1. Предел последовательности

1. Предел последовательности
Из школьного курса вы знаете, что действительные числа | это бесконечные десятичные дроби. Это определение не слишком строгое (точнее
говоря, при таком определении довольно трудно определить арифметические действия над действительными числами и проверить их свойства
наподобие распределительного умножения), но пока что будем руководствоваться им; в дальнейшем мы дадим и строгое определение.
Курс математического анализа начинается с определения предела
последовательности.
a
Определение 1.1. Говорят, что число
вательности действительных чисел
ствует такое натуральное число
неравенство
|xn − a| < ".
N,
{xn },
является пределом последо-
если для всякого
что при всяком
n→∞ xn
Обозначение: lim
=
" >
n > N
a.
0 суще-
выполнено
Последователь-
ности, имеющие предел, называются сходящимися.
Неравенство
" < x < an
+
|xn − a| < "
";
равносильно двойному неравенству
далее, интервал (a
окрестностью числа
a.
n − "; a n
xn
самом деле, для данного
при
n>N
"-
a
существует такое
n→∞
= 1=(2n + 3). Покажем, что lim
" >
n,
что
0 выберем натуральное
N >
= 0. В
1=". Тогда
имеем
0
и подавно
часто называют
n > N.
лежит в этой окрестности при всех
Пример 1.2. Пусть
")
−
Тогда определение 1.1 можно переформулиро-
вать еще так, для всякой окрестности числа
xn
+
an
< xn
1
=
2n + 3
1
6
n
<
1
N
< ";
|xn − 0| = |xn | < ".
Первое свойства предела последовательности состоит в том, что если он существует, то он единственен.
Предложение 1.3. Пусть
n
ных чисел; если lim →∞
xn
{xn }
=
a
| последовательность действитель-
n
и lim →∞
xn
=
b,
то
Доказательство. Рассуждая от противного, пусть
достаточно малых
оказывается, что
пересекаются (например, годится
Зафиксируем такое
ные
N1
и
N2 ,
";
"
=
a
=
a
"-окрестности
|a − b|=2
b.
6= b.
Тогда при
точек
a
и
b
не
| сделайте чертеж!).
тогда виду условия существуют такие натураль-
что при всяком
n > N1
1
число
xn
лежит в
"-окрестности
точки
a
и всяком
n > N2
число
теперь ваять какое-нибудь
одновременно в
n>
"-окрестности
xn
лежит в
"-окрестности
b;
точки
если
N2 ), то окажется, что xn лежит
a и в "-окрестности точки b, а это
max(N1 ;
точки
".
невозможно ввиду нашего выбора
На практике пределы редко находят прямо по определению, как в
нашем примере 1.2; обычно сводят более сложные пределы к более простым с помощью правил, известных под общим названием «арифметики
пределов». Вот первое из этих правил.
n
Предложение 1.4. Если lim →∞
xn
=
a
a + b.
">
Доказательство. Пусть нам дано
N
n > N1
= max(N1 ;
N2 ).
и
|xn − b| < "=2,
Если теперь
N1
как только
n > N,
yn
=
b,
n
то существу-
n + yn ) =
причем lim →∞ (x
0. Тогда ввиду определения пре-
дела существуют такие натуральные числа
как только
n
и lim →∞
{xn + yn },
ет и предел последовательности
и N2 , что |xn − a| < "=2,
n > N2 . Положим теперь
то
|(xn + yn ) − (a + b)| = |(xn − a) + (yn − b)| 6 |xn − a| + |yn − n| < "=2 + "=2 = ":
Это и означает, что lim
n→∞ (xn + yn ) = a + b.
Коротко говоря, предел суммы равен сумме пределов. Два следующих утверждения про арифметику пределов доказываются аналогично
предложению 1.4; их доказательство предоставляется читателю.
n
Предложение 1.5. Если lim →∞
xn
a − b.
Если
сло,
lim
то
lim
n→∞ xn
a
=
существует
и
и
k
|
предел
=
a
n
и lim →∞
{xn − yn },
ет и предел последовательности
yn
=
b,
n
то существу-
n − yn ) =
причем lim →∞ (x
произвольное
действительное
последовательности
n→∞ (kxn ) = ka.
{kxn },
чи-
причем
Аналогичное утверждение верно и для предела произведения, но доказывается оно немного сложнее. Для начала определим одно понятие,
которое пригодится нам и в дальнейшем.
Определение 1.6. Последовательность действительных числе
{xn } на-
зывается ограниченной, если выполнено одно из двух следующих равносильных условий:
{ существует такое
M >
0, что
{ существует такой отрезок [P ;
|xn | 6 M
при всех
Q], что все xn
2
n;
лежат на этом отрезке.
Лемма 1.7. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
n
Доказательство. Пусть lim →∞
"
xn
=
a.
Взяв в определении предела
N,
= 1, получаем, что существует такое натуральное
n > N
число
xn
лежит на интервале [a
xn ,
последовательности
ществует отрезок [P ;
Ясно, что [P ;
Q]
где
Q],
n < N,
−
1;
a
что при всяком
+ 1]. Поскольку членов
конечное число, получаем, что су-
содержащий [a
содержит вообще все
− 1; a + 1]
xm ,
и все
xn ,
где
n < N.
а это и означает, что после-
довательность ограничена.
Вооружившись этой леммой, мы можем доказать, что предел произведения равен произведению пределов.
n
Предложение 1.8. Если lim →∞
xn
ет и предел последовательности
=
a
n
и lim →∞
{xn yn },
yn
n
Доказательство. По лемме 1.7 последовательности
ничены; тем самым существует такое число
|xn | 6 M
при всех
n,
M >
|a| 6 M , |b| 6 M .
а также
b,
=
то существу-
n yn ) = ab.
причем lim →∞ (x
{xn }
{yn } огра|xn | 6 M и
и
0, что
Заметим, что
|xn yn − ab| = |xn yn − xn b + xn b − ab| = |xn (yn − b) + (xn − a)b| 6
6 |xn | · |yn − b| + |xn − a| · |b| 6 M · |yn − b| + M · |xn − a|:
Зададимся произвольным
что
при
|xn − a| < "=2M
n > N2 .
при
" >
0; ввиду условия существует такое
n > N1 ,
Если положить
N
а также такое
= max(N1 ;
N2 ),
N2 ,
что
то при
N1 ,
|yn − a| < "=2M
n>N
имеем
|xn yn − ab| 6 M · |yn − b| + M · |xn − a| < M · ("=2M ) + M · ("=2M ) = ";
и все доказано.
Утверждение про предел частного также верно, но требует некоторой аккуратности в формулировке.
n
xn
Предложение 1.9. Если lim →∞
b
6=
lim
=
a
n
и lim →∞
0, то существует и предел последовательности
n→∞ (xn =yn ) = a=b.
Доказательство. Поскольку
xn =yn
=
xn (1=yn ),
n
yn
=
b
6= 0,
n
n
то lim →∞ (1=y ) = 1=b.
3
=
b,
{xn =yn },
причем
причем
ввиду предложения 1.8
достаточно доказать следующее:
если lim →∞
yn
Для доказательства положим в определении предела
существует такое натуральное
|yn − b| <
|b|
2
N1 ,
что при
⇒ |yn | >
|b|
n > N1
⇔ |1=yn | 6
2
n.
Следовательно, при
1
− 1 = |yn − b|
yn
b
|yn | · |b|
Теперь для данного
(
|b|2 =2)"
при
=
">
n > N2 ;
1
·
n > N1
1
|yn | |b|
2
|b|
|yn − b| 6
n>
:
|yn | 6 M
0, что
имеем
2
1
|b| |b|
|yn − b| =
N2 ,
0 найдем такое натуральное
тогда при
|b|=2 > 0; тогда
=
M >
Кроме того, ввиду леммы 1.7 существует такое
при всех
"
имеем
max(N1 ;
N2 )
2
|b|2
|yn − b|:
что
|yn − b| <
имеем
2
1
− 1 6 2 |yn − b| < 2 |b| " = ":
yn
b
|b|2
|b|2 2
Все доказано.
В формулировке предложения 1.9 мы (сознательно) допустили одну
yn
небрежность: мы нигде не оговорили, что
6=
0 при всех
формально говоря, нет гарантии, что выражение
всех
n.
xn =yn
n,
так что,
определено при
Эта небрежность на самом деле ничему не мешает: из доказа-
тельства предложения видно, что
yn
6=
0 для всех
n,
числа, а для оставшегося конечного числа номеров
выражениям
xn =yn
кроме конечного
n
можно придать
произвольные значения, и на предел это не повлия-
ет. Вообще, ни сходимость последовательности, ни значение ее предела
не изменится, если изменить конечное число ее членов.
Еще одно полезное свойство пределов известно под названием тео-
ремы о двух милиционерах.
Предложение 1.10. Пусть
{xn }, {yn }
тельности действительных чисел, что
lim
{zn } | такие последоваxn 6 yn 6 zn при всех n и
и
n→∞ xn = limn→∞ zn = a. Тогда limn→∞ yn = a.
Доказательство. Для данного
" >
0 существует такое
N1 ,
что
жит на интервале (a
xn
ле-
− "; a + ") при всех n > N1 , и существует такое N2 ,
что yn лежит на интервале (a − "; a + ") при всех n > N2 . Если x 6 y 6 z
и при этом x и z лежат на интервале (a − "; a + "), то и y лежит на
этом же интервале; поэтому при всех
на интервале (a
− "; a + "),
n>
max(N1 ;
что и требовалось.
4
N2 )
точка
yn
лежит
В листке 1 вы найдете еще некоторое количество элементарных
свойств пределов; кроме того, в процессе решения этого листка вы самосточятельно определите понятие «последовательность стремится кбесконечности». Всеми этими свойствами и понятиями мы в дальнейшем
будем свободно пользоваться.
В различных ситуациях бывает необходимо установить существования предела последовательности a priori, не вычисляя предела в явном
виде. Сформулируем один результат в этом направлении.
Определение
1.11. Последовательность
возрастающей, если
убывающей, если
Теорема
xm
1.12.
xm 6 xn всякий
> xn всякий раз,
Всякая
монотонно
xn
называется
раз, когда
когда
m < n,
монотонно
и монотонно
m < n.
возрастающая
последователь-
ность имеет предел.
Строго доказать мы ее сможем только тогда, когда дадим строгое
определение действительных чисел, а пока что обоснование, которое
мы дадим, будет с неизбежностью нестрогим.
Нестрогое доказательство. Пусть
{xn } | монотонно возрастающая и
ограниченная последовательность; тогда имеется такое действительное
M,
что
xn
6M
при всех
n.
Представим все члены последовательности
в виде бесконечных десятичных дробей; последовательность целых частей чисел
xn
также, очевидно, будет монотонно возрастающей, и при
этом все эти целые части не превосходят
M;
значит, начиная с какого-
то момента все целые части будут одинаковы и совпадать с некоторым
целым числом
m.
Далее, у членов последовательности, имеющих целой частью это число
m,
рассмотрим первые десятичные знаки после запятой (для опреде-
ленности будем считать, что в десятичных записях отсутствуют бесконечные «хвосты» девяток). Последовательность этих десятичных знаков
также монотонно возрастает, так что начиная с какого-то места все эти
знаки будут одинаковы; обозначим соответствующий десятичный знак
через
m1 .
У членов последовательности с целой частью
десятичным знаком
m1
m
и первым
рассмотрим вторые знаки после запятой: они
также будут возрастать и тем самым «стабилизируются» на каком-то
знаке
m2 ,
и т. д. Положим теперь
x
и покажем, что
ствует такое
x
N,
=
m;m1 m2 m3 : : :
n→∞ xn . В самом деле, для данного " > 0 суще−N < ". Пусть номер N таков, что у числа x
10
N
= lim
что
5
стабилизировались уже целая часть и первые
так
N
знаков после запятой.
6 x − xN 6 10−N < "; если n > N , то, очевидно, xN 6 xn 6 x,
что |x − xn | 6 |x − xN | < ". Ввиду произвольности выбора " все
Тогда 0
доказано.
6