Document 2030404

§13. Поверхностные интегралы на гладких поверхностях
Опр. 9.13.1. Пусть S – гладкая поверхность без особых точек в 3, f: S  .
Разобьём поверхность S гладкими кривыми на части {Sk, k = 1,…, n} = TS.
Выберем точки {Мk  Sk} = C(TS) произвольно. Мелкостью разбиения TS
считаем (TS) = max{diam Sk, k = 1,…, n}. Пусть 2 ( Sk ) – площадь части Sk.
Интегральная сумма для поверхностного интеграла первого рода есть
n
( f,TS ,C(TS))   f(M k)  2(Sk) . Если существует предел
k 1
lim ( f,TS ,C(TS)) , то
(TS)0
значение этого предела называется поверхностным интегралом первого
рода от функции f по поверхности S. Обозначение:  fdS,  fd .
S
S
Замечание. Поверхностный интеграл первого рода – аналог криволинейного
интеграла первого рода. Физический смысл – масса (заряд) поверхности S при
плотности f. Свойства: аддитивность, линейность, оценка модуля интеграла.
Значение  d есть площадь поверхности S.
S

Теорема 9.13.1. Пусть f непрерывна на гладкой поверхности S= r :  
без особых точек. Тогда существует интеграл
Доказательство.
3

S fd    f(u,v) ru  rv dudv .

Опр. 9.13.2. Пусть S – гладкая поверхность без особых точек в 3, F : S  3,
то есть F (M)=P(M)i + Q(M)j + R(M)k для всех MS. Пусть на поверхности S
задано непрерывное поле единичных нормалей n : S  3 (тогда говорят, что
задана ориентация поверхности S). Если существует интеграл  F  n dS , то
S
значение этого интеграла называют поверхностным интегралом второго
рода от функции F по поверхности S. Обозначение:  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .
S
Замечание. Поверхность S может быть ориентирована полем n либо полем
– n . Очевидно, что при смене ориентации поверхностный интеграл второго
рода меняет знак. Физический смысл интеграла  F  n dS – поток поля F
через поверхность S в направлении n .
S
Теорема 9.13.2. Пусть поле F непрерывно на гладкой поверхности
S= r :   3 , r (u, v )  x(u, v )i  y (u, v ) j  z(u, v )k без особых точек,


S ориентирована полем n  ru  rv ru  rv Тогда существует
yu yv
zu zv
xu xv 

F

n
dS

P
(
u
,
v
)

Q
(
u
,
v
)

R
(
u
,
v
)
dudv . Доказательство.
S
 
zu zv
xu xv
yu yv 

§14. Согласование ориентаций поверхности и её края. Поверхностные
интегралы на кусочно-гладких поверхностях

Опр. 9.14.1. Пусть S= r :  
3
 – простая гладкая поверхность без особых
точек. Краем поверхности S называется множество S = r    .
Замечание. Край поверхности не зависит от её параметризации.
Опр.9.14.2. Пусть поверхность S ориентирована непрерывным полем
единичных нормалей n , а её край есть кусочно-гладкая кривая в 3, на
которой задано направление обхода  (ориентация кривой). Будем
говорить, что ориентации поверхности и её края согласованы, если та
сторона поверхности S, которая задана нормалью n , при данном обходе 
края поверхности остаётся слева (правило буравчика).
Опр. 9.14.3. Рассмотрим кусочно-гладкую поверхность S 
N
m1
Sm , где Sm –
гладкие без особых точек поверхности m{1,…, N}, имеющие общие точки
только на своих краях, причём каждая точка края лежит не более чем на двух
поверхностях Si и Sj. Пусть на каждой из поверхностей Sm задана ориентация.
Ориентации поверхностей порождают согласованные с ними ориентации
границ этих поверхностей. Будем говорить, что поверхность S
ориентирована, если на краях, являющихся общими для двух поверхностей
Si и Sj, обход по согласованным ориентациям осуществляется в
противоположных направлениях. Если кусочно-гладкую поверхность S
можно ориентировать, то она называется двусторонней поверхностью, иначе
– односторонней поверхностью.
Замечание. Типичный пример односторонней поверхности – лист Мёбиуса.
Опр.9.14.4. Пусть S 
N
m1
Sm , Sm – гладкие без особых точек поверхности
m{1,…, N}, имеющие общие точки только на своих краях, f: S  ,
F : S   . Положим
3
N
fd  – определение поверхностного
S fd   m1
S
m
интеграла первого рода. Если поверхность S ориентирована кусочнонепрерывным полем единичных нормалей n  nm, m 1,..., N  , то положим
N
F  nm dS – определение поверхностного интеграла второго
S F n dS  m1
S
m
рода на кусочно-гладкой поверхности.