Волновое уравнение и уравнение теплопроводности на прямой

Ãðåêîâ Ì. À.
22
Âîëíîâîå óðàâíåíèå è óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
íà ïðÿìîé, ïîëóïðÿìîé è íà îòðåçêå
1. Âîëíîâîå óðàâíåíèå
2
∂2u
2∂ u
−
a
= f (x, t)
∂t2
∂x2
(1.1)
îïèñûâàåò ìàëûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíîé ñòðóíû èëè ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ. Çäåñü u(x, t) ïåðåìåùåíèå òî÷êè x ïðè èçìåíåíèè
âðåìåíè t, f ïëîòíîñòü âíåøíèõ ñèë, îòíåñåííûõ ê åäèíèöû ìàññû. Ïðè f = 0
êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûíóæäåííûìè.
 ñëó÷àå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà 0 ≤ x ≤ l çàäà÷à ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:
Íàéòè äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ u(x, t) (êëàññè÷åñêîå
ðåøåíèå u ∈ C 2 â îáëàñòè t > 0, 0 < x < l, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (1.1),
íà÷àëüíûì
¯
∂u ¯¯
u(x, 0) = ϕ1 (x),
= ut (x, 0) = ϕ2 (x) (0 ≤ x ≤ l)
(1.2)
∂t ¯t=0
è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
¯
¯
¯
¯
∂u
∂u
γ1 (t)
+ γ2 (t)u(x, t)¯¯
+γ
e2 (t)u(x, t)¯¯ = µ2 (t).
= µ1 (t), γ
e1 (t)
∂x
∂x
x=0
x=l
(1.3)
Çäåñü ϕk (x), µk (t) (k = 1, 2) çàäàííûå ôóíêöèè êîîðäèíàòû òî÷êè x è âðåìåíè
t ñîîòâåòñòâåííî. Çíà÷åíèÿ γ1 = γ
e1 = 0, γ2 6= 0, γ
e2 6= 0 îòâå÷àþò ïåðâîé êðàåâîé
çàäà÷å; γ1 6= 0, γ
e1 6= 0, γ2 = γ
e2 = 0 âòîðîé, à γk 6= 0, γ
ek 6= 0 (k = 1, 2) òðåòüåé.
Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå äâà ïðåäåëüíûõ âàðèàíòà ñìåøàííîé çàäà÷è (1.1)(1.3).
Âî-ïåðâûõ, åñëè íàñ èíòåðåñóåò êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ â òå÷åíèå îòíîñèòåëüíî ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, êîãäà âëèÿíèå ãðàíèö (ò. å. ãðàíè÷íûõ óñëîâèé)
íåñóùåñòâåííî äëÿ òî÷åê, äîñòàòî÷íî óäàëåííûõ îò êîíöîâ îòðåçêà [0, l], òî âìåñòî
ïîëíîé çàäà÷è ìîæíî ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíóþ çàäà÷ó ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ
íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè
u(x, 0) = ψ1 (x),
ut (x, 0) = ψ2 (x),
∞ < x < ∞.
(1.4)
Ýòó çàäà÷ó íàçûâàþò çàäà÷åé Êîøè.
Âî-âòîðûõ, ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèÿ âáëèçè îäíîé èç ãðàíèö, êîãäà âëèÿíèåì âòîðîé ãðàíèöû â òå÷åíèå èíòåðåñóþùåãî íàñ ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü,
âìåñòî óñëîâèé (1.2), (1.3) ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óñëîâèÿì äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1) íà
ïîëóîãðàíè÷åííîé ïðÿìîé
u(x, 0) = ϕ1 (x), ut (x, 0) = ϕ2 (x), 0 ≤ x < ∞
¯
¯
∂u
= µ1 (t), t ≥ 0,
+ γ2 u(x, t)¯¯
γ1
∂x
x=0
1
(1.5)
(1.6)
1.1. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
u(x, t) = g1 (x − at) + g2 (x + at) + uf (x, t),
ãäå
1
1
g1 (z) = ψ1 (z) −
2
2a
Zz
1
1
g2 (z) = ψ1 (z) +
2
2a
ψ2 (α)dα,
z0
(1.7)
Zz
ψ2 (α)dα,
z0
1
uf (x, t) =
2a
Zt
x+a(t−τ
Z )
f (ξ, τ )dξdτ.
(1.8)
0 x−a(t−τ )
Äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (f = 0) ôîðìóëû (1.7), (1.8) íàçûâàþò
ðåøåíèåì Äàëàìáåðà (D'Alembert). Ðàññìàòðèâàÿ ïðîöåññ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé áåñêîíå÷íîé ñòðóíû, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñìûñë ðåøåíèÿ Äàëàìáåðà ñîñòîèò â ðàñïðîñòðàíåíèè íà÷àëüíîãî âîçìóùåíèÿ âïðàâî (ïðÿìàÿ âîëíà g1 ) è âëåâî (îáðàòíàÿ âîëíà
g2 ) ñî ñêîðîñòüþ a.
Ðåøåíèå (1.7), (1.8) åäèíñòâåííî. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1), (1.4) íåîáõîäèìî, ÷òîáû f ∈ C(t ≥ 0), ψ1 ∈ C 2 (R1 ), ψ2 ∈ C 1 (R1 ).
Êîððåêòíîñòü ïîñòàíîâêè çàäà÷è ñëåäóåò èç ñàìîãî ðåøåíèÿ. Òî åñòü ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå u(x, t) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò äàííûõ f, ψ1 , ψ2 â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè äàííûå èçìåíÿþòñÿ òàê, ÷òî
|f − fe| < ε, |ψ1 − ψe1 | < ε1 , |ψ2 − ψe2 | < ε2 ,
òî ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿ u è u
e â ëþáîé ïîëîñå 0 ≤ t ≤ T óäîâëåòâîðÿþò îöåíêå
|u(x, t) − u
e(x, t)| ≤
T2
ε + T ε 2 + ε1 .
2
Ðåøåíèå Äàëàìáåðà (1.7), (1.8) ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àè, êîãäà îáëàñòü
èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé x ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìàÿ èëè îòðåçîê.
1.2.  ÷àñòíîñòè, ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
2
∂ 2u
2∂ u
−
a
=0
∂t2
∂x2
(1.9)
íà ïîëóïðÿìîé x > 0 â ñëó÷àå çàêðåïëåííîãî êîíöà (ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à)
u(0, t) = 0
(1.10)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (1.5) îïðåäåëÿåòñÿ òåìè æå ôîðìóëàìè (1.7), (1.8), â êîòîðûõ ψk (y) = ϕk (y) ïðè y ≥ 0 è ψk (y) = −ϕk (−y) ïðè y ≤ 0 (íå÷åòíîå ïðîäîëæåíèå
ôóíêöèé ϕk ).
 ñëó÷àå ñâîáîäíîãî êîíöà ñòðóíû (âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à) ãðàíè÷íîå óñëîâèå
(1.10) çàìåíÿåòñÿ íà óñëîâèå
ux (0, t) = 0
(1.11)
2
è òîãäà âûðàæåíèÿ (1.7), (1.8) áóäåò ðåøåíèåì ñìåøàííîé çàäà÷è (1.9), (1.5), (1.11),
åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ψk (y) = ϕk (y) ïðè y ≥ 0 è ψk (y) = ϕk (−y) ïðè y ≤ 0 (÷åòíîå
ïðîäîëæåíèå ôóíêöèé ϕk ).
1.3. Ñîîòíîøåíèÿ (1.7), (1.8) äàþò ðåøåíèå îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
(1.9) íà êîíå÷íîì îòðåçêå 0 ≤ x ≤ l ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (1.2) è ãðàíè÷íûõ
óñëîâèÿõ
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (t ≥ 0),
(1.12)
åñëè ψk (y) = ϕk (y) ïðè y ≥ 0, ψk (y) = −ϕk (−y) ïðè y ≤ 0 è ψk (y + 2l) = ψk (y) ∀y . Ïðè
ýòîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøåíèå u(x, t) áûëî äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé
ôóíêöèåé îáîèõ àðãóìåíòîâ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ
00
ϕk (0) = ϕk (l) = ϕk (0) = ϕk 00 (l), k = 1, 2.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, îòëè÷íûõ îò (1.12), ïðîäîëæåíèå ôóíêöèé ϕk íà âñþ ïðÿìóþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî-èíîìó.
Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñìåøàííîé çàäà÷è (1.1)(1.3) ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.  ÷àñòíîñòè, ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1.1)(1.3) íà îòðåçêå
0 ≤ x ≤ l ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî òèïà ïðè γ1 = γ
e1 = 0, γ2 = γ
e2 = 1. Åå
ðåøåíèå çàïèøåì â âèäå ñóììû òðåõ ôóíêöèé
u(x, t) = U (x, t) + v(x, t) + w(x, t),
(1.13)
ãäå
l−x
x
µ1 (t) + µ2 (t),
(1.14)
l
l
à ôóíêöèè v, w ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñëåäóþùèõ ñìåøàííûõ çàäà÷ ñîîòâåòñòâåííî
U (x, t) =
2
∂ 2v
2∂ v
−
a
= 0,
∂t2
∂x2
(1.15)
v(x, 0) = ψ1 (x), vt (x, 0) = ψ2 (x),
(1.16)
v(0, t) = v(l, t) = 0
(1.17)
ïðè
ψ1 (x) = ϕ1 (x) +
è
x−l
x
µ1 (0) − µ2 (0),
l
l
ψ2 (x) = ϕ2 (x) +
x−l 0
x
µ1 (0) − µ02 (0)
l
l
2
∂ 2w
2∂ w
−
a
= f1 (x, t),
∂t2
∂x2
w(x, 0) = wt (x, 0) = 0,
w(0, t) = w(l, t) = 0
ïðè
f1 (x, t) = f (x, t) +
x
x − l 00
µ1 (t) − µ002 (t).
l
l
3
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
Ïîäñòàâèâ (1.13) â (1.1)(1.3), íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (1.15)(1.17), à w óðàâíåíèÿì (1.19)(1.21), òî ôóíêöèÿ u
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è.
Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ (ìåòîä Ôóðüå) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ðåøåíèÿ çàäà÷
(1.15)(1.17) è (1.19)(1.21) â âèäå
v(x, t) =
∞ ³
X
´
p
p
p
An cos (a λn t) + An sin (a λn t) sin λn x,
(1.23)
n=1
ãäå
2
An =
l
Zl
ψ1 (x) sin
p
λn xdx, Bn =
0
è
w(x, t) =
Zl
2
√
al λn
∞
X
ψ2 (x) sin
p
n2 π 2
λn xdx, λn = 2 ,
l
(1.24)
0
Φn (t) sin
p
λn x,
(1.25)
n=1
ãäå
1
Φn (t) = √
a λn
Zt
´
³ p
Fn (ξ) sin a λn (t − ξ) dξ,
2
Fn (ξ) =
l
Zl
f1 (η, ξ) sin
p
λn ηdη.
0
0
Àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ ðåøåíèå ñìåøàííîé çàäà÷è (1.1)(1.3) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè äðóãèõ òèïîâ. Ïðè ýòîì ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé è ôîðìû
√ ýòèõ êîëåáà√
íèé, âîîáùå ãîâîðÿ, áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí λn è sin λn x,
îòâå÷àþùèõ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷å.
2. Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
∂u
∂ 2u
− a2 2 = f (x, t)
(2.1)
∂t
∂x
õàðàêòåðèçóåò ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ. Çäåñü u(x, t) òåìïåðàòóðà â òî÷êå x â ìîìåíò
âðåìåíè t, f (x, t) ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ
òåïëà.
Äëÿ ñòåðæíÿ êîíå÷íîé äëèíû l çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû u ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:
Íàéòè îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ u(x, t) ∈ C 2 (0, l) ∩ C 1 [0, ∞) (êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå) â îáëàñòè t > 0, 0 < x < l, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (2.1),
íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ l)
(2.2)
è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
¯
¯
¯
¯
∂u
∂u
¯
= µ1 (t), γ
e1 (t)
γ1 (t)
+ γ2 (t)u(x, t)¯
+γ
e2 (t)u(x, t)¯¯ = µ2 (t).
∂x
∂x
x=0
x=l
4
(2.3)
Çäåñü ϕ(x), µk (t) (k = 1, 2) çàäàííûå ôóíêöèè êîîðäèíàòû òî÷êè x è âðåìåíè
t ñîîòâåòñòâåííî. Çíà÷åíèÿ γ1 = γ
e1 = 0, γ2 6= 0, γ
e2 6= 0 îòâå÷àþò ïåðâîé êðàåâîé
çàäà÷å; γ1 6= 0, γ
e1 6= 0, γ2 = γ
e2 = 0 âòîðîé, à γk 6= 0, γ
ek 6= 0 (k = 1, 2) òðåòüåé.
 ÷àñòíîñòè, ïðè γ1 = γ
e1 = 1, γ2 = −e
γ2 = −h, µ1 = µ2 = 0 íà êîíöàõ ñòåðæíÿ
ïðîèñõîäèò ñâîáîäíûé òåïëîîáìåí, h êîýôôèöèåíò òåïëîîáìåíà.
Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.1)(2.3) äîëæíû áûòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ãëàäêîñòè
f ∈ C[0, l] ∩ C[0, ∞), ϕ ∈ C[0, l], µk ∈ C[0, ∞)
è óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ
γ1 (0)ϕ0 (0) + γ2 (0)ϕ(0) = µ1 (0), γ
e1 (0)ϕ0 (0) + γ
e2 (0)ϕ(0) = µ2 (0).
Êàê è â ñëó÷àå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, èìååò ñìûñë èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1)
â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè ∞ < x < ∞ (çàäà÷à Êîøè) ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè
u(x, 0) = ψ(x),
(2.4)
è â ïîëóïðÿìîé x > 0 ïðè óñëîâèÿõ
u(x, 0) = ϕ(x),
¯
¯
∂u
γ1 (t)
+ γ2 (t)u(x, t)¯¯
= µ(t)
∂x
x=0
(2.5)
(2.6)
2.1. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è
Êîøè (2.1), (2.4) ïðè f = 0 â âèäå
1
u(x, t) = √
2a πt
Ôóíêöèÿ
v(x, t) =
Z∞
ψ(ξ) e−
(ξ−x)2
4a2 t
dξ.
(2.7)
−∞
(ξ−x)2
1
√ e− 4a2 t ,
2a πt
(2.8)
ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ x, t óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.1)
ïðè f = 0 è íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ (2.8) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíî
äàåò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, êîòîðîå âûçûâàåòñÿ ìãíîâåííûì òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì òåïëà âåëè÷èíû Q = cρ (c òåïëîåìêîñòü, ρ ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ),
ïîìåùåííûì â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â òî÷êå x = ξ .
Èç (2.7) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ u(x, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî îáîèì ïåðåìåííûì ñêîëü óãîäíî ðàç íåçàâèñèìî îò ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ ó ôóíêöèè
ϕ(x).  îòëè÷èå îò óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, òàêàÿ ãëàäêîñòü íå ñâîéñòâåííà
5
ðåøåíèþ çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1.1). Îòìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî ñîãëàñíî (2.7) òåïëî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü ñòåðæíÿ íå ïîñòåïåííî, à
ìãíîâåííî. Ýòî ëåãêî ïîêàçàòü, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ϕ(x) ≡ 0 âíå êîíå÷íîãî îòðåçêà.
Òàêîé ýôôåêò ñâÿçàí ñ íåòî÷íîñòüþ ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåç, ëåæàùèõ â îñíîâå ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè.
2.2. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè òåïëà â ïîëóîãðàíè÷åííîì ñòåðæíå ñ
òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ ïðè îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ òåïëà (f = 0)
è ïðè çàäàííîé òåìïåðàòóðå íà êîíöå x = 0, ò. å. êðàåâîì óñëîâèè ïåðâîãî òèïà
∂u
∂2u
− a2 2 = 0, (x > 0, t > 0),
∂t
∂x
u(x, 0) = ϕ(x), u(0, t) = µ(t).
(2.9)
(2.10)
Ðåøåíèå çàäà÷è (2.9), (2.10) èùåòñÿ â âèäå ñóììû
u = u1 + u2 ,
(2.11)
ãäå u1 è u2 ñóòü ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷
∂u1
∂ 2 u1
− a2 2 = 0, (x > 0, t > 0),
∂t
∂x
u1 (x, 0) = ϕ(x), u1 (0, t) = 0.
è
2
∂u2
2 ∂ u2
−a
= 0, (x > 0, t > 0),
∂t
∂x2
u2 (x, 0) = 0, u2 (0, t) = µ(t).
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.12), (2.13) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (2.7),
ïðèíÿâ ψ(ξ) = ϕ(ξ) ïðè ξ > 0 è ψ(ξ) = −ϕ(−ξ) ïðè ξ < 0. Òîãäà
1
u1 (x, t) = √
2a πt
µ
Z∞
−
ϕ(ξ) e
(ξ−x)2
4a2 t
−
−e
(ξ+x)2
4a2 t
¶
dξ.
(2.16)
0
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå êðàåâîãî óñëîâèÿ âòîðîãî òèïà (∂u1 /∂x = 0 ïðè x = 0)
ôóíêöèÿ ϕ(x) ïðîäîëæàåòñÿ íà îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü ÷åòíûì îáðàçîì.
Ðåøåíèå çàäà÷è (2.14), (2.15) èìååò âèä
x
u2 (x, t) = √
2a π
Zt
µ(τ )
p
−
(t − τ )3
0
e
ξ2
4a2 (t−τ )
dξ.
(2.17)
2.3. Äëÿ èçó÷åíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â ñòåðæíå êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñìåøàííîé çàäà÷è òàêæå èùåòñÿ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ çàäà÷è (2.1)(2.3) è êðàåâûõ óñëîâèÿõ ïåðâîãî òèïà
(γ1 = γ
e1 = 0, γ2 = γ
e2 = 1) ðåøåíèå èìååò âèä
u(x, t) =
∞
X
Tn (t) sin
n=1
6
p
λn x,
(2.18)
ãäå

Tn (t) = e−a
2λ
nt
2
Tn (0) + 2a
√
λn

Zt
2λ
ea
l
nτ
(µ1 (τ ) − (−1)n µ2 (τ )) dτ  ,
0
2
Tn (0) =
l
Zl
ϕ(x) sin
p
λn xdx, λn =
n2 π 2
,
l2
0
Ïðè µ1 (t) = µ2 (t) ≡ 0 ðåøåíèå (2.18) îïðåäåëÿåò ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â ñòåðæíå
ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå íà êîíöàõ.
Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.1) ïðè íóëåâûõ êðàåâûõ
è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ϕ(x) = µ1 (t) = µ2 (t) ≡ 0) íàõîäèòñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè f ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ äëÿ
îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. Òàê, â ñëó÷àå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è
f (x, t) =
∞
X
fn (t) sin
n=1
p
2
λn x, fn (t) =
l
Zl
f (x, t) sin
p
n2 π 2
λn xdx, λn = 2
l
(2.19)
0
è ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è èìååò âèä
 t

Zt Z l
Z
∞
X
p
2 (t−τ )
−ω
 e n
u(x, t) =
G(x, ξ, t − τ )f (ξ, τ )dξdτ, (2.20)
fn (τ )dτ  sin λn x =
n=1
ãäå
0
0
0
∞
p
p
p
2 X −ωn2 (t−τ )
G(x, ξ, t − τ ) =
e
sin λn x sin λn ξ, ωn = a λn .
l n=1
(2.21)
Ôóíêöèÿ G(x, ξ, t) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ìãíîâåííîãî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà òåïëà (èëè ôóíêöèåé Ãðèíà). Îíà äàåò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå 0 ≤ x ≤ l
â ìîìåíò âðåìåíè t, âûçâàííîå äåéñòâèåì ìãíîâåííîãî èñòî÷íèêà òåïëà âåëè÷èíû
Q = cρ â òî÷êå ξ ∈ (0, l) ïðè t = 0. Ïðè ýòîì íà êîíöàõ ñòåðæíÿ âñå âðåìÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñìåøàííîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè (2.1)(2.3) íàõîäèòñÿ â âèäå ñóììû ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ âñïîìîãàòåëüíûõ çàäà÷ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ïîêàçàíî âûøå â ñëó÷àå âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ.
7
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Âëàäèìèðîâ Â. Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1971.
2. Êîøëÿêîâ Í. Ñ., Ãëèíåð Ý. Á., Ñìèðíîâ Ì. Ì. Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1970.
3. Ìèõëèí Ñ. Ã. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1968, ÑÏá., 2002.
4. Ïåòðîâñêèé È. Ã. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ì., 1961.
5. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 2, 5.
6. Ñîáîëåâ Ñ. Ë. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.-Ë., 1950.
7. Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1972.
8