pdf 145Kb

x9. mOMENTNYE HARAKTERISTIKI MNOGOMERNYH RASPREDELENIJ.
mULXTINOMIALXNOE I MNOGOMERNOE NORMALXNOE
RASPREDELENIQ
dLQ OPISANIQ POLOVENIQ W PROSTRANSTWE, RASSEQNIQ I FORMY MNOGOMERNYH RASPREDELENIJ OBY^NO ISPOLXZU@TSQ SME[ANNYE CENTRALXNYE MOMENTY, WY^ISLQEMYE KAK MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ OT PROIZWEDENIQ RAZLI^NYH STEPENEJ CENTRIROWANNYH SREDNIMI ZNA^ENIQMI
KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA:
h
k
k i
E (X ; ) (Xn ; ) n ;
GDE i = EXi { WEKTOR SREDNIH ZNA^ENIJ KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA X n : mY BUDEM IMETX DELO TOLXKO S MOMENTAMI WTOROGO PORQDKA
ij = E(Xi ; i )(Xj ; j ); i; j = 1; : : :; n: mATRICA = kij k MOMENTOW
WTOROGO PORQDKA NAZYWAETSQ KOWARIACIONNOJ MATRICEJ ILI MATRI
CEJ KOWARIACIJ cov(Xi ; Xj ) = ij : eSTESTWENNO, DIAGONALX KOWARIACIONNOJ MATRICY SOSTAWLQ@T DISPERSII i = ii = cov(Xi ; Xi) SOOTWETSTWU@]IH KOMPONENT Xi; i = 1; : : :; n SLU^AJNOGO WEKTORA X n ;
W TO WREMQ KAK SME[ANNYE MOMENTY ij PRI i =
6 j HARAKTERIZU@T STEPENX LINEJNOJ SWQZNOSTI KOMPONENT Xi I Xj : |TOT TERMIN TREBUET
SPECIALXNOGO OBSUVDENIQ, WWIDU EGO ISKL@^ITELXNOJ RASPROSTRANENNOSTI W PRILOVENIQH MNOGOMERNOGO STATISTI^ESKOGO ANALIZA.
wSE WERTITSQ OKOLO SLEDU@]EGO LEBEGOWSKOGO WARIANTA NERAWENSTWA kO[I{bUNQKOWSKOGO.
1
1
1
( )
-
2
( )
nERAWENSTWO {WARCA
pUSTX X I Y { SLU^AJNYE WELI^INY, A
g(X ) I h(Y ) { IZMERIMYE FUNKCII OT SOOTWETSTWU@]IH WELI^IN, OBLADA@]IE KONE^NYMI WTORYMI MOMENTAMI. tOGDA
.
h
jEg(X )h(Y )j Eg (X )Eh(Y )
2
i=
2 1 2
S RAWENSTWOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA FUNKCII g I h LINEJNO SWQZANY: SU]ESTWU@T TAKIE POSTOQNNYE a I b; ^TO P (ag (X ) + bh(Y ) = 0)
= 1:
pRIMENIM \TO NERAWENSTWO K FUNKCIQM g(X ) = X ; X I h(Y ) =
Y ;Y ; GDE X = EX; Y = EY: eSLI SLU^AJNYE WELI^INY X I Y NEZAWISIMY, TO, W SILU PREDLOVENIQ 8.3B cov(X; Y ) = E(X ;X )(Y ;Y ) =
E(X ; X )E(Y ; y ) = 0; TO ESTX NEZAWISIMYE SLU^AJNYE WELI^INY IME@T NULEWU@ KOWARIACI@. eSLI VE X I Y LINEJNO SWQZANY:
1
Y ; Y = a(X ; X ); TO W NERAWENSTWE {WARCA DOSTIGAETSQ
p ZNAK RAWENSTWA, TAK ^TO cov(X; Y ) = XY = E(X ; X )(Y ; Y ) = DX DY =
X Y > 0 (ESTESTWENNO, MY PREDPOLAGAEM, ^TO X I Y PRINIMA@T
PO KRAJNEJ MERE DWA RAZLI^NYH ZNA^ENIQ S NENULEWOJ WEROQTNOSTX@).
|TI DWA KRAJNIH ZNA^ENIQ W NERAWENSTWE {WARCA OPRAWDYWA@T WWEDENIE SLEDU@]EJ MERY LINEJNOJ SWQZNOSTI PARY SLU^AJNYH WELI^IN.
oPREDELENIE
pUSTX X I Y { DWE SLU^AJNYE WELI^INY S KONE^NYMI DISPERSIQMI. mOMENTNAQ HARAKTERISTIKA
9.1.
= XY = XY
X Y
NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM KORRELQCII MEVDU SLU^AJNYMI WELI^INAMI X I Y:
iTAK, ESLI X I Y NEZAWISIMY, TO = 0; ESLI VE Y = a + bX PRI
NEKOTORYH POSTOQNNYH a I b; TO jj = 1; PRI^EM = ;1; ESLI a < 0;
I = +1; ESLI a > 0: oDNAKO, RAWENSTWO = 0 NE OZNA^AET, ^TO
SLU^AJNYE WELI^INY X I Y NEZAWISIMY
!
p R I M E R 9.1 (ZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN S NULEWYM KO\FFICI
ENTOM KORRELQCII). pOKAVEM, ^TO SLU^AJNYE WELI^INY X I Y; RAWNOMERNO RASPREDELENNYE W KRUGE RADIUSA r; ZAWISIMY, NO XY = 0:
dEJSTWITELXNO, SOWMESTNAQ FUNKCIQ PLOTNOSTI f (x; y) SLU^AJNYH
WELI^IN X I Y (SM. PRIMER 8,1) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO W KRUGE
x + y r I PRINIMAET POSTOQNNOE ZNA^ENIE, RAWNOE 1=r ; WNUTRI
\TOGO KRUGA. mARGINALXNYE PLOTNOSTI
q
p
2
2
X
Y
f (x) = r r ; x ; jxj r; f (y) = r r ; y ; jyj r;
I f X (x) = f Y (y) = 0 WNE KWADRATAh jxj r; jyj r: i
iMEEM: f X (x)f Y (y) = 4; r; (r ; x )(r ; y ) = ; ^TO, O^EWIDNO,
NE SOWPADAET S f (x; y) = 1=r W OBLASTI x + y r : tAKIM OBRAZOM,
W SILU PREDLOVENIQ 8.2, SLU^AJNYE WELI^INY X I Y ZAWISIMY.
pOKAVEM, ^TO, TEM NE MENEE, XY = 0: fUNKCIQ f (x; y) CENTRALXNO
SIMMETRI^NA, I PO\TOMU X = Y = 0: dALEE,
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
1 Zr
XY = r
2
;r
2
2
xdx
2
p2
rZ ;x2
p
; r2;x2
2
1 2
2
ydy = 0:
2
2
nO ESLI XY = 0; TO I = 0:
dLQ KOWARIACII PARY SLU^AJNYH WELI^IN SPRAWEDLIWY FORMULY,
ANALOGI^NYE TEM, ^TO BYLI POLU^ENY DLQ DISPERSII W PREDLOVENIQH
6.1 I 8.3.
pREDLOVENIE
dLQ L@BOJ PARY SLU^AJNYH WELI^IN (X; Y ) I
NEZAWISIMYH DWUMERNYH WEKTOROW (X1 ; Y1 ); : : :; (Xn ; Yn ); OBLADA@]IH
KONE^NYMI WTORYMI MOMENTAMI, SPRAWEDLIWY RAWENSTWA
9.1.
(1) XY = EXY ; EX EY;
(2) SX SY =
n
X
1
XiYi ;
= Pn Xi; SY = Pn Yi:
d O K AZ A TE L X ST WO. (1) iMEEM XY = E [(X ; EX )(Y ; EY )] =
E (XY ; Y EX ; X EY + EX EY ) = EXY ; EX EY:
(2) dELAEM STOLX VE TRIWIALXNYE WYKLADKI, ^TO I WY[E, I PRI
\TOM NE ZABYWEM, ^TO SREDNEE OT PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN RAWNO PROIZWEDENI@ SREDNIH:
GDE SX
1
1
2n
3
n
X
X
SX SY = E 4 (Xi ; EXi ) (Yi ; EYi)5 =
1
1
2n
3
X
X
E 4 (Xi ; EXi )(Yi ; EYi ) +
(Xi ; EXi)(Yj ; EYj )5 =
n
X
1
i6=j
1
E
[(Xi ; EXi)(Yi ; EYi )] +
X
i6=j
(Xi ; EXi) E(Yj ; EYj ):
E
pOSLEDNEE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI RAWNO NUL@, IBO E(Xi ; EXi ) =
EXi ; EXi = 0; A PERWOE SLAGAEMOE ESTX SUMMA KOWARIACIJ KAVDOGO
WEKTORA.
iZU^IM DWE NAIBOLEE RASPROSTRANENNYE MNOGOMERNYE WEROQTNOSTNYE MODELI.
lEKCIQ
mULXTINOMIALXNOE RASPREDELENIE M(m; n;
15
). rASSMATRIWAETSQ SHEMA NEZAWISIMYH ISPYTANIJ, W KAVDOM IZ KOTORYH MOVET PROIZOJTI ODNO IZ m SOBYTIJ A ; : : : ; Am S WEROQTNOSTQMI p ; : : : ; pn;
1
p
1
3
Pm p = 1:
j
1
tIPI^NYJ PRIMER TAKIH ISPYTANIJ { NABL@DENIQ \NTOMOLOGA PO OCENKE ^ISLENNOSTI WIDOW NASEKOMYH, NASELQ@]IH NEKOTORYJ, DOSTATO^NO IZOLIROWANNYJ RAJON NA[EJ PLANETY. wSEGO
PROWODITSQ n NEZAWISIMYH ISPYTANIJ, I REGISTRIRU@TSQ ZNA^ENIQ
x ; : : :; xm KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA X m = (X ; : : :; Xm); Pm Xj
= n; GDE xj { KOLI^ESTWO ISPYTANIJ, W KOTORYH PROIZO[LO SOBYTIE
(
1
)
1
1
Aj ; j = 1; : : :; m:
lEGKO WIDETX, ^TO MY IMEEM DELO S MNOGOMERNYM ANALOGOM SHEMY
bERNULLI, I DLQ WYWODA RASPREDELENIQ X m ESTESTWENNO WOSPOLXZOWATXSQ TEHNIKOJ STOHASTI^ESKIH PREDSTAWLENIJ NABL@DAEMOGO SLU^AJNOGO \LEMENTA W WIDE SUMMY INDIKATOROW, TO ESTX POSTUPITX PO
ANALOGII S PRIMEROM 8.2. sWQVEM S KAVDYM i-YM ISPYTANIEM SLU^AJNYJ WEKTOR Yi = X i; : : : ; Xmi; KAVDAQ KOMPONENTA Xji KOTOROGO
PRINIMAET ZNA^ENIE 1, ESLI W i-OM ISPYTANII PROIZO[LO SOBYTIE Aj ;
I Xji = 0 W PROTIWNOM SLU^AE. tAKIM OBRAZOM, WSE KOMPONENTY Yi RAWNY NUL@ ZA ISKL@^ENIEM ODNOJ KOMPONENTY, RAWNOJ EDINICE, I NOMER
\TOJ KOMPONENTY SOWPADAET S NOMEROM ISHODA (SOBYTIQ Aj ), KOTORYM
ZAWER[ILOSX i-OE ISPYTANIE, i = 1; : : :; n; j = 1; : : :; m: pOSTULIRUETSQ, ^TO SLU^AJNYE WEKTORY Y ; : : : ; Yn NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI
(SLEDSTWIE NEZAWISIMOSTI PROWEDENIQ ISPYTANIJ).
pRI TAKOM SOGLA[ENII KAVDAQ KOMPONENTA Xj NABL@DAEMOGO WEKTORA X m IMEET STOHASTI^ESKOE PREDSTAWLENIE
(
)
1
1
(
)
Xj =
n
X
i=1
Xji;
(1)
W KOTOROM Xj ; : : :; Xjn NEZAWISIMY I ODINAKOWO B(1, p ) RASPREDELENY:
PRINIMA@T ZNA^ENIE 1 S WEROQTNOSTX@ pj I ZNA^ENIE 0 S WEROQTNOSTX@ 1 ; pj ; j = 1; : : :; m: iZ PREDSTAWLENIQ (1) SLEDUET, ^TO WEROQTNOSTX L@BOGO SOBYTIQ W n MULXTINOMIALXNYH ISPYTANIQH (ZNA^ENIJ, KOTORYE PRINIMA@T WEKTORY Y ; : : :; Yn) OPREDELQETSQ TOLXKO OT
KOLI^ESTWAMI x ; : : :; xm ISPYTANIJ, KOTORYE ZAWER[ILISX SOOTWETSTWU@]IMI ISHODAMIP A ; : : :; Am: lEGKO WIDETX, ^TO \TA WEROQTNOSTX
RAWNA px pxmm ; GDE m xj = n: tEPERX DLQ TOGO, ^TOBY WYWESTI FUNKCI@ PLOTNOSTI f (x ; : : :; xm) = P (X = x ; : : : ; Xm = xm); DOSTATO^NO
RE[ITX KOMBINATORNU@ ZADA^U, KOTORU@ MY UMEEM RE[ATX W SLU^AE
m = 2 : SKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO
POLU^ITX x ISHODOW A ; x ISHOP
m
DOW A ; : : : xm ISHODOW Am W n = xi ISPYTANIQH? rE[ENIE ZADA^I
1
j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
4
1
2
DA@T MULXTINOMIALXNYE KO\FFICIENTY
Cnx :::xm = x ! n ! x !
m
1
1
(SRAWNITE S BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI Cnx). iTAK, FUNKCIQ
PLOTNOSTI MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ M(m, n p) PO m-KRAT-
NOMU PROIZWEDENI@ S^ITA@]IH MER RAWNA
f (x ; : : : ; xm) = x ! n ! x ! px pxmm ;
m
P
W OBLASTI m xj = n I f (x ; : : : ; xm) = 0 W SLU^AE CELYH x ; : : :; xm ; NE
UDOWLETWORQ@]IH POSLEDNEMU RAWENSTWU, A TAKVE W SLU^AE DROBNYH
xj ; j = 1; : : :; m:
wY^ISLIM MOMENTNYE HARAKTERISTIKI MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, ISPOLXZUQ STOHASTI^ESKOE PREDSTAWLENIE (1). wEKTOR
1
1
Xj =
E
n
X
i=1
1
1
1
SREDNIH
1
1
Xji = n(1:pj + 0 (1 ; pj )) = npj ; j = 1; : : :; m;
E
WEKTOR DISPERSIJ
0n
12
n
X
X
X
2
2
@
A
j = E Xji ; (EXj ) = EXji2 + EXjiEXjk ; n2p2j =
i=1
i6=k
i=1
npj + n(n ; 1)pj ; n pj = npj (1 ; pj ); j = 1; : : :; m:
wY^ISLIM KOWARIACII Xj S Xl PRI j 6= l :
2
jl =
n
X
i=1
E
2 2
(Xji Xli) +
X
i6=k
E
Xji EXlk ; EXj EXl :
pOSKOLXKU PRI i-OM ISPYTANII TOLXKO ODNA IZ KOMPONENT X i; : : :; Xmi
RAWNA EDINICE, A OSTALXNYE RAWNY NUL@, TO Xji Xli 0; PERWAQ SUMMA
W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA RAWNA NUL@ I jl = n(n ; 1)pj pl ;
n pj pl = ;npj pl : kO\FFICIENTY KORRELQCII
1
2
v
u
np
pj pl
u
j pl
t
jl = ;
=
;
(1 ; pj )(1 ; pl ) ; j 6= l:
n (pj (1 ; pj )pl (1 ; pl )) =
1 2
oTRICATELXNYE ZNA^ENIQ KO\FFICIENTOW KORRELQCIIPESTX SLEDSTWIE
SWQZEJ MEVDU KOMPONENTAMI NABL@DAEMOGO WEKTORA: m Xj = n:
1
5
lEKCIQ
19
mNOGOMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE Nm(; ) mY
.
TRAKTOWALI MULXTINOMIALXNU@ SHEMU ISPYTANIJ KAK MNOGOMERNYJ
ANALOG SHEMY NEZAWISIMYH ISPYTANIJ bERNULLI. w TAKOM SLU^AE ESTESTWENNO RASSMOTRETX MNOGOMERNYJ ANALOG PREDELXNOJ TEOREMY mUAWRA{lAPLASA. pRIMENQQ FORMULU sTIRLINGA K MULXTINOMIALXNYM
KO\FFICIENTAM, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO IMEET MESTO
tEOREMA
iNTEGRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA DLQ MULX
TINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ dLQ L@BYH POSTOQNNYH
(a ; b );
m
9.1. (
-
).
1
1
: : : ; (am; bm) I (m + 1) MERNOGO SLU^AJNOGO WEKTORA X
= (X ; : : :;
Xm; Xm ) M(m + 1; n; p) SPRAWEDLIWO ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAW
(
-
LENIE
+1)
-
+1
0
@a1 qX1 ; np1
lim
P
n!1
1
< b ; : : :; am qXm ; npm < bmA =
np (1 ; p
npm (1 ; pm
1
1q
1
1
Zb1
Zbm
( 1
)
exp ; x0P;1 x dx1 dxm ;
:::
2
(2)m= jPj a1 am
GDE x0 = (x ; : : :xm ); x {ANALOGI^NYJ WEKTOR STOLBEC;
KORRELQCIONNAQ MATRICA, W KOTOROJ ii = 1 I
v
u
pipj
t
ij = ;u
(1 ; pi)(1 ; pj ) ;
2
1
ESLI
1
i 6= j; i; j = 1; : : :; m;
;1
P
{
MATRICA, OBRATNAQ K
(2)
= kij k
P
{
; NAKONEC
P
,
jPj OPREDELITELX MATRICY P:
iNTEGRAL (2) OPREDELQET NEPRERYWNOE RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ NA PRQMOUGOLXNIKAH (SLEDOWATELXNO, I NA BORELEWSKOM POLE) PROSTRANSTWA Rm, PRI^EM FUNKCIQ PLOTNOSTI \TOGO RASPREDELENIQ
{
fm
(x0 j P) =
1q
(2)m= jPj
2
( 1
)
0
;
1
exp ; x P x ;
2
0 2 Rm :
x
eSLI TEPERX WMESTO KORRELQCIONNOJ MATRICY P MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ RASSMOTRETX PROIZWOLXNU@, POLOVITELXNO OPREDELENNU@ KORRELQCIONNU@ MATRICU P = kij k; ii = 1; i = 1; : : :; m;
TO fm (x0 j P) BUDET FUNKCIEJ PLOTNOSTI SLU^AJNOGO WEKTORA X m =
(
6
)
(X ; : : :; Xm); IME@]EGO STANDARTNOE m-MERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE Nm (0; P). dALEE, ESLI WWESTI WEKTOR SREDNIH = ( ; : : : ; m )
I WEKTOR DISPERSIJ = ( ; : : :; m ); TO SLU^AJNYJ WEKTOR X +
; : : :; mXm + m BUDET IMETX MNOGOMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE Nm (; ) S FUNKCIEJ PLOTNOSTI
)
( 1
1
0
0
;
q
'm (x j ; ) =
exp ; 2 (x ; ) (x ; ) =
(2)m= j j
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
8
9
< 1 X Pij (xi ; i )(xj ; j ) =
q
exp ;
;;
ij
(2)m=2 1 m j P j : 2 i;j j P j
1
0 2 Rm ;
x
GDE KOWARIACIONNAQ MATRICA = m P; A Pij =jPj { \LEMENTY
MATRICY P; ; OBRATNOJ K P:
nETRUDNO WIDETX, ^TO ESLI KO\FFICIENTY KORRELQCII ij = 0; KOGDA i =
6 j; TO ESTX P ESTX EDINI^NAQ MATRICA, A W MATRICE KOWARIACIJ OTLI^NY OT NULQ TOLXKO DIAGONALXNYE \LEMENTY ; : : :; m;
TO NORMALXNAQ FUNKCIQ PLOTNOSTI RASPADAETSQ W PROIZWEDENIE MARGINALXNYH NORMALXNYH N (i; i ); i = 1; : : :; m FUNKCIJ PLOTNOSTI.
tAKIM OBRAZOM, SPRAWEDLIWO
1
1
2
1
2
1
pREDLOVENIE
2
w SLU^AE NORMALXNOGO RASPREDELENIQ SLU^AJNOGO WEKTORA NEKORRELIROWANNOSTX EGO KOMPONENT WLE^ET IH NEZAWISIMOSTX.
9.2.
sLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA TREBOWANIE POLOVITELXNOJ
OPREDELENNOSTI KORRELQCIONNOJ MATRICY P ILI, ^TO TO VE, KOWARIACIONNOJ MATRICY : eSLI \TI MATRICY POLOVITELXNO POLUOPREDELENY, TO ESTX IME@T RANG r < m; TO MY POLU^IM NESOBSTWENNOE mMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE, WSQ WEROQTNOSTNAQ MASSA KOTOROGO
BUDET SOSREDOTO^ENA NA GIPERPLOSKOSTI Rr ; A MEVDU KOMPONENTAMI
SLU^AJNOGO WEKTORA X m BUDET SU]ESTWOWATX LINEJNAQ ZAWISIMOSTX.
uKAZANNYE SWOJSTWA MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ
NAIBOLEE NAGLQDNO PROSLEVIWA@TSQ W SLU^AE m = 2 { NORMALXNOGO
RASPREDELENIQ NA PLOSKOSTI R : fUNKCIQ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ
SLU^AJNOGO WEKTORA (X; Y ) N (; ) PRI = XY =
6 1 RAWNA
(
)
2
2
7
' (x; y j ; ) = 2 1p1 ; 2
2
8
0
19
2
2 =
<
1
(
x
;
2
(
x
;
(
y
;
1)
1 )(y ; 2 )
2)
exp :; 2(1 ; 2) @ 2 ;
+ 2 A; :
1 2
1
2
1
2
kAK OTME^ALOSX WY[E, = EX; = EY ESTX WEKTOR SREDNIH
ZNA^ENIJ; = DX; = DY { DISPERSII SOOTWETSTWU@]IH SLU^AJNYH WELI^IN; = cov(X; Y )= ; { KO\FFICIENT KORRELQCII MEVDU
X I Y: w TOM, ^TO \TO DEJSTWITELXNO TAK, MOVNO UBEDITXSQ I NEPOSREDSTWENNYM WY^ISLENIEM INTEGRALOW, OPREDELQ@]IH SOOTWETSTWU@]IE MOMENTNYE HARAKTERISTIKI. mARGINALXNYE FUNKCII PLOTNOSTI f X (x) I f Y (y) NAHODQTSQ TAKVE NEPOSREDSTWENNYM INTEGRIROWANIEM SOWMESTNOJ FUNKCII PLOTNOSTI ' (x; y j ; ) PO SOOTWETSTWU@]IM
PEREMENNYM y I x :
8
9
8
9
<
=
<
=
1
(
x
;
)
1
(
y
;
)
f X (x) = p
exp ;
; f Y (y) = p
exp ;
;
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
:
:
2
2 ;
2
2 ;
TO ESTX X N( ; ); Y N( ; ): oSOBO OTMETIM, ^TO SU]ESTWU2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
@T MNOGOMERNYE RASPREDELENIQ, OTLI^NYE OT NORMALXNOGO, NO IME@]IE NORMALXNYE MARGINALXNYE RASPREDELENIQ.
pODOBNYE \LLIPSY
0
1
1 @ (x ; ) ; 2(x ; )(y ; ) + (y ; ) A = c
2(1 ; )
IGRA@T ROLX KRIWYH RAWNYH WEROQTNOSTEJ: NETRUDNO WY^ISLITX, ^TO
WEROQTNOSTX POPADANIQ (X; Y ) W OBLASTX, OGRANI^ENNU@ \TIM \LLIPSOM, RAWNA 1 ; expf;c g:
fORMA \LLIPSA RAWNYH WEROQTNOSTEJ DAET HORO[EE PREDSTAWLENIE
O WIDE POWERHNOSTI z = ' (x; y j ; ) NORMALXNOJ PLOTNOSTI. pRI
= 0; = \LLIPSY PREWRA]A@TSQ W OKRUVNOSTI. kOGDA PRIBLIVAETSQ K +1 ILI {1, \LLIPSY STANOWQTSQ BOLEE TONKIMI I WYTQNUTYMI, ^TO QWLQETSQ POKAZATELEM STREMLENIQ WEROQTNOSTNOJ MASSY
SOSREDOTA^IWATXSQ OKOLO OB]EJ BOLX[OJ OSI \TIH \LLIPSOW.
oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET \LLIPS S c = 2; KOTORYJ NAZYWAETSQ
\LLIPSOM RASSEQNIQ. oN OBLADAET DOSTATO^NO WYSOKOJ WEROQTNOSTX@
1 ; e; 0:98 POPADANIQ SLU^AJNOJ TO^KI (X; Y ) WNUTRX \LLIPSA
I E]E ODNIM ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM: RAWNOMERNOE RASPREDELENIE
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
4
8
2
2
2
2
2
2
2
PO OBLASTI, OGRANI^ENNOJ \LLIPSOM RASSEQNIQ, IMEET TE VE MOMENTY
PERWOGO ( ; ) I WTOROGO ( ; ; ) PORQDKOW, ^TO I NORMALXNOE
RASPREDELENIE.
w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO DWUMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE
IGRAET WAVNU@ ROLX W TEORII STRELXB: RASPREDELENIE KOORDINAT TO^EK POPADANIQ PRI STRELXBE IZ ZAKREPLENNOGO STWOLA HORO[O SOGLASUETSQ S NORMALXNYM ZAKONOM.
1
2
2
1
2
2
1
9
2