В. Феллер ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ
реклама
В. Феллер ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 2 Это второй том учебника по теории вероятностей — первый вышел' двумя изданиями на английском языке и тремя изданиями на русском языке и завоевал заслуженную популярность. Автор книги — крупный специалист по теории вероятностей. Его учебник написан на высоком научном и методическом уровне и содержит большое число примеров применений теории в физике, биологии и экономике. Данный том посвящен непрерывным распределениям. Вместе с первым томом он составляет прекрасное учебное руководство, в котором очень удачно сочетаются и принципиальные основы, и важнейшие приложения теории вероятностей. Книга рассчитана на читателей различных уровней — от студентов младших курсов университетов до специалистов-математиков. Она, безусловно, заинтересует также физиков и инженеров различных специальностей, которые в своей работе пользуются вероятностными методами. ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Гамма-распределения 66 Предисловие к русскому изданию 5 § 3. Распределения 67 Предисловие 8 Глава 1. Показательные и 13 математической статистики, связанные с гаммаравномерные плотности распределениями § 1. Введение 13 § 4. Некоторые распространенные 69 § 2. Плотности. Свертки 16 § 3. Показательная плотность 21 плотности § 5. Рандомизация и смеси 74 § 4. Парадоксы, связанные с 24 § 6. Дискретные распределения 76 временем ожидания. § 7. Бесселевы функции и 79 Пуассоновский процесс § 5. Устойчивость неудач 29 случайные блуждания § 8. Распределения на окружности 83 § 6. Времена ожидания и 32 § 9. Задачи 86 порядковые статистики Глава III. Многомерные 89 § 7. Равномерное распределение 36 § 8. Случайные разбиения 40 плотности. Нормальные плотности и процессы § 9. Свертки и теоремы о 42 § 1. Плотности 89 покрытии § 10. Случайные направления 46 § 2. Условные распределения 95 § 3. Возвращение к 98 § 11. Использование меры Лебега 51 показательному и § 12. Эмпирические 55 равномерному распределениям распределения § 13. Задачи 58 § 4. Характеризация нормального 102 распределения Глава II. Специальные плотности. 64 § 5. Матричные обозначения. 106 Рандомизация Матрица ковариаций § 1. Обозначения и определения 64 § 6. Нормальные плотности и 108 распределения § 7. Стационарные нормальные 114 процессы § 8. Марковские нормальные 122 плотности § 9. Задачи 128 Глава IV. Вероятностные меры и 132 пространства § 1. Бэровские функции 132 135 § 2. Функции интервалов и r интегралы в R § 3. Вероятностные меры и 142 пространства § 4. Случайные величины. 145 Математические ожидания § 5. Теорема о продолжении 149 153 § 6. Произведения пространств. Последовательности независимых случайных величин § 7. Нулевые множества. 158 Пополнение Глава V. Вероятностные 160 r распределения в R § 1. Распределения и 161 математические ожидания § 2. Предварительные сведения 170 § 3. Плотности 174 § За. Сингулярные распределения 177 § 4. Свертки 179 § 5. Симметризация 186 § 6. Интегрирование по частям. 189 Существование моментов § 7. Неравенство Чебышева 191 § 8. Дальнейшие неравенства. 192 Выпуклые функции § 9. Простые условные 196 распределения. Смеси § 10. Условные распределения 200 § 10а. Условные математические 203 ожидания § 11. Задачи Глава VI. Некоторые важные распределения и процессы § 1. Устойчивые распределения в R1 § 2. Примеры § 3. Безгранично делимые распределения в R 1 § 4. Процессы с независимыми приращениями § 5. Обобщенные пуассоновские процессы и задачи о разорении § 6. Процессы восстановления § 7. Примеры и задачи § 8. Случайные блуждания § 9. Процессы массового обслуживания § 10. Возвратные и невозвратные случайные блуждания § 11. Общие марковские цепи § 12. Мартингалы § 13. Задачи Глава VII. Законы больших чисел. Применения в анализе § 1. Основная лемма. Обозначения § 2. Полиномы Бернштейна. Абсолютно монотонные функции § 3. Проблемы моментов § 4. Применение к симметрично зависимым, случайным величинам § 5. Обобщенная формула Тейлора и полугруппы § 6. Формулы обращения для преобразования Лапласа § 7. Законы больших чисел для одинаково распределенных случайных величин § 8. Усиленный закон больших чисел для мартингалов § 9. Задачи 206 210 210 216 220 224 228 230 234 240 244 252 258 265 272 275 275 278 280 283 286 288 290 295 300 Глава VIII. Основные предельные теоремы § 1. Сходимость мер § 2. Специальные свойства § 3. Распределения как операторы § 4. Центральная предельная теорема § 5. Бесконечные свертки § 6. Теоремы о выборе § 7. Эргодические теоремы для цепей Маркова § 8. Правильно меняющиеся функции § 9. Асимптотические свойства правильно меняющихся функций § 10. Задачи Глава IX. Безгранично делимые распределения и полугруппы § 1. Общее знакомство с темой § 2. Полугруппы со сверткой § 3. Подготовительные леммы § 4. Случай конечных дисперсий § 5. Основная теорема § 6. Пример: устойчивые полугруппы § 7. Схемы серий § 8. Области притяжения § 9. Различные распределения. Теорема о трех рядах § 10. Задачи Глава X. Марковские процессы и полугруппы § 1. Псевдопуассоновский тип § 2. Вариант: линейные приращения § 3. Скачкообразные процессы § 4. Диффузионные процессы в R1 § 5. Прямое уравнение. Граничные условия § 6. Диффузия в многомерном 302 302 307 311 315 324 325 330 334 339 344 349 349 352 356 358 361 366 369 373 378 381 383 384 387 389 394 400 407 случае § 7. Подчиненные процессы § 8. Марковские процессы и полугруппы § 9. «Показательная формула» в теории полугрупп § 10. Производящие операторы. Обратное уравнение Глава XI Теория восстановления § 1. Теорема восстановления § 2. Уравнение ζ = F ∗ ζ § 3. Устойчивые процессы восстановления § 4. Уточнения § 5. Центральная предельная теорема § 6. Обрывающиеся (невозвратные) процессы § 7. Применения § 8 Существование пределов в случайных процессах § 9. Теория восстановления на всей прямой § 10. Задачи Глава XII. Случайные блуждания в R1 § 1. Обозначения и соглашения § 2 Двойственность § 3. Распределение лестничных высот Факторизация Винера— Хопфа § 4 Примеры § 5. Применения § 6. Одна комбинаторная лемма § 7. Распределение лестничных моментов § 8 Закон арксинуса § 9. Различные дополнения § 10 Задачи Глава XIII. Преобразование Лапласа. Тауберовы теоремы. Резольвенты 408 413 417 420 423 423 429 431 436 438 440 444 446 448 453 456 457 461 466 472 477 480 481 484 489 491 495 § 1. Определения. Теорема непрерывности § 2. Элементарные свойства § 3. Примеры § 4 Вполне монотонные функции. Формулы обращения § 5 Тауберовы теоремы § 6. Устойчивые распределения § 7. Безгранично-делимые распределения § 8 Многомерный случай § 9. Преобразования Лапласа для полугрупп § 10. Теорема Хилле—Иосида § 11 Задачи Глава XIV. Применение преобразования Лапласа § 1. Уравнение восстановления: теория § 2. Уравнение типа уравнения восстановления: примеры § 3. Предельные теоремы, включающие распределения арксинуса § 4 Периоды занятости и соответствующие ветвящиеся процессы § 5. Диффузионные процессы § 6. Процессы размножения и гибели. Случайные блуждания § 7. Дифференциальные уравнения Колмогорова § 8. Пример: чистый процесс размножения § 9. Вычисление P(∞) и времен первого прохождения § 10. Задачи Глава XV. Характеристические функции § 1. Определение. Основные свойства § 2. Специальные плотности. 495 500 502 504 508 514 516 519 520 526 530 534 534 536 539 542 544 549 553 559 569 566 569 569 573 Смеси § 3. Единственность. Формулы обращения § 4. Свойства регулярности § 5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых § 6. Условие Линдеберга § 7. Характеристические функции многомерных распределений § 8. Две характеризации нормального распределения § 9. Задачи Глава XVI. Асимптотические разложения, связанные с центральной предельной теоремой § 1. Обозначения § 2. Асимптотические разложения для плотностей § 3. Сглаживание § 4. Асимптотические разложения для распределений § 5. Теорема Берри—Эссеена § 6. Большие отклонения § 7. Различно распределенные слагаемые § 8. Задачи Глава XVII. Безгранично делимые распределения § 1. Теорема о сходимости § 2. Безгранично делимые распределения § 3. Примеры. Специальные свойства § 4. Устойчивые характеристические функции § 5. Области притяжения § 6. Устойчивые плотности § 7. Схема серий § 8. Класс L § 9. Частичное притяжение. 579 584 588 592 596 600 603 607 608 609 613 616 620 622 626 630 632 632 638 644 648 652 657 659 663 666 «Универсальные законы» § 10. Бесконечные свертки § 11. Многомерный случай § 12. Задачи Глава XVIII. Применение методов Фурье к случайным блужданиям § 1. Основное тождество § 2 Конечные интервалы. Вальдовская аппроксимация § 3 Факторизация Винера—Хопфа § 4. Обсуждение результатов Применения § 5. Уточнения § 6 Возвращения в нуль § 7. Критерии возвратности § 8 Задачи 669 670 671 675 675 678 681 684 687 689 690 693 Глава XIX Гармонический анализ § 1 Равенство Парсеваля § 2 Положительно определенные функции § 3 Стационарные процессы § 4. Ряды Фурье § 5 Формула суммирования Пуассона § 6. Положительно определенные последовательности § 7. L2 -теория § 8 Случайные процессы и стохастические интегралы § 9. Задачи Предметный указатель Именной указатель 6У5 695 697 700 703 707 710 713 719 726 736 744 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелевы теоремы 511 223, 594 Абсолютная непрерывность 174, 176 Асимптотически несмещенная Абсолютно беспристрастная оценка 277 последовательность 265, 295 — плотное (множество) 184 — монотонные функции 279, 280, Атомические меры 172 505 Атомы (мер) 172 Аварии 78, 228 — при свертке 183—184 Автобусы (очереди на автобусы, Банаха пространство 313, 414, 557 ожидание) 37, 76, 88, 236 Башелье процесс; см. Броуновское Аддитивные функции множества 136 движение Алгебра множеств 143, 144, 150 Безгранично делимые полугруппы — —, порождения 204 524 Арифметическое распределение 173; — — распределения 220, 351,516,632 см. также Решетчатое — — — в R r 670, 674 распределение Бернулли испытания и случайный Арксинуса распределения 70 выбор 53 — — в процессах восстановления Берштейна полиномы (в R 2 300) 278 539 Бесконечная дифференцируемость — — в случайном блуждании 483 312, 353 — — обобщенное 604 Бесконечные свертки 324, 379, 669, Арцела — Асколи теорема 329 674 Асимптотическая пренебрежимость Бесселевы функции 79—80, 598 — —, безграничная делимость 221, 518, 646 — — в стохастических процессах 81, 385 — —, Лапласа преобразование 503, 504, 550 — —.распределения, связанные с ними 80 и ел., 187, 207, 208 — —, характеристическая функция 573 Бета-интеграл 67 — плотность 70 — — в задаче восстановления 538 Борелевская алгебра 143, 150 Борелевское множество 143 — —, аппроксимация 145, 156 — —, измеримое по 146 — —, соглашения об обозначениях 160 Бохнера интеграл 521—522 Броуновское движение 127, 394, 544 — — в R r 218, 407 — —, непрерывность траекторий 226, 365, 395 — —, первое прохождение 217, 403, 545 — —, подчиненность 411 — — с упругой силой 397 Бэровские функции 134, 139, 148, 161 Бюффона задача об игле 83 Вальда тождество 469, 492, 679 Вейбула распределение 73 Вейерштрасса теорема об аппроксимации 278 Вероятность вхождения; см. Вероятность достижения Вероятностные меры и пространства 142, 168 Ветвящиеся процессы 298, 507, 542 Взаимные пары функций 575 Видимость в x-направлении 23 Винера процесс; см. Броуновское движение Винера—Хопфа интегральное уравнение 470 — — факторизация 456, 465, 494, 681, 690 Вложенные процессы восстановления 241, 446 Водохранилище; см. Хранение запасов Возвращение в нуль 490, 689 Возраст; см. Длительность Вполне монотонные функции 282,504, 517 — — — абстрактные 520 — — —.интерполяция 531 Вращения 103, 113 Время возвращения 231 — — максимальное 238, 453 — жизни; см. Длительность, Время возвращения Выборка, медиана, экстремумы 32 — среднее значение, дисперсия 111 Выпуклые функции 193 — — и мартингалы 271 Вырожденное распределение 108, 113 Вырожденные процессы 118 Гамеля уравнение 358, 366 Гамма-плотность 24, 66 — распределение 23, 66, 500 — —, безграничная делимость 220, 355, 518, 645 — — как предел порядковых статистик 39 — —, подчинение 412 — —, приближение 276 — — рандомизированное 80 — функция 66, 86 Гармонические функции 298 Гейгера счетчики 238, 240, 439, 453, 536 Гёльдера неравенство 195 Гильбертовы пространства 715, 720 Гиперболические функции и плотности 87, 574, 603, 645, 670, 710 Гравитационные поля 216, 272 Граничные условия 400, 546 — значения 299 Грина функция 396, 545, 567 Группировка данных 17 Гюйгенса принцип 71 Двойные орбиты 51 Двойственность 461 Двустороннее преобразование Лапласа 499 Двусторонняя показательная плотность 69 — — —, факторизация 682 — — —, характеристическая функция 573 Дисперсия 18, 65, 171 — инфинитезимальная 397 — условная 96 Диффузия в генетике 398 — в R 1 394, 532, 544, 567 — в R r 407 — с упругой силой 397 Длина случайных цепей 262 Длительность, диффузия 404—405 —, мертвый период 238 —, период занятости 452, 553 —, процесс восстановления 234, 273, 441 —, процесс размножения 561 Дробная доля 186, 327 Дробовый эффект 223, 672 Естественный масштаб в диффузии 395 Жордана разложения 173 Задача о разорении 228, 250, 388, 538 — — —, оценки 444, 479 Задержки в движении 237, 445, 454, 544, 567 Законы больших чисел 274, 290, 346, 502, 586 — — — для мартингалов 299 — — — для серий 378, 674 — — — для стационарных последовательностей 301 — — —,обратная теорема 292 — нуля или единицы 157 Заражение 79 Значащие цифры 85 Иенсена неравенство 193, 271 Измеримое пространство 144 Измеримость 146 Изометрия 722 Индикатор множества 132 Интегральное уравнение Абеля 51 Интегрирование по частям 189 Интервал непрерывности 303 Инфинитезимальная скорость и дисперсия 397 Ионизация 385 Исчезающие на бесконечности функции 303 «Исчезновение», случайные блуждания 490 Каноническая мера 633 Кантора тип распределения 54, 177, 670 — — — (свертки) 186 Квазиустойчивость 215 Квазихарактеристические функции 632 Ковариация 91 —, матрица 107 — процесса 116, 700, 725 Колмогорова дифференциальные уравнения 293, 553 — неравенство 296, 301 — Смирнова теорема 57, 405 — теорема о трех рядах 379 Компактность в схеме серий 370 Конкордантные (согласованные) функции 266, 298 Координатные случайные величины 17, 91 Корреляция 91 Коши — Леви теорема 595, 600 — распределение 71, 87, 292, 599 — — в R r 94, 97, 128, 599, 671 — — и броуновское движение 218, 411 — —, случайное блуждание 259, 693 — —, устойчивость 216, 634, 645 Крамера оценка для вероятности разорения 229, 444, 471, 480 Критерий значимости 201 Кронекера лемма 299 — символ 554 — ядро 260, 554 Круг, распределение на нем 46, 83, 88, 104 — — равномерное на нем 327, 333 —,теорема покрытия 44 Кэмпбелла теорема 224, 347, 672 Лапласа второй закон распределения 70 — преобразование 288, 495, 534 Лапласа преобразование вЯ1' 519 — — двустороннее 499 — — для полугрупп 520 — Стильтьеса преобразование 489 Лебега интеграл 135 — мера 51, 142, 159 — Никодима теорема 176 — пополнение 159 — Стильтьеса интеграл 136, 139, 166 — теорема о разложении 179 Леви каноническое представление 643 — Крамера теорема 600 — метрика 345 — Парето распределение 219 —,примеры 272, 382, 646 Лежандра формула удвоения 86 Лестничные величины 241, 457, 481 — — в процессе ожидания 248 Линдеберга условие для диффузии 395 — условия 320, 346, 592 Линейные операций над стохастическими процессами 702 — приращения в скачкообразных процессах 387 Линейный функционал 151 Логарифм комплексных чисел 639 Логарифмическое распределение 86 Логистическое распределение и развитие 73 Локально компактные пространства 152, 156, 303 Ляпунова условие 346 Мажорированная сходимость 141 Максвелла распределение 49, 68, 103 Максимальная оценка 479 — характеристическая функция 685, 694 — частная сумма 242, 250, 383, 470, 477, 487 Максимальное время возвращения 238, 453 Максимальный член 207, 215, 337, 347 — —, влияние на сумму 532; см. также Порядковые статистики, Рекордные значения Марковские процессы с дискретным временем 122, 129, 258, 274 — — — — — и мартингалы 298 — — — — —, спектральная функция 713, 728 Марковские процессы с дискретным временем, эргодические теоремы 330 — — с непрерывным временем 125, 383, 700 — — — — — в процессах восстановления 436 — — — — — в счетных пространствах 553 — — — — — и полугруппы 413, 521 — — — — —, эргодические теоремы 446, 564 Марковское свойство 22; см. Строго марковское свойство Мартингалы 265, 295 — в процессах восстановления 431 — в случайных блужданиях 466 —, неравенства 295, 296, 301 Масштабные параметры 64, 171 Медиана 32, 172 Медленно меняющиеся функции; см. Правильно меняющиеся функции Мера скорости (speed measure) 395 «Мертвый» период 240 Метод ограничений 403 Метрики 345; см. также Банахово пространство, Гильбертово пространство Минимальное решение, Винера — Хопфа уравнение 469 — —, дифференциальное уравнение Колмогорова 555 — —, диффузия 402 — —, полумарковские процессы 568 — —, скачкообразные процессы 393 — —, уравнение восстановления 255 Миттаг-Леффлёра функция 519 Момент регенерации 231 Моменты 18, 170, 189 — восстановления 231, 432 — в процессах восстановления 442 —,неравенство 195 —, проблема однозначности 283, 290, 532, 527 — — — в R r 606 —, производящие функции 499 —, сходимость 306, 328 —, Хаусдорфа проблема 281 Монотонной сходимости принцип 140 — — свойства 414 Найквиста формула 708 Направляющий процесс 411 Невозвратные случайные блуждания 253 Невозвратные случайные блуждания, свойства 257, 465, 483, 690, 694 — — —, уравнение восстановления и теорема для них 252 449, 450, 494 Невозможность систем игры 270, 271 Независимость случайных величин 19,92, 95, 153, 169 — — —, комплексные величины 570 — — —, критерий для нее 170 Независимые приращения 123, 224, 352, 365, 380, 724 — —, разрывы 366, 380 Неймана тождество 82 Нелинейное восстановление 454 Непосредственная интегрируемость по Риману 426 Непрерывность полугрупп 416; см. также Фиксированные разрывы Несмещенная оценка 277 Несобственные (дефектные) распределения 162, 164, 260 — — — в процессах восстановления 234 Неудачи 29 Норма 313, 413, 714, 720 —, топология, порождаемая 345 Нормальное распределение 65, 87, 574 — — в R r 108, 597 — — вырожденное 112 — — двумерное 93, 96, 129 Нормальное распределение марковское 122 — —.область притяжения 377, 652 — — характеристические свойства — — частное 128, 206 Нормальные полугруппы 360, 368, 381 Нормальный стохастический процесс Носитель 64 Нулевая схема серий 222, 659 Нулевое множество 158, 175 714 720 Область притяжения 214 — —.критерий для нее 373, 382 514 652 — — нормальная 657 — — частичная 382, 646, 656 Обобщенный пуассоновский процесс 225, 365, 388 — — — и полугруппы 357, 360 — — —, подчинение в нем 412 — — —, разорение в нем 228, 250, 538 Образование колонн 59, 567 Обратное уравнение для диффузии 396, 398 и сл., 407, 545 и сл. — — — полугрупп 417, 420 и т. д. — — — полумарковских процессов 568 — —, минимальное решение 392, 555 и т. д. — —, скачкообразный процесс 390, 554 и т. д. Обрывающийся (terminating) или невозвратный (transient) процесс 234, 440 и сл. Обслуживание больных 229 Обслуживающие устройства; см. Очереди Одновершинные [унимодальные] распределения 197, 603 — —,свертки 208 Оператор перехода 414 — сдвига 722 Операторы, связанные с распределениями 311 Операционное время 227, 409 Орбиты двойные 51 Орнстейна—Уленбека процесс 127, 397 Ортогональные матрицы 114 Остаточные события 157 Остающееся время ожидания 236 — — —, предельная теорема 434, 436, 453, 540 Осциллирующие случайные блуждания 258, 464, 687 Отношение правдоподобия 267 Отражающий экран 402, 406, 532 Оценка 60 Очереди 75, 76, 87, 88, 248 — параллельные 31, 32, 35, 60; см.также Периоды занятости Ошибки округления 37, 84 Парадокс контроля 235, 436 Парадоксы 24, 38, 235, 436 Параметры расположения 64, 171 Парето распределение 70 Парсеваля равенство 530, 695, 716, 719 — — как критерий Хинчина 718 Первое возвращение 459, 491, 566, 689 Первые прохождения, диффузия 217, 403, 544 — —, марковские цепи 562 — —, процесс размножения и гибели 82, 88, 551, 565 Периодограмма 101 Периоды занятости 246, 251, 553 — — и ветвящийся процесс 542, 517 Петербургская игра 293 Пирсона система распределений 67, 70 Планшереля преобразование 715 — теорема 582 Плотность 16, 64, 174 Повторные математические ожидания 203 Поглощающие экраны 402 и т. д., 532, 546 и т. д Поглощение (физическое) 41, 48, 385 Подчиненные процессы 408, 518, 525, 646, 673 — — и показательная формула 419 Пойа критерий 577, 581 — урновая схема 266, 285, 297 Показательная формула для полугрупп 287, 409, 417 Показательное распределение 21, 58, 98 — — двумерное 128 — — двустороннее 69, 187 — — и равномерное распределение 62, 98 Показательное распределение как предел 39, 62, 434; см. также Гамма-распределения Положительно определенные матрицы 107 — — последовательности 710 — — функции 697 Полугруппы 286, 413, 520 — со сверткой 353 — устойчивые 366 Полумарковский процесс 553, 568 Полумартингалы 271 Полярные координаты 92 Пополнение мер 159 Популяция, рост 399, 401 —,случайное рассеивание 319 Порядковые статистики 32, 36, 129 — —, предельные теоремы 39, 62, 87 — —, применение к статическому оцениванию 60 Потенциал 558 Потеря энергии 385, 387; см. Столкновение частиц Потерянные вызовы 239, 566 Правильно меняющиеся функции 334, 348 Приложение к астрономии 51, 115 170—171, 261, 272, 388 Принцип инвариантности 400 — отражения 218, 547, 548 Притяжение; см. Область притяжения Проекция 90 — случайных векторов 47, 49, 62 Произведение мер и пространств 153 Производящие операторы 354, 420, 522, 545 — функции, интерпретация с помощью «исчезновения» 490 — —, характеризация 279 Произвольная остановка 270 Пропуски (пробелы) большие 236, 445, 536 — малые 273 Прохождение света через вещество 41, 47, 62 — — в звездных системах 261, 388 — — и принцип Гюйгенса 71 — — через сферу 47 Процесс авторегрессии 116, 123 — восстановления с запаздыванием 234, 431 Прочность на разрыв 22 Прошедшее время ожидания 236, 453 — — —, предельные теоремы 436, 540 Прямое уравнение, диффузия 400, 544 Прямое уравнение, диффузия, минимальное решение 393, 556 — —,полугруппы 417 — —, скачкообразный процесс 387, 391 — — — — (счетность) 554 Прямоугольная плотность 36, 70 Псевдопуассоновский процесс 409 — —, показательная формула 417 — —, полугруппа 526 — — с линейными приращениями 387 Пуанкаре задача о рулетке 84 Пуассона формула суммирования 85, 405, 707, 727 — ядро 704 Пуассоновские ансамбли 28; см. также Гравитационные поля — распределения, аппроксимация с их помощью 346 — — как крайние точки 644 — —, разность 207, 645 — —, формула Тейлора 286 Пуассоновский процесс 24 — — как предел в процессах восстановления 434 — —, supremum 299 Равномерное распределение 36, 327 Равностепенная непрерывность 307, 329 Радиация звездная 261 Радона—Никодима производная 174 — — теорема 176 Развитие логистическое 73 Разложение единицы 722 Размножения и гибели процессы 549, 567 — — — — и диффузия 567 — — — —, периоды занятости в них 552; см. также Рандомизованные случайные блуждания — процесс 60, 325, 559 — — двусторонний 561 Разности (обозначения) 277 Разрывы фиксированные 227, 380 Рандомизированное случайное блуждание 81, 549, 644 Рандомизация и подчиненные процессы 409 —, полугруппы 288, 419 —, симметрично зависимые случайные величины 283 Распределение роста 97 Расслоение 78 Расстояние между распределениями 345 — по вариации 345 Расхождение; см. Эмпирическое распределение Регистрация 240, 439 Регрессия 94, 112 Регулярное стохастическое ядро 331 Резольвенты 495, 527, 557 — и полная монотонность 529 Рекордные значения 29, 58, 59; см.также Порядковые статистики Решающая функция 269 Решетчатые Распределения 173, 184 — —, характеристические функции 572, 583 — —,центральная предельная теорема для 591, 617 Римана — Лебега теорема 586 Рисса теорема о представлении 152 Рулетка 37, 84 Самовосстанавливающиеся Совокупности 234 Свертка ядер 261 Свертки, бесконечные 324, 379, 669, 674 — —, поведение F n ∗ 347 — на окружности 86, 333 — плотностей 19, 65, 95 — распределений 179 — — (сингулярных распределений) 186 Свободный пробег 22, 29 Сглаживание 115, 181, 613 Сдвиг, оператор 287, 313 —, полугруппы 355, 421 — принцип 499 Сепарабельность 328 Сервостохастический процесс 130 Серии 62; См. также Рекордные значения Сжатие 414, 521 Сильная непрерывность в нуле 416, 521 — сходимость 314, 416 Симметризация 186 —, неравенства 188 Симметрично зависимые величины 283, 489 — — —, центральная предельная теорема 346 Симметричные события 157 Сингулярные (вырожденные) распределения 54, 137, 177 — —, свертки 186, 670 Скалярное произведение 714 Скачкообразный процесс 389 — — с бесконечным числом скачков 393, 554 Скользящее среднее 115, 723 Скрытая периодичность 101 Слабая сходимость 304 Случайная величина 16, 91, 145, 165 — — комплексная 569 Случайное рассеивание 319 Случайные блуждания в R 1 240, 252, 456, 575 — — — — и эмпирическое распределение 56, 62 — — — — простые (Бернулли) 270, 381, 460, 462, 491, 503, 680 — — — — сопряженные 474 — — — в R r 50, 598 — — — —, центральная предельная теорема 319 — импульсы 240 — направления 46, 61, 62 — —, сложение 48, 71, 186, 262, 598 — разбиения 37, 98, 101; см. Теоремы о покрытии — — (расщепления частиц) 40, 61, 129 — суммы 75, 199, 208 — —, характеристическая функция 576 — —, центральная предельная теорема для них 323, 605 — цепи 261 Случайный вектор 48, 50; см. также Случайные направления — выбор 14, 36, 32 — — и бросание монеты 53; см. также Теоремы о покрытии, Случайные разбиения Смеси 74, 98, 196, 208 —, преобразование 503 Снедекора плотность 69, 70 Снос в диффузии 397 — в случайных блужданиях 465, 686 Собственное распределение 164 — —, сходимость 304, 344, 633 Совместное распределение 91 Совпадения 273 Сопряженные случайные блуждания 474 Спектр мощностей 701 Спектральная мера 701, 726 (заданная 703) — —, представление для унитарных операторов 722 Статистика 32 Стационарность, мера и вероятность 262, 274, 332 —, приращение 225, 352 —, процесс 114, 129, 700, 710 (закон больших чисел 301) (Ср. Эргодическая теорема) Стационарный режим 27, 263, 388 — — в процессах восстановления 434 Столкновение частиц 261, 385, 387 Стохастическая ограниченность 310, 369 Стохастические интегралы 724 Стохастическое разностное уравнение 128 — ядро 199, 259, 330 Строго марковское свойство 38 — устойчивые распределения 211 Структура (алгебраическая) 414 Стьюдента плотность 69, 72 Субмартингал 271, 296 Субстохастическое ядро 260 Сумма случайных векторов 48, 186, 262, 598 Суммируемость по Абелю 704, 706, 728 — — Чезаро 706, 727 Суперпозиция процессов восстановления 434 Схемы серий 222, 272, 369, 659, 674 Сходимость в среднем квадратичном 714 — мер 304, 326, 344 — операторов 314, 353, 414 — по вероятности, 290, 309 — сильная 314, 416 — слабая 305 Счетно-аддитивные функции (σаддитивные) 137, 150—151, 163 Счетчики; см. Гейгера счетчики, Очереди Тауберовы теоремы 508 — —, применение 486, 514, 535, 540, 687 Тейлора формула обобщенная 286 Телефонные вызовы 78, 228 — — потерянные 239, 266; см. также Периоды занятости Теорема непрерывности, квазихарактеристические функции 634 — —, Лапласа преобразования 496 — —,полугруппы 327 — —, характеристические функции 580, 582, 604 Теорема об аппроксимации в среднем 141 — о продолжении 149, 156 — — среднем значении 138 — — трех рядах 379 Теоремы о выборе 325 — — покрытии 42, 61, 101, 273, 538 Теория надежности 73 — страхования 229; см. также Задача о разорении Типы распределений 64, 171 — —, сходимость 307 Точка роста 172, 184 Точки первого вхождения в процессах восстановления 236, 434, 435, 492; см. также Лестничные величины — — — в случайных блужданиях 490, 492, 675 Транспортные задачи 59, 237, 445, 454, 544, 567 Треугольная плотность 43, 70, 573 Треугольника неравенство 313 Тэта-функции 405, 406, 710 Универсальные законы Дёблина 568 Унимодальность по Хинчину 603 Унитарные операторы в гильбертовом пространстве 722 Упругая сила 397 Уравнение восстановления 232, 425, 436, 453 — — для всей прямой 253, 448, 494 — —, процесс 25, 230, 272, 431, 453 Уравнения восстановления, теоремы 424, 427, 441 Условные распределения и математические ожидания 95, 200 Устойчивые полугруппы 366 — распределения в процессах восстановления 440 — — R 2 647, 671 — —, плотности 657 — —, подчиненность 412, 518 — —, положительные 514, 673 — —, произведения 219, 519 — — с показателем 1/2 72, 87, 216, 381, 503 Фату теорема 140 Фиксированные разрывы 380 Фильтр 116, 702 Фишера Z-статистика 69 Фоккера — Планка уравнение 356, 386, 391 Формула обращения и проблема моментов 281 — —, преобразование Лапласа 288 506, 507, 530 — —, характеристические функции 581, 584, 599 — удвоения 86 Фубини теорема 141, 155, 181 Функции интервалов 136, 162 Функционал линейный 151 Фурье коэффициенты 705, 708 — обращение 581, 583 — ряд 703, 719, 727 — преобразование 570, 608; см. также Планшереля преобразование — Стильтьеса преобразование 570 Характеристические функции 569 — — в R r 596 — —, логарифм 639 — — периодические 703, 706 — —, производная в нуле 635 — —, факторизация 578, 669, 708; см. также Пуассона формула суммирования Хи-квадрат 68 Хилле — Иосида теорема 526, 545 Хинчина критерий 718 — Полячека формула 478, 539, 683, 693 Хольцмарка распределение 215, 217, 272 Хранение и управление запасами 228, 229, 247 Центральная предельная теорема 315, 346, 350, 588, 605 — — —, необходимые и достаточные условия 379, 654, 662 — — —, приложения 257, 264, 319 — — —, процессы восстановления 438 Центрирование 64, 171, 660 — безгранично делимых распределений 637 Цепи, прочность 22 — случайные 261 Цифры, распределение 52, 85 Частицы, притяжение 382, 646, 666—, расщепление 40, 61, 129 — — быстрыми частицами 385, 387; ср. Столкновения частиц —, упорядочение 107, 167 Частные (маргинальные) распределения 90, 169, 196 — —, заданные 206 Частотная характеристика фильтра 702 Чебышева неравенство 191, 276 — — обобщение 299 — — — на мартингалы 301 — Эрмита многочлен 609 Чепмена — Колмогорова уравнение, дискретное время 127 — — —, непрерывное время 384, 556 — — —, полугруппы 416, 528 Шаг 174 Шварца неравенство 192 Шлемильха формула 82 Шум 346, см также Дробовой эффект Эджворта разложение 611, 620 Эквивалентные функции 158, 714 см Стационарный режим Экраны, см Поглощающие экраны, Эрлангова плотность 66 Граничные условия Эрмита полиномы 609, 630 Эмпирические распределения 55 — разложение 620 Эндоморфизм 414 Ядра 199, 259, 330 Эргодические стохастические ядра Якоби тэта-функция 405, 406, 710 332 — σ-аддитивность 137 — теоремы, дискретное время 263, — алгебра 143 274, 330 — конечная мера 144 — —, непрерывное время 446, 562, ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Амбарцумян В. А. 261, 388 Веисс (Weiss В. ) 728 Андре (Andre D. ) 2)8 Виленкин H. Я. 699, 729 Винер (Wiener N. ) 426, 718 Аннекен (Hennequin P. L.) 131, 729 Винтнер (Wintrier A. ) 209 Байес (Bayes Т. ) 77 Бакстер (Baxter G.) 472, 481, 490, 647, Волд (Wold H. ) 597 Вольфовиц (Wolfowitz J.) 252, 153, 681 447, 449 Бартлетт (Bartlett M. S. ) 730 Гальтон (Gallon F.) 97 Баруча-Рид (Barucha-Reid A. T.) 399, 730 Гейтлер (Heitler W. ) 385 Гельфанд И. M. 699, 729 Бенеш (Benes E. V.) 446, 730 Герглотц (Herglotz G. ) 712 Бенфорд (Benford F. ) 85 Гири (Geary R. С. ) 111 Бергстрем (Bergstrom H. ) 657 Бернштейн С. H. 103, 505 Гнеденко Б. В. 57, 62, 337, 607, 618, 657, 668, 730 Берри (Berry А. С.) 607, 620, 621, 625, Гренандер (Grenander U.) 102, 729, 627, 630 730 Бикель (Bickel P. J. ) 455 Биллингслей (Billingsley P.) 57, 323, Гринвуд (Greenwood M. ) 79 Гриффин (Griffin J. S. ) 248 406 Гуд (Good D. J. ) 542 Блекуэлл (Blackwell D.) 424, 449 Гумбел (Gumbel E. J. ) 206 Блюм (Blum J. R. ) 346 Боль (Bohl) 327 Дарлинг (Darling D. A. ) 533 Дворецкий А. 333 Боттс (Botts Т. А.) 131 Дерман (Derman С. ) 564 Бохнер (Bochner S.) 383, 411, 520, 697, 699, 712, 729 Деблин (Doblin W.) 215, 668 Джильберт (Gilbert E. ) 273 Брело (Brelot M. ) 299 Донскер (Donsker M. ) 57, 406 Будро (Boudreau P. E. ) 248 Дуб (Doob J. L.) 130, 206, 266 297, Бурбаки (Bourbaki N. ) 131 Бюльман (Buhlman H. ) 285 299 431, 730 Дынкин Е. Б. 383, 395, 540, 729 Вальд (Wald A.) 283, 465, 474 Зигмунд (Zygmund A. ) 635 Вебер (Weber H. ) 504 Золотарев В. M. 659 Вейль (Weyl H. ) 327 Иахав (Yahav J. A.) 455 Ибрагимов И. А. 209 Ито (Ito К.) 395, 400, 729 Кантор (Cantor G. ) 326 Карамата (Karamata J. ) 215, 302, 334, 339 512 Карлеман (Carleman T.) 282, 587 Карлин (Carlin S. ) 2S3, 449, 730 Кац (Каc M. ) 103, 248, 406 Кельвин (Kelvin) 403 Кемперман (Kemperman J. H. В. ) 472, 729 Кендалл (Kendall D. С.) 244, 288, 542 Кенуй (Quenoinlle M. H. ) 50 Кимура (Kimura M. ) 399 Кингман (Kingman J. F. С.) 231 Кифер (Kiefer J. ) 252, 447 Кокс (Сох D. R. ) 730 Колмогоров А. Н. 155, 156, 206, 224, 292, 299, 395, 607, 618, 730 Королюк В. С. 56, 57, 62 Коши (Cauchy A. ) 215, 581 Крамер (Cramer H.) 597, 607, 620, 628, 625, 730 Крикеберг (Knckeberg К.) 729 Ламперти (Lamperti A) 238 Ландау Л. Д. 385 Ландау (Landau F.) 405, 513 Лаха (Laha R. G.) 729 Лебег (Lebeque H.) 152 Леви Поль (Levy Paul) 215, 224, 226, 266, 320, 365, 380, 400, 568, 647, 663, 668, 729, 730 Ле Кам (Le Cam L. ) 346 Линдеберг (Lindeberg J. W.) 585 Линдли (Lindley D. V.) 244, 456 Литтл (Little J. D. С. ) 544 Литтльвуд (Littlewood J. F.) 195, 512 Лоэв (Loeve M.) 131, 132, 266, 285, 297, 323, 383, 729 Лукач (Lukacs F.) 111 729 Лундберг (Lundberg F.) 229 Маккин (McKean H. P.) 395 400, 729 Макшейн (McShane E. J.) 131 Мандельбройт (Mandelbrot В. ) 219, 348 Марков А. 283 Маршалл (Marshall A. W.) 301 Мидлтон (Middleton D. ) 709 Миллс (Mills H. D. ) 130 Моран (Moran P. A. P. ) 730 Мюнц (Muntz С. ) 300 Неве (Neveu J.) 131, 297, 729 фон Нейман (Neumann J.) 62 Нейман (Neyman J.) 228 Нелсон (Nelson E. ) 128 411 Ньюэл (Newell G. F. ) 59 Орей (Orey C. ) 449 Орнштейн (Ornstem D. ) 257 Пайк (Pyke R. ) 229, 457, 539, 568 Петерсен (Petersen D. P.) 709 Петров В. В. 625 Пинкхэм (Pinkham R. S. ) 86 Питман (Pittman E. J. ) 635 Пойа (Polya G.) 79, 195, 215, 228 Поллард (Pollard H. ) 424, 449, 520 Поляк (Pollak H. O.) 273 Полячек (Pollaczek F.) 250 Порт (Port S. C.) 339 Прабу (Prabhu H. U. ) 730 Прохоров Ю. В. 57, 406 Райт (Wright S. ) 399 Райт (Wright E. M. ) 327 Рвачева Е. Л. 57 Реньи (Renyi A.) 406 Риордан (Riordan J. ) 730 Рисс (Riesz M. ) 288 Рихтер (Richter W. ) 625 Роббинс (Robbins H. E.) 128, 323, 423 Розенблат (Rosenblatt M.) 102, 346, 730 Рой (Roy S.) 423 Ройден (Royden H. L.) 283 Рэй (Ray D.) 395 Рэлей (Rayleigh) 50 Севидж (Savage J. L.) 157, 285 Серпинский (Sierpinski W.) 327 Скеллам (Skellam J. G.) 320 Скитович В.П. 104 Скороход А. В. 57, 730 Смирнов H. В. 57, 62, 405 Смит (Smith W. L.) 423, 449, 568, 730 Снелл (Snell J. L.) 431 Спарре-Андерсен (Sparre-Andersen E.) 456, 481, 486, 489 Спицер (Spitzer F.) 197, 374, 386, 395, 569, 575, 580, 615 Стадден (Studden W.) 283, 730 Стейн (Stein C.) 678 Стивенс (Stevens W. L.) 44, 102 Стильтьес (Stieltjes) 283 Сьюэлл (Sewall) 399 Такая (Takacs L.) 542, 730 Тамаркин Я. Д. 273, 301 Таннер (Tanner J. C.) 237 Тейчер (Teicher H.) 346 Титчмарш (Titchmarsch E. C.) 688 Тортра (Tortrat A.) 676 Троттер (Trotter H. P.) 320, 411 Угахери (Ugaheri T.) 274 Уилкс (Wilks S. S.) 59 Уильямсон (Williamson R. E.) 431 Уиттекер (Whittaker J. M.) 709 Уокс (Wax N.) 730 Уолл (Woll J. W.) 411 Уоллес (Wallace D. L.) 621 Уолш (Walsh J. W.) 71 Фейер (Fejer L.) 706 Филлипс (Phillips R. S.) 288, 354, 520, 525, 730 де Финетти (Finetti В.) 61, 224, 283 Фишер (Fisher R. A.) 102, 337, 399 Фреше (Frechet H.) 207 Фукс (Puchs W. H. Y.) 690 Халмош (Halmos P. R.) 131, 270 Хант (Hunt G.) 266 Харди (Hardy G. H.) 195, 327, 512 Харрис (Harris Т. E.) 298 Хаусдорф (Hausdorff F.) 281 Хелли (Helly E.) 326 Хилле (Hille E.) 286, 288, 354, 476 520, 575, 601, 730 Хинчин А. Я. 215, 224, 291, 474, 643, 664, 668, 730 Хобби (Hobby С.) 457 Хопф (Hopf E.) 471, 472 Хьюитт (Hewitt E.) 157, 285 Чандрасекар (Chandrasekhar S.) 50 Чернов (Chernoff H.) 346, 631 Чжоу (Chow S.) 423 Чжун (Chung К. L.) 134, 208, 256, 257, 288, 420, 449, 553, 690, 729 Шапиро (Shapiro J. M.) 647 Шварц (Schwartz L.) 699 Шеллинг (Schelling H.) 264, 285 Шеннон (Shannon С.) 708 Шепп (Shepp L.) 87, 197, 694, 728 Шоке (Choquet G.) 429, 670 Шохат (Shohat J. A.) 283, 301 Эйнштейн A. (Einstein A.) 395 Эйнштейн (Einstein A. Jr.) 228 Эссеен (Esseen G.) 607, 618, 620, 621 Эсшер (Esscher F.) 625 Эрдёш (Erdos P.) 406, 424 Юл (Jule G. U.) 79 Яноши (Janossy L.) 385
