Арктангенс и арккотангенс 𝜋 𝜋 2 2 Арктангенсом числа b называется угол α, такой, что tgα=b и − < 𝛼 < . Арктангенс числа b обозначается arctgb. Таким образом, arctgb – это угол, 𝜋 𝜋 удовлетворяющий двум условиям: tg(arctgb)=b и − < 𝑏 < . 2 2 Арккотангенсом числа b называется угол α, такой, что сtgα=b и 0 < 𝛼 < 𝜋. Арккотангенс числа b обозначается arcсtgb. Таким образом, arcсtgb – это угол, удовлетворяющий двум условиям: сtg(arcсtgb)=b и 0 < 𝑏 < 𝜋. 𝜋 𝜋 2 2 tg (arctg 𝑥) = 𝑥, −∞ < 𝑥 < ∞; arctg(tg 𝑥) = 𝑥, − < 𝑥 < ctg (arcctg 𝑥) = 𝑥, −∞ < 𝑥 < ∞; arcctg(ctg 𝑥) = 𝑥, 0 < 𝑥 < 𝜋 Примеры решения задач Пример 1. Найти значение выражения arctg(− Решение. arctg (− √3 ) 3 𝜋 𝜋 𝜋 6 2 6 √3 ). 3 = − , так как − < − < 𝜋 𝜋 и tg (− ) = − 2 6 √3 . 3 Ответ: − 𝜋 6 Пример 2. Найти значение выражения arcctg(−√3) + arctg(−√3). Решение. arcctg(−√3) + arctg(−√3)= 5𝜋 6 𝜋 5𝜋−2𝜋 3 6 + (− )= = 3𝜋 6 𝜋 = . 2 Ответ: 𝜋 Ответ: 1 2 Пример 3. Найти значение выражения ctg(arctg3). 𝜋 1 2 tg𝛼 Решение. Пусть arctg3=α, тогда tgα=3 и 0 < 𝛼 < . ctgα= 1 = , 3 3 Пример 4. Найти значение выражения sin(arcctg 3). Решение. Пусть arcctg3=, тогда ctg=3. Воспользуемся формулой 1 1 1 1 sin 𝛼 = ; sin2 𝛼 = = , тогда sin= . 2 2 1+ctg 𝛼 1+9 10 √10 Ответ: 1 √10 1 Пример 5. Вычислить cos(2arctg (− )). 3 1 1 1 Решение. cos(2arctg (− ))=cos(2arctg )=2cos 2 (arctg ) − 1. 3 3 3 1 1 1 3 cos2 𝛼 Пусть arctg =, тогда tg= . 1+tg2= cos2=2· 9 10 4 3 9 ; cos2= . 10 Отсюда - 1= . 5 Ответ: 4 5 40 Пример 6. Вычислить ctg(arccos(− )). 41 40 40 40 40 41 cos 𝛼 40 41 41 41 Решение. ctg(arccos(− ))=ctg(arccos ). Пусть arccos =, cos= . sin=√1 − 9 cos 2 𝛼= . 41 ctg= sin 𝛼 = . 9 Ответ: 1 5 2 13 40 9 Пример 7. Вычислить tg ( arcsin ). Решение. 5 Пусть 12 𝛼 13 2 cos=√1 − sin2 𝛼= . tg 5 arcsin =, tg sin= . 13 13 𝛼 2 =√ 1−cos 𝛼 1+cos 𝛼 . 1 = . 5 Ответ: 1 5 Упражнения 1. Вычислите: 1) arctg √3 2) arcctg √3 3) arcctg 1 4) arcctg 1 6) arctg 1 7) arctg 0 8) arcctg (−√3) 9) arctg √3 3 2. Сравните значения выражений: 2) arctg0 и arcctg( - 1) 1) arctg√3 и arctg1 3) arcctg(− 5) arcctg 1 ) и arctg(−√3) √3 1 √3 4) arctg( - 1) и arcctg( - 1) 6) arctg√3 и arcctg(−√3) и arctg√3 1 7) arcctg1 и arcctg√3 8) arcctg(− 9) arctg( - 1) и arcctg( - 1) 10) arcctg(− √3 3 ) и arctg( ) √3 1 ) и arctg(− √3 3. Найдите значение выражения: 1) arctg0 + arcctg(−√3) + arctg(− 2) arccos (− 3) 4) √3 ) 2 + arcsin (− √3 ) 2 1 ) + arcctg0 √3 + arctg(−√3) √3 ) 3 5) arсctg √3 3 10) arctg(− √3 ) 3 5) arctg(−1) + 2arcctg (− √3 ) 3 − 3arctg√3 + arcctg(−1) 6) 2arcctg1 + 3arctg0 + arcsin(−1) 7) 8) arcctg√3 + arctg√3 + arcctg(− √3 ) 3 1 9) arctg(−√3) + arcctg0 + 3arctg 2 √3 3 10) 4. Найдите значение выражения: 13𝜋 7 1) tg(arctg3,7) 2) arctg(tg 5) ctg(arctg( - 4)) 6) tg(arcctg( - 5)) 9 8 ) 12𝜋 9) tg(arctg((− )) 10) arctg(ctg 8 5 3) ctg(arcctg(− )) 4) arctg(tg(− 7) ctg(arcctg9,2) 8) arct(tg 5 15𝜋 7 9𝜋 5 )) ) ) 5. Вычислить: 2 1 1) 4√5tg (arccos ) 3 2) √6tg (arccos ) 3 3) 18√7tg (arccos ) 5 1 4 4 4) √2tg (arccos ) 2 5) 8tg (arccos ) 3 6) 4√21tg (arccos ) 5 3 5 1 7) 9tg (arccos ) 8) 2√35tg (arccos ) 5 6 5 9) 10√11tg (arccos ) 6 1 10) 3√15tg (arccos ) 4 6. Найдите значение выражения: 1) sin(arcctg 8 8 15 3) tg(arcsin( - - arcsin ) 17 12 3 13 5 )+arcsin ) 5) tg(arcctg2 + arcctg3) 1 3 4 5 7) cos(2arctg +arccos ) 1 9) sin(2arcctg (− ) + 10arctg(−1)) 5 3 12 4 5 2) cos(arctg - arcctg( - )) 1 4) sin(9arcctg √3 + arcsin ) 3 2 6) tg(2 arcsin (− ) + arccos(−1)) 3 8) cos(1,5arctg(−√3) + 4arcctg2) 10) sin(arcsin √2 2 + 2arctg 1) tg(arccos1 − 2arctg (− 4 2 5 √5 √3 )) 3 1 3 2 5 tg( arccos - 2arctg( - 2)) ctg(arcsin +arccos ) 3 1 5 √5 tg(arcos( - )+arcsin( - 1 2 2 5√5 sin(arcctg( - )+arccos ) cos(arcsin( - √2 ) 2 – arcctg0) 12 sin(2arctg2+arctg3) )) 3 tg(arcsin (− ) + arcsin ) 13 5 3 12 4 5 cos(arctg − arcctg(− )) 7. Найдите значение выражения: 1) ctg (51arctg (−1)) 4) arctg(ctg √2 ) 2 7) 2) cos(217arcctg(−√3)) 3) sin(2 arcctg (−3)) 5) 6) 8) 9) 10) 8. Докажите тождество: 𝜋 1) arctgx+arcctgx= 3) sin(arctg 𝑥) = 5) ctg(arctgx)= 7) sin(arctgx)= 9) arctg 1 𝑥 2) arcsin 𝑥 = arctg 2 𝑥 4) arctg 𝑥 = arcsin √1+𝑥 2 1 𝑥 √1−𝑥 2 𝑥 √1+𝑥 2 6) 2arctg 𝑥 = arctg 𝑥 𝑥 8) tg(arcsinx)= √1+𝑥 2 2𝑥 1−𝑥 2 , −1 < 𝑥 < 1 , −∞ < 𝑥 < ∞ ,0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥 √1−𝑥 2 10) arctg (tg 2) = 2 − 𝜋 = arctg 𝑥, 𝑥 ≠ 0 9. Решите уравнение: 1) arctg 2 𝑥 − 5𝜋 12 arctg 𝑥 + 𝜋2 24 =0 3) arctg(6𝑥 − 1) = arctg(12 − 5𝑥) 3𝑥−1 2) arcctg(3 − 4𝑥) = arcctg(11 + 8𝑥) 4) arctg(2x-1)= − =𝜋 6) 7) 4arctg 2 𝑥 − 3𝜋arctg𝑥 − 𝜋 2 = 0 8) 5) 4arctg 𝑥+3 9) arctg2𝑥 + arctg3𝑥 = − 3𝜋 4 10. Найдите значение выражения: 10) arcctg(2-3x)= 𝜋 4 3𝜋 4 1) tg (arccos √2 ) 2 + ctg (2 arcsin 1 ) √2 3) cos(2arctg 1) + cos (2 arctg(−1)) 1 5) tg (arccos(− ) + sin (arctg(−√3) 2 7) tg(arcsin 0) − ctg (arccos(− √2 ) 2 9) 2) ctg (arcsin 4) 6) 8) 10) Дополнительные задания 1. Решите неравенство: 1) arctg(5x2 – 3x)>arctg(5x- 3) 4) arcctg (𝑥 − 2) < 7) 10) 5𝜋 2) 3) 5) 6) 8) 9) 6 √3 ) 2 + ctg (2 arcctg(−√3) Арктангенс и арккотангенс 1. Найдите значение выражения 2. Найдите значение выражения 3. Найдите значение выражения 4. Найдите значение выражения Вариант 1 Вариант 2 arcctg √3 arctgn 1 arctg(− √3 ) 3 −arcctg √3 tg(arctg(− 1)) arctg (− ctg(arcctg √3 ) 3 √3 ) − arcctg 1 3 arcctg(−1) + arctg 5𝜋 4 arcctg(−1) + √3 3 5. Найдите значение выражения arctg 1 + 6. Найдите значение выражения 𝜋 arctg (ctg ) 4 tg(arcctg √3) 7. Найдите значение выражения tg(3 arctg 1 + arcctg 0,8) ctg(arcctg 0,6 − arctg 0,6) 8. Решите уравнение 9. Решите уравнение 10. Докажите тождество 1+2𝑥 arcctg 3 = 2𝜋 3 arctg(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) = 0 π arctgx+arcctgx= 2 𝑥+2 arctg 4 3𝜋 2 =− 𝜋 3 arcctg(𝑥 2 − 3𝑥 + 0,5) = ctg(arctgx)= 1 𝑥 𝜋 4