отборочная командная
advertisement
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков Отборочная олимпиада, 17 января 2010 г., 5 класс 1. Рома, Сема и Тома получили по квадрату клетчатой бумаги 3×3 клетки и задание: в каждой клетке провести не более одной диагонали так, чтобы разные диагонали не имели общих концов и чтобы уже нельзя было добавить диагональ, сохраняя эти правила. Рома провел 4 диагонали, Сема 5, а Тома − 6 диагоналей. Покажите, как они это сделали. Ответ: см. рис. 2. 12.01.2010 - содержит только три различных цифры. Найдите последнюю в этом столетии дату, которая будет обладать таким же свойством. (Учтите, что XXI начался только 1 января 2001 года). Ответ: 22.12.2100. Решение: очевидно, что 2100 – последний год столетия, 12 – последний месяц, а значит, можно использовать только 0, 1 и 2. Наибольшее число – 22. 3. Был проведен турнир для трех футбольных команд, каждая сыграла по одному разу с каждой из остальных двух команд. За победу команда получала 2 очка, за ничью 1, за поражение 0 очков. Результаты турнира записали в таблицу, но некоторые записи стерлись. Команда Зенит Зенит Вымпел 2 Ракета 0 Вымпел Ракета Очки Голы 0 2 2 3:1 1 3 I 1 III 1 II Известно, что одна игра закончилась со счетом 0 : 0. Восстановите таблицу. Найдите все варианты и докажите, что других нет. Ответ: см. таблица. Решение. Всего было сыграно 3 матча, поэтому в сумме распределено 6 очков. На две оставшиеся команды осталось 4 очка, поэтому у Вымпела будет больше 2, а у Ракеты – меньше 2. Если у Ракеты 0 очков, она проиграла оба мата, поэтому Зенит выиграл у Ракеты и проиграл Вымпелу. Но тогда ничьих не будет. Противоречие. Поэтому у Ракеты 1 очко. Если Зенит набрал свои 2 очка в результате двух ничьих, то счет по забитым и пропущенным мячам у него был бы равны, поэтому у Зенита одна победа и одно поражение. Следовательно, Ракета набрала одно очко в результате ничьей с Вымпелом, тогда Вымпел выиграл у зенита, а Зенит – у Ракеты. 4. По кругу стоят 12 фонарей (первый, второй и т.д.). Расстояние между соседними один шаг. Вначале все фонари потушены. Садовник их включает: вначале первый, второй, третий, затем пятый: если два последних включенных имели номера a и b, то за ними он включает номер (a+b). При этом, например, №14 − это №2. На каком шаге садовник включит все фонари? Ответ: ни на каком. Решение. Продолжим последовательность, при необходимости вычитая 12 (столько, сколько фонарей в кругу). 1, 2, 3, 5, 8, 1, 9, 10, 7, 5, 12, 5, 5, 10, 3, 1, 4, 5, 9, 2, 11, 1, 12, 1, 1, 2, 3, …. Заметим, что с этого места последовательность повторила три первые числа, а так как она однозначно определяется только двумя первыми, то дальше все зациклится. Заметим также, что садовник так и не включил 6 фонарь. 5. Квадрат 5×5 покрывают полосками 1×2 так, что каждая клетка полоски покрывает клетку квадрата. Можно ли положить несколько полосок так, чтобы каждая клетка квадрата была накрыта ровно 5 раз? Ответ: нет. Решение. Если покрыть каждую клетку квадрата 5×5 ровно 5 раз, т всего потребуется ровно 25×5=125 квадратиков, а каждая полоска дает два квадратика, поэтому в суме они дают только четное число квадратиков. 6. Истекшая часть суток равна ровно четверти от той части суток, которая пройдет через 8 часов. Который сейчас час? Ответ: 2 часа 40 минут. Решение. Если прошло несколько часов, то пройдет еще в четыре раза больше, а прибавится всего 8 часов. Отсюда вывод, что три истекшие части равны 8 часам, и получаем, что прошло 2 часа 40 минут. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска 7. Грани игральных кубиков занумерованы числами 1, 2, ..., 6 правильно — сумма чисел, записанных на противоположных гранях, равна 7. Строится высотное здание: ставится один кубик на другой так, что сумма соприкасающихся граней равна 8. Какое максимальное число этажей будет в здании? Ответ: 1. Решение. Поставим внизу 1. Тогда вверху стоит 6, с ним касается 2, вверху второго этажа – 5, с ним соприкасается 3, вверху третьего этажа стоит 4 и так далее до шестого этажа, у которого вверху 1. Выше ничего не поставишь. Заметим, что если внизу стоит не 1, то, так как все здание строится однозначно, то мы просто получим ту его часть, которая начинается с данного кубика, и этажей будет меньше. 8. Деталь из конструктора «Юный электрик» выглядит как квадрат из 9 клеток. В 8 клетках − отверстия с электрическими контактами (как в розетке). Внутри детали каждый контакт соединен проводком ровно с одним контактом из соседней (по стороне) клетки, всего 4 проводка. Прибор ТЕСТЕР позволяет определить, идет ли ток между двумя контактами. Можно ли за два включения ТЕСТЕРА узнать, как соединены контакты внутри детали? Ответ: да, можно. Решение. Проверим сначала, с кем соединена верхняя левая клетка (например, соединена она по горизонтали или нет). Если мы получим вариант, как на первом рисунке, то дальше восстанавливается, что верхняя правая клетка имеет вертикальный провод. Тестируем контакт, обозначенный штриховкой и получаем однозначное расположение контактов. Если же между левой и средней верхними клетками контакта нет, то ситуация симметричная первой. Делаем вывод о том, что две нижние связаны проводом, затем тестируем оставшиеся верхние клетки. 9. Какой цифрой оканчивается произведение всех чисел от 1 до 100, которые не делятся ни на 2, ни на 5? Ответ объясните. Ответ: 1. Решение: Рассмотрим каждый десяток отдельно. Там произведение оканчивается на 1×3×7×9=….9, следовательно, произведение в каждой двадцатке оканчивается на 9×9=…1, а 100 нацело разбивается на двадцатки. 10. Разрежьте фигуру на две равные части (части считаются равными, если совпадают при наложении). Ответ: см. рис. 11. Каждое из двух различных натуральных чисел умножили на каждую его ненулевую цифру. Могли ли получиться равные результаты? Ответ: да, например, 24 и 32. Проверка: 24×2×4=24×8=3×26=32×3×2=25×3×2 12. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят. Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело двенадцать жителей Пустоземья. Объясните своё решение. Ответ: за столом сидят 6 эльфов и 6 гоблинов. Решение. Допустим, что первый (который говорит про хоббита) говорит правду. Тогда второй лжет, и это хоббит. Тогда третий говорит правду, значит, третий – хоббит или эльф. Но тогда четвертый лжет, пятый говорит правду и так далее по кругу. Двенадцатый обязательно лжет, первый обязательно снова говорит правду, а второй – снова лжет. Но тогда второй не может быть хоббитом, так как хоббиты правду и ложь строго чередуют. Поэтому первое высказывание неверно, тогда второй, обвиняя правого соседа во лжи, прав, при этом он не хоббит, а следовательно, эльф. Далее по кругу все четные будут говорить правду, а все нечетные – лгать, причем это будет продолжаться больше двух кругов. Следовательно, все, кто лжет – гоблины, а кто говорит правду – эльфы. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский ский командный турнир математиков Отборочная олимпиада, 17 января 2010 г., 6 класс 1. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых встречается сочетание цифр 2010 (в том же порядке друг за другом без пропусков)? Ответ: 280 способов. Решение. Если эти цифры идут вначале, то в конце остается два места, которые можно заполнить 10×10=100 способами. Если же цифры идут в середине шестизначного числа или в конко це, то способов 9×10=90, так как ноль нельзя ставить в начале числа. Итого способов 100+90+90=280. 100+90+9 2. Каждая грань кубика размером 22×2×2 разбилась на четыре квадратика.. В каждый такой квадратик вписали либо число 20, либо число 10. Докажите, что найдется две грани большого куба, суммы чисел на каждой из которых равны. Решение. На каждой грани сумма может принимать значения от 4·10 = 40 до 4·20 = 80, естественно, не все, а только кратные 10. Итого 5 различных значений (40, 50, 60, 70, 80), а граней 6, поэтому хотя бы на двух гранях сумма повториться. 3. Несколько команд сыграли полный круговой турнир по волейболу (при этом кажка дая команда сыграла с каждой ровно один раз). За победу дается 2 очка, за поражение – 0, а ничьих в волейболе не бывает. Четверть участвующих команд набрала в сумме 2 балла. Сколько команд участвоучаств вало в турнире? Найдите все ответы ы и докажите, что других нет. Ответ: 4 ли 8. Решение. Количество команд делится на 4. Допустим, что команд не меньше 12, тогда четверть от этого числа – это минимум 3. Рассмотрим для этой тройки их внутренние матчи между собой. Этих матчей атчей было минимум три, и в них разыгрывалось минимум 6 очков, поэтому условие задачи не выполняется. Если же команд было 8, то пусть две команды проиграют всем остальным, при этом одна выиграет у другой, и они в сумме наберут 2 очка. Если команд 4, то для выполнения условий задачи досдо таточно иметь команду с одной победой, а это, очевидно, возможно. 4. Какое наименьшее положительное значение может принять разность двух правильных обыкновенных дробей, если знаменатель одной — 8, а другой — 13? Ответ: 1/104. Решение. Знаменатель не может быть больше, чем произведение знаменателей, а числичисл тель – меньше 1. Строим пример 5/8 — 8/13 = 1/104. 5. Четыре брата собрались на дискотеку. Когда они выходили из дома дома, каждый ошибся и случайно взял не свои шляпу и куртку, а двух своих братьев. Михаил взял куртку того, чью шляпу взял Филипп. В то вревр мя как куртку Филиппа взял тот, кто взял шляпу Михаила. Семён взял шляпу ляпу Дмитрия. Чьи куртки и шляшл пы взяли братья? Ответ: Решение. Филипп взял шляпу Семена или Дмитрия, но шляпу Дмитрия взял Семен, поэтому Филиппу досталась Михаил Филиппа Семен шляпа Семена, а куртка досталась Михаилу. Шляпу МиМ Семен Дмитрий Михаил хаила могли взять только Дмитрий и Филипп, но ее взял Филипп Семен Дмитрий тот же, кому досталась куртка ФиФ липпа, поэтому это был Дмитрий. Дмитрий Михаил Филипп. Методом исключений получаем, что Михаилу досталась шляпа Филиппа, Филиппу – куртка Дмитрия, Семену – куртка Михаила Имя Чья шляпа Чья куртка 6. Разрежьте фигуру на рисунке на четыре равные части. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Ответ: см. рис. 7. Часы в моей машине не показывают секунд. Во время поездки около десятого километрового столба часы показывали 20 часов, а около двадцатого километрового столба – 20 часов 10 минут. Машина ехала все время с одинаковой скоростью. Найдите наибольшую возможную скорость машины. Ответ: = 66 км/ч. Решение. Расстояние равно 10 км, а время – от 9 до 11 минут. Так как при наибольшей скорости время принимает наименьшее значение, то наибольшая ଶ скорость = 10 км/0,15 часа = 66 км/ч. ଷ 8. В кубе со стороной 3 метра проделали грани три сквозных квадратных отверстия через центр каждой грани параллельно ребрам куба. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 20 м3. Решение. Объем куба составляет 27 м3. Каждое отверстие составляет 3 м3, но при этом центральный кубик мы посчитали трижды, поэтому ответ 27 — 3·3+2 = 20 м3. 9. 15.01.2010 - дата, в которой номер года делится (без остатка) и на месяц, и на текущее число месяца. Сколько всего дат в 2010 году обладают таким же свойством? Ответ: 42. Решение. Разложим число 2010 на простые множители. 2010 = 2·5·3·67. 67 – простое число, а таких месяцев и дат нет. Следовательно, в качестве месяца могут быть 01, 02, 03, 05, 06, 10 – 6 вариантов. В качестве дат могут быть те же числа и еще 15 – итого 7 вариантов. Всего таких дат 6·7 = 42. 10. Что больше: сумма всех десятизначных чисел, кратных 11, или сумма всех одиннадцатизначных чисел, кратных 10? Ответ: сумма одиннадцатизначных чисел больше. Решение. Заметим, что числа, кратные 10, встречаются через 10, а кратные 11 – через 11. Поэтому даже если считать только десятизначные числа, то чисел, кратных 10, больше, тем более больше одиннадцатизначных. При этом каждое одиннадцатизначное число больше, чем десятизначное. 11. На листе бумаги имеется тринадцать строчек текста, пронумерованных по порядку. В каждой строчке написано: "Ложными являются лишь столько утверждений, содержащихся на этом листе, каков номер данной строчки". Сколько истинных утверждений было на самом деле? Ответ: одно. Решение. Так как все строчки говорят о несовместных вариантах (то есть не могут выполняться одновременно), то истинными могут быть не более одного утверждения. Если истинно одно, то ложных 12, поэтому истинна двенадцатая строчка. Если истинных нет, то ложно 13 утверждений, тогда 13-я строчка должна быть истиной. Противоречие. 12. На доске написали числа 1, 2, 3, …, 2010. Одно число изменили на 1, потом одно из написанных изменили на 2, затем — на 3, и так далее до изменения на 2010. Можно ли таким образом получить другие 2010 подряд идущих натуральных чисел? Ответ: нет. Решение. Заметим, что среди подряд идущих 2010 натуральных чисел ровно 1005 нечетных, поэтому сумма всех 2010 чисел будет нечетна. При этом сумма изменилась на 1005 четных чисел и на 1005 нечетных, поэтому она стала четной. Но сумма любых 1005 чисел должна быть нечетной, поэтому такое невозможно. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков Отборочная олимпиада, 17 января 2010 г., 7 класс 1. Можно ли подставить в равенство вместо букв цифры так, чтобы оно стало верным: К ×О ×Т + П × Ё ×С = М × И × Р (разным буквам соответствуют разные цифры)? Ответ: да, можно. Решение. 0×5×7+9×8×1 = 6×3×4 2. К числам от 1 до 2010 применили следующую операцию: все нечетные умножили на 2, а все четные разделили на 2. Сколько пар одинаковых чисел при этом образовалось? Ответ: 251. Решение. Все нечетные числа стали четными, но не кратными 4, при этом они идут через четыре числа от 2 до 4018. Четные же идут подряд от 1 до 1005. Таким образом, совпадают числа 2, 6, …1002, то есть 251 число. 3. Расставьте на обычной шахматной доске тpи феpзя и две ладьи так, чтобы все остальные поля доски оказались под боем. Ответ: см. пример. 4. Дано верное равенство 2010 = 2010+2007+2004+2001+...+x. Сколько слагаемых в правой части этого равенства? Ответ: 1340. Решение. В равенстве встречаются числа, кратные 3, поэтому встретится ноль, а потом пойдут отрицательные числа, и их будет столько же, сколько положительных от 3 до 2007, то есть 669. Ответ получаем, умножая 669 на 2 и прибавляя 2 (это числа 0 и 2010) 5. В таблице 20×20 расставлены числа 1, 2, ..., 400 в порядке возрастания по строкам сверху вниз. Вася покрыл таблицу 200 горизонтальными доминошками, для каждой доминошки перемножил два покрытых ей числа и полученные произведения сложил. Петя покрыл таблицу 200 вертикальными доминошками и сделал тоже самое. У кого сумма оказалась больше и на сколько? Ответ: васина сумма больше на 39 900. Решение. Разобьем таблицу на квадраты 2×2. Пусть в верхнем левом углу стоит число x, тогда, в нижнем левом стоит x+20. Для горизонтальных доминошек мы получим сумму x(x+1) + (x+20)(x+21) = 2x2+42x+420. Для вертикальных доминошек мы получим сумму x(x+20)+(x+1)(x+21) = 2x2+42x+21, поэтому сумма для горизонтальных на 399 больше. Всего квадратов 100, поэтому сумма Васи будет больше на 39 900 6. Ваня решил нумеровать дни по-своему, и теперь после четвертого числа у него всегда идет первое: 1, 2, 3, 4, 1, 2, … Однажды с календарем у него совпало третье число, а ровно через месяц — снова совпало. В какой день оно совпадет снова? Ответ: 3 июня. Решение. Так как между третьими числами у Вани проходит количество чисел, кратное 4, то единственный месяц, длина которого кратка 4 – это февраль. Следовательно, последнее совпадение пришлось на 31 марта. Теперь надо суммой дней в месяцах набрать число, кратное 4. Это случится 31+30+31=92 дня спустя, или 3 месяца, то есть 3 июня. 7. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) с углом при основании 75° взяли точку D так, что треугольник АDС – равносторонний. Докажите, что СD = BD. Решение. Заметим, что ∠ BAD = ∠BCD = 75°—60° = 15°, кроме того, AB = BC, AD= DC, поэтому треугольники ADB и CDB равны по первому признаку. При этом ∠ABD = ∠CBD, а в сумме эти два угла составляют 180°—75°—75°, и поэтому каждый из них равен 15°. Отсюда получаем, что ∠BCD =∠CBD, треугольник CBD равнобедренный. 8. Камни, сложенные в две кучи, собрали и разложили в три кучи. Докажите, что хотя бы один камень оказался в меньшей куче, чем та, в которой они лежал раньше. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Решение. Пусть все новые кучи меньше, чем хотя бы одна из старых. Тогда условию удовлетворяют все камни, которые лежали в большей из первоначальных кучек. Пусть теперь одна из новых куч больше или равна, чем каждая из первоначальных. Тогда две оставшиеся новые кучи в сумме будут давать меньше, чем любая из первоначальных, и все камни, попавшие в эти две новые кучи, удовлетворяют условию. 9. На листе бумаги имеется четырнадцать строчек текста, пронумерованных по порядку. В каждой строчке написано: "Ложными являются по крайней мере столько утверждений, содержащихся на этом листе, каков номер данной строчки". Сколько истинных утверждений было на самом деле? Ответ: 7. Решение. 14-я строчка верна быть не может, так как она утверждает, что ложными являются все утверждения, а на самом деле сама она истинна. Поэтому хотя бы одно ложное есть, но тогда первая строчка верна. Если верна 13-я строчка, то верных уже минимум 2 (она сама и первая), то есть ложных не более 12, что противоречит самой 13-й строке. Поэтому она неверна. Тогда верных минимум 2, и вторая строчка говорит истину. Аналогичными рассуждениями получаем, что 7-я строчка верна, а восьмая – нет. 10. Города А, В и С связаны авиарейсами. Известно, что общее число способов добраться из пункта А в пункт С (включая маршруты с пересадкой в В) равно 11, а общее число способов добраться из пункта А в пункт В (включая маршруты с пересадкой) равно 13. Сколько существует беспосадочных рейсов между городами? Ответ: 10 или 24. Решение: Пусть из А в В идет k рейсов, из B в С – n, из А в С – m. Тогда из А в С можно добраться kn+m = 11 способами, а из А в В – nm+k = 13. Вычитая из второго равенства первое и разложив на множители, получим, что (m—k)·(n—1) = 2, откуда либо n—1=2, n=3, либо n—1=1, n=2, либо n—1=—1, n=0. В первом случае m—k = 1, 3m+k = 13, 4m = 14, что невозможно. Во втором случае m—k = 2, 2m+k = 13, 3m = 15, m=5, k=3, всего рейсов 2+5+3 = 10. В третьем случае m—k = —2, k = 13, m = 11, общее число рейсов – 24. 11. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина. Решение. Пусть у раскулачиваемого было 64+n овец, причем это число делилось на 2k, но не делилось на 2k+1.. Заметим, что данное число меньше 128, поэтому 2k≤64. Поэтому число n тоже делится на 2k, но не делится на 2k+1. У остальных крестьян было 64—n овец, и это число удвоилось. Тогда у раскулачиваемого осталось (64+n)—(64—n) = 2n овец. Тогда число его овец делится уже на 2k+1, но не делится на 2k+2. Кроме того, у каждого из остальных число овец просто удваивается, поэтому делится на большую степень 2. Получается, что с каждым раскулачиванием число овец у каждого из крестьян делится все на большую степень 2. За семь раскулачиваний число овец у каждого должно делится на 27=128, но это возможно только тогда, когда все овцы у одного, а у остальных – по 0 овец. 12. Пара натуральных чисел а и b (каждое из них больше 1) называется хорошей, если a2b+1 делится нацело на a2+b. Учитель задал семиклассникам Иванову и Петрову придумать по хорошей паре чисел: у Иванова а должно быть больше b, а у Петрова b больше а. Кому из учеников удастся выполнить задание? Ответ: Петрову. Решение. Число b(a2+b ) делится a2+b, поэтому b(a2+b )— a2b+1 = b2—1 тоже делится на число a2+b, и b2—1≥ a2+b≥ a2+1> a2, откуда b>a. Подберем пару b>a. Пусть a=2, тогда 4b+1 делится на b+4, значит, 4b+16—4b—1=15 тоже делится на b+4. Пусть b+4=15, b=11, проверяем, что данная пара подходит.
