elektiv1

Российская Федерация
Ханты-Мансийский автономный округ - Югра
муниципальное общеобразовательное учреждение
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4»
УТВЕРЖДЕНО:
приказом директора МОУ «СОШ№4»
№ 1093 от 23.09.2008
АВТОРСКАЯ ПРОГРАММА
элективного курса «Задания с аркфункциями»
(с содержанием авторского учебно-теоретического материала и
методических рекомендаций)
для учащихся 10-11классов
Автор: Магомедов Иосиф Маграмович,
учитель математики высшей
квалификационной категории
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент,
заведующий кафедрой высшей математики и информатики
Сургутского государственного педагогического университета
Петр Игнатьевич Совертков
Мегион – 2008
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 1 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.Программа элективного курса «Задания с аркфункциями»
2.Учебно-теоретическая часть и методические рекомендации:
a. Обратные тригонометрические функции и их свойства.
b. Основные тождества.
c. Вычисление значений обратных тригонометрических функций.
d. Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции.
e. Задания с аркфункциями на ЕГЭ.
f. Подготовка к ЕГЭ. Тест по теме: «Обратные тригонометрические
функции».
Список использованной и рекомендуемой литературы.
.э
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 2 -
Программа элективного курса
Пояснительная записка
Главной первостепенной задачей модернизации российского образования
является
обеспечение
нового
качества
школьного
образования,
соответствующего требованиям изменившейся системы общественных
отношений и ценностей. В свете модернизации школьного образования
возникла необходимость создания элективного курса «Задания с
аркфункциями» для расширения возможностей учащихся по свободному
выбору своего образовательного пути.
Программа настоящего элективного курса предназначена для старшей
школы и позволяет повышению эффективности подготовки учащихся 10-11
классов к итоговой аттестации по математике за курс полной средней школы и
предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию.
Любое тригонометрическое уравнение решается на основе обратных
тригонометрических функций. Задания с обратными тригонометрическими
функциями часто предлагаются на вступительных экзаменах по математике в
различные вузы и на ЕГЭ по математике. Поэтому значение тем: «Обратные
тригонометрические функции, их свойства и графики», «Преобразование
выражений, содержащих обратные тригонометрические функции», «
Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические
функции» в школьном курсе математики трудно переоценить.
В процессе изучения данного элективного курса учащийся познакомится
с различными методами решения уравнений и неравенств, содержащих
обратные тригонометрические функции, преобразования выражений с
обратными тригонометрическими функциями, вычисления значений обратных
тригонометрических
функций.
Курс
рассчитан
на
учеников
общеобразовательных школ, гимназий и лицеев, желающих основательно
подготовиться к ЕГЭ и к вступительному экзамену в различные вузы.
Цель изучения учащимися данного элективного курса: углубление и
расширение знаний учащихся по теме: «Обратные тригонометрические
функции»;
Задачи элективного курса:
 развитие логического и творческого мышления;
 создание условий для формирования и развития практических
умений
учащихся
решать
задачи
с
обратными
тригонометрическими функциями, используя различные методы и
приемы;
 формирование научно-исследовательских умений;
 повышение математической культуры ученика.
Организация учебных занятий.
Основная форма организации деятельности учащихся – очная
деятельность .Для реализации целей и задач данного элективного курса
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 3 -
предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы
по решению задач, семинары. Доминантной формой учения должна стать
исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как
на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все
занятия должны носить проблемный характер и включать в себя
самостоятельную работу. Успешность усвоения данного элективного курса
определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика.
Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса.
Формой итогового контроля может стать зачетная работа.
Элективному курсу отводится 1 час в неделю, всего 18 часов.
Основные требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения элективного курса учащиеся должны (уметь и
знать):
 знать определения и свойства обратных тригонометрических
функций;
 уметь решать уравнения и неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции;
 уметь находить значения обратных тригонометрических функций;
 знать основные тождества,
связанные с обратными
тригонометрическими функциями;
 знать основные методы решения уравнений и неравенств,
связанных с обратными тригонометрическими функциями.
Методические рекомендации к решению задач по теме «Обратные
тригонометрические функции», приведенные в данной работе будут полезны
учителям и учащимся. Изучать их можно на уроках, на дополнительных
занятиях, на факультативе, на спецкурсе по предмету. В содержании
элективного курса отражен в полном объеме теоретический материал по теме,
рассмотрена технология решения уравнений и неравенств, содержащих
обратные тригонометрические функции, собраны разнообразные задания,
предлагавшиеся на вступительных экзаменах и на ЕГЭ по математике в
последние годы, с подробными решениями и комментариями. Приведен в
пример тест для подготовки к ЕГЭ, состоящий из 15 заданий (по группам А, В,
и С) на обратные тригонометрические функции с решениями и ответами.
Содержание программы
1.Обратные тригонометрические функции (2ч).
Определение функции арксинус, её свойства и график. Определение
функции арккосинус, её свойства и график. Определение функции арктангенс,
её свойства и график, Определение функции арккотангенс, её свойства и
график.
2.Основные тождества (2ч).
Основные тождества, связанные с обратными тригонометрическими
функциями: тождества группы А, тождества группы Б, тождества группы В,
тождества группы Г.Доказательство тождеств 5, 6, 17, 18, 19, 24, 32. Замечания
к тождествам группы Г.
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 4 -
3.Способы вычисления значений обратных тригонометрических функций (
2ч).
Способы вычисления значений обратных тригонометрических функций:
а) с помощью тождеств, б) с помощью тригонометрической подстановки.
4.Основные методы решения уравнений и неравенств ( 6ч).
Основные методы решения уравнений и неравенств, содержащих
обратные тригонометрические функции: простейшие уравнения и неравенства,
содержащие обратные тригонометрические функции, уравнения и неравенства,
сводимые к алгебраическим ( замена переменной), использование тождеств при
решении уравнений и неравенств, применение одной и той же
тригонометрической функции к обеим частям уравнения или неравенства,
использование свойств монотонности и ограниченности обратных
тригонометрических функций.
5.Практикум (6ч).
Основные типы задач с обратными тригонометрическими функциями,
встречающихся в вариантах ЕГЭ по математике. Вариант теста для подготовки
к ЕГЭ. Зачетная работа.
Учебно-тематический план курса
№ Наименование темы
Количество теория практика
часов
1 Определения
обратных 2
1
1
тригонометрических
функций,
их
свойства и графики
2 Основные тождества, связанные с 2
1
1
обратными
тригонометрическими
функциями
3 Способы вычисления значений обратных 2
1
1
тригонометрических функций
4 Основные методы решения уравнений и 6
2
4
неравенств,
содержащих
обратные
тригонометрические функции
5 Анализ
основных
типов
задач, 2
0
2
предлагавших на ЕГЭ по математике
6 Решение теста по теме: «Обратные 2
0
2
тригонометрические
функции»
для
подготовки к ЕГЭ
7 Зачетная работа
2
1
1
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 5 -
Учебно-теоретическая часть и методические рекомендации
1.Обратные тригонометрические функции и их свойства.
Определение 1
Функция y  arcsin x , где | x | ≤ 1 и - π/2 ≤ y ≤ π/2 , называется арксинусом.
Она является обратной для функций y  sin x на отрезке [ - π/2 ; π/2 ]. Графики
данных функций симметричны относительно прямой y = x.
Свойства функции y  arcsin x вытекают из свойств функции y  sin x на отрезке
[- π/2 ; π/2].
1) Область определения: отрезок [ -1 ; 1 ] , D (y) = [ -1 ; 1 ];
2) Область значений: отрезок [  ;  ] , E (y) = [  ;  ] ;
2 2
2 2
3) Функция y  arcsin x нечетная : arcsin(- x) = - arcsin x;
4) Функция y  arcsin x монотонно возрастающая и непрерывная на отрезке [
-1 ; 1 ];
5) График пересекает оси Ox и Oy в начале координат;
6) y  arcsin x ≥ 0 при 0 ≤x ≤ 1, y  arcsin x < 0 при -1 ≤ x < 0.
Определение 2
Функция y = arccos x, где -1 < x < 1 и 0 ≤ y ≤ π , называется арккосинусом.
Она является обратной для функции y = cos x на отрезке [0;  ] . Графики данных
функций симметричны относительно примой y = x.
Свойства функции y = arccos x:
1) Область определения : [ -1 ; 1 ] , D (y) = [ -1 ; 1 ];
2) Область значений : [ 0 ;  ], E (y) = [ 0 ;  ];
3) Функция y = arccos x ни четная , ни нечетная, и верно тождество arccos (x) = - arccos x;
4) y = arccos x непрерывна и монотонно убывает на отрезке [ -1 ; 1 ];
5) График пересекает ось Ox в точке ( 1 ; 0), а ось Oy – в точке ( 0 ;

);
2
6) y = arccos x  0 на всем отрезке [ -1 ; 1 ].
Определение 3
Функция y = arctg x , обратная функции y = tg x , взятой на промежутке ( 
), называется арктангенсом.
2

;
2
Свойства функции y = arctg x
1) Область определения : R , т.е. D (y) = R;
2) Область значений : интервал ( -
 
; );
2
2
3) Функция y = arctg x нечетная : arctg ( -x ) = - arctg x;
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 6 -
4) Функция y = arctg x непрерывна и монотонно возрастает на R;
5) График пересекает оси Ox и Oy в начале координат;
6) arctg x < 0 при -  < x < 0 и arctg x > 0 при x > 0;
7) Прямые y =

и
2
y = -

являются горизонтальными асимптотами
2
графика.
Определение 4
Функция y = arcctg x, обратная функции y = ctg x на промежутке ( 0 ;  ),
называется арккотангенсом.
Свойства функции y = arcctg x.
1) Область определения : R , D (y) = R;
2) Область значений : интервал ( 0 ;  );
3) Функция y = arcctg x ни четная и ни нечетная.;
Справедливо тождество arcctg (- x) =  - arcctg x;
4) Функция y = arcctg x непрерывна и монотонно убывает на R;
5) График пересекает ось Oy в точке ( 0 ;

);
2
6) Функция arcctg x > 0 при  x;
7) Прямые y = 0 и y =  являются горизонтальными асимптотами.
2. Основные тождества
Рассмотрим четыре основных групп тождеств.
Группа А.
1) sin (arcsin x) = x , | x |  1
(1)
2) cos (arccos x) = x , | x |  1
(2)
3) tg (arctg x) = x , x  R
(3)
4) ctg (arcctg x) = x , x  R
(4)
2
5) sin (arccos x) = 1  x , | x |  1 (5)
Доказательство (5).
Положив arccos x =  , получим cosα = x. Тогда sin (arccos x) = sin  =
, т.е. sin(arccosx) =
,  1. Знак « + » перед корнем
взяли потому, что  = arccos x удовлетворяет неравенствам 0     , где
sin   0.
6) cos (arcsin x) = 1  x 2 , | x |  1 (6)
Доказательство.
Положив arcsin x =  , получим sin  = x.
Тогда cos (arcsin x) = cos  =
, т.е. cos (arcsin x) = 1  x 2 , | x |  1
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 7 -
Знак « + » перед корнем взяли потому, что для  = arcsin x имеем 
где cos   0
7) tg (arcctg x) =
1
, x 0
x
1
, x 0
x
1 x
10) sin ( arctg x) =
11) sin (arcctg x) =
12) cos (arctg x) =
13) cos (arcctg x) =
2
;|x| <1
x
1 x 2
1
1 x
,
1
;
tg
sin 
и предыдущих формул получим
cos 
(9)
; x  R (10)
1 x 2
1
1 x 2
x
2
(8)
9) На основании формулы tg  =
x

1
;
ctg
(7) получим на основании тождества ctg  =
tg (arcsin x) =
2
 
(7)
(7) получим на основании тождества tg  =
8) ctg (arctg x) =

; x  R (11)
; | x |  1 (12)
2
, x  R (13)
1 x 2
; 0 < | x |  1 (14)
x
1 x 2
15) ctg (arcsin x) =
, 0 < | x |  1 (15)
x
x
14) tg (arccos x) =
16) ctg ( arccos x) =
1 x 2
, |x|<1
(16)
17) sin (2 arcsin x) = 2x 1  x 2 , | x |  1 (17)
Доказательство (17).
Обозначив arcsin x =  , получим sin  = x. Тогда sin (2arcsin x) = sin2  = 2
sin  cos  = 2x 1  x 2
18) sin (2 arccos x) = 2x 1  x 2 , | x |  1 (18)
Вывод (18).
sin (2arccos x) = 2 sin(arccos x) cos (arccos x) = 2x 1  x 2 ;
19) cos (2 arccos x) = 2x2 – 1 , | x |  1 (19)
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 8 -
Доказательство (19). Обозначив arccos x =  , имеем cos  = x. Тогда cos (2
arccos x) = cos2  = 2cos2x – 1 = 2x2 – 1
2x
, | x | 1
1 x 2
2x
21) sin ( 2arctg x) =
, xR
1 x 2
1 x 2
22) cos (2arctg x) =
,x R
1 x 2
4 x(1  x 2 )
23) sin (4 arctg x) =
,x R
(1  x 2 ) 2
20) tg (2arctg x) =
1
2
24) cos ( arccos x) =
(20)
(21)
(22)
(23)
1 x
, | x |  1 (24)
2
Доказательство (24).
1
2
Обозначив arccos x =  , получив cos  = x. Тогда cos ( arccos x) = cos
1  cos x
1 x
=
;
2
2
1
25) sin ( arccos x) =
2

=
2
1 x
, | x |  1 (25)
2
26) sin (arcsin x + arcsin y) = x 1  y 2 + y 1  x 2 , где | x |  1, | y |  1 (26)
27) sin (arccos x + arccos y) = x 1  y 2 + y 1  x 2 , где | x |  1, | y |  1 (27)
Заметим, что в этой группе формул можно аналогично вывести очень много
различных соотношений. При решении примеров нужно выводить ту или иную
формулу.
Группа Б.
arcsin x + arccos x =
arctg x + arcctg x =

,
2
|x|  1

, xR
2
1
, x  (0; +  )
x
1
arctg x = - arcctg(- ) , x  (-  ; 0)
x
arctg x = arcctg
(28)
(29)
(30)
(31)
arcsin x + arcsin y = arcsin (x 1  y 2 + 1  x 2 ) (32)
Доказательство (32).
Обозначим arcsin x + arcsin y = z и получим sin z = sin(arcsin x + arcsin y) =
sin (arcsin x) cos (arcsin y) + cos(arcsin x) sin (arcsin y) = x 1  y 2 + y 1  x 2 или
z = arcsin (x 1  y 2 + y 1  x 2 )
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 9 -
arcsin x – arcsin y = arcsin (x 1  y 2 - y 1  x 2 )
(33)
arccos x + arccos y = arccos (xy - 1  x 2 1  y 2 )
(34)
arccos x - arccos y = arccos (xy + 1  x 2 1  y 2 )
(35)
arctg x + arctg y = arctg
x y
1  xy
(37)
Группа В
arcsin (-x) = - arcsin x ,
| x | 1
arccos (-x) =  - arccos x , | x |  1
arctg (-x) = - arctg x ,
xR
arcctg (-x) =  - arcctg x , x  R
Группа Г
 
; ];
2
2
arccos (cos  ) =     [ 0 ;  ] ;
 
arctg (tg  ) =     (- ; ) ;
2
2
arcctg (ctg  ) =     ( 0 ;  )
arcsin (sin  ) =     [-
Замечание
Для произвольных значений угла  последние четыре соотношения можно
уточнить


 - 2  k, при   [- + 2  k ; + 2  k ] ;
2
arcsin (sin  ) =
2

3
+ 2  k].
 -  + 2  k, при   [ + 2  k ;
2
2
 - 2  k, при   [2  k ;  + 2  k ] ;
arccos (cos  ) =
2  k -  , при   [-  + 2  k ; 2  k]


+ k; + k);
2
2
arcctg (ctg x) =  -  k, при   (  k ;  +  k )
arctg (tg x) =  -  k, при   ( -
3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций.
Пример 1 . Вычислите sin (arctg (-2) ).
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 10 -
Способ 1.
Пусть arctg (-2) =  , тогда tg  = -2 и   (-
sin 2 
sin 2 
=
=4
cos 2  1  sin 2 
Из уравнения sin2  = 4 – 4 sin2  находим , что sin2  =
0), то sin  < 0 и sin  = 
2
5
2
1 4
=
4

. Поскольку   (- ;
5
2
.
2 5
;
5
Окончательно , sin (arctg (-2) ) = Способ 2.

; 0). Отсюда tg2  =
2
x
По формуле (10) имеем sin ( arcsin x) =
1 x
2
; sin (arctg (-2) ) = -
2 5
;
5
1
1
- arccos ).
3
5
1
1
1
1
Решение. Обозначим arcsin =  , arccos =  , тогда sin  = , cos  =
и
3
5
3
5
1 1
1
1
1
8 • 24 1 8 3
sin (  -  ) = sin  cos  - cos  sin  = ∙ - 1 ∙ 1 = =
15
3 5
25 15
9 • 25
9
8
4
Пример 3. Вычислите sin (arccos (- ) + arctg (- ).
3
17
8
4
Решение. Обозначим :  = arccos (- ),  = arctg(- )
3
17
sin (  +  ) = sin  cos  + cos  sin 
Пример 2. Вычислите sin (arcsin
Применим способ «вспомогательного треугольника».
а) cos  = sin  =
8

,
< < 
17
2
II ч.
15
17
17
15

8

2
sin  - ? , cos  - ?
4
3
б) tg  = - , - <  < 0
sin  = -
IV ч.
4
3
, cos  =
5
5
5
4

3
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 11 -
sin (  +  ) =
Ответ:
15 3
8
4
45 32 77
  ( )  ( ) 


17 5
17
5
85 85 85
77
85
Пример 4. Вычислите сумму arctg 2 + arctg 3
Решение. Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
Обозначим  = arctg 2 ,  = arctg 3. По формуле сложения для тангенса
имеем
tg (  +  ) =
tg  tg
, подставив в эту формулу
1  tg  tg
tg  = 2 и tg  = 3,
получим
tg (  +  ) =
23
5

 1
1 2 3  5


< arctg 2 < ,
4
2


4
< arctg 3 <
2
--------------------
<  + < 
2
В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1.
Это угол
3
4
Ответ:
3
4
Пример 5. Вычислите при x > 1
2 arctg x + arcsin
2x
1 x 2
Решение. Возьмем tg (2 arctg x + arcsin
Обозначим  = arctg x ,  = arcsin
tg 2  tg
;
1  tg 2  tg


1) tg  = x,
< <
т.к.
4
2
2x
)
1 x 2
2x
1 x 2
tg ( 2  +  ) =
x>1
tg 2  - ?
2tg
2x
, tg 2  =
2
1 x 2
1  tg 
2x
2) sin  =
1 x 2
tg 2  =
m = (1  x 2 ) 2  (2 x) = 1  2x 2  x 4  4x 2 = 1  2x 2  x 4 = ( x 2  1) 2 = | x2 – 1| =
x2 – 1
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 12 -
т.к. x > 1
tg  =
2x
x 1
2
2x
2x
 2
2
tg (2  +  ) = 1  x x  1  0
2x
2x
1
 2
2
1 x x 1
tg (2  +  ) = 0 , 2  +  =  n, n  Z


< <
4
2

< 2 < 
2

0<  <
2
-----------------

3
< 2 +  <
2
2
При n = 0
2 +  = 0 ,
При n = 1
2 +  =  ,
При n = 2
2 +  = 2  ,
 3
;
);
2
2
 3
);
( ;
2
2
 3
2  ( ;
).
2
2
0(
Итак, 2  +  = 
Ответ: 
1
1
1
1
+ arctg + arctg + arctg
3
5
7
8
1
1
1
1
Решение : Обозначим  = arctg ,  = arctg ,  = arctg ,  = arctg ,
3
5
7
8
Пример 6. Вычислите : arctg
  (0 ;




) ,   (0 ; ) ,   (0 ; ) ,   (0 ; )
4
4
4
4
Вычислим с помощью формул сложения для тангенса :
1 1
8
8

4
4
tg (  +  ) = 3 5 = 15 = 15 = ,следовательно,  +  = arctg
, 0 <
1 1
1 14 7
7
1 
1
3 5
15 15

 + <
2
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 13 -
<

2
1 1
15

15 3
3
tg (  +  ) = 7 8 = 56 = = ,следовательно,  +  = arctg , 0 <  + 
1 1
1 55 11
11
1 
1
7 8
56
65
4 3
65

4
3
tg (  +  +  +  ) = tg (arctg + arctg ) = 7 11 = 77 = 77 =1
12
4 3
65
7
11
1 
1
77
7 11
77
 +  + + =
Ответ:

4

, так как 0 <  +  +  +  < 
4
Пример 7. Вычислите а) arcsin (sin 14); б) arcctg ( tg10).
Решение
а) arcsin (sin 14) = arcsin (sin (14 - 4  )) = 14 - 4  т.к. 14 - 4   [-
 
; ]
2
2
Для произвольного значения угла  имеем
 - 2  k, при   [-
arcsin (sin  ) =


+ 2 k ; + 2 k ]
2
2

3
+ 2 k ] ;
 -  + 2  k , при   [ +2  k ;
2
2


14  [- + 4  ; + 4  ] , следовательно , arcsin (sin 14) = 14 - 4 
2
2



б) arcctg (tg 10) = - arctg (tg 10) = - (10 - 3  ) = + 3  - 10 = 3,5  - 10
2

2
2
arctg (tg 10) = 10 - 3  , т.к. 10  (- +3  ;
Пример 8. Упростите выражение sin (2 arcsin

+ 3  ).
2
2
12
)
13
Решение. Для решения задания применим формулу двойного аргумента.
Обозначим arcsin
12
 
=  ,   [- ; ]
13
2
2
12

> 0 ,   (0 ; )
13
2
5
144
cos  = 1
=
13
169
12 5
120
sin 2  = 2 sin  cos  = 2
=
13 13
169
sin  =
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 14 -
Ответ:
120
169
Рассмотрим использование геометрического приема, который дает
короткое решение.
Пример 9. Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3
Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон, как задание
выполняется практически устно.
arctg 3 =  BAM,
B
arctg 1 =  BAC,
arctg 2 =  CAN
C
(  BAC – острый угол прямоугольного
равнобедренного  ABC)
Ответ: 
M
2
Пример 10. Вычислите arctg + arcctg 5
3
N
рис. 1
B
Решение.
Поскольку arctg
A
2
=  CAD, arcctg 5 =  BAD,
3
D
C
а угол BAC – острый угол в прямоугольном
равнобедренном треугольнике ABC, то
2
3
arctg + arcctg 5 =
Ответ:

4

4
рис. 2
A
Рассмотрим тригонометрическую подстановку при решении задач,
содержащих обратные тригонометрические функции. Одной из задач при
изучении обратных тригонометрических функций (ОТФ) является задача о
нахождении значения выражения , содержащего ОТФ. Для решения
подавляющего
числа
подобных
задач
используется
определенная
последовательность действий:
1) оценить , какие значения может принимать данное выражение (область
значений);
2) выбрать тригонометрическую функцию, монотонную на области
значений;
3) найти значение выбранной функции;
4) найти значение самого выражения.
5) Рассмотрим применение последовательности этих действий на одном их
примеров.
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 15 -
Пример 11.
Вычислите значение выражения
2х  1
arcsin
2
 arcctg
1  2х
1  2х
Решение. 1) Найдем ОДЗ данного выражения:
1


2х  1
х


1


1

2
2 х  1  2
2


1
1
1



 2 х  1  0   х      х 
2 х  1  0
2
2
2
1  2 х
1  2 х  0


1


0
1  2 х
х  2

1 1
Итак, данное выражение определено на промежутке  ;  .
 2 2
2) Оценим, какие значения может принимать рассматриваемое выражение. Из
неотрицательности выражений
2х  1
2
и
0  arcsin
0  arcctg
1  2х
следует справедливость неравенств:
1  2х
2х  1
2


2
,
1  2х 
 .
1  2х 2
Сложив неравенства одного знака, получим, что исходное выражение может
принимать значение из интервала (0;  ).
3) На интервале (0;  ) функция ctgt является монотонной и, следовательно, зная
ее значение, можно однозначно определить и значение аргумента.
4) Найдем значение котангенса исходного выражения:
(применим формулу ctg 2    

ctg arcsin

ctg  ctg  1
)
ctg  ctg


2х  1 
1  2х 
 * ctg arcctg
 1
ctg arcsin


1  2 х 
2 
2х  1
1  2х 



 arcctg
.
1  2 х 


2
2х  1 
1  2х 
  ctg arcctg

ctg arcsin



1

2
х
2




Для преобразования
соотношения:
полученного
выражения
применим
следующие
cosarcsin t 
1 t2

, если t   1; 0 0;1;
sin arcsin t 
t
crg arcctgt   t при любых значениях t .
ctg arcsin t  
Тогда получим, что
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 16 -

ctg  arcsin

2х  1 

2 
2х  1
2  1  2х ,
2х  1
2х  1
1
2

1  2х 
1  2х
1  2х

ctg  arcctg

1  2 х 
1  2х
1  2х

(с учетом ОДЗ),
и наконец,



ctg arcsin



1  2х
2х  1
2
1  2х
 arcctg

1  2х
1  2х
*
2х  1
1  2х
2х  1

1
1  2х
0
1  2х
1  2х
на ОДЗ рассматриваемого выражения.
5) В силу монотонности функции ctgt на интервале (0;  ) равенство ctgt=0
возможно лишь при t 

2
.
Следовательно, выражение arcsin
2х  1
2
 arcctg

1  2х
принимает значение
2
1  2х
 1 1
 2 2
 1 1

Ответ: при х   ; 
2
 2 2
при x  ;  и не имеет смысла при других значениях х
4.Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции.
a) Простейшие уравнения и неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции.
Функции   arcsin t и   arctgt монотонно возрастают, а функции   arccos t и
  arcctgt монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому
справедливы следующие равносильные переходы:
 f х   g х 
1.1 arcsin f х   arcsin g х   
1.2
2.1
2.2
3.1
 f  х   g  х ,

 g  х   1;
 f х   1
 f х   g х ,

arcsin f х   arcsin g х    f х   1,
 g х   1,

 f х   g х 
 f  х   g  х ,
arccos f  х   arccos g  х   

 f х   1
 g  х   1;
 f х   g х ,

arccos f х   arccos g х    g х   1,
 f х   1.

arctgf х  arctggх  f х  g х;
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 17 -
3.2 arctgf х  arctggх  f х  g х;
4.1 arcctgf х  arcctggх  f х  g х;
4.2 arcctgf х  arcctggх  f х  g х;
Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении
уравнений 1.1 и 2.1, зависит от того, какое неравенство проще;
Пример 1.
Решить уравнение: arcsin 1  2 х   arcsin 2 х 2  х  1
Решение. Запишем равносильную систему:
1  2 х  2 х 2  х  1

 1  1  2 х  1
Корни -0,5 и 2 уравнения системы подставляем в неравенство. Находить все
решения двойного неравенства нет необходимости. Число -0,5 неравенству
удовлетворяет, а число 2 не удовлетворяет.
Ответ: {-0,5}
Пример 2.
Решить неравенство arccosх 2  3  arccosх  3
Решение arccosх 2  3  arccosх  3 
 х 2  х  6  0,
 х 2  3  х  3,
х  3х  2  0
 2


 х  4
 х  2х  2  0  х  2
 х  3  1,
 х 2  3  1.
 х  4
 х  4



Следовательно, {-2}
Пример 3.
Решить уравнение arccos4 х 2  3х  2  arccos3х 2  8х  4  
Решение. Так как   arccos t  arccos t  , то имеет место следующая цепочка
равносильных преобразований:








arccos 4 х 2  3х  2    arccos 3х 2  8х  4  arccos 4 х  3х  2  arccos  3х 2  8х  4 
 х  2

4 х  3 х  2  3 х  8 х  4,
7 х  11х  6  0
3
3

 2
  х  
х
 2
7

7
 4 х  3 х  1  1
 4 х  3 х  2  1

2
 4 х  3х  2  1

2
2
Ответ: х  
2
3
7
Пример 4.
Решить уравнение с параметром a:


arcsin ах 2  ах  1  arcsin х  0
Решение. Уравнение равносильно уравнению
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 18 -
ах 2  ах  1   х,
ах 2  а  1х  1  0
arcsin ах 2  ах  1  arcsin  х   

  х  1
 х  1


Рассмотрим два случая:
1) a  0 . В этом случае система примет вид:
 х  1  0,
 х 1

х

1

2) a  0 . В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни
1
1
х1  1 и х 2   . Так как х  1 , то   1  a  1
a
a
Если a  1, то х2  х1  1. Если a   ;1 1; , то уравнение имеет два корня.
1
Ответ: при a   ;1 1; х  1 и х  
a
При a  1 и a  0 х  1;
При прочих а решений нет.
Пример 5.
Решить неравенство arcctg 8х 2  6 х  1  arcctg 4 х 2  х  8
Решение. Неравенство равносильно следующему:
 х  1
8х  6 х  1  4 х  х  8  4 х  5х  9  0  
х  9
4

9
Ответ:  ;1  ; 
4

2
2
2
b) Уравнения и неравенства, сводимые к алгебраическим (замена
переменной).
Некоторые
уравнения
и
неравенства,
содержащие
обратные
тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав
соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о
естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с
ограниченностью обратных тригонометрических функций.
Пример 1.
Решите уравнение 2 arcsin 2 х  7 arcsin х  3  0
 
Решение. Обозначим arcsin х  a, где a   ;  и решим квадратное уравнение
 2 2
a 2  7a  3  0
D  49  24  25;
a1  3, a 2  0.5
 
а) arcsin х  3 нет корней, так как 3   ; ;
 2 2
б) arcsin х  0.5, х  sin 0.5, х  0.4794
Ответ: sin 0.5  0.4794
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 19 -
Пример 2.
х
х

  *  3  5arctg 
2
2

х


arctg  t ;  t  . После преобразований получим
2
2
2
Решите уравнение 12arctg 2
Решение. Обозначим
уравнение
 3
t  4 
2
2
12t  5t  3  0  
t   

3
Поскольку 

2
t

2
, то t  

3
, откуда arctg
х

х
     3  х  2 3
2
3
2
Ответ: - 2 3
Пример 3.
Решить неравенство arccos 2 х  3 arccos х  2  0
Решение. Пусть arccos х  t ,0  t   . Тогда
t  2
t 2  3t  2  0  
t  1
2  t   ,
.
Поскольку 0  t   , то 
0  t  1
2  arccos х   ,
 1  х  cos 2

Откуда 
0  arccos х  1
cos1  х  1
Ответ:  1; cos 2 cos1;1
c) Использование тождеств при решении уравнений и неравенств.
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых
являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, можно
пользоваться известными тригонометрическими тождествами. При решении
многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о
равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению – следствию
и после его решения делать необходимую проверку. Пусть требуется решить
уравнение arcsin f х  arccos g х. Предположим, что х 0 - решение этого
уравнения. Обозначим
arcsin f х0   arccos g х0  через  . Тогда
sin   f х0 , cos   g х0 , откуда f 2 х0   g 2 х0   1.
Итак arcsin f х   arccos g х   f 2 х   g 2 х   1
(1)
Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 20 -
arctgf х  arcctggх  f х * g х  1
(2)
(использована формула tg * ctg  1 );
arcsin f х   arcctgg х   f
2
х  
1
;
g х   1
2
(3)
(использована формула sin 2  
arctgf  х   arccos g х  
1
ctg   1
2
);
1
 g 2 х 
f х   1
2
(4)
(использована формула cos 2  
arcsin f х   arctgg х   f
2
х  
1
tg   1
2
);
g 2 х 
g 2 х   1
(5)
(использована формула sin 2  
arccos f х   arcctgg х   f
2
х  
tg 2
);
tg 2  1
g 2 х 
g 2 х   1
(6)
(использована формула cos 2  
ctg 2
 1 );
ctg 2
Замечание. Корнем каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое
число  0 , для которого f х0   0 и g х0   0 . В противном случае множество
значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.
Пример 1.
Решить уравнение arccos
7х  5
4х  1
 arcsin
13
13
Решение.
х  1
2
2
7х  5
4х  1  7х  5   4х  1 
2
arccos
 arcsin

 
  1  65 х  78 х  143  0  
 х   143
13
13
 13   13 
65

143
Корень х  
является посторонним.
65
Ответ: {1}
Пример 2.
Решить уравнение arctg2 sin х  arcctgcos х
Решение arctg2 sin х  arcctgcos х  2 sin х * cos х  1  sin 2 х  1  х 
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»

4
 n, n   
Страница - 21 -


 х  4  2n, n  
.

 х  5  2k , k  
4

5
Корни вида х   2k , k   являются посторонними.
4

Итак, х   2n, n  
4
Пример 3.
Решить неравенство arcsin
х2
3х  1
 arccos
5
5
Решить.
функцию
Рассмотрим
f  х   arcsin
х2
3х  1
 arccos
5
5
и
решим
неравенство f х   0 методом интервалов.
1) Найдем область определения f х . Решим систему
 х2
1
 7  х  3

4
 5


4  2  х 

3
 3х  1  1
 2  х  3
 5
2) Найдем нули f х . Для этого решим уравнение
2
2
х  1
х2
3х  1  х  2   3х  1 
2
arcsin
 arccos

 
 1 х  х  2  0  
5
5
 5   5 
 х  2
Корень х=-2 является посторонним.
3) Решим неравенство f х   0 методом интервалов.
2
Ответ: х   2;1
+
1
4
3
х
d) Применение одной и той же тригонометрической функции к обеим
частям уравнения.
При вычислении значений тригонометрической функции от обеих частей
уравнения получается уравнение-следствие. Это опасное действие, оно должно
совершаться с осторожностью: при этом можно и приобрести, и потерять
решения! Во-первых, это может случиться из-за того, что значения
тригонометрических функций от различных аргументов, лежащих на разных
промежутках монотонности, могут совпадать. Например, уравнение
 1
arcsin х  arccos  
 2
не имеет решений, но при вычислении синуса получим
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 22 -
х
3
2
Другая причина приобретения корней заключается в том, что область
допустимых значений нового уравнения может быть шире или уже ОДЗ
исходного уравнения.
Пример 1.
1
7
Решите уравнение arctg  arcsin х 

4
50
Решение.

arcsin х 
4
 arctg
1
7
(1)
1

7
1

sin arcsin х   sin   arctg 
7
4
1

Обозначим   arctg , где 0   
7
4

cos   cos

 sin 
4
4
2 7
1 
2 *6 3
х




2  5 2 5 2  2*5 2 5
х  sin
Остается убедиться, что при вычислении синуса не были приобретены
посторонние решения. Это действительно так, поскольку обе части уравнения
 
(1) принимают значения только из промежутка  ; 
 2 2
3
5
Ответ: .
Пример 2.
Решим уравнение arccos х  arcsin х 

6
Решение. Взяв синус от обеих частей уравнения, получим уравнение
sin arccos х  * cosarcsin х   cosarccos х  * sin arcsin х  
1 х2 * 1 х2  х2 
1  2х 2 
1
2
1
2
1
,
2
1
2
Откуда х1   ; х 2 
1
2
Проверка. Выполним ее постановкой. Получаем:
 1
 1  2    5 
arccos х1  arcsin х1  arccos    arcsin    
   

, х1 - посторонний
6
 2
 2 3  6  6
корень.
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 23 -
arccos х 2  arcsin х 2  arccos
1
корень уравнения.
2
Т.о. х 2 
Ответ:
1
1   
 arcsin   
2
2 3 6 6
1
2
Пример 3.
Решите уравнение arcsin х  arcsin 2 х 
Решение.
arcsin 2 х 

3

3
 arcsin х


sin arcsin 2 х   sin   arcsin х 
3

2 х  sin
2х 

3
* cosarcsin х   cos

3
sin arcsin х 
3
1
1 х2  х
2
2
5х
3  3х 2

2
2
5 х  3  3 х 2 , гдех  0
25 х 2  3  3х 2 , 28х 2  3, х 2 
3
28
1 3
1 3
, х2  
2 7
3 7
1 3
Ответ:
2 7
х1 
Пример 4.
Решите уравнение arcsin 1  2 cos х   arccos1  3tgх  
Решение. arcsin 1  2 cos х  

2

2
 arccos1  3tgх 
Перейдем к уравнению – следствию.


sin arcsin 1  2 cos х   sin   arccos1  3tgх 
2

1  2 cos х  1  3tgх
3 sin х
cos х
2
2 cos х  3 sin х, 2  2 sin 2 х  3 sin х
1  2 cos х  1 
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 24 -
2 sin 2 х  3 sin х  2  0
1
sin х  , sin х  2
2

5
х   2n, n   , х 
 2k , k  
6
6
ОДЗ:  1  1  2 cos х  1,  1  3tgх  1
 1  cos х  0
 2  2 cos х  0

 2

 2  3tgх  0
 3  tgх  0
Серия корней х 
Ответ:

6
 2n не удовлетворяет условиям системы неравенств.
5
 2k, k   .
6
Е)Использование свойств монотонности и ограниченности обратных
тригонометрических функций.
Пример 1.
Решить уравнение arctg х 2  х  arcsin х 2  х  1 

2
Решение. Пусть х 2  х  t. Тогда уравнение примет вид arctg t  arcsin t  1 

2
Функции t  t , t  t  1, y  arctgt и y  arcsin t являются монотонно
возрастающими. Поэтому функция y  arctg t  arcsin t  1 также является
монотонно возрастающей, поэтому уравнение
arctg t  arcsin t  1 

2
имеет не более одного корня. Очевидно, что t  o является корнем этого
уравнения.
х  0
 х  1
Поэтому х 2  х  0  
Получаем: {-1;0}.
Пример 2.
3
4
Решить неравенство arccos х  arccos х 2  arccos х 3  
Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую

1 
 функцию f х   arccos х  arccos х 2  arccos х 3.
 3 3
3
1
Уравнение f  х    имеет не более одного корня. Очевидно, что х  корень
4
2
3
этого уравнения. Поэтому решение неравенства f  х  
является отрезок
4
1 1 
2 ;

3

на отрезке 
1
;
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 25 -
1 1 
Ответ:  ; 
2 3 
5. Задания с аркфункциями на ЕГЭ.
1) Найдите значение выражения

 1 
tg 2  arccos   
 4 

1
1

Решение. Введя постановку arccos     , где    ;   ; т.к. cos     0,
4
 4
2 
получим
tg 2 
1
1
 1, tg 2 
 1  16  1  15
2
1
cos 
16
Ответ: 15
2) Найдите значение выражения
4 
3 4 
4 4 3
 3  4 
tg   arcsin      tg   arcsin   tg arcsin   *  1
3 
5 3 
3 3 4
 5  3 
3
3
Так как arcsin   , sin    0, значит  принадлежит I четверти, откуда
5
5
4
3
cos   0, tg  0 , cos   , tg 
5
4
Ответ: 1
3) (С-2, ЕГЭ, 2003)
Найдите множество значений функций
5 5 

y  sin 2 х, если х  arccos ; 
13 12 

Решение.
5 5
1. х  arccos ; , то есть  принадлежит I четверти;
13 12 

5
5
 2х 
13
6
5 1
5
1 2
  2 arccos  2 arccos 
13 2
13
2
3
2. 2 arccos
Следовательно, 2х принадлежит II четверти;
3. Во II четверти функция синус убывает и непрерывна. Значит, данная
5
5
функция y  sin 2 х принимает все значения от y  до y arccos .
 12 

13 
4. Вычислим эти значения:
5
 1
 sin  ;
6
6 2
5
5
5
5
25 120



sin  2 arccos   2 sin  arcsin  * cos arcsin   2 * * 1 

13 
13 
13 
13
169 169



sin
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 26 -
1 120
Ответ:  ; 
 2 169 
4) Найдите множество значений функции
y
3

arccos 0.125 * cos х  sin х 
Решение.
 2


1. Так как cos sin х  2 *  cos х  sin х    2 sin  х  , а синус принимает
2
4

 2

все
значения от -1 до 1, то множество значений разности  2 ; 2 . При умножении
на 0.125 
1
2 2
2
1 1
этот отрезок перейдет в отрезок  ; 
 2 2
2. Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит,
множество значений выражения arccos  0.125 * cos х  sin х  - это отрезок
arccos 0.5; arccos 0.5    ; 2 
3
3 
3. При умножении этого отрезка на
Ответ: 1;2
3

получим 1;2
5) Найдите множество значений функций
y  sin 2 х, если х  arctg0.5; arctg3;
Решение.
1.
Так
как
арктангенс
является
0  arctg 0.5  arctg1 

4
 arctg 3 

2
2. При возрастании х от arctg 0.5 до

.
2
Так
как
синус
на
таком
возрастающей
функцией,
то

аргумент 2х возрастает от 2 arctg 0.5 до
4
промежутке
возрастает,
то
функция
y  sin 2 х принимает значения от sin 2arctg 0.5 до 1.
3. При возрастании х от


до arctg 3 аргумент 2х возрастает от
до 2 arctg 3 .
4
2
Так ак синус на таком промежутке убывает, то функция y  sin 2 х принимает
значения от sin 2arctg3 до 1
4. Используя формулу, выражающую синус через тангенс половинного угла,
находим, что
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 27 -
2tg arctg 0.5
 0.8
1  tg 2 arctg 0.5
2tg arctg 3
sin 2arctg 3 
 0.6
1  tg 2 arctg 3
sin 2arctg 0.5 
Значит, искомое множество значений – это объединение отрезков [0,8;1) и
[0,6;1], то есть [0,6;1].
Ответ: [0,6;1]
6)Подготовка к ЕГЭ. Тест по теме: «Обратные тригонометрические
функции»
Часть А
2
 1
 arccos    arctg 3
2
 2
5
3
5
3)
4)
5)
4
4
6

1  
  5
 1
 arccos    arctg 3     arccos       
4
2 3 4
3 3
4
 2
А1 Вычислите: arcsin
13
12
2
Решение. arcsin
2
1)

4
2)
Ответ: 3)
А2 Вычислите: arcsin  sin
1)


2
19 
5 

  arccos cos

4 
4 

4) 
3) 6
2) 0
5)
3
2
Решение.
 
 
5 
 
 
 19 

 

arcsin  sin
  arccos cos   arcsin  sin  5     arccos cos      arcsin  sin   arccos  cos
4 
4 
4 
4 
4




 
 

 


   arccos cos       
4
4 4
4

Ответ: 4)
А3 Вычислите: arctg  ctg
1) 

5
7
13
7
2) 0
6 


  arcsin  cos

7 


2
2
3)
4) 
7
7
5)
5
7
Решение.
 
 
6 
 
 
 13 

arctg  ctg
  arcsin  cos
  arctg  ctg 2     arcsin  cos     
7 
7 
7 
7 


 
 








arctg   ctg   arcsin   cos   arctg  ctg   arcsin  cos *
7
7
7
7




Обозначим:
1. ctg

7
 a, тогда arcctga 

,

7 7

  5
arctga   arcctga   
;
2
2 7 14
 0;  
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 28 -
2. cos

7
 b, arccos b 
arcsin b 

2


7

5
14

7
Следовательно, (*)= 
, b 1
5 5
5


14 14
7
Ответ: 1)

1


А4 Вычислите: sin  arccos  
 3
1)
4 2
9
2) 
4 2
9
3)
2 2
9
4) 
2 2
9
5)
8
9
Решение.

 
1 
1
1
 1


sin  2 arccos    sin  2   arccos    sin  2  2 arccos    sin  2 arccos 
3 
3
3
 3



 
Обозначим:
1
 a, a  0;  
3
1
 
cos a   0, a   0; , следовательно,
3
 2
arccos
sin a  1 
1 2 2

9
3
 sin 2a  2 sin a * cos a  
2*2 2
4 2

9
9
Ответ: 2)

2
1
 arccos 
А5 Вычислите: tg arcsin
2
2

1) 2  3
Решение.
2) 2  3
3) 3  2


5)1  3
4)  3






tg  tg

2
1
  
4
3  1 3  1 3 1 3 


tg arcsin
 arccos   tg   
2
2
 4 3  1  tg  * tg  1  3 1  3 1  3

4
3
42 3
 2  3
2
Ответ: 3)
А6 Какие из выражений не имеют смысла?
1) arcsin

4
4) arcctg 0
2) arccos  5  1
3) arctg 5
5) arcsin cos 3 
Решение. Зная, что Darcsin    1;1, Darccos    1;1
Darctg   R, Darcctg   R, имеем
5  1  1.3   1;1, значит, выражение arccos  5  1
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 29 -
не имеет смысла.
Ответ: 2)
3

sin   arccos 
5
5
А7 Упростите выражение
4
 3
cos
 arcsin .
5
 10

1) sin
2) 1
3)0
4)2
5
5) cos

5
Решение.
3
3
3



sin   arccos 
sin   arccos 
sin   arccos 
5
5
5
5
5
5


1
4
4
4
 3
 

cos
 arcsin  cos   arcsin  sin   arcsin 
5
5
5
 10
2 5
5
3
Так как arccos   ,   0;  , cos   0, значит  принадлежит I четверти и sin  0,
5
9 4
sin   1  cos 2   1 
 .
25 5
4
4
3
Значит, arcsin   , то есть arcsin  arccos  
5
5
5
Ответ: 2)
А8 При каких значениях параметра а число arcsin  a  arccos a принадлежит

промежутку  ;   ?
2

1) a    ;0 
1
 2
a   1;0

2) a   



;0 
2 
1

3
3) a   0; 
 2 
4) a   ;1
1
2 
5)
Решение.

2

2

2
 arcsin  a   arccos a  
  arcsin a 


2

2
 arcsin a  
 2 arcsin a  
0  2 arcsin a 

2
Так как y  arcsin х возрастает на [-1;1], то из неравенства 
следует, что 

4
 arcsin a  0

2
2 
 a  0 т.е. a   
;0  Ответ: 2)
2
 2 
Часть В
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 30 -
В1
Сколько
f х   arcsin
целых
чисел
в
области
определения
функции
1 х
х  5х  2
?
 arccos
5
2
2
Решение.
Так как Darcsin   Darccos    1;1, то область определения данной функции
задается условиями:




1 х

  4  х  6

1


1

 5  1  х  5
 1  х  0
5



  5  х  0  

2
2
 х  4
 2  х  5 х  2  2
 1  х  5 х  2  1
  х  1 

2
 
 
  х  4 
х   1;0  4
Целых значений в этой области определения три:
0; -1; -4
Ответ 3
В2 Решите уравнение arccosх 3   arccos х 
Решение. arccosх 3  

2
 arccos х, х 

2
1
3
Переходим к следующему уравнению-следствию:

 


cos arccos х 3  cos  arccos х 
2

х 3  sin arccos х 
х * 3  1  х 2 ,3х 2  1  х 2
4х 2  1
1
х
2

3
5
2
Проверка. arccos    ; arccos   
 2 3
 2  6
1
5 2  1

 , посторонний корень.
6
3
2 2
1
Ответ:
2
arcsin a  arccos a   arctg  a   arcctga
В3 Вычислите

Решение.
*  arcsin a    arccos a  arctga  arcctga 

Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»

2
 

* при
a   1;1

2 0
Страница - 31 -
Так как arcsin х  arccos х 

2
и arctgх  arcctgх 

2
Ответ: 0
В4 Вычислите arcsin cos 3  arccossin 5
Решение.
arcsin cos 3  arccossin 5  arcsin cos 3  arccos sin 2  5  arcsin cos 3    arccossin 2  5
Обозначим:
1)
cos 3  х, arccos х  3, ,3  0;  
arcsin х  arccos х 

2
, , arcsin х 

2
3
2)
  
sin 2  5  y; arcsin y  2  5,2  5   ; 
 2 2
arccos y  arcsin y 

2
; arccos y 

2
 2  5  5 
3
2
Следовательно, arcsin cos 3    arccossin 2  5 
Ответ: 3  -8
В5
При

каких

arcsin х 2  4 х  5  arccos
х 1
2
значениях

a 3

4

2
3 5
параметра
3
 3  8
2
а
уравнение
Имеет решение?
Решение. Найдем ОДЗ уравнение:
х 2  4х  5  1
 2
1  х  4 х  5  1
 х  4 х  5  1


х2
х 1


1


1
х

1

2


2


х  1   2
2
Значит,
arcsin 1  aec cos


1
2

a3

4
a 3

2 4
4
3 a  3

 a6
4
4


Ответ: при а=6 ур-е имеет ед. решение х=2
Часть С
С1 Чему равно а, если arcsin sin a  
Решение. ОДЗ arcsin sin a :
5
a?
2
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 32 -
5

 a   2  a  3
2
2
2
5
Имеем sin arcsin sin a   sin   a 
 2





 n, n  
4

1
Так как a  2 , то a   2 , a  2 
4
4
1
Ответ: 2 
4
sin a  cos a, a 
С2 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение






arctg 3a  1sin 2 x  3a 3  a 2  3a  1 sin х  tgaх  a   aх  a  0
имеет ровно три решения.
Решение.


arctg 3a  1sin 2 х  3a 3  a 2  3a  1 sin х  tg aх  a   aх  a


3a  1sin 2 х  3a 3  a 2  3a  1 sin х  tg aх  a   tg aх  a 

 

  aх  a 
2
 2




,

3a  1sin 2 х  3a 3 a 2  3a  1 sin х  0
3a  1sin х sin х  a 2  1  0






 aх  a 
 aх  a 
2
2


Рассмотрим три случая:
11

х    - бесконечно много решений;
3, 3
2
2) a  0, sin хsin х  1  0 - бесконечно много решений;
1
3) a  0, a 
3
sin х  0
 х  n, n  


 х       n 1  1


2a
2a


1) a 
ровно три решения тогда и только тогда, когда
1
1
1
2  a 
2a
4
2
1
1 1
1 1
1
Ответ:   a   ;  a  ;  a 
2
4 4
3 3
2
1
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 33 -
Список использованной и рекомендуемой литературы
Бородин П.А. , Сергеев И.Н. Вступительные экзамены в вузы. МГУ.
Математика в школе №1, 2005.
Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач. Математика в
школе №7, 2001
Дорофеев Г.В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. М. Дрофа,
2001-672с.
Зубов А.Б. Тригонометрическая постановка при решении задач, содержащих
обратные тригонометрические функции. Математика в школе №2, 2003
Иванова Т. Обратные тригонометрические функции. Математика №35, 2004
Крючкова В.В. Обобщающий семинар по теме «Обратные тригонометрический
функции». Математика в школе №1, 2004
Материалы ЕГЭ 2001, 2002, 2003 годов
Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на
вступительных экзаменах. М.: Издательство Московского университета, 1990303с
Мордкович А.Г. и др. Практикум по элементарной математике М. Просвещение
1988.
Рязановский А.Г. 500 способов и методов решения задач по математике. М.:
Дрофа, 2001,-480с.
Тухватов М.Б. Лекции по математике для поступающих в вузы. Уфа: БГАУ,
1995,-640с.
Учаева В. Задания с аркфункциями 10-11 классы. Математика №29, 2003
Черкасов О.Ю, Якушев А.Г. Математика: справочник для старшеклассников и
поступающих в вузы. М.: АСТ-ПРЕСС Школа, 2002,-576с.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математика. Решение
задач: Учеб. Пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991,-384с.
Литература, рекомендованная для учащихся
А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.: Алгебра и начала
анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.
:Просвещение, 2004. – 384 с.
Бородин П.А. , Сергеев И.Н. Вступительные экзамены в вузы МГУ.
Математика в школе №1, 2005.
Дорофеев Г.В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. М. Дрофа,
2001-672с.
Материалы ЕГЭ 2001, 2002, 2003 годов.
Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на
вступительных экзаменах. М.: Издательство Московского университета, 1990303с.
Мордкович А.Г. и др. Практикум по элементарной математике. М.
Просвещение 1988.
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 34 -
Рязановский А.Г. 500 способов и методов решения задач по математике. М.:
Дрофа, 2001,-480с.
Тухватов М.Б. Лекции по математике для поступающих в вузы. Уфа: БГАУ,
1995,-640с.
Черкасов О.Ю, Якушев А.Г. Математика: справочник для старшеклассников и
поступающих в вузы. М.: АСТ-ПРЕСС Школа, 2002,-576с.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математика. Решение
задач: Учеб. Пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991,-384с.
Магомедов И.М. «Задания с аркфункциями»
Страница - 35 -