Использование численных методов решения стохастических

Èñïîëüçîâàíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè
íàíåñåíèÿ òîíêèõ ïëåíîê êàðáèäà êðåìíèÿ
Àâåðèíà Ò. À.
Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ,
Íîâîñèáèðñê;
[email protected]
Ñîâðåìåííûå òåõíè÷åñêèå ðåøåíèÿ âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ ôèçèêè
ñâÿçàíû ñ íåîáõîäèìîñòüþ ÷èñëåííîãî àíàëèçà áûñòðîïðîòåêàþùèõ ïðîöåññîâ â
ñèëüíîíåðàâíîâåñíûõ ñðåäàõ. Èçó÷åíèå ìåõàíèçìîâ ôîðìèðîâàíèÿ ïîêðûòèé êàðáèäà êðåìíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àêòóàëüíóþ çàäà÷ó ýêñïåðèìåíòàëüíîé è âû÷èñëèòåëüíîé ôèçèêè [1,2]. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãåòåðîãåííîé êîíäåíñàöèè ïàðîâ êàðáèäà êðåìíèÿ îïèñûâàåòñÿ êâàçèëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ [3].
Ýâîëþöèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ìîæåò áûòü îïèñàíà ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé.  íåêîòîðûõ
ñëó÷àÿõ ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà ìîæåò çàâèñåòü îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ. Ïðè÷åì î÷åíü ÷àñòî ýòà çàâèñèìîñòü íå ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíà â êîýôôèöèåíòû.  ñòàòüå ïðåäëîæåí
÷èñëåííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ÑÄÓ, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìåðà, îïðåäåëÿþùàÿ
ïóàññîíîâñêóþ ìåðó, çàâèñèò îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ.
Ìîäåëü ãåòåðîãåííîé êîíäåíñàöèè ïàðîâ êàðáèäà êðåìíèÿ. Â ðàáîòå [3] îïèñàíà ìîäåëü ãåòåðîãåííîé êîíäåíñàöèè ïàðîâ êàðáèäà êðåìíèÿ. Êëàñòåð
çàðîäûøà êàðáèäà êðåìíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà ïåðåìåííîé
ìàññû Mg (t), êîòîðàÿ ìîæåò èçìåíèòü ñâîå ïîëîæåíèå íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè ïîä
äåéñòâèåì ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ çàðîäûøåé äðóã ñ äðóãîì è ñ äåôåêòàìè ðåøåòêè. Óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà-Ôåëëåðà äëÿ ýâîëþöèè ðàçìåðà êëàñòåðà èìååò âèä
[3]:
h
i
h
i
Ââåäåíèå.
∂∆Φ(g,r,t)
∂ Dg (g, t) ∂fr∂g(g,t)
1 ∂ Dg (g, t)fr (g, t) ∂g
∂fr (g, t)
=
+
+ Sα − Q,
∂t
∂g
kT
∂g
(1)
∂fr (g, t)
|g=2 = 0, fr (g, t)|g<2 = 0,
∂t
Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà-Ñìîëóõîâñêîãî äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà çàðîäûøà (ñ ìàññîé çàðîäûøà Mg (t)) ïî êîîðäèíàòàì, ïîëó÷åííîå èç óðàâíåíèÿ (1), çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
h
i
h
i
∂fg (g,t)
F (r,t)
∂
D
(g,
t)
∂
f
(r,
t)
r
g
∂r
Mg γ
∂fg (r, t)
=
−
(2)
∂t
∂r
∂r
fr (g, 0) = f0g ,
fg (r, 0) = f0r ,
fg (r, t)x=xlef t = fg (r, t)x=xright ,
fg (r, t)y=ylef t = fg (r, t)y=yright .
Çäåñü Sα (fα ) - ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà ìîíîìåðîâ "ïàðà"; fr (g, t) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàðîäûøåé ïî ðàçìåðàì â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè r = (x, y) íà ïîâåðõíîñòè;
g - ÷èñëî àòîìîâ â êëàñòåðå, Dg = Dg0 g 2/3 - êîýôôèöèåíò äèôôóçèè â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðîâ; ∆Φ(g, r, t) - òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë îáðàçîâàíèÿ çàðîäûøà
(èëè ýíåðãèÿ Ãèááñà); fg (r, t) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàðîäûøåé ïî êîîðäèíàòàì
ïîâåðõíîñòè, ãäå r -ïîëîæåíèå öåíòðà
ìàññ êëàñòåðà îòíîñèòåëüíî îðòîãîíàëüíîé
p
ñèñòåìû êîîðäèíàò r = x2 + y 2 .
1
 ðàáîòå [3] äëÿ óðàâíåíèé (1)-(2) (â ñëó÷àå Sα = Q = 0) ïîëó÷åíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ÑÄÓ ÷èñëåííûì ìåòîäîì èç [4], äëÿ êàæäîé i-é òðàåêòîðèè ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷àþò â ìîìåíò âðåìåíè tn : ðàçìåð êëàñòåðà gn è åãî êîîðäèíàòû
(xn , yn ).
Ïðè íåêîòîðîì óòî÷íåíèè ìîäåëè, ïðè ó÷åòå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé êàðáîíèçàöèè [2], â óðàâíåíèå (1) äîáàâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûé ÷ëåí Sα 6= 0.  ðåçóëüòàòå,
ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ÑÄÓ áóäåò ñîäåðæàòü ïóàññîíîâñêóþ ñîñòàâëÿþùóþ, çàâèñÿùóþ îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Íèæå áóäåò ïîñòðîåí ÷èñëåííûé ìåòîä äëÿ
ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì, èñïîëüçóþùèé ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ [5].
Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïóàññîíîâñêîé ñî-
Çàäà÷à Êîøè äëÿ ñèñòåì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé èìååò âèä:
Z t
nW Z t
X
Y(t) = Y(t0 ) +
a(Y, τ )dτ +
σ·j (Y, τ )dwj (τ )+
(3)
ñòàâëÿþùåé.
0
Z tZ
0
j=1
0
c(Y(τ − ), τ, θ)ν(dθ × dτ ),
t ∈ [0, T ],
Γ
ãäå Y(t) - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ðàçìåðíîñòè nY ; W(t) - nW -ìåðíûé ñòàíäàðòíûé
âèíåðîâñêèé ïðîöåññ; ν ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà íà Γ×[0, T ] ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ìåðîé
Π, çàäàííàÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèåé π(θ, t, Y); a(Y, t) è c(Y, t, θ)- nY -ìåðíûå
âåêòîð-ôóíêöèè; σ(Y, t) - ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðà nY × nW ; σ·j (Y, t) - j - é
ñòîëáåö ìàòðèöû σ ; Y0 - ñëó÷àéíûé âåêòîð íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé. Òàê êàê ðåøåíèåì
ÑÄÓ (3) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûé ñïðàâà ïðîöåññ áåç ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà, òî Y(t− )
îáîçíà÷àåò çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â òî÷êå t ñëåâà.
Åñëè ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó W(t) â (3) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Èòî, òî ÑÄÓ (3) ÿâëÿþòñÿ ÑÄÓ Èòî, åñëè ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë
ïî âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó W(t) â (3) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ñòðàòîíîâè÷à, òî ÑÄÓ
(3) ÿâëÿþòñÿ ÑÄÓ Ñòðàòîíîâè÷à.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìåðà Π, çàäàþùàÿ ïóàññîíîâñêóþ ñëó÷àéíóþ ìåðó ν ,
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ π ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Z
−
Π(B, t, Y(t )) =
π(θ, t, Y(t− ))dθ, B ∈ Γ.
(4)
B
Îáîçíà÷èì ôóíêöèè
Z
µ(t, Y) =
π(θ, t, Y)dθ,
h(θ, t, Y) = π(θ, t, Y)/µ(t, Y),
(5)
Γ
õàðàêòåðèçóþùèå ïóàññîíîâñêóþ ñëó÷àéíóþ ìåðó ν .
Åñëè âñå ýëåìåíòû ôóíêöèè a(Y, t) äèôôåðåíöèðóåìû, à âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû σ(Y, t) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî Y, òî äëÿ ïðîöåññà Y, óäîâëåòâîðÿþùåãî
óðàâíåíèþ (3) ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ p(t0 , Y0 , t, Y) êàê ôóíêöèÿ t è Y óäîâëåòâîðÿåò
ïðÿìîìó óðàâíåíèþ Êîëìîãîðîâà [6]
∂p
= Kt,Y [p]
∂t
2
(6)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
lim p(t0 , Y0 , t, Y) = δ(Y − Y0 ).
t→t0
Îïåðàòîð Kt,Y [·] îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Kt,Y [·] = Lt,Y [·] + Mt,Y [·],
1 ∂2 ∂ ai (Y, t)p(Y) +
σil σjl (Y, t)p(Y) ,
∂yi
2 ∂yi ∂yj
Z
p(Z) δ Y − Z − c(Z, t, θ) − δ(Y − Z) π(θ, t, Z)dθdZ.
(7)
Lt,Y [p(Y)] = −
(8)
Z
(9)
Mt,Y [p(Y)] =
RnY
Γ
Îïåðàòîðû K , L, M íàçûâàþò ïðÿìûìè ïðîèçâîäÿùèìè îïåðàòîðàìè ïðîöåññà Y
(çàìåòèì, ÷òî äâîéíûå èíäåêñû ïîäðàçóìåâàþò ñóììèðîâàíèå ïî íèì). Îáðàòíûå
ïðîèçâîäÿùèå îïåðàòîðû K ∗ , L∗ , M ∗ ïðîöåññà Y èìåþò âèä:
∗
∗
Kt,Y
[·] = L∗t,Y [·] + Mt,Y
[·],
∂ 2 p(Y)
∂p(Y) 1
+ σil σjl (Y, t))
,
∂yi
2
∂yi ∂yj
Z ∗
Mt,Y [p(Y)] =
p(Y + c(Y, t, θ)) − p(Y) π(θ, t, Y)dθ.
L∗t,Y [p(Y)] = ai (Y, t)
(10)
(11)
(12)
Γ
Ñ ïîìîùüþ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêè ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå è îáðàòíûå
îïåðàòîðû ñîïðÿæåíû ìåæäó ñîáîé, ò.å. äëÿ ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè V ïðîñòðàíñòâà S ,
â êîòîðîé ýëåìåíòû ôóíêöèè a(Y, t) äèôôåðåíöèðóåìû, ýëåìåíòû ìàòðèöû σ(Y, t)
äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî Y, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
Z
Z
∗
p(Y)Kt,Y
[u(Y)]dY,
(13)
u(Y)Kt,Y [p(Y)]dY =
V
V
ãäå u(Y) è p(Y) ïðîèçâîëüíûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèè, èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà âìåñòå
ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè ðàâíà íóëþ íà ãðàíèöå îáëàñòè V .
Àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé.
 ðàáîòå [4] áûë îïèñàí àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé, êîãäà ôóíêöèÿ π(θ, t, Y), çàäàþùàÿ ïóàññîíîâñêóþ ìåðó, íå çàâèñåëà îò Y.
Ìû îáîáùèì åãî íà ñëó÷àé, êîãäà åñòü çàâèñèìîñòü îò Y. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìåðà êîíå÷íà è
µ(t, Y) ≤ Π̄,
t ∈ [0, T ],
Y ∈ RnY .
(14)
Òîãäà íà îñíîâå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑÄÓ [4] è ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà
"ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ"[5] ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì.
Àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé (??):
0) k := 0. Ïóñòü â ìîìåíò tk âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ðàâåí Y(tk ) = Yk .
1) ìîäåëèðóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó α1 - ðàâíîìåðíóþ íà èíòåðâàëå (0,1) è ïîëàãàåì z = 1, s = 1;
3
2) ìîäåëèðóåì âîçìîæíûé ìîìåíò ñêà÷êà tk+1 = tk +τ : ãäå τ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ p(x) = Π̄ ∗ exp(−Π̄x), êîòîðàÿ ìîäåëèðóþòñÿ ïî
ôîðìóëå [7]
τ = −lnα/Π̄,
ãäå α (0,1) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíàÿ íà èíòåðâàëå (0,1);
3) åñëè tk+1 ≥ T , òî tk+1 = T è s := 0;
4) íà èíòåðâàëå [tk , tk+1 ] ðåøàåì óðàâíåíèå
dY(t) = a(Y, t)dt +
nW
X
σ·j (Y, t))dwj (t),
Y(tk ) = Yk
(15)
j=1
ëþáûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ ÑÄÓ (15) [4] è íàõîäèì Yk+1 âåêòîð
ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè tk+1 ;
5) åñëè s = 0, òî STOP, èíà÷å z := z ∗ (1 −
âîçìîæíîñòè ñêà÷êà: åñëè
1 − α1 > z,
µ(tk+1 ,Yk+1 )
)
Π̄
è ïðîâåðÿåì óñëîâèå
òî ñêà÷îê ïðîèçîøåë è èäåì íà 5à), èíà÷å èäåì íà 6)
5a) ìîäåëèðóåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó θ ñ ïëîòíîñòüþ p(x) =
π(x,tk+1 ,Yk+1 )
;
µ(tk+1 ,Yk+1 )
5b) âû÷èñëÿåì
Yk+1 = Yk+1 + c(Yk+1 , tk+1 , θ);
6) k := k + 1 è èäåì íà 1).
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêòû 090100798,
110100282).
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Silicon carbide. A review of fundamental questions and application to current device
technology/ Eds W. J. Choyke, H. M. Matsunami, G. Pensl. Akademie, Berlin (1998). V. I, II.
2. Êóêóøêèí Ñ. À., Îñèïîâ À. Â. Íîâûé ìåòîä òâåðäîôàçíîé ýïèòàêñèè êàðáèäà
êðåìíèÿ íà êðåìíèè: ìîäåëü è ýêñïåðèìåíò. Ôèçèêà òâåðäîãî òåëà, 2008, ò. 50, âûï. 7,
ñ. 1188-1195.
3.Çìèåâñêàÿ Ã.È., Áîíäàðåâà À.Ë. Îñòðîâêè òîíêîé ïëåíêè ïîëóïðîâîäíèêà è ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò // Ïîâåðõíîñòü. Ðåíòãåíîâñêèå, ñèíõðîòðîííûå è íåéòðîííûå èññëåäîâàíèÿ, 2010, ¹ 10, ñ. 50-58.
4. Artemiev S. S., Averina T. A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and
Stochastic Dierential Equations. VSP, Utrecht, The Netherlands, 1997. (176 p.)
5. Àâåðèíà Ò.À., Ìèõàéëîâ Ã.À. Àëãîðèòìû òî÷íîãî è ïðèáëèæåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïóàññîíîâñêèõ àíñàìáëåé // Æ.âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. 2010,
ò.50, N 6, ññ. 1005-1016
6. Ïàðàåâ Þ.È. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ äèíàìèêó ïðîöåññîâ óïðâëåíèÿ è ôèëüòðàöèè. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1976. (184 ñ.)
7. Ìèõàéëîâ Ã. À., Âîéòèøåê À. Â. ×èñëåííîå ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Èçä. öåíòð Àêàäåìèÿ, 2006.
4