Три теоремы о выпуклых многогранниках
advertisement
Три теоремы о выпуклых многогранниках ÒÐÈ ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÂÛÏÓÊËÛÕ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀÕ 3 Н.ДОЛБИЛИН Теорема Коши Îãþñòåíà Ëóè Êîøè (17891857) «ïî åãî áëåñòÿùèì äîñòèæåíèÿì âî âñåõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè ìîæíî ïîñòàâèòü ïî÷òè ðÿäîì ñ Ãàóññîì». Ýòà îöåíêà, äàííàÿ ôðàíöóçñêîìó ìàòåìàòèêó íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ôåëèêñîì Êëåéíîì, î÷åíü âåñîìà, îñîáåííî åñëè ó÷åñòü, ÷òî âçàèìîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôðàíöóçñêèìè è íåìåöêèìè ìàòåìàòèêàìè ðàçâèâàëèñü â àòìîñôåðå îñòðîé êîíêóðåíöèè è ïðèçíàíèå çàñëóã ñîïåðíèêîâ íèêîãäà íå îòëè÷àëîñü ùåäðîñòüþ. Ãèãàíòñêîå íàó÷íîå íàñëåäèå Êîøè çàíèìàåò 25 âíóøèòåëüíûõ òîìîâ è âêëþ÷àåò îêîëî 800 ðàáîò. Ðàáîòû, ïðèíåñøèå Êîøè ñëàâó âåëèêîãî ìàòåìàòèêà, îòíîñÿòñÿ â îñíîâíîì ê ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, àëãåáðå, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, ìåõàíèêå. Åãî èññëåäîâàíèÿ ïî ãåîìåòðèè ìîãëè áû îñòàòüñÿ íåçàìå÷åííûìè, åñëè áû íå ðàáîòà «Î ìíîãîóãîëüíèêàõ è ìíîãîãðàííèêàõ», îïóáëèêîâàííàÿ â «Æóðíàëå Ïîëèòåõíè÷åñêîé øêîëû» â 1813 ãîäó.  ýòîé ðàáîòå íåäàâíèé âûïóñêíèê çíàìåíèòîé Ïîëèòåõíè÷åñêîé øêîëû äîêàçàë çàìå÷àòåëüíóþ òåîðåìó î âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ. Àêêóðàòíîå îïðåäåëåíèå ìíîãîãðàííèêà äàíî â ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè. Çäåñü ìû âñïîìíèì, ÷òî äâà ìíîãîãðàííèêà ðàâíû, èëè êîíãðóýíòíû, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü äâèæåíèåì, à òàêæå, ÷òî ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ëþáóþ åãî ãðàíü, îñòàâëÿåò âñå îñòàëüíûå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà ïî îäíó ñòîðîíó. Òåîðåìà Êîøè î åäèíñòâåííîñòè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ñ äàííûìè ãðàíÿìè. Äâà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêà ñ ïîïàðíî ðàâíûìè ãðàíÿìè, ñîñòàâëåííûìè â îäíîì è òîì æå ïîðÿäêå, ðàâíû. Ðàññìîòðèì òðè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ.1). Âñå îíè ñîñòîÿò èç ïîïàðíî ðàâíûõ ãðàíåé. Íî åñëè ïåðâûå äâà ìíîãîãðàííèêà ñîñòàâëåíû èç ïîïàðíî ðàâíûõ ãðàíåé, ïðèìûêàþùèõ äðóã ê äðóãó â îäíîì è òîì æå ïîðÿäêå, Иллюстрация В.Хлебниковой a á Рис.1 Ïðîäîëæåíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹5 1* â òî òðåòèé ìíîãîãðàííèê ñîñòàâëåí èç òåõ æå ãðàíåé, íî ïðèìûêàþùèõ äðóã ê äðóãó èíà÷å. Òî, ÷òî îäèíàêîâî ñîñòàâëåííûå ìíîãîãðàííèêè íå ðàâíû äðóã äðóãó, íàñ íå äîëæíî ñìóùàòü: âåäü îäèí èç ìíîãîãðàííèêîâ (1,á) íåâûïóêëûé, à, êàê äîêàçàë Êîøè, â êëàññå âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ íåâîçìîæíà. Òåîðåìà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ìîäåëü âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà, ñêëååííàÿ èç êàðòîíà, íå äåôîðìèðóåòñÿ, èëè, êàê åùå ãîâîðÿò, íåèçãèáàåìà. Ìíîãîãðàííèê, êîòîðûé ìîæåò íåïðåðûâíî äåôîðìèðîâàòüñÿ òàê, ÷òî åãî ãðàíè îñòàþòñÿ ïëîñêèìè è ðàâíûìè ñàìèì ñåáå è ìåíÿþòñÿ ëèøü åãî äâóãðàííûå óãëû, íàçûâàåòñÿ èçãèáàåìûì. Åñëè æå òàêîé íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèè íå ñóùåñòâóåò, òî ìíîãîãðàííèê íåèçãèáàåì. Äîïóñòèì, ÷òî âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê Ì èçãèáàåì. Òîãäà ñóùåñòâóåò äðóãîé, íå ðàâíûé åìó ìíîãîãðàííèê M ′ , äâóãðàííûå óãëû êîòîðîãî ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâåííûõ óãëîâ â ìíîãîãðàííèêå Ì. Åñëè îòëè÷èå óãëîâ äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîå, òî ìíîãîãðàííèê M ′ òàêæå âûïóêëûé. À òàê êàê ñîîòâåòñòâåííûå ãðàíè ýòèõ ìíîãîãðàííèêîâ ðàâíû, òî, ïî òåîðåìå Êîøè, è ñàìè ìíîãîãðàííèêè êîíãðóýíòíû. Ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî ìíîãîãðàííèê Ì èçãèáàåì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû Êîøè ïðåäëîæèë íîâûé ìåòîä, êîòîðûé, ïî ñëîâàì À.Ä.Àëåêñàíäðîâà, «ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíî èç ïðåêðàñíåéøèõ ðàññóæäåíèé, êàêèå òîëüêî çíàåò ãåîìåòðèÿ». Идея доказательства теоремы Коши Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êîøè î åäèíñòâåííîñòè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà îñíîâàíî íà äâóõ ëåììàõ. Îäíà èç íèõ âåñüìà íåîæèäàííàÿ. Ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê. Îòìåòèì íåêîòîðûå åãî ðåáðà çíàêîì «+» èëè «», à îñòàëüíûå ðåáðà îñòàâèì «íåéòðàëüíûìè». Âûáåðåì êàêóþ-íèáóäü âåðøèíó v è, íà÷èíàÿ ñ ëþáîãî ïîäõîäÿùåãî ê íåé ðåáðà, ïîñëåäîâàòåëüíî îáîéäåì âñå ðåáðà, ñõîäÿùèåñÿ â v, è âåðíåìñÿ ê èñõîäíîìó ðåáðó. Åñëè â ïðîöåññå îáõîäà ïîñëå î÷åðåäíîãî ðåáðà ñ îäíèì çíàêîì ñëåäóåò ðåáðî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì, òî ìû ãîâîðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ïåðåìåíà çíàêà. Íåéòðàëüíûå ðåáðà, êîòîðûå ìîãóò íàõîäèòüñÿ ìåæäó îòìå÷åííûìè ðåáðàìè, ïðè ýòîì íå ó÷èòûâàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç N v îáùåå ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ïðè îáõîäå âåðøèíû v. Íàïðèìåð, äëÿ âåðøèíû v, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2,à, ÷èñëî ïåðå- >C Ê Â À Í T 2001/№6 4 a) á) + A + + B + B! + + A! + A A" B B" Рис.4 Рис.2 ìåí çíàêà ðàâíî ÷åòûðåì, à íà ðèñóíêå 2,á íóëþ. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà äîëæíî áûòü ÷åòíûì.  ÷àñòíîñòè, îíî ðàâíî íóëþ, åñëè ê âåðøèíå íå ïîäõîäèò íè îäíîãî ðåáðà ñî çíàêîì èëè íàðÿäó ñ íåéòðàëüíûìè ïîäõîäÿò ëèøü ðåáðà îäíîãî çíàêà. Ëåììà 1 (Î.Êîøè). Ïóñòü íà çàìêíóòîì âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå íåêîòîðûå ðåáðà îòìå÷åíû çíàêîì «+» èëè «». Âûäåëèì âñå òå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà, ê êîòîðûì ïîäõîäèò 4 õîòÿ áû îäíî îòìå÷åííîå ðåáðî. Òîãäà ñðåäè âûäåëåííûõ + + âåðøèí âñåãäà íàé äåòñÿ òàêàÿ âåðøè0 4 íà, ïðè îáõîäå âîê 4 ðóã êîòîðîé âñòðå 0 òèòñÿ ìåíåå ÷åòû ðåõ ïåðåìåí çíàêà. + Íàïðèìåð, â ïðèâåäåííîé íà ðèñóíêå 4 3 ðàññòàíîâêå çíàêîâ íà ðåáðàõ îêòàýäðà Рис.3 ÷åòûðå âåðøèíû èìåþò 4 ïåðåìåíû çíàêà è äâå âåðøèíû íå èìåþò íè îäíîé ïåðåìåíû çíàêà. Âî âòîðîé ëåììå ðå÷ü èäåò î âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ íà ïëîñêîñòè èëè íà ñôåðå. Ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î òîì, ÷òî òàêîå ñôåðè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê. Ïóñòü A1, A2 ,K, An ñîâîêóïíîñòü òî÷åê íà ñôåðå. Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n äóã áîëüøèõ îêðóæíîñòåé A1 A2 , A2 A3 , K, An −1 An , An A1 , îáðàçóåò ñôåðè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê. Äóãè ÿâëÿþòñÿ ñòîðîíàìè ìíîãîóãîëüíèêà, à óãëîì ñôåðè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ óãîë ìåæäó êàñàòåëüíûìè, ïðîâåäåííûìè ê ñìåæíûì ñòîðîíàì â èõ îáùåé âåðøèíå. Ñôåðè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò êàæäîé áîëüøîé îêðóæíîñòè, ñîäåðæàùåé åãî ñòîðîíó. Åñëè ìû âîçüìåì âûïóêëûé ìíîãîãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé â öåíòðå ñôåðû, òî îí âûðåçàåò íà ýòîé ñôåðå âûïóêëûé ñôåðè÷åñêèé ìíîãîóãîëüíèê. Ñòîðîíàìè ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ äóãè, ïî êîòîðûì ãðàíè ìíîãîãðàííîãî óãëà ïåðåñåêàþòñÿ ñî ñôåðîé. Ïóñòü A1 A2 K An è B1B2 K Bn âûïóêëûå n-óãîëüíèêè, ïðè÷åì A1 A2 = B1 B2 , K, An −1 An = Bn −1 Bn . Ïðèïèøåì êàæäîé âåðøèíå Ai ïåðâîãî ìíîãîóãîëüíèêà çíàê «+» èëè «» â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áîëüøå èëè ìåíüøå óãîë Ai óãëà Bi . Åñëè ∠Ai = ∠Bi , òî âåðøèíà Ai îñòàåòñÿ íåéòðàëüíîé. Âîçüìåì, íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíèê è ïàðàëëåëîãðàìì ñ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ.4). Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ïðè îáõîäå âñåõ âåðøèí. Îíî ðàâíî ÷åòûðåì. Ëåììà 2 (Î.Êîøè). Ïóñòü ó äâóõ âûïóêëûõ ïóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè (èëè íà ñôåðå) ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ïîïàðíî ðàâíû, à ñðåäè ñîîòâåòñòâåííûõ óãëîâ èìåþòñÿ ïîïàðíî íåðàâíûå. Îòìåòèì çíàêîì «+» (èëè «») âåðøèíû òåõ óãëîâ îäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, êîòîðûå ñòðîãî áîëüøå (èëè ìåíüøå) ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ äðóãîãî. Òîãäà ïðè îáõîäå âåðøèí ïåðâîãî ìíîãîóãîëüíèêà ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà íå ìåíüøå ÷åòûðåõ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè èç äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûìè ñòîðîíàìè õîòÿ áû îäèí íåâûïóêëûé, òî ëåììà íåâåðíà. Èç ëåììû 2 âûòåêàåò âàæíîå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Êîøè Ñëåäñòâèå. Ïóñòü äâà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííûõ óãëà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ãðàíåé èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå ïëîñêèå óãëû. Ïðèïèøåì êàæäîìó ðåáðó îäíîãî èç ìíîãîãðàííûõ óãëîâ çíàê «+» ( èëè «») â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áîëüøå (èëè ìåíüøå) äâóãðàííûé óãîë ïðè íåì ñîîòâåòñòâóþùåãî äâóãðàííîãî óãëà äðóãîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà. Òîãäà ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ïðè îáõîäå ðåáåð ýòîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà íå ìåíüøå ÷åòûðåõ. Äåéñòâèòåëüíî, îïèøåì èç âåðøèí ìíîãîãðàííûõ óãëîâ êàê èç öåíòðîâ ñôåðû îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà. Ãðàíè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííûõ óãëîâ âûðåçàþò íà ñôåðàõ âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè. Òàê êàê ñîîòâåòñòâåííûå ïëîñêèå óãëû ìíîãîãðàííûõ óãëîâ ðàâíû, ðàâíû òàêæå è ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ñôåðè÷åñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Óãëû ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû äâóãðàííûì óãëàì ìíîãîãðàííûõ óãëîâ. Ïîýòîìó çíàêè íà ðåáðàõ ïåðâîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà ñîâïàäàþò ñî çíàêàìè â âåðøèíàõ ïåðâîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Îòñþäà, ïî ëåììå 2, âûòåêàåò ñëåäñòâèå. Èç ëåììû 1 è ëåììû 2 (òî÷íåå, èç ñëåäñòâèÿ) ëåãêî ïîëó÷èòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êîøè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîãîãðàííèêè Ì è M ′ , õîòÿ è ñîñòàâëåíû èç ïîïàðíî ðàâíûõ ãðàíåé, âçÿòûõ â îäèíàêîâîì ïîðÿäêå, òåì íå ìåíåå íå êîíãðóýíòíû äðóã äðóãó. Ýòî âîçìîæíî, ëèøü êîãäà ïðè íåêîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííûõ ðåáðàõ ýòèõ ìíîãîãðàííèêîâ èìåþòñÿ íåðàâíûå äâóãðàííûå óãëû. Ðàññòàâèì íà ðåáðàõ ìíîãîãðàííèêà Ì çíàêè «+» èëè «» â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áîëüøå èëè ìåíüøå äâóãðàííûé óãîë ïðè äàííîì ðåáðå äâóãðàííîãî óãëà ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ðåáðå äðóãîãî ìíîãîãðàííèêà. ÒÐÈ ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÂÛÏÓÊËÛÕ Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâåííûå ðåáðà, äâóãðàííûå óãëû ïðè êîòîðûõ ðàâíû, íå ïîëó÷àþò íèêàêîãî çíàêà (îñòàþòñÿ íåéòðàëüíûìè). Âûáåðåì ëþáóþ âåðøèíó v ìíîãîãðàííèêà Ì, ê êîòîðîé ïîäõîäèò õîòÿ áû îäíî ðåáðî ñî çíàêîì. Ðàññìîòðèì ìíîãîãðàííûé óãîë ìíîãîãðàííèêà Ì ñ âåðøèíîé v. Ïî ñëåäñòâèþ èç ëåììû 2, ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ïðè îáõîäå v íå ìåíüøå ÷åòûðåõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ëåììå 1, ñðåäè òàêèõ âåðøèí äîëæíà áûòü õîòÿ áû îäíà, ïðè îáõîäå âîêðóã êîòîðîé ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà íå áîëüøå äâóõ. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó Êîøè. Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà Êîøè ïîçâîëÿåò îñëàáèòü îïðåäåëåíèå ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì íàçûâàåòñÿ âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, ó êîòîðîãî âñå ãðàíè ñóòü ðàâíûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è äâóãðàííûå óãëû ïîïàðíî ðàâíû. Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå, ÷òî âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, âñå ãðàíè êîòîðîãî ðàâíûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè, ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â êàæäîé âåðøèíå ñõîäèòñÿ îäèíàêîâîå ÷èñëî ãðàíåé. (Óêàçàíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà âî âñåõ âåðøèíàõ ñõîäèòñÿ îäèíàêîâîå ÷èñëî ãðàíåé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â îáðàòíóþ ñòîðîíó íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñíà÷àëà òåîðåìîé Ýéëåðà, à çàòåì òåîðåìîé Êîøè.) Гипотеза Эйлера и изгибаемые многогранники Âîïðîñ îäíîçíà÷íî ëè çàäàåòñÿ ôîðìà ìíîãîãðàííîé ïîâåðõíîñòè ñâîèìè ãðàíÿìè èëè îíà ìîæåò ìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ äâóãðàííûõ óãëîâ, äàâíî èíòåðåñîâàë ìàòåìàòèêîâ.  1776 ãîäó âåëèêèé Ýéëåð âûñêàçàë ãèïîòåçó: «Çàìêíóòàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ôèãóðà íå äîïóñêàåò èçìåíåíèé, ïîêà íå ðâåòñÿ». Ïîä «çàìêíóòîé ïðîñòðàíñòâåííîé ôèãóðîé» ïîíèìàëîñü òî, ÷òî ñåé÷àñ ïðèíÿòî íàçûâàòü çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ. Òåì ñàìûì ïðåäïîëîæåíèå Ýéëåðà îòíîñèëîñü íå òîëüêî ê ìíîãîãðàííûì ïîâåðõíîñòÿì. Òåîðåìà Êîøè ïîäòâåðäèëà ãèïîòåçó Ýéëåðà â ñëó÷àå âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Íà ïðîòÿæåíèè äâóõ âåêîâ ãåîìåòðû âåðèëè, ÷òî íå òîëüêî âûïóêëûé, íî è íåâûïóêëûé ìíîãîãðàííèê òîæå íåèçãèáàåì. Õîòÿ ïåðâûå ñîìíåíèÿ çàðîäèëèñü â êîíöå XIX âåêà ïîñëå òîãî, êàê â 1897 ãîäó ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Áðèêàð íàøåë ïåðâûå êîíòðïðèìåðû ê ãèïîòåçå Ýéëåðà. Ïðàâäà, ýòè èçãèáàåìûå ìíîãîãðàííèêè, òàê íàçûâàåìûå îêòàýäðû Áðèêàðà, íå ñîâñåì îáû÷íûå ìíîãîãðàííèêè: îíè ñàìîïåðåñåêàþòñÿ. Èäåÿ Áðèêàðà î÷åíü îñòðîóìíà. Âîçüìåì â ïðîñòðàíñòâå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ ïîïàðíî ðàâíûìè ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè: À = CD, ÂÑ = = AD. Åñëè ABCD ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî ýòî çíàêîìûé íàì ïàðàëëåëîãðàìì. Ïóñòü ABCD ïðîñòðàíñòâåííûé ÷åòûðåO l õóãîëüíèê, ò.å. âåðøèC A íû À, Â, Ñ, D íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Åãî äèàãîíàëè ÀÑ è BD ëåæàò íà ñêðåùèâàþùèõB O ñÿ ïðÿìûõ. Ïðîâåäåì ÷åD Рис.5 ðåç ñåðåäèíû O1 è O2 2 Êâàíò ¹ 6 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀÕ 5 äèàãîíàëåé ïðÿìóþ l (ðèñ.5). Òàê êàê â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû, òî ïðÿìàÿ l, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ïåðïåíäèêóëÿðíà îáåèì äèàãîíàëÿì. Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ñåðåäèíû äèàãîíàëåé ïðîñòðàíñòâåííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ ïîïàðíî ðàâíûìè ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè, ïåðïåíäèêóëÿðíà îáåèì äèàãîíàëÿì.  ñèëó ýòîé ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðè ïîâîðîòå âîêðóã ïðÿìîé l íà 180° âåðøèíû À è C, à òàêæå  è D ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ïåðåõîäèò â ñåáÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà ìíîãîóãîëüíèê ñòàíîâèòñÿ ïëîñêèì ïàðàëëåëîãðàììîì, òî÷êè O1 è O2 ñëèâàþòñÿ â îäíó òî÷êó, à ïðÿìàÿ l ïåðåõîäèò â ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ïëîñêîñòè. Âîçüìåì âíå ïðÿìîé l êàêóþ-íèáóäü òî÷êó S è ïîñòðîèì ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà SAB, SBC, SCD è SDA (ðèñ.6,à). Ýòè òðåóãîëüíèêè (òî÷íåå, èõ ïëîñêîñòè) îáðàçóþò ÷åòûðåõãðàííûé óãîë. Èç øêîëüíî- A B Рис.6 D ãî êóðñà ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ïëîñêèå óãëû òðåõãðàííîãî óãëà çàäàþò åãî äâóãðàííûå óãëû, à ñëåäîâàòåëüíî, è âåñü òðåõãðàííûé óãîë îäíîçíà÷íî. Îäíàêî åñëè ÷èñëî ãðàíåé ó ìíîãîãðàííîãî óãëà áîëüøå òðåõ, òî òàêîé îäíîçíà÷íîñòè íåò. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷åòûðåõãðàííûé óãîë SABCD ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïëîñêèõ óãëàõ äîïóñêàåò íåïðåðûâíóþ äåôîðìàöèþ (èçãèáàíèå). Ïðè òàêîì èçãèáàíèè ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD äåôîðìèðóåòñÿ â ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ ñîîòâåòñòâåííî òàêèìè æå ñòîðîíàìè è ñîîòâåòñòâóþùåé îñüþ ñèììåòðèè. Ïðè ïîâîðîòå âîêðóã îñè l íà 180° ÷åòûðåõãðàííûé óãîë SABCD ïåðåõîäèò â êîíãðóýíòíûé óãîë S1CDAB (ðèñ.6,á). Ñîâîêóïíîñòü 8 òðåóãîëüíèêîâ óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåì óñëîâèÿì â îïðåäåëåíèè ìíîãîãðàííèêà. Ïðàâäà, íåêîòîðûå ãðàíè ýòîãî ìíîãîãðàííèêà ïåðåñåêàþò äðóã äðóãà. Ýòîò ñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ ìíîãîãðàííèê è åñòü îêòàýäð Áðèêàðà. Ïî÷åìó îêòàýäð Áðèêàðà èçãèáàåì? Ïîëîâèíêà îêòàýäðà, î÷åâèäíî, èçãèáàåòñÿ. Âòîðàÿ ïîëîâèíêà ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé ïîâîðîòîì âîêðóã îñè l, è, ñëåäîâàòåëüíî, åå äåôîðìàöèÿ â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò äåôîðìàöèþ Ê Â À Í T 2001/№6 6 áûòü ó ôëåêñîðîâ. Ðàçâåðòêà ôëåêñîðà Øòåôôåíà ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 7,á. Ðàçíûé âèä ïóíêòèðíûõ ëèíèé íà ðàçâåðòêå îçíà÷àåò, ÷òî ãðàíè ïåðåãèáàþòñÿ âäîëü ýòèõ ëèíèé â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Íà ðèñóíêå 7,â ïîêàçàíà ñõåìà ñáîðêè ìíîãîãðàííèêà Øòåôôåíà. a) I I á) C D Гипотеза кузнечных мехов и теорема Сабитова C G C D F H E D D A â) B D A B D A G H C B C E D C D I F I Рис.7 ïåðâîé ïîëîâèíêè. Çíà÷èò, è âåñü îêòàýäð Áðèêàðà èçãèáàåì. 1  1970-å ãîäû âûÿñíèëîñü, ÷òî Ýéëåð â ñâîåì ïðåäïîëîæåíèè áûë «ïî÷òè» ïðàâ... è íå ïðàâ. Ïî÷òè ïðàâ ïîòîìó, ÷òî, êàê áûëî óñòàíîâëåíî â 1975 ãîäó, «ïî÷òè âñå» (ò.å. â íåêîòîðîì ñìûñëå ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî) ìíîãîãðàííèêè íåèçãèáàåìû. Îäíàêî «ïî÷òè âñå» ýòî åùå íå âñå ìíîãîãðàííèêè. Äâà ãîäà ñïóñòÿ, â 1977 ãîäó, àìåðèêàíñêèé ãåîìåòð Ð.Êîííýëëè ïîñòðîèë ïåðâûå ïðèìåðû èçãèáàåìûõ ñàìîíåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîãîãðàííèêîâ è òåì ñàìûì îïðîâåðã ãèïîòåçó Ýéëåðà. Êîííýëëè íàçâàë òàêèå ìíîãîãðàííèêè ôëåêñîðàìè 2 . Çàòåì áûëè ïîñòðîåíû äðóãèå ïðåäñòàâèòåëè èçãèáàåìîãî ìåíüøèíñòâà. Íà ðèñóíêå 7,à èçîáðàæåí ôëåêñîð ñ 9 âåðøèíàìè, ïîñòðîåííûé â 1979 ãîäó ãåîìåòðîì Ê.Øòåôôåíîì. Âîçìîæíî, ÷òî 9 ýòî íàèìåíüøåå ÷èñëî âåðøèí, êîòîðîå ìîæåò 1 Òàê êàê îêòàýäð Áðèêàðà ñàìîïåðåñåêàåòñÿ, òî ñêëåèòü åãî èç áóìàãè íåâîçìîæíî. Îäíàêî ëåãêî ñêîíñòðóèðîâàòü åãî ðåáåðíóþ ìîäåëü èç òîíêèõ ïëàñòèêîâûõ òðóáî÷åê äëÿ ïèòüÿ, íàíèçàâ èõ ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì íà íèòêè. 2 Îò àíãëèéñêîãî ñëîâà flex èçãèáàòü. Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî îòêðûòèå èçãèáàåìûõ ìíîãîãðàííèêîâ êîìó-òî ïîêàæåòñÿ íå î÷åíü óäèâèòåëüíûì, îñîáåííî åñëè îí âñïîìíèò î ìåõàõ ìóçûêàëüíûõ èíñòðóìåíòîâ, íàïðèìåð áàÿíà. Íî ýòî íåâåðíàÿ àññîöèàöèÿ. Ìåõè áàÿíà «ðàáîòàþò» èç-çà íåêîòîðîé ýëàñòè÷íîñòè è ñìèíàåìîñòè ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî îíè èçãîòîâëåíû. Åñëè áû ìåõè áàÿíà áûëè ñîáðàíû èç òâåðäûõ ïëàñòèí, ñîåäèíåííûõ ìåæäó ñîáîé ïåòëÿìè, òî ñûãðàòü íà òàêîì èíñòðóìåíòå íå óäàëîñü áû. Òàêèå ìåõè, êàê íåòðóäíî ïîíÿòü, íåëüçÿ áûëî áû íè ñæàòü, íè ðàñòÿ- Рис.8 íóòü (ðèñ.8). Âïðî÷åì, áûëî çàìå÷åíî, ÷òî âñå ôëåêñîðû, êîòîðûå óäàëîñü îòêðûòü, òîæå íåïðèãîäíû äëÿ ìåõîâ, íî ñîâåðøåííî ïî äðóãîé ïðè÷èíå. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ïðè èçãèáàíèè ôëåêñîð ìåíÿåò ñâîþ ôîðìó, äëÿ âñåõ ïîñòðîåííûõ ôëåêñîðîâ áûëî çàìå÷åíî, ÷òî çàêëþ÷åííûé â ìíîãîãðàííèêå îáúåì ïðè èçãèáàíèè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, ò.å. èçãèáàåìûé ìíîãîãðàííèê «íå äûøèò». Âîçíèêëà ãèïîòåçà êóçíå÷íûõ ìåõîâ î òîì, ÷òî ýòî âñåãäà òàê äëÿ âñÿêîãî ôëåêñîðà åãî îáúåì íå èçìåíÿåòñÿ ïðè èçãèáàíèè. Ñîäåðæàòåëüíàÿ ïðîáëåìà õîðîøà òåì, ÷òî ïîïûòêè ðåøèòü åå ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ ìåòîäîâ è òåîðåì, êîòîðûå èíîãäà áîëåå èíòåðåñíû, ÷åì ïîðîäèâøàÿ èõ ïðîáëåìà. Òàê ïðîèçîøëî è â ýòîì ñëó÷àå, êîãäà ðàçäóìüÿ íàä ãèïîòåçîé î êóçíå÷íûõ ìåõàõ ïðèâåëè ðîññèéñêîãî ìàòåìàòèêà Èäæàäà Õàêîâè÷à Ñàáèòîâà â 1996 ãîäó ê îòêðûòèþ íåîæèäàííîé òåîðåìû. ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü åå ñìûñë, âñïîìíèì ôîðìóëó Ãåðîíà. Îíà âûðàæàåò ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ëèøü ÷åðåç åãî ñòîðîíû: S= > C> C> C p p−a p−b p−c , ãäå p = a+b+c . 2 Äëÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ áóëüøèì ÷èñëîì ñòîðîí ôîðìóëû, âûðàæàþùåé ïëîùàäü ëèøü ÷åðåç ñòîðîíû, íåò, ïîñêîëüêó ñòîðîíû ñàìè ïî ñåáå, åñëè íå çàäàíû óãëû, íå îïðåäåëÿþò íè ôîðìó, íè ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé à ìîæåò áûòü ëþáîé ìåæäó 0 è a2 . Äëÿ ìíîãîãðàííèêîâ êàðòèíà ïðèíöèïèàëüíî èíàÿ. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî âñå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà òðåóãîëüíèêè.  ýòîì ñëó÷àå äëèíû åãî ðåáåð îäíî- ÒÐÈ ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÂÛÏÓÊËÛÕ çíà÷íî îïðåäåëÿþò ôîðìó òðåóãîëüíûõ ãðàíåé. Ïîýòîìó, åñëè ìíîãîãðàííèê âûïóêëûé, òî, ïî òåîðåìå Êîøè, äëèíû ðåáåð îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ôîðìó ìíîãîãðàííèêà, à ñëåäîâàòåëüíî, è åãî îáúåì. Ñàìà æå çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû îáúåìà îò äëèí ðåáåð áûëà íåèçâåñòíà. Ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èçãèáàåìûõ ìíîãîãðàííèêîâ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî äëèíû ðåáåð ôîðìó ìíîãîãðàííèêà, âîîáùå ãîâîðÿ, íå çàäàþò. Òåîðåìà Ñàáèòîâà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó äëèíàìè ðåáåð ìíîãîãðàííèêà (ñ òðåóãîëüíûìè ãðàíÿìè) è åãî îáúåìîì. Ïóñòü äàí ìíîãîãðàííèê, òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ñïåöèàëüíûé ìíîãî÷ëåí >C F x = x n + a1 x n −1 + K + an , êîýôôèöèåíòû a1, K, an êîòîðîãî âûðàæàþòñÿ ïðè ïîìîùè ÷åòûðåõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ÷åðåç äëèíû ðåáåð l1,K, l p ìíîãîãðàííèêà. Çàìåòèì, ÷òî òî, êàê êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç äëèíû ðåáåð, çàâèñèò ñîáñòâåííî íå îò äëèí ðåáåð è âåëè÷èí óãëîâ ìíîãîãðàííèêà, à îò åãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà, ò.å. îò òîãî, ñêîëüêî ðåáåð ó ãðàíåé, ñêîëüêî ãðàíåé ó ìíîãîãðàííèêà, êàê ãðàíè ñõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ è ò.ï. Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü â êîýôôèöèåíòû a1, K, an âìåñòî l1,K, l p ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ äëèí ðåáåð äàííîãî ìíîãîãðàííèêà, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí F x ñ êîíêðåòíûìè ÷èñëîâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òåîðåìà Ñàáèòîâà óòâåðæäàåò, ÷òî îáúåì äàííîãî ìíîãîãðàííèêà åñòü îäèí èç êîðíåé ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Òî, ÷òî âñå ãðàíè òðåóãîëüíèêè, îñîáîãî çíà÷åíèÿ íå èìååò, òàê êàê ëþáóþ íåòðåóãîëüíóþ ãðàíü ìîæíî ðàçáèòü ïðè ïîìîùè äèàãîíàëåé íà òðåóãîëüíèêè. Ââåäåííûå äèàãîíàëè ñ÷èòàþòñÿ õîòÿ è èñêóññòâåííûìè, íî ðåáðàìè íîâîãî ìíîãîãðàííèêà, ó êîòîðîãî âñå ãðàíè ñóòü òðåóãîëüíèêè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, äâà ìíîãîãðàííèêà íà ðèñóíêàõ 1,à è 1,á. Îíè óñòðîåíû èç ïîïàðíî ðàâíûõ ãðàíåé, âçÿòûõ â îäíîì è òîì æå ïîðÿäêå. Ïîñëå ðàçáèåíèÿ êàæäîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ãðàíè äèàãîíàëüþ, ïî òåîðåìå Ñàáèòîâà, äëÿ íèõ îáîèõ ñóùåñòâóåò îäèíàêîâûé ìíîãî÷ëåí, îäèí èç êîðíåé êîòîðîãî ðàâåí îáúåìó îäíîãî èç ìíîãîãðàííèêîâ, à íåêîòîðûé äðóãîé êîðåíü îáúåìó äðóãîãî. Òåïåðü ìîæíî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó â ñèëó ýòîé òåîðåìû ãèïîòåçà î êóçíå÷íûõ ìåõàõ èìååò ïîëîæèòåëüíûé îòâåò: ôëåêñîðû ïðè èçãèáàíèè ñîõðàíÿþò îáúåì. Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîãîãðàííèê òîëüêî ñ òðåóãîëüíûìè ãðàíÿìè. Äàëåå, ïðè èçãèáàíèè òèï ôëåêñîðà íå ìåíÿåòñÿ, ãðàíè ñîõðàíÿþòñÿ, à äëèíû ðåáåð îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí F ñ çàäàííûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîé, ÷òî îáúåì ôëåêñîðà åñòü îäèí èç êîðíåé ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Åñëè áû îáúåì ôëåêñîðà ïðè èçãèáàíèè ìåíÿëñÿ, òî ýòî äîëæíî áûëî áû ïðîèñõîäèòü íåïðåðûâíî. À òàê êàê îáúåì ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà F, òî ýòî äîëæåí áûòü îäèí è òîò æå êîðåíü. Òàêèì îáðàçîì, îáúåì ìíîãîãðàííèêà äîëæåí îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì. >C Обобщение теоремы Коши ×àñòî ïîä ðàçâåðòêîé ìíîãîãðàííèêà ïîäðàçóìåâàþò ñîâîêóïíîñòü ìíîãîóãîëüíèêîâ, êîòîðûå ñêëåèâàþòñÿ 2* ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀÕ 7 ìåæäó ñîáîé ïî öåëûì ñòîðîíàì, îáðàçóÿ ìíîãîãðàííèê. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê ïðè ýòîì ïðåâðàùàåòñÿ â ãðàíü ìíîãîãðàííèêà, à ñòîðîíà ìíîãîóãîëüíèêà â ðåáðî. Íàïðèìåð, ñîâîêóïíîñòü èç 6 êâàäðàòîâ, ó êîòîðûõ ñêëåèâàåìûå ñòîðîíû è âåðøèíû îòìå÷åíû îäèíàêîâûìè áóêâàìè (ðèñ.9,á), îáðàçóþò òàêóþ îñîáóþ ðàçâåðòêó êóáà (ðèñ.9,à). Êàæäûé åå ìíîãîóãîëüíèê ýòî ãðàíü ìíîãîãðàííèêà. À êàæäàÿ ñòîðîíà ìíîãîóãîëüíèêà (âìåñòå ñ åùå îäíîé ñòîðîíîé äðóãîãî ìíîãîóãîëüíèêà) ýòî ðåáðî ìíîãîãðàííèêà. Âåðøèíû ðàçâåðòêè, ïîìå÷åííûå îäíîé áóêâîé, ñêëåèâàþòñÿ â îäíó âåðøèíó ìíîãîãðàííèêà. Äðóãàÿ, õîðîøî èçâåñòíàÿ ðàçâåðòêà êóáà (ðèñ.9,â) êðåñòîîáðàçíàÿ; îíà ñîñòîèò èç îäíîãî ëèøü ìíîãîóãîëüíèêà ñ 14 âåðøèíàìè è òàêèì æå êîëè÷åñòâîì ñòîðîí. Ïîìå÷åííûå îäèíàêîâûìè áóêâàìè âåðøèíû è ñòîðîíû ñêëåèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Íà ýòîé ðàçâåðòêå êóáà åãî ãðàíè óæå íå ïðåäñòàâëåíû â âèäå îòäåëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Íå ïðåäñòàâëåíû íà ýòîé ðàçâåðòêå òàêæå è íåêîòîðûå áóäóùèå ðåáðà êóáà. Ïîçíàêîìèìñÿ åùå ñ îäíîé ðàçâåðòêîé òîãî æå êóáà. Äëÿ ýòîãî, íàïðîòèâ, âìåñòî òîãî ÷òîáû ñêëåèâàòü êâàäðàòíûå ãðàíè ìåæäó ñîáîé, ðàçðåæåì êàæäóþ èç íèõ íà ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà. Ïîëó÷èì íîâóþ ðàçâåðòêó êóáà, ñîñòîÿùóþ èç 24 òðåóãîëüíèêîâ (ðèñ.9,ã). Êàæäûé òðåóãîëüíèê ýòî ëèøü ÷àñòü ãðàíè êóáà.  ýòîé ðàçâåðòêå ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ íîâûì äëÿ íàñ îáñòîÿòåëüñòâîì: íå âñå ñòîðîíû ðàçâåðòêè ÿâëÿþòñÿ ðåáðàìè ìíîãîãðàííèêà, íå âñå âåðøèíû ðàçâåðòêè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà, êàæäûé òðåóãîëüíèê ðàçâåðòêè ÿâëÿåòñÿ ëèøü ÷àñòüþ ãðàíè ñêëåèâàåìîãî èç íåå êóáà. Ýòè 24 òðåóãîëüíèêà ìîæíî ñêëåèòü äðóãèì îáðàçîì (îïÿòü-òàêè âäîëü îòîæäåñòâëÿåìûõ ñòîðîí) â îäèí ìíîãîóãîëüíèê (ðèñ.9,ä).  ýòîé ðàçâåðòêå, ñîñòîÿùåé èç åäèíñòâåííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, íè îäíà èç ñòîðîí íå ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì êóáà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èç ýòîé ðàçâåðòêè. Òåïåðü äàäèì îïðåäåëåíèå ðàçâåðòêè. Ïóñòü èìååòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñêîëüêî ìíîãîóãîëüíèêîâ, ó êîòîðûõ êàæäàÿ ñòîðîíà îòîæäåñòâëåíà ñ îäíîé è òîëüêî îäíîé ñòîðîíîé òîãî æå èëè äðóãîãî ìíîãîóãîëüíèêà ýòîé ñîâîêóïíîñòè. Ýòî îòîæäåñòâëåíèå (èëè ñêëåèâàíèå) ñòîðîí äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü åùå äâóì óñëîâèÿì: 1) îòîæäåñòâëÿåìûå ñòîðîíû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó; 2) îò êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà ê ëþáîìó äðóãîìó ìîæíî ïåðåéòè, ïðîõîäÿ ïî ìíîãîóãîëüíèêàì, èìåþùèì îòîæäåñòâëåííûå ñòîðîíû. Ñîâîêóïíîñòü ìíîãîóãîëüíèêîâ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 1) è 2), íàçûâàåòñÿ ðàçâåðòêîé. Êàê ìû óæå âèäåëè, ìíîãîóãîëüíèêè ðàçâåðòêè, èõ ñòîðîíû è âåðøèíû íå îáÿçàíû áûòü ãðàíÿìè, ðåáðàìè è âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêîâ, êîòîðûå èç íèõ ïîëó÷àþòñÿ. À.Ä.Àëåêñàíäðîâ äîêàçàë, ÷òî äâà âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêà ñ îäèíàêîâîé ðàçâåðòêîé êîíãðóýíòíû. Ýòà òåîðåìà ñèëüíåå òåîðåìû Êîøè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè Ê Â À Í T 2001/№6 8 a) ã) C D A D A á) D C D B O# C B C C B A O D C C O A BB AC B B D A A B D D â) C D A C B D A B C O A B O$ B O A B O$ O D C D A C B B A C O# A C O$ O! ä) D A D C B O" A D C C O$ O D C O$ O# A Рис.9 C B íàì äàíû âñå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà, à òàêæå ïðàâèëî èõ ñêëåèâàíèÿ ïî ñòîðîíàì, òî, êîíå÷íî, ðàçâåðòêà çàäàíà. Áîëåå òîãî, ïî òàêîé ñïåöèàëüíîãî âèäà ðàçâåðòêå, â ñèëó òåîðåìû Êîøè, ìíîãîãðàííèê âîññòàíàâëèâàåòñÿ îäíîçíà÷íî.  òî æå âðåìÿ ïî ðàçâåðòêå, êîòîðàÿ ïðèñóòñòâóåò â òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà, íè÷åãî íåëüçÿ ñêàçàòü î ãðàíÿõ è ðåáðàõ áóäóùåãî ìíîãîãðàííèêà, è òåì íå ìåíåå ìíîãîãðàííèê èç íåå ïîëó÷àåòñÿ îäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, èç ðàçâåðòêè ìíîãîãðàííèêà íåëüçÿ ïîëó÷èòü âîîáùå íèêàêîé äðóãîé âûïóêëîé ïîâåðõ- íîñòè, íå òîëüêî ìíîãîãðàííîé, íî è êðèâîëèíåéíîé. Ýòî óñèëåíèå òåîðåìû ÊîøèÀëåêñàíäðîâà áûëî ïîëó÷åíî â 1941 ãîäó ó÷åíèêîì Àëåêñàíäðîâà Ñ.Ï.Îëîâÿíèøíèêîâûì 3 . 3 Ñåðãåé Îëîâÿíèøèèêîâ ïîáåäèòåëü ïåðâîé â ÑÑÑÐ ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû (1934 ã.). Èç-çà êóïå÷åñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ â 1930-å ãîäû äîëãî íå ìîã ïîñòóïèòü â óíèâåðñèòåò.  1941 ãîäó çàêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé óíèâåðñèòåò è ïîñòóïèë â àñïèðàíòóðó ê À. Ä. Àëåêñàíäðîâó, òóò æå óøåë íà ôðîíò, îñåíüþ 1941 ãîäà áûë ðàíåí.  ãîñïèòàëå íàïèñàë ðàáîòó îá óñèëåíèè òåîðåìû Êîøè Àëåêñàíäðîâà. Âåðíóâøèñü íà ôðîíò, Ñ.Ï.Îëîâÿíèøíèêîâ ïîãèá â äåêàáðå 1941 ãîäà íà íåâñêîì ïÿòà÷êå èçâåñòíîì êðîâîïðîëèòíûìè áîÿìè ïëàöäàðìå. ÒÐÈ ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÂÛÏÓÊËÛÕ íûõ, ïîâåðõíîñòåé, òî ýòîò âîïðîñ äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëñÿ íåðåøåííûì. Ïóñòü ïðîèçâîëüíàÿ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü âûïîëíåíà èç òîíêîãî, ãèáêîãî, íî íåðàñòÿæèìîãî ìàòåðèàëà. Ìîæíî ëè, ñîõðàíÿÿ âûïóêëîñòü, ïîëó÷èòü èç íåå ïîâåðõíîñòü äðóãîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû? Åñëè èñõîäíàÿ ïîâåðõíîñòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, òî íåëüçÿ ïî òåîðåìå Îëîâÿíèøíèêîâà î åäèíñòâåííîñòè. Îêîí÷àòåëüíîå îáîáùåíèå òåîðåìû Êîøè íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ïîâåðõíîñòåé áûëî ïîëó÷åíî â 1949 ãîäó ïðåäñòàâèòåëåì øêîëû Àëåêñàíäðîâà, àêàäåìèêîì À.Â.Ïîãîðåëîâûì. Îí äîêàçàë, ÷òî ëþáàÿ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü íåèçãèáàåìà ïðè óñëîâèè åå âûïóêëîñòè. Òåîðåìà Ïîãîðåëîâà î åäèíñòâåííîñòè, êàê è òåîðåìà Àëåêñàíäðîâà î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ðàçâåðòêè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà, ïðèíàäëåæèò ê ÷èñëó âûäàþùèõñÿ äîñòèæåíèé â îáëàñòè ãåîìåòðèè. Теорема Александрова о развертке Èòàê, ìû ïîäîøëè ê òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà î ðàçâåðòêàõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Íàì ïîíàäîáèòñÿ ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàçâåðòêè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêå ìíîãîãðàííèêà: χ = B − P + Ã, ãäå à ÷èñëî ìíîãîóãîëüíèêîâ, âõîäÿùèõ â ðàçâåðòêó, Ð ÷èñëî ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïðè ýòîì îòîæäåñòâëÿåìûå ñòîðîíû ñ÷èòàþòñÿ çà îäíó,  ÷èñëî âåðøèí, ïðè ýòîì îòîæäåñòâëÿåìûå âåðøèíû ñ÷èòàþòñÿ çà îäíó.  ñëó÷àå ñïåöèàëüíîé ðàçâåðòêè, êîãäà êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê ðàçâåðòêè ýòî ãðàíü ìíîãîãðàííèêà, ðåáðî ðàçâåðòêè ýòî ðåáðî ìíîãîãðàííèêà, à âåðøèíà ðàçâåðòêè âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà, î÷åâèäíî, ÷òî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàçâåðòêè ðàâíà ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêå ìíîãîãðàííèêà. Íî íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïåðåêðàèâàíèè äàííîé ðàçâåðòêè â èçîìåòðè÷íóþ, òàê ÷òî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ëþáîé ðàçâåðòêè ìíîãîãðàííèêà ðàâíà õàðàêòåðèñòèêå ìíîãîãðàííèêà. Ïîýòîìó ó ðàçâåðòêè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà 2. Ïîäñ÷èòàåì ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó äëÿ íåñêîëüêèõ ðàçâåðòîê êóáà. Äëÿ êðåñòîîáðàçíîé ðàçâåðòêè (ñì. ðèñ.9,â) èìååì  = 8, Ð = 7, à = 1 è, ñîîòâåòñòâåííî, χ = 2 . Äëÿ ðàçâåðòêè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 9,ä, èìååì  = 11, Ð = 10, à = 1, îòêóäà îïÿòü χ = 2 . Äàëåå, åñëè âåðøèíå ðàçâåðòêè ñîîòâåòñòâóåò íàñòîÿùàÿ âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà, òî ñóììà ïîäõîäÿùèõ óãëîâ ñòðîãî ìåíüøå 2π . Åñëè æå âåðøèíå ðàçâåðòêè ñîîòâåòñòâóåò êàêàÿ-íèáóäü òî÷êà âíóòðè ãðàíè èëè ðåáðà, òî ñóììà ïîäõîäÿùèõ ê âåðøèíå óãëîâ ðàâíà 2π . Ïîýòîìó â ðàçâåðòêå âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ñóììà óãëîâ, ïîäõîäÿùèõ ê êàæäîé åå âåðøèíå, íå ïðåâûøàåò 2π . Èòàê, ó âñÿêîé ðàçâåðòêè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà äâóì, à ñóììà óãëîâ, ïîäõîäÿùèõ ê êàæäîé âåðøèíå, íå ïðåâîñõîäèò 2π . 3 Êâàíò ¹6 9 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀÕ Óäèâèòåëüíî òî, ÷òî ýòè óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî íåîáõîäèìûìè, íî è äîñòàòî÷íûìè. Òåîðåìà î ðàçâåðòêå (À.Ä.Àëåêñàíäðîâ). Èç âñÿêîé ðàçâåðòêè, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì: (1) åå ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà 2; (2) ñóììà óãëîâ, ïîäõîäÿùèõ ê ëþáîé âåðøèíå ðàçâåðòêè, íå ïðåâîñõîäèò 2π , ìîæíî ñêëåèòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê. Îòìåòèì, ÷òî ñðåäè ýòèõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò âñòðåòèòüñÿ è ìíîãîãðàííèêè, êîòîðûå âûðîæäàþòñÿ â ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê. Âîçüìåì ðàçâåðòêó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ðàâíûõ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ó êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû è âåðøèíû ïîïàðíî îòîæäåñòâëåíû (ðèñ.10). Ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà òàêîé ðàçâåðòêè  Р+ à = = ï n + 2 = 2, ãäå n ÷èñëî ñòîðîí ó ñêëåèâàåìûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Ýòà ðàçâåðòêà óäîâëåòâîðÿåò è óñëîâèþ (2). Ïî òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà, èç íåå ìîæíî ñêëåèòü ìíîãîãðàí- Рис.10 íèê. Ýòî âûðîæäåííûé ìíîãîãðàííèê, èëè èíà÷å «äâîéíîé ìíîãîóãîëüíèê». Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êîíòóðíûé ìíîãîóãîëüíèê, îáêëååííûé ñ îáåèõ ñòîðîí ïëîñêèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè.  îòëè÷èå îò òåîðåìû Êîøè òåîðåìà Àëåêñàíäðîâà íå ÿâëÿåòñÿ èíòóèòèâíî î÷åâèäíîé. Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà. «Òåòðàýäðè÷åñêèé» ïàêåò.  íåäàâíåì ïðîøëîì ìîëîêî ðàçëèâàëîñü â ïàêåòû, êîòîðûå èìåëè ôîðìó íå êèðïè÷à, êàê ñåé÷àñ, à ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà. Õîòÿ óïàêîâûâàòü â òàðó ýòè òåòðàýäðû íåóäîáíî, çàòî èçãîòàâëèâàòü èõ ëåãêî. Ñíà÷àëà ïðÿìîóãîëüíàÿ ëåíòà ñêëåèâàåòñÿ â öèëèíäð, ãîðèçîíòàëüíûå êðàÿ êîòîðîãî çàòåì çàêëåèâàþòñÿ â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ (ðèñ.11). Ðàçâåðòêà òàêîãî òåòðàýäðà ýòî ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàçáèâàþòñÿ íà ìåíüA a á C D A A C E â A B Рис.11 D E B B Ñ A E D A B Ê Â À Í T 2001/№6 10 ïëîñêîñòÿõ (ðèñ.11). Ðàçâåðòêà òàêîãî òåòðàýäðà ýòî ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàçáèâàþòñÿ íà ìåíüøèå îòðåçêè-ðåáðà ðàçâåðòêè è ïîïàðíî îòîæäåñòâëÿþòñÿ. Äàííàÿ ðàçâåðòêà óäîâëåòâîðÿåò îáîèì óñëîâèÿì òåîðåìû Àëåêñàíäðîâà. Ýòî ìîæíî äàæå íå ïðîâåðÿòü, òàê êàê ìû èìååì äåëî ñ ðàçâåðòêîé âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà. Óïðàæíåíèå 3. Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè ñòîðîí â ïðÿìîóãîëüíèêå èç ðàçâåðòêè, óêàçàííîé íà ðèñóíêå 11, ïîëó÷àåòñÿ ïðàâèëüíûé òåòðàýäð? A a) B C A B A A A C C D B E A B B A E A C F A ã) B D Рис.12 ïàêåòû, «çà÷àñòèë». Êîíêðåòíåå, ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïðÿìîóãîëüíèê ðàçâåðòêè î÷åíü «íèçêèé», à ïðàâèëà ñêëåèâàíèÿ îñòàþòñÿ òåìè æå (ðèñ.12,à). Ýòà ðàçâåðòêà, òàê æå êàê è «âûñîêèé» ïðÿìîóãîëüíèê, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (1) è (2). Ïî òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà, èç ðàçâåðòêè ìîæíî ñêëåèòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè íèæíèé êðàé öèëèíäðà óæå ñêëååí, òî äëÿ ñêëåèâàíèÿ â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè íå õâàòàåò âûñîòû (ðèñ.12,á). Êàæåòñÿ ïî÷òè î÷åâèäíûì, ÷òî ýòà ðàçâåðòêà ÿâëÿåòñÿ êîíòðïðèìåðîì ê òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà. Òåì íå ìåíåå, è èç ýòîé ðàçâåðòêè òîæå ìîæíî ñêëåèòü òåòðàýäð (ðèñ.12,â). Åùå îäèí êîíòðïðèìåð. Âîçüìåì ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ïîäåëèì åãî ñòîðîíû ïîïîëàì è îòîæäåñòâèì îäíó ïîëîâèíêó êàæäîé ñòîðîíû ñ äðóãîé åå ïîëîâèíêîé (ðèñ.13,à). Èç òàêîé ðàçâåðòêè ñêëåèâàåòñÿ ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ.13,á). Ðàçðåæåì òðåóãîëüíèê ïî ïðÿìîé ÀD íà äâà òðåóãîëüíèêà, êîòîðûå ñêëåèì ïî îáùåé ñòîðîíå â íîâóþ ðàçâåðòêó ÀÑÀÂÀD (ðèñ.13,â). È îïÿòü âîçíèêàåò ñîìíåíèå â òîì, ìîæíî ëè ñêëåèòü èç íåå ìíîãîãðàííèê. Ðàçâåðòêà íà ðèñóíêå 13,â óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Àëåêñàíäðîâà. Ïîýòîìó èç íåå ìîæíî ñêëåèòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê. Áîëåå òîãî, ýòà ðàçâåðòêà èçîìåòðè÷íà ðàçâåðòêå 13,à, è, ïî òåîðåìå Êîøè Àëåêñàíäðîâà, ýòîò ìíîãîãðàííèê áóäåò òåì æå ñàìûì ïðàâèëüíûì òåòðàýäðîì. Íà ðèñóíêå 13,ã ïðåäñòàâëåíà åùå îäíà ðàçâåðòêà, èçîìåòðè÷íàÿ ïðåäûäóùèì. Âîçìîæíîñòü ñêëåèòü èç ýòîé «òóïîóãîëüíîòðåóãîëüíîé» ðàçâåðòêè òåòðàýäð êàæåòñÿ åùå áîëåå ñîìíèòåëüíîé. Òåì íå ìåíåå, ïî òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Ó ðàññìàòðèâàåìîé ðàçâåðòêè èìååòñÿ ðîâíî ÷åòûðå âåðøèíû (òî÷êè, â êîòîðûõ ñóììà ïîäõîäÿùèõ H F A A G D K G C F H K C A A A F C â) B â) D A D D E á) B A A Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî àâòîìàò, èçãîòàâëèâàþùèé a) A á) D A ä) K C H FG D B Рис.13 óãëîâ ñòðîãî ìåíüøå 2π ). Çíà÷èò, ìíîãîãðàííèê ýòî òåòðàýäð, êîòîðûé ìîæåò, âîîáùå ãîâîðÿ, âûðîæäàòüñÿ â ÷åòûðåõóãîëüíèê. ×òîáû ïîëó÷èòü íà ðàçâåðòêå ðåáðà áóäóùåãî òåòðàýäðà, íóæíî âåðøèíû ïîïàðíî ñîåäèíèòü êðàò÷àéøèìè ëèíèÿìè. Ýòî áóäóò ðåáðà òåòðàýäðà. Êîãäà ðàçâåðòêà «õîðîøàÿ» (ñì. ðèñ.13,à), êðàò÷àéøèå ñîñòîÿò èç öåëûõ îòðåçêîâ è õîðîøî óãàäûâàåòñÿ áóäóùèé ìíîãîãðàííèê. Íî, âîîáùå ãîâîðÿ, êðàò÷àéøàÿ íà ðàçâåðòêå ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ îòðåçêîâ (ñì. ðèñ.13,áã) è èç-çà ýòîãî òðóäíî îïðåäåëèòü, êàê óñòðîåíû ãðàíè òåòðàýäðà. Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ìíîãîãðàííèêà ïî ðàçâåðòêå, åñëè îíà èìååò áîëåå ÷åòûðåõ íàñòîÿùèõ âåðøèí (â êîòîðûõ ñóììà ïîäõîäÿùèõ óãëîâ ìåíüøå 2π ), ÿâëÿåòñÿ î÷åíü òðóäíîé. Ïî òåîðåìå Àëåêñàíäðîâà î ðàçâåðòêå ìû çíàåì, ÷òî âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ñóùåñòâóåò. Ïî òåîðåìå ÊîøèÀëåêñàíäðîâà î åäèíñòâåííîñòè ìû çíàåì, ÷òî îí åäèíñòâåííûé. Âîçíèêàåò âîïðîñ: êàêîâ îí? Ëåãêî îïðåäåëèòü íà ðàçâåðòêå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà. Êàæäîìó ðåáðó íà ìíîãîãðàííèêå ñîîòâåòñòâóåò êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ êàêèå-òî âåðøèíû. Íî íå âñå êðàò÷àéøèå, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû, ÿâëÿþòñÿ ðåáðàìè. Îïðåäåëèòü íà ðàçâåðòêå, êàêèå èç êðàò÷àéøèõ ÿâëÿþòñÿ ðåáðàìè, è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòü âñå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà, î÷åíü òðóäíàÿ, ïîêà íåðåøåííàÿ çàäà÷à.
