Предприятие выпускает 4 вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице. Нормы расхода ресурса на одно изделие Тип оборудования А Б В Г Токарное Фрезерное Шлифовальное Цена изделия 2 1 1 8 1 0 2 3 1 2 1 2 3 1 0 1 Фонд рабочего времени 300 70 340 Требуется: 1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции 2.сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности 3.пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане 4.на основе свойств двойственных оценок и теоремы двойственности: -проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи -определить, как изменится выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа, -оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8,2 и 2 единицы соответственно. Решение: Пусть: x1 - оптимальное количество изделия А, x2 - оптимальное количество изделия Б, x3 - оптимальное количество изделия В, x4 - оптимальное количество изделия Г. Построим систему ограничений для каждого их оборудования: 2 x1 x2 x3 3x4 300 x1 2 x3 x4 70 x1 2 x2 x3 340 Целевая функция: F 8 x1 3x2 2 x3 x4 max Получили задачу линейного программирования. Решим ее симплекс методом. xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4 Приведем её к каноническому виду: F(x) = 8x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ → max 2x₁ + x₂ + x₃ + 3x₄ + x₅ = 300 x₁ + 2x₃ + x₄ + x₆ = 70 x₁ + 2x₂ + x₃ + x₇ = 340 xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Решим эту задачу симплекс-методом. За базисные переменные примем дополнительные переменные. Опорным решением будет - решение, при котором все свободные переменные равны нулю, а базисные - единице. Составим симплекс-таблицы: Базис План x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₅ 300 2 1 1 3 1 0 0 x₆ 70 1 0 2 1 0 1 0 x₇ 340 1 2 1 0 0 0 1 f(x) 0 -8 -3 -2 -1 0 0 0 Выбор разрешающего элемента будем делать следующим образом - в строке f(x) выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца. Разрешающий элемент будем выделять подчеркиванием. Базис План x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₅ 300 2 1 1 3 1 0 0 x₆ 70 1 0 2 1 0 1 0 x₇ 340 1 2 1 0 0 0 1 f(x) 0 -8 -3 -2 -1 0 0 0 Базис План x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₅ 160 0 1 -3 1 1 -2 0 x₁ 70 1 0 2 1 0 1 0 x₇ 270 0 2 -1 -1 0 -1 1 f(x) 560 0 -3 14 7 0 8 0 Базис План x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₅ 25 0 0 -2,5 1,5 1 -1,5 -0,5 x₁ 70 1 0 2 1 0 1 0 x₂ 135 0 1 -0,5 -0,5 0 -0,5 0,5 f(x) 965 0 0 12,5 5,5 0 6,5 1,5 В последнем плане строка f(x) не содержит отрицательных значений, план x₁ = 70; x₂ = 135; x₃ = 0; x₄ = 0 оптимален, целевая функция принимает значение f(x) = 965 Нулевые значения в оптимальном плане показывают, что не выгодно производить изделия В и Г. Построим для исходной задачи двойственную. F(x) = 8x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ → max 2x₁ + x₂ + x₃ + 3x₄ ≤ 300 x₁ + 2x₃ + x₄ ≤ 70 x₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 340 xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4 Выпишем матрицу при неизвестных исходной задачи. Матрица A 2 =1 1 коэффициентов при 1 1 3 0 2 1 2 1 0 неизвестных двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов при неизвестных исходной задачи транспонированием. 1 AT = 1 3 2 1 0 2 1 1 2 1 0 Неравенства в системах ограничений направлены в разные стороны. Роль свободных членов в системе ограничений играют коэффициенты при неизвестных целевой функции исходной задачи. Коэффициенты целевой функции двойственной задачи являются свободными членами исходной системы Запишем двойственную задачу: g(y) = 300y₁ + 70y₂ + 340y₃ → min 2y₁ + y₂ + y₃ ≥ 8 y₁ + 2y₃ ≥ 3 y₁ + 2y₂ + y₃ ≥ 2 3y₁ + y₂ ≥ 1 yi ≥ 0; i = 1, 2, 3 Приведем её к каноническому виду: g(y) = 300y₁ + 70y₂ + 340y₃ → min 2y₁ + y₂ + y₃ - y₄ = 8 y₁ + 2y₃ - y₅ = 3 y₁ + 2y₂ + y₃ - y₆ = 2 3y₁ + y₂ - y₇ = 1 yi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Найдем оптимальный план двойственной задачи (по первой теореме двойственности), используя окончательную симплекс таблицу, полученную при решении прямой задачи. Базис План x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₅ 25 0 0 -2,5 1,5 1 -1,5 -0,5 x₁ 70 1 0 2 1 0 1 0 x₂ 135 0 1 -0,5 -0,5 0 -0,5 0,5 f(x) 965 0 0 12,5 5,5 0 6,5 1,5 y₁ y₂ y₃ y₁ = 0 y₂ = 6.5 y₃ = 1.5 Переменные двойственной задачи yi представляют ценность единицы i го ресурса. Их называют неявными, теневыми ценами, двойственными оценками. Эти оценки характеризуют вклад i го ресурса в суммарный доход при оптимальном решении. Нулевое решение оптимального плана двойственной задачи показывает, что ресурс 1 – токарное оборудование находится в избыточном количестве и не используется полностью. Влияние на прибыль оказывает второй и третий ресурс, причем второй в большей степени. Значение 6,5 показывает, на сколько измениться (увеличится) величина целевой функции при изменении 2-го ресурса на единицу. Соответственно, значение 1,5 указывает на сколько увеличится целевая функция при увеличении ресурса 3 на единицу. По условию задачи фонд шлифовального оборудования (третий ресурс) увеличиваем на 24 часа, следовательно, величина дохода увеличится на 1.5 24 36 единиц. Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8,2 и 2 единицы соответственно. Критерий эффективности включения в производства используцем: 0 8 6.5 2 1.5 2 11 5 > 0 Изделие в план включать невыгодно.
