Точечное возмущение оператора Бельтрами

Точечное возмущение оператора Бельтрами-Лапласа на многообразии постоянной отрицательной кривизны
Рассмотрим связное полное Риманово многообразие X, размерности 3.
Пусть R - его скалярная кривизна, которую ниже мы будем предполагать отрицательной, тогда рассматриваемое многообразие – пространство Лобачевского.
Вместо R удобнее использовать величину a, которую мы определим равенством
R
6
. Далее, мы рассмотрим модель Пуанкаре пространства X, то есть верхa2
нее полупространство H a3  {x  ( x1 , x 2 , x3 )  R 3 : x3  0} . В этом случае, оператор
Бельтрами-Лапласа имеет вид
 BL
x 
 3
 a
2
 2
2
2
1  




.
2
2
2
 x
x3 x3 
x 2
x3
 1
(1)
Гамильтониан H 0  H 0 ( R) свободной частицы массы M на многообразии
X представим в виде [3]
H0  
2
2M
1 

  BL  2 
a 

(2)
Мы будем использовать такую систему единиц, что   1, M  1 / 2 .
Рассмотрим конечное множество A  {q1 , q2 ,, qn } точек из X. Говоря фор0
мально, возмущение H оператора H точечными потенциалами, расположен-
ными в этих точках представимо в форме
H  H 0    j  q j ( x) ,
(3)
где константы связи  1 ,  2 ,,  n должны рассматриваться как бесконечно малые
(см., например, [2]).
Пусть, теперь, S A - сужение оператора H 0 на область
DA  { f  D( H 0 ) : f (q j )  0, j  1, n}
(4)
( D A плотно определено, так как каждая функция из D( H 0 ) непрерывна). Легко
показать, что S A замкнутый симметрический оператор с индексами дефекта (n,n)
а его дефектное подпространство
N z  Ker ( S A  z )
порождено функциями
{x  G 0 ( x, q j ; z )} j 1,n , где G 0 ( x, y; z ) функция Грина H 0 , то есть интегральное ядро
резольвенты H 0  z  [2]. Хорошо известно, что функция G 0 ( x, y; z ) определена
1
на множестве {( x, y)  X  X : x  y}  (C \  ( H 0 )) , где, как обычно,  ( H 0 ) - спектр
H 0 . Кроме того, функция Грина бесконечно гладкая относительно (x,y) и ана-
литическая по z. Кроме того, она представима в виде
G 0 ( x, y; z )  F0 ( x, y )  F1 ( x, y; z ) ,
(5)
где функция F1 ( x, y; z) непрерывна на X  X , а F0 имеет вид F0 ( x, y ) 
1
 ( x, y ) 1 .
4
Здесь и ниже под  ( x, y ) мы будем понимать геодезическое расстояние между
точками x и y.
Известно также, что в случае рассматриваемого многообразия [1]
G 0 ( x, y ; z ) 
exp(   ( x, y )  z )
z
, F1 ( x, y; z )  
4ash(  ( x, y ) / a)
4
(6)
Все самосопряженные расширения оператора H 0 можно описать, используя формулу Крейна, а именно
n
G ( x, y; z )  G0 ( x, y; z )  [Q( z; a; A)  ]ij1 G 0 (qi , y; z )G 0 ( x, q j ; z ) ,
(7)
i , j 1
где  - матрица некоторого самосопряженного оператора в C n , G ( x, y; z) - функция Грина расширения H  исходного оператора H 0 , а Q ( z; a; A) - так называемая,
Q-функция Крейна. В нашем случае, Q – это аналитическая по z функция, которая каждому z  C \  ( H 0 ) сопоставляет матрицу размерности n  n , элементы которой имеют вид: Qij ( z; a; A)  G 0 (qi , q j ; z) при i  j и Qii ( z; a; A)  F1 (qi , q j ; z ) (см.
формулу (5)).
Нетрудно видеть, что комплексное число E  E (a; A) , не принадлежащее
спектру невозмущенного оператора H 0 , принадлежит спектру H  в том и только
том
случае,
когда
оно
обращает
в
нуль
определитель
F ( z; a;  )  det[Q( z; a; A)  ] . Такие E (a; A) называют точечными уровнями опера-
тора H  , изучению которых и посвящена данная работа.
Рассматривать случай двухточечного возмущения (n=2). Тогда, матрица

 имеет вид   


 , где   R,   C . Далее будем использовать следующее
 
обозначение    (q1 , q2 )   (q2 , q1 ) .
Несложные вычисления показывают, что если   0, Re(  )  0 , то равенства
E  (a;  )
E (a;  )
E (a;  )
 0, 
 0, 
 0 верны при всех значениях a и  .



Рассматривая систему уравнений
 F ( z; a;  )  0

 F ( z; a;  )  0,

z
(8)
при   0 приходим к простому квадратному уравнению
z   (1  8 )  z  4 (4  1)  0,
(9)
неотрицательные корни которого будут являться кратными собственными значениями оператора H  (таковым, например, будет корень z=0 при   0 ). Заметим, что решения уравнения (9) не зависят ни от кривизны поверхности, ни от
расстояния между точками q1 и q 2 .
Нетрудно получить и следующее асимптотическое разложение
E  (a;  )  16 2 ( 2  2    )  o(1),
2
(10)
когда  ,    .
Список литературы
[1] Альбеверио С., Гейлер В.А., Гришанов Е.Н. Точечные возмущения в пространствах
постоянной кривизны.
[2] Гейлер В.А., Маргулис В.А., Чучаев И.И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана. Сибирский математический журнал 1995г., т. 36, стр. 828-841.
[3] Landsman N.P. Mathematical topics between classical and quantum mechanics. SpringerVerlag, New-York etc., 1998.