Тема: Разложение вектора по базису

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru
©МатБюро - Решение задач по высшей математике
Тема: Разложение вектора по базису
ЗАДАНИЕ. Написать разложение вектора x по векторам a, b, c .
x = ( −4; 4; 4 ) , a = ( 3;1;0 ) , b = ( −1;0;6 ) , c = ( −1; 2;0 ) .
РЕШЕНИЕ:
Пусть x = xa + yb + zc . В виде системы это можно записать следующим образом:
3 x − 1 y − 1z = −4,

1x + 0 y + 2 z = 4,
0 x + 6 y + 0 z = 4;

3 x − y − z = −4,

 x + 2 z = 4,
6 y = 4;

Из последнего уравнения находим y = 2 / 3 , подставляем в первое:
3 x − 2 / 3 − z = −4,

 x + 2 z = 4,
 y = 2 / 3;

3 x − z = −10 / 3,

 x + 2 z = 4,
 y = 2 / 3;

Умножим первое уравнение на 2.
6 x − 2 z = −20 / 3,

 x + 2 z = 4,
 y = 2 / 3;

Прибавим первое уравнение ко второму:
6 x − 2 z = −20 / 3,

7 x = −8 / 3,
 y = 2 / 3;

Выражаем из второго уравнения x и подставляем в первое:
−48 / 21 − 2 z = −20 / 3,

 x = −8 / 21,
 y = 2 / 3;

 z = 46 / 21,

 x = −8 / 21,
 y = 2 / 3.

Получили разложение x = −
8
2
46
a+ b+ c
21
3
21