37 - Квант

ÀÍÒ» ÓËÛÁÀÅÒÑß
Ì À Ò Å Ì «ÀÊÒÂ È
×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
37
Êàê íàéòè ñóììó?
Ë.ØÈÁÀÑÎÂ
Ê
ÀÊ ÍÀÉÒÈ ÑÓÌÌÓ? ÅÑËÈ ÐÅ×Ü ÈÄÅÒ Î ÑËÎÆÅÍÈÈ
äâóõ èëè òðåõ ÷èñåë – âñå ÿñíî. Íî ÷àñòî íóæíî áûâàåò
íàéòè ñóììó î÷åíü áîëüøîãî èëè âîîáùå ïðîèçâîëüíîãî
÷èñëà ñëàãàåìûõ, îáðàçóþùèõ íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòà çàäà÷à óæå íå ñòîëü ïðîñòà, è îíà ïðèâëåêàëà
âíèìàíèå ëþäåé ñ ãëóáîêîé äðåâíîñòè, î ÷åì ñîõðàíèëèñü
ëåãåíäû è ïèñüìåííûå ñâèäåòåëüñòâà.
 åãèïåòñêîì ïàïèðóñå, êîòîðîìó ïî÷òè 4 òûñÿ÷è ëåò,
ñîäåðæèòñÿ çàïèñàííàÿ ïèñöîì Àõìåñîì çàäà÷à-øóòêà: èìååòñÿ 7 äîìîâ, â êàæäîì äîìå 7 êîøåê, êàæäàÿ êîøêà ñúåäàåò
7 ìûøåé, êàæäàÿ ìûøü ñúåäàåò 7 êîëîñüåâ ÿ÷ìåíÿ, èç
êàæäîãî êîëîñà âûðàñòàåò 7 ìåð ÿ÷ìåíÿ. Íàéòè ñóììó âñåõ
ïðåäìåòîâ. Ðåøàÿ çàäà÷ó, Àõìåñ íàõîäèò ñóììó ïÿòè ÷ëåíîâ
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Î ãîðàçäî áîëüøåì ÷èñëå ñëàãàåìûõ, òîæå îáðàçóþùèõ
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, èäåò ðå÷ü â äðåâíåé ëåãåíäå îá
èçîáðåòåíèè øàõìàò. Èíäèéñêèé öàðü Øåðàì, âîñõèùåííûé ýòîé èãðîé, ðåøèë îòáëàãîäàðèòü åå èçîáðåòàòåëÿ Ñåòó
è ïðåäëîæèë òîìó ëþáóþ íàãðàäó. Ñåòà ïîïðîñèë çà ïåðâóþ
êëåòêó øàõìàòíîé äîñêè âûäàòü åìó îäíî ïøåíè÷íîå çåðíî,
çà âòîðóþ – äâà, çà òðåòüþ – 4, çà ÷åòâåðòóþ – 8 è ò.ä. Öàðü
ïðèêàçàë íåìåäëåííî èñïîëíèòü ýòó «ñìåõîòâîðíóþ» ïðîñüáó.
Êàêîâî æå áûëî åãî óäèâëåíèå, êîãäà îí óçíàë, ÷òî öàðåäâîðöû íå ìîãóò âûïîëíèòü ïðèêàç ñâîåãî ïîâåëèòåëÿ. Âåäü
÷èñëî çåðåí, ïðè÷èòàâøèõñÿ èçîáðåòàòåëþ, òàê âåëèêî, ÷òî
íå òîëüêî â öàðñêèõ êëàäîâûõ, íî è íà âñåé Çåìëå íå íàøëîñü
áû òàêîãî êîëè÷åñòâà çåðíà.
 áîëåå ïîçäíèé ïåðèîä ñòàëè íàõîäèòü ñóììû ñëàãàåìûõ,
óñòðîåííûõ ïîñëîæíåå. Â XIV âåêå èíäèéñêèé ìàòåìàòèê
Íàðàéàíà ðåøèë òàêóþ çàäà÷ó: íàéòè ÷èñëî êîðîâ è òåëîê,
ïîÿâèâøèõñÿ îò îäíîé êîðîâû çà 20 ëåò, ïðè óñëîâèè, ÷òî
êîðîâà â íà÷àëå êàæäîãî ãîäà ïðèíîñèò òåëêó, à òåëêà äàåò
òàêîå æå ïîòîìñòâî â íà÷àëå ãîäà, äîñòèãíóâ òðåõ ëåò. Êàê îí
ýòî ñäåëàë, ìû óçíàåì ïîçæå.
Íàäî ñêàçàòü, ÷òî âû÷èñëåíèå ñóìì ñ äðåâíèõ âðåìåí
íîñèëî íå òîëüêî çàíèìàòåëüíûé õàðàêòåð. Îíî ñëóæèëî è
ïðàêòè÷åñêèì öåëÿì. Åùå çàäîëãî äî íàøåé ýðû Àðõèìåä,
ïðèìåíÿÿ ñóììèðîâàíèå, íàøåë ïëîùàäü ïàðàáîëè÷åñêîãî
ñåãìåíòà è îáúåìû íåêîòîðûõ òåë âðàùåíèÿ. Ýòèì æå
ìåòîäîì íàõîäèëè ïëîùàäè è îáúåìû âïëîòü äî XVII âåêà,
êîãäà áûëè ñîçäàíû èíòåãðàëüíîå è äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèÿ, ïîçâîëèâøèå ñâåñòè çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ìåð ê
íàõîæäåíèþ ïåðâîîáðàçíîé è ïðèìåíåíèþ ôîðìóëû Íüþòîíà—Ëåéáíèöà. Íî è ñåé÷àñ âû÷èñëåíèå ñóìì èñïîëüçóåòñÿ
äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Ýòî íå åäèíñòâåííàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ãäå íóæíû ñóììû.
Øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ îíè â òåîðèè ðÿäîâ, â ðàçëè÷íîãî ðîäà
ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ è, êîíå÷íî, â òåîðèè ÷èñåë.
Òåïåðü, êîãäà, íàäååìñÿ, ÷èòàòåëè óáåäèëèñü â äðåâíîñòè
è âàæíîñòè ïðîáëåìû ñóììèðîâàíèÿ, îáðàòèìñÿ ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì òàêîãî ðîäà. Íà÷íåì ñ ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêîé
çàäà÷è.
Ïðèìåð 1. Íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû äâå êàñàþùèåñÿ
äðóã äðóãà âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèó-
ñà. Ê íèì ïðîâåäåíà âíåøíÿÿ êàñàòåëüíàÿ.  ôèãóðó, çàêëþ÷åííóþ ìåæäó îêðóæíîñòÿìè è êàñàòåëüíîé, âïèñûâàåòñÿ
êðóã, çàòåì â îáðàçîâàâøóþñÿ ôèãóðó ìåæäó äàííûìè
îêðóæíîñòÿìè è ïåðâûì êðóãîì âïèñûâàåòñÿ âòîðîé êðóã è
ò.ä. (ðèñ.1). Ñïðàøèâàåòñÿ, êàêîâà ñóììàðíàÿ äëèíà äèàìåòðîâ âïèñàííûõ êðóãîâ, ïîëó÷åííûõ íà n-ì øàãå.
H
Ðèñ. 1
Óïðàæíåíèå 1. Ïîêàæèòå, ÷òî äèàìåòð k-ãî âïèñàííîãî
1
êðóãà ðàâåí
.
k k +1
Èòàê, ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ çàäà÷è, íóæíî íàéòè
ñóììó
1
1
1
+
+K+
S=
.
1⋅2 2 ⋅ 3
n n +1
Äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ îáðàòèìñÿ ê ðàâåíñòâó
1
1
1
= −
. Ïðèìåíÿÿ åãî ê êàæäîìó ñëàãàåìîìó
k k +1
k k +1
ñóììû, ïîëó÷àåì îòâåò:
b
g
b
b
g
g
FG
H
S = 1−
IJ + FG 1 − 1 IJ + FG 1 − 1 IJ + K + FG 1 − 1 IJ = 1 − 1 .
H n n + 1K n + 1
2K H 2 3K H 3 4K
1
Âîîáùå ãîâîðÿ, íàéòè êîìïàêòíóþ ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ ñóììó n ñëàãàåìûõ (èëè, êàê ãîâîðÿò â ìàòåìàòèêå,
«çàïèñàòü ðåçóëüòàò â êîíå÷íîì âèäå»), óäàåòñÿ î÷åíü ðåäêî.
 øêîëå âûâîäÿò äâå ôîðìóëû òàêîãî òèïà: äëÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè
2a + n − 1 d
n
Sn = a + a + d + a + 2 d + K + a + n − 1 d =
2
è äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
b
g b
g
c b
2
Sn = b + bq + bq + K + bq
b
gh
g
n
n −1
=b
q −1
q −1
.
Ìû ðàññìîòðèì ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ
ñóìì. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñëàãàåìûå çíà÷åíèÿìè
íåêîòîðîé ôóíêöèè f x â òî÷êàõ õ = 1, 2, ..., n, à
âîçíèêàþùóþ ñóììó f 1 + f 2 + K + f n çàïèñûâàòü â âèäå
bg
bg b g
n
bg
∑ f bkg (÷èòàåòñÿ: «ñóììà ÷èñåë f bkg ïî k îò 1 äî n»).  ýòèõ
k =1
îáîçíà÷åíèÿõ ðåçóëüòàò ïðèìåðà 1 áóäåò âûãëÿäåòü òàê:
n
S=
1
n
∑ kbk + 1g = n + 1 .
k =1
Ðåøåíèå îêàçàëîñü î÷åíü ïðîñòûì çà ñ÷åò òîãî, ÷òî ïî