À.Â. Êîëåñíèêîâ Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé 2. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Âûñøàÿ Øêîëà Ýêîíîìèêè. Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò.

À.Â. Êîëåñíèêîâ
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé 2. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.
Âûñøàÿ Øêîëà Ýêîíîìèêè. Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò.
Ìîñêâà. 2013 ãã.
Ïîñòðîåíèå âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà (ïðîäîëæåíèå)
Íàïîìíèì, ÷òî öåëüþ íàøèõ ðàññóæäåíèé ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî ôàêòà:
Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ åñòü ïðåäåë ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ
ïðè ïîäõîäÿùåì èçìåíåíèè ìàñøòàáà
Îäíîìåðíîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå
Òðåõìåðíîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå
Ïóñòü xt := x(t) ôóíêöèÿ íà [0, 1]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà a > 0 è òàêîå öåëîå ÷èñëî n ≥ 0, ÷òî
Ëåììà 1.
|x(i+1)/2m − xi/2m | ≤ 2−ma
äëÿ âñåõ m ≥ n è 0 ≤ i ≤ 2m − 1. Òîãäà äëÿ âñåõ áèíàðíî-ðàöèîíàëüíûõ
÷èñåë t, s ∈ [0, 1], óäîâëåòâîðÿþùèõ |t − s| ≤ 2−n, âûïîëíåíî
|xt − xs| ≤ N (a)|t − s|a,
ãäå N (a) = 22a+1(2a − 1)−1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äâà ïðîèçâîëüíûõ áèíàðíî-ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëà t, s ïðåäñòàâèì â âèäå ñóìì ðÿäîâ (â äåéñòâèòåëüíîñòè, êîíå÷íûõ ñóìì)
t=
∞
X
i=1
Ïîëîæèì
tk =
k
X
i=1
ε1(i)2−i, s =
∞
X
ε2(i)2−i.
i=1
ε1(i)2−i, sk =
k
X
i=1
ε2(i)2−i.
Ïóñòü |t − s| ≤ 2−k, k ≥ n. Çàìåòèì, ÷òî |t − s| ≤ 2−k òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà |tk − sk| = 2−k èëè tk = sk. Èñïîëüçóåì ïðåäñòàâëåíèå xt =
P∞
xtk + m=k (xtm+1 − xtm )
. Èç ýòîé (è àíàëîãè÷íîé äëÿ xs) îöåíêè ñëåäóåò
|xt − xs| ≤ |xtk − xsk | +
∞
X
m=k
(|xtm+1 − xtm | + |xsm+1 − xsm |).
Ïîëîæèì tk = r2−k. Äëÿ sk ñóùåñòâóþò òðè âîçìîæíîñòè: sk = tk èëè
sk = (r ±1)2−k . Êðîìå ýòîãî, çàìåòèì, ÷òî |tm+1 −tm| ≤ 2−(m+1). Ïîýòîìó
ïàðû òî÷åê tm, tm+1P óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ëåììû. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ
ëåììû |xt − xs| ≤ 2 ∞m=k 2−ma = 2−ka2a+1(2a − 1)−1.
Ìû äîêàçàëè ëåììó äëÿ ñëó÷àÿ k ≥ n, |t−s| ≤ 2−k. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî
äëÿ ëþáûõ t, s ñî ñâîéñòâîì |t−s| ≤ 2−n ìîæíî ïðèíÿòü k = [log2(1/|t−s|)].
Òîãäà k ≥ n, |t − s| ≤ 2−k è 2−ka ≤ 2a|t − s|a.
Ïóñòü ξt íåïðåðûâíûé ïðîöåññ è α > 0, β > 0, N ∈ (0, ∞) òàêèå êîíñòàíòû, ÷òî
Òåîðåìà 1.
IE|ξt − ξs|α ≤ N |t − s|1+β , ∀s, t ∈ [0, 1].
Òîãäà äëÿ 0 < a < βα−1 è ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå n, ÷òî
P (ξ ∈ Kn(a)) ≥ 1 − ε,
ãäå
∀|t − s| ≤ 2−n}.
Kn(a) = {x ∈ C([0, 1]) : |x0| ≤ 2n, |xt − xs| ≤ N (a)|t − s|a
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì
An = {ω : |ξ0| ≥ 2n} ∪ { ω : sup
maxm
m≥n i=0,··· ,2 −1
|ξ(i+1)/2m − ξi/2m |2ma > 1}.
Äëÿ ω ∈/ An èìååì: t → ξt(ω) ∈ Kn(a) â ñèëó ëåììû 1. Î÷åâèäíî
P (ξ· ∈
/ Kn(a)) ≤ P (An) ≤ P (|ξ0| ≥ 2n) + IE( sup
m≥n i=0,··· ,2 −1
 ñèëó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà
P (|ξ0| ≥ 2n) +
−1
∞ 2m
X
X
m=n i=0
maxm
|ξ(i+1)/2m − ξi/2m |α2maα)
IE(|ξ(i+1)/2m − ξi/2m |α)2maα
≤ P (|ξ0| ≥ 2n) + N
∞
X
m=n
2−m(β−aα) → 0,
n → ∞.
Ïóñòü {ηi} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íåçàâèñèìûõ
îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûõ ñ.â. ñ IEηi = 0, IEηi2 = 1. Ïîëîæèì
Sk = η1 + · · · + ηk
(ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå). Îïðåäåëèì ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì
√
√
n
ξt = S[nt]/ n + (nt − [nt])η[nt]+1/ n.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñïðåäåëåíèé ξn ñëàáî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíà íà C([0, 1]).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ óïðîùåíèÿ
äîêàçàòåëüñòâà
ïðåäïîëîæèì
äîïîëíèòåëüíî, ÷òî m4 = IE(|ηk|4) < ∞.  ñèëó òåîðåìû 1 äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,
÷òî
Ëåììà 2.
IE(|ξt − ξs|4) ≤ N |t − s|2,
∀s, t ∈ [0, 1].
Ïîëîæèì an = IE(Sn)4. Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ñëàãàåìûõ
an+1 = an + 6n + m4.
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî
an ≤ 3n2 + nm4.
Äàëåå âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ
1) s, t ïðèíàäëåæàò îäíîìó èíòåðâàëó [nk , k+1
n ]. Òîãäà
√
n
n
|ξt − ξs | = n|ηk+1||t − s|
IE|ξtn − ξsn|4 = n2m4|t − s|4 = m4|t − s|2.
2) Ïóñòü t, s, t > s ïðèíàäëåæàò ðàçíûì èíòåðâàëàì. Ïîëîæèì s1 áëèæàéøàÿ òî÷êà ñïðàâà ê s, t1 áëèæàéøàÿ òî÷êà ñëåâà ê t. Î÷åâèäíî,
1
s1 − s ≤ t − s, t − t1 ≤ t − s, t1 − s1 ≤ t − s, (t1 − s1) ≤ (t1 − s1)2.
n
s1 =
1
[nt]
([ns] + 1), t1 =
, [nt] − ([ns] + 1) = n(t1 − s1).
n
n
Ïîýòîìó
IE|ξt − ξs|4 ≤81(IE|ξt − ξt1 |4 + IE|ξt1 − ξs1 |4 + IE|ξs1 − ξs|4)
√ 4
2
≤ 162(t − s) m4 + 81IE(|S[nt] − S[ns]+1|/ n)
81
= 162(t − s)2m4 + 2 a[nt]−[ns+1].
n
≤ 162(t − s)2m4 + 243(t − s)2 + 81(t1 − s1)m4/n
Ëåììà äîêàçàíà.
≤ 243(m4 + 1)|t − s|2.
Ïóñòü íà ïðîñòðàíñòâå C([0, 1]) çàäàíà áîðåëåâñêàÿ ìåðà P . Ïðåâðàòèì
ïðîñòðàíñòâî Ω := C([0, 1]) â âåðîÿòíîñòíîå, íàäåëèâ åãî áîðåëåâñêîé
σ -àëãåáðîé è âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé P . Ëþáîå îòîáðàæåíèå âèäà
C([0, 1]) 3 x → (x(t1), x(t2), · · · , x(tn)) ∈ Rn
ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì äëÿ ëþáîãî íàáîðà ti ∈ [0, 1].
Áîðåëåâñêàÿ ìåðà P íà ïðîñòðàíñòâå C([0, 1]) íàçûâàåòñÿ ìåðîé Âèíåðà, åñëè P ({x(0) = 0}) = 1 è ñëó÷àéíûé âåêòîð
Îïðåäåëåíèå 1.
(x(t1), x(t2), · · · , x(tn)),
t 1 < t2 · · · < tn
èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ñðåäíèì è ìàòðèöåé êîâàðèàöèè Ci,j = min(ti, tj ).
Óïðàæíåíèå 1.
Åñëè P ìåðà Âèíåðà, òî îòîáðàæåíèå
[0, 1] × C([0, 1]) 3 (t, x) → x(t)
ÿâëÿåòñÿ âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì íà ïðîñòðàíñòâå
C([0, 1]) íàäåëåíî áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé.
[0, 1] × Ω
, ãäå
Ω =
Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ î ïîñòðîåíèè âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñâîäèòñÿ ê
âîïðñó î ïîñòðîåíèè ìåðû Âèíåðà.
(
) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñïðåäåëåíèé ξn íà C([0, 1])
îáëàäàåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ê ìåðå Âèíåðà.
Òåîðåìà 2. Äîíñêåð
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé ëåììû è òåîðåìû Ïðîõîðîâà.
Íàì îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ìåðà P ìîæåò áûòü òîëüêî ìåðîé Âèíåðà. Äîêàæåì, ÷òî ïðåäåë ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà
(ξt , · · · , ξt ) åñòü ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ñðåäíèì è ìàòðèöåé êîâàðèàöèè Ci,j = min(ti, tj ).
Ïóñòü n = 2 (îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî). Òîãäà
1
n
√
√
n
n
λ1ξt1 + λ2ξt2 = (λ1 + λ2)S[nt1]/ n + λ2(S[nt2] − S[nt1])/ n
√
√
+ η[nt1]+1(([nt1 − [nt1]])λ1/ n + λ2/ n)
√
+ η[nt2]+1([nt2 − [nt2]])λ2/ n.
Âûðàæåíèå ñïðàâà ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ A + B + C + D. Äëÿ
âû÷ècëåíèÿ ïðåäåëà íàéäåì
ÖÏÒ) ïðåäåë õàðàê (êàê
h â äîêàçàòåëüñòâå
i òåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé IE exp(i λ1ξtn + λ2ξtn ) .
1
2
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî IE(eiC ), IE(eiD) ñòðåìÿòñÿ ê åäèíèöå (ïî÷åìó?). Äëÿ
îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ ïîëó÷àåì
√ [nt ]
√ [nt ]−[nt ]−1
i(A+B)
1
1
lim IE(e
) = lim(ϕ(λ1 + λ2)/ n)
· (ϕ(λ2)/ n) 2
.
n
n
Àðãóìåíòû, ïðèìåíÿâøèåñÿ â äîêàçàòåëüñòâå ÖÏÒ, äàþò íàì â ïðåäåëå
ñîîòíîøåíèå
i(λ1 ξtn +λ2 ξtn )
lim IE(e
n
1
2
1 2
2
) = exp − (λ1t1 + 2λ1λ2 min(t1, t2) + λ2t2) .
2
N (0, min(t1, t2))
À ýòî è åñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
.