РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра алгебры и математической логики
Криволапова В. В.
Математика: аналитическая геометрия и линейная алгебра.
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения.
Направление 020400.62 Биология.
Профили: ботаника, биоэкология, зоология, физиология, генетика.
Тюменский государственный университет
2011
Криволапова В. В. Математика: аналитическая геометрия и
линейная алгебра. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для
студентов очной формы обучения. Направление 020400.62 Биология.
Профили: ботаника, биоэкология, зоология, физиология, генетика. Тюмень,
2011, 11 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Математика: аналитическая геометрия и линейная алгебра. [электронный
ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и мат. логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В. Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Криволапова В. В., 2011.
1. Пояснительная записка.
1.1.Цели и задачи дисциплины
Целью преподавания учебной дисциплины «Математика: аналитическая геометрия и
линейная алгебра» является математическая подготовка студентов для успешного
усвоения разделов физики, химии, биофизики и генетики, требующих применения
методов высшей математики.
При преподавании дисциплины ставятся следующие задачи:
- сформировать у студентов представление о фундаментальных идеях и языке
линейной алгебры и аналитической геометрии;
- показать возможности математики в изучении природных процессов;
-развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую культуру;
- привить навыки работы с математическим аппаратом комбинаторики
аналитической геометрии и линейной алгебры.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математика: аналитическая геометрия и линейная алгебра» входит в
базовую часть естественно научного цикла. Дисциплина изучается в первом семестре.
Для усвоения данной дисциплины необходимо, чтобы обучающийся владел
знаниями и умениями, предусмотренными в школьных курсах «Геометрия» и «Алгебра и
начала анализа».
Освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее для изучения
биохимии, физики, аналитической химии, биофизики, биохимии, генетики, основ
биотехнологии и биоинженерии, информатики, биометрии.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
ОК3 – приобретает новые знания и формирует суждения по научным, социальным и
другим проблемам, используя современные образовательные и информационные
технологии;
ОК6 – использует в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания
в области математики и естественных наук, применяет методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные понятия и теоремы комбинаторики, аналитической геометрии и
линейной алгебры.

Уметь: применять методы линейной алгебры, теории определителей и матриц к
решению задач; решать геометрические задачи с помощью векторной алгебры и анализа
уравнений.

Владеть: математически аппаратом комбинаторики, аналитической геометрии и
линейной алгебры, методиками решения задач и доказательства утверждений в этой
области.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр первый. Форма промежуточной аттестации - зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 часов.
3. Тематический план
Таблица 1.
1.3
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
3.4
Уравнения плоскости и
прямой.
Всего
Модуль 3
Кривые второго порядка.
Поверхности второго
порядка.
Комплексные числа.
Основные элементарные
функции
Всего
Итого:
Из них часов в
интерактивной форме
Итого
количество
баллов
8
9
10
Самостоятельн
ая работа
1.2
Из них в
интеракти
вной
форме
Лабораторные
занятия
1.1
2
Модуль 1
Комбинаторика и теория
множеств.
Матрицы и действия над
ними.
Определители и решение
систем уравнений.
Всего
Модуль 2
Векторная алгебра.
Итого
часов
по
теме
Семинарские
(практические)
занятия
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
Лекции
Тема
недели семестра
№
3
4
5
6
7
1,2
4
4
4
12
2
0-8
3,4
4
4
4
12
1
0-14
5,6
4
4
4
12
1
0-8
12
12
12
36
4
0-30
8
8
8
24
1
0-24
4
4
4
12
12
12
12
36
1
0-30
13,
14
15
4
4
4
12
1
0-16
2
2
2
6
1
0-4
16
17,
18
2
4
2
4
2
4
6
12
1
0-10
0-10
12
36
3
12
36
5
12
36
36
108
3
8
0-40
0-100
7,8,
9,10
11,
12
0-6
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
ответ на
семинаре
собеседование
коллоквиумы
Модуль 1
1.1 Комбинаторика и теория
множеств.
1.2 Матрицы и действия над
ними.
1.3 Определители и решение
систем уравнений.
Всего
Модуль 2
2.1 Векторная алгебра.
2.2 Уравнение плоскости и
прямой.
Всего
Модуль 3
3.1 Кривые второго порядка.
3.2 Поверхности второго
порядка.
3.3 Комплексные числа.
3.4 Основные элементарные
функции.
Всего
Итого
Итого количество баллов
контрольная
работа
Письменные работы
Устный опрос
домашняя
работа
№ темы
-
-
0-4
0-4
-
0-8
-
0-2
0-4
0-2
0-6
0-14
-
-
0-4
0-4
-
0-8
0-2
0-12
0-10
0-6
0-30
0-2
0-2
0-8
0-2
0-4
0-2
0-10
-
0-24
0-6
0-4
0-10
0-6
0-10
0-30
0-6
-
0-2
-
0-4
0-2
0-4
0-2
-
0-16
0-4
-
0-2
0-2
0-4
0-2
0-4
0-6
-
0-10
0-10
0-6
0-6
0-4
0-10
0-12
0-34
0-12
0-28
0-6
0-22
0-40
0 – 100
-
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1,2
4
0-8
3,4
4
0-14
5,6
4
0-8
12
0-30
7-110
8
0-24
11-12
4
0-6
12
0-30
4
2
2
4
0-16
0-4
0-10
0-10
12
36
0-40
0-100
Модуль 1
1.1
1.2
1.3
Комбинаторика
и
теория
множеств.
Матрицы и действия над ними.
Определители и решение систем
уравнений.
Всего по модулю 1:
проработка
лекций, решение
задач
Чтение
обязательной и
дополнительной
лит-ры
Модуль 2
2.1
2.2
Векторная алгебра.
Уравнения плоскости и прямой.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Кривые второго порядка.
3.2
Поверхности второго порядка.
3.3
Комплексные числа.
3.4
Основные
элементарные
функции.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
проработка
лекций, решение
задач
проработка
лекций, решение
задач,
построение
графиков
Чтение
обязательной и
дополнительной
лит-ры
Чтение
обязательной и
дополнительной
лит-ры
13,14
15
16
17,18
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Физика: механика,
мол. физика,
электричество.
Физика: магнетизм,
колебания, волны,
оптика.
Математические
методы в биологии.
Химия аналитическая.
Информатика,
современные
информационные
технологии.
Генетика и селекция.
Темы
дисциплины
необходимые
для
изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
3.4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5. Содержание дисциплины.
1.1
Комбинаторика и теория множеств.
Множества, операции над множествами. Основной принцип перечисления.
Перестановки, размещения, сочетания. Биномиальная теорема. Комбинаторные задачи в
биологии.
Матрицы и действия над ними.
Сложение и умножение матриц. Вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы.
Применение матриц к решению систем уравнений.
1.2
Определители и решение систем уравнений.
Определители второго и третьего порядка, свойства определителей. Применение
определителей к решению систем уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
1.3
Векторная алгебра.
Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами. Нулевой
вектор. Проекции вектора на ось. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Модуль вектора. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Применение
векторов для решения физических задач.
2.1
Уравнения плоскости и прямой.
Уравнение плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой в
пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Задачи на использование
уравнений прямой и плоскости.
2.2
Кривые второго порядка.
Уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Каноническое уравнение
гиперболы. Каноническое уравнение параболы. Эксцентриситет и директрисы кривых
второго порядка.
3.1
Поверхности второго порядка.
Уравнение сферы. Каноническое уравнение эллипсоида, однополостного
гиперболоида,
двуполостного
гиперболоида,
эллиптического
параболоида,
гиперболического параболоида.
3.2
Комплексные числа.
Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая и векторная
интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент. Формула Эйлера.
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Операции над
комплексными числами.
3.3
Основные элементарные функции.
Понятие функции. Область определения и множество значений. Степенные
функции. Показательная и логарифмическая функции. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции. Сложная функция. Обратная функция.
3.4
Дидактические единицы ГОС:
1.
Линейная алгебра;
2.
Аналитическая геометрия;
3.
Комплексный анализ.
6.
Планы семинарских занятий.
Тема 1.1
Числовые множества. Объединение, пересечение, дополнение, декартово
произведение множеств. Множества другой природы.
Решение комбинаторных задач. Применение основного принципа перечисления,
формул для числа сочетаний, перестановок, размещений. Примеры приложения
комбинаторики в классификации видов, генетике.
Тема 1.2
Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Определитель
матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение системы уравнений матричным
методом. Контрольная работа по теме «Матрицы».
Тема 1.3
Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей. Решение систем
линейных уравнений по формулам Крамера. Решение систем линейных уравнений
методом Гаусса.
Тема 2.1
Решение задач на построение суммы, разности, линейных комбинаций векторов.
Вычисление модуля векторов, применение условия коллинеарности.
Вычисление скалярного произведения. Вычисление проекций векторов, углов между
векторами. Применение условия перпендикулярности векторов. Решение задач из курса
физики, использующих скалярное произведение.
Вычисление векторного произведения. Применение векторного произведения для
вычисления площадей параллелограмма и треугольника; решение физических задач,
использующих свойства векторного произведения.
Смешанное произведение и вычисление объемов. Решение задач на условие
компланарности векторов. Контрольная работа по теме «Векторы».
Тема 2.2
Решение задач на составление уравнений плоскостей, взаимное расположение
плоскостей.
Решение задач, использующих уравнения прямой в пространстве. Анализ уравнений
прямой на плоскости. Применение уравнения прямой для решения физических задач.
Тема 3.1
Решение задач на составление и анализ уравнений окружности и эллипса.
Вычисление эксцентриситета и фокусов эллипса.
Составление и анализ уравнений гиперболы и параболы. Вычисление
эксцентриситета и фокусов гиперболы и параболы. Уравнения директрис и асимптот.
Тема 3.2
Анализ уравнений эллипсоида, гиперболоидов и параболоида. Прямолинейные
образующие однополостного гиперболоида.
Тема 3.3
Алгебраическая форма комплексного числа. Изображение чисел на комплексной
плоскости. Сложение, умножение и деление комплексных чисел. Тригонометрическая и
показательная форма комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корней из
комплексных чисел.
Тема 3.4
Нахождение области определения и множества значений степенной, показательной и
логарифмической функций. Применение графиков в задачах физики, химии, биологии.
Аналитическое задание и построение графиков тригонометрических и обратных
тригонометрических функций. Повторение тригонометрических формул.
7.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины.
а) Текущий контроль:
- по каждой теме студенты выполняют писменные домашние работы по решению
задач. Преподаватель каждому студенту указывает ошибки и выставляет баллы.
Решения трудных задач обсуждается на семинаре.
- по основным темам проводится контрольные работы на семинарах.
- по теме 3.1 проводится коллоквиум.
б) Промежуточная аттестация:
- зачет (письменно - устная форма). Зачет выставляется после решения всех задач
контрольных работ и выполнения домашних заданий.
Варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1.
3 −2
−1 7
1 7
1. Даны матрицы 𝐴 = (
)и𝐵=(
9 3
4 −2
−2 4
Найти матрицу 𝐴 ∙ 𝐵.
2 −4 3
1
2. Даны матрицы 𝐴 = (1 −2 4) и 𝐵 = (3).
3 −1 5
2
Найти матрицу 𝐴−1 ∙ 𝐵.
6 8
).
0 1
3. Решить систему уравнений по формулам Крамера
2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 = 28
7𝑥
{ + 3𝑦 − 6𝑧 = −1.
7𝑥 + 9𝑦 − 9𝑧 = 5
Контрольная работа №2.
1. Найти |𝑏⃗|, если |𝑎| = 3; |𝑎 + 𝑏⃗| = 18; |𝑎 − 𝑏⃗| = 12.
2. Найти вектор 𝑏⃗, коллинеарный вектору 𝑎 = {2; 1; −1} и удовлетворяет условию
(𝑎 ∙ 𝑏⃗) = 30.
3. Найти площадь треугольника с вершинами 𝐴(2; −1; 2); 𝐵(1; 2; −1); 𝐶(3; 2; 1).
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (2; −2; 1) и
М2 (1; 3; 3) перпендикулярно плоскости 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 5 = 0.
Контрольная работа №3.
1. Выполнить действия:
1) (2 + 3𝑖) ∙ (3 − 2𝑖),
2) (3 − 2𝑖)2 ,
1+𝑖
3) 1−𝑖,
4+3𝑖
4) 5−2𝑖.
2. Решить уравнения:
1) 𝑥 2 + 25 = 0;
2) 𝑥 2 + 4𝑥 + 13 = 0.
3. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
1) 5,
2) -2,
3) 1 − √3𝑖,
4) 1 + 𝑖,
1
5) 𝑖 .
4. Найти все значения корней:
3
1) √−1;
6
2) √1;
3) √1 + 𝑖.
Вопросы к коллоквиуму:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Уравнение окружности на плоскости.
Уравнение эллипса.
Эксцентриситет и директрисы эллипса.
Уравнение гиперболы.
Оси, асимптоты и фокусы гиперболы.
Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Уравнение параболы.
Кривые второго порядка как конические сечения.
8.
Образовательные технологии.
а) Аудиторные занятия:
 Лекционные и практические занятия. На практических занятиях контроль
осуществляется при решении задач у доски и проверке домашних заданий. На
лекциях предусмотрительны устные ответы на вопросы преподавателя,
посменные экспресс- ответы на контрольные вопросы.
Для показа графиков функций, формы кривых и поверхностей используется
мультимедийные средства обучения.
 Активные и интерактивные формы: семинары в диалоговом режиме;
обсуждение решений задач в группе.
б) Внеаудиторные занятия:
Выполнение самостоятельных заданий разного типа и уровня сложности;
подготовка к аудиторным занятиям; подготовка к коллоквиуму и
контрольным работам; чтение литературы, проработка лекций; решение
задач. В оценке самостоятельной работы используются модульнорейтинговые технологии.
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
a. Основная литература:
1. Шипачев В. С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 2000.
2. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике. – М.: Высш. шк., 2005.
3. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. – М.: 1983.
4. Баврин И. И. Краткий курс высшей математики для химико- биологических и
медицинских специальностей. – М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003.
5. Криволапова В. В. Векторы. Учебно-методическое пособие. – Тюмень:
Издательство Тюменского государственного университета, 2008.
b. Дополнительная литература:
1. Гусак А. А. Высшая математика. В 2-х т.: Учеб. Пособие. Для студентов
вузов. – Мн.: Тетра системс, 1998.
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах В 2-х ч. – М.: Высш. шк., 1998.
3. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. –
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.
c. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Аналитическая
геометрия
на
плоскости
и
в
пространстве:
http://www.pm298.ru/reshenie/analitpe.php.
2. exponenta.ru
образовательный
математический
сайт:
http://www.exponenta.ru/educut/class/courses/student/an/examples.asp.
3. Математические
бюро:
примеры
по
дискретной
математике:
http://www/matburo.ru/ex_dm.php?p1=dmkmb
10.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
Учебные аудитории
для
мультимедийным оборудованием.
проведения
лекционных
занятий
оснащены