Замечание Если поверхность правильная в направлении какой

301
область
(D ) .
xy
r
В нашем случае n 2 - вектор нормали к плоскости XOY т.е.
r
r
r
n2 = k = {0,0,1} , а n1 = − ϕ x′ ,−ϕ ′y ,1 . Тогда
{
cos γ =
}
1
( )
1 + (ϕ x′ ) + ϕ y′
2
2
,
( )
dq = 1 + (ϕ x′ ) + ϕ y′ dxdy .
2
2
Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении какой либо дру-
( )
гой оси, например OХ, тогда область интегрирования D yz есть проекция поверхности ( Q) на координатную плоскость YOZ и интегрирование производится по переменным y, z. Â формуле (24) будет стоять cosα , где α - угол между нормалями к поверхности x = ψ ( y , z ) плоскости YOZ т.е.
∫∫
(Q)
f ( x, y , z ) dq =
∫∫ (
(D )
( ) + (ψ ′ ) dydz
)
f ψ ( y, z ), y , z 1 + ψ y′
2
2
z
yz
dq
∫∫ (1 + x + z)
Пример Вычислить
( Q)
2
, где ( Q) - часть плоскости x + y + z = 1 , распо-
ложенная в первом октанте.
z
1
x+y+z=1
(Q)
y
1
1
x
Поверхность (Q) - треугольник, высекаемый координатными плоскостями из
плоскости x + y + z = 1 . На координатную плоскость OXY этот треугольник проектируется также в виде равнобедренного треугольника с боковыми сторонами единичной
длины.
Имеем:
z = ϕ ( x , y ) ⇔ z = 1 − x − y; ϕ x′ = −1, ϕ y′ = −1; dq = 3dxdy .
dq
∫∫ (1 + x + z )
(Q)
2
=
∫∫
3dxdy
( D ) (1 + x + y + (1 − x − y ))
xy
2
1
1− x
0
0
= 3 ∫ dx ∫
dy
(2 − y ) 2
=
302
1
1
⎛ 1 1− x ⎞
1⎞
1 ⎞
1⎞
⎛ 1
⎛
⎛
⎜
⎟
dx = 3 ∫ ⎜
= 3∫ ⎜
− ⎟ dx = 3⎜ ln(1 + x ) − x⎟ = 3⎜ ln 2 − ⎟ ;
⎟
⎝
⎝ 1 + x 2⎠
⎝
2⎠
2 ⎠0
2− y 0 ⎠
0⎝
0
1
§. 8 Криволинейные координаты.
Цилиндрические и сферические координаты.
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Криволинейные координаты. Цилиндрические и сферические координаты.
При решении различных задач удобно использовать системы координат, отличные от прямоугольной декартовой системы координат. Это связано с тем, что границей многих тел являются цилиндры, сферы и т.д. Широко используется полярная
система координат и ее обобщение на случай трехмерного пространства - цилиндрическая и сферическая системы координат.
Цилиндрическими координатами точки Р называют величины r ,ϕ , z
z
y
P’
x
Имеют место следующие ограничения:
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞ .
С прямоугольными декартовыми цилиндрические координаты связаны соотношениями
⎧x = r cos ϕ ,
⎪
⎨ y = r sin ϕ ,
⎪ z = z.
⎩
Сферическим координатами называются величины ρ ,ϕ ,θ ,
303
z
y
P’
x
где 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π . С декартовыми координатами сферические связаны посредством соотношений
⎧x = ρ cos ϕ sin θ ,
⎪
⎨ y = ρ sin ϕ sin θ ,
⎪z = ρ cosθ .
⎩
Пример Цилиндр с уравнением в декартовых координатах x 2 + y 2 = a 2 в цилиндрических имеет уравнение r = a . Уравнение сферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 в сферических координатах имеет вид ρ = a .
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Осуществим в двойном интеграле ∫∫ f ( x , y ) ds , заданном в прямоугольной декартовой
( D)
системе координат, замену переменных по формулам: x = r cosϕ , y = r sin ϕ .
В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат f ( x , y ) = f ( r cosϕ , r sin ϕ ) = f1 ( r , ϕ ) .
Пусть область (D) такова, что любой луч, выходящий из начала координат и
проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу (D) не более, чем в
двух точках.
Линии, ограничивающие, область (D), имеют уравнения:
r = r1 (ϕ ) , r = r2 (ϕ ) ; α ≤ ϕ ≤ β .
Такую область применительно к полярной системе координат назовем правильной. Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения области на элементарные. То осуществим разбиение с помощь лучей ϕ = const , проходящих через начало координат. При пересечении двух окружностей радиусов ri ,
ri + Δri и лучей, проведенных под углами ϕ k и ϕ k + Δϕ k , образуется элементарная криволинейная фигура ( Δsik ) . Ее, с точностью, до бесконечно малых высшего порядка
можно считать прямоугольником со сторонами Δri и ri Δϕ k . Следовательно, площадь
элементарной фигуры
ΔS ik = ri Δri Δϕ k .
Следовательно двойной интеграл в полярных координатах имеет вид
304
∫∫ f ( x, y )ds = (∫∫) f ( r,ϕ )rdrdϕ
1
( D)
D
y
k
B
K
(D)
M
A
ri
x
Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят лучи
ϕ = α , ϕ = β , записывают уравнение линий входа в область (АМВ): r = r1 (ϕ ) и выхода из нее (АКВ) r = r2 (ϕ ) . Тогда α ≤ ϕ ≤ β , r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ) .
Чаще всего внешний интеграл вычисляется по переменной ϕ , а внутренний по
r .Тогда получаем формулу:
r2 ( ϕ )
β
∫∫ f ( x, y )ds = α∫ dϕ ∫ϕ f ( r cosϕ , r sin ϕ )rdr
r1 (
( D)
(25)
)
Пример Расставить пределы интегрирования и вычислить в полярных координатах интеграл ∫∫ xds , где (D) ограничена окружностью x 2 + y 2 − 2x = 0 .
( D)
y
(D)
0
2
x
Найдем уравнение окружности в полярной системе координат
305
x 2 + y 2 − 2 x = 0 ⇒ r = 2 cos ϕ
Для рассматриваемой области (D)
π
π
− ≤ϕ ≤ ,
2
0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ .
2
Следовательно
π
∫∫ xds =
( D)
2
2 cos ϕ
π
0
∫ dϕ
−
π
2
2 cos ϕ
0
0
2
∫ r cos ϕdr = 2∫ cos ϕdϕ
2
∫ r dr =
π
16 2
cos 4 ϕdϕ = 2π .
3 ∫0
2
Замечание 1. Из формулы (25) следует, что дифференциал меры элементарной
площадки в полярной системе координат выражается в виде
dμ = ds = rdrdϕ .
Замечание 2 Формула (25) получена из предположения, что полюс лежит вне
области (D) и любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу (D) не более
чем, в двух точках. Если область (D) такова, что полюс находится внутри области, и
луч, выходящий из него пересекает границу (D) только в одной точке,
(D)
0
то в формуле (25) надо положить r1 (ϕ ) = 0, α = 0, β = 2π . Получим следующую
формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах
2π
r (ϕ )
0
0
∫∫ f ( x, y )ds = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr .
( D)