèòñÿ íà 3. Íî 2009 íà 3 íå äåëèòñÿ. Çíà÷èò, òàêèõ øåñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå ñóùåñòâóåò.
6. Îòëîæèì íà ñòîðîíå AB îòðåçîê BE = BC. Ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè EBK è KBC ðàâíû ïî äâóì ñòîðîíàì è
óãëó ìåæäó íèìè. Ïîýòîìó EK = KC, à ∠AEK = 180° −
− ∠BEK = 180° − ∠BKC = ∠CKD . Êðîìå òîãî, KD = BD –
BK = BA – BE = EA. Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè AEK è
DKC ðàâíû. Äàëåå, ïîñêîëüêó îáà òðåóãîëüíèêà BEK è BAD
– ðàâíîáåäðåííûå, ∠BEK = 90° − ∠EBD 2 = ∠BAD . Ïîýòîìó
AD E K, îòêóäà ∠KAD = ∠EKA = ∠KCD .
7. Ïåðâûé.
Íàçîâåì êó÷êè èç îäíîãî îðåõà åäèíèöàìè, à èç äâóõ – äâîéêàìè. Ïåðâûé èãðîê äîëæåí ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùèõ ïðàâèë: 1) åñëè íà äîñêå åñòü åäèíèöû – óáðàòü îäíó èç íèõ;
2) íå áðàòü èç äâîåê. Â îñòàëüíîì õîäû ïåðâîãî ìîãóò áûòü
ëþáûìè. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî îðåõîâ â íà÷àëå èãðû íå÷åòíî,
30.09.09, 16:47
$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
çíà÷èò, îíî íå÷åòíî è ïåðåä ëþáûì õîäîì ïåðâîãî. Ïîýòîìó
ïåðåä åãî õîäîì íà äîñêå âñåãäà áóäåò õîòÿ áû îäíà íå÷åòíàÿ
êó÷êà, ò.å. ïåðâûé âñåãäà ñìîæåò ñäåëàòü õîä, íå íàðóøàÿ
îïèñàííûõ ïðàâèë. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ïîñëå ïåðâîãî õîäà
ïåðâîãî èãðîêà íà äîñêå íåò åäèíèö. Ïîñëå õîäà âòîðîãî èãðîêà ìîæåò ïîÿâèòüñÿ íå áîëåå îäíîé íîâîé åäèíèöû, êîòîðóþ ïåðâûé çàáåðåò. Çíà÷èò, è ïîñëå ñëåäóþùèõ õîäîâ ïåðâîãî åäèíèö íà äîñêå íå áóäåò, à ïîñëå ëþáîãî õîäà âòîðîãî
íà äîñêå áóäåò íå áîëüøå îäíîé åäèíèöû.  ÷àñòíîñòè, òàê
áóäåò è â êîíöå èãðû, ò.å. ïåðâûé âûèãðàåò.
8. 3001.
Ïîñêîëüêó êàæäîå ÷èñëî ðÿäà, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, áîëüøå
ïðåäûäóùåãî õîòÿ áû íà åäèíèöó, 9 ⋅ 10001000 -å åãî ÷èñëî
áîëüøå 9 ⋅ 10001000 , ò.å. â íåì êàê ìèíèìóì 3001 öèôðà. Îáîçíà÷èì n-å ÷èñëî ðÿäà ÷åðåç an , è ïóñòü k – íàèìåíüøèé íîìåð òàêîé, ÷òî â ÷èñëå ak 3002 öèôðû. Åñëè ìû äîêàæåì,
÷òî k > 9 ⋅ 10001000 , òî ïîëó÷èì, ÷òî â 9 ⋅ 10001000 -ì ÷èñëå
ðÿäà íå áîëåå 3001 öèôðû, ò.å. â íåì ðîâíî 3001 öèôðà.
Ðàññìîòðèì ÷èñëà îò 0 äî 103001 − 1 , íå èìåþùèå åäèíèö â
äåñÿòè÷íîé çàïèñè. Äîïîëíèâ êàæäîå ñëåâà íóëÿìè äî 3001
çíàêà, ìû ïîëó÷èì âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû 3001 èç
öèôð, îòëè÷íûõ îò åäèíèöû. Òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
3001
÷èñåë,
93001 . Çíà÷èò, è ñðåäè ÷èñåë a1,… , ak −1 íå áîëåå 9
íå èìåþùèõ åäèíèöû â äåñÿòè÷íîé çàïèñè (òàê êàê âñå îíè
íå ïðåâîñõîäÿò 103001 − 1 ).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëà ak èç a1 . Íà
êàæäîì èç k – 1 øàãîâ ïðèáàâëÿåòñÿ ÷èñëî îò 1 äî 9, ïðè÷åì
êîëè÷åñòâî øàãîâ, íà êîòîðûõ ïðèáàâëÿåòñÿ íå åäèíèöà, íå
ïðåâîñõîäèò 93001 . Çíà÷èò,
(
)
103001 − 1 ≤ ak − a1 ≤ 9 ⋅ 93001 + 1 ⋅ k − 1 − 93001 = k − 1 + 8 ⋅ 93001 ,
3001
3001
îòêóäà k ≥ 10
. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî
−8⋅9
103001 − 8 ⋅ 93001 > 9 ⋅ 103000 . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü,
3002
< 103000 . Çàìåòèì, ÷òî 97 = 4782969 < 5 ⋅ 106 , îòêóäà
÷òî 9
56
54
928 < 54 ⋅ 1024 < 1027 , è 9 < 10 . Ïîýòîìó
93002 = 956 ⋅ 92946 < 1054 ⋅ 102946 = 10 3000 .
ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÒÀÏ XXXV ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
9 êëàññ
1. 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 .
a
b
è
. Òîãäà a âçàèìíî ïðîñòî
600
700
7a + 6b
ñ 6, à b – ñ 7. Ïîýòîìó ÷èñëèòåëü èõ ñóììû
âçàèìíî
4200
3
ïðîñò êàê ñ 6 = 2 ⋅ 3 , òàê è ñ 7. Ïîñêîëüêó 4200 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 52 ,
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çíàìåíàòåëü ïîñëå ñîêðàùåíèÿ áóäåò íå
ìåíüøå ÷åì 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168. Òàêîé çíàìåíàòåëü äåéñòâèòåëüíî
1
3
1
+
=
ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ; íàïðèìåð,
.
600 700 168
3. Çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ÷èñëàìè âèäà
a + i (i = 1, …, n) íå ïðåâîñõîäèò n – 1.
Ïóñòü êðàòíîå ÷èñëó n2 + i , ñîäåðæàùååñÿ ñðåäè íàøèõ ÷è-
Ïóñòü íàøè äðîáè – ýòî
(
)
(
)
2
ñåë, – ýòî ai n + i . ßñíî, ÷òî a1 > 1. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå
1 ≤ i ≤ n − 1 , ÷òî ai > ai +1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå a1 ≤ a2 ≤ …
(
)
… ≤ an , è an n2 + n − a1 n2 + 1 ≥ a1 ( n − 1) > n − 1 , ÷òî íåâîçìîæíî). Òîãäà
(
)
(
)
(
)
a ≥ ai n2 + i − n > n4 − n3 + n2 − 2n ≥ n4 − n3 , òàê êàê n ≥ 2 .
5. Çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ÷èñåë x è y
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
x2 − xy + y2 > xy .
íåðàâåíñòâó ( x − y )2 > 0, êîòîðîå âåðíî; åñëè æå |xy| = – xy,
òî ( * ) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x 2 + y2 > 0.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî abc ≠ 0 . Òîãäà, ðàçäåëèâ âòîðîå ðàâåíñòâî
íà ïåðâîå, ìû ïîëó÷àåì
(a
2
)(
− ab + b2 b2 − bc + c2
(
)
(
)
2
2
≥ ai n + i − (ai − 1) n + i + 1 = n + i + 1 − ai ,
2
2
ò.å. ai ≥ n − n + i + 2 > n − n . Òåïåðü, òàê êàê îäíî èç íàøèõ
(
) (
)(
)
÷èñåë åñòü ai n2 + i > n2 − n n2 + 1 = n4 − n3 + n2 − n , òî
58-64.p65
60
)(c
2
)
− ca + a2 = a2b2c2 = ab bc ac .
Îäíàêî âñå ñêîáêè ñëåâà è âñå ñîìíîæèòåëè ñïðàâà ïîëîæèòåëüíû; ïðè ýòîì êàæäûé ñîìíîæèòåëü ñëåâà íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîìíîæèòåëÿ ñïðàâà. Òîãäà ðàâåíñòâî ìîæåò
äîñòèãàòüñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà âñå ýòè òðè íåðàâåíñòâà îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà, ò.å. êîãäà a = b = c.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå ðàâåíñòâî èç óñëîâèÿ ïðèíèìàåò âèä 8a 3 = a 3 , ÷òî íåâîçìîæíî ïðè a ≠ 0 . Çíà÷èò, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, è
abc = 0.
8. Âñåãäà.
Åñëè ∆ABC = ∆A1B1C1 , òî ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ î÷åâèäåí. Â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî AB ≠ A1B1 (ïóñòü äëÿ
îïðåäåëåííîñòè AB < A1B1 ).
Ïîñòðîèì òðåóãîëüíèê A′B′C′ òàêîé, ÷òî AB A′B′ ,
A′B′ = A1B1 , B′C = B1C1 ,
CA′ = C1 A1 (ðèñ.9; ýòî ïîñòðîåíèå ëåãêî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî
∠BCB′ = ∠ABC + ∠A1B1C1 ).
Òîãäà ABB′A′ – òðàïåöèÿ.
Ïóñòü MN – åå ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ, à P – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé áîêîâûõ ñòîðîí. Ïîñòðîèì
íà îòðåçêå PC êàê íà
äèàìåòðå îêðóæíîñòü ω .
Òàê êàê AB < A1B1 = A′B′
è SABC = SA1B1C1 = SA′B′C′ ,
òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C
äî ïðÿìîé AB áîëüøå
ðàññòîÿíèÿ îò C äî ïðÿìîé A′B′ , ïîýòîìó òî÷êè
Ðèñ. 9
P è C ëåæàò ïî ðàçíûå
ñòîðîíû îò ïðÿìîé MN, ñëåäîâàòåëüíî, ω ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ MN. Ïóñòü K – îäíà èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ (íà ðèñóíêå
îíà ëåæèò íà îòðåçêå MN, íî íàøè ðàññóæäåíèÿ íà ýòî îïèðàòüñÿ íå áóäóò).
Ïðîâåäåì ïðÿìóþ PK äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìûìè AB è A′B′
AX A′Y
=
â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà
, ïîýòîìó
XB YB′
SXBC = SYB′C . Êðîìå òîãî, XK = KY, à óãîë PKC – ïðÿìîé
êàê îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð â îêðóæíîñòè ω . Çíà÷èò, CK –
ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó XY, è CX = CY.
Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà XC çà òî÷êó C âîçüìåì òî÷êó Z òàêóþ, ÷òî XC = CZ. Ïîñòðîèì òðåóãîëüíèêè A2CZ è B2CZ ,
n − 1 ≥ ai n2 + i − ai +1 n2 + i + 1 ≥
2
(* )
 ñàìîì äåëå, åñëè |xy| = xy, òî íåðàâåíñòâî ( * ) ðàâíîñèëüíî
Ðèñ. 10
30.09.09, 16:47
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
ðàâíûå òðåóãîëüíèêàì A′CY è B′CY ñîîòâåòñòâåííî
(ðèñ.10). Òîãäà ∆A2 B2C = ∆A′B′C = ∆A1B1C1 . Ïîêàæåì, ÷òî
AA2 BB2 , òîãäà ìîæíî ñäâèíóòü òðåóãîëüíèê A2 B2C âäîëü
ïðÿìîé AA2 , ïîëó÷èâ òðåáóåìûé. Òàê êàê CX = CZ,
SABC = SA2 B2C è SXBC = SZB2C , òî SXAC = SZA2C , ðàññòîÿíèÿ
îò òî÷åê A è A2 äî ïðÿìîé XZ ðàâíû, è ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê
B è B2 äî ïðÿìîé XZ òàêæå ðàâíû. Ñëåäîâàòåëüíî,
AA2 XZ BB2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
10 êëàññ
1. 1001, 1000, 500.
ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóþò òðåáóåìûå ìíîãî÷ëåíû ñ 1001 è 1000
íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè (íàïðèìåð, (2x + 2 )1000 −
1000
− ( x + 1)
è (2x + 1)
).
− ( x + 1)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íàøåì ìíîãî÷ëåíå åñòü äâà êîýôôèöèåíòà, ðàâíûõ íóëþ, – ïðè xi è x j (i > j). Òîãäà aib1000 − i =
1000
1000
= cid1000 −i , a jb1000 − j = c j d1000 − j ; ðàçäåëèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà
i
1000
j
ad
 ad 
d
 ad 
âòîðîå, ïîëó÷àåì 
=
 = 
 . Îòñþäà bc = 1 ,
bc
b
bc


 


d
a
=1 è
=1.
b
c
ßñíî, ÷òî ïðè çàìåíå ax + b íà (–a)x + (–b) íàø ìíîãî÷ëåí
a
= 1 . Òîãäà, åñëè
íå èçìåíèòñÿ. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
c
1000
1000
b
− (ax + b )
íóëå= 1 , òî èòîãîâûé ìíîãî÷ëåí (ax + b )
d
b
= –1, òî â ïîëó÷åííîì ìíîãî÷ëåíå
âîé, à åñëè
d
1000
(ax + b ) − (ax − b )1000 îáíóëÿþòñÿ â òî÷íîñòè êîýôôèöèåí-
òû ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ x, ò.å. ïîëó÷àåòñÿ 500 íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ.
4. k = 100400.
Îáîçíà÷èì ÷èñëà íà îêðóæíîñòè ÷åðåç a1,…, a2009 , è ïîëîæèì
an + 2009 = an = an − 2009 . Ïóñòü N = 100400.
Ïîëîæèì a2 = a4 = … = a2008 = 100 è a1 = a3 = … = a2009 = 0 .
Ïóñòü ìû ñóìåëè ñäåëàòü âñå ÷èñëà ðàâíûìè ïðè êàêîì-òî
çíà÷åíèè k. Ðàññìîòðèì ñóììó S = (a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + …
… + ( a2008 − a2009 ) . Ýòà ñóììà óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1 ïðè ïðèáàâëåíèè åäèíèöû ê ïàðå (a1, a2 ) , óìåíüøàåòñÿ íà 1 ïðè ïðèáàâëåíèè ê ïàðå (a2009, a1 ) è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè âñåõ îñòàëüíûõ
îïåðàöèÿõ. Ïîñêîëüêó èñõîäíîå çíà÷åíèå S ðàâíî
S0 = 100 ⋅ 1004 = N , à êîíå÷íîå äîëæíî áûòü íóëåì, òî ïàðà
(a2009, a1 ) óâåëè÷èâàëàñü õîòÿ áû N ðàç. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
k≥N.
Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ïðè k = N òðåáóåìîå âñåãäà âîçìîæíî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë ai . Óâåëè÷èì
êàæäóþ ïàðó (ai, ai +1 ) ðîâíî si = ai + 2 + ai + 4 + … + ai + 2008 ðàç.
Òîãäà ÷èñëî ai ïðåâðàòèòñÿ â
ai + si −1 + si = ai + (ai +1 + ai + 3 + … + ai + 2007 ) +
+ (ai + 2 + ai + 4 + … + ai + 2008 ) = a1 + … + a2009 ,
ò.å. âñå ÷èñëà ñòàíóò ðàâíûìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
si ≤ 1004 ⋅ 100 = N , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
5. k = 2010.
Îáîçíà÷èì íàøó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) . ßñíî, ÷òî
a1 < 1005 ⋅ 1006 ⋅ 97 ⋅ N = D ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì N.
Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî an ≤ D , íî an +1 > D (ïðè ýòîì
an ≠ D èç óñëîâèÿ). Íî íàèáîëüøèìè ÷èñëàìè, ìåíüøèìè D
è äåëÿùèìèñÿ íà 1005 è 1006, ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà D – 1005 è
D – 1006 ñîîòâåòñòâåííî; ïîýòîìó an ≤ D − 1005 . Àíàëîãè÷íî, an +1 ≥ D + 1005 ; îòñþäà an +1 − an ≥ ( D + 1005 ) − ( D −
− 1005 ) = 2010 . Çíà÷èò, è k ≥ 2010 .
Ïðè k = 2010 ïîäõîäèò, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ
÷èñåë, êðàòíûõ 1005, íî íå êðàòíûõ 97 (çàìåòèì, ÷òî 1005 íå
êðàòíî 97).
58-64.p65
61
$
ÐÅØÅÍÈß
7. Ïóñòü ωB êàñàåòñÿ
BA1 , IA1 è BC1 â òî÷êàõ KB , LB è MB ñîîòâåòñòâåííî, à ωC êàñàåòñÿ CA1 , IA1 è CB1
â òî÷êàõ KC , LC è MC
ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.11).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç OB è
OC öåíòðû îêðóæíîñòåé ωB è ωC ñîîòâåòñòâåííî, à ÷åðåç rB è rC
– èõ ðàäèóñû (ïóñòü äëÿ
îïðåäåëåííîñòè
Ðèñ. 11
rB > rC ). Òîãäà ÷åòûðåõóãîëüíèêè OB KB A1LB è OC KC A1LC – êâàäðàòû, ïîýòîìó
A1LB = rB , A1LC = rC è LB LC = rB − rC .
Åñëè âòîðàÿ îáùàÿ âíóòðåííÿÿ êàñàòåëüíàÿ l êàñàåòñÿ ωB è
ωC â òî÷êàõ NB è NC , òî NB NC = rB − rC , ïðè÷åì NC è
LB ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ëèíèè öåíòðîâ OBOC (çàìåòèì,
÷òî òî÷êà A ëåæèò ïî òó æå ñòîðîíó).
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî C1MB = rB , B1MC = rC . Îòëîæèì
íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà NB NC çà òî÷êó NC îòðåçîê
NC A′ = AMC = AB1 + B1MC . Òîãäà
NB A′ = AMC + NB NC = ( AB1 + rC ) + (rB − rC ) = AC1 + rB = AMB .
Èòàê, êàñàòåëüíûå èç òî÷åê A è A′ ê îêðóæíîñòè ωB ðàâíû,
è êàñàòåëüíûå èç íèõ ê ωC òàêæå ðàâíû.
Çàìåòèì, ÷òî ÃÌÒ, äëèíà êàñàòåëüíîé èç êîòîðûõ ê îêðóæíîñòè ωB ðàâíà AMB , åñòü îêðóæíîñòü Ω B ñ öåíòðîì OB è
ðàäèóñîì rB2 + AMB2 . Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè A è A′ ëåæàò
íà Ω B . Àíàëîãè÷íî, îíè ëåæàò íà îêðóæíîñòè ΩC ñ öåíòðîì
OC è ðàäèóñîì rC2 + AMC2 .
Èòàê, êàæäàÿ èç òî÷åê A è A′ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç äâóõ òî÷åê
ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé Ω B è ΩC , à ïîñêîëüêó A è A′ ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò OBOC , èìååì A′ = A . Çíà÷èò, A ëåæèò íà ïðÿìîé NB NC , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
11 êëàññ
1. Ðàññìîòðèì ñàìûé êîðîòêèé ìàðøðóò l, ïðîõîäÿùèé ïî
âñåì ãîðîäàì. Ïóñòü îí íà÷èíàåòñÿ â ãîðîäå A, çàêàí÷èâàåòñÿ
â ãîðîäå B, à åãî äëèíà ðàâíà N. Òîãäà ÷èñëà íà òàáëè÷êàõ â
ãîðîäàõ A è B ðàâíû N, à âñå îñòàëüíûå íå ìåíüøå N. Ïóñòü
C – îäèí èç îñòàâøèõñÿ ãîðîäîâ. Îí ëåæèò íà äàííîì ìàðøðóòå, ïîýòîìó äëèíà ïóòè îò C äî îäíîãî èç ãîðîäîâ A èëè B
íå áîëüøå N/2 (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè – äî A). Ðàññìîòðèì ìàðøðóò, êîòîðûé âûõîäèò èç C, äîõîäèò êðàò÷àéøèì
îáðàçîì äî A, à çàòåì ïîâòîðÿåò ìàðøðóò l. Îí ïðîõîäèò ÷åðåç âñå ãîðîäà, è åãî äëèíà íå ïðåâîñõîäèò N/2 + N =
= 3N/2. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî íà òàáëè÷êå â ãîðîäå C íå
áîëüøå 3N/2.
Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷èñëà íà òàáëè÷êàõ ïðèíàäëåæàò îòðåçêó
[N; 3N/2], îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìîå.
2. Ïîëîæèì bk = ak − k . Òîãäà
bk +1 = bk − 1 +

bk
k
1 
= bk  1 −
= bk −

k + bk
k + bk
k + bk  .

Îòñþäà î÷åâèäíîé èíäóêöèåé ïî k ïîëó÷àåì, ÷òî bk > 0 (ïîbk
ñêîëüêó b1 > 0). Êðîìå òîãî, bk +1 = bk −
< bk . Îòñþäà,
k + bk
â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî bk ≤ b1 < 1 .
2

1
1 
− 2 =  a1 −

Çàìåòèì, ÷òî b2 = a1 +
. Âûðàæåíèå â

a1
a1 

ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî è âîçðàñòàåò, êîãäà a1 ïðîáåãàåò èí-
30.09.09, 16:47
$
ÊÂÀÍT 2009/¹5
1
1
1
− 2 < b2 < 2 + − 2 = . Òàêèì
1
2
2
1
îáðàçîì, bk ≤ b2 <
ïðè k ≥ 2 .
2
Òåïåðü, åñëè ak + a j – öåëîå ÷èñëî, òî bk + bj – òàêæå öåëîå.
Çíà÷èò, îäíî èç ÷èñåë bk , bj (äëÿ îïðåäåëåííîñòè bk ) íå
1
ìåíüøå ; òîãäà k = 1, è bj = 1 − b1 . Íî òàêèõ ÷èñåë j íå
2
áîëüøå îäíîãî, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bi ) óáûâàåò. Èç
ýòîãî è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è.
Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ïàð ñ öåëîé ñóììîé áóäåò êîíå÷íûì ïðè ëþáîì a1 > 1.
3. Ïóñòü AB1 , AC1 , AD1 – âûñîòû ãðàíåé ACD, ABD, ABC
(ðèñ.12). Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ýòèõ ãðàíåé ëåæàò íà ïðÿ-
òåðâàë (1; 2); òîãäà 0 = 1 +
Ðèñ. 12
ìûõ AB1 , AC1 , AD1 è îòëè÷íû îò òî÷êè A. Ïîñêîëüêó îíè
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé l, òî ïðÿìûå AB1 , AC1 , AD1 ëåæàò
â ïëîñêîñòè α , ñîäåðæàùåé l è A (ÿñíî, ÷òî A íå ëåæèò íà
l). Çíà÷èò, òî÷êè B1 , C1 , D1 ëåæàò íà ïðÿìîé ïåðåñå÷åíèÿ
ïëîñêîñòåé α è BCD.
Ïóñòü A′ – ïðîåêöèÿ òî÷êè A íà ïëîñêîñòü BCD. Òîãäà ïî
òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ òî÷êè B1 , C1 , D1 ÿâëÿþòñÿ
ïðîåêöèÿìè A′ íà ïðÿìûå CD, BD, BC. Çíà÷èò, òî÷êè A′ ,
C, B1 , D1 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè (ñ äèàìåòðîì A′C ),
à òàêæå òî÷êè A′ , D, B1 , C1 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè (ñ
äèàìåòðîì A′D ). Îòñþäà
∠ ( BC, A′C ) = ∠ ( D1C, A′C ) = ∠ ( D1B1, A′B1 ) =
= ∠ (C1B1, A′B1 ) = ∠ (C1D, A′D ) = ∠ ( BD, A′D )
(çäåñü ÷åðåç ∠ (a, b ) îáîçíà÷åí óãîë îò ïðÿìîé a äî ïðÿìîé
b, îòñ÷èòûâàåìûé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè; ýòîò óãîë ñ÷èòàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ ÷èñëà âèäà πk , ãäå k – öåëîå). Èç ðàâåíñòâà ∠ ( BC, A′C ) = ∠ ( BD, A′D ) ñëåäóåò, ÷òî
òî÷êà A′ ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà BCD
(ðèñ.13) è, ñëåäîâàòåëüíî, íà îïèñàííîé ñôåðå S ïèðàìèäû
ABCD.
ãîëüíèêà BCD. Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ñèìñîíà òî÷êè A′ .
Çàìå÷àíèå 2. Òåòðàýäðû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ çàäà÷è,
ñóùåñòâóþò.
4. Ïåðâûé èãðîê.
Äîêàæåì áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå:
Ïóñòü èãðà ñ òåìè æå ïðàâèëàìè ïðîèñõîäèò íà êîíå÷íîì
ìíîæåñòâå òî÷åê S, êîòîðîå ñîäåðæèò òî÷êó O(0; 0) è ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå íà 90°. Òîãäà â ýòîé èãðå âûèãðûâàåò ïåðâûé èãðîê.
(ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê èç óñëîâèÿ óäîâëåòâîðÿåò ýòèì
óñëîâèÿì.)
Äîêàçàòåëüñòâî áóäåì âåñòè èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó n òî÷åê
â S. Åñëè n = 1, òî ïåðâûé âûèãðûâàåò ïåðâûì ñâîèì õîäîì.
Ïóñòü n > 1. Äàëåå ïîä îòðåçêàìè ìû âñåãäà áóäåì ïîäðàçóìåâàòü îòðåçêè, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò â S è íå ñèììåòðè÷íû
îòíîñèòåëüíî O. Ðàññìîòðèì äëèíû âñåõ îòðåçêîâ. Ïóñòü d –
ìàêñèìàëüíàÿ èç íèõ, è ïóñòü A1B1 , A2 B2 , …, An Bn – âñå
îòðåçêè äëèíû d (íåêîòîðûå èç òî÷åê Ai , Bj ìîãóò ñîâïàäàòü).
Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà O íå ÿâëÿåòñÿ êîíöîì íè îäíîãî èç ýòèõ
îòðåçêîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ýòî íå òàê, è ñðåäè íàøèõ îòðåçêîâ åñòü êàêîé-òî îòðåçîê OA. Ïóñòü òî÷êà B ∈ S ïîëó÷àåòñÿ èç A ïîâîðîòîì íà 90° îòíîñèòåëüíî O. Òîãäà
AB = 2 OA > OA, ò.å. äëèíà îòðåçêà OA íå ìàêñèìàëüíà –
ïðîòèâîðå÷èå.
Âûêèíåì èç S âñå òî÷êè Ai , Bi . Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå
ìíîæåñòâî S′ óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì íàøåãî óòâåðæäåíèÿ (òàê êàê ìíîæåñòâî îòðåçêîâ Ai Bi ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè
ïîâîðîòå íà 90°). Çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè â
èãðå íà ïîëó÷åííîì ìíîæåñòâå S′ âûèãðûâàåò ïåðâûé.
Ïðåäúÿâèì òåïåðü âûèãðûøíóþ ñòðàòåãèþ äëÿ íåãî íà ìíîæåñòâå S.
Ïåðâûé áóäåò äåéñòâîâàòü ïî ñòðàòåãèè äëÿ ìíîæåñòâà S′ ñ
íà÷àëà äî òîãî ìîìåíòà, êîãäà âòîðîé âïåðâûå âûâåäåò ôèøêó çà ïðåäåëû ìíîæåñòâà S′ . Ýòî ñëó÷èòñÿ, èáî ñîãëàñíî
ñòðàòåãèè äëÿ S′ ó ïåðâîãî âñåãäà åñòü õîä, ïîñëå êîòîðîãî
ôèøêà îñòàåòñÿ â ìíîæåñòâå S′ . Çíà÷èò, ðàíî èëè ïîçäíî
âòîðîé ñäåëàåò õîä èç òî÷êè X, ëåæàùåé â S′ , â òî÷êó Y, íå
ëåæàùóþ òàì (ïóñòü òîãäà Y = Ai ). Òîãäà ïåðâûé ìîæåò ñäåëàòü õîä â òî÷êó Bi (òàê êàê Ai Bi = d , à XAi < d , èíà÷å áû
X íå ëåæàëà â S′ ), ïîñëå ÷åãî âòîðîìó õîäèòü íåêóäà – îí
äîëæåí ñäåëàòü õîä äëèíû áîëüøåé d, à òàêèõ õîäîâ íåò.
Èòîãî, ïåðâûé âûèãðûâàåò.
Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî S
ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå íà 90° âîêðóã O, íî íå ñîäåðæèò åå, òî âûèãðûâàåò âòîðîé.
5. Ââåäåì ïåðåìåííûå x = log a b , y = logb c . Â íîâûõ ïåðåìåííûõ íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä
x+y+
1
1 1
≤ + + xy ,
xy x y
÷òî ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïåðåõîäèò â
( x − 1)( y − 1)( xy − 1) ≥
Ðèñ. 13
Òîãäà öåíòð O ñôåðû S ëåæèò â ïëîñêîñòè β , ÿâëÿþùåéñÿ
ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê AA′ . ßñíî, ÷òî ñåðåäèíû ðåáåð AB, AC, AD òàêæå ëåæàò â β (òàê êàê òðåóãîëüíèêè
ABA′ , ACA′ , ADA′ ïðÿìîóãîëüíûå). Ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Çàìå÷àíèå 1. Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A′ , ëåæàùåé â ïëîñêîñòè BCD, íà ïðÿìûå BC, CD, BD
(ñì. ðèñ. 13). Èõ îñíîâàíèÿ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà A′ ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåó-
58-64.p65
62
0.
xy
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âåðíî, òàê êàê x ≥ 1 , y ≥ 1 è xy ≥ 1
â ñèëó óñëîâèÿ çàäà÷è.
6. k = 16.
Ðàññìîòðèì ðàññòàíîâêó k ëàäåé, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ.
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
1. Ïóñòü â êàæäîì ñòîëáöå ñòîèò õîòÿ áû ïî îäíîé ëàäüå.
Òîãäà âñÿ äîñêà íàõîäèòñÿ ïîä áîåì, è ìîæíî óáðàòü ëàäüþ
èç ëþáîãî ñòîëáöà, â êîòîðîì èõ õîòÿ áû äâå. Çíà÷èò, â ýòîì
ñëó÷àå â êàæäîì ñòîëáöå ñòîèò ðîâíî ïî îäíîé ëàäüå, è
k ≤ 10 . Àíàëîãè÷íî, åñëè â êàæäîé ñòðîêå åñòü ëàäüÿ, òî
òîæå k ≤ 10 .
30.09.09, 16:47
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
2. Ïóñòü òåïåðü íàéäóòñÿ ïóñòàÿ
ñòðîêà è ïóñòîé ñòîëáåö. Òîãäà
êëåòêà íà èõ ïåðåñå÷åíèè íå ïîä
áîåì. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ ëàäüÿ
ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ëèáî â
ñâîåé ñòðîêå, ëèáî â ñâîåì ñòîëáöå (èíà÷å åå ìîæíî âûêèíóòü, è
åå ñòðîêà è ñòîëáåö îñòàíóòñÿ
ïîä áîåì). Äëÿ êàæäîé ëàäüè îòìåòèì ýòó ñòðîêó èëè ýòîò ñòîëÐèñ. 14
áåö. Åñëè îòìå÷åíû íå áîëåå 8
ñòîëáöîâ è íå áîëåå 8 ñòðîê, òî âñåãî ëàäåé íå áîëüøå 8 + 8 =
= 16. Åñëè æå, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, îòìå÷åíû 9 ñòîëáöîâ, òî
ëàäåé âñåãî 9 (â êàæäîì èç 9 ñòîëáöîâ ïî îäíîé, à â 10-ì
ñòîëáöå ïî ïðåäïîëîæåíèþ ëàäåé íåò).
Èòîãî, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ìû ïîëó÷èëè k ≤ 16 . Ïðèìåð äëÿ 16
ëàäåé ïîêàçàí íà ðèñóíêå 14; äëÿ êàæäîé ëàäüè ñòðåëêîé
óêàçàíà êëåòêà, êîòîðàÿ îñòàíåòñÿ íå ïîä áîåì, åñëè ýòó ëàäüþ óáðàòü.
7. Îáîçíà÷èì îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ AA1P è
CC1P ÷åðåç ω A è ωC , ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ëó÷è AQ è CQ
ïåðåñåêàþò ñòîðîíû CD è AD â òî÷êàõ C2 è A2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà èç ïàðàëëåëüíîñòè AB CD è âïèñàííîñòè
÷åòûðåõóãîëüíèêà AA1PQ ïîëó÷àåì
∠PCC2 = 180° − ∠AA1P = ∠AQP = 180° − ∠PQC2 ,
ò.å. ÷åòûðåõóãîëüíèê CPQC2 òàêæå âïèñàí. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
C2 ëåæèò íà ωC ; àíàëîãè÷íî, òî÷êà A2 ëåæèò íà ω A
(ðèñ.15).
$!
ÐÅØÅÍÈß
Ðèñ. 16
Ðèñ. 17
Ðèñ. 19
Ðèñ. 18
S
Sd
= 5 ìÀ ; 2) Pmax =
= 10 Âò , ñì.
A
2 Aρ0
U1
Sd1
ðèñ.18; 3) d1 =
= 2 ñì , P1max =
= 10 Âò , ñì.
2A
ρ0 A
ðèñ.19.
4. 1) Imax =
11 êëàññ
9mg
h
= 35 H ì ;
= 30 ì , k =
2h
3
2h
2
= 20 ì ; 3) vmax =
2gh = 28,3 ì ñ ;
2) x0 =
9
3
4h
9g
= 0,71 c −1 ;
= 40 ì , ω =
4) A =
2h
9
2π  2h
 1
+
= 5,41 c .
5) τ = 

9  9
 3
2Q0 L
2Q0
;
2) q1 =
; 3) q2 = 0 ;
2. 1) I0 =
R
L
2Q0 L ;
4) A = -q0 +
5) Q = A − Q0 .
R
Pτ
3. 1) më = 0 0 ≈ 0,15 êã , ãäå τ0 = 2 ìèí – âðåìÿ ïëàâëåíèÿ
λ
ëüäà;
2) M ≈ 0,48 êã ;
3) α ≈ 2,0 Âò °Ñ ;
4) Pmax ≈ 200 Âò ;
5) τ1 ≈ 21 ìèí .
1. 1) L =
Ðèñ. 15
Äàëåå, òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê AA1PA2 âïèñàí è AB CD ,
èìååì ∠A2 PC = 180° − ∠A1PA2 = ∠A1 AA2 = 180° − ∠A2 DC , ò.å.
÷åòûðåõóãîëüíèê A2 PCD òàêæå âïèñàí. Òîãäà ∠PDA =
= ∠PDA2 = ∠PCA2 = ∠PCQ . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê BA1QC âïèñàí, îòêóäà ∠QBA = ∠QCA1 =
= ∠PCQ . Îòñþäà ñëåäóåò ∠PDA = ∠PCQ = ∠QBA , ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è îñòàåòñÿ âåðíûì, åñëè Q íå
ëåæèò â òðåóãîëüíèêå ACD.
ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÒÀÏ XLIII ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ
4. 1) Ñì. ðèñ.20, ãäå à = 400 Ê, b = 4 ë, l = a2 + b2 .
2) Ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå Ñ íà ãðàôèêå
è ðàâíî pmax ≈ 4,75 ÌÏà .
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ
9 êëàññ
2. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êîíôåòû îòíîñèòåëüíî ëåíòû òðàíñïîðòåðà ðàâíà v0′ = u 3 è íàïðàâëåíà ïî áîëüøåé äèàãîíàëè
ðîìáà ñî ñòîðîíîé u è óãëîì 60° ïðè âåðøèíå. Ìèíèìàëüíàÿ
ñêîðîñòü êîíôåòû îòíîñèòåëüíî Ãëþêà ðàâíà vmin = u 2 .
4. tx = 10 °C .
10 êëàññ
1. T = mg 3 .
2. Ñì. ðèñ.16, åñëè ëèíçà ñîáèðàþùàÿ, è ðèñ.17, åñëè ëèíçà
ðàññåèâàþùàÿ.
58-64.p65
63
Ðèñ. 20
30.09.09, 16:47
$"
ÊÂÀÍT 2009/¹5
5. F1 =
L2 + 2l1L ± L L2 + 4l1l2
= (20,0 ± 16,3 ) ñì ,
2 ( L + l1 − l2 )
L2 + 2l2 L ± L L2 + 4l1l2
= (16,0 ± 9,8 ) ñì ,
2 ( L + l2 − l1 )
âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: îáå ëèíçû äëèííîôîêóñíûå, òîãäà
F1 = 36,3 ñì è F2 = 25,8 ñì , èëè îáå ëèíçû êîðîòêîôîêóñíûå, òîãäà F1 = 3,7 ñì è F2 = 6,2 ñì .
F2 =
ÌÎÑÊÎÂÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 2009 ÃÎÄÀ
1. Rmin =
mv2
.
2F
mg 
R
1 −  .
2 
r2 
σ
TT
1 2 η∆S
4. A =
.
5. E =
.
T1 (1 − η) − T2
2 2 ε0
3. r = 2l.
6. Φ = µ0 πINδ .
2. F =
7. I =
2πRδσ (U − BLωR )
(
1 + B2σ2 e2n2
)
.
ÌÎÄÓËÜ ÑÓÌÌÛ È ÑÓÌÌÀ ÌÎÄÓËÅÉ
(ñì. «Êâàíò» ¹4)
1. Íåðàâåíñòâî (2) (ñì. ñòàòüþ) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
ab ≥ −ab . Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè ab ≤ 0 .
Íåðàâåíñòâî ( 2′ ) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó ab ≥ ab . Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè ab ≥ 0 .
2. Ñòàíäàðòíîå ðàññóæäåíèå ïî èíäóêöèè. Íåðàâåíñòâî (3)
ñïðàâåäëèâî ïðè n = 2 (ýòî íåðàâåíñòâî (1)). Åñëè îíî ñïðàâåäëèâî ïðè n = k, òî îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè n = k + 1:
a1 + … + ak + ak +1 ≤ a1 + … + ak + ak +1 ≤ a1 + a2 + … + ak +1 .
)(
)
3. Ðàâíîñèëüíîå íåðàâåíñòâî èìååò âèä x 2 − 1 y2 − 1 < 0 , à
ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëî 1 ðàñïîëîæåíî ìåæäó |x| è |y|.
4. ×èñëà õ, ó, z ëèáî íåïîëîæèòåëüíû, ëèáî íåîòðèöàòåëüíû,
à ÷èñëà |x|, |y|, |z| – äëèíû ñòîðîí íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà
(ìîæåò áûòü, âûðîæäåííîãî).
Íåðàâåíñòâî çàäà÷è 3 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè è òîëüêî
åñëè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè òðè íåðàâåíñòâà, êîòîðûå ìû
ñêëàäûâàëè, ðåøàÿ çàäà÷ó. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ òðåõ óñëîâèé:
2
x − (z − y) ≥ 0 ,
èëè
2
2
y − (x − z) ≥ 0 ,
x ≥ z−y ,
2
2
z − (x − y) ≥ 0 ,
2
Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò»
kvant.info
Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
kvant.mccme.ru
Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð»
math.child.ru
Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
«Ýâðèêà»
ceemat.ru
©
ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ
C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ,
Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà,
À.È.×åðíîóöàí
ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ
Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Â.Ñóìíèíà,
Â.Ì.Õëåáíèêîâà
ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Å.Â.Ìîðîçîâà
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà
y ≥ x−z ,
z ≥ x−y .
(∗ )
Äîêàæåì, ÷òî âñå ÷èñëà õ, ó, z ëèáî íåïîëîæèòåëüíû, ëèáî
íåîòðèöàòåëüíû.
Åñëè îäíî èç òðåõ ÷èñåë ðàâíî 0, òî, î÷åâèäíî, äâà îñòàëüíûõ ðàâíû.
Åñëè íè îäíî èç íèõ íå ðàâíî íóëþ è ñðåäè íèõ åñòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x >
> 0, y > 0, z < 0 (åñëè õ, ó, z óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå ( ∗ ), òî
–õ, –ó, –z òîæå åé óäîâëåòâîðÿþò).
Íî òîãäà x ≥ y − z , y ≥ x − z , îòêóäà x + y ≥ y + x − 2z , ò.å.
z ≥ 0 (ïðîòèâîðå÷èå).
Èòàê, ÷èñëà õ, ó, z èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, è èç ( ∗ ) ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà
x + y ≥ z , y + z ≥ x , x + z ≥ y .
58-64.p65
x−y
2a
. Ïðè à, áëèçêèõ ê 1, ïîñëåäíåå âûðàæå=
1 − xy
1 − a2
íèå ìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì.
òî
Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû
èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì:
4πωLε20 E2 R3
.
8. M =
δγ
Λ sin α
9. Ïó÷îê ñâåòà îòêëîíèòñÿ íà óãîë β = arcsin
è ñôîêóλ
lλ
îò ïëàñòèíêè.
ñèðóåòñÿ íà ðàññòîÿíèè L =
Λ
(
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ íå òîëüêî íåîáõîäèìû,
íî è äîñòàòî÷íû.
5. n ◊ 2n - 2 .
Êàæäàÿ òàêàÿ ðàññòàíîâêà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì
òî÷êè, â êîòîðîé ñòàâèòñÿ 1 (n ñïîñîáîâ), è ëþáûì íàáîðîì
÷èñåë, ñòîÿùèõ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà äóãå ìåæäó 1 è n.
n− 2
. Èòîãî, ïîëóÒàêèõ íàáîðîâ (âêëþ÷àÿ è ïóñòîé íàáîð) 2
n -2
÷àåòñÿ n ◊ 2
ñïîñîáîâ.
7. Íåò.
Åñëè x = ai, y = –ai, ãäå à – äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è |a| < 1,
64
Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ
ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473
Àäðåñ ðåäàêöèè:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò»
Òåë.: 930-56-48
Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info,
phys@kvant.info
Ñàéò: kvant.info
Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè
«×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò»
142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè,
Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru
Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00
Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59
30.09.09, 16:47
2-3.P65
1
30.09.2009, 17:15
Untitled-1
1
30.09.2009, 17:01