Линейные дифференциальные уравнения n

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Теоремы о структуре общего решения линейного
однородного и линейного неоднородного уравнений
n-го порядка
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.91(07)
Л 591
Рецензент
доктор физико-математических наук, доцент
кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля СибГИУ
Коваленко В.В.
Л 591 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и
линейного неоднородного уравнений n-го порядка: метод. указ. / Сиб.
гос. индустр. ун-т; сост. Е.В. Сараханова. – Новокузнецк : Изд. центр
СибГИУ, 2014. – 20 с.
Изложена краткая теория, рассмотрены примеры решения
линейного однородного и линейного неоднородного
дифференциальных уравнений n-го порядка, приведены
задания для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов всех специальностей и
направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
Теоретические сведения
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка
называется уравнение вида
a0 x  y n   a1x  y n 1    an 1 x  y  an x  y  f x  ,
(1)
где a0 x   0 , a1  x , …, an 1 x  , an  x  , f  x  - заданные функции.
Оно содержит искомую функцию y и все ее производные лишь в
первой степени. Функции a0  x , a1  x  , …, an 1 x  , an  x  называются
коэффициентами уравнения (1), а функция f  x  - его свободным
членом.
Если свободный член f x   0 , то уравнение (1) называется
линейным однородным уравнением; если f x   0 , то уравнение (1)
называется линейным неоднородным уравнением.
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
1.1. Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
(ЛОДУ) второго порядка:
a0 x  y  a1x  y  a2 x  y  0
(2)
и установим некоторые его свойства.
Теорема 1.1. Если функции y1  y1 x  и y2  y2 x  являются
частными решениями уравнения (2), то решением этого уравнения
является также функция
(3)
y  c1 y1 x   c2 y2 x  ,
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
y1  y1 x  и y2  y2 x  называются линейно
Функции
независимыми на интервале a; b  , если равенство 1 y1   2 y2  0 , где
1,  2  R , выполняется тогда и только тогда, когда 1   2  0 . Если
хотя бы одно из чисел 1 или  2 отлично от нуля и выполняется
равенство 1 y1   2 y2  0 , то функции y1 и y2 называются линейно
зависимыми на интервале a; b  .
3
Средством изучения линейной зависимости системы функций
является так называемый определитель Вронского или вронскиан
(Ю. Вронский – польский математик).
Для двух дифференцируемых функций y1  y1 x  и y2  y2 x 
y y2
вронскиан имеет вид W  x   1
.
y1 y2
Теорема 1.2. Если дифференцируемые функции y1  x  и y2  x 
линейно зависимы на интервале a; b  , то определитель Вронского на
этом интервале тождественно равен нулю.
Теорема 1.3. Если функции y1  x  и y2  x  линейно независимые
решения уравнения (2) на интервале a; b  , то определитель
Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале
a; b  частных решений y1x  и y2 x  ЛОДУ второго порядка
определяет фундаментальную систему решений этого уравнения:
любое решение может быть получено как комбинация
y  1 y1x    2 y2 x  .
Теорема 1.4 (структура общего решения ЛОДУ второго
порядка). Если два частных решения y1  y1 x  и y2  y2 x  ЛОДУ (2)
образуют на интервале a; b  фундаментальную систему, то общим
решением этого уравнения является функция
y  c1 y1  c2 y2 ,
(4)
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Пример. Частные решения y1  sin x и y2  cos x , y3  2 sin x и
y4  5 cos x (их бесконечное множество) уравнения y  y  0
образуют фундаментальную систему решений; решения же y5  0 и
y6  cos x - не образуют фундаментальной системы. На основании
теоремы общим решением уравнения y  y  0 является функция
y  c1 sin x  c2 cos x .
4
1.2. Линейные однородные ДУ n-го порядка
Написанное выше можно распространить на линейные
однородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеющие
вид:
a0 x  y n   a1 x  y n 1    an 1x  y  an x  y  0 .
(5)
1. Если функции y1  y1 x , y2  y2 x  ,…, yn  yn x  являются
частными решениями уравнения (5), то его решением является и
функция y  c1 y1x   c2 y2 x     cn yn x  .
2. Функции y1 , y2 ,…, yn называются линейно независимыми на
a; b , если равенство 1 y1   2 y2     n yn  0
интервале
выполняется лишь в случае, когда все числа 1   2     n  0 ; в
противном случае (если хотя бы одно из чисел  i не равно нулю)
функции y1 , y2 ,…, yn - линейно зависимы.
3. Определитель Вронского имеет вид
W x  
y1
y1
y2
y2


yn
yn
y1
y2

yn




y1n 1
.
y2n 1  ynn 1
4. Частные решения y1 , y2 ,…, yn уравнения (5) образуют
фундаментальную систему решений на интервале a; b  , если ни в
одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т.е.
W x   0 для всех x  a; b  .
5. Общее решение ЛОДУ(5) имеет вид y  c1 y1  c2 y2    cn yn ,
где ci ( i  1,, n ) – произвольные постоянные, yi - частные решения
уравнения (5), образующие фундаментальную систему.
Пример. Показать, что функции y1  e x , y2  xex , y3  x 2e x
образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ
третьего порядка.
5
Решение: Найдем W  x  :
ex
W x   e x
ex
xex
x  1e x
x  2e x
1 x
x2
 e3 x 0 1
2x
x 2e x
1
x2  2 xe x  e3x 1
x2  4 x  2e x 1
x
x2
x 1
x2  2x

x  2 x2  4x  2
 e3 x  4 x  2  4 x   2e3 x .
0 2 4x  2
Ясно, что W x   0 для всех x  R . Следовательно, данные
функции образуют фундаментальную систему решений некоторого
ЛОДУ третьего порядка.
1.3. Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных
дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными
коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
y  p  y  q  y  0 ,
(6)
где p и q постоянные.
Для нахождения общего решения уравнения (6) достаточно
найти два его частных решения, образующих фундаментальную
систему (см. теорему 1.4).
Будем искать частные решения уравнения (6) в виде y  e kx , где
k - некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту
функцию два раза и подставляя выражения y , y  и y в уравнение


(6), получим: k 2ekx  p  kekx  q  ekx  0 , т.е. e kx k 2  p  k  q  0 , или
k 2  p  k  q  0 ( e kx  0 ).
(7)
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением ДУ
(6) (для его составления достаточно в уравнении (6) заменить y , y  и
y соответственно на k 2 , k и 1).
При решении характеристического уравнения (7) возможны
следующие три случая.
6
Случай 1. Корни характеристического уравнения (7) k1 и k 2
действительные и различные: k1  k2 ( D  0 ).
В этом случае частными решениями уравнения (6) являются
функции y1  e k1 x и y2  e k 2 x . Они образуют фундаментальную
систему решений, т.к. их вронскиан
1
e k1 x
ek2 x
k1  k 2 x  k  k   0 .
k1 x k 2 x 1
W x  

e

e


e
2
1
k1 k2
k1e k1 x k2e k 2 x
Следовательно, общее решение уравнения (6), согласно формуле (4),
имеет вид
(8)
y  c1ek1x  c2ek 2 x .
Случай 2. Корни характеристического уравнения (7) k1 и k 2
действительные и равные: k1  k2 ( D  0 ).
В этом случае частное решение y1  e k1 x . Наряду с y1 решением
уравнения (6) будет и y2  xek1 x (при подстановке y2 в уравнение (6)
оно обращается в верное равенство). Частные решения y1  e k1 x и
y2  xek1 x образуют фундаментальную систему решений:
W x  
e k1 x
xek1 x
 e 2k1 x  1  k1x  k2 x   e 2k1 x  0 .
1  k1x e
k1e
Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (6) имеет вид
(9)
y  c1ek1x  c2 xek1x .
k1 x
k1 x
Случай 3. Корни характеристического уравнения (7) k1 и k 2
комплексно-сопряженные числа: k1,2    i ( D  0 ).
В этом случае частными решениями уравнения (6) являются
y1  e  i x  ex cos x  i sin x  , y2  e  i x  ex cos x  i sin x  .
Линейные комбинации решений y1 и y2 :
1
1
~
y1   y1  y2   ex cos x и ~
y2   y1  y2   ex sin x
2
2i
образуют фундаментальную систему решений, т.к. W x   0 . Поэтому
общее решение уравнения (6) запишется в виде
y  c1ex cos x  c2ex sin x .
(10)
7
Таким образом, нахождение решения ЛОДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней
характеристического уравнения (7) и использованию формул (8), (9),
(10) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению
интегралов).
Пример. Решить уравнение y  5 y  6 y  0 .
Решение:
Составим
характеристическое
уравнение:
2
k  5k  6  0 . Решаем его: k1  2 и k2  3 . Записываем общее
решение данного уравнения:
произвольные постоянные.
y  c1e2 x  c2e3 x , где c1 и c2
-
Пример. Решить уравнение y  6 y  25 y  0 .
Решение: Характеристическое уравнение: k 2  6k  25  0 .
Решаем его: k1,2  3  4i . По формуле (10) получаем общее решение
уравнения: y  c1e3x cos 4 x  c2e3x sin 4 x .
1.4. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка ( n  2 )
с постоянными коэффициентами
y n   p1 y n 1  p2 y n  2    pn 1 y  pn y  0 ,
(11)
где pi постоянные числа, i  1, n , решается аналогично случаю
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Частные решения уравнения (11) также ищем в виде y  e kx , где
k - постоянное число. Характеристическим для уравнением (11)
является алгебраическое уравнение n-го порядка вида
k n  p1k n 1  p2k n  2    pn 1  k  pn  0 .
(12)
Уравнение (12) имеет n корней (в их числе могут быть и
комплексные). Обозначим их через k1 , k 2 ,..., k n .
Замечание. Не все из корней уравнения (12) обязаны быть
различными. Если уравнение имеет два равных корня, в этом случае
говорят, что корень один и имеет кратность m  2 . Если кратность
корня равна единице m  1, его называют простым.
8
Случай 1. Все корни уравнения (12) действительные и просты
(различны). Тогда функции y1  e k1 x , y2  e k 2 x ,…, yn  e k n x являются
частными решениями уравнения (11) и образуют фундаментальную
систему решений. Поэтому общее решение уравнения (11)
записывается в виде y  c1ek1x  c2ek 2 x    cnek n x .
Случай 2. Все корни характеристического уравнения
действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность
m  1). Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное
решение вида e kx , а каждому корню кратности m  1 соответствует m
частных решений: e kx , xekx , x 2e kx ,…, x m 1e kx .
Случай 3. Среди корней уравнения (7) есть комплексносопряженные корни. Тогда каждой паре   i простых комплексносопряженных корней соответствует два частных решения ex cos x и
ex sin x , а каждой паре   i корней кратности m  1
соответствуют 2m частных решений вида
ex cos x , x  ex cos x , x 2  ex cos x ,…, x m 1  ex cos x ;
ex sin x , x  ex sin x , x 2  ex sin x ,…, x m 1  ex sin x .
Эти решения образуют фундаментальную систему решений.
Пример. Найти общее решение уравнения y  2 y  y  2 y  0 .
Решение: Характеристическое уравнение k 3  2k 2  k  2  0
имеет корни k1  1, k2  1, k3  2 . Следовательно, общее решение
данного уравнения y  c1e x  c2e x  c3e 2 x .
Пример. Решить уравнение y IV  y  3 y  5 y  2 y  0 .
Решение: Характеристическое уравнение
k 4  k 3  3k 2  5k  2  k  2k  13  0 имеет корни k1  2 , k2  1 ,
k3  1, k4  1. Следовательно, y  c1e 2 x  c2e x  c3 xex  c4 x 2e x общее
решение уравнения.
Пример. Решить уравнение yV  y IV  2 y  2 y  y  y  0 .
Решение: Характеристическое уравнение
9

2
k 5  k 4  2k 3  2k 2  k  1  k  1 k 4  2k 2  1  0
k3  i ,
k5  i .
k1  1,
k2  i ,
k4  i ,
y  c1e x  c2 cos x  c3 sin x  c4 x cos x  c5 x sin x
уравнения.
-
имеет
корни
Следовательно,
общее
решение
Задания для самостоятельного решения
Найти общие решения уравнений
1) y  4 y  5 y  0
4) 4 y  8 y  5 y  0
7) 3 y   2 y   8 y  0
10) y IV  13 y  36 y  0
2) y  8 y  16 y  0
5) y  4 y  0
8) y   6 y   13 y  0
11) y IV  5 y  4 y  0
13) y  5 y  8 y  4 y  0 14) y IV  3 y  4 y  0
Найти решения уравнений,
начальным или краевым условиям
3) y   y   2 y  0
6) y   4 y  0
9) y   2 y   y  0
12) y IV  16 y  0
15) y  8 y  0
удовлетворяющие
заданным



16) y  2 y  10 y  0, y    0, y    e 6
6
6
17) y  4 y  3 y  0, y  0  6, y  0  10
18) y  4 y  29 y  0, y  0   0, y  0   15
19) y  y  0, y  0  2, y  0  0, y  0  1

20) y  9 y  0, y  0  0, y    1
4
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
2.1. Линейные неоднородные ДУ второго порядка
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
a0 x  y  a1x  y  a2 x  y  f x ,
где a0 x   0 , a1  x  , a2  x , f  x  - заданные, непрерывные на
функции. Уравнение
a0 x  y  a1x  y  a2 x  y  0 ,
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ
называется соответствующим ему однородным уравнением.
10
(13)
a; b 
(14)
(13),
Теорема 2.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим
решением y уравнения (13) является сумма его произвольного
частного решения y  и его общего решения yˆ  c1 y1  c2 y2
соответствующего однородного уравнения (14), т.е.
(15)
y  y  yˆ .
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной
следующая теорема.
Теорема 2.2 (о наложении решений). Если правая часть
уравнения (13) представляет собой сумму двух функций:
f x   f1x   f 2 x  , а y1 и y2 - частные решения уравнений
a0 x  y  a1x  y  a2 x  y  f1x  и a0 x  y  a1x  y  a2 x  y  f 2 x 
соответственно, то функция y  y1  y2 является решением данного
уравнения.
2.2. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ (13). Его общим решением является функция
(15), т.е. y  y  yˆ . Частное решение уравнения (13) можно найти,
если известно общее решение ŷ соответствующего однородного
уравнения (14), методом вариации произвольных постоянных (метод
Лагранжа), состоящий в следующем. Пусть yˆ  c1 y1x   c2 y2 x  общее решение уравнения (14). Заменим в общем решении
постоянные c1 и c2 неизвестными функциями c1  x  и c2  x  и поберем
их так, чтобы функция
(16)
y  c1 x   y1 x   c2 x   y2 x 
была решением уравнения (13).
Функция (16) будет частным решением y  уравнения (13), если
функции c1  x  и c2  x  удовлетворяют системе уравнений:
c1  x   y1  x   c2  x   y2  x   0,
(17)















c
x

y
x

c
x

y
x

f
x
.
1
1
2
2
y1  x 
y1  x 
имеет единственное решение:
Определитель системы
y2  x 
 W  x   0 . Поэтому система (17)
y2  x 
c1 x   1x  и c2 x   2 x  , где 1  x  и
11
2 x  - некоторые функции от x . Интегрируя эти функции, находим
c1  x  и c2  x , а затем по формуле (16) составляем частное решение
уравнения (13).
1
.
cos x
соответствующего
Пример. Найти общее решение уравнения y  y 
Решение:
Найдем
общее
решение
ŷ
однородного уравнения y  y  0 . Имеем: k 2  1  0 , k1  i , k2  i .
Следовательно,
yˆ  c1 cos x  c2 sin x . Найдем теперь частное
решением
y  исходного уравнения. Оно ищется в виде (16):
y  c1x   cos x  c2 x   sin x . Для нахождения c1  x  и c2  x 
составляем систему уравнений вида (17):
c1  x   cos x  c2  x   sin x  0,


1








c
x


sin
x

c
x

cos
x

.
2
 1
cos x
cos x sin x
Решаем ее:

 cos 2 x  sin 2 x  1,
 sin x cos x
0
sin x
cos x
0
1  1;
1  1
 tgx ,  2 
cos x
 sin x
cos x
cos x

c1  x   1  tgx , c1x     tgxdx  ln cos x ;


c2  x   2  1 , c2 x    1dx  x .

Запишем частное решение уравнения: y  ln cos x  cos x  x  sin x .
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
y  yˆ  y  c1 cos x  c2 sin x  ln cos x  cos x  x  sin x .
2.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго
коэффициентами, т.е. уравнение
y  p  y  q  y  f x  ,
где p и q постоянные.
12
порядка
с
постоянными
(18)
Согласно теореме 2.1, общее решение уравнения (18)
представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего ему
однородного уравнения и частного решения y  неоднородного
уравнения. Частное решение уравнения (18) может быть найдено
методом вариации произвольных постоянных.
Для уравнений с постоянными коэффициентами (18) существует
более простой способ нахождения y  , если правая часть f  x 
уравнения (18) имеет так называемый «специальный вид»:
f x   ex  Pn x   cos x  Qm x   sin x  .
(19)
Суть
метода,
называемого
методом
неопределенных
коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f  x 
уравнения (18) записывают ожидаемую форму частного решения с
неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в
уравнение (18) и из полученного тождества находят значения
коэффициентов.
Запишем уравнение (18) в виде
y  p  y  q  y  ex  Pn x   cos x  Qm x   sin x  .
(20)
Частное решение y  уравнения (19) следует искать в виде
y  x r  ex  M l x   cos x  Nl x   sin x  ,
(21)
где r - число, равное кратности   i как корня характеристического уравнения k 2  p  k  q  0 , M l  x  и Nl  x  - многочлены
степени l с неопределенными коэффициентами, l  max m, n наивысшая степень многочленов Pm  x  и Qn  x  .
Возможны более простые случаи f  x  и y  .
I.
Если   0 , то f x   ex  Pn x  и y  x r  ex  M m x  , где r
- число, равное кратности корня  характеристического уравнения
k 2  p  k  q  0.
f x   Pn x   cos x  Qm x   sin x и
II. Если   0 , то
y  x r  M l x   cos x  Nl x   sin x  , где r - число, равное кратности
корня  i характеристического уравнения.
III. Если     0 , то f x   Pn x  и y  x r  M m  x , где r число, равное кратности корня 0 характеристического уравнения.
13
Замечания.
1. После подстановки (21) в (20) приравнивают многочлены,
стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в
левой и правой частях уравнения.
2. Форма (21) сохраняется и в тех случаях, когда один из
многочленов Pm x   0 или Qn x   0 .
3. Если правая часть уравнения (18) есть сумма функций
специального вида, то для нахождения y  следует использовать
теорему 2.2 о наложении решений.
Пример. Решить уравнение y  2 y  y  x  4  3e x .
Решение: Найдем общее решение ŷ ЛОДУ y  2 y  y  0 .
Характеристическое уравнение k 2  2k  1  0 имеет корень k1  1
кратности 2. Значит, yˆ  c1e x  c2 xex . Находим частное решением
исходного уравнения. Правая часть уравнения - сумма функций
специального вида f x   f1x   f 2 x  , где f1 x   x  4 , f 2 x   3e x .
Воспользуемся теоремой 2.2 о наложении решений.
Находим частное решением y1 уравнения y  2 y  y  x  4 ,
f1x   x  4  P1x  , характеристическое уравнение не имеет корня 0,
r  0 . Поэтому y1  x 0  M1x   Ax  B , где A и B - неопределенные


коэффициенты. Тогда y1  A , y1  0 . Подставив в уравнение
y  2 y  y  x  4 ,
получим
или
 2 A  Ax  B  x  4 ,
Ax  B  2 A  x  4 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых
 A  1,
степенях x , получаем систему уравнений: 
Отсюда
B

2
A


4
.

 
 
A  1, B  2 . Поэтому частное решение y1  x  2 .
Находим
частное
решением
y2
уравнения
y  2 y  y  3e x ,
f 2 x   3e x  P0 x   e1 x , характеристическое уравнение имеет корень
  1 кратности r  2 . Поэтому y2  x 2  N0 x   e x  x 2  Ce x , где C -
 



y2  С  x 2  2 x e x ,
неопределенный
коэффициент.
Тогда

y2  С  x 2  4 x  2 e x . Подставив в уравнение y  2 y  y  3e x ,
 


14




или
С  x 2  4 x  2 e x  2С  x 2  2 x e x  С  x 2e x  3e x ,
3
3
2С  e x  3e x , C   . Поэтому частное решение y2   x 2e x .
2
2
3
Следовательно, y  yˆ  y   c1e x  c2 xex  x  2  x 2e x - искомое
2
общее решение уравнения.
Пример. Решить уравнение y  4 y  13 y  40 cos 3x .
получим
Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид y  yˆ  y . Найдем
общее решение однородного уравнения ŷ : y  4 y  13 y  0 .
Характеристическое уравнение k 2  4k  13  0 имеет корни
k1  2  3i и k2  2  3i . Следовательно, yˆ  c1e2 x cos 3x  c2e2 x sin 3x .
Находим частное решением y  . Правая часть ЛНДУ имеет вид
f x   40 cos 3x  40 cos 3x  0 sin 3x . Так как   i  3i не совпадает с
корнем характеристического уравнения, то r  0 . Тогда частное

решение
y  A cos 3x  B sin 3x ,
y  3 A sin 3x  3B cos 3x ,

y  и ее
y  9 A cos 3x  9 B sin 3x . Подставив функцию
производные в дифференциальное уравнение, получим
 9 A cos 3x  9B sin 3x  4 3 A sin 3x  3B cos 3x   13 A cos 3x  B sin 3x  
 40 cos 3x ,
или
 9 A  12B  13 Acos 3x   9B  12 A  13Bsin 3x  40 cos 3x  0 sin 3x .
4 A  12 B  40,
Получаем систему: 
Отсюда A  1, B  3. Поэтому
12
A

4
B

0
.


частное решение y  cos 3x  3 sin 3x . Следовательно, общее решение
 
 
уравнения y  yˆ  y  c1e2 x cos 3x  c2e2 x sin 3x  cos 3x  3 sin 3x .
2.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка ( n  2 )
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го ( n  2 ) порядка
a0 x  y n   a1 x  y n 1    an 1x  y  an x  y  0 ,
где a0 x   0 , a1  x  ,…, an 1 x  , an  x  , f  x  - заданные непрерывные
на a; b  функции.
Соответствующее ему однородное уравнением имеет вид
15
a0 x  y n   a1 x  y n 1    an 1x  y  an x  y  0 .
Теорема 2.3 (структура общего решения ЛНДУ n-го порядка).
Общее решение y ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного
решения
y
неоднородного уравнения и общего решения
ŷ
соответствующего ему однородного уравнения, т.е. y  y  yˆ .
Частное решение y  ЛНДУ n-го порядка может быть найдено,
если известно общее решение ŷ однородного уравнения, методом
вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде
y  c1x   y1x   c2 x   y2 x     cn x   yn x 
(22)
где yi  x  - частные решения однородного уравнения, образующие
фундаментальную систему, i  1, n .
Система уравнений для нахождения неизвестных функций ci  x 
имеет вид:
c1  y1  c2  y2  c3  y3    cn  yn  0,

c1  y1  c2  y2  c3  y3    cn  yn  0,

c1  y1  c2  y2  c3  y3    cn  yn  0,


c1  y n 1  c2  y n 1  c3  y n 1    cn  ynn 1  f  x .

1
2
3
Однако
для
ЛНДУ
n-го
порядка
с
постоянными
коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид,
частное решение y  может быть найдено методом неопределенных
коэффициентов.
Метод подбора частного решения y  уравнения
y n   p y n 1  p y n  2    p y  p y  f x  ,
1
n 1
2
n
где pi постоянные числа, i  1, n , а правая часть f  x  имеет
специальный вид (19), описанный для случая n  2 , переносится без
всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок n  2 .
Пример. Решить уравнение y IV  y  2 x .


Решение: Находим ŷ : k 4  k  0 , k k  1 k 2  k  1  0 ,
16
1
3
i,
k1  0 , k2  1 , k3,4   
2 2
1
 x
 c1  c2e x  c3e 2
1
 x
3
3
yˆ
cos
x  c4e 2 sin
x.
2
2

Находим y : f x   2 x  P1x  , количество корней равных 0 r  1 ,

тогда
y  x1  M1x   x Ax  B   Ax2  Bx ,
y   2 Ax  B ,
III
IV

 0 , y
 0 . Подставив функцию y  и ее
y  2 A , y
производные
в
дифференциальное
уравнение,
получим
 2 Ax  B   2 x . Отсюда A  1, B  0 и получаем y   x 2 .
Следовательно, функция
 
 
 
 
1
 x
y   c1  c2e x  c3e 2
1
 x
3
3
y  yˆ 
cos
x  c4e 2 sin
x  x2
2
2
является общим решением уравнения.
Задания для самостоятельного решения
Найти общие решения уравнений
ex
ex
1) y  2 y  y  2
2) y  y 
x 1
1  ex
1
4) y  2 y  y  x 2e x
5) y  4 y  2
sin x
3) y  y  ctg2 x  0
10) y  6 y  8 y  3x2  2 x  1
e2 x
6) y  4 y  5 y 
cos x
1
9) y  y 
1  ex
11) y  y  x  2e x
12) y  3 y  2 y  x  e2 x  1
13) y  7 y  6 y  sin x
7) y  4 y  4 y  e2 x ln x 8) y  y  tgx

14) y  4 y  4 y  8 x 2  e2 x  sin 2 x

16) y  3 y  3 y  y  e x
15) yV  y  x2  1
17) y IV  5 y  4 y  3sin x
Найти решения уравнений, удовлетворяющие
начальным или краевым условиям
18) y  8 y  16 y  e4 x , y  0   0, y  0   1
19) y  y  2  2 x, y  0  y  0  1
17
заданным

20) y  4 y  cos 2 x, y  0  y    0
4

21) y  9 y  2sin x sin 2 x, y  0  y    0

2

22) y  2 y  x2  x  3 e x , y  0  y  0  2
23) y  2 y  y  2e2 x , y  0  2, y  0  y  0  1
Ответы
y  c1e x  c2e5 x ; 2) y  c1e 4 x  c2 xe 4 x ; 3) y  c1e x  c2e 2 x ;
x
x
4) y  c1e x cos  c2e x sin ; 5) y  c1  c2e 4 x ; 6) y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x ;
2
2
1. 1)
4
 x
e 3 ;
1
 x
 c1e 2
1
 x
x
x
7) y  c1e  c2
8) y
cos  c2e 2 sin ; 9) y  c1e x  c2 xex ;
3
3
10) y  c1e3x  c2e3x  c3e2 x  c4e 2 x ;
11) y  c1 cos x  c2 sin x  c3 cos 2 x  c4 sin 2 x ;
x
12) y  c1e2 x  c2e 2 x  c3 cos 2 x  c4 sin 2 x ; 13) y  c1e x  c2e 2 x  c3 xe2 x ;
14) y  c1e2 x  c2e 2 x  c3 cos x  c4 sin x ;
1
3
15) y  c1e2 x  c2e x cos 3x  c3e x sin 3x ; 16) y   e x cos3x ;
17) y  4e x  2e3x ; 18) y  3e2 x sin 5x ; 19) y  1  cos x ; 20) y  2 sin 3x .
2. 1) y  c1e x  c2 xe x  e x ln x 2  1  xe x arctgx ;

 

2) y  c1e x  c2  xe x  e x  1 ln e x  1 ;
x
; 4) y  c1e x  c2 xe x  e x ln x ;
2
1


5) y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x  cos 2 x ln sin x   x  ctgx  sin 2 x ;
2


2x
x
2x
2x
6) y  c1e cos x  c2e sin x  e cos x ln cos x  e x sin x ;
3) y  c1 cos x  c2 sin x  2  cos x ln tg
7) y  c1e
2 x
 c2 xe
2 x
e
2 x
 x 2 ln x 3x 2 


;
 2

4


18
x 
8) y  c1 cos x  c2 sin x  cos x ln tg    ;
2 4

 
1
  24 x
64

9) y  c1  c2e x  1  e x ln 1  e x  x ;
10) y  c1e4 x  c2e2 x
2

 52 x  41 ;
1
5 1
11) y  c1 cos x  c2 sin x  x  e x ; 12) y  c1e x  c2e2 x  x   e2 x ;
2
4 12
5sin x  7cos x
13) y  c1e6 x  c2e x 
;
74
2x
2x
2
14) y  c1e  c2 xe  2 x  4 x  3  4 x 2e 2 x  cos 2 x ;
1
1
15) y  c1  c2 x  c3 x 2  c4 cos x  c5 sin x  x3  x5 ;
2
60
1 

16) y   c1  c2 x  c3 x 2  x3  e x ;
6 

17) y  c1 cos x  c2 sin x  c3 cos 2 x  c4 sin 2  0,5x cos x ;
18) y  0,5x  x  2  e4 x ; 19) y  e x  x 2 ; 20) y 
1
 4 x    sin 2 x ;
16
1
1
  2x
21) y  cos x  cos3x 
sin 3x ; 22) y  1  x  x 2  e x e x ;
8
8
12
23) y  e2 x  3e x  4 .


Библиографический список
1. Письменный Л. Т. Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс / Л. Т. Письменный. – Москва : Айрис Пресс, 2006. –
608 с.
2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Т.2. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва :
Высшая школа, 2003. – 416 с.
19
Учебное издание
Составитель
Сараханова Елена Владимировна
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Теоремы о структуре общего решения линейного
однородного и линейного неоднородного уравнений
n-го порядка
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 31.03.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 1,16 л. Уч.-изд. 1,30. л. Тираж 50 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
20