Математический праздник 2011 (5 и 6 класс) Задания с

Математический праздник 2011
(5 и 6 класс)
Задания с решением
Задача 1.
Из восьми литрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и
пятилитрового бидонов.
Решение. Запишем решение в таблице.
Восьми литровое
ведро
8
3
3
6
6
1
1
4
Пятилитровое ведро Трехлитровое ведро
5
2
2
3
2
2
3
5
4
4
Задача 2.
10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал 5 открыток. Докажите, что
найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Решение. Предположим, что нет двух друзей, которые послали открытки друг другу. Тогда полученных
открыток не больше 9 + 8 + 7 + ... + 3 + 2 + 1 = 45, но послано было 5 · 10 открыток. Противоречие.
Задача 3.
Как от шнура в 2/3 метра отрезать полметра, не имея под руками метра?
Решение: Нужно сложить шнур в 4 раза (2 раза пополам) и отрезать кусок из 3 четвертинок.
Задача 4.
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить треугольник.
Ответ:
Задача 5.
На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.
Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове
нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?
Решение. Ясно, что если два человека сделали одно и то же утверждение, то они либо оба лжецы, либо оба
рыцари. Поскольку на острове есть хотя бы один лжец и хотя бы один рыцарь, то либо все рыцари сделали
первое утверждение, а все лжецы второе, либо наоборот. В первом случае и рыцарей, и лжецов чётное
число, а во втором и тех, и других — нечётное число. Значит, число людей на острове обязательно чётно.
Ответ: Нет, не может.
Задача 6.
В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от 1 до 5 . В каждой камере сидит по одному узнику.
Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какойнибудь номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене
совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны
перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если
расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то
Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах.
Решение. Пусть Василиса запишет на стенах камер указанный набор номеров. Тогда первые два узника
будут каждую ночь меняться местами, то есть каждый из них будет возвращаться на свое изначальное
место раз в два дня. Остальные три узника будут возвращаться на свои места раз в три дня. Поскольку
числа 2 и 3 взаимно просты, то мы получим шесть различных размещений узников по камерам. Например: 2 ,
1 , 4 , 5 , 3 (в порядке номеров камер).