q q q = vuutdx2 + y02(x)dx2 = vuut1 + y02(x) Z T Z a vuut1

w. f. dEMXQNOW, s. k. mY KOW
wariacionnoe is~islenie
1
w 1696 G. i. bERNULLI POSTAWIL SLEDU@]U@ ZADA^U. w WERTIKALXNOJ PLOSKOSTI
DANY DWE TO^KI A I B . tpEBUETSQ OPREDELITX PUTX AMB , SPUSKAQSX PO KOTOROMU POD
DEJSTWIEM SOBSTWENNOJ SILY TQVESTI, TELO M , NA^AW DWIGATXSQ IZ TO^KI A, DOJDET
DO TO^KI B ZA KRAT^AJEE WREMQ. |TO ZNAMENITAQ ZADA^A O BRAHISTOHRONE. oNA
POLOVILA NA^ALO WARIACIONNOMU IS^ISLENI@.
wWEDEM LEWU@ SISTEMU KOOpDINAT xy (SM. pIS. ). pOLOVIM A = (0 0) B = (a b)
(ZDESX a > 0 b > 0, OSX y NAPpAWLENA WNIZ).
pO ZAKONU gALILEQ SKOROSTX TELA M W TO^KE (x y(x)) (ESLI TELO BEZ TRENIQ SPUSKAETSQ PO KRIWOJ y( )) NE ZAWISIT OTqFORMY KRIWOJ y( ) MEVDU TO^KAMI A I (x y(x)),
A ZAWISIT OT ORDINATY y(x) I RAWNA 2gy(x), GDE g { USKORENIE SILY TQVESTI. iMEEM
q
q
v(x) = 2gy(x) v = ds
ds
= dx2 + dy2 dy = y (x)dx = dy dx
dt
dx
v
v
u
u
2
2 + y 2 (x)dx2
u
u
dx
ds
t
= t 1 + y (x) dx:
dt = v =
2gy(x)
2gy(x)
oTS@DA WpEMQ SPUSKA
u
Z
Z v
2
u
T = T (y( )) = 0 dt = 0 t 1 2+gyy(x()x) dx:
iTAK, ZADA^A SWELASX K SLEDU@]EJ: sREDI WSEH KRIWYH (x y(x)), SOEDINQ@]IH TO^KI
A I B (T.E. TAKIH, ^TO y(0) = 0 y(a) = b), NAJTI KRIWU@, DOSTAWLQ@]U@ MINIMUM
FUNKCIONALU T . rEENIE \TOJ ZADA^I W PARAMETRI^ESKOJ FORME IMEET WID:
x(t) = C1 + C (t sin t) y(t) = C (1 cos t):
kRIWAQ, ZADAWAEMAQ \TIMI URAWNENIQMI, QWLQETSQ CIKLOIDOJ (\TO KpIWAQ, KOTOpU@
OPISYWAET TO^KA OKpUVNOSTI, KOTOpAQ KATITSQ BEZ SKOLXVENIQ PO PpQMOJ).
0
0
0
T
0
a
;
;
1 zADA^A WApIACIONNOGO IS^ISLENIQ.
pUSTX T > 0 FIKSIROWANO. ~EREZ P 10 T ] OBOZNA^IM KLASS NEPRERYWNYH NA 0 T ]
FUNKCIJ S KUSO^NO-NEPRERYWNOJ I OGRANI^ENNOJ NA 0 T ] PROIZWODNOJ. fUNKCI@ x(t),
ZADANNU@ NA 0 T ], BUDEM DLQ KpATKOSTI OBOZNA^ATX x( ) ILI (ESLI \TO NE WYZOWET NEDOpAZUMENIJ), PpOSTO x. nULEWOJ \LEMENT PpOSTpANSTWA P 10 T ] (T.E. FUNKCI@, TOVDESTWENNO pAWNU@ NUL@ NA 0 T ]) BUDEM OBOZNA^ATX 0 ILI 00 ].
dLQ PpOIZWODNOJ FUNKCII x W TO^KE t BUDEM ISPOLXZOWATX OBOZNA^ENIQ ( ) x_ (t) I
x (t). ~EREZ P 0 T ] OBOZNA^IM KLASS KUSO^NO-NEPRERYWNYH I OGpANI^ENNYH NA 0 T ]
FUNKCIJ. eSLI x P 10 T ], TO x P 0 T ]. eSLI x P 10 T ] I t0 0 T ) { TO^KA
RAZRYWA FUNKCII x (t), TO DLQ OPREDELENNOSTI BUDEM S^ITATX, ^TO
x (t0 ) = x+ (t0) = lim0 x(t0 + ) x(t0 ) :
(1)
T
dx t
dt
0
0
2
2
2
2
0
0
;
0
#
1
uSTANOWO^NAQ LEKCIQ DLQ STUDENTOW 5 KUpSA F-TA pm-pu spBgu, PpO^ITANA 16.02.2004G.
1
w TO^KE T POLAGAEM
x (T ) = lim0 x(T + ) x(T ) :
zAFIKSIRUEM x0 IR I x1 IR. pOLOVIM
= x P 10 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 :
rASSMOTRIM FUNKCIONAL
Z
(x) = F (x(t) x (t) t) dt
0
(2)
;
0
"
2
2
f
2
j
(3)
g
T
(4)
0
I
GDE FUNKCIQ F (x z t) NEPRERYWNA PO WSEM SWOIM ARGUMENTAM NA IR IR 0 T ].
mNOVESTWO TO^EK (t x(t)) t 0 T ] PREDSTAWLQET SOBOJ KRIWU@ NA PLOSKOSTI
(t x). dLQ KRATKOSTI FUNKCI@ x(t) (t 0 T ]) TOVE INOGDA BUDEM NAZYWATX KRIWOJ.
kRIWU@ x BUDEM NAZYWATX DOPUSTIMOJ. dOPUSTIMU@ KRIWU@ x NAZYWA@T
TO^KOJ GLOBALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (4) NA MNOVESTWE , ESLI
(x ) (x)
x :
(5)
dOPUSTIMU@ KRIWU@ x NAZYWA@T SILXNOJ MINIMALX@ (ILI TO^KOJ SILXNOGO
LOKALXNOGO MINIMUMA) FUNKCIONALA (4), ESLI SU]ESTWUET " > 0, TAKOE, ^TO
(x ) (x)
x B (x )
(6)
GDE
B (x ) = x P 10 T ] 0max x(t) x (t) "
(7)
eSLI DLQ NEKOTOpOGO " > 0 OKAVETSQ
(x ) (x) x Be (x )
(8)
GDE
Be (x ) = x B (x ) sup x_ (t) x_ (t) "
(9)
f
j
2
g
2
2
I
I
8
2
2
2
I
I
f
"
8
2
2
\
j
"
j
;
j g
tT
I
f
"
I
8
2
"
j
2
0tT
\
j
"
;
j g
TO KRIWU@ x NAZYWA@T SLABOJ MINIMALX@ (ILI TO^KOJ SLABOGO LOKALXNOGO
MINIMUMA) FUNKCIONALA (4).
ppIMEp 1. pUSTX
Z1
(x) = x_ 2 (t)1 + x_ 3 (t)]dt = x P 10 1] x(0) = 0 x(1) = 0 :
(10)
0
2
I
f
2
j
g
wOZXMEM KpIWU@ x = 0 (T.E. x (t) = 0 t 0 1]). iMEEM x (x ) = 0. kpIWAQ
x QWLQETSQ TO^KOJ SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA, TAK KAK PpI x Be1 (x ) (T.E.
ESLI max 0 1] x(t) 1 sup x_ (t) 1) BUDET
0 1]
Z1
(x) (x ) = x_ 2 (t)1 + x_ 3 (t)]dt > 0
0
8
2
2
I
2
t2
j
j j
j t2
I
; I
I SOOTNOENIE (8) WYPOLNQETSQ PpI " = 1.
tEPEpX WYBEpEM L@BOE " (0 1] I pASSMOTpIM FUNKCI@
8
>< t t 0 23 ")
x (t) = > 2" 2t t 32 " ")
: 0 t " 1]:
2
2
"
;
2
2
2
\
iMEEM
8
>< 1 t 0 32 ")
x (t) = > 2 t 23 " ")
: 0 t " 1]:
tAK KAK x (t) x0 (t) < " t 0 T ], TO
Z1
Z 23
Z
2
3
(x ) = x (t)1 + x (t)]dt =
2dt + 2 4(1 8)dt = 4 " 28 " = 8" < 0:
3
3
0
0
2
0
;
"
2
2
j
I
"
"
;
j
8
2
"
0
0
"
"
"
;
;
;
3"
oTS@DA ZAKL@^AEM, ^TO TO^KA x = 0 NE QWLQETSQ TO^KOJ SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (x).
wSQKAQ TO^KA SILXNOGO MINIMUMA QWLQETSQ I TO^KOJ SLABOGO MINIMUMA (OBRATNOE, KAK WIDNO IZ PpIWEDENNOGO WYE PpIMEpA, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO). pO\TOMU
WSE NEOBHODIMYE USLOWIQ SLABOGO MINIMUMA BUDUT I NEOBHODIMYMI USLOWIQMI SILXNOGO MINIMUMA, A DOSTATO^NYE USLOWIQ SILXNOGO MINIMUMA BUDUT I DOSTATO^NYMI
USLOWIQMI SLABOGO MINIMUMA.
zADA^A RAZYSKANIQ TO^KI SILXNOGO ILI SLABOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (4) NAZYWAETSQ OSNOWNOJ (ILI PROSTEJ EJ) ZADA^EJ WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ.
zAME^ANIE 1. wEZDE DALEE pASSMATpIWAETSQ ZADA^A WApIACIONNOGO IS^ISLENIQ W
PpOSTpANSTWE P 10 T ]. mOVNO STAWITX ZADA^U W PpOSTpANSTWE NEPpEpYWNYH FUNKCIJ
S IZMEpIMYMI I SUMMIpUEMYMI SO STEPENX@ p 1 PpOIZWODNYMI. dLQ PpAKTI^ESKIH
CELEJ WPOLNE MOVNO OGpANI^ITXSQ PpOSTpANSTWOM P 10 T ].
ppIMEp 2. zADA^A O KRAT^AJ EM PUTI. tREBUETSQ SOEDINITX TO^KI (0 x0 ) I
(T x1 ) KRIWOJ, IME@]EJ NAIMENXU@ DLINU. zADA^A SWODITSQ K MINIMIZACII FUNKCIONALA
Z q
(x) =
1 + x 2 (t) dt
0
NA MNOVESTWE = x P 10 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 :
ppIMEp 3. pUSTX = x P 1 0 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 :
rASSMOTRIM FUNKCIONAL
Z q
x (t) dt:
(x) =
0
I
}
}
T
0
I
f
2
j
f
g
2
j
g
T
j
I
qSNO, ^TO (x) 0
0
j
x . pOLOVIM
(
1
0
x (t) = x0 + xt k t 0t Tt]: t
1
o^EWIDNO, ^TO KRIWAQ x (ESLI t < T ). tOGDA
s
Z q
q
x
(t) dt = t x1 t x0 = t x1 x0 :
(x ) =
0
pRI t
0 BUDET (x ) 0. sLEDOWATELXNO, inf (x) = 0, NO \TOT INFIMUM NE
DOSTIGAETSQ NA .
ppIMEp 4. nA MNOVESTWE (SM. PRIMER 2) RASSMOTRIM FUNKCIONAL
Z
x(t) dt:
(x) =
0
I
8
2
x ;x
k
2
2
j
k
0
j
j
;
p
j
k
k
k
k
!
I
k
k
k
k
T
I
t
k
!
I
x2
T
j
I
3
j
j
;
j
o^EWIDNO, (x) 0
I
x . pOLOVIM
8
x0 t k0 t 0 t ]
><
0 t t T t ]
x (t) = >
: (t T + t ) 1 t T t T ]:
k
8
2
x
;
2
k
k
!
k
2
t
;
k
x
(t) dt = 1 t x0 + 1 t x1 = 1 ( x0 + x1 )t
2
2
2
0
0 BUDET (x ) 0, T.E. inf (x) = 0: oDNAKO \TOT INFIMUM NE DOSTIGAETSQ
I
TO PRI t
NA .
Z
k
k
;
k
x
;
pOSKOLXKU
2
t
(x ) =
T
j
k
I
k
j
k
kj
!
j
kj
j
j
j
j
j
k
I
x2
2 uSLOWIE |JLEpA.
pUSTX FUNKCII I NEPRERYWNY NA IR IR 0 T ]. dLQ TOGO,
^TOBY FUNKCIQ x (t) DOSTAWLQLA NAIMENX EE ZNA^ENIE FUNKCIONALU (x) NA
MNOVESTWE (SM. (3)), NEOBHODIMO, ^TOBY NA LOSX C0 IR, TAKOE, ^TO
@F (x (t) x_ (t) t) + Z @F (x ( ) x_ ( ) ) d = C t 0 T ]:
(11)
0
@z
@x
upAWNENIE (11) NAZYWAETSQ INTEGpALXNYM UpAWNENIEM |JLEpA. dIFFEpENCIpUQ TOVDESTWO (11), POLU^AEM UpAWNENIE
d @F (x (t) x_ (t t) @F (x (t) x_ (t) t) = 0 t D(x_ )
(12)
dt
@z
@x
GDE D(x_ ) { MNOVESTWO TO^EK NEPpEpYWNOSTI FUNKCII x_ (t). upAWNENIE (12) NAZYWAETSQ UpAWNENIEM |JLEpA. bUDEM GOWOpITX, ^TO KpIWAQ x P 10 T ] UDOWLETWOpQET USLOWI@ |JLEpA, ESLI NA \TOJ KpIWOJ WYPOLQETSQ UpAWNENIE |JLEpA. eSLI x P 10 T ],
TO TO^KA pAZpYWA FUNKCII x_ (t) NAZYWAETSQ UGLOWOJ TO^KOJ KpIWOJ x(t).
uSLOWIE |JLEpA { NEOBHODIMOE USLOWIE GLOBALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (x)
NA MNOVESTWE . iZ OPpEDELENIQ TO^EK SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA I SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA (SM. (6){(8)) SLEDUET, ^TO USLOWIE |JLEpA (11){(12) QWLQETSQ I
NEOBHODIMYM USLOWIEM SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (x) NA MNOVESTWE , I NEOBHODIMYM USLOWIEM SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA (x) NA . iNTEGpALXNYE KpIWYE UpAWNENIQ |JLEpA (T.E. FUNKCII, UDOWLETWOpQ@]IE (11) ILI, ^TO TO VE,
(12)) NAZYWA@TSQ \KSTpEMALQMI. |KSTpEMALX x P 10 T ] NAZYWAETSQ DOPUSTIMOJ,
ESLI DLQ NEE WYPOLNENY USLOWIQ x(0) = x0 x(T ) = x1 (T.E. ESLI x ).
tEOpEMA 1.
@F
@F
@z
@x
2
I
2
T
8
2
t
;
8
2
2
2
I
I
I
2
2
3 uSLOWIE wEJEpTpASSA
tEOpEMA 2. pUSTX { TO^KA NEPpEpYWNOSTI KpIWOJ z
(t) := x_ (t). dLQ TOGO, ^TOBY
FUNKCIQ x (t) 2 DOSTAWLQLA NAIMENX EE ZNA^ENIE FUNKCIONALU I (x) NA MNOVESTWE , NEOBHODIMO, ^TOBY
F (x () v ) ; F (x () z () );
@F (x () z () ) 0 8 2 D(z ) 8v 2 IR:
(13)
; (v ; z ( ))
@z
uSLOWIE (13) NAZYWAETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM wEJER TRASSA. zDESX D(z ) { MNOVESTWO TO^EK 0 T ], W KOTORYH FUNKCIQ z (t) NEPRERYWNA.
uSLOWIE wEJEpTpASSA QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM SILXNOGO MINIMUMA.
4
4 uSLOWIQ |RDMANA { wEJERTRASSA.
pUSTX x { TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCII (x) NA . rASSMOTRIM PODROBNEE
TO^KI RAZRYWA FUNKCII z (t) := x_ (t) (\TO UGLOWAQ TO^KA KRIWOJ x (t) =
R
x0 + 0 z ( ) d ).
I NEPRERYWNY NA IR IR 0 T ]. eSLI t0 (0 T )
lEMMA 1 pUSTX FUNKCII
{ TO^KA RAZRYWA FUNKCII z (t), TO
@F (x (t0 ) z+(t0 ) t0) = @F (x (t0 ) z (t0) t0 )
(14)
@z
@z
GDE z+(t0 ) = lim0 z (t) z (t0) = lim0 z (t):
uSLOWIE (14) NAZYWAETSQ PERWYM USLOWIEM |RDMANA { wEJER TRASSA. |TO USLOWIE
QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM I( SLABOGO
, I SILXNOGO MINIMUMA.
)
lEMMA 2 pUSTX FUNKCII
I ( ) NEPRERYWNY PO SOWOKUPNOSTI PEpEMENNYH. eSLI t0 (0 T ) { UGLOWAQ TO^KA KRIWOJ x (t), TO
F (x (t0 ) z+(t0) t0) z+(t0 ) @F (x (t0 )@zz+(t0 ) t0) =
= F (x (t0) z (t0 ) t0) z (t0 ) @F (x (t0 )@zz (t0) t0 ) :
(15)
uSLOWIE (15) NAZYWAETSQ WTORYM USLOWIEM |RDMANA { wEJER TRASSA.
zAME^ANIE 2. wTOpOE USLOWIE |pDMANA { wEJEpTpASSA QWLQETSQ NEOBHODIMYM
USLOWIEM SILXNOGO MINIMUMA (NO NE OBQZATELXNO SLABOGO).
2
I
t
@F
@F
@z
@x
2
;
;
t#t
t"t
@F x z t
@F x z t
@z
@x
2
;
;
;
;
;
}
5 uSLOWIQ WTOpOGO POpQDKA
ppEDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ F (x z t) IMEET WTOpYE PpOIZWODNYE I ^TO FUNKCII
@ 2 F (x z t) @ 2 F (x z t) @ 2 F (x z t)
@x2
@x@z
@z2
NEPpEpYWNY W pASSMATpIWAEMOJ OBLASTI. sNOWA ISPOLXZUEM KLASSI^ESKU@ WApIACI@.
zAFIKSIpUEM z P 0 T ]. dLQ PpOIZWOLXNOGO v P 0 T ] POLOVIM z (t) = z(t) + "v(t)
GDE " > 0. fUNKCIQ z KUSO^NO-NEPpEpYWNA NA 0 T ], T.E. z2 (t) 2 P 0 2T ] " > 0:
lEMMA 3. pUSTX FUNKCIQ F NEPpEpYWNA WMESTE S 2 ,
2 W pASSMATpIWAEMOJ OBLASTI. eSLI x { TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCII (x) NA ,
TO
@ 2 F (t) := @ 2 F (x (t) z (t) t) 0 t 0 T ]:
(16)
@z2
@z2
|TO USLOWIE NAZYWAETSQ USLOWIEM lEVANDpA { kLEB A. oNO QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM I SLABOGO MINIMUMA, I SILXNOGO MINIMUMA.
R
zAME^ANIE 3. zADA^A MAKSIMIZACII FUNKCIONALA (x) = 0 F (x(t) x (t) t) dt
RAWNOSILXNA ZADA^E MINIMIZACII FUNKCIONALA 1(x) = (x) =
RNA FMNOVESTWE
F1 (x x t) = F (x x t):
1 (x x t) dt GDE
0
pO\TOMU NEOBHODIMYE USLOWIQ MAKSIMUMA FUNKCIONALA (x) (T.E. URAWNENIE |JLERA (11) I INTEGRALXNOE URAWNENIE |JLERA (12)) OSTA@TSQ TAKIMI VE, KAK I DLQ
ZADA^I MINIMIZACII \TOGO VE FUNKCIONALA. uSLOWIE lEVANDRA { kLEBA TEPERX
IMEET WID
@ 2 F (x () z () ) 0 0 T ]:
@z2
2
2
"
"
2
"
@ F
@x
@ F
@x@z
8
@ F
@z
2
I
8
2
T
I
I
T
0
0
;
0
I
5
8
2
0
;I
6 iSSLEDOWANIE URAWNENIQ |JLERA
iZ USLOWIQ |JLERA SLEDUET, ^TO \KSTREMALX FUNKCIONALA (x) = R0 F (x(t) x (t) t) dt
NA MNOVESTWE = x P 10 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 DOLVNA UDOWLETWORQTX (W
TO^KAH NEPRERYWNOSTI FUNKCII x (t)) URAWNENI@ |JLEpA
d @F (x(t) x (t) t) @F (x(t) x (t) t) = 0:
(17)
dt
@z
@x
rASSMOTRIM NEKOTORYE ^ASTNYE SLU^AI.
1. F NE ZAWISIT OT x . tOGDA URAWNENIE |JLERA IMEET WID
@F (x(t) t) = 0:
(18)
@x
|TO KONE^NOE URAWNENIE, I EGO REENIE, WOOB]E GOWORQ, NE UDOWLETWORQET USLOWIQM
x(0) = x0, x(T ) = x1 . tOLXKO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH (KOGDA KRIWAQ x( ), UDOWLETWORQ@]AQ (18), PROHODIT ^EREZ TO^KI (0 x0) I (T x1 )) SU]ESTWUET KRIWAQ, NA KOTOROJ
DOSTIGAETSQ \KSTREMUM.
R
pRIMER 5. pUSTX
(x) = 0 (xt + x2 ) dt x(0) = x0 x(T ) = x1 : uRAWNENIE
|JLERA IMEET WID t + 2x = 0 T.E. x = 12 t: eSLI x0 = 0, A x1 = 21 T , TO \TO
REENIE (x = 21 t) MOVET BYTX \KSTREMALX@ (MY E]E DOLVNY PROWERITX, ^TO NA NEJ
DOSTIGAETSQ IMENNO MINIMUM), A W OSTALXNYH SLU^AQH REENIE ZADA^I NE SU]ESTWUET.
2. F ZAWISIT OT x LINEJNO, T.E. F (x x t) = M (x t) + N (x t)x : uRAWNENIE
|JLERA (17) W \TOM SLU^AE IMEET WID
@M @N x + @N x + @N = 0:
d N (x t) @F = 0 T.E.
dt
@x
@x @x
@x
@t
oTS@DA
@M = 0:
L(x t) = @N
(19)
@t @x
|TO { KONE^NOE, A NE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE. kRIWAQ, OPREDELQEMAQ URAWNENIEM
(19), WOOB]E GOWORQ, NE UDOWLETWORQET GRANI^NYM USLOWIQM, I POTOMU WARIACIONNAQ
ZADA^A, KAK PRAWILO, NE IMEET REENIQ W KLASSE NEPRERYWNYH FUNKCIJ. eSLI W NEKOTOROJ OBLASTI D, WKL@^A@]EJ TO^KI (0 x0) I (T x1 ) PLOSKOSTI tx, BUDET
L(x t) = 0 t x] D
TO
F (x x t) = M (x t)dt + N (x t)dx
QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM, I FUNKCIONAL
Z
Z ( 1)
(x(t)) = F (x x t) dt =
(M dt + N dx)
0
(0 )
T
I
f
2
j
0
g
0
0
0
;
0
T
I
;
;
;
0
0
;
;
0
0
;
0
;
8
2
0
T
I
T x
0
x0
NE ZAWISIT OT PUTI INTEGRIROWANIQ, ZNA^ENIE FUNKCIONALA (x) { ODNO I TO VE NA
WSEH DOPUSTIMYH KRIWYH. wARIACIONNAQ ZADA^A TERQET SMYSL.
pRIMER 6. pUSTX
Z
(x) = (x2 + 2txx ) dt x(t0 ) = x0 x(T ) = x1 :
0
tAK KAK = 2x, = 2x, TO IZ (19) URAWNENIE |JLERA IMEET WID L(x t) = 2x
2x = 0 t SLEDOWATELXNO, PODYINTEGRALXNOE WYRAVENIE (x2 + 2txx )dt ESTX POLNYJ
DIFFERENCIAL. zNA^IT, INTEGRAL NE ZAWISIT OT PUTI INTEGRIROWANIQ, I POTOMU
I
T
I
0
t
@M
@N
@x
@t
;
0
8
6
I
(x) =
Z
T
t0
(x dt + 2xt dx) =
2
Z(
T x1
)
(t0 x0 )
d(tx2 ) = tx2
=T
t
jt=t
0
= Tx12 ; t0x0 2:
ZAWISIT LIX OT x , T.E. F = F (x ). uRAWNENIE |JLERA IMEET WID
F x = 0:
(20)
|TOMU URAWNENI@ UDOWLETWORQ@T WSE PRQMYE
x(t) = C1 t + C2:
(21)
R q
pRIMER 7. pUSTX
(x) = 0 1 + x 2(t) dt x(0) = x0 x(T ) = x1 :
|TOT FUNKCIONAL OPREDELQET DLINU KRIWOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (0 x0) I (T x1 ).
iZ (21) ZAKL@^AEM, ^TO pEENIEM ZADA^I QWLQETSQ OTpEZOK PpQMOJ, SOEDINQ@]EJ
TO^KI (0 x0) I (T x1 ).
4. F NE ZAWISIT OT x, T.E. F = F (x t). tOGDA URAWNENIE |JLERA IMEET WID
d F (x t) = 0 T.E. F (x t) = C
1
dt
GDE C1 { PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. |TO URAWNENIE ESTX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE
PERWOGO PORQDKA (W NEQWNOJ FOpME).
5. F NE ZAWISIT QWNO OT t, T.E. F = F (x x ). tOGDA URAWNENIE |JLERA IMEET WID
F F x F x = 0:
(22)
uMNOVAQ NA x OBE ^ASTI (22), POLU^AEM SLEWA POLNU@ PROIZWODNU@
d F x F ] = 0
OTS@DA F x F = C1 :
dt
zAME^ANIE 4. mY OBSUDILI TOLXKO SLU^AJ, KOGDA x { FUNKCIQ ODNOJ PEpEMENNOJ.
w SLU^AE WEKTOp-FUNKCIJ USLOWIQ |JLEpA I wEJEpTpASSA WYPISYWA@TSQ DLQ KAVDOJ
KOOpDINATNOJ FUNKCII.
3. F
0
0
00
x0 x0
T
I
0
0
x0
0
x0
0
0
x
;
xx0
0
;
x0 x0
00
0
;
0
;
x0
7
0
x0
x+∆ x
x
A
x
M
y
y+∆ y
B
y