Взгляды П.К.Рашевского в контексте современных исследований

Реклама
Белякин Н.В., Победин Л.Н. (Новосибирск)
ВЗГЛЯДЫ П.К. РАШЕВСКОГО В КОНТЕКСТЕ
СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОСНОВАНИЯМ
МАТЕМАТИКИ
В 1973 г. в журнале «Успехи математических наук» была опубликована статья П.К.
Рашевского «О догмате натурального ряда». В этой работе под догматом подразумевается
тот факт, что обычный натуральный ряд является привилегированной математической
идеализацией процессов реального пересчета, и это монопольное положение осеняет его
ореолом истины в последней инстанции, абсолютной и единственно возможной. А так как
физик, замечает далее автор, использует лишь тот аппарат, который предлагает ему
математика, то абсолютная власть натурального ряда в значительной степени
предопределяет возможности физических теорий. Но с точки зрения физики такая теория
переуточнена. Математик предлагает физику не совсем то, что тому нужно. И намечая
контуры более подходящей теории, автор цитируемой работы пишет: «Духу физики
больше соответствовала бы такая математическая теория целого числа, в которой числа,
когда они становятся очень большими, приобретали бы, в каком-то смысле, размытый
вид, а не являлись бы строго определенными членами натурального ряда, как мы это себе
представляем».
Следует заметить, что ко времени появления этой публикации можно как раз
отнести зарождение тех новых математических теорий натуральных чисел, о возможности
существования которых говорилось пока только гипотетически. Прежде чем перейти к их
обсуждению обратимся к индуктивному определению натурального ряда. Основным в
этом определении являются следующие два пункта:
- 0 является натуральным числом;
- если n – натуральное число, то n+1 – натуральное число.
Можно сказать, что это описание задает алгоритм дискретного порождения
натуральных чисел (точнее их нумералов). С таким описанием традиционно
ассоциируется понятие потенциальной бесконечности, которое лежит в основе
конструктивного направления в математике. Обычными аргументами, указывающими на
бесконечность процесса порождения натуральных чисел, являются следующие
идеализации: мы будем, например, абстрагироваться от размеров доски и количества
мела, от нашего терпения и времени, всегда имея возможность отличать один нумерал от
другого и пр. При таких идеализациях считается, что можно уже говорить о
бесконечности.
Размышления о потенциальной бесконечности имеют длинную историю. Мы же
ограничимся следующим методологическим замечанием: именно бесконечные
идеализации алгоритмического процесса порождения чисел заставляют нас говорить о
бесконечности натурального ряда.
Единственным основанием, которое может указывать на бесконечность процесса,
является, на наш взгляд, тот очевидный факт, что в алгоритме индуктивного описания
натурального ряда отсутствует команда остановки. Но можно ли говорить обо всем, что
можно породить таким образом, как о чем-то однозначно определенном? Этот вопрос
беспокоил еще Больцано, которому не казалась очевидной возможность представления
натурального ряда в виде множества.
Если же мы не будем бесконечно абстрагироваться от наших ресурсных
возможностей, то естественно (и непротиворечиво) полагать, что четкий процесс
порождения натуральных чисел когда-нибудь заканчивается, однако этот момент нам
заранее не известен. Другими словами, даже в идеальном мире может существовать некая
граница, за пределами которой алгоритм может и работать, но объекты, которые он
порождает, перестают для нас быть различимыми, становятся размытыми. Именно это
пожелание П.К. Рашевского удачно реализовал П. Вопенка за счет введения понятия
горизонта различимости. Само понятие горизонта оформляется посредством привлечения
собственных классов определенного рода (полумножеств). Детальное описание этого
можно найти в недавно изданной на русском языке монографии П. Вопенка. В этой
теории связь с реалиями физического мира оказывается более непосредственной.
Другой подход в обсуждаемой проблематике был подробно развит Я. Мцельским
(так называемые локально-конечные теории). В основе этого подхода лежит отказ от
следующей аксиомы Пеано:
x+1=y+1→x=y
Фактически эта аксиома заменяется схемой аксиом. А именно, если мы имеем
построенный нумерал n, то предложение:
(x,y<n)^(x+1=y+1)→x=y
является аксиомой. В этой теории допускается существование самого большого
натурального числа, которое не меняется от прибавления единицы. Интересно отметить,
что при таком подходе получается хорошая математика, вполне пригодная для
внематематических приложений (в том числе и в физике).
В заключении заметим, что как один, так и другой подходы резонируют с идеей
нестандартного анализа, однако оба эти подхода позволяют уйти от крайне
проблематичного вопроса о логико-методологическом статусе так называемой
стандартной модели арифметики.
Литература
- Рашевский П.К. О догмате натурального ряда //Успехи математических наук., Т.
XXXYIII. вып. 4(172). 1973.
П. Вопнека. Альтернативная теория множеств. Новый взгляд на бесконечность.
Новосибирск. Издательство института математики, 2004.
J. Mycielski. Analysis without actual infinity. JSL.Б V.46. 1981. P.625-633.
Скачать