ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ È ÏÐÅÄÅËÛ ÐÎÑÒÀ ÏÎÏÓËßÖÈÈ ×ÅËÎÂÅÊÀ ÓÄÊ 51-76,77

386
ÂÅÑÒÍ. ÌÎÑÊ. ÓÍ-ÒÀ. ÑÅÐ. 2. ÕÈÌÈß. 2011. Ò. 52. ¹ 5
ÓÄÊ 51-76,77
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ È ÏÐÅÄÅËÛ ÐÎÑÒÀ ÏÎÏÓËßÖÈÈ ×ÅËÎÂÅÊÀ
À.Â. Ëóêîâåíêîâ, Â.Â. Áåëîêóðîâ, Ñ.Ä. Âàðôîëîìååâ
(Èíñòèòóò áèîõèìè÷åñêîé ôèçèêè èì. Í. Ì. Ýìàíóýëÿ ÐÀÍ (ÈÁÕÔ ÐÀÍ),êàôåäðà
õèìè÷åñêîé ýíçèìîëîãèè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà; e-mail: [email protected])
Íà îñíîâå êèíåòè÷åñêèõ ïîäõîäîâ, à òàêæå íà áàçå ïðèíöèïîâ òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ïîñòðîåíà ìîäåëü äèíàìèêè ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà, îáëàäàþùàÿ óñòîé÷èâûì ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåì.  ðåçóëüòàòå àíàëèçà ïîñòðîåííîé ìîäåëè óäàëîñü îöåíèòü ìîäåëüíûå êîýôôèöèåíòû è
ïðåäåëüíóþ ÷èñëåííîñòü íàñåëåíèÿ Çåìëè, à òàêæå õàðàêòåðíûé ñðîê äîñòèæåíèÿ ýòîé ÷èñëåííîñòè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óñòîé÷èâîñòü, ïîïóëÿöèîííàÿ äèíàìèêà, ìîäåëè ðîñòà
ïîïóëÿöèé, ïðåäåëû ðîñòà ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà.
Äèíàìèêà ðàçëè÷íûõ ïî ñâîåé ïðèðîäå õèìè÷åñêèõ
è áèîëîãè÷åñêèõ ÿâëåíèé ÷àñòî èìååò ïîä ñîáîé îáùóþ êèíåòè÷åñêóþ îñíîâó, îïðåäåëÿåìóþ ïðèðîäîé
êèíåòè÷åñêîãî ìåõàíèçìà, äåòåðìèíèðóþùåãî âðåìåííûå çàêîíîìåðíîñòè ïðîöåññà. Åñëè ðàññìîòðåòü
äèíàìèêó ðàçâåòâëåííûõ öåïíûõ èëè àâòîêàòàëèòè÷åñêèõ ðåàêöèé, ïðîöåññ ðîñòà êëåòî÷íûõ ïîïóëÿöèé
èëè ðàêîâûõ êëåòîê, çàêîíîìåðíîñòè ðàçâèòèÿ ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà, òî ìîæíî îáíàðóæèòü îáùèå ÷åðòû.
Ïðîöåññû èìåþò çíà÷èòåëüíûé ïåðèîä èíäóêöèè,
÷àñòî ïåðåõîäÿò â ôàçó ýêñïîíåíöèàëüíîãî èëè ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíîãî âçðûâà, îäíàêî ìîãóò ïðîòåêàòü è
â óñòîé÷èâîì ëèíåéíîì èëè ñòàöèîíàðíîì ðåæèìàõ.
Âîïðîñàì êèíåòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ðàçâåòâëåííûõ öåïíûõ è àâòîêàòàëèòè÷åñêèõ ðåàêöèé, àâòîêàòàëèòè÷åñêîãî ðîñòà êëåòî÷íûõ ïîïóëÿöèé çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëÿëè êëàññèêè õèìè÷åñêîé êèíåòèêè
Í.Í. Ñåìåíîâ è Í.Ì. Ýìàíóýëü [1, 2]. Êèíåòè÷åñêèå
îñíîâû êëåòî÷íîãî ðîñòà èçëîæåíû â [3, 4]. Âåñüìà
áëèçêèì ïî êèíåòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîöåññ ðîñòà ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà [5–7]. Î÷åâèäíî, ÷òî êèíåòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âñåõ ýòèõ ñèñòåì îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,
îïèñûâàþùåãî äèíàìèêó êàæäîãî ïðîöåññà, è îãðàíè÷åíèÿìè, ñâÿçàííûìè ñ ïàðàìåòðàìè (êîíñòàíòàìè)
ïðîöåññà. Âìåñòå ñ òåì â êèíåòè÷åñêîì ïîâåäåíèè
âñåõ îáñóæäàåìûõ ñèñòåì ëåæàò îáùèå áàçîâûå çàêîíîìåðíîñòè, îïðåäåëÿþùèå óñòîé÷èâûé èëè íåóñòîé÷èâûé òèï ïîâåäåíèÿ.
Âîïðîñàì óñòîé÷èâîñòè õèìè÷åñêèõ è áèîõèìè÷åñêèõ ñèñòåì ïîñâÿùåíû ðàáîòû [8, 9]. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âûñøåé ñòåïåíè èíòåðåñíûì ïðèìåíåíèå ýëåìåíòîâ òåîðèè óñòîé÷èâîñòè è ê èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà.
Ò. Ìàëüòóñ â ñâîåé êëàññè÷åñêîé ðàáîòå [5]
âïåðâûå îáðàòèë âíèìàíèå íà âîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêè îïèñàòü äèíàìèêó ðîñòà ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà. Îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî ðîñò ÷èñëåííîñòè íàðîäîíàñåëåíèÿ Çåìëè ïðîèñõîäèò â ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè èëè (â íåïðåðûâíîì ïðåäñòàâëåíèè) â âèäå
ýêñïîíåíòû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñêîðîñòü ðîñòà íàñåëåíèÿ â êàæäûé ìîìåíò ïðîïîðöèîíàëüíà åãî íàëè÷íîé ÷èñëåííîñòè:
(1)
Äîáàâëÿÿ ê ýòîìó óðàâíåíèþ íà÷àëüíîå óñëîâèå
N(0) = N0, ìîæíî ïîëó÷èòü îçíà÷åííóþ âûøå ýêñïîíåíòó:
N(t) = N0eat.
(2)
Ðåøåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì çíà÷åíèåì
ïîêàçàòåëÿ ýêñïîíåíòû è ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì
[10–13]. Ê ñåðåäèíå XX â. âûÿñíèëîñü, ÷òî íåóñòîé÷èâîñòü – íå åäèíñòâåííûé íåäîñòàòîê ðåøåíèÿ.
Áîëåå òùàòåëüíûé àíàëèç, ïðîâåäåííûé Õ. ôîí Ôåðñòåðîì è åãî êîëëåãàìè íà îñíîâå äàííûõ î ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ ïëàíåòû çà ïåðèîä ñ íà÷àëà íàøåé
ýðû äî 1960 ã., ïðèâåë ê âûâîäó, ÷òî â ðåàëüíîñòè
ðîñò ïðîèñõîäèò ñóùåñòâåííî áûñòðåå, íåæåëè ïî
ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó Ìàëüòóñà. Â ðàáîòå [6]
áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ïîñëåäíèå 2000 ëåò ñêîðîñòü
ðîñòà áûëà ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó íàëè÷íîé ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ:
(3)
ÂÅÑÒÍ. ÌÎÑÊ. ÓÍ-ÒÀ. ÑÅÐ. 2. ÕÈÌÈß. 2011. Ò. 52. ¹ 5
387
Ïîñòàíîâêà äëÿ óðàâíåíèÿ (3) çàäà÷è Êîøè ñ òåì æå
íà÷àëüíûì óñëîâèåì N(0) = N0 ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ
ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà:
(4)
Ðàñ÷åò êîýôôèöèåíòîâ äàåò ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
N(t) = 2⋅1011(2025 – t),
(5)
èç êîòîðîãî î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ N(t) òåðïèò ðàçðûâ â ìîìåíò tcr = 2025 ã., ò.å. â ñðàâíèòåëüíî áëèçêîå âðåìÿ. Ê àíàëîãè÷íîìó âûâîäó ïðèõîäÿò è àâòîðû áîëåå íîâûõ èññëåäîâàíèé [7, 14].
×òîáû óñòðàíèòü âîçíèêàþùèé ïàðàäîêñ (ðàçâèòèå
ïîïóëÿöèè äî áåñêîíå÷íîé ÷èñëåííîñòè çà êîíå÷íîå
âðåìÿ) â [14] ïðåäëàãàåòñÿ ïîäõîä, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà èìååò ëèíåéíóþ
çàâèñèìîñòü îò èìåþùåéñÿ ÷èñëåííîñòè ëþäåé, îäíàêî
ïàðàìåòð ñêîðîñòè ðîñòà (a) â òàêîé çàâèñèìîñòè íå
ïîñòîÿíåí, à ñàì çàâèñèò îò âðåìåíè ÷åðåç óðàâíåíèå
a(t) = kJ(t),
(8)
ãäå ôóíêöèÿ f(N) àíàëèòè÷åñêàÿ â îêðåñòíîñòè âñåõ
ïîëîæèòåëüíûõ N;
3) óðàâíåíèå èìååò óñòîé÷èâîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå, ò.å. ðåøåíèå, íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè;
4) â ïîñëåäíèå 2000 ëåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ áëèçêî ê ãèïåðáîëå (5).
Èç ýòèõ ÷åòûðåõ âåñüìà îáùèõ óñëîâèé ìîæíî
âûâåñòè óðàâíåíèå, äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàþùåå
÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà. Äëÿ ýòîãî èìååò
ñìûñë âîñïîëüçîâàòüñÿ àëãîðèòìîì [8], ïîçâîëÿþùèì îïðåäåëÿòü óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Èç íåãî íàïðÿìóþ ñëåäóåò, ÷òî ñòàöèîíàðíîå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà p > q.  ñàìîì äåëå,
(6)
ãäå ïîä J(t) ïîíèìàåòñÿ êîëè÷åñòâî íàêîïëåííîé ÷åëîâå÷åñòâîì èíôîðìàöèè. Ïîëàãàÿ, ÷òî ñêîðîñòü ïðîèçâîäñòâà èíôîðìàöèè çàâèñèò îò íàëè÷íîãî êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè ëèíåéíî, ò.å. ÷òî
è ÷òî J(0) = J0, ëåãêî ïîëó÷èòü óïðàâëÿþùóþ ôóíêöèþ â âèäå ýêñïîíåíòû: J(t) = J0emt. Òîãäà, ñîãëàñíî
ïðåäïîëîæåíèþ è óðàâíåíèþ (6), áóäåì èìåòü:
(7)
Ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå [14] õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ
ôîðìóëîé (7). Îäíàêî åå íåäîñòàòîê ïî-ïðåæíåìó ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî, õîòÿ
ïðåäëîæåííàÿ ôóíêöèÿ è ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ïðîòèâîðå÷èé, ñâÿçàííûõ ñ ðàçðûâîì è óõîäîì ÷èñëåííîñòè
ïîïóëÿöèè â áåñêîíå÷íîñòü.
Èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò âàæíûé ôàêò: ñðåäè
âñåõ ìîäåëåé ðîñòà ÷åëîâå÷åñêîé ïîïóëÿöèè íóæíî
îñîáî âûäåëÿòü òå, ÷òî óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì
óñëîâèÿì:
1) ñâÿçûâàþò ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè ëþäåé òîëüêî
ñ ñàìîé ýòîé ÷èñëåííîñòüþ;
2) îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
âèäà
(9)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f(N)
ðàçëîæåíà â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Òîãäà
íàèáîëåå ïðîñòûì ñëó÷àåì, êîãäà f(N) = 0, ñòàíåò
òîò, ãäå f(N) ñîñòîèò èç äâóõ ÷ëåíîâ ðàçíîãî çíàêà,
ò.å. èìååò âèä (9). Ó âñåõ óðàâíåíèé âèäà (9) åñòü
òî÷êà ïåðåãèáà
(10)
Èç ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî
õîðîøèì è ïðèòîì äîñòàòî÷íî ïðîñòûì ïðèáëèæåíèåì ê ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé ÷åòûðåì âûøåïðèâåäåííûì óñëîâèÿì, áóäåò ôóíêöèÿ âèäà
388
ÂÅÑÒÍ. ÌÎÑÊ. ÓÍ-ÒÀ. ÑÅÐ. 2. ÕÈÌÈß. 2011. Ò. 52. ¹ 5
(11)
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî a ãîðàçäî áîëüøå b, òî
ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè íåáîëüøèõ ÷èñëåííîñòÿõ
ïîïóëÿöèè ýòî óðàâíåíèå ïðàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî
(3), ÷òî äåëàåò åãî ñîîòâåòñòâóþùèì ÷åòâåðòîìó èç
ïðèâåäåííûõ âûøå óñëîâèé. Óñëîâèÿ 2 è 3 äëÿ óðàâíåíèÿ âûïîëíåíû, ðàâíî êàê è óñëîâèå 1. Òî, ÷òî ó
÷ëåíà ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì òðåòüÿ ñòåïåíü, âûçâàíî òåì ôàêòîì, ÷òî ïðè áîëüøîé ðàçíèöå ìåæäó
p è q â óðàâíåíèè òî÷êà ïåðåãèáà è îêðóæàþùèé
åå ïî÷òè ëèíåéíûé ó÷àñòîê áóäóò âåñüìà íåäàëåêî
îòñòîÿòü îò ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (11).
 íàñòîÿùåå âðåìÿ î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êà ïåðåãèáà
íà ãðàôèêå ðîñòà ïîïóëÿöèè óæå ïðîéäåíà, ïîñêîëüêó
ñêîðîñòü ðîñòà íàñåëåíèÿ â ðàçâèòûõ ñòðàíàõ (ñóììàðíîå íàñåëåíèå êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò áîëåå ìèëëèàðäà ÷åëîâåê) ïåðåøëà ÷åðåç ìàêñèìóì äîâîëüíî
äàâíî (50–70-å ãîäû XX â.).  ìèðå â öåëîì, à ðàâíî è â ñòðàíàõ ñ íàñåëåíèåì ñâûøå ìèëëèàðäà ÷åëîâåê (Êèòàå è Èíäèè), ñêîðîñòü ðîñòà íàñåëåíèÿ
ïðåîäîëåëà ìàêñèìóì â ïåðèîä ñ 1980 ïî 2005 ã.
(ðèñ. 1). Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëî
XXI â. ñòàëî òî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà ÷èñëåííîñòè
íàñåëåíèÿ Çåìëè.  òî æå âðåìÿ â íàñòîÿùèé ìîìåíò ñêîðîãî âûõîäà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè íà ñòàöèîíàð íå íàáëþäàåòñÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷ëåí
ñî çíàêîì ìèíóñ äîëæåí èìåòü ñòåïåíü, áëèçêóþ ê
2, ò.å. ðàâíóþ 3.
Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11), êàê íåòðóäíî âèäåòü, ðàâíî Nst = a/b. Ê ýòîìó ðåøåíèþ ñòÿãèâàþòñÿ âñå ðåøåíèÿ, ñòàðòóþùèå ñ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ N(0) = N0 < a/b, ïîòîìó îíè òàêæå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâû. Òî÷êà ïåðåãèáà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
íûíåøíåé ÷èñëåííîñòè â 6–7 ìëðä ÷åëîâåê, âû÷èñëÿåòñÿ èç ôîðìóëû 2a/3b, ò.å. ñåé÷àñ ÷åëîâå÷åñòâî äîñòèãëî ïðèìåðíî äâóõ òðåòåé îò ïðåäåëüíîé ñâîåé
÷èñëåííîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ÷èñëåííîñòü
ðàâíà ïðèìåðíî 9,0–10,5 ìëðä ÷åëîâåê. Áîëåå òî÷íûé
ðàñ÷åò, îñíîâàííûé íà ñòàòèñòè÷åñêîì àíàëèçå ïðèìåðíî ëèíåéíîãî ó÷àñòêà ðîñòà ñ 50-õ ãã. XX â., äàåò
çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ÷èñëåííîñòè 9,5 ìëðä ÷åëîâåê.
Ðàñ÷åòíàÿ ìîäåëüíàÿ êðèâàÿ âìåñòå ñ ðåàëüíûìè
äàííûìè è ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè, à òàêæå ñðåäíèì
âàðèàíòîì ïðîãíîçà ÎÎÍ íà 2000–2050 ãã. ïðèâåäåíà
íà ðèñ. 1.
Âûÿâëåííàÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå äèíàìèêà ðîñòà
÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ÷åëîâåêà ïðîñëåæèâàåòñÿ çà
áîëüøîé ïåðèîä âðåìåíè (îêîëî 270–300 ëåò, ñì.
Ðèñ. 1. Èçìåíåíèå ñêîðîñòè ðîñòà íàñåëåíèÿ ìèðà, à òàêæå Êèòàÿ è
Èíäèè ñ 1955 ïî 2005 ãã. [15]: 1 – Êèòàé, 2 – Èíäèÿ, 3 – ìèð
Ðèñ. 2. Ìîäåëüíàÿ è ðåàëüíàÿ [15, 16] êðèâûå ðîñòà íàñåëåíèÿ
Çåìëè. Òî÷êè ñ 2010 ïî 2050 ã. – ñðåäíèé âàðèàíò ïðîãíîçà ÎÎÍ çà
2008 ã. [15]: 1 – íàñåëåíèå Çåìëè, 2 – íàñåëåíèå ïî ìîäåëè,
3 – ñðåäíèé âàðèàíò ïðîãíîçà ÎÎÍ
ðèñ. 2). Ïðè ýòîì óðàâíåíèå äîñòàòî÷íî õîðîøî
îïèñûâàåò íàáëþäàåìûé äèíàìè÷åñêèé ôåíîìåí. Ýòî
ïîçâîëÿåò íàäåÿòüñÿ, ÷òî ýêñòðàïîëÿöèÿ íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîé ïåðèîä âðåìåíè (50–70 ëåò) äîëæíà
ïðèâîäèòü ê äîñòàòî÷íî îáîñíîâàííîìó ðåçóëüòàòó.
ÂÅÑÒÍ. ÌÎÑÊ. ÓÍ-ÒÀ. ÑÅÐ. 2. ÕÈÌÈß. 2011. Ò. 52. ¹ 5
Ïîëó÷åííîå ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå àñèìïòîòè÷åñêè
óñòîé÷èâî è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ÷èñëåííîñòü íàñå-
389
ëåíèÿ Çåìëè áóäåò â îñíîâíîì äîñòèãíóòà ïðèáëèçèòåëüíî ê 2100 ã.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñåìåíîâ Í.Í. Èçáðàííûå òðóäû. Ì., 2004.
2. Ýìàíóýëü Í. Ì., Åâñååíêî Ë. Ñ. Êîëè÷åñòâåííûå îñíîâû
êëèíè÷åñêîé îíêîëîãèè. Ì., 1970.
3. Âàðôîëîìååâ Ñ. Ä., Êàëþæíûé Ñ. Â. Áèîòåõíîëîãèÿ: Êèíåòè÷åñêèå îñíîâû ìèêðîáèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ì.,
1990.
4. Âàðôîëîìååâ Ñ.Ä., Ãóðåâè÷ Ê.Ã. Áèîêèíåòèêà. Ì., 1999.
5. Th. Malthus. An Essay about the Principle of Population. L.,
1798.
6. fon Foerster H., Mora P. M., Amiot L. W. // Science. 1960. N 132.
P. 1291.
7. Êàïèöà Ñ.Ï. Îáùàÿ òåîðèÿ ðîñòà ÷åëîâå÷åñòâà: ñêîëüêî
ëþäåé æèëî, æèâåò è áóäåò æèòü íà Çåìëå. Ì., 1999.
8. Âàðôîëîìååâ Ñ.Ä., Ëóêîâåíêîâ À.Â. Óñòîé÷èâîñòü â õèìè÷åñêèõ è áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Èíñòèòóò ïðîáëåì õèìè÷åñêîé ôèçèêè ÐÀÍ. Åæåãîäíèê. 2008. T. V. Ñ. 65.
9. Âàðôîëîìååâ Ñ. Ä., Ëóêîâåíêîâ À. Â. // ÆÔÕ. 2010. 84. ¹ 8.
Ñ. 1448.
10. Ëÿïóíîâ À.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ.
Ì., 2000.
11. Ýëüñãîëüö Ë.Ý. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. Ì., 1969.
12. Çåëüäîâè÷ ß.Á., Ìûøêèñ À.Ä. Ýëåìåíòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè. Ì., 1967.
13. Ñàìîéëåíêî À.Ì., Êðèâîøåÿ Ñ.À., Ïåðñòþê Í.À. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ: ïðèìåðû è çàäà÷è. Ì., 1989.
14. Varfolomeev S. D., Gurevich K. G. // J. Theoretical Biology.
2001. N 212. P. 367.
15. World Population Prospects: The 2008 Revision Population
Database. Population Division, Department of Economic and
Social Affairs, 11 March 2009 (http://esa.un.org/UNPP/
p2k0data.asp).
16. The World at Six Billion. Population Division, Department of
Economic and Social Affairs, United Nations Secretariat, 12
October 1999 (http://www.un.org/esa/population/
publications/sixbillion/sixbilpart1.pdf).
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02.06.2010
STABILITY AND HUMAN POPULATION GROWTH LIMITS
A.V. Lukovenkov, V.V. Belokurov, S.D. Varfolomeev
(Emanuel Institute of Biochemical Physics of RAS, Moscow, Russia Moscow State University,
Moscow, Russia)
In the article on the basis of kinetical approach and general principles of Lyapunov’s stability
theory was built a model of human population dynamics which has a stable stationary solution. An
analysis of the model suggested gives the values of model coefficients and allows to estimate
limits of human population growth and characteristic time needed to reach the limits.
Key words: stability, population dynamics, population growth models, limits of human
population growth.
Ñâåäåíèÿ îá àâòîðàõ: Ëóêîâåíêîâ Àë åêñàíäð Âàñèëüåâè÷ – ìë. íàó÷. ñîòð. ÈÁÕÔ ÐÀÍ, àñï. III ãîäà
([email protected]); Áåëîêóðîâ Âëàäèìèð Âèêòîðîâè÷ – è.î. ïðîðåêòîðà ÌÃÓ, ïðîôåññîð êàôåäðû êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè è òåîðèè ïîëÿ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, äîêòîð ôèç.-ìàòåì. íàóê, ïðîôåññîð; Âàðôîëîìååâ Ñåðãåé
Äìèòðèåâè÷ – äèðåêòîð ÈÁÕÔ ÐÀÍ, çàâ. êàôåäðîé õèìè÷åñêîé ýíçèìîëîãèè õèìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, ÷ë.êîðð. ÐÀÍ, äîêòîð õèì. íàóê, ïðîôåññîð.