1. На доске был написан алфавит из 33 букв. Хулиган Вася стер

1. На доске был написан алфавит из 33 букв. Хулиган Вася стер 7 букв. Потом в
аудиторию пришли 20 школьников. Каждый из них или стёр одну букву, или
написал недостающую. Мог ли в конце быть написанопять весь алфавит?
2. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть
учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки.
Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было
таких работ?
3. На острове живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы
всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а
остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число
жителей острова быть нечётным?
4. Можно ли прямоугольник 35 x 23 клетки разрезать без остатка на
прямоугольники размером 5 x 7? Если можно, то как? Если нет, то почему?
5. Малыш и Карлсон играют в игру. Перед ними две кучки конфет. В первой кучке
лежит 20 конфет, а во второй — 30 конфет. За ход можно взять любое
количество конфет из любой кучки. Выигрывает взявший последнюю. Кто
выигрывает при правильной игре, если первым ходит Малыш?
1.
2.
3.
4.
5.
Решения задач
Ответ: Не мог. После того, как хулиган Вася стер 7 букв на доске осталось 26.
Заметим, что после каждого школьника количество букв на доске меняет
четность. Значит, количество букв на доске сменит четность 20 раз. Так как 26
четное число, то в конце количество написанных на доске букв тоже будет
четным, а 33 число нечетное.
Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое,
то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно
делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это
значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14 —
четвёрки; 21 — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.
Ответ: Нет, не может. Ясно, что если два человека сделали одно и то же
утверждение, то они либо оба лжецы, либо оба рыцари. Поскольку на острове
есть хотя бы один лжец и хотя бы один рыцарь, то либо все рыцари сделали
первое утверждение, а все лжецы второе, либо наоборот. В первом случае и
рыцарей, и лжецов чётное число, а во втором и тех, и других — нечётное число.
Значит, число людей на острове обязательно чётно.
Ответ: Нет, так как число 23 нельзя представить в виде суммы пятерок и
семерок.
Малыш берет из второй кучки 10 конфет, а затем повторяет ходы Карлсона, беря
столько же конфет, сколько и Карлсон, но из другой кучки. При такой стратегии
последняя конфета достанется Малышу.