Касьянова Эльмира Владимировна учитель математики высшей

Тема: Нестандартное решение алгебраических задач»
«Алгебра – не что иное как записанная в символах геометрия, а геометрия –
это алгебра, воплощенная в фигурах» (София Жермен)
Цели урока:
Образовательные: - преодоление формализма при решении алгебраических
задач с помощью геометрии, развитие у учащихся аналитического способ
мышления, умение добывать новые знания, опираясь на уже известные
факты и понятия.
Воспитательные: – привитие интереса к предмету, формирование умения
аккуратно и грамотно выполнять математические записи
Развивающие – создание благоприятных условий для развития творческой и
мыслительной деятельности учащихся через исследовательский подход к
изучению нового материала; способствовать развитию самостоятельности,
способности видеть проблему, анализировать, обобщать, делать выводы,
ясно и четко излагать свои мысли
Оборудование: Презентация в POWER POINT
Универсальные (компьютер, проектор, экран)
Задачи урока:
1. Рассмотреть способы решения алгебраических задач методами,
основанными на наглядно-геометрических интерпретациях
2. Ход урока.
1.Организационный этап.
Взаимные приветствия учителя и учащихся; фиксация отсутствующих;
проверка внешнего состояния классного помещения; проверка
подготовленности учащихся к уроку; организация внимания и внутренней
готовности.
2.Проверка домашнего задания
3) Подготовка к изучению нового материала.
УЧИТЕЛЬ. Сейчас мы сыграем в игру А, В, С. Вычислите: а)
arcsin( 1)  arccos 0  arccos 1
A)2
B )0
C )1
б) arctg1  arcctg (1)  arctg 0
A)0
B)
в) arcsin
A)0

C )
2
1
1
 arccos  arcsin( 1)
2
2
B )
C )1
УЧИТЕЛЬ. Найдите ошибку.
а) arcsin(sin

3
)

3


6
6
б) arccos(cos( )) 
в) arccos(cos 3 )  
г) arcsin(sin
2
2
)
3
3
д) arctg (tg
5
5
)
.
6
6
В виде фронтальной беседы проанализировать каждый ответ и способы его
нахождения.
4.Сообщение темы урока, его целей и задач. В условиях современного
экзамена, особенно при решении задач повышенной трудности (части С
единого государственного экзамена), на первый план выступает такое
понятие, как рациональность решения. При дефиците времени стандартное,
но трудоемкое решение может привести к тому, что потраченное время будет
столь большим, что на остальное просто не хватит ни времени, ни сил.
Поэтому нужно стремиться к тому, чтобы решение было максимально
простым и рациональным. Для решения многих математических задач
существует несколько вариантов решения. При этом необходимо учитывать,
что наиболее простое решение может быть совершенно неочевидным. Одним
из таких неочевидных, но эффективных и эффектных способов является
геометрический способ.
Сегодня мы рассмотрим решение нескольких задач как алгебраическим, так
и геометрическим способом.
Задача 1. Вычислить arctg 3  arctg 2  arctg1 .
Алгебраическое

2
 arctg 2  arctg 3   .
tg (   ) 
4
Пусть
 arctg 2 

2

,
4
arctg 2  arctg 3   .
a

r3  c ,
2
Применим
t тогда
g
формулу
tg  tg
.
1  tg  tg
Тогда tg  tg (arctg 2  arctg 3) 


решение.
tg (arctg 2)  tg (arctg 3)
23

 1. Следовательно,
1  tg (arctg 2)tg (arctg 3) 1  2  3
3
.
4
А теперь решим эту же задачу геометрическим способом. Вы убедитесь, что
использование геометрического способа делает задачу практически устной.
arctg 3  BAM , arctg 2  CAN , AC  BC  5 , AB  10 . AC 2  BC 2  AB 2 , тогда по
теореме обратной теореме Пифагора ABC - прямоугольный, BCA  90. Так
AC  BC ,
BAC  45  arctg1.
как
то
Значит,
BAM  CAN  BAC  arctg 3  arctg1  arctg 2   .
УЧИТЕЛЬ. Хочу напомнить, что применение геометрического метода для
решения алгебраических задач не должно стать самоцелью или носить чисто
ознакомительный характер для подтверждения связи алгебры и геометрии.
Этот метод хорош при упрощении некоторых тригонометрических
выражений.
2
5
Задача 2. Найти значение выражения 21tg (arcsin ).


2
 arcsin x 

2
; для x  0 0  arcsin x 

2
.
Построим прямоугольный треугольник АВС с углом А, который равен
arcsin
2
.
5
AC  AB 2  BC 2  25  4  21.
tgA 
BC
2

.
AC
21
Тогда
2
2
21tg (arcsin )  21 
 2.
5
21
УЧИТЕЛЬ. Рассмотрим систему уравнений, которая решается довольно
просто при помощи геометрического способа. Дана система уравнений
 х 2  у 2  9,
 2
2
 у  z  16, Для положительных x, y , z , не вычисляя их значений, найти
 y 2  xz.

значение выражения xy  yz. тогда
Алгебраическое решение.
Сложим первое и второе уравнения системы. Получим х 2  2 у 2  z 2  25.
Учтем, что у 2  хz, тогда х 2  2 xz  z 2  25, ( x  z ) 2  25.  x  z  5 или x  z  5.
Рассмотрим первый случай, когда x  z  5 , z  5  x. Первое уравнение
запишем в виде х 2  xz  9 и подставим значение z ,получим, что x  1,8. Тогда
z  3,2, а y  2,4. Вычислим xy  yz  y ( x  z )  2,4(1,8  3,2)  2,4  5  12.
Аналогично рассматривается второй случай, когда x  z  5.
Геометрическое решение.
Рассмотрим первое и второе уравнения системы. По теореме, обратной
теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются катетами и гипотенузой
прямоугольного треугольника ACD, а числа y, z и 4 катетами и гипотенузой
прямоугольного треугольника CDB. Из третьего уравнения системы следует,
что y - можно рассмотреть как среднее пропорциональное чисел x и z. По
теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном
треугольнике, ACB  90.
xy  yz  ( x  z ) y  AB  CD  2  S ABC  2 
1
 AC  CB  3  4  12.
2
5. Проверка, анализ, выводы.
1. Убедились ли вы в том, что геометрическое решение является более
наглядным и оригинальным?
2. Какое из двух решений алгебраическое или геометрическое является
наиболее рациональным?
Обратить внимание учащихся на то, что применение геометрического
метода для решения геометрических задач не должно стать самоцелью, что
необходимо уметь применять для решения задач как алгебраический так и
геометрический методы.
6. Обобщение изученного материала.
7. Домашнее задание: Вычислить: а) sin(arccos 0,6  arcsin 0,6),
б) sin(arcsin
1
3
 arccos )
3
5
9. Подведение итогов урока. Качественная характеристика работы класса
учителем.
Самооценка и оценка работы класса и отдельных учащихся. Аргументация
выставленных отметок, замечания по уроку, предложения о возможных
изменениях на последующих уроках. Проанализировать урок, дать оценку
успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.