Математическая модель процесса поглощения

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ïîãëîùåíèÿ âëàãè
ðàñòåíèåì
Êèëÿðîâà Ëèàííà Àëèñàãîâíà
Èíñòèòóò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è àâòîìàòèçàöèè (Íàëü÷èê), Ðîññèÿ
e-mail:
[email protected]
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññà ïîãëîùåíèÿ âëàãè ðàñòåíèåì âîñïîëüçóåìñÿ àíàëîãîì êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ”õèùíèê” − ”æåðòâà” Â. Âîëüòåððà [1].
Ïóñòü ôóíêöèÿ u = u(t) - áèîìàññà ìîäåëèðóåìîãî ðàñòåíèÿ, âûñòóïàþùàÿ â
ðîëè ”õèùíèêà”; v = v(t) - ôóíêöèÿ ïîãëîùåíèÿ âëàãè ðàñòåíèåì (”æåðòâà”); t
-àñòðîíîìè÷åñêîå âðåìÿ. Áèîëîãè÷åñêè ñîäåðæàòåëüíûé ñìûñë èìååò ñëåäóþùàÿ
ìîäåëü, óñòàíàâëèâàþùàÿ ñèñòåìíóþ ñâÿçü ìåæäó u è v
u0 = Kβuv − γu − λu2 , v 0 = αv − βuv,
(1)
ãäå K, β, γ, λ, α - èçâåñòíûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, α - îòíîñèòåëüíàÿ
ñêîðîñòü íàêîïëåíèÿ âëàãè, βv - êîëè÷åñòâî âëàãè ïîãëîùàåìîé â 1 ãð. çà åäèíèöó
âðåìåíè.  ñëó÷àå λ = 0 (1) ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêîé âîëüòåððîâñêîé ìîäåëüþ
”õèùíèê” − ”æåðâà”.
Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðîñòà óðîæàéíîñòè áèîìàññû ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîé êóëüòóðû áóäåì ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ïðåäïîëîæåíèÿìè:
1) Ôóíêöèÿ u = u(x, y) - ìîäåëèðóåìàÿ óðîæàéíîñòü ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîé
êóëüòóðû;
2) t - àñòðîíîìè÷åñêîå âðåìÿ;
3) x1 - ôàêòîð âëàæíîñòè ïî÷âû â êîðíåîáèòàåìîì ñëîå;
4) x2 - ôàêòîð òåìïåðàòóðû ïî÷âû;
5) x3 - ôàêòîð ãóñòîòû ñòîÿíèÿ ðàñòåíèé;
6) x4 - ôàêòîð ñîîòíîøåíèè íàäçåìíîé è êîðíåâîé ìàññû;
7) x5 - ôàêòîð ñêîðîñòè âåòðà;
8) x6 - ôàêòîð âèäà îáðàáîòêè ïî÷âû;
9) x7 - ôàêòîð íîðìû âíîñèìûõ óäîáðåíèé;
10) x8 - ôàêòîð ìîùíîñòè ïî÷âåííîãî ñëîÿ, è ò.ä.
Òîãäà x = (x1 , x2 , ..., xn ) ñîâîêóïíîñòü óñëîâèé âëèÿþùèõ â äèíàìèêå íà ïðîöåññ ðîñòà óðîæàéíîñòè.
Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü íàêîïëåíèÿ áèîìàññû óðîæàéíîñòè u1 du
dt äëÿ ëþáîãî t
èç ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé Ω îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âèäà:
m
λ X
1 ∂u
=ε−
u(ti , x) = ε − λū,
u ∂t
m i=1
(2)
ãäå ε - êîýôôèöèåíò àâòîïðèðîñòà áèîìàññû íà ñòàäèè ýêñïîíåíöèàëüíîé ôàçû
ðîñòà, λ - êîýôôèöèåíò ó÷èòûâàþùèé ýôôåêò Ôåðõþëüñòà, ti - õàðàêòåðíûå ìîìåíòû âðåìåíè, i = 1, 2, ..., m.
Êàê èçâåñòíî,
n
du
∂u X
∂u
dxj
=
+
x˙j
, x˙j =
, j = 1, 2, ..., n.
dt
∂t j=1 ∂xj
dt
1
(3)
2
Êèëÿðîâà Ë.À.
Ó÷èòûâàÿ (3) ïåðåïèøåì (2) â âèäå:
n
∂u X
∂u
x˙j
= (ε − λū)u, ∀(t, x) ∈ Ω.
+
∂t j=1 ∂xj
(4)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àãðîìåëèîðàòèâíûå óñëîâèÿ òàêîâû, ÷òî x˙j = exp(µj ). Çäåñü
µj - êîýôôèöèåíò îïðåäåëåííîãî xj ôàêòîðà.
Íàãðóæåííîå óðàâíåíèå (4) ïðèìåò âèä
ut +
n
X
µj xj uxj = (ε − λū)u.
(5)
j=1
Äëÿ èíäåíòèôèêàöèè ìîäåëè (1) ñîçäàíà åå êîìïüþòåðíàÿ âåðñèÿ â ñðåäå C ++.
Ìîäåëèðîâëñÿ ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ âëàãè êóêóðóçîé ñîðòà ”Ðîäíèê - 180 Ñ”. Ýêñïåðåìåíòàëüíûå äàííûå ñîáðàíû íà áàçå Íàó÷íî - ýêñïåðåìåíòàëüíîãî îïûòíîãî
õîçÿéñòâà (ÍÝÎÕ) ÈÏÌÀ â 2013 ãîäó [2].
Ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äåìîíñòðèðóþò õîðîøóþ êîððåëÿöèþ ñ ýêñïåðåìåíòàëüíûìè äàííûìè.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1]
[2]
Íàõóøåâ À. Ì.
1995. 301 ñ.
Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé áèîëîãèè / Ì: Âûñøàÿ øêîëà,
Òàòàðîâà Ë. À. Ê âîïðîñó ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ óðîæàéíîñòè
ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ êóëüòóð // Ìàòåðèàëû Âñåðîññèéñêîé êîíôåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ "Ñîâðåìåííûå âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé áèîëîãèè è èíôîðìàòèêè". 2014. Ñ. 114115.