Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Новгородский государственный университет
имени Ярослава Мудрого
Институт электронных и информационных систем
Кафедра Высшей математики
Исследование
уравнений поверхностей
второго порядка
Методическое пособие
Авторы
С.Г. Гольдшмидт, С.А. Цапаева
Великий Новгород,
2008
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение. В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек (г.м.т.), объединенных общим
свойством.
Обозначая через x,y,z координаты произвольной точки поверхности
относительно некоторой прямоугольной системы координат, выражаем
посредством уравнения между x,y,z свойство, общее всем точкам данной
поверхности и только им. Таким образом составляем уравнение поверхности. Переменные x,y,z – называются текущими координатами.
Обратно: всякое уравнение, связывающее переменные x,y,z определяет поверхность как геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют данному уравнению.
Пример: составить уравнение сферы с центром в точке M 0 (a, b, c ) и
радиусом R.
Сфера – это геометрическое место точек, равноудалённых от одной
данной точки Мо на расстояние R.
Возьмём на поверхности сферы произвольную точку С (x,y,z). Расстояние от точки С до точки М равно R, следовательно, СМ = R .
СМ =
(x − a )2 + ( y − b )2 + (z − c )2 ,
то есть
(x − a )2 + ( y − b )2 + (z − c )2
=R
или ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R 2 .
Полученное уравнение – это уравнение сферы с центром в точке
М 0 (a, b, c ) радиуса R.
Раскроем скобки, получим
(
)
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + a 2 + b 2 + c 2 − R 2 = 0 .
Итак, уравнение сферы – это уравнение второй степени относительно x,y,z. Но не всякому уравнению второй степени соответствует сфера в
пространстве.
Очевидно, что уравнение сферы должно иметь одинаковые коэффициенты при квадратах переменных и не должно содержать произведения
переменных. То есть уравнение имеет вид
x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0 .
Выделив полные квадраты, получим
2
2
2
A 
B 
C
A2 B 2 C 2

x
+
+
y
+
+
z
+
=
+
+
− D.

 
 

2 
2 
2
4
4
4

Это уравнение может быть уравнением сферы только в случае, если
A2 + B 2 + C 2
− D > 0.
4
Итак, уравнение второго порядка, в котором
1) коэффициенты при x2,y2,z2 равны,
2) отсутствуют члены xy, yz, xz ,
A2 + B 2 + C 2
3) свободный член D <
,
4
 A B C
определяет сферу с центром в точке M 0  − ,− ,−  и радиусом
 2 2 2
R=
A2 + B 2 + C 2
−D.
4
Например: Уравнение x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 8 y − 5 = 0 определяет сферу
(x − 2)2 + ( y + 4)2 + z 2
= 25 с центром в точке (2,- 4,0) и радиусом 5.
Определение. Всякую линию в пространстве можно рассматривать
как пересечение двух поверхностей F1 ( x, y, z ) = 0 и F2 ( x, y, z ) = 0 .
Пример: результатом пересечения сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 и плоскости
z=
1
является линия
2
то есть на плоскости z =
3
 2
2
x
y
+
=

4,

1
z=

2
1
3
получится окружность x 2 + y 2 = .
2
4
Поверхности разделяются по их уравнениям на алгебраические и
трансцендентные.
Уравнение алгебраической поверхности может быть приведено к виду F ( x, y, z ) = 0 , где F – целый многочлен относительно x,y,z.
Среди алгебраических поверхностей рассмотрим основные типы цилиндрических, конических поверхностей и поверхности вращения.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверх-
ность, описываемая прямой (называемой образующей), остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию Z (называемую направляющей).
l
L
Рис.1
Пусть направляющая определяется уравнениями
F1 ( X , Y , Z ) = 0
а
и F 2 (X ,Y , Z ) = 0 ,
(1)
m, n, p – координаты направляющего вектора образующей ци-
линдрической поверхности. Канонические уравнения образующей имеют
вид
x− X
y −Y z − Z
=
=
,
m
n
p
(2)
где x, y, z – текущие координаты, X,Y,Z – координаты точки, принадлежащей направляющей.
Исключая X, Y, Z из четырёх уравнений (1) и (2), получим искомое
уравнение цилиндрической поверхности.
Рассмотрим частный случай. Пусть уравнение поверхности не содержит одной из переменных, для определённости z , то есть F ( x, y ) = 0 .
На плоскости Oxy это уравнение определяет некоторую кривую линию L.
В пространстве этому уравнению удовлетворяют все те точки пространства, первые две координаты которых совпадают с координатами линии L , то есть те точки пространства, которые проектируются на плос-
(
)
кость Oxy в точки линии L. Совокупность всех точек M 1 x1 , y1 , z есть
прямая параллельная оси Oz, проходящая через точку M ( x1 , y1 ,0 ) . Следовательно,
совокупность
всех
точек,
удовлетворяющих
уравнению
F ( x, y ) = 0 , есть поверхность, описываемая прямой, параллельной оси Oz
и пересекающих линию L, то есть цилиндрическая поверхность.
z
о
M 1 ( x1 , y1 , z )
y
О
M ( x1 , y1 ,0)
x
Рис.2
Аналогично, F ( x, z ) = 0 – уравнение цилиндрической поверхности,
образующая которой параллельно оси Oy; F ( y , z ) = 0 - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ox.
Перечислим прямые цилиндры с образующей, параллельной оси Oz:
1)
x2 y2
+
= 1 – эллиптический цилиндр с направляющей – эллипa2 b2
сом в плоскости Oxy. Частным случаем эллиптического цилиндра является прямой круговой цилиндр, то есть x 2 + y 2 = a 2 .
z
-a
-b
O
a
x
Рис 3.
y
b
2)
x2 y2
−
= 1 - гиперболический цилиндр с направляющей – гиa2 b2
перболой плоскости Oxy.
z
-a
y
-b
b
a
x
Рис.4
3) y 2 = 2 px - параболический цилиндр с направляющей – парабо-
лой в плоскости Oxy.
z
O
x
Рис.5
y
КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Определение. Конической поверхностью называется поверхность,
описываемая прямой (образующей конуса), проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса).
L
О
Рис.6
Пусть направляющая задана уравнениями
F1 ( X , Y , Z ) = 0 и F2 ( X , Y , Z ) = 0
(1)
вершиной является точка Mo(xo,yo,zo).
Канонические уравнения образующей конуса, проходящей через
точку Мо и точку М(X,Y,Z), лежащую на направляющей, имеют вид:
x − x0
y − y0
z − z0
.
=
=
X − x0 Y − y 0 Z − z 0
(2)
Исключая из (1) и (2) X,Y,Z, получим искомое уравнение конической поверхности.
Пример 1. Составить уравнение конуса с вершиной в начале коорди-
нат и направляющей
X2 Y2
+
= 1, Z = c .
a2 b2
Образующая имеет канонические уравнения
x y z
x−0 y−0 z −0
, то есть
= = .
=
=
X Y Z
X −0 Y −0 Z −0
Исключая X,Y,Z из уравнений
X2 Y2
+
=1
a2 b2
X2 Y2
+
=1
a2 b2
⇒
Z =c
x
y z
= =
X Y Z
X2 Y2
+
= 1, Z = c
a2 b2
⇒
Z =c
x
y z
= =
X Y c
получим уравнение эллиптического конуса:
X =
cx
z
Y=
cy
z
x2
y2 z2
+
−
= 0.
a2 b2 c2
,
(3)
z
y
O
x
Рис.7
Пример 2. Составить уравнение конуса с центром в начале коорди-
нат и направляющей
Z2 Y2
−
= 1, X = a .
c2 b2
Образующей искомого конуса является прямая:
x y z
= = .
X Y Z
Исключая X,Y,Z из уравнений направляющей и образующей, получим уравнение
z2 y2 x2
x2 y2 z2
или
−
−
=0
+
−
= 0.
c2 b2 a2
a2 b2 c2
Обратим внимание, что полученное уравнение совпадает с уравнением (3).
Этот же конус можно получить, взяв в качестве направляющей параболу. Объясняется это сечениями конуса различными плоскостями. Подробнее об этом ниже.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Составить общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения.
Определение. Поверхностью вращения вокруг оси d называется по-
верхность, каждое сечение которой, перпендикулярное оси d, является окружностью с центром, лежащим на этой оси.
Рассмотрим линию L, которая вместе с осью d лежит в плоскости Р.
Будем вращать эту линию вокруг оси, при этом каждая точка линии опишет окружность, а вся линия L опишет поверхность вращения.
Введём систему координат. Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат на оси d, ось Oz направим вдоль оси d, ось Ox
поместим в плоскости P перпендикулярно оси Oz. Допустим, что линия L
имеет в этой системе координат уравнение ϕ ( x, z ) = 0 . Выведем уравнение
поверхности вращения этой линии вокруг оси Oz. Для этого выберем на
поверхности произвольную точку M(x,y,z). Расстояние от неё до оси Oz
равно
x 2 + y 2 . Через точку М проходит окружность, описываемая при
вращении некоторой точки плоскости Р. Обозначим эту точку Мо, а её координаты в системе Oxz (xo,yo) (в системе Oxyz она будет иметь координаты (xo,0,zo)), очевидно что x0 = x 2 + y 2 , z 0 = z .
Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда
на ней лежит точка Мо, а, следовательно, и симметричная с ней относительно оси Oz точка M 0′ (− x0 ,0, z 0 ) . Чтобы точки Мо и М 0′ лежали на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы координаты хотя бы одной из
них удовлетворяли уравнению линии L, то есть чтобы ϕ (± x0 , z 0 ) = 0 . Получим условие для координат точки
)
(
Мϕ ± x 2 + y 2 , z = 0 .
(1)
Это и есть уравнение поверхности вращения линии L вокруг оси Oz.
Случай, когда уравнение (1) не имеет вещественных решений, не исключается. В этом случае говорят о мнимой поверхности.
Эллипсоид
Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг осей симметрии.
Пусть в плоскости Oxz задан эллипс
x2 z2
+
= 1 (здесь через с обоa2 c2
значена малая полуось). Будем вращать его вокруг осей
z
Ox и Oz. В силу формулы (1)
уравнения соответствующих
поверхностей вращения
c
y
b
a
x
Рис.8
x2 + y2 z2
+ 2 = 1,
a2
c
(2)
x2 y2 + z2
+
= 1.
a2
c2
(3)
Поверхности (2) и (3) называются сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения.
Каждую точку M ( x, y, z )
на эллипсоиде вращения (2) сдвинем к
плоскости Oxz так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отноz
шении λ <1. После сдвига точка М совпадёт
с
с точкой М ′ , координаты которой определяются равенствами x′ = x , y ′ = λy , z ′ = z . Таким образом, все точки эллипсоида враще-
-а
у
0
a
ния (2) переходят в точки поверхности с
уравнением
х
-с
x′ 2 y ′ 2 z ′ 2
+
+
= 1 , где b = λa .
a2 b2 c2
(4)
Рис.9
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (4), называется эллипсоидом.
Уравнение
x2 y2 z2
+
+
=1
a2 b2 c2
(5)
называется каноническим уравнением эллипсоида.
Чтобы представить себе форму произвольного эллипсоида,
проще всего изучить его сечениями, параллельными координатным плоскостям.
Рассмотрим сечения эллипсоида (5) плоскостью z = h , параллельной координатной плоскости Oxy. Линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
x2 y2
h2
+
= 1− 2
a2 b2
c
z = h.
Легко заметить, что плоскость z = h при
1) h >c не пересекает эллипсоид (5),
2) h =с имеет с эллипсоидом (5) единственную общую точку ((0,0,с)
при h=c и (0,0,-с) при h=-c),
3) h <c пересекает эллипсоид (5) по эллипсу с полуосями
h2
a = a 1− 2 ;
c
*
h2
b = b 1 − 2 ; a* и b* принимают наибольшие знаc
*
чения a и b при h=0 и монотонно уменьшаются до нуля, когда h возрастает от нуля до с.
z
c
h
y
b
a
x
Рис.10
Аналогично рассматриваются сечения эллипсоида (5) плоскостями,
параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Величины a,b,c называются полуосями эллипсоида.
Из уравнения (5) видно, что начало координат - центр симметрии
для эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметричны.
Конус второго порядка
Рассмотрим на плоскости Oxz пару пересекающихся прямых, заданную уравнением
x2 z 2
−
= 0.
a2 c2
Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси Oz,
имеет уравнение
x2 + y2 z2
− 2 =0
a2
c
и называется прямым круговым конусом. Сжатие к плоскости Oxz приводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением
x2 y2 z2
+
−
=0.
a2 b2 c2
(6)
Поверхность, которая в декартовой системе координат имеет уравнение (6), называется конусом второго порядка.
z
y
O
x
Рис.11
Определение. Конической поверхностью называется поверхность,
описываемая прямой (образующей конуса), проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса).
Очевидно, что направляющей конуса может быть произвольная расположенная на конусе линия, обладающая тем свойством, что любая прямолинейная образующая пересекает её в одной и только одной точке.
Примерами направляющих конуса (6) могут служить его сечения плоско-
стями x=h,y=h,z=h, где h ≠ 0 . Сечение конуса (6) плоскостью z=h, определяется уравнениями
x2 y 2 h2
+
=
a2 b2 c2
z=h .
Очевидно, сечение представляет собой эллипс с полуосями
a* =
ah
c
, b* =
bh
c
, монотонно возрастающими вместе с h от нуля до + ∞ .
Плоскость z=0 пересекает конус в точке O(0,0,0) .
Сечениями конуса плоскостями y=h и x=h являются гиперболы с полуосями
ch
b
,
ah
b
,
ch
a
,
bh
a
, где h ≠ 0 монотонно возрастающими вместе
с h от нуля до + ∞ . Плоскости x=0
и y=0 пересекают конус по парам
прямых.
Плоскими сечениями конуса (6) являются и параболы. Так, например, параболой будет сечение конуса (6) плоскостью вида
z=
c
x + h, где h ≠ 0 .
a
Нетрудно показать, что в этом случае сечением является парабола,
определяемая уравнением
y2 = 2
hb 2 
ha 
x + .
ac 
2c 
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса
(6), а начало координат – его центром симметрии.
Однополостный гиперболоид
Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность, образованная вращением гиперболы
x2 z 2
−
=1
a2 c2
вокруг той оси, которая её не пересекает, то есть вокруг оси Oz. По формуле (1) мы получаем уравнение однополостного гиперболоида вращения
x2 + y2 z2
− 2 = 1.
a2
c
В результате сжатия этой поверхности мы получаем поверхность с
уравнением
x2 y2 z2
+
−
= 1.
a2 b2 c2
(7)
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (7), называется однополостным гиперболоидом. Уравнение (7) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Рассмотрим сечения гиперболоида (7) плоскостями, параллельными
координатной
z
плоскости
Oxy. Сечение определяется
h
b*
уравнениями
x2 y2
h2
+
= 1+ 2
a2 b2
c
a*
z = h.
Отсюда
y
видно,
что
плоскость z = h пересекает
гиперболоид (7) по эллипсу с
полуосями
h2 *
h2
a = a 1 + 2 ;b = b 1 + 2 ;
c
c
*
x
и расположенному симметрично относительно плоскоРис.12
стей Oxz и Oyz.
Величины а* и b* имеют наименьшие значения при h=0 (тогда a*=a ,b*=b)
и бесконечно возрастают при бесконечном возрастании h . Эллипс, образующийся в сечении координатной плоскостью z=0, называется горловым
эллипсом однополостного гиперболоида (7).
Плоскость y = h , параллельная координатной плоскости Oxz при
h < b пересекает гиперболоид (7) по гиперболе с полуосями
h2
h2
*
a = a 1− 2 ; c = c 1− 2 .
b
b
*
Величины а* и с* имеют наибольшие значения при h = 0 (тогда а*=а,
с*=с) и монотонно убывают до нуля при возрастании h .
При h = b она пересекает гиперболоид (7) по паре прямых, имеющих уравнение
x2 z 2
−
= 0.
a2 c2
При h > b сечением является гипербола с полуосями
c* = c
h2
h2
*
;
−
1
a
=
a
−1 ,
b2
b2
возрастающими от нуля до + ∞ , когда h возрастает от b до + ∞ . Мнимые
(действительные) оси гипербол, получающиеся при h > b , параллельны
действительным (мнимым) осям гипербол, получающимся при h < b .
Аналогично рассматриваются сечения гиперболоида (7) плоскостью
x = h , параллельной координатной плоскости Oyz .
Однополостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями, а начало
координат – центр симметрии).
Величины a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.
Самым замечательным свойством гиперболоида (7) является наличие
у него прямолинейных образующих. Через любую точку гиперболоида (7)
проходит ровно две различных прямых, целиком на нём лежащих. Такие
поверхности называются линейчатыми.
Два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (7) могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений
x
a
z
c


y
b
x
a
z
c


y
b
x
a
z
c


y
b
x
a
z
c


y
b
α  +  = β 1 + 
β  −  = α 1 −  ,
α  +  = β 1 − 
β  −  = α 1 +  ,
где α , β - произвольные числа, такие, что α 2 + β 2 ≠ 0 .
Двуполостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения
гиперболы
z 2 x2
−
=1
c2 a2
вокруг той оси, которая её пересекает, то есть оси Oz.
По формуле (1) мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения
z 2 x2 + y2
−
= 1.
a2
c2
В результате сжатия этой поверхности получается поверхность с
x2 y2 z2
+
−
= −1 .
a2 b2 c2
уравнением
(8)
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (8), называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы соответствуют здесь не связанные между собой части – «полости» - поверхности, в то время, как например, при
построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность.
Рассмотрим сечения гиперболоида (8) плоскостями, параллельными
координатным.
Плоскость z=h при h < c не пересекает гиперболоид, при h = с имеет с гиперболоидом единственную точку ((0,0,с) при h = c и (0,0,-с) при
h=-c), при h > c пересекает гиперболоид (8) по эллипсу с полуосями
h2
h2
*
;
a = a 2 −1 b = b 2 −1 ,
b
b
*
монотонно возрастающими (от 0 до + ∞ ), когда h возрастает от с до + ∞ .
Любая плоскость y = h пересекает гиперболоид (8) по гиперболе с
полуосями c * = c 1 +
h2
h2
*
и
, монотонно возрастающими (от 0
a
=
a
1
+
b2
b2
до + ∞ ), когда h возрастает от нуля до + ∞ .
Аналогично рассматриваются сечения двуполостного гиперболоида
плоскостью
x=h. Двуполостный гиперболоид обладает тремя взаимно
перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе координатной системы эти плоскости являются координатными плоскостями, а
начало координат – центром симметрии).
Величины a, b, c называются полуосями двуполосного гиперболоида.
z
b*
h
a*
c
0
y
x
Рис.13
Эллиптический параболоид
При вращении параболы x 2 = 2 pz вокруг её оси симметрии, то есть
оси Oz, мы получим поверхность с уравнением
x 2 + y 2 = 2 pz ,
называемую параболоидом вращения. Сжатие к плоскости у=0 переводит
параболоид вращения в поверхность с уравнением
x2 y2
+
= 2z .
a2 b2
(9)
Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.
Рассмотрим сечения параболоида (9) плоскостями, параллельными
координатным.
Плоскость z=h при h<0 пересекает параболоид, при h=0 имеет с ним
единственную общую точку, при h>0 пересекает параболоид по эллипсу с
полуосями
z
a * = 2 ph , b* = 2qh ,
b*
монотонно возрастающими
вместе с h от нуля до + ∞ .
а*
Плоскости y=h и x=h пересекают параболоид (9) по
параболам с параметрами p
и q, с вершинами в точках
y
0


h2 
h2 
 0, h,  и  h,0,  и с
2q 
2p 


ветвями,
x
направленными
вверх.
Рис.14
Плоскости x=0 и y=0 являются плоскостями симметрии параболоида
(9). При
p ≠ q других плоскостей симметрии у него нет.
Рассмотрим ещё один тип поверхностей второго порядка.
Гиперболический параболоид
Простейшим уравнением гиперболического параболоида является
x2 y 2
−
= 2 z ; (p>0,q>0).
p
q
(10)
Плоскость y=0 пересекает поверхность (10) по параболе
x 2 = 2 pz .
(*)
Плоскость x=0 пересекает поверхность (10) по параболе y 2 = −2 pz .
Рассмотрим сечения параболоида (10) плоскостями, параллельными
координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Сечение гиперболического параболоида (10) плоскостью x=h определятся уравнениями
y 2 = −2qz +
qh 2
p
(**)
x = h.
Очевидно, оно представляет собой параболу с ветвями, направлен
h2 
 . То есть при x=h вершина параными вниз, и вершиной в точке  h,0,
2 p 

болы (**) лежит на параболе (*).
Таким образом, гиперболический параболоид (10) можно рассматривать как поверхность образованную движущейся параболой, ось симметрии которой находится в плоскости Oxz, а вершина скользит по параболе
(**).
z
y
O
x
Рис.15
Сечение поверхности (10) плоскостью z=0 есть две пересекающиеся
прямые
x
y
−
=0 и
p
q
x
y
+
= 0.
p
q
Сечение поверхности (10) плоскостью z=h , определяется уравнениями
x2 y2
−
= 2h
p
q
z = h.
Оно представляет собой гиперболу с полуосями
2hp и
2hq .
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Определение. Линейчатой поверхностью называется поверхность,
образованная движением прямой, которая называется прямолинейной образующей.
Простейшими примерами линейчатых поверхностей являются цилиндры и конусы. Но кроме них среди поверхностей второго порядка линейчатыми являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
Рассмотрим наличие прямолинейных образующих на примере однополостного гиперболоида
x2 y2 z 2
+
−
= 1.
a2 b2 c2
Преобразуем это уравнение к виду
x2 z2
y2
−
= 1− 2
a2 c2
b
y 
y
 x z  x z  
или  −  +  = 1 − 1 +  .
 a c  a c   b  b 
Составим систему первой степени
x z
y

+ = k 1 + 
a c
 b
, k – произвольное
x z 1
y
− = 1 − 
a c k b
При различных значениях k эти уравнения определяют прямую линию. Меняя k, получаем семейство прямых, целиком лежащих на поверхности однополостного гиперболоида.
Существует и другое семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
x z 
y
+ = l 1 − 
a c  b
, l – произвольное.
x z 1
y
− = 1 + 
a c l b
Линейчатые поверхности широко используются в строительстве.
Идея их использования принадлежит известному русскому инженеру, почётному члену АН СССР Шухову Владимиру Григорьевичу (1853-1939).
Шухов осуществил конструкцию мачт, башен и опор из металлических балок, располагая их по образующим однополостного гиперболоида. Лёгкость и прочность конструкций определила их распространение и у нас, и
за рубежом.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
I.
Определить тип поверхности, заданной уравнением
2
Ax + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 найти (если возможно) центр, оси,
плоскости симметрии, вершины, полуоси. Изобразить поверхность.
A
B
C
D
E
F
G
1.
1
2
-
2
-4
-2
2
2.
0
1
2
0
2
-8
0
3.
1
1
0
-2
4
-4
5
4.
2
-1
0
-4
-2
-6
1
5.
9
9
-
-
0
-8
-31
6.
2
1
4
-
-4
4
0
6
7.
9
4
3
0
-
16
0
124
8.
1
2
3
-2
4
6
5
9.
2
1
-
-4
4
-4
2
10.
2
1
2
-
0
0
6
0
11.
1
0
3
1
12
-8
-
53
12.
2
1
0
0
0
2
1
13.
2
1
-
0
0
6
-3
14.
2
2
2
4
8
12
3
15.
2
1
2
12
-2
-8
26
16.
1
0
1
4
-6
-6
19
17.
1
-4
4
-6
16
-8
1
18.
-1
4
1
-4
-8
-6
5
19.
2
-3
1
4
0
-4
6
20.
1
1
1
-2
4
2
-3
21.
0
0
1
0
1
-
51
22.
1
2
3
2
4
12
14
23.
1
1
0
-2
6
-4
6
24.
-9
4
4
-
-8
0
-68
25.
25
25
-
36
-
-
0
25
26.
4
-9
9
50
-8
0
0
-32
27.
0
1
1
-4
4
-2
5
28.
2
0
-
-4
0
-6
-8
29.
2
0
1
2
0
1
0
30.
3
-4
1
12
0
-2
-13
1
3
4
1
18
72
100
10
II. а) Составить уравнение цилиндра с образующей, параллельной вектору
l (m, n, p ) , и направляющей, образованной пересечением двух поверхностей
 F ( x, y , z ) = 0,

 F1 ( x, y , z ) = 0
Изобразить поверхность.
1. l (2,−1,−2)
6. l (1,0,0)
 x2 y 2
=1
 −
4
9
z = 4

(x − 2)2 + ( y −1)2 + z 2 = 25
 2
x + y 2 + z 2 = 25
2. l (0,0,1)
7. l (1,2,3)
x 2 − y 2 = z

x + y + z = 0
 x2 y2
=1
 +
4
9
z = 2

3. l (2,−3,4 )
8. l(2,−1,−2)
x 2 + y 2 = 9

z = 1
z = 2x 2

y = 3
4. l (2,−1,−2)
9. l (0,1,0)
x 2 + y 2 + z 2 = 1

x + y − 2z − 5 = 0
y = x2

x + y + z = 2
5. l (2,−1,−2)
10. l (1,−2,1)
x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0

z = 0
x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 2z − 3 = 0

z = 0
б) Составить уравнение конуса с вершиной в точке M 0 и направляющей
 F ( x, y , z ) = 0,
.

 F1 ( x, y , z ) = 0
Изобразить поверхность.
11. M 0 (1,0,1)
12. M 0 (0,0,0 )
 x2 y 2
=1
 −
4
9
z = 4

x 2 − y 2 = z

x + y + z = 0
13. M 0 (0,0,0)
14. M 0 (3,−1,−2 )
x 2 + y 2 = 9

z = 1
x 2 + y 2 + z 2 = 1

x + y − 2z − 5 = 0
15. M 0 (3,0,−1)
16. M 0 (1,1,1)
 x2 y2 z 2
+
=1
 +
9
4 16
x + y = 1

x 2 + y 2 + z 2 = 4

2 x − y + 3 z = 1
17. M 0 (0,0,0 )
18. M 0 (2,1,−1)
( x + 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 3)2 = 9

x + y − z = 2
 y2 z2
=1
 −
 4 16
x = 1

19. M 0 (1,0,0)
20. M 0 (0,0,1)
 y 2 − 4z + 3 = 0

x + z − 1 = 0
 y2 z2
=1
 −
 25 16
z = 3

с) Составить уравнение поверхности вращения линии L , лежащей в плоскости P вокруг прямой d . Изобразить поверхность.
21. y = x 2 + 3 в плоскости Oxy, x = 2
22. z = y 2 − 3 в плоскости Oyz, y = 1
1
23. z = в плоскости Oxz (x>0), z = −2
x
2
x
y2
24.
+
= 1 в плоскости Oxy, x = 1
4
9
25. x 2 + z 2 − 2 x − 8 z + 1 = 0 в плоскости Oxz, z = 1
1
26. z = плоскости Oyz (y<0), z = 1
y
27. x 2 + y 2 = 1 в плоскости Oxy, y = 3
y2 z2
28.
+
= 1 в плоскости Oyz, z = 5
4 16
29. x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0 в плоскости Oxy, y = 0
x2 y2
30.
−
= 1 в плоскости Oxy (x>0), x = 5 .
4
9
III. а) Найти и изобразить проекции тела, ограниченного перечисленными поверхностями, на координатные плоскости.
1. z = xy, x + y = 1, z = 0 ( z ≥ 0)
2. y = x , y = 0, z = 0, x + z = 2
3. x 2 + y 2 = 2 x, z = 0, z = x 2 + y 2
4. x 2 + y 2 = 4, z = 0, z = 1, y = x, y = 3x
5. x 2 + y 2 + z 2 = 25, x 2 + y 2 + ( z − 5) 2 = 25
6. z = x 2 + y 2 + 1, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0, z = 0
x2 y2
+
, x = 3, y = 4, x = 0, y = 0, z = 0
4
6
8. y = 0, z = 0, 3x + y = 6, 3 x + 2 y = 12 , x + y + z = 6
7. z =
9. z = x 2 + y 2 , x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0
10. z = x 2 + y 2 , z = 0, y = 1, y = 2x, y = 6 − x
11. y = x , y = 2 x , z = 0, x + z = 6
1
12. 2 x + 3 y − 12 = 0, z = y 2 , x = 0, y = 0, z = 0
2
2
13. z = 9 − y , 3x + 4 y = 12, x = 0, z = 0, y = 0, ( y ≥ 0 )
14. z = 4 − x 2 , 2 x + y = 4, x = 0, ( x ≥ 0 ) y = 0, z = 0
x y z
15. 2 y 2 = x, + + = 1, z = 0
4 2 4
2
x
16.
+ y 2 = 1, z = 12 − 3 x − 4 y, z = 1
4
17. x 2 + y 2 = 16, x 2 + z 2 = 16
x2
, z=0
2
19. x 2 + y 2 = 36, z = x 3 , z = 0 ( x ≥ 0 )
18. z = 4 − y 2 , y =
20. z = x 2 − y 2 , z = 0, x = 3
21. z = xy, y = x , x + y = 2, y = 0, z = 0
22. z = x 2 + y 2 , y = x 2 , y = 1, z = 0
x2 z 2
23.
+
= 1, y = 2x, y = 0, z = 0 ( x ≥ 0 )
4
9
24. z = 1 − x 2 − 4 y 2 , z = 0
25. z 2 = xy, x + y = 1, z = 0
26. x 2 + y 2 = 2 x, 2 x − z = 0, 4 x − z = 0
27. x 2 + y 2 = 2 z , x 2 + y 2 + z 2 = 8
28. x 2 + 2 y 2 − 3 z 2 − 1 = 0, x 2 + 2 y 2 − 3 z 2 = 0, x 2 + 2 y 2 − 3z 2 + 1 = 0, x = 0
29. x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4, 3 x 2 + 5 y 2 + 6 z 2 = 10
30. x 2 + y 2 − z 2 = 1, x 2 − y 2 = 2 z
Список используемой литературы
1. Александров, П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. СПб.: Лань, 2008.
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д.В. Беклемишев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
3. Бугров Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Дрофа, 2004.
4. Веселов А.П. Лекции по аналитической геометрии / А.П. Веселов, Е.В.
Троицкий. СПб.: Лань, 2003.
5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко,
А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Оникс, 2005. Ч. 1.
6. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005
7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. СПб.: Лань, Профессия, 2010.