11 класс, Москва

Заключительный тур олимпиады Росатом, весна, 2016, Математика, 11 класс
Задание
1.
Сколько
пар
x; y 
целых
удовлетворяют неравенству x
2
чисел,
являющихся
 y 2  37 ?
2. Найти x , при котором выражение
sin
2
Найти пару
решениями
уравнения 7 x  5 y  23 ,
x; y  , для которой x  y
x  cos x  1/ 4    cos 2 x  cos x 
2
наибольшее.
2
принимает наименьшее значение.
3.
Для
квадратного
трехчлена P1 ( x)
многочлены P2 ( x)  P1 (2 x),
 x2  x  6 и
натурального
числа n
определим
P3 ( x)  P2 (2 x), ..., Pn ( x)  Pn1 (2 x) . Решить
уравнение Pn ( x)  0 и найти сумму корней многочлена
Qn ( x)  P1 ( x)  P2 ( x)  ...  Pn ( x) .
4. Петя и Вова играют в кости на фантики. Ведущий игру Петя выигрывает, если при бросании им
двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не превосходит 4 и проигрывает во всех
остальных случаях. Проиграв, Петя отдаёт Вове 1 фантик, выиграв – получает от Вовы k фантиков.
Игра считается справедливой, если среднее значение выигрыша каждым игроком равна нулю. Найти
значение k , при котором игра будет справедливой?
1, при t  0,
5. Функция  (t )  
. При каких значениях
0, при t  0
a
 x   ( x  a)  y   ( y  2a)  5a
система 
x  2y  2

имеет единственное решение?
6. В прямоугольнике ABCD со сторонами AD  8 , AB  4 расположены три круга
Круг K касается кругов K1 ,
касаются также сторон
K2
AD , AB
K , K1 и K 2 .
внешним образом, а также прямых AD и BC . Круги K1 , K 2
и AD , CD соответственно. Найти максимальное возможное
значение суммы площадей трех кругов.
Решения
 x  1  5t
, t  Z . Подставляя найденные x и y
1. Запишем общее решение уравнения 7 x  5 y  23: 
 y  6  7t
в
неравенство
 5t 1   7t  6
2
2
x 2  y 2  37 ,получим
 37  37t 2  47t  0 .
неравенство
относительно
t:
Отсюда находим t  0; 47 / 37 . С учетом целочисленности
t1  0, t2  1. При t1  0
t , получаем
 x  1
x  4
имеем 
, а при t2  1 − 
. Во второй паре значение x  y наибольшее. Оно равно 5.
 y  6
 y 1
  cos
2. Перепишем выражение в виде
2
x  cos x  3 / 4    2cos2 x  cos x  1
2
2
и введем обозначение
cos x  t , тогда выражение преобразуется к виду
t
2
 t  3 / 4    2t 2  t  1    t  3 / 2 t  1/ 2      2t  2 t  1/ 2     3t  7 / 2 t 1/ 2  
2
2
2
2
2
7
1
Минимальное значение этого выражения равно нулю, оно достигается при t1   , t2  . Получаем
6
2
уравнения cos x  
решения: x  
3.
Корни

3
7
1
и cos x  . Первое уравнение решений не имеет, второе уравнение имеет
6
2
 2 n, n  Z .
многочлена
P1 ( x)  x 2  x  6 равны x11  3, x12  2 .
равны x12  3 / 2, x22  2 / 2  1 .
Предполагаем,
равны x1k  3 / 2k 1 , xk2  2 / 2k 1  1/ 2k 2 .
Тогда
Корни
что
многочлена P2 ( x)  P1 (2 x)
корни
многочлена Pk ( x)
многочлен Pk 1 ( x)  Pk (2 x)
будет
иметь
корни x1k 1  x1k / 2  3 / 2k , xk21  xk2 / 2  1/ 2k 1 , т.е. x1n  3 / 2n1 , xn2  1/ 2n2 .
Многочлен Pk ( x)
имеет
вид Pk ( x)  4( k 1) x 2  2k 1 x  6 ,
Qn ( x)  1  4  ...  4n1  x 2  1  2  ...  2n1  x  6n 
а
многочлен
4n  1 2
x   2n  1 x  6n .
3
Дискриминант многочлена Qn ( x) равен D / 4  (2n  1)2  8n(4n 1)  0 , поэтому действительные корни
есть. По теореме Виета их сумма равна
3(2n  1)
.
4n  1
4. Общее число исходов опыта n  6  6  36 , из них
благоприятствуют выигрышу 6 исходов:
(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(3;1) . Вероятность выигрыша Пети p 
Пети равна 1  p 
6 1
 ,
36 6
вероятность проигрыша
5
1 5
Игра будет справедливой, если kp  1 (1  p). В нашем случае k  . Отсюда
6
6 6
находим k  5.
5. Рассмотрим 4 случая.
 x  y  5a  x1  10a  2

В области A( x  a, y  2a) система примет вид: 
. Это решение принадлежит
 x  2 y  2  y1  2  5a
10a  2  a
2 2
 a  ;  .
области A , если 
9 7
2  5a  2a
В области
x2  5a

 x  5a

.
B( x  a, y  2a) система примет вид: 
 x  2 y  2  y2  (2  5a) / 2
Это решение
5a  a

2

принадлежит области B , если 
 a   ;   .
9

(2  5a) / 2  2a
В области
C ( x  a, y  2a) система может иметь решения только при
 x  2  2t
 0  5a
 3

 x  2 y  2  y3  t , t  R
.
a  0 и имеет вид:
Условия принадлежности решения к области С приводит к
2  2t  0  t  1
неравенствам 
. Последнее показывает, в области С система несовместна при

 t0
t  0
любых a .
В области
D( x  a, y  2a) система
примет вид:
 x  2  10a
 y  5a
 3
.

 x  2 y  2  y3  5a
Это решение
2  10a  a
2

 a   ;   .
принадлежит области D , если 
11

 5a  2a
2

 2 2
Из полученных результатов следует, что при a   ;  система не имеет решений, при a   ; 
11 

11 9 
система имеет одно решение, при a 
2
2 2
− два решения, при a   ;  − три решения, при
9
9 7
2

 2 2
a   ;   − два решения. Таким образом, одно решение система имеет при a   ;  .
7

11 9 
6. Пусть  , r , R  радиусы окружностей K1 , K2 , K . Обозначим длину стороны AB через b , а длину
стороны AC через a , тогда 2R  b .
Пусть AE  x  переменная, x   R; a  R  , TE  PN  x    2 R ,
EL  QM  2 Rr  a  x  r , OP  R   , OQ  R  r , OM  R  r , ON  R   .
  2 R  x 0

Условия r  2 R  r  a  x  0 приводят к зависимости r и  от x в виде

 2  r 2  max

Обозначая через  ( x) 

xR  R

4
приходим к тому, что


   xR  R 2


  a  x  R  R



2
.
 2  r 2   ( x)   ( a  x) .
Свойства функции  ( x) : 1)  ( x)  на отрезке  R; a  R 
2)  ( x) 
3)
2

xR  R

3
 0 , x   R; a  R 
xR

  
xR  R

 2
2
xR  R
xR

3
  0,
x   R; a  R  , т.е. функция
 ( x)  на отрезке  R; a  R  .
Критические точки функции:
(  2  r 2 )   ( x)   (a  x)  0   ( x)   (a  x)  x  a  x  x* 
a
2
На концах отрезка значения функции  2  r 2   ( x)   (a  x) одинаковые и равны
 ( R)   ( a  R) 

2R  R
 
4

a R

4


b2
4

4
2 1 
1
4


4
2a  b . Это значение наибольшее
для  2  r 2 при b  a  2b . При этих же условиях, минимальное значение  2  r 2 достигается при
a
x  a / 2 и оно равно 2   
2

ab  b
Smax    R 2   2  r 2 
2
max


4

4
. Тогда наибольшее значение суммы площадей кругов
 6(3  2

2)b2  ( 2a  b )4 ,
а минимальное
Smin
 2
b
2
2
2
  R    r     
 4



ab  b
2

4

 .





Подставляя в формулу для Smax b  4 , a  8 , находим Smax  4 19  12 2 .