Элементы теории случайных процессов

Óëüÿíîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Êàôåäðà Ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè
Ýëåìåíòû òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ:
ÏÐÎÖÅÑÑÛ ÈÒÎ
ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå
Áóòîâ À.À.
Óëüÿíîâñê, 1996
ÓÄÊ 519.2
À.À.Áóòîâ. Ýëåìåíòû òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ: ïðîöåññû
Èòî.- Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå. - Óëüÿíîâñê: ÓëÃÓ, 1996. - 16 ñ.
 îñíîâó íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ ïîëîæåíû íåêîòîðûå ðàçäåëû
ñïåöêóðñà, ÷èòàåìîãî àâòîðîì â òå÷åíèå ðÿäà ëåò â 6-ì ñåìåñòðå íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå óëüÿíîâñêîãî ôèëèàëà ÌÃÓ, íûíå - ÓëÃÓ. Èçëàãàþòñÿ â ñåìèìàðòèíãàëüíûõ
òåðìèíàõ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, êîíñòðóêöèè è ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿòèåì ôîðìóëû Èòî, ïðîöåññîâ Èòî, ïðîöåññîâ
äèôôóçèîííîãî òèïà, äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ.
Ðåöåíçåíò - êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Êîâàëåâ Å.À.
Îäîáðåíî ðåøåíèåì êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ÓëÃÓ
c Óëüÿíîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò, 1996
°
3
Ñîäåðæàíèå
1 Ôîðìóëà Èòî
5
2 Ïðîöåññû Èòî, ïðîöåññû äèôôóçèîííîãî òèïà,
äèôôóçèîííûå ïðîöåññû
8
3
Ëèòåðàòóðà
17
4
1
Ôîðìóëà Èòî
 îñíîâå ñòîõàñòè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ëåæèò ôîðìóëà çàìåíû
ïåðåìåííûõ, èçâåñòíàÿ êàê ôîðìóëà Èòî.
Ïóñòü f (x) - äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ
ôóíêöèÿ, ïðîöåññ X = (Xt )t≥0 - íåïðåðûâíûé ñåìèìàðòèíãàë
ñ (ñì. ôîðìóëó (2.1.) â [4])
Xt = X0 + Vt + Mt
Îáîçíà÷èì f 0 (x) è f 00 (x) - ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå f (x).
Ôîðìóëà Èòî. Ïðîöåññ f (X) = (f (Xt ))t≥0
ìàðòèíãàëîì ñ
Zt
f (Xt ) = f (X0 ) +
0
ÿâëÿåòñÿ ñåìè-
1 Zt 00
f (Xs )dhM is
f (Xs )dXs +
20
0
(1.1)
 ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå f (x) = f (x1 , · · · , xd ), è ïðè íåïðåðûâíûõ ïðîèçâîäíûõ
∂ 2 f (x)
Dij f (x) =
∂xi ∂xj
∂f (x)
,
Di f (x) =
∂xi
äëÿ
d-ìåðíîãî íåïðåðûâíîãî ñåìèìàðòèíãàëà
(X , · · · , X d ) ñ X i = X0i + V i + M i .
X
=
1
d Zt
X
d X
d
1X
Dij f (Xs )dhM i , M j is
2 i=1 j=1
i=1 0
(1.2)
Ñëåäñòâèåì ôîðìóëû (1.2) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì äëÿ íåïðåðûâíûõ ñåìèìàðòèíãàëîâ X è Y
f (Xt ) = f (X0 )+
Di f (Xs )dXsi +
X = X0 + V + M
Y = Y0 + U + N,
5
ãäå V, U ∈ Vloc , è M, N ∈ Mloc :
Zt
Xt · Yt = X0 · Y0 +
Zt
Xs dYs +
0
Ys dXs + hM, N it
(1.3)
0
 ÷àñòíîñòè,
Xt2
=
X02
Zt
+2
Xs dXs + hM it
(1.4)
0
Îáîáùåíèåì ôîðìóëû (1.2) íà ñëó÷àé ñåìèìàðòèíãàëîâ, äîïóñêàþùèõ ñêà÷êè ÿâëÿåòñÿ
f (Xt ) = f (X0 )+
d Zt
X
i=1 0
Di f (Xs− )dXsi +

+
X
0<s≤t
f (X
s)
− f (Xs− ) −
d
X
i=1
d X
d
1X
Dij f (Xs− )dhM ic , M jc is +
2 i=1 j=1

Di f (Xs− )4 Xsi  ,
(1.5)
ãäå M ic (M jc ) - íåïðåðûâíûå ÷àñòè êîìïîíåíò â ñåìèìàðòèíãàëüíîì ðàçëîæåíèè X.
 ñëó÷àå çàâèñèìîñòè ôóíêöèè f îò t ê âûðàæåíèÿì â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (1.1), (1.2) èëè (1.5) äîáàâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé äèôôåðåíöèàë ïî t, íàïðèìåð, äëÿ (1.1): ïóñòü
ôóíêöèÿ f(t,x) íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå
00
fs0 (s, x), fx0 (s, x) è fxx
(s, x). Òîãäà äëÿ íåïðåðûâíîãî ñåìèìàðòèíãàëà X = X0 + V + M ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
Zt
f (t1 Xt ) = f (0, X0 ) +
fs0 (s, Xs )ds
0
Zt
+
fx0 (s, Xs )dXs +
0
1 Zt 00
+
f (s, Xs )dhM is
2 0 xx
(1.6)
Àíàëîãè÷íûå îáîáùåíèÿ èìåþò ìåñòî äëÿ ñëó÷àåâ (1.2) è (1.5).
Äåòàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóë Èòî ñì., íàïðèìåð, â [3,
ãë.4 § 3]. Çäåñü æå óêàæåì ëèøü ïóòü òàêîãî äîêàçàòåëüñòâà
äëÿ ñëó÷àÿ (1.1).
6
Çàïèøåì òîæäåñòâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà
[0,t] òî÷êàìè t0 , t1 , · · · , tn ñ 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t
f (Xt ) = f (X0 ) +
n−1
X h
i=0
= f (X0 ) +
n−1
X
i=0
i
f (Xti+1 ) − f (Xti ) =
[f (Xti + 4Xti ) − f (Xti )] ,
(1.7)
ãäå 4Xti = Xti+1 − Xti . Äàëåå, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè âòîðîé
ïðîèçâîäíîé f, ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä Òýéëîðà èìååì
h
i
1
f (Xti +4Xti ) = f (Xti )+f 0 (Xti )4Xi + f 00 (Xti ) (4Xti )2 + o((4Xti )2
2
è, ñëåäîâàòåëüíî,
n−1
X
X 00
1 n−1
f (Xt ) = f (X0 ) +
f (Xti ) 4 Xti +
f (Xti )·
2 i=0
i=0
0
h
· (4Xti )2 + o((4Xti )2
i
(1.8)
Ïåðâîå ñëàãàåìîå çäåñü f (X0 ) ïðèñóòñòâóåò è â ôîðìóëå (1.1).
Ïðè ñòðåìëåíèè ìåëêîñòè ðàçáèåíèÿ ê íóëþ max (ti+1 − ti ) →
0≤i<n
0, âòîðîå ñëàãàåìîå â (1.8) ñõîäèòñÿ êî âòîðîìó ñëàãàåìîìó â
ïðàâîé ÷àñòè (1.1), à òðåòüå - ê òðåòüåìó â ñèëó òîãî, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ âàðèàöèÿ [X, X]t ñîâïàäàåò ñ [M, M ]t = hM it , t ≥
0.
7
2
Ïðîöåññû Èòî, ïðîöåññû äèôôóçèîííîãî
òèïà, äèôôóçèîííûå ïðîöåññû
Îïðåäåëåíèå 1. Íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X = (Xt )t≥0
íà ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå B = (Ω, F, F = (Ft )t≥0 , P ) íàçûâàåòñÿ
ïðîöåññîì Èòî ïî îòíîøåíèþ ê âèíåðîâñêîìó íà ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå B ïðîöåññó W = (Wt )t≥0 , åñëè ñóùåñòâóþò äâà Fñîãëàñîâàííûõ ïðîöåññà a = (at (ω))t≥0 è b = (bt (ω))t≥0 òàêèå,
÷òî ïðè ëþáîì êîíå÷íîì t ≥ 0
P


Zt


P
|as (ω)|ds < ∞ = 1
0


Zt





0




b2s (ω)ds < ∞ = 1

(2.1)
(2.2)
è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 äëÿ âñåõ t ≥ 0
Zt
Xt = X0 +
Zt
as (ω)ds +
0
bs (ω)dWs
(2.3)
0
Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ïðîöåññ X èìååò ñòîõàñòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàë
dXt = at (ω)dt + bt (ω)dWt
(2.4)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì X0 , ïîíèìàÿ ïðè ýòîì (2.4) êàê ñîêðàùåííóþ çàïèñü (2.3).
 ñîîòâåòñòâèè ñ êîíñòðóêöèåé ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà,
ïðèâåäåííîé âî âòîðîì ïóíêòå, óñëîâèÿ (2.1) è (2.2) îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå âûðàæåíèé â (2.3). Òàêæå äëÿ ëþáîãî Fñîãëàñîâàííîãî ïðîöåññà f = (ft (ω))t≥0 ñ
Zt
P { |fs (ω)as (ω)|ds < ∞} = 1
0
8
Zt
P { fs2 (ω)b2s (ω)ds < ∞} = 1
0
îïðåäåëåí ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë
Zt
Zt
fs (ω)dxs =
0
Zt
fs (ω)as (ω)ds +
0
fs (ω)bs (ω)dWs
(2.5)
0
Îïðåäåëåíèå 2. Ïðîöåññ Èòî X íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì äèôôóçèîííîãî òèïà (ïî îòíîøåíèþ ê âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó W),
åñëè ïðîöåññû à è b, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå (2.3), ÿâëÿþòñÿ
FX - ñîãëàñîâàííûìè (ò.å.
∀ t ≥ 0 at (ω) è bt (ω) FX
t - èçìåðèìû).
 ýòîì ñëó÷àå íàéäóòñÿ èçìåðèìûå ïî ïàðå ïåðåìåííûõ
(t,x), íåóïðåæäàþùèå ôóíêöèîíàëû A(t,x) è B(t,x) äëÿ t ∈
R+ , x ∈ C , òàêèå, ÷òî P-ï.í. äëÿ ïî÷òè âñåõ t (ïî ìåðå Ëåáåãà)
at (ω) = A(t, X(ω)), bt (ω) = B(t, X(ω)), ãäå X(ω) - òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (Xt (ω))t≥0 . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïðîöåññà äèôôóçèîííîãî òèïà íàðÿäó ñ ïðåäñòàâëåíèåì (2.3) èìååò ìåñòî
Zt
Xt = X0 +
Zt
A(s, X)ds +
0
B(s, X)dWs
(2.6)
0
Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (2.6) èìååò âèä óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî X. È õîòÿ ôóíêöèîíàëû A(s,x) è B(s,x) íå ÿâëÿþòñÿ
ñëó÷àéíûìè (ïðè ôèêñèðîâàííîé òðàåêòîðèè x ∈ C íå çàâèñÿò îò ω ∈ Ω), óðàâíåíèå (2.6) íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïîòðàåêòîðíîãî. Ýòî âûçâàíî òåì, ÷òî ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó íå ÿâëÿåòñÿ ïîòðàåêòîðíûì
îòîáðàæåíèåì. Â ñâÿçè ñ ýòèì äàæå ïîíÿòèå åäèíñòâåííîñòè
ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.6), èëè
ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
dXt = A(t, X)dt + B(t, X)dWt ,
9
X0 = X0 (w)
(2.7)
íåñîïîñòàâèìî ñëîæíåå, ÷åì â äåòåðìèíèñòñêîì ñëó÷àå.
Îïðåäåëåíèå 3. Ðåøåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.7) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî åäèíñòâåííûì (èëè
åäèíñòâåííûì ïî òðàåêòîðèÿì), åñëè ëþáûå äâà ðåøåíèÿ íà
ëþáîì (îäíîì è òîì æå) áàçèñå B è ñ ëþáûì (îäíèì è òåì
æå) âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì W ñîâïàäàþò. Ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ ñëàáî åäèíñòâåííûì (èëè åäèíñòâåííûì ïî ðàñïðåäåëåíèþ), åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ îäèí è òîò æå äëÿ âñåõ ðåøåíèé ( â òîì ÷èñëå è íà ðàçíûõ áàçèñàõ), (ñì. ïîäðîáíåå [2, ãë.2
§1, 2]).
Çàìåòèì, ÷òî åñëè óðàâíåíèå èìååò ñèëüíî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî îíî è ñëàáî åäèíñòâåííî, íî îáðàòíîå íåâåðíî, ò.å.
ëåãêî ìîæåò áûòü ïîñòðîåí ïðèìåð óðàâíåíèÿ ñî ñëàáî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì, íå ÿâëÿþùèìñÿ ñèëüíî åäèíñòâåííûì.
Ïðèâåäåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñèëüíîé åäèíñòâåííîñòè è
ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ (2.7), [3, ãë. 4 §4 ]:
Ïóñòü íåóïðåæäàþùèå ôóíêöèîíàëû A(t, x), B(t, x) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà
2
2
Zt
|A(t, x)−A(t, y)| +|B(t, x)−B(t, y)| ≤ L1
|xs −ys |2 dk(s)+L2 |xt −yt |2
0
(2.8)
è óñëîâèþ ëèíåéíîãî ðîñòà
Zt
A (t, x) + B (t, x) ≤ L1 (1 + x2s )dk(s) + L2 (1 + x2t )
2
2
(2.9)
0
ãäå L1 , L2 - êîíñòàíòû, t ∈ R+ , k(s) - íåóáûâàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ñïðàâà ôóíêöèÿ, x, y ∈ C ;
Ïóñòü η = η(ω) − F0 - èçìåðèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,
P {|η(ω)| < ∞} = 1.
Òîãäà óðàâíåíèå (2.7) ñ X0 = η èìååò, è ïðèòîì ñèëüíî
åäèíñòâåííîå, ðåøåíèå X = (Xt )t≥0 .
10
Ïðèâåäåííûå óñëîâèÿ ìîãóò áûòü ñóùåñòâåííî îñëàáëåíû
(ñì. [2, ãë.2]).
Ïðîöåññû äèôôóçèîííîãî òèïà - ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîöåññîâ
Èòî. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïðîöåññîâ äèôôóçèîííîãî òèïà ÿâëÿþòñÿ äèôôóçèîííûå ïðîöåññû.
Îïðåäåëåíèå 4. Ïðîöåññ äèôôóçèîííîãî òèïà (2.7) íàçûâàåòñÿ äèôôóçèîííûì ïðîöåññîì â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèîíàëû A(t, x), B(t, x) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè xt , ò.å. ñóùåñòâóþò ôóíêöèè At (z), Bt (z), z ∈ R, t ∈ R+ òàêèå, ÷òî A(t, x) =
At (xt ), B(t, x) = Bt (xt ), t ≥ 0 äëÿ ëþáûõ íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé x ∈ C . È, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîöåññ X èìååò ñòîõàñòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàë âèäà
dXt = At (Xt )dt + Bt (Xt )dWt ,
X0 = X0 (ω)
(2.10)
Ïðè ýòîì äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ ñèëüíî
åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.10) â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.8)
è (2.9) ÿâëÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ
[At (z) − At (z̃)]2 + [Bt (z) − Bt (z̃)] ≤ L[z − z̃]2
è
A2t (z) + Bt2 (z) ≤ L(1 + z 2 ),
(2.11)
(2.12)
ãäå z, z̃ ∈ R, t ∈ R+ , L - êîíñòàíòà, è P {|X0 (ω)| < ∞} = 1.
Èññëåäóåì âàæíûå ÷àñòíûå ñëó÷àè äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ - ñëó÷àè, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèè At (z) è Bt (z) ëèíåéíû (ïî
z ).
Ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå Ëàíæåâåíà (ïðè λ >
0):
√
dXt = −λXt dt +
2λdWt ,
X0 = X0 (ω)
(2.13)
Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ (ïðè X0 − F0 - èçìåðèìîé ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ñ ðàñïðåäåëåíèåì N(0, 1)) ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ Îðíøòåéíà-Óëåíáåêà
Xt = e
−λt
Zt
(X0 +
0
11
√
eλs 2λdWs )
(2.14)
Óáåäèòüñÿ â ýòîì ëåãêî ìîæíî ïî ôîðìóëå Èòî, à ñèëüíàÿ
åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç (2.11) è (2.12) c L = λ2 + 2λ. Çàìåòèì, ÷òî (òàêæå ïî ôîðìóëå Èòî) EXt Xs = e−λ|t−s| è EXt = 0,
ò.å. ïðè t ≥ 0 ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì (â ñèëó ãàóññîâîñòè, êàê â øèðîêîì, òàê è â óçêîì ñìûñëå).
Îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ (2.13) ìîæåò ñëóæèòü ïðîöåññ Èòî
ñ äèôôåðåíöèàëîì
dXt = at (ω)Xt dt + dMt ,
X0 = X0 (ω)
(2.15)
ãäå X0 − F0 - èçìåðèìà, M = (Mt )t≥0 ∈ Mcloc , è äëÿ ïðîöåñRt
ñà a = (at (ω))t≥0 íà áàçèñå B, è P { |as (ω)|ds < ∞} = 1 è
P

Rs

Rt −2 as (ω)du

0
e
0
0



dhM is < ∞ = 1 äëÿ ëþáûõ t ≥ 0. Òîãäà ïî

ôîðìóëå Èòî
Rt
Xt = e 0

as (ω)ds

X0
+
s

0

dMs 
R
Zt − as (ω)du
e
(2.16)
0
Äðóãèì âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå
Äîëåàí-Äýä:
dXt = Xt σt dWt c X0 = 1
(2.17)
èëè â èíòåãðàëüíîì âèäå
Zt
Xt = 1 +
Xs σs dWs ,
(2.18)
0
ãäå σs - äåòåðìèíèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ñ
Zt
σs2 ds < ∞
(2.19)
0
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.17) ÿâëÿåòñÿ, êàê âèäíî èç (2.18),
íåïðåðûâíûé ëîêàëüíî êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë. Ïî ôîðìóëå Èòî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåøåíèåì (2.17)
12
ñëóæèò ïðîöåññ


Zt
Xt = exp 

0


1 Zt 2 
σs dWs −
σs ds ,

20
(2.20)
íàçûâàåìûé ìàðòèíãàëüíûé ýêñïîíåíòîé èëè ñòîõàñòè÷åñêîé
ýêñïîíåíòîé.
Îáîáùåíèåì ýòîãî ïðîöåññà ïðåæäå âñåãî îêàçûâàåòñÿ ïðîöåññ ñ äîïóùåíèåì î σt = σt (ω) êàê î ñëó÷àéíîì ïðîöåññå íà
B
1 Zt 2
E exp{
σ (ω)ds} < ∞
20 s
(2.21)
âìåñòî ïðåäïîëîæåíèÿ (2.19). Ïðîöåññ Èòî X = (Xt )t≥0 ïðè
îãðàíè÷åíèÿõ (2.21) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì M2loc è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (2.20).
Ñëåäóþùèé øàã â îáîáùåíèè - ïðîöåññ X c
dXt = Xt dYt ,
èëè
X0 = 1
Zt
Xt = 1 +
Xs dYS ,
0
ãäå Y = (Yt )t≤0 - íåïðåðûâíûé ñåìèìàðòèíãàë íà B ñ Yt =
Y0 + Bt + Mt . Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ (ïî ôîðìóëå Èòî)
1
Xt = exp{Yt − Y0 − hM it }
(2.22)
2
 ñëó÷àå, åñëè Y - ñåìèìàðòèíãàë îáùåãî âèäà (áûòü ìîæåò
ñî ñêà÷êàìè), óðàâíåíèå
Zt
Xt = 1 +
Xs− dYs
(2.23)
0
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îáîçíà÷àåìîå E(Y ) = (Et (Y ))t≥0 è
íàçûâàåìîå ñòîõàñòè÷åñêîé ýêñïîíåíòîé èëè ýêñïîíåíòîé Äîëåàí,
(
)
Y
1
Et (Y ) = exp Yt − Y0 − hM c it ·
(1 + 4Ys ) e−4Ys , (2.24)
2
s≤t
13
ãäå M c - íåïðåðûâíàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ÷àñòü Y.
Çàïèøåì ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñåìèìàðòèíãàëüíîãî îáîáùåíèÿ äëÿ ëèíåéíîãî ïðîöåññà Èòî:
dXt = Xt dYt + dZt ,
ãäå Y = (Yt )t≥0 ,
ñ
X0 = X0 (ω),
(2.25)
Z = (Zt )t≥0 - íåïðåðûâíûå ñåìèìàðòèíãàëû
Yt = Y0 + Bt + Mt
Zt + Z0 + At + Nt ,
ãäå B, A ∈ Vloc , è M, N ∈ Mcloc ñ êâàäðàòè÷íûìè õàðàêòåðèñòèêàìè hM it , hN it , hM, N it , t ≥ 0, è X0 , Y0 , Z0 − F0 - èçìåðèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.25) ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ

Xt = e
{Yt −Y0 − 21 hM it }

X0

Zt
+
−e
{Ys −Y0 − 21 hM is }
(dZs − dhM, N is )
0
1
2 hM it }
Äîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì rt = exp{Yt − Y0 −
âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (2.26). Òîãäà
(2.26)
è ut -
Xt = rt · ut
è ïî ôîðìóëå Èòî
dXt = ut drt + rt dut + d[r, u]t .
(2.27)
Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî,
ut drt = Xt dYt ,
rt dut = dZt − dhM, N it ,
d[r, u]t = d[M, N ]t = dhM, N it ,
÷òî è äîêàçûâàåò (ïðè ïîäñòàíîâêå â (2.27)) ôîðìóëó (2.26),
ïîñêîëüêó îïðåäåëÿåò (2.25).
14
Çàìåòèì, ÷òî è äèôôóçèîííûé ïðîöåññ ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà è äèôôóçèîííûé (íåïðåðûâíûé) ïðîöåññ ÄîëåàíÄýä ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ïðîöåññîâ (2.25). ×èòàòåëü
ëåãêî îáîáùèò ñàìîñòîÿòåëüíî ôîðìóëó (2.26) äëÿ (2.25) â ñëó÷àå ñåìèìàðòèíãàëîâ ñî ñêà÷êàìè ïî àíàëîãèè ñ (2.24).
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì âàæíûé ìàðòèíãàëüíûé ìåòîä
èññëåäîâàíèÿ äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâå ôîðìóëû
Èòî.
Ïóñòü a(x), σ(x) - îãðàíè÷åííûå èçìåðèìûå ôóíêöèè
è |σ(x)| ≥ δ > 0 ∀ x ∈ R. Ïóñòü äèôôóçèîííûé ïðîöåññ
ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
dXt = a(Xt )dt + σ(Xt )dWt
ñ X0 = X0 (ω)− F0 - èçìåðèìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ðàññìîòðèì äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ f(x), è
ïî ôîðìóëå Èòî
"
#
1
df (Xt ) = f (Xt )a(Xt ) + f 00 (Xt )σ 2 (Xt ) dt + f 0 (Xt )σ(Xt )dWt
2
0
ïîäáåðåì åå òàêîé, ÷òîáû âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ
òîæäåñòâåííî ðàâíÿëîñü íóëþ. Ïðè ýòîì f (Xt ) îêàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì. Òàêîé âûáîð îñóùåñòâëÿåòñÿ èç
óðàâíåíèÿ, x ∈ R,
1
f 0 (x)a(x) + f 00 (x)σ 2 (x) = 0
2
 êà÷åñòâå ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ
Zx
f (x) =
0



exp −

Zv
0


a(s) 
ds
dv,

σ 2 (s) 
x∈R
 ñèëó ìîíîòîííîñòè f(x) äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A ⊆ R
{ω : Xt (ω) ∈ A} = {ω : f (Xt (ω)) ∈ f (A)},
15
ãäå f (A) - ìíîæåñòâî òî÷åê f(x) ïðè x ∈ A. Îöåíêè âåðîÿòíîñòåé äëÿ f (Xt ) ïðè ýòîì çà÷àñòóþ ëåãêî îñóùåñòâèìû â ñèëó
ìàðòèíãàëüíîñòè (f (Xt ))t≥0 - ñì., íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà Äýâèñà è Äóáà â [4].
16
3
Ëèòåðàòóðà
1. Ëèïöåð Ð.Ø., Øèðÿåâ À.Í. Òåîðèÿ ìàðòèíãàëîâ. - Ì.: Íàóêà, 1986, - 512 ñ.
2. Àíóëîâà Ñ.Â., Âåðåòåííèêîâ À.Þ., Êðûëîâ Í.Â., Ëèïöåð
Ð.Ø., Øèðÿåâ À.Í. Ñòîõàñòè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå. // Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñîâðåì. ïðîáë. ìàòåì. Ôóíäàìåíò. íàïðàâëåíèÿ.
- ÂÈÍÈÒÈ, 1989. - ò.45. - 260 ñ.
3. Ëèïöåð Ð.Ø., Øèðÿåâ À.Í. Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (íåëèíåéíàÿ ôèëüòðàöèÿ è ñìåæíûå âîïðîñû).- Ì.: Íàóêà, 1974.- 696 ñ.
4. Áóòîâ À.À. Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ. //
Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå. - Óëüÿíîâñê, ÓëÃÓ, 1996. - 18 ñ.
17