Практические занятия по курсу высшей математики (I семестр

Практические занятия по курсу
высшей математики (I семестр) на
основе учебного пособия «Сборник
индивидуальных заданий по высшей
математике», том 1, под ред.
Рябушко А.П.
для студентов дневной формы обучения специальностей 1 -36 08 01
«Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и
бытового обслуживания», 1-53 01 01 «Автоматизация
технологических процессов и производств»
Составитель: доц. Никонова Т.В.
2012/2013 учебный год
Оглавление
Практическое занятие №1 Матрицы и линейные операции над ними............................................................4
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................4
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................5
Практическое задание № 2 Определители и их свойства ................................................................................5
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................5
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................5
Практическое задание № 3 Методы вычисления определителей ....................................................................6
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................6
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................6
Практическое задание № 4 Ранг матрицы и методы его вычисления ............................................................7
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................7
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................7
Практическое задание №5 Обратная матрица, решение СЛАУ матричным методом ..............................8
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................9
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................9
Практическое занятие №6 Решение СЛАУ с невырожденной матрицей по формулам Крамера и
методом Гаусса .....................................................................................................................................................9
Самостоятельная работа .................................................................................................................................10
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................10
Практическое занятие №7 Решение произвольных систем методом Гаусса.............................................10
Самостоятельная работа .................................................................................................................................11
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................11
Практическое занятие №8 Линейные операции над векторами. Проекции вектора..................................11
Самостоятельная работа .................................................................................................................................12
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................12
Практическое занятие №9 Деление отрезка в заданном соотношении. Скалярное произведение
векторов ...............................................................................................................................................................12
Самостоятельная работа .................................................................................................................................13
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................13
Практическое занятие №10 Векторное и смешанное произведение векторов...........................................13
Самостоятельная работа .................................................................................................................................14
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................14
Практическое занятие №11 Прямая на плоскости.........................................................................................14
Самостоятельная работа .................................................................................................................................14
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................15
Практическое занятие №12 Прямая и плоскость в пространстве ..............................................................15
Самостоятельная работа .................................................................................................................................15
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................15
Практическое занятие №13 Эллипс, гипербола, парабола .............................................................................16
Самостоятельная работа .................................................................................................................................16
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................17
Практическое занятие №14 Предел последовательности.............................................................................17
Самостоятельная работа .................................................................................................................................18
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................18
Практическое занятие №15 Предел функции в точке и на бесконечности .................................................18
Самостоятельная работа .................................................................................................................................19
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................19
Практическое занятие №16 Первый и второй замечательные пределы......................................................19
Самостоятельная работа .................................................................................................................................19
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................19
Практическое занятие №17 Производная, её геометрический и физический смысл ..................................20
Самостоятельная работа .................................................................................................................................20
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................20
Практическое занятие №18 Правила и формы дифференцирования............................................................21
Самостоятельная работа .................................................................................................................................21
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................21
Практическое занятие № 19 Логарифмическое дифференцирование. Производная функции заданной
неявно и параметрически ...................................................................................................................................21
Самостоятельная работа .................................................................................................................................22
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................22
Практическое занятие №20 Производные высших порядков. Дифференциал .............................................22
Самостоятельная работа .................................................................................................................................23
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................23
Практическое занятие №21 Правило Лопиталя .............................................................................................23
Самостоятельная работа .................................................................................................................................24
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................24
Практическое занятие №22 Исследование функций на монотонность и экстремум ................................24
Самостоятельная работа .................................................................................................................................24
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................24
Практическое занятие №23 Исследование выпуклости, вогнутости графиков функций, асимптоты ...25
Самостоятельная работа .................................................................................................................................25
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................25
Практическое занятие №24 Контрольная работа (пример) .........................................................................25
Вопросы к экзамену .............................................................................................................................................26
Задания к типовому расчету .............................................................................................................................29
Практическое занятие №1 Матрицы и линейные операции над ними
1. Даны матрицы A и B. Найти: A+B, 2A, A-3B, если:
1
 1 8
 1  7 
5 7 9
 4 1  8 1 






а) A=  0 9 , B=  0 1  ; б) A=  4 3  1 0  , B=  0 1  2 3.
 7 1
 2 5 11 7
 6  1 
 2 4 4  3
2. Даны матрицы A и B. Найти AB и BA, если:
1 0 2 
2


а) A= 0  1 3 , B= 3
1
4 0 5
1
4

(Ответ: а) AB=  0  11
13 13
7
1 
0 7 
1 1 0

2  4 ; б) A= 
, B= 3 4.

3  1 5
1 0
 3 5 
11
 6  7 30 
21  7 35
3 11



19  , BA=  13  2  8 ; б) AB= 
, BA= 15  1 20 .)

2 17
 21
 1
29
3 18 
1
0 
3. Даны матрицы A, B и C. Найти A(BC),(AB)C и показать, что (AB)C=A(BC),
если:
 4 
3 1 
 3 
14 
2  1
4 2 9  7
5


 
а) A= 5  6 , B= 
 , C=  2  30 ; б) A= 8 3 11 0  , B=   2 ,
3
4






7  8
 
8 
C=  1 9 3 6 .
43 96 
 52  468  156  312
(Ответ: а) ABC= 18 758  ; б) ABC= 
.)
 19 171
57
114 

28 1030
 0 1 2 0
0  1
1  1 3 
4. Даны матрицы: A= 
, B= 
, C=  1 2 0 0 . Найти те из


1 1 
 2 0 2
 1 2 1 0
произведений AB, BA, AC, CA, BC, CB, которые имеют смысл.
 4 5 5 0
  2 0  2
, AC= 
 .)

 2 6 6 0
 3 1 5 
(Ответ: BA= 
Самостоятельная работа
1. Для данных матриц A и B найти (A+3B) 2 , если:
2 
1 4 7
 2 1  1
 96 12





A=  2 5  8 , B=  1 0 2  . (Ответ:  18 54  8 . )
 4  1 0 
 51 105 111
 3 6 9 
5 9 
5 9 7 
 3 4
2. Найти (AB)C и A(BC), если: A= 
, B= 0 3 , C= 
.

 1 0
0 3  2 

0 2
 11 100
.)
0 
(Ответ: 
5
Контрольные вопросы
1. Что называют матрицей?
2. Что называют элементами матрицы?
3. Какие матрицы называют прямоугольными, квадратными?
4. Что называют вектор-столбцом, вектор-строкой?
5. Что называют главной, побочной диагоналями?
6. Что называют нулевой матрицей?
7. Что называют диагональной матрицей?
8. Что называют единичной матрицей?
9. Что называют верхней треугольной матрицей?
10. Что называют нижней треугольной матрицей?
11. Расскажите об линейных операциях над матрицами.
12. Какие матрицы называются коммуникативными?
13. Какая матрица называется транспонированной?
Практическое задание № 2 Определители и их свойства
1. С помощью правила треугольников вычислить определители:
1 3 2
а) 2 8 1 ;
1 1 2
3 4 5
б) 8 7  2 ;
2 1 8
1 2 1
в) 3 1  5 . (Ответ: а) -36; б) 0; в) 87.)
4 2
5
2. Используя формулу Лапласа, вычислить определители:
2
3
а)
1
1
1
2
2
1
5 1
1 2
1 2
2 3
; б)
3 4
3 4
5 1
4 1
3
4
1
2
4
1
. (Ответ: а) 54; б) 160.)
2
3
Самостоятельная работа
2 1
1
8
1 3 6 9
1. Используя формулу Лапласа, вычислить определитель
.
0 2
2 5
1 4
6
0
(Ответ: 27.)
Контрольные вопросы
1. Что называют определителем п-го порядка?
2. Запишите формулу для определителя второго порядка.
3. Запишите формулу для определителя третьего порядка.
4. Сформулируйте правило треугольников для определителя третьего порядка.
5. Сформулируйте свойства определителя п-го порядка.
6. Что называют минором элемента aij?
7. Что называют алгебраическим дополнением элемента aij?
8. Запишите формулу Лапласа.
Практическое задание № 3 Методы вычисления определителей
1. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:
1
2
3
0
2
5
а)
0
0
3
2 4 6
4
1 2 5 9
9
1 1 7 4
; б)
. (Ответ: а) 48; б) 20.)
7
1 3 3 4
0
1 2 3 4
2. Вычислить определитель методом понижения порядка:
7 8 5 5 3
10 11 6 7 5
5 3 6 2 5 . (Ответ: 5.)
6 7 5 4 2
7 10 7 5 0
3. Вычислить определители методом понижения порядка и методом
приведения их к треугольному виду:
2
3
а)
1
1
1
2
2
1
5 1
1 2
1 2
2 3
; б)
3 4
3 4
5 1
4 1
3
4
1
2
4
1
. (Ответ: а) 54; б) 160.)
2
3
Самостоятельная работа
1. Вычислить определитель методом понижения порядка и методом
приведения его к треугольному виду:
2 1
1
8
1 3 6 9
.
0 2
2 5
1 4
6
0
(Ответ: -27.)
Контрольные вопросы
1. Что называют определителем п-го порядка?
2. Запишите формулу для определителя второго порядка.
3. Запишите формулу для определителя третьего порядка.
4. Сформулируйте правило треугольников для определителя третьего порядка.
5. Сформулируйте свойства определителя п-го порядка.
6. Что называют минором элемента aij?
7. Что называют алгебраическим дополнением элемента aij?
8. Сформулируйте метод понижения порядка.
9. Расскажите о методе вычисления определителя путем приведения его к
треугольному виду.
Практическое задание № 4 Ранг матрицы и методы его вычисления
1.Найти ранг матрицы A с помощью элементарных преобразований или
методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор, если:
0
1  1
1

1
3  2
  8 1  7  5  5
 1 4 2 0 
2


а) A=  2 1  3  1  1 ; б) A=  3  1  4 3  ; в) A=  1 8 2 1  .


 2 7 1  4
 1 1  1 1
1 
 4  1 3  4
 1
1
2  1 
(Ответ: а) 2; б) 2; в) 3.)
2. Зная основную матрицу A и расширенную матрицу B, записать
соответствующую им систему линейных алгебраических уравнений и решить
вопрос о еѐ совместимости или несовместимости, пользуясь теоремой КронекераКапелли:
3  1
1  5
 1
1  1 1  2

а) A= 1  1 2  1 , B=  A 2 ; б) A= 2 4

 3
5  5 8  7
2 1
5 0
 6
1



1
 12 
0 , B=  A  6 .



3
 3
 9
4


(Ответ: а) rangA=2, rangB=3, система несовместна; б) rangA=rangB=3, система
совместна.)
3. Найти ранг матрицы A с помощью элементарных преобразований и указать
какой-либо еѐ базисный минор, если:
3
7
а) A= 
15

11
1 2
 1  1  1 5 1
3 5 
; б) A=  2 0 1 1 2 (Ответ: а) rang A=2; б) rang A=2.)
7 11
  3 1 2  4 1

5 8
Самостоятельная работа
1. Найти ранг матрицы A и указать какой-либо еѐ базисный минор, если:
 4 1
 1 1
A= 
1
3

4
0
2 0
1 1 
. (Ответ: rang A=3.)
2  1

3 0
Контрольные вопросы
1. Какие строки матрицы называются линейно-зависимыми?
2. Какие строки матрицы называются линейно-независимыми?
3. Что называют рангом матрицы?
4. Какие преобразования матрицы называют элементарными?
5. Сформулируйте теорему о базисном миноре.
6. Расскажите о вычислении ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
7. Расскажите о вычислении ранга матрицы с помощью элементарных
преобразований.
8. Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
9. Какая матрица называется основной матрицей системы, расширенной?
10. Какая СЛАУ называется совместной, не совместной?
11. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Практическое задание №5 Обратная матрица, решение СЛАУ
матричным методом
1. Найти матрицу A 1 , обратную данной матрице A, если:
0
3 1  5
0


а) A= 1 2 4  ; б) A= 
2
3 2  1

1
0
3
7
2
1 1 
1  7 
.
6 1 

2 1 
  7 3  13 41 
 13  3 8
 16

.)
 18
3 3
6 


6
 3 3 3
3 5  2
1
2. Найти матрицу A , обратную матрице A= 1  3 2  .
6 7  3
 10  9 14 
1 
1
1
(Ответ: а) A =  13 12  17 ; б) A 1 =
3
15
  4  3 5 
 5 1 4 
1
(Ответ: A 1 =  15 3  8  .)
10
 25 9  14
3. Для матрицы A найти матрицу A 1 и убедиться, что AA 1 =E, если:
2 1 3
1
A= 1 0 2. (Ответ: A 1 = 2
1 0 4
 0 4 2 
 2 5  1 .)


 0
1  1
4. Доказать совместность систем с помощью теоремы Кронекера-Капелли,
записать системы в матричной форме и решить их матричным способом:
4 x1  2 x2  x3

 x3
б)  x1  2 x2  x3

 x3
x2  x3

(Ответ: а) x1 = x2 = x3 =  1 ; б) x1 = 1 , x2 =  1 , x3 = 2 .)
2 x1

а)  x1


 x2
 2 x2
x2
  1,
  2,
  2;
 0,
 1,
  3.
Самостоятельная работа
2  1
0
5 4 3


1
1. Найти матрицу A , если A=  2  1 2 . (Ответ: A = 4 3 2 .)
7 6 4
 3  2  1
1
2. Решить систему уравнений матричным способом и сделать проверку:
2 x1  x2

3x1  x2
5 x  2 x
2
 1
 5 x3
 5 x3
 13x3
 4,
 0,
 2.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
2. Какая СЛАУ называется совместной, не совместной?
3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
4. Какая матрица называется невырожденной?
5. Какая матрица называется обратной к матрице А?
6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования обратной
матрицы.
7. Расскажите о свойствах обратной матрицы.
8. Расскажите о матричном методе решения СЛАУ.
Практическое занятие №6 Решение СЛАУ с невырожденной матрицей
по формулам Крамера и методом Гаусса
1. Решить системы уравнений, используя формулы Крамера:
 8 x4 
0,
2 x1  3x2
 0,

x2  x3  3x4 
0,

  6, б) 
x3  2 x4 
1,

 1;
 x1
 x4   24.
(Ответ: а) x1 = 1 , x2 = - 2 , x3 = 0 ; б) x1 = - 19 , x2 = 26 , x3 = 11 , x4 = - 5 .)
2 x1

а) 
x
 1

x2
3x 2
 x3
 4 x3
 x3
2. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности
 2 x1  5 x2  8 x3  8,
4 x  3x  9 x  9,

2
3
решить ее:  1
(Ответ: х1=3, х2=2, х3=1.)
2 x1  3x2  5 x3  7,
 x1  8 x2  7 x3  12.
3. Решить системы уравнений а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса:
  1,
4 x1 

 x3   2, б)  x1 

 x3   2;

(Ответ: а) x1 = x2 = x3 =  1 ; б) x1 = 1 ,
2 x1

а)  x1


 x2
 2 x2
x2
2 x2
2 x2
x2
 x3
 x3
 x3
 0,
 1,
  3.
x2 = - 1 , x3 = 2 .)
Самостоятельная работа
1. Решить систему по формулам Крамера и сделать проверку:
 x1

2 x1
x
 1
 2 x2
 x2
 x3

x3
  2,
  1,
  2.
2. Решить систему методом Гаусса и сделать проверку:
 x1  4 x2

2 x1  3x2
3x  x
2
 1
 3x 3
 5 x3
 2x3
  22,
 12,

0.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
2. Какая СЛАУ называется совместной, не совместной?
3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
4. Какая матрица называется невырожденной?
5. Расскажите о решении СЛАУ по формулам Крамера.
6. Какие преобразования матрицы называют элементарными?
7. Какая матрица называется основной матрицей системы, расширенной?
8. Расскажите о решении СЛАУ методом Гаусса.
Практическое занятие №7 Решение произвольных систем методом
Гаусса
1.Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:
 x1

а) 3x1
3x
 1
 7 x2
 5 x2
 4 x2
 3x3
 x3
 2 x3
 0,
2 x1

 0, б) 5 x1
3 x
 0,
 1
 2 x2
 4 x2
 2 x2
 x3
 6 x3
 5 x3
 0,
 0,
 0.
2.Решить системы методом Гаусса:
3x1

а) 3x1
x
 1
 2 x2
 2 x2
 x2
 x3
 x3
 2x 3
 x4
 x4
 5x4
 0,
4 x1

 0 , б) 2 x1
3x
 0;
 1
 2 x2
 3x2
 2 x2
 3x 3
 2x3
 3x 3
 2 x4
 3x 4
 4 x4
 3,
 2,
 1.
(Ответ: а) x1 =14t, x2 =21t, x 3 = x4 =t (t-любое число); б) x1 = -10t+10, x2 =t,
x 3 = -16t+15, x4 =4-5t (t-любое число).)
3.Решить однородную систему уравнений:
 x1
3 x
 1

4 x1
3x1




2 x2
5 x2
5 x2
8 x2
 4x3
 6x3
 2x3
 24 x 3
 3 x4
 4 x4
 3 x4
 19 x4




0,
0,
(Ответ: x1 =8 x 3 -7 x4 , x2 = -6 x 3 +5 x4 .)
0,
0.
Самостоятельная работа
1. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:
8 x1  x2

а)  x1  5 x2
4 x  7 x
2
 1
 3x3
 x3
 2 x3
 0,
 0,
 0,
2 x1  x2

б) 7 x1  5 x2
5 x  4 x
2
 1
 4 x3
 3x3
 x3
 0,
 0,
 0.
2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности
решить еѐ: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом
Гаусса.
4 x1

7 x1
3 x
 1
 9 x2
 4 x2
 5x2
 5 x3
 x3
 4 x3
 1,
 11,
 5.
Контрольные вопросы
1. Какая СЛАУ называется однородной, неоднородной?
2. Какое решение однородной СЛАУ называется нетривиальным?
3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования
нетривиального решения однородной СЛАУ.
4. Расскажите о структуре множества решений однородной СЛАУ.
5. Сформулируйте теорему о базисном миноре.
6. Какие неизвестные называются базисными?
7. Какие неизвестные называются свободными?
8. Расскажите о структуре множества решений неоднородной СЛАУ.
Практическое занятие №8 Линейные операции над векторами.
Проекции вектора
1.По данным векторам a
и b построить следующие их линейные
1
1
1
комбинации: а) 2a  b ; б) a  3b ; в) a  b ; г)  3a  b .
3
2
2
2. В треугольной пирамиде SABC известны вектора SA  a , SB  b , SC  c .
Найти вектор SO , если точка O является центром масс треугольника ABC .
1
(Ответ: SO  (a  b  c) .)
3
3. Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины оснований AD и BC которой
соответственно равны 4 и 2, а угол D равен 45 . Найти проекции векторов
AD, AB, BC , AC на ось l , определяемую вектором CD . (Ответ: пр l AD  2 2,
пр l AB   2, пр l BC  2, пр l AC  0 .)
1
3
4. Даны векторы a  (3,2,6) и b  (2,1,0) . Найти координаты векторов: 2a  b;
1
a  b; 2a  3b . (Ответ: (20/3, -13/3, 12); (3, -5/3, 2); (0, -1, 12).)
3
5. В некотором базисе векторы заданы координатами:
a  (1, 1, 2), e1  (2, 2,  1), e 2  (0, 4, 8), e3  (1,  1, 3). Убедиться, что векторы e1 , e 2 , e3
образуют базис, и найти в нем координаты вектора a . (Ответ: a  (1, 0, 1) .)
Самостоятельная работа
1. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
a  (3,  5, 8) и b  (1, 1,  4). (Ответ: a  b  6 , a  b  14 .)
2. Векторы AB  (2, 6,  4) и AC  (4, 2,  2) определяют стороны треугольника
ABC . Найти длину вектора CD , совпадающего с медианой, проведенной из
вершины C . (Ответ: CD  10 .)
Контрольные вопросы
1. Какую величину называют скалярной?
2. Какую величину называют векторной?
3. Что называют вектором?
4. Что называют длиной вектора?
5. Какие векторы называют одинаково (противоположно) направленными?
6. Какие векторы называют коллинеарными?
7. Какие векторы называют компланарными?
8. Какие векторы называют равными, противоположными?
9. Расскажите о линейных операциях над векторами.
10. Какая совокупность векторов называется линейно-зависимой (линейнонезависимой)?
11. Какую совокупность векторов называют базисом?
12. Что называют координатами вектора?
13. Какими свойствами обладают координаты векторов?
14. Дайте определение проекции вектора.
Практическое занятие №9 Деление отрезка в заданном соотношении.
Скалярное произведение векторов
1. Даны две вершины A (2,  3,  5) , B (1, 3, 2) параллелограмма ABCD и точка
пересечения его диагоналей E (4,  1, 7) . Найти координаты остальных вершин
параллелограмма. (Ответ: C (6, 1, 19) , D (9,  5, 12) .)
2. Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C (2, 0, 2)
и D(5,  2, 0) разделѐн на три равные части. (Ответ: A(1, 2, 4) , B(8,  4,  2) .)
3.Векторы a и b образуют угол   2 / 3 , a  3 , b  4 . Вычислить:
2
2
a ; b ; (a  b) 2 ; (a  b) 2 ; (3a  2b)  (a  2b) . (Ответ: 9; 16; 13; 37; -61.)
2
2
4. Даны векторы a  (4,  2,  4) , b  (6,  3, 2) . Вычислить: a  b ; a ; b ; (a  b) 2 ;
(a  b) 2 ; (2a  3b)  (a  2b) . (Ответ: 22; 36; 49; 129; 41; -200.)
5. Даны вершины треугольника
ABC : A(1,  2, 4), B(4,  2, 0), C(3,  2, 1) .
Вычислить внешний угол при вершине B .(Ответ: 3 / 4 .)
Самостоятельная работа
1. Даны вершины четырѐхугольника A(1,  2, 2), B(1, 4, 0), C(4, 1, 1), D(5,  5, 3) .
Вычислить угол  между его диагоналями. (Ответ:   90 .)
2. При каком значении  векторы a  i  3 j  2k и b  i  2 j  k взаимно
перпендикулярны? (Ответ:   6 .)
3. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a  (2, 1,  1) , при
условии a b  3 . (Ответ: b  (1, 1 / 2,  1 / 2) .)
Контрольные вопросы
1. Что значит точка С делит отрезок АВ в заданном соотношении ? Запишите
соответствующие формулы.
2. Что называют вектором?
3. Что называют длиной вектора?
4. Какие векторы называют коллинеарными?
5. Какие векторы называют взаимно перпендикулярными?
6. Что называют углом между двумя векторами?
7. Что называют скалярным произведением двух векторов?
8. Сформулируйте свойства скалярного произведения двух векторов.
Практическое занятие №10 Векторное и смешанное произведение
векторов
1. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, a  3 , b  4 . Вычислить:
a  b ; (a  b)  (a  b) ; (3a  b)  (a  2b) . (Ответ: 12; 24; 60.)
2. Даны векторы a  (3,  1,  2) , b  (1, 2,  1) . Найти координаты векторов: a  b ;
(2a  b)  b ; (a  b) 2 ; (2a  b)  (2a  b) . (Ответ: (5, 1, 7); (10, 2, 14); (20, 4, 28).)
3. Даны вершины пирамиды А(2, 0, 4), В(0, 3, 7), С(0, 0,6), S(4, 3, 5).
Вычислить ее объем V и высоту H, опущенную на грань ACS.
(Ответ: V=2; H=2/ 3.
4. Лежат ли точки А(1, 2, -1), В(4, 1, 5), С(-1, 2, 1), D(2, 1, 3) в одной
плоскости? ( Ответ: не лежат.)
5. Компланарны ли следующие векторы: а) a  (2, 3, 1), b  (1,  1, 3),
c  (1, 9,  11); б) a  (3,  2, 1), b  (2, 1, 2), c  (3,  1,  2) ? (Ответ: а) компланарны; б)
не компланарны.)
6. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов a  (3, 4, 0), b  (0,  4, 1),
c  (0, 2, 5). (Ответ: левой.)
Самостоятельная работа
1. Дано a  10 , b  2, a b  12. Вычислить a  b . (Ответ: 16.)
2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
a  (0,  1, 1) и b  (1, 1, 1). (Ответ: 6 . )
Контрольные вопросы
1. Какая тройка векторов называется правой (левой)?
2. Что называют углом между двумя векторами?
3. Что называют векторным произведением двух векторов?
4. Сформулируйте свойства векторного произведения двух векторов.
5. Что называют смешанным произведением трех векторов?
6. Сформулируйте свойства смешанного произведения трех векторов.
Практическое занятие №11 Прямая на плоскости
1. Даны вершины треугольника АВС А(-2, 4), В(3, 1), С(10, 7). Найти:
а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ;
г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой,
проходящей через точку С параллельно стороне АВ; е) расстояние от точки С до
прямой АВ.
2. Записать уравнения прямых, которые проходят через точку А(3, -1) и
параллельны: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе первого
координатного угла; г) прямой у=3х+9. (Ответ: а) у= -1; б) х=3; в) у=х-4;
г) у=3х-10.)
Самостоятельная работа
1. Записать уравнения прямой, проходящей через точку Р(5, 2) и отсекающей
равные отрезки на осях координат. (Ответ: х+у-7=0.)
2. Найти уравнение прямой параллельной прямой 12х+5у-52=0 и отстоящей
от нее на расстоянии 2. (Ответ: 12х+5у-26=0 или 12х+5у-78=0.)
Контрольные вопросы
1. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?
2. Запишите каноническое уравнение прямой на плоскости.
3. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на
плоскости.
4. Запишите параметрическое уравнение прямой на плоскости.
5. Какой вектор называется вектором нормали к прямой?
6. Запишите уравнение прямой, с заданным вектором нормали и проходящей
через точку на плоскости.
7. Запишите общее уравнение прямой на плоскости.
8. Запишите уравнение прямой в отрезках.
9. Сформулируйте условия параллельности, перпендикулярности, совпадения и
пересечения двух прямых на плоскости.
10. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости?
Практическое занятие №12 Прямая и плоскость в пространстве
1. Даны четыре точки А1(0, 4, 5), А2(3, -2, 1), А3(4, 5, 6), А4(3, 2, 1). Составить
уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М,
перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) прямой А3N, параллельной прямой
А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2;
е) вычислить синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3; ж) вычислить
косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.
2. Вычислить угол между плоскостями x-2y+2z-3=0 и 3x-4y+5=0. (Ответ:
cos=11/15, =7251.)
3. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями 3x+6y+2z-15=0
и 3x+6y+2z+13=0. (Ответ: 4.)
Самостоятельная работа
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1, 0, 2)
перпендикулярно к двум плоскостям 2x-y+3z-1=0 и 3x+6y+3z-5=0.
(Ответ: 7x-y-5z+3=0.)
2. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(-3, 1, -9) относительно
плоскости 4x-3y-z-7=0. (Ответ: Q(1 ,-2, -10).)
Контрольные вопросы
1. Какой вектор называется нормальным вектором плоскости?
2. Запишите уравнение плоскости, с заданным вектором нормали и проходящей
через точку.
3. Запишите общее уравнение плоскости.
4. Запишите уравнение плоскости в отрезках.
5. Запишите уравнение плоскости, параллельной двум заданным векторам и
проходящей через точку.
6. Расскажите о взаимном расположении двух плоскостей.
7. Какой угол называют углом между двумя плоскостями?
8. Запишите каноническое уравнение прямой в пространстве.
9. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в
пространстве.
10. Запишите параметрическое уравнение прямой в пространстве.
11. Запишите общее уравнение прямой в пространстве.
12. Расскажите о взаимном расположении двух прямых в пространстве.
13. Сформулируйте условия параллельности, совпадения и пересечения двух
прямых в пространстве.
14. Расскажите о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве.
15. Сформулируйте условия параллельности, принадлежности и пересечения
прямой по отношению к плоскости в пространстве.
16. Как найти угол между прямой и плоскостью?
17. Как найти расстояние от точки до плоскости?
Практическое занятие №13 Эллипс, гипербола, парабола
1. Дан эллипс, каноническое уравнение которого имеет вид
x2 y2

 1.
25 9
Найти координаты его фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Сделать
рисунок. (Ответ: F1(-4, 0), F2(4, 0), =0,8, x=±25/4.)
2. По каноническому уравнению гиперболы
x2 y2

 1 найти ее полуоси,
36 64
фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. Сделать рисунок.
3. Построить параболу, ее директрису и фокус, зная каноническое
уравнение параболы: х2=6у.
4. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) его
малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10; б) расстояние между
фокусами равно 6, эксцентриситет равен 3/5; в) расстояние между фокусами
равно 4, расстояние между директрисами равно 5; г) расстояние между
директрисами равно 32, эксцентриситет равен 0,5.
5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:
а) расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10;
б) действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и
фокусом; в) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку А(9, -4).
6. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что:
а) парабола имеет фокус F(0, 2) и вершину в точке О(0, 0); б) парабола
симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точки О(0, 0) и М(1, -4).
Самостоятельная работа
1. Составить уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса
2
x
y2
x2 y2

 1, а фокусы в его вершинах. (Ответ:

 1 .)
225 144
81 144
2. Составить уравнение траектории движения точки М(х, у), если в любой
момент времени она остается равноудаленной от точки А(8, 4) и оси ординат.
(Ответ: (у-4)2=16(х-4) – парабола.)
3. Записать уравнение траектории движения точки М(х, у), если в любой
момент времени она находится в 1,25 раза дальше от точки А(5, 0), чем от прямой
5х-16=0. (Ответ:
x2 y2

 1 .)
16 9
Контрольные вопросы
1. Запишите каноническое уравнение эллипса.
2. Что называют вершинами, центром эллипса?
3. Что называют большой и малой полуосями эллипса?
4. Что называют эксцентриситетом эллипса?
5. Что называют фокусами эллипса?
6. Что называют директрисами эллипса?
7. Каким свойством обладает каждая точка эллипса?
8. Запишите каноническое уравнение гиперболы.
9. Что называют вершинами, центром гиперболы?
10. Что называют действительной, мнимой осями гиперболы?
11. Что называют эксцентриситетом гиперболы?
12. Что называют асимптотами гиперболы?
13. Что называют фокусами гиперболы?
14. Что называют директрисами гиперболы?
15. Каким свойством обладает каждая точка гиперболы?
16. Запишите каноническое уравнение параболы.
17. Что называют вершиной параболы?
18. Что называют фокусом параболы?
19. Что называют директрисой параболы?
20. Каким свойством обладает каждая точка параболы?
Практическое занятие №14 Предел последовательности
1
n
1. Найти первые пять членов последовательности: а) xn  1  (1) n ; б)
xn  n(1  (1) n ); в) xn 
3n  5
3
; г) xn  (1) n arcsin
 n.
2n  3
2
1 1 1 1
2 3 4 5
4 6 8
5 7 9 11
б) 0; 2; 0; 2; … в) 2; ; ; ;  г) 1; 0; -3; 0; 5; 0; -7; 0; … д)  3; ;  ; ;  ; 
3 5 7
3 5 7
9
2. Найти формулу общего члена последовательности: а)  ; ;  ; ;
3.
Указать
номер,
начиная
с
которого
все
члены
последовательности принадлежат заданной -окрестности: а) xn 
заданной
1
; О0,2(0);
4n  1
б) xn 
2n  1
n 1
; О0,1(1); в) xn 
; О0,05(1).
2n
n
4. Заданные равенства записать в логической символике и доказать:
1
2n  17
n 1
 0; б) lim
 2; в) lim
 1; указать п0=п0() для =0,1; =0,01;
n n
n
n n  2
n
n3  1
 ; указать п0=п0() для =10; =100.
г) lim n 2  ; г) lim
n
n
n
n 1
3n 2  7n  1
n2  2
; в) lim 3
;
; б) lim
5. Вычислить пределы: а) lim
n 2  5n  6n 2
n n  8
n 3n
1
1
1   ...  n
3 3
2
n  2n  2
2n  1
2
2 ; ж) lim 1 (1  2  3  ...  n).
; е) lim
; д) lim
г) lim
1
1
n
n n 2
n 7 n  3
n
n 1
1   ...  n
3
3
а) lim
Самостоятельная работа
 1

1
1
1  2  3  ...  n n 
;

 ... 
 ; б) lim 
n 1  2
n
23
(n  1)  n 
n2
2

 1

1
1
2n 1
; г) lim n .
 ... 
в) lim  
n 1  3 3  5
n 2  1
(2n  1)  (2n  1) 


1. Вычислить пределы: а) lim 
Контрольные вопросы
1. Что называют числовой последовательностью?
2. Какая последовательность называется ограниченной?
3. Что называют -окрестностью точки а?
4. Что называют пределом числовой последовательности?
5. Сформулируйте свойства сходящихся последовательностей.
Практическое занятие №15 Предел функции в точке и на
бесконечности
x2  3
x3  2
x2  4x
;
lim
;
lim
;
б)
в)
x3 x 2  3
x0 x 2  5 x  4
x 4 x 2  2
3x  1
x 2  3x
3x 2  8 x  1
; е) lim
; д) lim 2
.
г) lim 2
x x  3
x 7 x  x  1
x x  2
8x3  1
x2  2x  1
x3  8
;
; б) lim 2
; в) lim 2
2. Вычислить пределы: а) lim
1
x1
x2 x  6 x  8
x2  1
x 6 x  5 x  1
1. Вычислить пределы: а) lim
2
x2  4  2
x 2 1 1
x 1  3
x  6 1
; ж) lim
;
; д) lim
; е) lim
2
x0
x0
x10 x  10
x10
x7
x2  9  3
x  16  4
е) lim x  5  x .
г) lim
x


Самостоятельная работа



1. Вычислить пределы: а) lim x x 2  1  x ; б) lim 
x

x2 
x3
; г) lim
в) lim  2 

x1 2 x  1
x0
2
x

1


3
1
3 

;
x1 1  x 1  x 2 
1 x 1
.
x
Контрольные вопросы
1. Что называют пределом функции f(x) в точке х0?
2. Расскажите о геометрической интерпретации предела функции f(x) в точке х0.
3. Что называют пределом функции f(x) в точке х0 слева?
4. Что называют пределом функции f(x) в точке х0 справа?
5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования предела
функции f(x) в точке х0.
6. Что называют пределом функции f(x) на бесконечности?
7. Сформулируйте свойства функций имеющих предел.
8. Расскажите об основных неопределенностях и методах их раскрытия.
Практическое занятие №16 Первый и второй замечательные пределы
sin 19 x
x
sin 5 x
tg6 x
; б) lim
; в) lim
; г) lim
;
x0
x0 sin 6 x
x0 sin 2 x
x0 x
x
1  sin x
sin 10 x
arcsin 4 x
sin 3x
.
; ж) lim
; з) lim
; е) lim
д) lim
x / 2 ( / 2  x) 2
x0 tg3 x
x0
x sin 2 x
x
1. Вычислить пределы: а) lim
x
 7
 x 1 
2. Вычислить пределы: а) lim 1   ; б) lim 

x
x x  2 
x
2 x 1
 3x  4 
; в) lim 

x 3 x  2 
x 1
3
;
x2
x
x
 x2 1
 x 1 
 x 1 


lim
;
г)
д) lim 
 ; е) lim 
 .
x x 2  1 
x  2 x  1 
x  2 x  1 


Самостоятельная работа
x
cos x  sin x
 2x 1 
; в) lim 
1. Вычислить пределы: а) lim ( / 2  x)tgx; б) lim
 ;
x  x  1 
x / 4
x / 2
cos 2 x
x2
x2
 1
 1
г) lim 1   ; д) lim 1   .
x 
x 
x
x
Контрольные вопросы
1. Что называют пределом функции f(x) в точке х0?
2. Сформулируйте свойства функций имеющих предел.
3. Расскажите об основных неопределенностях и методах их раскрытия.
4. Запишите формулы для первого и второго замечательных пределов.
Практическое занятие №17 Производная, её геометрический и
физический смысл
1. Найти производную функции y  3x3  2 x2  3x  1, воспользовавшись
определением производной.
2. Найти производные следующих функций:
x4  1
7
3
а) y  5x  3 x  5  4 ; б) y  x sin x ; в) y  4 ; г) y  ( x5  3x  1)4 ;
x
x 1
7
4
3
 x3  1 
д) y   3 
 x 1
2
3
3. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у=х3+2х-2 в точке с
абсциссой х0=1. (Ответ: у-5х+4=0, 5у+х-6=0)
4. Найти производные следующих функций: а) y  3x3  53 x5 
б) y  x3 sin x  ln x ; в) y 
4
;
x3
x3  1
.
x3  1
5.Записать уравнение касательной и нормали к кривой y  ln( x 2  4 x  4) в
точке x 0 =1. (Ответ: 2 x  y  2  0; x  2 y  1  0 .)
6. Найти производные следующих функций:
2
а) y  x  4  7 x 6 ;
x
7
5
3
б) y  ( x  1)  cos 5x ;
9
 x4  1 
в) y   4  .
 x 1 
Самостоятельная работа
1. Найти производные следующих функций:
а) y  4 x 
2.
4
 3x 2 ;
x
Расстояние,
б) y  x3  tgx  e2 x ;
пройденное
в) y 
sin 2 x
.
x3  1
материальной
точкой
за
время
t
c,
1
1
s  t 4  t 3  2t  1 (s – в метрах). Найти скорость движения данной точки в
4
3
моменты времени t=0; 1; 2 с. (Ответ: 2 м/с; 2 м/с; 6 м/с)
Контрольные вопросы
1. Что называют производной функции f(x) в точке х0?
2. Сформулируйте геометрический и механический смысл производной функции
f(x).
3. Запишите основные правила дифференцирования.
4. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.
5. Запишите уравнения касательной и нормали к кривой у=f(x) в точке х0.
Практическое занятие №18 Правила и формы дифференцирования
Используя формулы и правила дифференцирования, найти производные
данных функций.
1. а) y  x3 sin 3x ;
б) y  e x tg4 x ;в) y  3 x 4  sin 4 x ; г) y  x  ctg2 7 x ;
4
д) y  2 cos 5 x ;
е) y  earctg x .
4
2
2. а) y  (2 x  tg4 x)3 ; б) y  ln 5 ( x  2 x ) ; в) y  sin(tg x ) ;
г) y  x  sin 2 x  2 x ;
x
д) y  2 ln x ; е) y  arctg 1  x 2 .
3. а) y  e 
x2 2 x2
; б) y  (2tg 3x  tg3x)2 ;
cos 2 x  1
4. а) y  x  sin 3x ; б) y 
;
sin 2 x  1
3
г) y  x  cos 2 x  e x .
5. а) y  x3elg 3x ;
г) y  x  sin 7 x  tg2 x .
в) y  3tg
3
5x
в) y  (2cos3x  sin 3x)3 ;
2
б) y  (sin3 x  cos3 2 x)2 ;
в) y  ln( x 4  sin 3 x) ;
Самостоятельная работа
1.Найти производные следующих функций:
2
а) y  x  ctg2 5x ; б) y  ( x3  tg3 2 x)2 ;
в) y  sin( x5  tg2 x) ; г) y  x3  cos 2 x  e x .
Контрольные вопросы
1. Что называют производной функции f(x) в точке х0?
2. Запишите основные правила дифференцирования.
3. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.
Практическое занятие № 19 Логарифмическое дифференцирование.
Производная функции заданной неявно и параметрически
1. Найти производные следующих функций:
а) y  (sin 3x)cos 5 x ;
б) y  ( x3  1) tg 2 x .
2. Найти производные функций y, заданных
уравнениями:
неявно
x
y
а) e xy  x3  y3  3 ; б) xy  arctg  3 ; в) 3 x  3 y  a .
(Ответ: а) y 
3x 2  e xy y
;
 3 y 2  e xy x
б) y  
x2 y  y3  x
;
x 3  xy 2  y
3. Найти производные следующих функций:
2
y
в) y  3   ).
 x
следующими

 e x y  2 xy  4 x 3 
а) y  ( tg3x) ;
б) e
 x  y  5 .  Ответ : y 
2 2

4 y 3  e x y  2 yx 2 

4. Найти производные следующих функций:
а) y  (1  x 4 ) tg 7 x ;
б) y 2  x 2  sin( x 2 y 2 )  5
2 2
x4
x2 y2
4
4

2 xy 2 cos( x 2 y 2 )  2 x 
 Ответ : y 
.

2 y  2 yx 2 cos( x 2 y 2 ) 

5. Найти вторые производные функций, заданных уравнениями:
 y  t 3  t 2  1,
а) 
 x  t 2  t  1;
 y  2 sin 3 t ,
б) 
 x  2 cos 3 t.
6. Записать уравнения касательной и нормали в точке M 0 (2, 2) к кривой
x
1 t
3
1
, y  2  . Ответ : 7 x - 10 y  6  0, 10x  7 y - 34  0
3
2t
2t
t
Самостоятельная работа
1. Найти производные следующих функций.

2x  2 x  y 


а) y  (ctg5x) ;
б) 2  2  2 .  Ответ : y  - y x  y .
2 2


3
2
2. Найти вторую производную функции y  t  t , x  t  2t .
x 3 1
x
y
x y
3. Найти производную второго порядка функции, заданной уравнениями:
1
y  t3  t 2 1, x  .
t
Контрольные вопросы
1. Что называют производной функции f(x) в точке х0?
2. Запишите основные правила дифференцирования.
3. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.
4. Расскажите о логарифмическом дифференцировании функции.
5. Расскажите о дифференцировании функции, заданной неявно
параметрически.
и
Практическое занятие №20 Производные высших порядков.
Дифференциал
1. Найти вторую производную функции y  (1  4 x 2 )  arctg2 x .
2. Дано уравнение движения точки по оси Ox : x  100  5t  0,001t 3 (x
измеряется в метрах, t – в секундах). Найти скорость v и ускорение  этой точки
в моменты времени t0  0, t1  1 , t2  10 с. (Ответ: v=5; 4,997; 4,7 м/с,  =0; -0,006; 0,06 м / с 2 .)
3. Вычислить значение второй производной функции y, заданной уравнением
1
x 4  xy  y 4  1  0 , в точке М(0,1). (Ответ: ).
16
4. Найти дифференциалы первого порядка следующих функций:
а) y  x  tg3 x ;
б) y  arctgx  (arcsin x)2 ;
в) y  ln( x  4  x 2 ) .
5. Найти дифференциал второго порядка функции y  e  x .
3
6. Найти дифференциалы третьего порядка функций: а) y  sin 2 2 x ;б) y 
ln x
.
x
7. Найти приближѐнное значение функции y  x3  4 x 2  5x  3 при х=1,03 с
точностью до двух знаков после запятой. (Ответ: 5,00.)
8. Найти приближѐнное значение 4 17 с точностью до двух знаков после
запятой. (Ответ: 2,03.)
Самостоятельная работа
1. Найти производную второго порядка функции y  ( x2  1)  ln(1  x2 ) .
2. Вычислить значение второй производной функции y , заданной
1
8
уравнением e y  y  x  0 , в точке M1 (1,0) . (Ответ:  )
3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции
y  x ln x .
3
4. Найти приближѐнное значение функции y  3
1 x
, при x= -0,1 с точностью
1 x
до двух знаков после запятой. (Ответ: 1,03.)
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте механический смысл производной функции f(x).
2. Дайте определение производной первого, второго, третьего порядков.
3. Расскажите о дифференцировании функции, заданной неявно и
параметрически.
4. Запишите формулы для вычисления дифференциала первого, второго, третьего
порядков.
5. Расскажите о применении дифференциала в приближенных вычислениях.
Практическое занятие №21 Правило Лопиталя
1. Найти пределы:
x3  7 x 2  4 x  2
а) lim
;
x 1
x3  5 x  4
x  cos x  sin x
б) lim
;
x 0
x3
x
1 
x


г) lim
 ; д) lim  2  
x 1 x  1 ln x 
x  a
a
tgx
2a
;
2. Найти указанные пределы:
e7 x  1
в) lim
;
x  0 tg3 x
е) lim tgx 
2x
x

2
x
;
2
ж) lim   1 .
x   x

1  cos 7 x
а) lim
;
x  0 x  sin 7 x
1
б) lim cos 2 x  .
x2
(Ответ: а)
x 0
7
, б) e 2 .)
2
Самостоятельная работа
Найти указанные пределы:
 x 
ctg 
1. а) lim  4  ;
x2 x  2
1
б) lim  
x  0 x 
3
2. а) lim  x  sin  ;
б) lim x 1 x ;
x  
x
sin x
1
x 1

4
(Ответ: а)  ; б) 1.)
(Ответ: а) 3; б) e 1 .)
Контрольные вопросы
1. Расскажите о нахождении пределов функций по правилу Лопиталя (раскрытие
неопределенностей вида 0/0, /).
2. Расскажите о нахождении пределов функций по правилу Лопиталя (раскрытие
неопределенностей вида 0, -, 00, 0, 1).
Практическое занятие №22 Исследование функций на монотонность и
экстремум
1. Найти интервалы монотонности функции y  x 4  2 x 2  5 . (Ответ: убывает в
(-∞;-1) и (0;1), возрастает в (-1;0) и (1; +∞).)
2. Исследовать на экстремум функцию y  3 x 2  6 x  5 . (Ответ: y min  0 при
x=1 и x=5, ymax  23 2 при x=3)
2
3. Исследовать на экстремум функцию y  x ln 2 x. (Ответ: ymax 
4
при x  e2 ,
e2
ymin  0 при x=1) .
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  2 x3  3x2  12 x  1 на
отрезке [-1;5]. (Ответ: yнаим  6 при x=1, yнаиб  266 при x=5)
Самостоятельная работа
1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y  x  33 x на отрезке
[-1,1]. (Ответ: yнаим  4 , y наиб  4 .)
2. Исследовать на экстремум функцию y  3 x 2  1 ;
(Ответ: ymin  0 при x  1 , ymax  1 при x=0)
2
Контрольные вопросы
1. Какие функции называются монотонными?
2. Сформулируйте условия монотонности функции.
3. Какие точки называются стационарными точками функции?
4. Какие точки называются критическими точками функции?
5. Сформулируйте условия экстремума функции.
6. Расскажите об алгоритме отыскания наибольшего и наименьшего значений
функции f(x) на отрезке [a, b].
Практическое занятие №23 Исследование выпуклости, вогнутости
графиков функций, асимптоты
1. Найти точки перегиба, интервалы вогнутости и выпуклости графика
функции y  ln(1  x 2 ). (Ответ: M 1 (1, ln 2) , M 2 (1, ln 2) )
1
x3
2. Найти асимптоты кривой y 
, (Ответ: x=-1, y  x  1 )
2
2
2( x  1)
3. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой
y  arctgx  x . (Ответ: О(0, 0), (-∞, 0) – выпуклая, (0, +∞)-вогнутая)
4. Провести полное исследование функции y   ln( x 2  4 x  5) и построить ее
график. (Ответ: ymax  0 при x=2; точки перегиба M 1 (1, ln 2), M 2 (3, ln 2) .)
Самостоятельная работа
x3
1. Провести полное исследование функции y 
и построить ее график.
3  x2
(Ответ: точки разрыва x   3; ymax  4,5 при x=3; ymin  4,5 при x= -3; точка
перегиба M1 (0, 0); асимптоты x   3 и у= -х.)
Контрольные вопросы
1. Какие функции называются выпуклыми, вогнутыми?
2. Какую точку называют точкой перегиба функции f(x)?
3. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции.
4. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба функции.
5. Сформулируйте первое, второе достаточные условия перегиба функции.
6. Какую прямую называют вертикальной асимптотой графика функции?
7. Какую прямую называют горизонтальной асимптотой графика функции?
8. Какую прямую называют наклонной асимптотой графика функции?
9. Запишите схему построения графика функции.
Практическое занятие №24 Контрольная работа (пример)


1. Найти
площадь треугольника построенного на векторах a и b
   


a  2 j  3k , b  3i  2 j .


2.Найти угол между векторами a и b при указанных условиях:

 


2

 2 
a  1 , b  2 , a  b  a  2b  20 .
3.Найти предел lim
x2
3x  2  2
.
x2  4
4x
3 
4.Найти предел lim 1 
 .
x   
2x  1 
5. Найти производную первого порядка y , если y  
2
1 
 2  3x  x 2 .
 27 x 9 x 
x 1  x
e .
x 1
 x  t  ln cos t ,
d2y
7. Найти вторую производную 2 функции 
dx
 y  t  ln sin t.
6. Найти вторую производную y , если y 
1
2
8. Под каким углом синусоида y  sin x пересекает прямую y  ?
Вопросы к экзамену
1. Векторы на плоскости и в пространстве.
2. Линейные операции над векторами и их свойства.
3. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Теоремы о
линейной зависимости и независимости системы векторов.
4. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора и их
свойства.
5. Проекция вектора на ось и ее свойства.
6. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного
произведения в ортонормированном базисе.
7. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя
точками, деление отрезка в заданном соотношении.
8. Векторное произведение векторов и его свойства. Вычисление векторного
произведения в ортонормированном базисе.
9. Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление смешанного
произведения в ортонормированном базисе.
10. Каноническое, параметрическое уравнения прямой на плоскости. Уравнение
прямой, проходящей через две точки.
11. Вектор нормали к прямой. Общее уравнение прямой, уравнение прямой в
отрезках на плоскости.
12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до
прямой.
13. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости с заданным нормальным
вектором и проходящей через данную точку. Общее уравнение плоскости.
Угол между плоскостями.
14. Уравнение плоскости параллельной двум данным векторам. Уравнение
плоскости, проходящей через три точки. Взаимное расположение двух
плоскостей.
15. Уравнения прямой в пространстве (каноническое,
уравнение прямой
проходящей через две заданные точки, векторно-параметрическое, общее
уравнение).
16. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости в пространстве. Угол
между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости в
пространстве.
17. Матрицы. Операции сложения матриц и умножения на число, их свойства.
18. Операции умножения матрицы на вектор-столбец, умножения матриц и их
свойства. Транспонирование матриц.
19. Определитель n-го порядка. Способы вычисления определителей.
20. Свойства определителя n-го порядка.
21. Миноры и алгебраические дополнения элемента квадратной матрицы.
22. Ранг матрицы и способы его вычисления.
23. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
24. Совместность системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
25. Решение систем линейных уравнений с невырожденной матрицей матричным
методом.
26. Решение систем линейных уравнений с невырожденной матрицей по
формулам Крамера.
27. Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса.
28. Нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений.
29. Структура решений однородной системы линейных уравнений.
30. Структура решений неоднородных систем линейных уравнений.
31. Кривые второго порядка. Эллипс и его характеристики.
32. Кривые второго порядка. Гипербола и ее характеристики.
33. Кривые второго порядка. Парабола и ее характеристики.
34. Числовые последовательности, их виды и способы задания.
35. Свойства сходящихся последовательностей.
36. Монотонные
числовые
последовательности.
Критерий
сходимости
монотонной последовательности.
37. Второй замечательный предел для числовой последовательности.
38. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности и их
свойства.
39. Теорема о представлении общего члена сходящейся последовательности.
Правила предельного перехода для числовых последовательностей.
40. Понятие предела функции в точке. Эквивалентность определения по Коши и
Гейне.
41. Односторонние пределы и предел функции на бесконечности.
42. Свойства функций, имеющих предел в точке.
43. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
44. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции. Правила
предельного перехода для функций.
45. Первый и второй замечательные пределы для функций. Сравнение функций.
46. Различные определения непрерывности функции в точке. Свойства
непрерывных функций.
47. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функций и их классификация.
48. Непрерывность элементарных функций.
49. Непрерывность функции на отрезке.
50. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
51. Основные правила дифференцирования.
52. Производные элементарных функций.
53. Дифференциал функции, его геометрический смысл.
54. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность
формы дифференциала.
55. Производные высших порядков.
56. Производная функции заданной неявно и параметрически. Дифференциалы
высших порядков.
57. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ферма).
58. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ролля).
59. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Коши).
60. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Лагранжа).
61. Нахождение пределов функций по правилу Лопиталя (раскрытие
неопределенностей вида 0/0, /).
62. Нахождение пределов функций по правилу Лопиталя (раскрытие
неопределенностей вида 0, -, 00, 0, 1).
63. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
64. Разложение основных элементарных функций (у=ex, у=sinx, у=cosx) по
формуле Тейлора.
65. Разложение основных элементарных функций (у=ln(1+x), у=(1+x)) по
формуле Тейлора.
66. Приложения формулы Тейлора в приближенных вычислениях.
67. Монотонность функции. Необходимые и достаточные условия монотонности
функции.
68. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума
функции.
69. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a, b].
70. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия
выпуклости, вогнутости на интервале.
71. Точки перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия
существования у функции точек перегиба.
72. Асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных, горизонтальных и
наклонных асимптот.
73. Схема исследования и построения графика функции.
Задания к типовому расчету
Индивидуальные задания по высшей математике под редакцией Рябушко А.П.
Часть 1.
ИДЗ
1.2
2.1
2.2
3.1
5.1
5.2
6.1
6.2
№
1, 2, 3, 4
2, 3
1, 2
1, 2
1, 3, 6, 7, 9
3
3, 7
1, 2, 5
стр.
41-47
68-73
75-80
97-100
158-165
169-171
208-212
221-225