Активные линейные элементы

Активные линейные элементы
1. Источник ЭДС – это источник,
напряжение на зажимах которого не зависит
от величины протекающего через него тока
и внутреннее сопротивление которого равно
нулю.
i
u=e
+
e
u
-
Стрелка указывает точку более
высокого потенциала. Источник
вырабатывает энергию, поэтому
ток внутри него течет от точки
более низкого к точке более
высокого потенциала.
1
Внешняя характеристика
u
e = const = E
u=Е
0
i
Мощность источника ЭДС
p = e⋅i
2
Источник тока J – это источник, ток
которого не зависит от параметров цепи.
Внутреннее сопротивление идеального
источника тока равно бесконечности.
i=J
+
uJ
u
-
Полярность напряжения uJ
соответствует случаю, когда
источник вырабатывает
энергию.
3
Внешняя характеристика
i
J = const
i=J
0
u
Мощность источника тока
p = uJ ⋅ J
4
Активные и пассивные элементы
применяются для составления
схем замещения реальных
источников электромагнитной
энергии
5
Например, схема замещения
аккумулятора:
E
I
U
E=UXX (I=0)
I
RВН
J
J=IКЗ=E/RВН (U=0)
U
I
RВН U
6
Топологические
понятия
7
Топологические понятия
применяются
при анализе и расчете
схем замещения электрических
цепей
8
Схема – это графическое изображение
электрической цепи.
Ветвь – это участок схемы, вдоль
которого течет один и тот же ток.
Узел – это место соединения трех или
большего числа ветвей
Контур – это замкнутый путь,
проходящий по нескольким ветвям
Независимый контур – это контур, у
которого хотя бы одна ветвь не
принадлежит другим контурам
9
При последовательном соединении
через все элементы протекает один ток.
Rэкв = R1 + R2 + R3 + ...Rn
i
R1
R2
R3
Rn
…
Rэкв
10
Ветви, присоединенные
к одной паре узлов
называют параллельными.
1
1
1
1
=
+
+K
Rэкв R1 R2
Rn
u
R1
R2
…
Rn
u
Rэкв
11
Параллельные ветви находятся под
общим напряжением.
1
1
1
R1 ⋅ R2
=
+
⇒ Rэкв =
Rэкв R1 R2
R1 + R2
u
R1
R2
u
Rэкв
12
N=4 – число узлов
Схема
М=6 – число ветвей
L1
R1
i4
i1
e1
1к
a
e2
b
C4
R3
2к
i2
3к
L5
i3
c
i5
d
J
13
Законы Кирхгофа
Кирхгоф (Kirchhoff) Густав Роберт
1824-1887г.
немецкий физик, член Берлинской АН,
член-корреспондент Петербургской АН.
В возрасте двадцати одного года, сформулировал основные
законы для расчета токов и напряжений в электрических
цепях, которые теперь носят его имя и до сих пор остаются
важным рабочим инструментом специалистов в области
электронной инженерии и электротехники.
14
Первый закон Кирхгофа:
алгебраическая сумма токов в узле
равняется нулю (токи, вытекающие из
узла, считаются положительными, а
втекающие – отрицательными):
∑ ( ± ik ) = 0
Физический смысл этого закона прост: если бы он
не выполнялся, в узле непрерывно накапливался
бы электрический заряд, а этого никогда не
происходит.
15
Для узла b:
− i1 − i4 + i2 = 0
L1
R1
i1
1к
e1
a
e2
b
i4
C4
R3
2к
i2
3к
L5
i3
c
J
d
i5
Этот закон характеризует непрерывность
электрического тока. Если схема имеет N
узлов, то по первому закону Кирхгофа можно
16
записать N–1 независимых уравнений.
Второй закон Кирхгофа:
в контуре алгебраическая сумма падений
напряжения на пассивных элементах равна
алгебраической сумме ЭДС и напряжений на
зажимах источников тока.
С “+” берутся все слагаемые, положительное
направление которых совпадает с выбранным
обходом контура:
n
∑ ± uk
k =1
=
m
∑ ± ek
k =1
±
d
∑ u Jk
k =1
17
По второму закону Кирхгофа можно записать M–N+1
независимых уравнений, где М – число ветвей в
схеме.
Для контура 1:
u1 + u L1 − uC 4 − u3 = e1
di1 1
i1R1 + L1
−
i4dt − i3R3 = e1
∫
dt C4
L1
R1
i1
1к
e1
a
i4
C4
i3
i2
3к
L5
R3
2к
e2
b
c
J
d
i5
18
u3 + u L5 = u J
di5
i3R3 + L5
= uJ
dt
Для контура 2:
L1
R1
i1
1к
e1
a
i4
C4
i3
i2
3к
L5
R3
2к
e2
b
c
J
d
i5
19
20
Рассмотрим на примере резистивных
цепей с постоянными напряжениями
и токами.
Если через индуктивный элемент течет
постоянный ток , то
dI
UL = L = 0
dt
I
L
I
UL
21
Если на емкостной элемент подать постоянное
напряжение, то
dUC
I=C
=0
dt
C
I
UC
I=0
UC
При рассмотрении электрической цепи постоянного
тока в установившемся режиме пассивными
элементами схемы будут являться резистивные
элементы, а активными – постоянные источники ЭДС
или источники тока.
22
Закон Ома
1. Для участка цепи
I
U
I = = g ⋅ U,
R
R
U
где
g= 1
R
- проводимость, [Cм]
23
2. Обобщенный закон Ома
I1
E
R1
I2
R2
I3
R3
E
I1 =
,
R экв
R 2 ⋅ R3
R экв = R1 +
R 2 + R3
24
R1
J
UJ
R3
I2
R2
I3
R4
R 2 ⋅ (R 3 + R 4 )
R экв = R1 +
R2 + R3 + R 4
U J = J ⋅ R экв
25
3. Закон Ома для активной ветви
ϕa
ϕb
R
I
Е
ϕa − ϕ b + E
I=
R
с «+» учитывается потенциал узла из которого
ток вытекает; с «-» - в который ток втекает;
перед ЭДС ставим «+», если стрелка источника
направлена по току, и «-», если в
противоположную сторону
26
Законы Кирхгофа
справедливы для линейных и
нелинейных цепей при
постоянных и переменных
напряжениях и токах
27
Первый закон Кирхгофа
∑
± Ik = 0
Например:
I1
I2
а
I3
узел а:
− I1 + I 2 + I 3 = 0
28
Второй закон Кирхгофа
∑I
k
R k = ∑ Ek + ∑ U J k
I1
Например:
R1
UJ
U
R2
E
I2
J
− I1R 1 + I 2 R 2 − U = E − U J
29
1. Метод законов Кирхгофа
Решение системы уравнений,
составленных по законам
Кирхгофа, позволяет
определить все токи и
напряжения в рассматриваемой
цепи
30
R1
N=4
R2
d
I2
2к
1к
R3
E1
a
I1
R4
I3
I4
M=6
E2
R5
b
c
I5
3к
UJ
J
По 1ЗК : N − 1 = 3
По 2ЗК : M − N + 1 = 3
31
R1
R3
E1
a
R4
I2
2к
1к
I1
R2
d
I3
I4
E2
R5
b
c
I5
3к
UJ
J
R1I1 + R 3I 3 + R 4I 4 = E1
I1 − I 4 − J = 0 1к :
b : − I 3 + I 4 + I 5 = 0 2к : − R 2I 2 − R 3I 3 − R 5I 5 = −E 2
c:
I 2 − I 5 + J = 0 3к : − R 4I 4 + R 5I 5 = U J
a:
32
В матричной форме
I1 I2
I3
I4
I5
UJ
 J
0 −1 0
0
1 0
 0

0
0 −1 1 1
0



0 1 0 0 − 1
0  B = − J 


A= 

E
0
 1
R1 0 R3 R4 0
− E2
0 − R2 − R3 0 − R5 0 




 0
0
0 − R4 R5 − 1
0
A−
B−
I1 − I 4 − J = 0
− I3 + I4 + I5 = 0
I2 − I5 + J = 0
R1I1 + R 3I 3 + R4I 4 = E1
− R2I 2 − R3I 3 − R5I5 = −E2
− R 4I4 + R 5I 5 = U J
матрица коэффициентов перед неизвестными
величинами;
матрица источников
33
В матричной форме
A⋅I = B
Решение системы:
I=A
−1
⋅B
34
Теорема Телледжена:
Для любого момента времени сумма
вырабатываемых мощностей
источников равна сумме потребляемых
мощностей во всех пассивных элементах
рассматриваемой цепи
∑±E I +∑± U
k k
Jq
J q = ∑ UnIn
или PВ = P П
35
Эта теорема является
законом сохранения
энергии в электрической
цепи и
применяется как баланс
мощностей для проверки
правильности расчетов:
R1
R2
d
I2
R3
E1
a
I1
R4
I3
I4
E2
R5
b
UJ
c
I5
J
Pв = Е1I1 + Е 2I 2 + U J J = ... Вт
Pп = I12R1 + I22R2 + I23R3 + I42R4 + I52R5 = ... Вт
36
Pв − Р п
δр % =
⋅ 100 ≤ 3%
Pв
37