Automorphic representations

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2)»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Michael Finkelberg, PhD, [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2)» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
ГОС ВПО;
Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2013 г.
2
The goals of mastering the subject
The goals of mastering the subject «Automorphic representations of GL(2)» are: mastering geometric methods of modern representation theory, learning how techniques of modern algebraic geometry can be applied to representation theoretic problems. Development of communication skills in academic setting, of ability to present deep mathematical results before wide audience.
3
Competencies of a student which are formed by mastering the subject
As a result of mastering the subject the student should:

Learn the basic notions of the representation theory of GL(2) over finite fields (the Drinfeld
curve, characters of GL(2), uses of l-adic cohomology theory, Harish-Chandra and Deligne-Lusztig
induction), and related geometric and representation-theoretic results.

Learn how to present mathematical results before wide audience consisting of nonmathematicians or mathematicians specializing in another field. Practice the skill of mathematical discussion.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
5
№
Thematic plan of educational subject
Title of the section
Total
hours
Class hours
Lectures
1
2
3
Structure of GL_2(F_q)
The geometry of the Drinfeld curve
l-adic cohomology
Seminars
9
9
9
Practical
classes
Self-guided
study
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2)» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
4
5
6
7
8
Harish-Chandra and Deligne-Lusztig induction
The character table
Unequal characteristic: generalities
Unequal characteristic: equivalences of categories
Equal characteristic
Total:
9
9
9
9
162/288
9
72
90/216
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2)» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Контрольная работа
1
*
1 год
2 3
8 8
Зачет
Параметры **
4
8
письменная работа 60 минут
v
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа, зачеты и домашние задания проверяют степень владения теоретическим материалом, а также корректность и строгость математических рассуждений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Content of the subject
1. Structure of GL_2(F_q). Special subgroups. Bruhat decomposition. The non-split torus. Distinguished subgroups. Conjugacy classes. Centralizers. Parametrization. Sylow p-subgroups. Other Sylow subgroups. Bibliography: [B]
2. The geometry of the Drinfeld curve. Elementary properties. Interesting quotients. Quotient by
G. Quotient by U. Fixed points under certain Frobenius endomorphisms. Compactification.
Hurwitz formula, automorphisms. Ahbyankar's conjecture (Raynaud's theorem). Bibliography:
[B]
3. l-adic cohomology. Properties of the complex. Properties of cohomology groups. Cohomology
with coefficients in K. The Euler characteristic. Action of a Frobenius endomorphism. Examples: the projective line, the one-dimensional torus. Bibliography: [B]
4. Harish-Chandra and Deligne-Lusztig induction. Bimodules. Construction of Harish-Chandra
induction. Mackey formula. Restriction from GL_2(F_q). Deligne-Lusztig induction. Dimensions. Cuspidality. Action of the Frobenius endomorphism. Bibliography: [B]
5. The character table. Characters of bimodules. Calculation of Ir and Ir'. Restriction to U. Character table. Central characters. Global McKay conjecture. Bibliography: [B]
6. Unequal characteristic: generalities. Partition in l-blocks. Brauer correspondents. Terminology.
Modular Harish-Chandra induction. Bibliography: [B]
7. Unequal characteristic: equivalences of categories. Nilpotent blocks. Quasi-isolated blocks. The
principal block. The case when l is odd and divides q-1. The case when l is odd and divides
q+1. The case l=2. Alvis-Curtis duality. Bibliography: [B]
8. Equal characteristic. Standard or Weyl modules. Simple modules. The Grothendieck ring of G.
Simple kG-modules. Decomposition matrices. Blocks and Brauer trees. Bibliography: [B]
8
Образовательные технологии
В рамках семинара предусмотрены мастер-классы экспертов в различных разделах теории представлений и геометрии. Предусмотрены научные и научно-популярные доклады студентов, научные дискуссии.
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2)» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашнего задания или контрольной работы:
1.
What is a Deligne-Lusztig variety? Prove that Deligne-Lusztig variety Y(w) is quasi-affine,
smooth and purely of dimension l(w).
2.
Prove that PSL_2(F_3) is the group of oriented isometries of the regular tetrahedron.
3.
State the Lang's theorem. Give a sketch of the proof.
9.1
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1.
State the geometric version of the Broue's conjecture.
2.
What is a l-block? L-regular geometric series?
3.
What is a defect group? State Brauer's main theorems.
9.2
10
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1
Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
11.2 Основная литература
[B] C. Bonnafe, Representations of SL_2(F_q), Algebra and Applications, 13, Springer, 2011.
11.3 Дополнительная литература
[GGPS] I. Gelfand, M. Graev, I. Piatetsky-Schapiro, Representation theory and automorphic functions, W.B.Saunders, 1969.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2)» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
[JL] H. Jacquet, R. Langlands, Automorphic forms on GL(2), LNM 114, Springer, 1970.
11.4
Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
11.5
Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены.
12
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование.
6