Commentary

Комментарии к слайдам доклада Зоркальцева В.И. «Симметричная
двойственность и ее приложения» (нумерация по номерам слайдов)
3. Симметричная двойственность здесь рассматривается только применительно к
задачам выпуклого программирования с линейными ограничениями. Частными
общеизвестными случаями служат задачи линейного и квадратичного
программирования. Задачи с нелинейными ограничениями – дело будущего.
6. Здесь будут рассматриваться приложения симметричной двойственности только в
моделях потокораспределения (и не в полном объеме имеющихся результатов). Изза ограниченности объема доклада приложения в моделях термодинамического и
экономического равновесия не рассматриваются.
7. Малоизвестный факт. Модифицированную функцию Лагранжа ввел в конце 60-х
годов ХХ века ученый электроэнергетик Шакро Сулейманович Чурквеидзе (о чем
первоначально были ссылки). Полагаю, Лагранж бы согласился, что
«модифицированная» функция более богато выражает то, что он хотел сказать,
вводя свои множители.
Разработанный Чурквеидзе метод (исследование которого осуществляли Б.Т. Поляк,
Н.В. Третьяков, А.С. Антипин, В.Д. Скарин и многие другие, особенно в других
странах) эффективно используется в Институте систем энергетики СО РАН с 70-х
годов ХХ века до настоящего времени для расчетов большеразмерных нелинейных
моделей оптимизации функционирования и развития электроэнергетики.
Разработки Ш. Чурквеидзе (в публикациях и имеющихся научных отчетах) были
нацелены, в том числе, на создание алгоритмов оптимизации противодействующих
плохим свойствам задачи – «овражности» целевой функции и т.д.
8. Часто теоремы об альтернативных системах линейных неравенств обобщенно
называют теоремой или леммой Фаркаша. С.Н. Черников и И.И. Еремин используют
название «теорема Фаркаша-Минковского».
Известно, что впервые теорема об альтернативных системах линейных неравенств
была опубликована Гордоном в 1873 г. Вторая из известных публикаций –
Минковского в 1896 г. Третья – Фаркаша в 1901 г.
9. Полагаю, было бы очень полезно ввести в базовые курсы линейной алгебры в
вузах изучение теории и методов решения систем линейных неравенств, что
является непосредственным и важным обобщением изучаемой теории линейных
уравнений.
Можно даже указать, за счет чего. Во-первых, в этом случае сильно упрощается
изложение линейного программирования. Во-вторых, из базовых курсов можно без
потери (и даже для пользы дела) исключить (или перевести в специальные курсы)
теорию определителей, которой неоправданно много уделено внимания и сил (об
этом очень убедительно писал еще Гейл в своей книге 60-х годов «Теория линейных
экономических моделей», стр. 15)
14. В фундаментальных монографиях по линейным неравенствам С.Н. Черникова и
И.И. Еремина вместо теорем об альтернативных системах линейных неравенств
используются равносильные им теоремы о свойствах избыточных неравенств
(называемых ими «зависимыми» или следствиями остальных неравенств данной
системы).
16. Любопытный факт. Исходную систему можно представить как фиктивную
задачу линейного программирования – минимизация линейной функции с нулевыми
коэффициентами, при ограничениях исходной системы. Тогда двойственная задача
будет состоять в максимизации вполне «нормальной» линейной функции при
однородных линейных ограничениях (когда в правой части только нули). Эта задача
преобразуется к максимизации функции φ из альтернативной системы.
17. Объем вычислений на одной итерации каждого из 5 методов – примерно
одинаковый у одной и той же задачи.
Поскольку
модель
предназначена
для
оперативного
управления
электроэнергетическими системами в темпе реального времени (советчик
диспетчера), то любое ускорение расчетов очень важно.
Теоремы об альтернативах позволили ввести критерий, как оказалось, быстрой
идентификации наиболее тяжелого (для диспетчеров) случая – несовместности
заданных на данный момент условий функционирования системы.
Еще с 70-х годов ХХ века было подмечено, что у алгоритмов внутренних точек
двойственные переменные сходятся быстрее, чем исходные. Недавно этот факт
удалось обосновать теоретически. Представленные результаты подтверждают
гипотезу: чтобы быстрее найти решение «исходной» задачи, лучше воспользоваться
двойственным методом внутренних точек.
Рассматриваемые варианты «прямых» и «двойственных» алгоритмов внутренних
точек отличаются правилами задания весовых коэффициентов.
20. Новым к общеизвестному в этой формулировке теоремы двойственности
является введенный конструктивный критерий несовместности ограничений
исходной и двойственной задач линейного программирования. Идея этого
принадлежит Н.Н. Астафьеву.
21. Если условия дополняющей нежесткости выполняются в строгой форме, то
имеем относительно внутренние точки оптимальных решений исходной и
двойственной задач – оптимальных решений с минимальными наборами активных
ограничений (о которых говорил Клаус Бир). Такие решения имеют преимущества
во многих приложениях. Известно (экспериментально и теоретически доказано), что
к ним приводят многие виды алгоритмов внутренних точек.
25. Вводимое здесь обобщение сопряженных функций Фенхеля основывается на
том, что существует много скалярных произведений векторов – любая
положительно определенная симметричная матрица порождает своё скалярное
произведение.
Это обобщение сопряженных функций оказалось полезным в изучении
неклассических задач потокораспределения (вопросы существования и
единственности решения, конструирование алгоритмов нахождения решения).
28. Вся нелинейность собралась в уравнении (3) или в равносильном ему (в рамках
данной системы) уравнении (4). Уравнение (3) выражает отсутствие разрыва
двойственности для рассматриваемых взаимно-двойственных задач. В дополнение к
этому, уравнение (4) базируется на свойстве неравенства Фенхеля – условии, когда
оно переходит в равенство.
Конечно, можно получить равносильные системы нелинейных уравнений и
неравенств на базе условия Куна-Таккера. Но эти системы имеют «неказистый» вид
из-за условия дополняющей нежесткости.
30. Приводимая здесь система уравнений и неравенств получена из условия
оптимальности Куна-Таккера. Только «не очень удобное» условие дополняющей
нежесткости переросло в более удобное приравнивание градиента функции F срезке
линейной функции. Особенно это хорошо, когда F – сумма (возможно взвешенных)
квадратов переменных, как в трех рассматриваемых далее приложениях
(регуляризация, «альтернативный подход», электрические цепи).
32. Взаимосвязь двух типов регуляризации для взаимно-двойственных задач
линейного программирования впервые я увидел в одной из статей И.И. Еремина.
В продолжение темы: регуляризации, как поиску псевдорешения возможно с
несовместными ограничениями исходной задачи, автоматически соответствует
регуляризация Тихонова двойственной задачи. Можно ввести оба вида
регуляризации для одной из задач, что автоматически будет означать введение
обоих видов регуляризации для двойственной задачи.
39. – 47. Представлена одна из разработок нелинейных моделей
потокораспределения: нелинейная транспортная модель для оценки возможности
устранения дефицита поставок энергоресурса потребителям за счет увеличения
пропускной способности узких мест.