Тезисы к исследовательской работе на тему:

Тезисы к исследовательской работе на тему:
Исследование функций и построение графиков
в полярной системе координат
Автор: Комарова Ольга Фёдоровна
ученица 11 класс МОУ «Гимназия №1»
Чувашская республика г. Чебоксары, olga_spartak@smtp.ru
Научный руководитель: Сафиуллина Людмила Валерьяновна,
учитель математики МОУ «Гимназия № 1»
Чувашская республика г. Чебоксары, chebgimnazia1@cbx.ru
Целью этой работы является разработка методов исследования функций и построения их
графиков в полярной системе координат. Обычно функции исследуются в декартовой
системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по
точкам, не проводя полного исследования, подобного тому, которое проводится в
декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является
математически строгим, так как, например, оно не позволяет определить интервалы
возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.
При
выводе
формул
и
при
их
доказательстве
мы
использовали
методы
дифференциального исчисления. Данная работа актуальна, так как свойства функций в
полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.
Следует так же отметить,
что многие кривые не являющиеся графиками функций в
декартовой системе координат, являются графиками в полярной системе.
Таким образом, переход от декартовой к полярной системе координат позволяет применить
при исследовании кривых
методы исследования функций и, в частности, методы
дифференциального исчисления.
§1 Условия убывания и возрастания функции.
Точки максимума и минимума
Теорема 1.1
Функция      убывает в точке  0 тогда и только тогда, когда график функции
     входит в круг, ограниченный окружностью     0  при переходе  через
 0 слева направо, т.е. при возрастании  .
Теорема 1.2.
Функция      возрастает в точке  0 тогда и только тогда, когда график функции
     выходит из круга, ограниченного окружностью     0  при переходе  через
 0 слева направо.
Теорема 1.3.
Функция      убывает в точке  0 тогда и только тогда, когда имеет место неравенство
:
tg  
k 2  k1
(  sin  )'
.
0 , где k1= tg  0 , k2=
 cos  '
1  k1  k 2
Теорема 1.4.
Функция      возрастает в точке  0 тогда и только тогда, когда имеет место
неравенство: tg  
k 2  k1
(  sin  )'
 0 , где k1= tg  0 , k2=
 cos  '
1  k1  k 2
В этом же параграфе приведены примеры применения полученных нами теорем.
Пример 1.1.
Функция   е  - возрастающая. Функция   е  - убывающая.
Пример 1.2

Функция  ( )  sin  , где   0;   . 1. при 0  - функция возрастает;
2
2. при

2
  - функция убывает.
С помощью теорем 1.3. и1.4 можно доказывать сложные тригонометрические
неравенства. .В частности, нами доказаны следующие утверждения:
при всех допустимых значениях  справедливы неравенства:
e  cos 2   e  sin 2 
tg    tg 2    tg
tg 2  tg  1
0 ;
0 ;
0 .
tg    tg 2    tg
tg 3  tg  1
  e 1  cos 2     e 1  sin 2 
 
При всех допустимых значениях   0;  справедливы неравенства:
 2
tg 2  tg
ctg 2  tg
0 ;
0 .
1  tg 2  tg
ctg 2  tg  1
§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба
Определение 2.1.
Функция      называется выпуклой(вогнутой), если является выпуклой(вогнутой)
параметрическая функция
х      cos 
, заданная в декартовой системе координат.
y      sin 
Теорема 2.1
Если вторая производная y' ' x 2  0 на интервале 1 ; 2  , то функция      - является
выпуклой на этом интервале.
Теорема 2.2
Если вторая производная y' ' x 2  0 на интервале 1 ; 2  , то функция      - является
вогнутой на этом же интервале.
В этом параграфе приведен пример исследования функции      на выпуклость и
вогнутость, используя выведенные теоремы.
§3 Асимптоты графика функции    ( )
Теорема 3.1
Уравнение наклонной асимптоты для функции      имеет вид: y=kx+b, где
b  lim     sin   k  cos   .
k  lim tg ,
  0
 0
Приведен пример на нахождение асимптот графика функции.
§4 Пример
   3

Функция   cos 2 возрастает при     ;0     ;   ; убывает при
 4  4

   5 
   0;     ;   . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

4

4 


k  lim tg , b  lim cos 2   sin   cos   lim tg  . Построен график функции.
  0
 0
 0


В этой работе выведены формулы и доказаны теоремы, которые помогают исследовать
функции в полярной системе координат, выведено уравнение наклонной асимптоты
графика функции      . Кроме того с помощью наших теорем можно доказывать
сложные тригонометрические неравенства.
В дальнейшем нам бы хотелось представить больше примеров, в которых находят
применение полученные нами формулы и теоремы.