Ðешение задач экономики средствами пакета MathCAD

ÏÐÎÃÐÀ ÌÌÍÎ-ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÅ
ÑÐÅÄÑÒÂÀ
À .È. Áîðîäèíà, ê.ý.í., äîöåíò êàôåäðû
èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè÷åñêîãî
óíèâåðñèòåòà,
Í.À . Êî÷åòîâà, àññèñòåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà,
À .Ì. Ñåäóí, ê.ò.í., äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà,
Å.Ï. Òóðêèíà, ê.ý.í., äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
Ð åøåíèå çàäà÷ ýêîíîìèêè ñðåäñòâàìè
ïàêåòà MathCAD
 âåäåíèå
Ñïåöèàëèçèðîâàííûé ïàêåò MathCAD îðèåíòèðîâàí íà ðåøåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷. Îäíàêî îïûò ðàáîòû ñ ýòèì ïàêåòîì
â ýêîíîìè÷åñêîì âóçå ïîêàçàë, ÷òî ñðåäñòâàìè ýòîãî ïàêåòà ìîæíî ñ óñïåõîì ðåøàòü çàäà÷è ýêîíîìè÷åñêîãî ïðîôèëÿ.
Àâòîðû ïðåäëàãàþò Âàøåìó âíèìàíèþ ñâîþ ìåòîäè÷åñêóþ ðàçðàáîòêó, ãäå íå òîëüêî ñôîðìóëèðîâàíû ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è, íî ðåøåíèþ êàæäîé çàäà÷è äàþòñÿ äåòàëüíûå
ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè. Ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû, íà÷èíàÿ îò
ïðîñòåéøèõ óñëîâíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷ è êîí÷àÿ çàäà÷àìè,
ïðèáëèæåííûìè ê ðåàëüíûì ýêîíîìè÷åñêèì çàäà÷àì.
3 8
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â ýêîíîìèêå
Çàäàíèå 1. Ðàññ÷èòàòü âåëè÷èíó äèñêîíòà (ñêèäêè) äëÿ
îáëèãàöèé íîìèíàëîì 100 òûñ. ðóá., êîòîðûå ðàçìåùàþòñÿ
1.02.2008 ã. ïî öåíå 90 òûñ. ðóá., à ïîãàøàþòñÿ ïî íîìèíàëó
1.05.2008 ã.
Ïîÿñíåíèå. Äëÿ ðàñ÷åòîâ âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
âûêóï − öåíà
Â
×
.
öåíà
DSM
 íàøåì ñëó÷àå âûêóï (V) ðàâåí 100 000, öåíà (P) –
90 000, ÷èñëî äíåé â ãîäó (Â) ïðèìåì 3 60, ÷èñëî äíåé ìåæäó
äàòàìè (DSM) ñîñòàâëÿåò 90.
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ùåëêíèòå ìûøüþ ïî ñâîáîäíîìó ìåñòó â ðàáî÷åì
äîêóìåíòå.
2. Ïðèñâîéòå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûì V (âûêóï) è Ð (öåíà) ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è, âîñïîëüçîâàâøèñü çíàêîì ïðèñâàèâàíèÿ:
Äèñêîíò =
V := 100000
P := 90000
3 . Ïðèñâîéòå ïåðåìåííîé Disc âûðàæåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåïðèâåäåííîé ôîðìóëîé:
Disc :=
( V − P) 360
⋅
.
90
P
4. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà íàáåðèòå Disc è íàæìèòå
çíàê ðàâåíñòâà èëè êíîïêó ðàâíî
íà ïàíåëè Àðèôìåòè-
êà. Ñïðàâà îò ââåäåííîãî çíàêà ðàâåíñòâà ïîÿâèòñÿ âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå äèñêîíòà (Disc):
Disc = 0.444
Çàäàíèå 2.2. Ïåðâîíà÷àëüíûé âêëàä, ïîëîæåííûé â
áàíê ïîä 10 % ãîäîâûõ, ñîñòàâèë 6 ìëí. ðóá. Íàéòè ðàçìåð
âêëàäà ÷åðåç 5 ëåò ïðè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòàõ íà÷èñëåíèÿ
ïðîöåíòîâ (åæåãîäíîì, ïîêâàðòàëüíîì, íåïðåðûâíîì).
Ïîÿñíåíèå. Ïðîñòûìè ïðîöåíòàìè íàçûâàþò òàêîé ñïîñîá íàðàùåíèÿ âêëàäà, ïðè êîòîðîì ïðîöåíòû íà÷èñëÿþòñÿ
íà ïåðâîíà÷àëüíóþ ñóììó. Ñëîæíûìè ïðîöåíòàìè íàçûâàþò
3 9
òàêîé ñïîñîá íàðàùåíèÿ, ïðè êîòîðîì ïðîöåíòû íà÷èñëÿþò
íà âñþ íàêîïëåííóþ ñóìêó, à íå òîëüêî íà ïåðâîíà÷àëüíóþ.
Íåïðåðûâíûìè ïðîöåíòàìè íàçûâàþò ñïîñîá íàðàùåíèÿ, ïðè
êîòîðîì âðåìÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåïðåðûâíàÿ âåëè÷èíà.
Äëÿ ðàñ÷åòîâ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè íà÷èñëåíèÿ ïðînm
i 

ñòûõ FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n) è ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ FV = PV ⋅ 1 +  ,
m


ãäå FV – ñóììà âêëàäà ñ ó÷åòîì íà÷èñëåííûõ ïðîöåíòîâ;
PV – íà÷àëüíàÿ ñóììà âêëàäà;
i – ãîäîâàÿ ñòàâêà ïî äåïîçèòó, â äîëÿõ;
n – ñðîê âêëàäà, ëåò;
m – êîëè÷åñòâî íà÷èñëåíèé â ãîäó.
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ùåëêíèòå ìûøüþ ïî ñâîáîäíîìó ìåñòó â ðàáî÷åì
äîêóìåíòå.
2. Ââåäèòå âåëè÷èíó ïåðâîíà÷àëüíîãî âêëàäà:
PV := 6000000
3 . Ââåäèòå çàäàííóþ âåëè÷èíó ïðîöåíòíîé ñòàâêè:
i := 10
4. Ââåäèòå ñðîê âêëàäà:
n := 5
5. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó âêëàäà ïðè åæåãîäíîì íà÷èñëåíèè
ïðîöåíòîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòûõ ïðîöåíòîâ ïî ôîðìóëå:


FV := PV ⋅  1 +
i

⋅n .
100

Ðàçìåð âêëàäà â ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâèò:
FV = 9000000
6. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó âêëàäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ ïðè åæåãîäíîì íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ (m=1):
m:=1
nm
⋅


FV = PV ⋅  1 +
FV = 9663060
40
i

100 ⋅ m 
7. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó âêëàäà ÷åðåç 5 ëåò ïðè ïîêâàðòàëüíîì íà÷èñëåíèè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ (m=4):
m:=4
i


FV = PV ⋅  1 +
100 ⋅ m 

nm
⋅
FV = 9831699
8. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó âêëàäà ïðè íåïðåðûâíîì íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ ïðè m → ∞. Äëÿ ÷åãî âû÷èñëèòå ïðåäåë ñ ïîìîùüþ êíîïêè
ïàíåëè Ìàòàíàëèç (ïîñëå íàáîðà ñëåäóåò
çàêëþ÷èòü âñå âûðàæåíèå â âûäåëÿþùóþ ðàìêó è íàæàòü êíîïêó
ñèìâîëè÷åñêîãî çíàêà ðàâåíñòâà
íà ïàíåëè  û÷èñëåíèÿ):
nm
⋅ 

i
1



 → 6000000 ⋅ exp  
FV := lim PV ⋅  1 +
100 ⋅ m  

2
m→ ∞ 
FV = 9892328
Çàäàíèå 2.3. Ïóñòü ñïðîñ íà òîâàð îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé D(Q)= -5Q+150, à ïðåäëîæåíèå – ôóíêöèåé
S(Q)= Q2/4 + Q/2 + 70. Èçîáðàçèòü êðèâûå ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ è íàéòè ãðàôè÷åñêè, ñèìâîëüíî è ñ ïîìîùüþ áëîêà
Given – Find ðàâíîâåñíóþ öåíó, ïðè êîòîðîé âåñü ïðîèçâåäåííûé òîâàð ðàñêóïàåòñÿ, ò.å. ñïðîñ ñîâïàäàåò ñ ïðåäëîæåíèåì.
Ïîÿñíåíèå. Åñëè Q – êîëè÷åñòâî òîâàðà, ïðåäëîæåííîãî äëÿ
ïðîäàæè ïî öåíå Ð, òî ôóíêöèÿ P=S(Q) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðåäëîæåíèÿ. Ôóíêöèÿ P=D(Q) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñïðîñà, åñëè Q –
êîëè÷åñòâî òîâàðà, ïðèîáðåòåííîãî ïîòðåáèòåëÿìè ïî öåíå Ð.
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ïîñòðîéòå íà îäíîì ãðàôèêå (â îäíîé êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè) êðèâóþ ñïðîñà D(Q) è êðèâóþ ïðåäëîæåíèÿ S(Q).
Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêà â íèæíåì ïîëå ââîäà âîçëå îñè àáñöèññ ââåäèòå èìÿ àðãóìåíòà Q, à âîçëå îñè îðäèíàò – èìåíà
ôóíêöèé D(Q), S(Q), èñïîëüçóÿ äëÿ èõ ðàçäåëåíèÿ çíàê çàïÿòîé.
41
Q := 0 .. 20
D ( Q) := −5 ⋅ Q + 150
2
S ( Q) :=
Q
Q
+
+ 70
2
4
2. Íàéäèòå ðàâíîâåñíóþ öåíó ãðàôè÷åñêè. Äëÿ ýòîãî âûïîëíèòå êîìàíäó Ôîðìàò ⇒ Ãðàôèê ⇒ Ñëåä, çàòåì ùåëêíèòå
ïî ïîëþ ãðàôèêîâ è óñòàíîâèòå ìàðêåð (ïåðåêðåùèâàþùèåñÿ
ïóíêòèðíûå ëèíèè) â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ.  îêíå XY Trace îòîáðàæàþòñÿ êîîðäèíàòû ìàðêåðà: çíà÷åíèå êîîðäèíàòû X è åñòü èñêîìîå çíà÷åíèå êîëè÷åñòâà òîâàðà Q, ïðè
êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ðàâíîâåñíàÿ öåíà P – çíà÷åíèå êîîðäèíàòû Y â ýòîì æå îêíå. Êàê âèäèì íà ïðåäñòàâëåííîì ãðàôèêå è â îêíå òðàññèðîâêè, ðàâíîâåñíàÿ öåíà Ð ðàâíà 100:
3 . Íàéäèòå ðàâíîâåñíóþ öåíó ñèìâîëüíî. Äëÿ ýòîãî ââåäèòå ðàçíîñòü ôóíêöèé ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ, íàáåðèòå ñèì(íà ïàíåëè Áóëåâî) è
âîëüíûé çíàê ðàâåíñòâà
ïðèðàâíÿéòå ëåâóþ ÷àñòü íóëþ. Âûäåëèâ ïåðåìåííóþ Q, ïðèìåíèòå êîìàíäó Ñèìâîëû ⇒ Ïåðåìåííûå ⇒  û÷èñëèòü.
2
Q
Q
+
+ 70 + 5 ⋅ Q − 150 = 0
2
4
 −32 

 10 
42
4. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ Q èñïîëüçóéòå áëîê Given –
Find, ïðåäâàðèòåëüíî çàäàâ íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå Q, ðàâíîå,
íàïðèìåð, 1.
 çàïèñè óðàâíåíèÿ èñïîëüçóéòå ñèìâîëüíûé çíàê ðàâåíñòâà ïàíåëè Áóëåâî, à ïîñëå ââîäà Find(Q) – çíàê «ðàâíî» èëè êíîïêó
ïàíåëè Àðèôìåòèêà:
Q := 1
Given
2
Q
Q
+
+ 70 + 5 ⋅ Q − 150
2
4
0
Find( Q) = 10
5.  îáîèõ ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿõ îïðåäåëèòå ðàâíîâåñíóþ
öåíó P êàê ôóíêöèþ (D èëè S) îò ïîëó÷åííîãî çíà÷åíèÿ Q:
P := D ( 10)
P = 100
Çàäàíèå 2.4. Çàâèñèìîñòü ìåæäó èçäåðæêàìè ïðîèçâîäñòâà y è îáúåìîì âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè x âûðàæàåòñÿ
ôóíêöèåé y(x)=50·x-5·x3. Îïðåäåëèòü ñðåäíèå è ïðåäåëüíûå
èçäåðæêè ïðè îáúåìå ïðîäóêöèè 10 åäèíèö.
Ïîÿñíåíèå. Åñëè äàíà ôóíêöèÿ èçäåðæåê C â çàâèñèìîñòè îò îáúåìà q âûïóñêàåìîãî òîâàðà C=C(q), òî ïðåäåëüíûå
èçäåðæêè áóäóò çàäàâàòüñÿ ïðîèçâîäíîé ýòîé ôóíêöèè
MC=C’(q). Åå ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë – ýòî èçäåðæêè íà ïðîèçâîäñòâî äîïîëíèòåëüíîé åäèíèöû âûïóñêàåìîãî òîâàðà.
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ââåäèòå îáúåì ïðîäóêöèè õ1 è çàäàííóþ ôóíêöèþ
èçäåðæåê:
x1 := 10
y ( x) := 50 ⋅ x − 5 ⋅ x
3
2. Îïðåäåëèòå ôóíêöèþ ñðåäíèõ èçäåðæåê ysr(x) (íà
åäèíèöó ïðîäóêöèè) è îïðåäåëèòå, êàêîâû ñðåäíèå èçäåðæêè
ïðè îáúåìå ïðîäóêöèè x1:
43
ysr( x) :=
y ( x)
x
y ( x1) = −4500
3 . Îïðåäåëèòå ôóíêöèþ ïðåäåëüíûõ èçäåðæåê ypr(x) êàê
ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y(x) ñ ïîìîùüþ êíîïêè
ïàíåëè
èíñòðóìåíòîâ Ìàòàíàëèç.
ypr( x) :=
d
y ( x)
dx
4. Äëÿ ñèìâîëüíîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè âûäåëèòå ðàìêîé ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ è íàæìèòå êíîïêó ñèìâîëè÷åñíà ïàíåëè  û÷èñëåíèÿ.
êîãî çíàêà ðàâåíñòâà
ypr( x) :=
d
y ( x) → 50 − 15 ⋅ x
2
dx
5. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëüíûõ èçäåðæåê ïðè îáúåìå
ïðîäóêöèè x1 ïîñëå ââîäà ypr(x1) íàæìèòå êëàâèøó «ðàâíî»
èëè êíîïêó
íà ïàíåëè Àðèôìåòèêà.
ypr( x1) = −1450
6. Èçîáðàçèòå íà îäíîì ãðàôèêå ôóíêöèè èçäåðæåê y(x),
ñðåäíèõ ysr(x) è ïðåäåëüíûõ ypr(x) èçäåðæåê, ïðåäâàðèòåëüíî
çàäàâ äèàïàçîí èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà x ñ ïîìîùüþ êíîïêè
ïàíåëè Àðèôìåòèêà:
x = −10 , −9.9 .. 10
y ( x)
ysr ( x)
ypr( x)
x
44
Çàäàíèå 2.5. Äàíà ôóíêöèÿ ïðåäåëüíûõ èçäåðæåê
MC=3·q2 - 16·q + 101
Èçäåðæêè äëÿ ïðîèçâîäñòâà ïåðâîé åäèíèöû òîâàðà ñîñòàâèëè 60 ðóá. Íàéòè ôóíêöèþ èçäåðæåê C(q) è âû÷èñëèòü
èçäåðæêè â ñëó÷àå ïðîèçâîäñòâà 10 åäèíèö òîâàðà.
Ïîÿñíåíèå. Ïîñêîëüêó ïðåäåëüíûå èçäåðæêè çàäàþòñÿ
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè èçäåðæåê, òî â ýòîé çàäà÷å (ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùåé) íåîáõîäèìî âûïîëíèòü îáðàòíóþ îïåðàöèþ – ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèè ïðåäåëüíûõ èçäåðæåê
íàéòè èñêîìóþ ôóíêöèþ èçäåðæåê C(q)= ∫ MCdq + 60 .
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ââåäèòå ôóíêöèþ ïðåäåëüíûõ èçäåðæåê:
2
MC ( q) := 3 ⋅ q − 16 ⋅ q + 101
2. Ôóíêöèþ èçäåðæåê C(q) íàéäèòå èíòåãðèðîâàíèåì ñ
ïîìîùüþ êíîïêè [Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë]
ïàíåëè
Ìàòàíàëèç.
⌠
C ( q) :=  MC ( q) dq + 60
⌡
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íàäî çàêëþ÷èòü åãî â âûäåëÿþùóþ ðàìêó è ùåëêíóòü ïî êíîïêå
â ïàíåëè îïåðàöèé Ñèìâîëû.
⌠
C ( q) :=  MC ( q) dq + 60
⌡
3
2
→ q − 8 ⋅ q + 101 ⋅ q + 60
3 . Âû÷èñëèòå èñêîìîå çíà÷åíèå èçäåðæåê ïðè q=10.
C ( 10) = 1270
Çàäàíèå 2.6. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà ðàáî÷åãî â òå÷åíèå äíÿ çàäàíà ôóíêöèåé f(t)=2·t2 + 5·t + 5 (äåí. åä./÷), ãäå
t – âðåìÿ â ÷àñàõ îò íà÷àëà ðàáîòû. Íàéòè ôóíêöèþ, âûðàæàþùóþ îáúåì ïðîäóêöèè (â ñòîèìîñòíîì âûðàæåíèè) è åãî
âåëè÷èíó çà ðàáî÷èé äåíü. Ïîñòðîèòü ãðàôèê èçìåíåíèÿ
ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà â òå÷åíèå ðàáî÷åãî äíÿ.
45
Ïîÿñíåíèå. Ðàññìîòðèì ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Åñëè f(t) – ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà â
ìîìåíò âðåìåíè t, òî
T
∫ f(t)d(t)
åñòü îáúåì âûïóñêàåìîé ïðî-
0
äóêöèè çà ïðîìåæóòîê [0,T].
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ââåäèòå ôóíêöèþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà:
2
f ( t) := 2 ⋅ t + 5 ⋅ t + 5
2. Îïðåäåëèòå ôóíêöèþ îáúåìà ïðîäóêöèè u(T) ïóòåì
èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèè f(t):
T
⌠
u ( T) :=  f ( t) dt
⌡0
3 . Äëÿ ñèìâîëüíîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ïîñëå ââîäà
â ïàíåëè îïåðàöèé Ñèìâîëû,
u(T) ùåëêíèòå ïî êíîïêå
çàòåì ùåëêíèòå çà ïðåäåëàìè ðàìêè:
u ( T)
→
2
3 5
2
⋅T + ⋅T +5⋅T
2
3
4. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó îáúåìà ïðîäóêöèè çà âîñüìè÷àñîâîé ðàáî÷èé äåíü:
u ( 8) = 541.3
5. Èçîáðàçèòå ãðàôèê ôóíêöèè f(t) íà ïðîìåæóòêå [0,8]:
Çàäàíèå 2.7. Îïðåäåëèòü îáúåì ïðîäóêöèè, ïðîèçâåäåííîé ðàáî÷èì çà âòîðîé ÷àñ ðàáî÷åãî äíÿ, åñëè ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé:
46
f(t) =
2
+3 .
4⋅ t +1
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ââåäèòå ôóíêöèþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè:
f ( t) :=
2
+3
4⋅t+1
2. Îïðåäåëèòå îáúåì ïðîäóêöèè u2, ïðîèçâåäåííîé çà
âòîðîé ÷àñ ðàáîòû, ïî ôîðìóëå:
2
⌠
u2 :=  f ( t) dt
⌡1
3 . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ u2 âîñïîëüçóéòåñü êëàâèøåé «ðàâíî» èëè êíîïêîé
ïàíåëè Àðèôìåòèêà.
u2 = 3.3
Îïòèìèçàöèîííûå è áàëàíñîâûå ýêîíîìèêîìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè
Çàäàíèå 3.1. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ïëàíèðîâàíèÿ
Äëÿ ïðîèçâîäñòâà ñòîëîâ è øêàôîâ ìåáåëüíàÿ ôàáðèêà
èñïîëüçóåò íåîáõîäèìûå ðåñóðñû. Íîðìû çàòðàò ðåñóðñîâ
íà îäíî èçäåëèå äàííîãî âèäà, ïðèáûëü îò ðåàëèçàöèè îäíîãî èçäåëèÿ è îáùåå êîëè÷åñòâî èìåþùèõñÿ ðåñóðñîâ êàæäîãî âèäà ïðèâåäåíà â òàáëèöå 1. Îïðåäåëèòü, ñêîëüêî
ñòîëîâ è øêàôîâ ôàáðèêå ñëåäóåò èçãîòîâèòü, ÷òîáû ïðèáûëü îò èõ ðåàëèçàöèè áûëà ìàêñèìàëüíîé.
Òàáëèöà 1
Ðåñóðñû
3
Äðåâåñèíà (ì )
Òðóäîåìêîñòü (÷åë-÷àñ.)
Ïðèáûëü (ðóá.)
Í îðìû çàòðàò ðåñóðñîâ
íà îäíî èçäåëèå
Ñòîë
Øêàô
0.1
0.3
1.2
1.5
6
8
Îáùåå êîëè÷åñòâî
ðåñóðñîâ
60
371.4
Ïîÿñíåíèå.  îáùåì âèäå îïòèìèçàöèîííàÿ ìîäåëü ñîñòîèò èç öåëåâîé ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ïðåäå47
ëàõ îãðàíè÷åííîé óñëîâèÿìè çàäà÷è îáëàñòè, è èç îãðàíè÷åíèé, õàðàêòåðèçóþùèõ ýòè óñëîâèÿ.
Ïóñòü ïðåäïðèÿòèå èçãîòîâëÿåò x1 ñòîëîâ è õ2 øêàôîâ.
Ïðîèçâîäñòâî îãðàíè÷åíî ðåñóðñàìè:
0.1·x1 + 0.3 ·x2 ≤ 60
1.2·x1 + 1.5·x2 ≤ 3 71.4
Êîëè÷åñòâî èçäåëèé íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì:
x1, x2 ≥ 0 .
Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïîêàçûâàåò îáùóþ ïðèáûëü îò ðåàëèçàöèè ñòîëîâ è øêàôîâ:
6·x1 + 8·x2 → Ìàx.
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ââåäèòå ëèíåéíóþ öåëåâóþ ôóíêöèþ:
f ( x1 , x2) := 6 ⋅ x1 + 8 ⋅ x2
2. Ââåäèòå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûì x1 è x2:
x1 := 0
x2 := 0
3 . Ââåäèòå ñëóæåáíîå ñëîâî Given, çàòåì ââåäèòå îãðàíè÷åíèÿ çàäà÷è, èñïîëüçóÿ â óðàâíåíèÿõ ñèìâîëüíûé çíàê ðàâåíñòâà
ïàíåëè Áóëåâî:
Given
0.1 ⋅ x1 + 0.3 ⋅ x2 = 60
1.2 ⋅ x1 + 1.5 ⋅ x2 = 371.4
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
4. Íàéäèòå ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîé ôóíêöèè
Maximize (Â ñòàâêà ⇒ Ôóíêöèÿ ⇒ maximize). Ïîñëå íàáîðà
ôóíêöèè íàæìèòå çíàê ðàâåíñòâà èëè êíîïêó
Àðèôìåòèêà:
 102 
 166 
Maximize ( f , x1 , x2) = 
5. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ïðèáûëü:
f ( 102 , 166) = 1940
48
íà ïàíåëè
Çàäàíèå 3.2. Ìåæîòðàñëåâîé áàëàíñ. Ìîäåëü Ëåîíòüåâà
Èññëåäîâàòü çàäàííóþ òàáëèöåé ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà ìîäåëü ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, â êîòîðîé âûäåëåíû òðè
ïðîèçâîäÿùèõ ñåêòîðà (ïðîìûøëåííîñòü, ñåëüñêîå õîçÿéñòâî,
òðàíñïîðò) è äîìàøíèå õîçÿéñòâà â êà÷åñòâå ñåêòîðà êîíå÷íîãî ñïðîñà (òàáëèöà 2, îáúåìû óêàçàíû â åäèíèöàõ ñòîèìîñòè). Íàéòè îáúåì âûïóñêà êàæäîé îòðàñëè ïî çàäàííîìó
êîíå÷íîìó ñïðîñó Y = (100 150 120).
Òàáëèöà 2
Ñåëüñêîå õîçÿéñòâî
Ïðîìûøëåííîñòü
Òðàíñïîðò
Äîìàøíèå
Ñåëüñêîå Ïðîìûøëåíõîçÿéñòâà
Îáùèé
Òðàíñïîðò
õîçÿéñòâî
íîñòü
(ñåêòîð êîíå÷íîãî âûïóñê
ñïðîñà)
50
16
120
60
246
30
10
180
100
320
15
14
140
80
249
Ïîÿñíåíèå. Ìåæîòðàñëåâîé áàëàíñ â ýêîíîìèêå – ýòî
ìåòîä àíàëèçà âçàèìîñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñåêòîðàìè
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
Öåëü áàëàíñîâîãî àíàëèçà – îïðåäåëèòü, ñêîëüêî ïðîäóêöèè
äîëæíà ïðîèçâåñòè êàæäàÿ îòðàñëü äëÿ òîãî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü
âñå ïîòðåáíîñòè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû â åãî ïðîäóêöèè.
Åñëè îáîçíà÷èòü âåêòîð âûïóñêà ÷åðåç X, âåêòîð ñïðîñà
(âåêòîð êîíå÷íîãî ïðîäóêòà) – ÷åðåç Y, à ñòðóêòóðíóþ ìàòðèöó ýêîíîìèêè – ìàòðèöó, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ çàòðàò ÷åðåç À, òî ñîîòíîøåíèÿ áàëàíñà
â ìàòðè÷íîé ôîðìå áóäóò èìåòü âèä:
, ãäå Å –
åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà – íàéòè ïðè çàäàííîé ñòðóêòóðíîé ìàòðèöå À ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû â óñëîâèÿõ áàëàíñà ñîâîêóïíûé âûïóñê X, íåîáõîäèìûé
äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ çàäàííîãî ñïðîñà Y.
Åñëè ìàòðèöà îáðàòèìà, òî ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ êàê
.
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïîëíûõ çàòðàò.
Ìàòðèöà
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Ïðèñâîéòå ïåðåìåííîé ORIGIN çíà÷åíèå 1:
49
2. Ââåäèòå ìàòðèöó ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà B, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîëè÷åñòâî òîâàðîâ è óñëóã i-ãî ñåêòîðà, ïîòðåáëÿåìîå j-ì ñåêòîðîì (i=1,2,3 ; j=1,2,3 ,4),
èñïîëüçóÿ êíîïêó
ïàíåëè èíñòðóìåíòîâ Ìàòðèöû.
3 . Ââåäèòå ïåðâîíà÷àëüíûé âåêòîð âûïóñêà X, çàäàííûé
â òàáëèöå (îáùèé âûïóñê):
4. Ââåäèòå êîíå÷íûé ïðîäóêò i-ãî ñåêòîðà Y (îáúåì ïðîäóêöèè i-ãî ñåêòîðà, ïîòðåáëÿåìûé â ñåêòîðå êîíå÷íîãî ñïðîñà):
5. Ñîçäàéòå ñòðóêòóðíóþ ìàòðèöó A (ìàòðèöó ïðÿìûõ
çàòðàò). Êîëè÷åñòâî ñåêòîðîâ ðàâíî 3 :
n:=3
i:=1..n
j:=1..n
6. Ñîçäàéòå ìàòðèöó ïîëíûõ çàòðàò D (âû÷èñëåíèå âûïóñêà ïðè êîíå÷íîì ñïðîñå) ïî ôîðìóëå
, ãäå
Å – åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà 3 -ãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ
50
ïîìîùüþ âñòðîåííîé ôóíêöèè identity(n) (Â ñòàâêà ⇒ Ôóíêöèè ⇒ Â åêòîð è ìàòðèöà ⇒ identity):
7. Âû÷èñëèòå âåêòîð âûïóñêà ïðè íîâîì âåêòîðå êîíå÷íîãî ñïðîñà ïî ôîðìóëå
:
Èòàê, ïðè âåêòîðå êîíå÷íîãî ñïðîñà Y = (100 150 120)
âåêòîð âûïóñêà X=(383.18 483.521 375.827).
Çàäàíèå 3.3. Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ýêñïîðòà è èìïîðòà
Èññëåäîâàòü çàäàííóþ ñòðóêòóðíîé ìàòðèöåé ìîäåëü
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû (ñì. Çàäàíèå 3.2.). Íàéòè îáúåì âûïóñêà êàæäîé îòðàñëè ïî çàäàííîìó êîíå÷íîìó ñïðîñó ïðè
íàëè÷èè ýêñïîðòà è èìïîðòà (ñì. Òàáëèöà 3, îáúåìû óêàçàíû
â åäèíèöàõ ñòîèìîñòè). Íàéòè ìàòðèöó íîâîãî áàëàíñà.
Òàáëèöà 3
Ñåëüñêîå õîçÿéñòâî
Ïðîìûøëåííîñòü
Òðàíñïîðò
Êîíå÷íûé ñïðîñ
60
100
80
Ýêñïîðò - èìïîðò
-20
40
0
Êîíå÷íûé ïðîäóêò
60-20
100+40
80+0
Ïîÿñíåíèå. Åñëè ãîñóäàðñòâî íà÷èíàåò èìïîðòèðîâàòü è
ýêñïîðòèðîâàòü ïðîäóêöèþ ïðîèçâîäñòâåííûõ ñåêòîðîâ, òî óñòàíàâëèâàåòñÿ íîâûé áàëàíñ ìåæäó çàòðàòàìè è âûïóñêîì.
Ñòðóêòóðíàÿ ìàòðèöà ýêîíîìèêè è ìàòðèöà ïîëíûõ çàòðàò
îñòàþòñÿ ïðåæíèìè, à èçìåíÿåòñÿ êîíå÷íûé ñïðîñ.
Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ
1. Çàäàéòå ñòðóêòóðíóþ ìàòðèöó ýêîíîìèêè À (ìîæíî
âçÿòü åå èç ðåøåíèÿ Çàäàíèÿ 3 .2.), âåêòîð ýêcïîðòà-èìïîðòà
Å1 è âåêòîð êîíå÷íîãî ïðîäóêòà Y:
51
 −20 
 0.203 0.05 0.482 
 40 
A :=  0.122 0.031 0.723
E1 :=  40
Y :=  140



 0 
 0.061 0.044 0.562 
 80 
2. Âû÷èñëèòå ìàòðèöó ïîëíûõ çàòðàò ïî ôîðìóëå
: D := ( identity ( 3) − A)
−1
, è ïîëó÷èòå ðåçóëüòàò,
èñïîëüçóÿ êëàâèøó «ðàâíî» èëè êíîïêó ðàâåíñòâà
íà ïà-
íåëè Àðèôìåòèêà:
 1.418 0.156 1.817 
D =  0.352 1.154 2.293

 0.233 0.138 2.766 
3 . Âû÷èñëèòå âåêòîð âûïóñêà X ïðè çàäàííîì êîíå÷íîì
ïðîäóêòå Y è âûâåäèòå åãî çíà÷åíèå:
 223.849 
X := D ⋅ Y, X =  359.12

 249.9 
4. Âû÷èñëèòå ìàòðèöó íîâîãî ìåæîòðàñëåâîãî áàëàíñà:
⟨4⟩
i := 1 .. 3, j := 1 .. 3, Bi , j := A( i , j) ⋅ Xj , B
 45.441 17.956 120.452 40 
B =  27.31 11.133 180.677 140

 13.655 15.801 140.444 80 
5. Ïðîâåðüòå íîâûé ìåæîòðàñëåâîé áàëàíñ:


B⋅



52
1 
1
1
1 
 0 
−X= 0

 0 
:= Y