Как вычислять индекс кривой?

Ê Â À Í T 2001/№3
10
ëó÷à l i â ñòîðîíó ëó÷à M i M i+1 ñ
ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ, ïîýòîìó
∆ iθ = π − α i < 0 .
(2)
2) Ïóñòü îòðåçîê M i M i+1 ðàñïîëàãàåòñÿ ïî ëåâóþ ñòîðîíó îò M i −1 M i .
 ýòîì ñëó÷àå 0 < α i < π (ðèñ.18).
Ñíîâà ïðîäîëæèì M i −1 M i çà òî÷êó
Mi êàê ëó÷ ñ íà÷àëîì â Mi ; è ñíîâà
óãîë âðàùåíèÿ êàñàòåëüíîé ê äóãå
îêðóæíîñòè ðàâåí îðèåíòèðîâàííîìó óãëó ìåæäó ëó÷îì l i è ëó÷îì
Mi Mi+1 , ò.å.
∆ iθ = π − α i > 0 .
(3)
3) Ñòîðîíà M i M i+1 ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ñòîðîíû M i−1 M i . Òîãäà
óãîë α i ðàâåí π , à âðàùåíèå êàñàòåëüíîé ðàâíî íóëþ, ïîýòîìó â òàêèõ âåðøèíàõ M i ìîæåì çàïèñàòü:
∆ iθ = π − α i = 0 .
(4)
Íà òåõ ó÷àñòêàõ êðèâîé L, êîòîðûå èäóò ïî îòðåçêàì ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà Ð, âðàùåíèÿ êàñàòåëüíîé
íåò âîâñå, ïîýòîìó âåñü ïîâîðîò êàñàòåëüíîé ê L ñêëàäûâàåòñÿ èç ñóììû åå ïîâîðîòîâ íà äóãàõ îêðóæíîñòåé Γi . Ñëåäîâàòåëüíî, âçÿâ äëÿ
êàæäîãî i ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ (2), (3) èëè (4) è ñëîæèâ èõ,
Как вычислять индекс
кривой?
Íà ïåðâûé âçãëÿä â ôîðìóëå (5)
ìàëî ïîëüçû: âåäü âû÷èñëåíèå èíäåêñà ìíîãîóãîëüíèêà ñâîäèòñÿ â
ñâîþ î÷åðåäü ê íàõîæäåíèþ îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ â âåðøèíàõ Mi
ìåæäó ïðîäîëæåíèåì ñòîðîíû
Mi −1Mi è ñòîðîíîé M i M i+1 , à èõ
âû÷èñëåíèå – çàäà÷à òàêîé æå òðóäíîñòè, ÷òî è íàõîæäåíèå óãëîâ α i .
Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ñóùåñòâóåò
âîçìîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà
ìíîãîóãîëüíèêà äàæå áåç çíàíèÿ åãî
óãëîâ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ïîíÿòèå
ñòåïåíè îòîáðàæåíèÿ êðèâîé íà
îêðóæíîñòü. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ
çàìêíóòàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ
L è ïóñòü Φ :L → Γ – íåêîòîðîå
íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå êðèâîé L
íà ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííóþ
îêðóæíîñòü Γ . Ïóñòü êðèâàÿ L è
îêðóæíîñòü Γ ïðåäñòàâëåíû êàê
îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà äóã
L1 , K, Lk è, ñîîòâåòñòâåííî, γ 1 , K, γ m
(ðèñ.19), òàêèõ, ÷òî êàæäàÿ äóãà Li ,
1 ≤ i ≤ k , îòîáðàæåíèåì Φ ïåðåâîäèòñÿ èëè â êîíöåâóþ òî÷êó îäíîé èç
äóã γ j èëè ãîìåîìîðôíî (ò.å. âçàèìγ2
γ1
Mi+1
Mi–1
Γ
γm
αi
Ãi Ai+1
Mi
Рис.18
∆iθ
li
?
2πIndL = πn − α 1 + K
ïîëó÷àåì
K + α n . Êðîìå òîãî, âèäíî, ÷òî IndL
íå çàâèñèò îò âûáîðà ìàëûõ îêðóæíîñòåé Γi , ñ èñïîëüçîâàíèåì äóã êîòîðûõ áûëà ïîñòðîåíà êðèâàÿ L,
ïîýòîìó îáùåå çíà÷åíèå èíäåêñîâ
âñåõ êðèâûõ L ìû ìîæåì íàçâàòü
èíäåêñîì ñàìîãî äàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà Ð è îáîçíà÷àòü åãî êàê IndP . Â
èòîãå èìååì èñêîìóþ ôîðìóëó
D
?
D
α1 + α 2 + K + α n = π n − 2IndP . (5)
Åñëè æå ìû áóäåì âû÷èñëÿòü ñóììó óãëîâ, ëåæàùèõ ñïðàâà ïî íàïðàâëåíèþ îáõîäà ìíîãîóãîëüíèêà,
òî îíà, î÷åâèäíî, áóäåò ðàâíà
π n + 2 IndP , è âìåñòå ñ ñóììîé âíóòðåííèõ óãëîâ ïîëó÷àåì 2πn , êàê è
äîëæíî áûòü.
?
D
L2
L
Рис.19
(i)
(i)
Ai–1
L1
Lk
íî îäíîçíà÷íî è íåïðåðûâíî â îáå
ñòîðîíû) îòîáðàæàåòñÿ íà îäíó èç
äóã γ j . Åñëè, âî âòîðîì ñëó÷àå,
îòîáðàæåíèå Φ ïåðåâîäèò äóãó Li â
äóãó γ j ñ ñîõðàíåíèåì (èçìåíåíèåì)
íàïðàâëåíèÿ îáõîäà, òî ãîâîðÿò, ÷òî
ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ íà äóãå Li
ðàâíà +1 (ñîîòâåòñòâåííî, –1).
Âîçüìåì òåïåðü íåêîòîðóþ òî÷êó
M íà îêðóæíîñòè, íå ÿâëÿþùóþñÿ
êîíöåâîé òî÷êîé íè îäíîé èç äóã γ j .
Ïóñòü M1 , K, M s , 1 ≤ s ≤ k , – ñóùåñòâóþùèå íà L ïðîîáðàçû òî÷êè
M , ò.å. òî÷êè, ïåðåâîäèìûå îòîáðà
æåíèåì Φ â M . Íà êàæäîé èç äóã
êðèâîé L, ãäå ëåæàò òî÷êè M1, K, M s ,
ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ èçâåñòíà;
ïóñòü íà ð èç íèõ îíà ðàâíà +1, à íà
q = s – ð äóãàõ îíà ðàâíà –1. Òîãäà
÷èñëî p – q íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ
îòîáðàæåíèÿ Φ êðèâîé L. Åñëè æå
íà L íåò íè îäíîãî ïðîîáðàçà òî÷êè
M , òî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ.
Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò, êîíå÷íî, â äîêàçàòåëüñòâå êîððåêòíîñòè ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ò.å. â òîì,
÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ íå çàâèñèò íè îò ðàçáèåíèÿ
êðèâîé L è îêðóæíîñòè Γ íà äóãè,
íè îò âûáîðà òî÷êè M . Îêàçûâàåòñÿ, ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Ïóñòü M 0
– íåêîòîðàÿ òî÷êà íà L, ñ êîòîðîé ìû
íà÷èíàåì îáõîä, è ïóñòü M1 – ïåð
âûé ïðîîáðàç òî÷êè M , âñòðåòèâøèéñÿ ïî íàïðàâëåíèþ îáõîäà L.
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òî÷êà M
ðàñïîëîæåíà â ïåðâîé ÷åòâåðòè è
ïóñòü ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ â îêðåñòíîñòè òî÷êè M1 ðàâíà +1, òîãäà
ïåðåõîä âåêòîðà Φ M íà îêðóæíîñòè Γ ÷åðåç M ïðîèñõîäèò ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè è óãîë θ ìåæäó
îñüþ Îõ è âåêòîðîì Φ M ðàñòåò
(îáðàç òî÷êè M ∈ L ïåðåñåêàåò òî÷êó M «ñíèçó ââåðõ»). Çàòåì âåêòîð
Φ M ïåðåñåêàåò òî÷êó M âî âòîðîé ðàç â ñëåäóþùåì ïðîîáðàçå
M2 ∈ L . Åñëè è â ýòîò ðàç ñòåïåíü
îòîáðàæåíèÿ ðàâíà +1, òî óãîë θ
îêàæåòñÿ âûðîñøèì íà 2π , òàê êàê
âåêòîð Φ M ïîäîéäåò ê M îïÿòü
«ñíèçó», íà÷àâ äâèæåíèå ñ òî÷åê
«âûøå» M è íè ðàçó äî ýòîãî íå
ïåðåñåêàÿ M , ò.å. îí ñäåëàåò ïîëíûé îáõîä îêðóæíîñòè; åñëè æå ñòåïåíü ðàâíà –1, òî âåñü ïðèðîñò óãëà
èñ÷åçíåò, òàê êàê òî÷êà Φ M ïðè
äåò ê M «ñâåðõó», òàê ÷òî óãîë
âåðíåòñÿ ê èñõîäíîìó çíà÷åíèþ.
Âîîáùå, êàæäûé ïðèðîñò óãëà θ çà
ñ÷åò ïåðåõîäà ÷åðåç M ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè àííóëèðóåòñÿ ïåðåõîäîì âåêòîðà Φ M ÷åðåç M â íàïðàâëåíèè ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè êàêîé-ëèáî ïåðåõîä
÷åðåç M ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íå
àííóëèðóåòñÿ ïåðåõîäîì ÷åðåç M
ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, òî óãîë θ ïðè
ïîäõîäå Φ M ê M îêàæåòñÿ âîçðîñøèì íà 2π è â èòîãå ïîëíîå
ïðèðàùåíèå ∆θ ýòîãî óãëà îêàæåòñÿ
ðàâíûì 2π p − q , ãäå ð – ÷èñëî
ïðîîáðàçîâ ñî ñòåïåíüþ îòîáðàæåíèÿ +1 è îäíîâðåìåííî ÷èñëî ïåðå
õîäîâ ÷åðåç M ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à q – àíàëîãè÷íîå ÷èñëî äëÿ
ñòåïåíåé –1 è ïåðåõîäîâ ïî ÷àñîâîé
∆θ
= p − q åñòü íå
ñòðåëêå. À ÷èñëî
2π
÷òî èíîå, êàê âðàùåíèå âåêòîðíîãî
ïîëÿ Φ M âäîëü L, ñëåäîâàòåëüíî,
îíî íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè
M ∈ Γ è îò ÷èñåë ð è q, à çàâèñèò
òîëüêî îò èõ ðàçíîñòè, êîòîðàÿ, òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ îäèíàêî
âîé ïðè ëþáîì âûáîðå M .
> C
> C
> C
> C
> C
> C
> C
>
> C
C