ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2013, том 56, №10 МАТЕМАТИКА УДК 517.9 Р.Акбаров, Н.Каримова О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Кулябский государственный университет им. А.Рудаки (Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 04.09.2013 г.) В статье исследуется линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка с нагрузками и дополнительными условиями. Ключевые слова: неоднородное линейное дифференциальное уравнение – нагрузка – дополнительные условия. В работе рассматривается неоднородное линейное дифференциальное уравнение (н.л.д.у.) nго порядка вида n L( y ) f ( x ) kk x (1) k 1 c дополнительными условиями типа х x y x dx h , i 1 i i 1, 2,, m. (2) х0 Здесь L y y n P1 x y ( n1) P2 x y ( n2) Pn1 x y ' Pn x y и Pk x , f x , k x , i x a, b , hi i 1,2,, m – некоторые (3) заданные постоянные, k k 1,2,, n – неизвестные параметры наряду с искомым решением у(x). Уравнение L( Z ) 0 (4) будем называть однородным линейным уравнением (о.л.у.) n-го порядка, соответствующим н.л.д.у. (1). Общее решение о.л.у. (4) даётся формулой z C1z1 C2 z2 Cn zn, (5) Адрес для корреспонденции: Акбаров Рахмат. 735360, Республика Таджикистан , г. Куляб, ул. С.Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: [email protected] 773 Доклады Академии наук Республики Таджикистан 2013, том 56, №10 где z1 , z2 zn – некоторая фундаментальная система решений этого урав-нения, а C1 , C2 Cn – произвольные постоянные. Известно [1,2], что для нахождения общего решения н.л.д.у. (1) достаточно найти одно какоенибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего о.л.у. (4). Пусть y1 – какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда формула n y y1 z y1 Ck zk (6) k 1 даёт общее решение уравнения (1) в области a x b, y , y ' ,, y ( n1) . (7) Отметим, что знание фундаментальной системы z1 , z2 zn решений уравнений (4) даёт возможность найти и частное решение . Частное решение будем искать методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных), то есть положим: y C1 ( x) z1 C2 ( x) z2 Cn ( x) zn , (8) где C1 x , C2 x ,, Cn ( x) – дифференцируемые функции, подлежащие определению. Если подставим у , данное формулой (8), в (1), для нахождения C1 x , , Cn ( x) получим одно уравнение. Но мы имеем n-неизвестных C1 x , , Cn ( x) . Поэтому как-то нужно это уравнение дополнить еще какими-нибудь (n-1) уравнениями. Следуя Лагранжу, эти уравнения построим так. Найдем у': y ' C1 x z1' Cn x zn ' C1 ' x z1 Cn '( x) zn . (9) Потребуем выполнения равенства C1 ' x z1 Cn '( x) zn =0 (10) y '' C1 x z1'' C2 x z2'' Cn x zn'' C1' x z1' Cn' x zn' . (11) C1 ' x z1 ' Cn '( x) zn ' =0. (12) C1 ' x z1( к ) Cn '( x ) zn ( к ) 0, к 0,1,, п 2, (13) После этого Теперь полагаем Продолжая так дальше, получим 774 Математика Р.Акбаров, Н.Каримова и у ( к ) C1 x z1( к ) Cn ( x) zn ( к ) , к 1,, п 1, (14) у ( n ) C1 x z1( n ) Cn ( x) zn ( n ) + C1 ' x z1( n1) Cn '( x) zn ( n1) . (15) Подставляя эти значения y и у ( к ) из (8), (14) и (15) в уравнение (1), получим C1L z1 Cn L zn C1' ( x) z1( n1) Cn' x zn n1 n f ( x ) kk x k 1 Так как L( zk ) 0, k 1,2,, n , то последнее равенство имеет вид C1' x z1 n 1 Cn' x zn n 1 n f ( x ) kk x (16) k 1 Равенства (13) и (16) являются n алгебраическими линейными неоднородными уравнениями с n неизвестными C1' x ,, Cn' x . Так как определитель системы (13) и (16) отличен от нуля (это определитель Вронского W x W ( z1, z2 ,, zn )), то из неё однозначно определяются функции C1' x ,, Cn' x . Имеем Ck' x Wnk ( x ) f ( x ) n Wnk ( x )k ( x ) k , W ( x) W ( x) k 1 (17) где Wnk ( x ) – алгебраическое дополнение элементов n-й строки определителя N(x). Все функции правой части (17) непрерывны в интервале (а, в). Из равенства (17) находим n W ( x) f ( x) W ( x )k ( x ) Ck x nk dx k nk dx Ck , W ( x) W ( x) k 1 x0 x0 x x (k 1,2,, n) , где Ck – произвольные постоянные, а x0 – любая точка из интервала (a, b). Подставляя найденные значения функций Ck x в формулу (8), получим n n W ( x) f ( x) W ( x )k ( x ) y x zk nk dx k zk nk dx Ck zk W ( x) W ( x) k 1 k 1 k 1 x0 x0 n x x (18) Полагая здесь C1 C2 ,, Cn 0, получим (частное) решение н.л.д.у. (1): x n Wnk x W x k x y1 x zk f x dx k zk nk dx W x W x k 1 k 1 x0 x0 n x 775 (19) Доклады Академии наук Республики Таджикистан 2013, том 56, №10 Так что (18) можно записать в виде (6) и, следовательно, решение , опре-деляемое формулой (18), есть общее решение уравнения (1) в области (7). Заметим, что частное решение (19), как нетрудно убедиться, удовлетворяет нулевым начальным условиям у1 0, у '1 0,, у1( п1) 0 при x x0 . В частности, для н.л.у. второго порядка n y '' P x y ' q x y f x kk ( x ) (20) k 1 имеем: x z2 f x z f x dx z2 1 dx C1 z1 C2 z2 W x W x x0 x y z1 x0 n x k 1 x0 z1 k x n z2k x z x dx z2 k 1 k dx. W x W x k 1 x0 (18)` При этом x y1 z1 x0 n x k 1 x0 x z2 f x z f x dx z2 1 dx W x W x x0 x n z2k x z x dx z2 k 1 k dx W x W x k 1 x0 z1 k есть частное решение (20), удовлетворяющее начальным условиям у1 0, у '1 0, при x x0 . Для уравнения n P x 0. y '' q x y f x kk x k 1 формулы (18) ' и (19) ' принимают более простой вид: x y x z1 z2 z2 f x dx z1 f x dx C1z1 C2 z2 W x0 x0 W x0 x0 x x n n z1 z2 z x dx k 2k k z1k x dx W x0 k 1 x0 W x0 k 1 x0 x y1 x z1 z2 z2 f x dx z1 f x dx W x0 x0 W x0 x0 776 (19)` Математика Р.Акбаров, Н.Каримова x x n n z1 z2 k z2k x dx k z1k x dx. W x0 k 1 x0 W x0 k 1 x0 Теперь потребуем, чтобы решение н.л.д.у. (1) удовлетворяло дополнительным условиям (2). Тогда имеем x Wnk x f x z x k i x W x dx dx k 1 x0 0 n x x n x W x k x k zki x nk dx dx hi W x k 1 x0 x0 или n k Aik Bi , i 1, 2,, m , (21) k 1 где x x W x k x Aik zki x nk dx dx,(k 1, 2,, n; i 1, 2,, m) W x x0 x0 x Wnk x f x Bi hi zki x dx dx . W x k 1 x0 x0 n x Равенство (21) представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений, состоящую из n неизвестных k и m уравнений. Возможны следующее случаи: 1) m=n; 2) m<n; 3) m>n. Для существования и единственности решения уравнений (1) и (2) достаточно изучить случай (1). Пусть m=n и определитель системы (21): det Aik 0, то н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение, задаваемое формулой (18). Следовательно, имеет место Теорема. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение п-го порядка (1) с дополнительными условиями (2) сводится к линейной алгебраической системе (21), состоящей из n неизвестных k и m уравнений. Если в (21) m=n и определитель системы (21) отличен от нуля, тогда н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение, задаваемое формулой (18). Поступило 04.09.2013 г. 777 Доклады Академии наук Республики Таджикистан 2013, том 56, №10 Л И Т Е РАТ У РА 1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1972, 664 с. 2. Матвеев Н.М. Методы и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа , 1967, 564 с. Р.Акбаров, Н.Каримова ОИДИ ЊАЛЛИ МУОДИЛАИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТИИ ЃАЙРИЯКЉИНСАИ ТАРТИБИ n-ўм БО САРБОРИИ АЪЗОЊОИ ОЗОД ВА ШАРТЊОИ ИЛОВАГЇ Донишгоњи давлатии Кўлоб ба номи А.Рўдакї Дар маќола шартњои мављудият ва ягонагии њалли муодилаи дифференсиалии хаттии ѓайриякљинсаи тартиби n-ўм бо сарбории аъзоњои озод ва шартњои иловагї ёфта шудааст. Калимањои калидї: муодилаи дифференсиалии хаттии ѓайриякљинса – сарборї – шартњои иловагї. R.Akbarov, N.Karimova THE SOLUTIONS OF THE INHOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE n-ORDER WITH THE LOADED FREE MEMBERS AND WITH ADDITIONAL CONDITIONS A.Rudaki Kulyab State University On the Solutions of the homogeneous linear differential equations of the n-order with loaded, in free members and with additional conditions are studied relieved in the paper. Key words: inhomogeneous linear differential equation with the – load – additional conditions. 778