Математическое моделирование

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
Ê 200-ËÅÒÈÞ ÄÅÌÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÎÉ ÒÅÎÐÅÌÛ Ò.Ð. ÌÀËÜÒÓÑÀ
Ê.Ê. Äæàíñåèòîâ*
 íàñòîÿùåé ðàáîòå íà áàçå òåîðèè êëåòî÷íûõ àâòîìàòîâ ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â äåìîãðàôè÷åñêîé òåîðåìå
Ò.Ð. Ìàëüòóñà, â ãëîáàëüíûõ ìîäåëÿõ äèíàìèêè ìèðà Äæ. Ôîððåñòåðà è ãðóïïû Ä.Ë. Ìåäîóçà íåîáîñíîâàííî
èñïîëüçóþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûå çàêîíû èçìåíåíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ èññëåäóåìûõ èìè ñèñòåì.
Ñëåäîâàòåëüíî, èõ âûâîäû è ñóùåñòâåííî îïèðàþùèåñÿ íà íèõ âûâîäû è ðåêîìåíäàöèè ñòîðîííèêîâ ýêîíîìè÷åñêîé
øêîëû Äæ.Ì. Êåéíñà, êîíöåïöèé îðãàíè÷åñêîãî ðîñòà ìèðà è ãëîáàëèçìà íåëüçÿ ñ÷èòàòü îïðàâäàííûìè.
1. Îáîñíîâàíèå ñâîåé òåîðåìû Ò.Ð. Ìàëüòóñîì
×óòü áîëåå äâóõñîò ëåò íàçàä, â 1798 ã., àíãëèéñêèé ýêîíîìèñò, ñâÿùåííèê Òîìàñ Ðîáåðò Ìàëüòóñ [1] ñôîðìóëèðîâàë ïî÷òè ìàòåìàòè÷åñêîå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1 (“äåìîãðàôè÷åñêàÿ òåîðåìà Ìàëüòóñà”)  ñèëó áèîëîãè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ëþäåé íàñåëåíèå
èìååò òåíäåíöèþ ðàçìíîæàòüñÿ â ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè (ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó N(t) = Aeαt, ãäå α >
0), à ñðåäñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìîãóò óâåëè÷èâàòüñÿ ëèøü â àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè (ïî ñòåïåííîìó çàêîíó
S(t) = Bt2).
Õîä ðàññóæäåíèÿ Ò.Ð. Ìàëüòóñà ìîã áûòü ïðèìåðíî ñëåäóþùèì.
Ïóñòü N0 – íà÷àëüíàÿ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè, m – ñðåäíåå ÷èñëî ïîòîìêîâ, êîòîðîå ìîæåò äàòü îäíà îñîáü
ïîïóëÿöèè çà ãåíåðàöèîííûé öèêë ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ âñåõ íåîáõîäèìûõ ñðåäñòâ äëÿ æèçíè îñîáè è
ðàçìíîæåíèÿ, t – âðåìÿ (íîìåð ãåíåðàöèè). Òîãäà ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè áóäåò ðàñòè ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
N(0) = A, N(1) = Am, N(2) = Am2,…, N(k) = Amk,…,
N(t) = Amt = Aet·ln m = Aeαt (α = ln m > 0)
Ïóñòü S0 – íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî “ïèùè” äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîïóëÿöèè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü èäåàëüíî
çàêîíñåðâèðîâàíà, d – ðåãóëÿðíûé ïðèðîñò “óðîæàéíîñòè” ïèùè çà îäíî ãåíåðàöèîííîå âðåìÿ ïîïóëÿöèè. Òîãäà, ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ ïîòðåáëåíèÿ, ïèùà áóäåò íàêàïëèâàòüñÿ êàê ñóììà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè è çà
t ãåíåðàöèîííûõ öèêëîâ ïîïóëÿöèè íå ïðåâçîéäåò âåëè÷èíó Bt2:
S(t) = S0 + (S0 + d) + (S0 + 2d) + … + (S0 + kd) + … + (S0 + td) =
d + dt
dt 2 + dt 2
2
t < 2S 0 t +
= S 0 ⋅ (t + 1) +
= (2S 0 + d )t 2 = Bt 2 .
2
2
Ñïðàâåäëèâîñòüþ ýòîé òåîðåìû Ò.Ð. Ìàëüòóñ è âïîñëåäñòâèè íåîìàëüòóçèàíöû – À. Ïèêîê, Ê. Áîóëäèíã, Ó.
Ôîãò è Ï. Ýðëèõ (ÑØÀ), Ô. Îñáîðí è Ã. Òåéëîð (Âåëèêîáðèòàíèÿ), Ã. Áóòóëü (Ôðàíöèÿ) è äð. îáúÿñíÿëè áåäñòâåííîå ïîëîæåíèå çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè íàñåëåíèÿ ãîñóäàðñòâà, áåçðàáîòèöó, èñòîùåíèå ìèíåðàëüíî-ñûðüåâûõ è
ïèùåâûõ ðåñóðñîâ ìèðà, ðàçðóøåíèå îêðóæàþùåé ñðåäû èç-çà òîãî, ÷òî ñðåäñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, ïðèõîäÿùèåñÿ
íà äóøó íàñåëåíèÿ, ñ ðîñòîì t íåèçáåæíî äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, òî åñòü
S (t )
Bt 2
= lim αt = 0
.
N (t )
Ae
t→∞
t→∞
lim s (t ) = lim
t→∞
 ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ, ïî Ò.Ð. Ìàëüòóñó, ïàðàäîêñ Ïðèðîäû èëè áèîëîãè÷åñêàÿ ñóùíîñòü ïîïóëÿöèè (íàñåëåíèÿ).
Ñîãëàñíî èì æå, ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ÷èñëåííîñòüþ íàñåëåíèÿ è êîëè÷åñòâîì ñðåäñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåãóëèðóåòñÿ ýïèäåìèÿìè, ãîëîäîì, âîéíàìè, íåïîñèëüíûì òðóäîì, èñòðåáëÿþùèì ìàññû ëþäåé, òî åñòü áåäñòâèÿìè,
îêàçûâàþùèìèñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, íåèçáåæíûìè ïðîÿâëåíèÿìè îáúåêòèâíûõ çàêîíîâ Ïðèðîäû.
2. Ñâÿçü êåéíñèàíñòâà ñ ìàëüòóçèàíñòâîì
Àêòóàëüíûå ïîëîæåíèÿ Ò.Ð. Ìàëüòóñà è ñåé÷àñ èç-çà áîëüøîé ðîëè â ñîâðåìåííîé çàïàäíîé ýêîíîìè÷åñêîé
ìûñëè êåéíñèàíñòâà, îñíîâîïîëîæíèêîì êîòîðîãî áûë ïðåäñòàâèòåëü êåìáðèäæñêîé øêîëû ýêîíîìèñòîâ, ìàòåìàòèê è ãîñóäàðñòâåííûé äåÿòåëü Äæîí Ìåéíàðä Êåéíñ, îáúÿñíÿâøèé ôàêòè÷åñêè ïîëîæåíèÿìè Ò.Ð. Ìàëüòóñà
ñóùåñòâóþùèå â íàñòîÿùèé ìîìåíò ìåæãîñóäàðñòâåííûå, ìåæðåãèîíàëüíûå, ýêîíîìèêî-ïîëèòè÷åñêèå âçàèìîîòíîøåíèÿ â ìèðå [2].
Âåñòíèê ÊðàñÃÓ
 ñâîåì îñíîâíîì ñî÷èíåíèè [2] Äæ.Ì. Êåéíñ â 1936 ã. ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíûå ïðèíöèïû ýêîíîìè÷åñêîé
ïîëèòèêè ãîñóäàðñòâà, ñóùíîñòü êîòîðîé – ãîñóäàðñòâåííîå ðåãóëèðîâàíèå ýêîíîìèêè ñ öåëüþ áåñïåðåáîéíîãî
õîäà âîñïðîèçâîäñòâà â èíòåðåñàõ ìîíîïîëèé. Äæ.Ì. Êåéíñ è åãî ïîñëåäîâàòåëè âçÿëè íà âîîðóæåíèå ðÿä ïîëîæåíèé Ò.Ð. Ìàëüòóñà, â âîïðîñàõ ðåàëèçàöèè è ìåðàõ ïîääåðæàíèÿ òàê íàçûâàåìîãî “ýôôåêòèâíîãî ñïðîñà” äëÿ
ðåãóëèðîâàíèÿ ýêîíîìèêè.
Äîñòàòî÷íî íàïîìíèòü îòäåëüíûå ìîìåíòû ðàçðàáîòàííîé Äæ.Ì. Êåéíñîì ïðîãðàììû ýêîíîìè÷åñêîé ïîëèòèêè ãîñóäàðñòâà, ÷òîáû ïðî÷óâñòâîâàòü âëèÿíèå ìàëüòóçèàíñòâà, íàïðèìåð:
- âñåìåðíîå óâåëè÷åíèå ðàñõîäîâ ãîñóäàðñòâà, îáåñïå÷èâàþùèõ âûñîêèå ïðèáûëè ìîíîïîëèÿì, ïðåæäå âñåãî ñâÿçàííûì ñ ìèëèòàðèçàöèåé ýêîíîìèêè;
- èíôëÿöèîííàÿ ïîëèòèêà, íàïðàâëåííàÿ íà îòíîñèòåëüíîå (ñ ïîìîùüþ ïîíèæåíèÿ çàðàáîòíîé ïëàòû ðàáî÷èõ) è àáñîëþòíîå (ñ ïîìîùüþ ðåãóëèðóåìîé èíôëÿöèè) óâåëè÷åíèå äåíåã â îáðàùåíèè;
- ïîëèòèêà ïîíèæåíèÿ è îãðàíè÷åíèÿ çàðàáîòíîé ïëàòû ðàáî÷èõ;
- ðåãóëèðîâàíèå çàíÿòîñòè (îò 3 äî 6% áåçðàáîòíûõ) è ïðîãðàììèðîâàíèå ðîñòà áåçðàáîòèöû ñ öåëüþ ïîíèæåíèÿ çàðàáîòíîé ïëàòû ðàáî÷èõ è ïðåîäîëåíèå èõ ñîïðîòèâëåíèÿ;
- öèêëè÷åñêîå áàëàíñèðîâàíèå áþäæåòà è öèêëè÷åñêàÿ íàëîãîâàÿ ïîëèòèêà, ÷òî, åñòåñòâåííî, ñïîñîáíû âûäåðæàòü (ïåðåæèòü) òîëüêî êðóïíûå ìîíîïîëèñòû.
Âî âñåì ïåðå÷èñëåííîì òàê è ïðîñìàòðèâàåòñÿ ìûñëü, ÷òî âñåì â ïðåäåëàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ãîñóäàðñòâà
âñå ðàâíî âñåãî íå õâàòèò, òàê ïóñòü ïðîöâåòàþò õîòÿ áû ìîíîïîëèñòû – îñíîâíûå ïàðòíåðû è íàäåæíàÿ îïîðà
ãîñóäàðñòâà.
3. Ýêñïîíåíöèàëüíûå çàêîíû â äîêëàäàõ Ðèìñêîãî êëóáà
Øèðîêî èçâåñòíûì Ðèìñêèì êëóáîì ñ 1968 ïî 1972 ãã. áûë îðãàíèçîâàí ïðîåêò “Ñëîæíîå ïîëîæåíèå ÷åëîâå÷åñòâà”, öåëüþ êîòîðîãî áûëî ðàññìîòðåíèå êîìïëåêñà ïðîáëåì, çàòðàãèâàþùèõ íàñåëåíèå âñåõ ñòðàí: íèùåòà
ñðåäè èçîáèëèÿ; äåãðàäàöèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû; óòðàòà äîâåðèÿ ê ñîöèàëüíûì èíñòèòóòàì; áåñêîíòðîëüíûé
ðîñò ãîðîäîâ; íåîáåñïå÷åííîñòü çàíÿòîñòè íàñåëåíèÿ; îò÷óæäåíèå ìîëîäåæè; îòðèöàíèå òðàäèöèîííûõ öåííîñòåé; èíôëÿöèÿ è äðóãèå äåíåæíûå è ýêîíîìè÷åñêèå êðèçèñû. Ýòè ïðîáëåìû âêëþ÷àþò â ñåáÿ òåõíè÷åñêèå,
ñîöèàëüíûå è ïîëèòè÷åñêèå ýëåìåíòû è ÷ðåçâû÷àéíî âçàèìîñâÿçàíû.
 1970 ã. ïðîôåññîð Ìàññà÷óñåòñêîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà Äæåé Ôîððåñòåð âïåðâûå ïðåäëîæèë ãëîáàëüíóþ ìîäåëü äèíàìèêè ìèðà íà áàçå ðàçðàáîòàííûõ èì ìåòîäîâ ñèñòåìíîé äèíàìèêè [3].  1972 ã. ÷ëåíàì
Ðèìñêîãî êëóáà áûë ðàçîñëàí äîêëàä “Ïðåäåëû ðîñòà”, ïîäãîòîâëåííûé ïî ðåêîìåíäàöèè Äæ. Ôîððåñòåðîì
ãðóïïîé ñïåöèàëèñòîâ ïîä ðóêîâîäñòâîì Ä.Ë. Ìåäîóçà [4], â êîòîðîì âûäåëÿëîñü ïÿòü îñíîâíûõ ôàêòîðîâ, îãðàíè÷èâàþùèõ ðîñò íà íàøåé ïëàíåòå: ÷èñëåííîñòü íàñåëåíèÿ, ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîå ïðîèçâîäñòâî, ïðèðîäíûå
ðåñóðñû, ïðîìûøëåííîå ïðîèçâîäñòâî, çàãðÿçíåíèå îêðóæàþùåé ñðåäû.
Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ñîäåðæàíèÿ äîêëàäà ãðóïïû Ä.Ë. Ìåäîóçà ïîñâÿùåíà îáñóæäåíèþ ïðèðîäû è ïðåäåëîâ
ïðèìåíèìîñòè çàêîíîâ ýêñïîíåíöèîíàëüíîãî ðîñòà ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ, çàãðÿçíåíèÿ, ñòîèìîñòè äîáû÷è
èñòîùàþùèõñÿ íåâîñïîëíèìûõ ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ, ðàñõîäîâ íà óâåëè÷åíèå ïðîèçâîäñòâà ïðîìûøëåííîé è
ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîé ïðîäóêöèè.
Ðåçóëüòàòû àíàëèçà ðàññìîòðåííûõ Äæ. Ôîððåñòåðîì è ãðóïïîé Ä.Ë. Ìåäîóçà ãëîáàëüíûõ ìîäåëåé äèíàìèêè
ìèðà áîëüøåé ÷àñòüþ îêàçàëèñü ïåññèìèñòè÷íûìè, îáåùàþùèìè ê 2025-2050 ãã. ýêîëîãè÷åñêóþ êàòàñòðîôó íà
ïëàíåòå, ñîïðîâîæäàåìóþ çíà÷èòåëüíûì è áûñòðûì ïàäåíèåì ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ èç-çà ðåçêîãî óìåíüøåíèÿ “æèçíåííîãî ïðîñòðàíñòâà” ïî ïðè÷èíå ðîñòà óïîìÿíóòûõ âûøå ôàêòîðîâ: çàãðÿçíåíèå îêðóæàþùåé ñðåäû, èñòîùåíèå ðåñóðñîâ, ñòîèìîñòè ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè è ò.ï.
Ñïóñòÿ 15 ëåò, â 1987 ã., èçâåñòíûé ïîëèòè÷åñêèé äåÿòåëü ÔÐÃ, ñïåöèàëèñò â îáëàñòè óïðàâëåíèÿ è ñèñòåìíîãî
àíàëèçà Ýäóàðä Ïåñòåëü ïðåäñòàâèë ÷ëåíàì Ðèìñêîãî êëóáà î÷åðåäíîé äîêëàä “Çà ïðåäåëàìè ðîñòà” [5], â êîòîðîì îí ïîïûòàëñÿ ïîäâåñòè èòîãè äåÿòåëüíîñòè Ðèìñêîãî êëóáà çà ïðîøåäøèå ïîñëå ïåðâûõ äîêëàäîâ [3,4] ãîäû
è ïðåäëîæèòü ïëàí ðàáîòû êëóáà â ïîñëåäóþùèå ãîäû ïî ïðîåêòó “Ñëîæíîå ïîëîæåíèå ÷åëîâå÷åñòâà”.
Åùå äî ïóáëèêàöèè ÷ëåíû Ðèìñêîãî êëóáà ïî ïðåäëîæåíèþ Èñïîëíèòåëüíîãî êîìèòåòà êëóáà îáñóæäàëè
äîêëàä ãðóïïû Ä.Ë. Ìåäîóçà ëåòîì 1971 ã. íà äâóõ ñîâåùàíèÿõ â Ìîñêâå è Ðèî-äå-Æàíåéðî. Ïî èòîãàì îáñóæäåíèé ÷ëåíû Èñïîëíèòåëüíîãî êîìèòåòà îïóáëèêîâàëè êîììåíòàðèé ê äîêëàäó ãðóïïû Ä.Ë. Ìåäîóçà ñ èçëîæåíèåì
îñíîâíûõ êðèòè÷åñêèõ çàìå÷àíèé è ïåðå÷èñëåíèåì ïîëîæåíèé äîêëàäà, ñ êîòîðûìè Èñïîëíèòåëüíûé êîìèòåò
ëèáî ñîãëàñåí ëèáî “ïðèçíàåò íóæäàþùèìèñÿ â çíà÷èòåëüíîì îáäóìûâàíèè è óïîðÿäî÷åíèè” [4].
Íî íè â äîêëàäå Ý. Ïåñòåëÿ, íè ⠓Êîììåíòàðèÿõ” Èñïîëíèòåëüíîãî êîìèòåòà íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ î ïðàâîìåðíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ Äæ. Ôîððåñòåðîì è ãðóïïîé Ä.Ë. Ìåäîóçà ýêñïîíåíöèàëüíûõ çàêîíîâ èçìåíåíèé îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèé, èññëåäóåìûõ èìè ñèñòåì.
4. Êîíöåïöèè îðãàíè÷åñêîãî ðîñòà ìèðà è ãëîáàëèçìà
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
Óæå âî âòîðîì äîêëàäå Ðèìñêîãî êëóáà “×åëîâå÷åñòâî íà ïåðåïóòüå”, ïîäãîòîâëåííîì Ì. Ìåñàðîâè÷åì è Ý.
Ïåñòåëåì â 1974 ã., ðå÷ü çàøëà î íåîáõîäèìîñòè èåðàðõè÷åñêîãî ïîäõîäà ê ïîñòðîåíèþ ãëîáàëüíîé ìîäåëè äèíàìèêè ìèðà, êîòîðûé ðàññìàòðèâàëñÿ áû êàê ñîñòîÿùèì èç 10-15 âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì èëè ðåãèîíîâ.
Òàêîé ïîäõîä, â îòëè÷èå îò ãëîáàëüíûõ ìîäåëåé äèíàìèêè ìèðà êàê åäèíîãî öåëîãî Äæ. Ôîððåñòåðà è ãðóïïû
Ä.Ë. Ìåäîóçà, ïîçâîëèë áû ïðè ïðîãíîçèðîâàíèè è ïëàíèðîâàíèè ðîñòà è ðàçâèòèÿ ìèðà ó÷èòûâàòü îñîáåííîñòè
è èíòåðåñû êàæäîãî îòíîñèòåëüíî îäíîðîäíîãî âíóòðè ñåáÿ è îòëè÷íîãî îò äðóãèõ ðåãèîíà. Íåëüçÿ, ïî ìíåíèþ
Ý. Ïåñòåëÿ [5], íå ïðèçíàâàòü, ÷òî ìèð ôàêòè÷åñêè ðàçäåëåí, íàïðèìåð, íà òðè ÷àñòè, óñëîâíî íàçûâàåìûå “èíäóñòðèàëüíûì öåíòðîì”, âêëþ÷àþùèì â ñåáÿ ÑØÀ, ñòðàíû Çàïàäíîé Åâðîïû è èì ïîäîáíûå, “èíäóñòðèàëüíîé
ïåðèôåðèåé”, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ ßïîíèþ, ñòðàíû Âîñòî÷íîé è Þæíîé Åâðîïû è äð., è ãðóïïîé ñëàáîðàçâèòûõ
ñòðàí.
Òðóäíî ëó÷øå âûðàçèòü îñíîâíóþ èäåþ òàêîãî èåðàðõè÷åñêîãî ïîäõîäà, ÷åì ýòî ñäåëàë àâòîð òåîðèè îðãàíè÷åñêîãî (â ñìûñëå îðãàíèçìîïîäîáíîñòè) ðîñòà è ðàçâèòèÿ ìèðà. Ý. Ïåñòåëü â ñâîåì äîêëàäå “Çà ïðåäåëàìè
ðîñòà”:
“Ãðàæäàíå ïðîöâåòàþùèõ ãîñóäàðñòâ äîëæíû çàäàâàòü ñåáå îäèí âîïðîñ è ïîñòàðàòüñÿ îòâåòèòü íà íåãî:
ìîæíî ëè ñîâìåñòèòü ðàçâèòèå, ïðåäïîëàãàþùåå îñâîåíèå âñåìè ñòðàíàìè èõ ñïîñîáîâ ïðîìûøëåííîãî è ñåëüñêîõîçÿéñòâåííîãî ïðîèçâîäñòâà, ñî çäîðîâûì ñîñòîÿíèåì ðåãèîíàëüíîé è ãëîáàëüíîé ïðèðîäíîé ñðåäû, ýêîëîãè÷åñêèì ðàâíîâåñèåì, óñòîé÷èâîñòüþ áàçû íåâîçîáíîâèìûõ ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ, åñëè íåèçáåæíûå èçìåíåíèÿ â õàðàêòåðå èñïîëüçîâàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ è ñûðüåâûõ ìàòåðèàëîâ, ñïîñîáàõ ïðîèçâîäñòâà è ïîòðåáëåíèÿ
áóäóò è äàëüøå èäòè ïóòåì íàèìåíüøåãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ðóêîâîäñòâóÿñü òîëüêî óçêèìè ýêîíîìè÷åñêèìè èíòåðåñàìè?” ([5], ñòð. 49)
Íà ýòîò âîïðîñ ÿâíî íàïðàøèâàåòñÿ óæå âñòðå÷àâøèéñÿ â äåìîãðàôè÷åñêîé òåîðåìå Ò.Ð. Ìàëüòóñà (íà óðîâíå
îñîáåé â ïîïóëÿöèè), â ïîëîæåíèÿõ ýêîíîìè÷åñêîé ïîëèòèêè Äæ.Ì. Êåéíñà (íà óðîâíå ïîïóëÿöèé èëè ñëîåâ
íàñåëåíèÿ â ãîñóäàðñòâå) â äîêëàäàõ Äæ. Ôîððåñòåðà è ãðóïïû Ä.Ë. Ìåäîóçà (íà óðîâíå æèòåëåé ïëàíåòû â öåëîì
â áèîñôåðå, òî÷íåé â Íîîñôåðå) îäèí è òîò æå îòâåò: “âñå ðàâíî âñåì âñåãî íå õâàòèò”.
Ðàçíèöà òîëüêî â òîì, ÷òî Ì. Ìåñàðîâè÷ è Ý. Ïåñòåëü äàþò ýòîò îòâåò óæå íà óðîâíå ãîñóäàðñòâ â êîìïëåêñå
âñåõ ñòðàí ïëàíåòû èëè, êàê ïðèíÿòî ñåé÷àñ ãîâîðèòü, â Ìèðîâîì ñîîáùåñòâå ãîñóäàðñòâ.
Ïðè÷åì âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ ÷óâñòâóåòñÿ ÿâíîå èëè íåÿâíîå, îïîñðåäîâàííîå, âëèÿíèå èñïîëüçîâàíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõ çàêîíîâ èçìåíåíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì.
Ïî ñóùåñòâó, Ý. Ïåñòåëü â ñâîåé êîíöåïöèè îðãàíè÷åñêîãî ðîñòà è ðàçâèòèÿ Ìèðîâîãî ñîîáùåñòâà ãîñóäàðñòâ
ìåòîäè÷íî ïðîâîäèò àíàëîãèþ ìåæäó ðîñòîì è ðàçâèòèåì æèâîãî îðãàíèçìà è Ìèðîâîãî ñîîáùåñòâà ãîñóäàðñòâ, ðàçáèòîãî íà 10-15 êðóïíûõ ðåãèîíîâ (îðãàíîâ), êîîðäèíèðóåìûõ “áåñêîðûñòíûì, ÷åñòíûì” ìèðîâûì
ïðàâèòåëüñòâîì è èçáàâëåííûõ ðàç è íàâñåãäà îò âñåâîçìîæíûõ íàöèîíàëèñòè÷åñêèõ, ïàòðèîòè÷åñêèõ äâèæåíèé
è îò èíòåðåñà ê ñóâåðåíèòåòó [5].  ýòîì ñìûñëå êîíöåïöèÿ îðãàíè÷åñêîãî ðîñòà ÿâëÿåòñÿ íè ÷åì èíûì êàê
òåîðåòè÷åñêîé îñíîâîé (îáîñíîâàíèåì) ñîâðåìåííîãî ãëîáàëèçìà, àâòîìàòè÷åñêè ïðåäïîëàãàþùåãî ìîíîïîëÿðíîñòü ìèðà èëè Ìèðîâîãî ñîîáùåñòâà ãîñóäàðñòâ.
Íî òàê ëè óæ óíèâåðñàëüíû â äåéñòâèòåëüíîñòè ýêñïîíåíöèàëüíûå çàêîíû èçìåíåíèé ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì?
5. “Ïðîòèâ êàæäîé ýêñïîíåíòû åñòü ñâîÿ ýêñïîíåíòà”
Ðàññìîòðèì p - ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî (äëÿ ïðîñòîòû åâêëèäîâîå, p = 1,2,3) Ep, ðàçáèòîå íà îäèíàêîâûå p ìåðíûå êóáû (ÿ÷åéêè èëè ñîòû).  êàæäóþ ÿ÷åéêó ïîìåñòèì êîïèþ îäíîãî è òîãî æå àâòîìàòà Ìèëè a, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ñîâîêóïíîñòü a = <A,U,W,δ,λ> èç òðåõ ìíîæåñòâ A,W,U è äâóõ îïåðàòîðîâ δ,λ, ãäå:
A = {a0,a1,…,an-1} - íåïóñòîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé àâòîìàòà a (a0 - “íóëåâîå” ñîñòîÿíèå èëè ñîñòîÿíèå ïîêîÿ);
W = {w0,w1,…,wq-1} - ìíîæåñòâî q âûõîäíûõ ñèãíàëîâ àâòîìàòà (w0 - “íóëåâîé” âûõîäíîé ñèãíàë);
U = W 3 - ìíîæåñòâî âõîäíûõ ñèãíàëîâ àâòîìàòà α, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå 3p ìíîæåñòâ W, òî åñòü êàæäûé âõîäíîé ñèãíàë àâòîìàòà α, ïîìåùåííîãî â îäíó èç ÿ÷ååê ïðîñòðàíñòâà E p, ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ñòðî÷êó äëèíû 3p èç âûõîäíûõ ñèãíàëîâ 3p àâòîìàòîâ α, íàõîäÿùèõñÿ â 3p ñîñåäíèõ ÿ÷åéêàõ (ÿ÷åéêàõ èìåþùèõ õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó ñ äàííîé ÿ÷åéêîé);
δ : A × U → A - îïåðàòîð ïåðåõîäà àâòîìàòà α èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ a (t ) ∈ A â ìîìåíò t â ñîñòîÿíèå a (t + 1) ∈ A
â ìîìåíò t+1:
p
δ ( a (t ), u (t )) = δ (a (t ), < w1 (t ), w2 (t ),..., w3 p (t ) >) = a (t + 1);
δ : A × U → A - îïåðàòîð âûõîäà, çàäàþùèé âûõîäíîé ñèãíàë w(t+1) â ìîìåíò t+1, åñëè â ìîìåíò t àâòîìàò
íàõîäèëñÿ â ñîñòîÿíèè a(t) è íà âõîä àâòîìàòà α ïîñòóïèë â ìîìåíò t âõîäíîé ñèãíàë u (t ) =< w1 (t ), w2 (t ),..., w3 p (t ) > ,
òî åñòü: λ (a (t ), u (t )) = w(t + 1) .
Âåñòíèê ÊðàñÃÓ
Ñîâîêóïíîñòü Ω = <p,S,A,W,δ,λ> íàçûâàåòñÿ êëåòî÷íûì àâòîìàòîì Íåéìàíà-׸ð÷à [6] èëè îäíîðîäíîé ñòðóêòóðîé [7], S - ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà.
Îïåðàòîðû δ è λ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: δ (a 0 , < w0 , w0 ,..., w0 >) = a0 è λ (a 0 , < w0 , w0 ,..., w0 >) = w0 . Ðàáîòàåò îäíîðîäíàÿ ñòðóêòóðà (ñåòü àâòîìàòîâ α) ñèíõðîííî â äèñêðåòíîå âðåìÿ t = 0,1,2,…
 íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0 òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ÿ÷ååê α (àâòîìàòîâ α) îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû íàõîäèòñÿ â
ñîñòîÿíèè, îòëè÷íîì îò a0, ïðè÷åì òîëüêî â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0 ìîæíî âìåøèâàòüñÿ â ðàáîòó ñòðóêòóðû Ω
(â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ÿ÷ååê α çàäàâàòü íóæíûå íàì ñîñòîÿíèÿ è âûõîäíûå ñèãíàëû íàõîäÿùèõñÿ â íèõ àâòîìàòàõ α).  îñòàëüíîå âðåìÿ ñîñòîÿíèÿ è âûõîäíûå ñèãíàëû îïðåäåëÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî îïåðàòîðàìè δ è λ .
Åñòü ïðåäïîëîæåíèÿ [7], ÷òî îäíîðîäíûå ñòðóêòóðû â áóäóùåì áóäóò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñðåäû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òàê íàçûâàåìûõ ðàçâèâàþùèõñÿ ñèñòåì (ñèñòåì ñ ïîâåäåíèÿìè, îðãàíèçìîïîäîáíûõ, öåëåóñòðåìëåííûõ ñèñòåì).
 äàííîé ðàáîòå äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü óïðîùåííûé âàðèàíò êëåòî÷íîãî àâòîìàòà Ω = <p,S,A,W,δ,λ>, à
èìåííî ñëó÷àé, êîãäà A ≡ W è δ ≡ λ.
Äëÿ îáðàçíîñòè, ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê öâåòà (a0 - áåëûé öâåò), à âñþ ñòðóêòóðó Ω = <p,S,A,δ> êàê áåñêîíå÷íûé ýêðàí öâåòíîãî òåëåâèçîðà.
Êîíå÷íûé, íî íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíûé íàáîð ÿ÷ååê íàçûâàþò áëîêîì, à ñîñòîÿíèÿ (îêðàñêó) ÿ÷ååê äàííîãî
áëîêà – êîíôèãóðàöèåé K áëîêà [K] (êîíôèãóðàöèÿ K åñòü ÷òî-òî âðîäå êàðòèíû, à áëîê [K] - åãî ðàìû).
Êîíôèãóðàöèè K è L íàçûâàþò êîïèÿìè (K ≅ L), åñëè ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ep èõ áëîêè ìîãóò
áûòü ñîâìåùåíû, ïðè÷åì òàê, ÷òî âñå ñîâìåùåííûå ÿ÷åéêè áóäóò â îäíèõ è òåõ æå ñîñòîÿíèÿõ (îäèíàêîâî îêðàøåííûìè).
Êîíôèãóðàöèÿ K íàçûâàåòñÿ âîñïðîèçâîäÿùåéñÿ â ñòðóêòóðå Ω = <p,S,A,δ>, åñëè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà N íàéäåòñÿ ìîìåíò T=T(N) òàêîé, ÷òî â ñòðóêòóðå Ω â ìîìåíò T áóäåò íå ìåíåå N íåïåðåñåêàþùèõñÿ êîïèé
êîíôèãóðàöèè K, ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò t = 0 â Ω áûëà òîëüêî êîíôèãóðàöèÿ K.
Êñòàòè, âñå ïðèâåäåííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ è áîëåå äåòàëüíîå èõ ïîÿñíåíèå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [8] è [9].
Òåîðåìà 2 (óòî÷íåííàÿ äåìîãðàôè÷åñêàÿ òåîðåìà). ×èñëåííîñòü N(t) “ïîïóëÿöèè” íåïåðåñåêàþùèõñÿ êîïèé
ëþáîé âîñïðîèçâîäÿùåéñÿ êîíôèãóðàöèè K ïðîèçâîëüíîé îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû Ω = <p,S,A,δ> íå ìîæåò âîçðàñòàòü áûñòðåå, ÷åì ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ C·t p, ãäå p - ðàçìåðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîé îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû Ω.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â ñòðóêòóðå Ω = <p,S,A,δ> â ìîìåíò t = 0 çàäàíà òîëüêî âîñïðîèçâîäÿùàÿñÿ â Ω êîíôèãóðàöèÿ K èç k ÿ÷ååê, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü âêëþ÷åíà â p-ìåðíûé êóá (áëîê) ñî ñòîðîíîé r.
Çà îäèí òàêò âðåìåíè öâåòà ìîãóò ïîìåíÿòü ÿ÷åéêè ïðèëåæàùåãî ê áëîêó êîíôèãóðàöèè K îäíîãî ñëîÿ (â
îáùåì ñëó÷àå ν ñëîåâ, ïðè÷åì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçìåíåíèÿ öâåòîâ n áóäåò êîíå÷íîé è, âî âñÿêîì
ñëó÷àå, íå ïðåâîñõîäÿùåé ñêîðîñòü ñâåòà c). Òîãäà çà âðåìÿ t îêðàøåííûìè ìîãóò îêàçàòüñÿ ÿ÷åéêè p-ìåðíîãî
êóáà ñî ñòîðîíîé íå áîëåå ÷åì r+2νt.
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êîïèé êîíôèãóðàöèé K ê ìîìåíòó âðåìåíè t áóäåò:
N (t ) ≤
(r + 2νt ) p (rt + 2νt ) p (r + 2ν ) p p
t = C ⋅t p,
≤
=
k
k
k
òî åñòü ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè êîïèé êîíôèãóðàöèè K íå ìîæåò âîçðàñòàòü áûñòðåå ñòåïåííîé ôóíêöèè C·t p, ãäå
Ñ - íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà, ñïåöèôè÷íàÿ äëÿ äàííîé âîñïðîèçâîäÿùåéñÿ êîíôèãóðàöèè K â äàííîé
îäíîðîäíîé ñòðóêòóðå (êëåòî÷íîì àâòîìàòå) Ω = <p,S,A,δ>, âî âñÿêîì ñëó÷àå, íè î êàêîì ýêñïîíåíöèàëüíîì
ðîñòå ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ãîâîðèòü íå ïðèõîäèòñÿ.
Çàìåòèì, ÷òî ëèìèòèðóþùèì ðîñò ôàêòîðîì, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà, íåîæèäàííî íà÷èíàåò âûñòóïàòü ïðîñòðàíñòâî è åãî ðàçìåðíîñòü p: “ðîäèòåëè íå óñïåâàþò óñòóïèòü (îñâîáîäèòü) æèçíåííîå ïðîñòðàíñòâî
äëÿ ñâîèõ ïîòîìêîâ”. È, äàæå åñëè íàñåëåíèå íà÷íåò îñâàèâàòü òðåòüå èçìåðåíèå (ïîêà æå p ôàêòè÷åñêè ðàâíî 2),
ðàñòåíèÿ, êàê ôóíäàìåíò ïèùåâîé ïèðàìèäû [10], òîæå ìîæíî âûâåñòè â òðåòüå èçìåðåíèå íà áàçå èñïîëüçîâàíèÿ èñêóññòâåííûõ èñòî÷íèêîâ èõ îñâåùåíèÿ, òî åñòü ïàðàäîêñ Ïðèðîäû Ò.Ð. Ìàëüòóñà îêàçûâàåòñÿ ïðåóâåëè÷åííûì, åñëè âîîáùå íå áåñïî÷âåííûì.
Åñëè âñïîìíèòü ñóùåñòâîâàíèå äðóãîãî, ìîæíî ñ÷èòàòü ñåé÷àñ, óíèâåðñàëüíîãî çàêîíà Ïðèðîäû (îáîáùåííîãî çàêîíà íåìåöêîãî õèìèêà Þñòóñà Ëèáèõà [10]): ðîñò ÷èñëåííîñòè ëþáîé ïîïóëÿöèè N(t) â êàæäûé êîíêðåòíûé ìîìåíò ti (èíòåðâàë âðåìåíè ∆ti) îãðàíè÷èâàåòñÿ êàêèì-òî ëèìèòèðóþùèì ôàêòîðîì, ïðè÷åì, êàê ïðàâèëî,
îäíèì åäèíñòâåííûì èç âñåãî øèðîêîãî ñïåêòðà ôàêòîðîâ ðîñòà ÷èñëåííîñòè N(t), ïðåîäîëåíèå ëèìèòèðóþùåãî äåéñòâèÿ êîòîðîãî îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñâîåìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó N (t ) = N (t i )e α i t ñî ñâîèì êîýôôèöèåíòîì αi > 0 íà îòíîñèòåëüíî ìàëåíüêîì èíòåðâàëå [ti, ti+∆ti], òî ìîæíî ñîãëàñèòüñÿ ñ èñòèííîñòüþ åùå îäíîãî
ôàêòà.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
Òåîðåìà 3 (êóñî÷íàÿ ýêñïîíåíöèàëüíîñòü êðèâûõ ðîñòà). Ðåàëüíàÿ êðèâàÿ ðîñòà ÷èñëåííîñòè N(t) ëþáîé
ïîïóëÿöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äëèííóþ öåïü (ñêëåéêó) èç ìíîãî÷èñëåííûõ è î÷åíü êîðîòêèõ, ïî âðåìåíè äåéñòâèÿ, ýêñïîíåíöèàëüíûõ êðèâûõ ðîñòà, â öåëîì íå ïðåâîñõîäÿùèõ íåêîòîðóþ ñòåïåííóþ ôóíêöèþ C·tp.
Ýòîò ôàêò îáåñïå÷èâàåòñÿ, ïðåæäå âñåãî, èñòèííîñòüþ óíèâåðñàëüíîãî ýâðèñòè÷åñêîãî ïðàâèëà: “ïðîòèâ
ëþáîé ýêñïîíåíòû (ðîñòà) åñòü ñâîÿ ýêñïîíåíòà (ñîïðîòèâëåíèÿ ðîñòó)”.
Çàêëþ÷åíèå
Âñå âûøåèçëîæåííîå óêàçûâàåò íà íåñîñòîÿòåëüíîñòü äåìîãðàôè÷åñêîé òåîðåìû Ò.Ð. Ìàëüòóñà, îñíîâ ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè Äæ.Ì. Êåéíñà, êîíöåïöèè îðãàíè÷åñêîãî (ãàðìîíè÷íîãî) ðîñòà è ðàçâèòèÿ ìèðà è åãî ðåãèîíîâ Ý. Ïåñòåëÿ, èäåé ãëîáàëèçìà è íåîáõîäèìîñòè, êàê ñëåäñòâèå, ìîíîïîëÿðíîñòè Ìèðîâîãî ñîîáùåñòâà ãîñóäàðñòâ. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, íåò íåîáõîäèìîñòè èñêàòü ïóòåé ðàçâèòèÿ ìèðà íè â îäíîì èç ïåðå÷èñëåííûõ íàïðàâëåíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ:
1. Ìàëüòóñ Ò.Ð. Îïûò î çàêîíå íàðîäîíàñåëåíèÿ: Ïåð. ñ àíãë. Ò.1-2. – Ñïá, 1896.
2. Êåéíñ Äæ.Ì. Îáùàÿ òåîðèÿ çàíÿòîñòè, ïðîöåíòà è äåíåã: Ïåð. ñ àíãë.- Ì.: Ìèð, 1978.
3. Forrester J.W. World dynamics. Cambridge. Mass. Wright – Allen Press, 1971.
4. Ìåäîóç Ä.Õ., Ìåäîóç Ä.Ë., Ðýíäåðñ É., Áåðåíñ III Â. Ïðåäåëû ðîñòà: Äîêëàä ïî ïðîåêòó Ðèìñêîãî êëóáà “Ñëîæíîå ïîëîæåíèå ÷åëîâå÷åñòâà”: Ïåð. ñ àíãë.- Ì.: ÌÃÓ, 1991. – 208 ñ.
5. Ïåñòåëü Ý. Çà ïðåäåëàìè ðîñòà: Ïåð. ñ àíãë. – Ì.:Ïðîãðåññ, 1988. – 272 ñ.
6. Íåéìàí Äæ. ôîí. Òåîðèÿ ñàìîâîñïðîèçâîäÿùèõñÿ àâòîìàòîâ: Ïåð. ñ àíãë. – Ì.: Ìèð, 1971. – 382 ñ.
7. Àëàäüåâ Â.Ç. Îäíîðîäíûå ñòðóêòóðû. Òåîðåòè÷åñêèå è ïðèêëàäíûå àñïåêòû: – Êèåâ: Òåõíèêà, 1990. – 272 ñ.
8. Àðáèá Ì. Ìîçã, ìàøèíà è ìàòåìàòèêà: Ïåð. ñ àíãë. – Ì.: Íàóêà, 1968. – 224 ñ.
9. Äæàíñåèòîâ Ê.Ê. Î ñòèðàåìûõ è ñàìîâîñïðîèçâîäÿùèõñÿ êîíôèãóðàöèÿõ // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÊàçÑÑÐ. Ñåðèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ, 1969, ¹5. – ñ. 58-63.
10. Îäóì Þ. Îñíîâû ýêîëîãèè: Ïåð. ñ àíãë.- Ì.: Ìèð, 1975. – 740 ñ.