Тезисы к исследовательской работе на тему: Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат Автор: Комарова Ольга Фёдоровна ученица 11 класс МОУ «Гимназия №1» Чувашская республика г. Чебоксары, [email protected] Научный руководитель: Сафиуллина Людмила Валерьяновна, учитель математики МОУ «Гимназия № 1» Чувашская республика г. Чебоксары, [email protected] Целью этой работы является разработка методов исследования функций и построения их графиков в полярной системе координат. Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не проводя полного исследования, подобного тому, которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как, например, оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты. При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления. Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности. Следует так же отметить, что многие кривые не являющиеся графиками функций в декартовой системе координат, являются графиками в полярной системе. Таким образом, переход от декартовой к полярной системе координат позволяет применить при исследовании кривых методы исследования функций и, в частности, методы дифференциального исчисления. §1 Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума Теорема 1.1 Функция убывает в точке 0 тогда и только тогда, когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью 0 при переходе через 0 слева направо, т.е. при возрастании . Теорема 1.2. Функция возрастает в точке 0 тогда и только тогда, когда график функции выходит из круга, ограниченного окружностью 0 при переходе через 0 слева направо. Теорема 1.3. Функция убывает в точке 0 тогда и только тогда, когда имеет место неравенство : tg k 2 k1 ( sin )' . 0 , где k1= tg 0 , k2= cos ' 1 k1 k 2 Теорема 1.4. Функция возрастает в точке 0 тогда и только тогда, когда имеет место неравенство: tg k 2 k1 ( sin )' 0 , где k1= tg 0 , k2= cos ' 1 k1 k 2 В этом же параграфе приведены примеры применения полученных нами теорем. Пример 1.1. Функция е - возрастающая. Функция е - убывающая. Пример 1.2 Функция ( ) sin , где 0; . 1. при 0 - функция возрастает; 2 2. при 2 - функция убывает. С помощью теорем 1.3. и1.4 можно доказывать сложные тригонометрические неравенства. .В частности, нами доказаны следующие утверждения: при всех допустимых значениях справедливы неравенства: e cos 2 e sin 2 tg tg 2 tg tg 2 tg 1 0 ; 0 ; 0 . tg tg 2 tg tg 3 tg 1 e 1 cos 2 e 1 sin 2 При всех допустимых значениях 0; справедливы неравенства: 2 tg 2 tg ctg 2 tg 0 ; 0 . 1 tg 2 tg ctg 2 tg 1 §2 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба Определение 2.1. Функция называется выпуклой(вогнутой), если является выпуклой(вогнутой) параметрическая функция х cos , заданная в декартовой системе координат. y sin Теорема 2.1 Если вторая производная y' ' x 2 0 на интервале 1 ; 2 , то функция - является выпуклой на этом интервале. Теорема 2.2 Если вторая производная y' ' x 2 0 на интервале 1 ; 2 , то функция - является вогнутой на этом же интервале. В этом параграфе приведен пример исследования функции на выпуклость и вогнутость, используя выведенные теоремы. §3 Асимптоты графика функции ( ) Теорема 3.1 Уравнение наклонной асимптоты для функции имеет вид: y=kx+b, где b lim sin k cos . k lim tg , 0 0 Приведен пример на нахождение асимптот графика функции. §4 Пример 3 Функция cos 2 возрастает при ;0 ; ; убывает при 4 4 5 0; ; . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где 4 4 k lim tg , b lim cos 2 sin cos lim tg . Построен график функции. 0 0 0 В этой работе выведены формулы и доказаны теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции . Кроме того с помощью наших теорем можно доказывать сложные тригонометрические неравенства. В дальнейшем нам бы хотелось представить больше примеров, в которых находят применение полученные нами формулы и теоремы.