М. А. Чешкова Инверсия гиперповерхности вращения в

МАТЕМАТИКА
УДК 514.75
М. А. Чешкова
Инверсия гиперповерхности
евклидовом пространстве Е п
В евклидовом пространстве Е п рассматриваются две гладкие гиперповерхности вращения
М , М и диффеоморфизм / : М -» М . Исследуется случай, когда / - инверсия.
Пусть М, М - две гладкие гиперповерхности в евклидовом пространстве Е п , / : М —>• М диффеоморфизм, F ( M ) - R - алгебра дифференцируемых на М функций, T j { M ) - F - модуль
дифференцируемых на М тензорных полей типа
(<Ь«), д - дифференцирование в Е п .
Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности
М имеют вид [1, с. 23]
вращения
в
Положим
h - орт нормали к гиперповерхности М .
Так как / инверсия, то [2]
где
связность Леви-Чивита
метрики,
- вторая фундаментальная форма поверхности
1
- оператор Вейнгартена, п - орт
нормали, <,> - скалярное произведение в Е п .
Выполняется уравнение Кодацци [2, с. 23]
Пусть
вторая фун
даментальная форма гиперповерхности М; V
связность Леви-Чивита метрики д . Имеет место| [3]
равенство
\
(6)"
Дифференцируем (4)
Используя уравнения Гаусса-Вейнгартена (1),
получим
Поместим начало координат в центр инверсии. Обозначим через г радиус-вектор точки р G
М, через г - радиус-вектор точки /(р) G М . Тогда отображение / : М —» М запишется в виде
Откуда
(7)где
Дифференциал отображения / определится
из равенства d f ( X ) = d f ( d x r ) = д * : ? , Х € Т М.
Имеем
гессиан функци
I в связности
Так как f - конформное отображение, то [4 с.
18]
Отображение / индуцирует на М метрику
(8
Откуда
(9
Определим
20
Используя
(1),(3), им
Инверсия гиперповерхности вращения в евклидовом пространстве
Определено распределение
I.
Теорема. Если <’
то
гипер
поверхность вращения в Е п (п > 3) при инверсии
переходит в (п — 2)-каналовую гиперповерхность, у
которой
Используем (8)
Доказательство. Из уравнений Кодацци (2) для
гиперповерхности М следует, что Хк — d k { X ) =
0,Х €
Так как линии кривизны гиперповерхности
М переходят в линии кривизны гиперповерхности
М , то из уравнений Кодацци для гиперповерхности
М имеем: Х к —
то М - ( п — 2)-каналовая гиперповерхность.
( п - 2)-каналовая гиперповерхность М есть
гиперповерхность вращения тогда и только тогда,
когда [б] .
Так
как
то получаем формулу (14).
Умножим (9) скалярно на г и используем (10).
Имеем
Следствие 1. Если
то
следующие утверждения эквивалентны:
1) гиперповерхность вращения М в Е п (п > 3) при
инверсии переходит в гиперповерхность вра щения
М;
V - ^
Лемма. Если цхр ф 0 , то линии кривизны гиперповерхности М переходят в линии кривизны
гиперповерхности М.
Доказательство. Из формулы (2) имеем
Доказательство. Утверждение
формулы (14) и равенства
Следствие 2. Если
следует
и
из
гипер-
поверхность вращения
при
инвер
сии переходит в гиперповерхность вращения М, то
Доказательство.
Имеем
Если Xi - главное направление оператора А, то
есть
, то
то есть dfXi - главное направление оператора
Вейнгартена А гиперповерхности М.
А так как-то получим
Откуда
(13)
Если гиперповерхность М имеет главную
кривизну ki ф 0 кратности р > 1, то она является
[5] огибающей (/-параметрического (р = п— 1 —
qj семейства гиперсфер, т.е. р-каналовая. Тогда ki
имеет тоже кратность р. Если при этом k t ф О, то
М - р-каналовая. Гиперповерхность вращения есть
(п - 2)-каналовая, у которой линия цент-
Следствие 3. Если <
то
следующие утверждения эквивалентны:
1)
гиперповерхность вращения М в Е п (п > 3)
при инверсии переходит в гиперповерхность вращения М;
2)
центр инверсии находится на оси.
Доказательство.
Дифференцируя
равенство
получим.
Используя следствие 2,
получим
МАТЕМАТИКА
А так как
то
получим
а оси. Тогда функции <pj,p,tp постоянны вдоль (п—2)-мерной
Хр
т.е.
центр инверсии орт
находится
параллели
I
.В этом
случае
на оси вращения гиперповерхности М
. Обратно,
если центр инверсии находится на оси
чае вращения
-главное
направление,
гиперповерхности М, то зададим гиперповерхность
соответствующее главной кривизне к*.
М в виде
Литература
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М. 1981.
2. Чешкова М.А. К геометрии центральной
проекции n-поверхности в евклидовом пространстве Е п+ т // Известия вузов. 1998. №6.
3. Чешкова М.А. К геометрии п-поверхностей в
евклидовом
пространстве
E 2n+ l
//
Дифференциальная геометрия многообразий
фигур. Калининград, 1997. Вып. 28.
4.
Chen B.Y. Geometry of submanifolds and its!
applications. Tokyo. 1981.
5.
Ведерников В.И. Гиперповерхности пространства
Евклида,
огибающие
тпараметрическое семейство гиперсфер //
Волж. матем. сб. 1966. Вып. 4.
6.
Чешкова М.А. О каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве Е п //
Известия АГУ. Барнаул, 1998. Вып. 1(6).