Загрузил Mikhail Kaz'min

Me-11

Реклама
Предприятие выпускает 4 вида продукции и использует три вида
оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд времени
оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы
каждого вида продукции приведены в таблице.
Нормы расхода ресурса на одно изделие
Тип
оборудования
А
Б
В
Г
Токарное
Фрезерное
Шлифовальное
Цена изделия
2
1
1
8
1
0
2
3
1
2
1
2
3
1
0
1
Фонд
рабочего
времени
300
70
340
Требуется:
1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум
выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план
выпуска продукции
2.сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с
помощью теоремы двойственности
3.пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане
4.на основе свойств двойственных оценок и теоремы двойственности:
-проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной
задачи
-определить, как изменится выручка и план выпуска продукции, если фонд
рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа,
-оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц,
если нормы затрат оборудования 8,2 и 2 единицы соответственно.
Решение:
Пусть:
x1 - оптимальное количество изделия А,
x2 - оптимальное количество изделия Б,
x3 - оптимальное количество изделия В,
x4 - оптимальное количество изделия Г.
Построим систему ограничений для каждого их оборудования:
2 x1  x2  x3  3x4  300
x1  2 x3  x4  70
x1  2 x2  x3  340
Целевая функция:
F  8 x1  3x2  2 x3  x4  max
Получили задачу линейного программирования.
Решим ее симплекс методом.
xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4
Приведем её к каноническому виду:
F(x) = 8x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ → max
2x₁ + x₂ + x₃ + 3x₄ + x₅ = 300
x₁ + 2x₃ + x₄ + x₆ = 70
x₁ + 2x₂ + x₃ + x₇ = 340
xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Решим эту задачу симплекс-методом.
За базисные переменные примем дополнительные переменные. Опорным
решением будет - решение, при котором все свободные переменные равны
нулю, а базисные - единице.
Составим симплекс-таблицы:
Базис
План
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅
x₆
x₇
x₅
300
2
1
1
3
1
0
0
x₆
70
1
0
2
1
0
1
0
x₇
340
1
2
1
0
0
0
1
f(x)
0
-8
-3
-2
-1
0
0
0
Выбор разрешающего элемента будем делать следующим образом - в
строке f(x) выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий
элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам
столбца.
Разрешающий элемент будем выделять подчеркиванием.
Базис
План
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅
x₆
x₇
x₅
300
2
1
1
3
1
0
0
x₆
70
1
0
2
1
0
1
0
x₇
340
1
2
1
0
0
0
1
f(x)
0
-8
-3
-2
-1
0
0
0
Базис
План
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅
x₆
x₇
x₅
160
0
1
-3
1
1
-2
0
x₁
70
1
0
2
1
0
1
0
x₇
270
0
2
-1
-1
0
-1
1
f(x)
560
0
-3
14
7
0
8
0
Базис
План
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅
x₆
x₇
x₅
25
0
0
-2,5
1,5
1
-1,5
-0,5
x₁
70
1
0
2
1
0
1
0
x₂
135
0
1
-0,5
-0,5
0
-0,5
0,5
f(x)
965
0
0
12,5
5,5
0
6,5
1,5
В последнем плане строка f(x) не содержит отрицательных значений, план
x₁ = 70; x₂ = 135; x₃ = 0; x₄ = 0 оптимален, целевая функция принимает
значение f(x) = 965
Нулевые значения в оптимальном плане показывают, что не выгодно
производить изделия В и Г.
Построим для исходной задачи двойственную.
F(x) = 8x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ → max
2x₁ + x₂ + x₃ + 3x₄ ≤ 300
x₁ + 2x₃ + x₄ ≤ 70
x₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 340
xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4
Выпишем матрицу при неизвестных исходной задачи.
Матрица
A
2
=1
1
коэффициентов
при
1 1 3
0 2 1
2 1 0



неизвестных
двойственной
задачи
получается из матрицы коэффициентов при неизвестных исходной задачи
транспонированием.
1
AT = 
1
3
2 1
0
2
1
1
2
1
0



Неравенства в системах ограничений направлены в разные стороны. Роль
свободных членов в системе ограничений играют коэффициенты при
неизвестных целевой функции исходной задачи. Коэффициенты целевой
функции двойственной задачи являются свободными членами исходной
системы
Запишем двойственную задачу:
g(y) = 300y₁ + 70y₂ + 340y₃ → min
2y₁ + y₂ + y₃ ≥ 8
y₁ + 2y₃ ≥ 3
y₁ + 2y₂ + y₃ ≥ 2
3y₁ + y₂ ≥ 1
yi ≥ 0; i = 1, 2, 3
Приведем её к каноническому виду:
g(y) = 300y₁ + 70y₂ + 340y₃ → min
2y₁ + y₂ + y₃ - y₄ = 8
y₁ + 2y₃ - y₅ = 3
y₁ + 2y₂ + y₃ - y₆ = 2
3y₁ + y₂ - y₇ = 1
yi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Найдем оптимальный план двойственной задачи (по первой теореме
двойственности), используя окончательную симплекс таблицу, полученную при
решении прямой задачи.
Базис
План
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅
x₆
x₇
x₅
25
0
0
-2,5
1,5
1
-1,5
-0,5
x₁
70
1
0
2
1
0
1
0
x₂
135
0
1
-0,5
-0,5
0
-0,5
0,5
f(x)
965
0
0
12,5
5,5
0
6,5
1,5
y₁
y₂
y₃
y₁ = 0
y₂ = 6.5
y₃ = 1.5
Переменные двойственной задачи yi представляют ценность единицы i  го
ресурса. Их называют неявными, теневыми ценами, двойственными оценками.
Эти оценки характеризуют вклад i  го ресурса в суммарный доход при
оптимальном решении.
Нулевое решение оптимального плана двойственной задачи показывает,
что ресурс 1 – токарное оборудование находится в избыточном количестве и не
используется полностью. Влияние на прибыль оказывает второй и третий
ресурс, причем второй в большей степени.
Значение 6,5 показывает, на сколько измениться (увеличится) величина
целевой функции при изменении 2-го ресурса на единицу. Соответственно,
значение 1,5 указывает на сколько увеличится целевая функция при увеличении
ресурса 3 на единицу.
По условию задачи фонд шлифовального оборудования (третий ресурс)
увеличиваем на 24 часа, следовательно, величина дохода увеличится на
1.5  24  36 единиц.
Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц,
если нормы затрат оборудования 8,2 и 2 единицы соответственно.
Критерий эффективности включения в производства используцем:
0  8  6.5  2 1.5  2 11  5 > 0
Изделие в план включать невыгодно.
Скачать