Automorphic representations II

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2) II»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Michael Finkelberg, PhD, [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2) II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
ГОС ВПО;
Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2013 г.
2
The goals of mastering the subject
The goals of mastering the subject «Automorphic representations of GL(2) II» are: mastering
geometric methods of modern representation theory, learning how techniques of modern algebraic geometry can be applied to representation theoretic problems. Development of communication skills in
academic setting, of ability to present deep mathematical results before wide audience.
3
Competencies of a student which are formed by mastering the subject
As a result of mastering the subject the student should:

Learn the basic notions of the representation theory of GL(2) over finite and local fields (the
characters of GL(n), the Hecke ring of GL(n), Gamma functions and Bessel functions, adele groups),
and related geometric and representation-theoretic results.

Learn how to present mathematical results before wide audience consisting of nonmathematicians or mathematicians specializing in another field. Practice the skill of mathematical discussion.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
5
№
Thematic plan of educational subject
Title of the section
Total
hours
Class hours
Lectures
1
2
3
Symmetric functions
The characters if GL(n) over a finite field
The Hecke ring of GL(n) over a local field
Seminars
9
9
9
Practical
classes
Self-guided
study
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2) II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
4
5
6
7
8
The representations of GL(2,K)
The character table
Gamma-functions and Bessel functions
Tate rings
The adele group of GL(2)
Total:
9
9
9
162/288
9
9
72
90/216
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2) II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Контрольная работа
1
*
1 год
2 3
8 8
Зачет
Параметры **
4
8
письменная работа 60 минут
v
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа, зачеты и домашние задания проверяют степень владения теоретическим материалом, а также корректность и строгость математических рассуждений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Content of the subject
1. Symmetric functions. Partitions. The ring of symmetric functions. Schur functions. Orthogonality. Skew Schur functions. Transition matrices. Plethysm. Bibliography: [M]
2. The characters of GL(n) over a finite field. The groups L and M. Conjugacy classes. Induction
from parabolic subgroups. The characteristic map. Construction of the characters. Irreducible
characters. Bibliography: [M]
3. The Hecke ring of GL(n) over a local field. Local fields. The Hecke ring H(G,K). Spherical
functions. Hecke series and zeta functions for GL(n,F). Hecke series and zeta functions for
GSp(2n,F). Bibliography: [M]
4. The representations of GL(2,K). The representations of P. The representations of B. The Schur
algebra. The dimension of cuspidal representations. Bibliography: [PS]
5. The character table. The description of GL(2,K) by generators and relations. Nondecomposable characters of L*. Assigning cuspidal representations to non-decomposable characters. The small Weil group and the small reciprocity law. Bibliography: [PS]
6. Gamma-functions and Bessel functions. Whittaker models. The Gamma-function of a representation. Determination of rho by Gamma_rho. The Bessel function of a representation. Bibliography: [PS]
7. Tate rings. Irreducible unitary representations of the group of adeles. Proof of a theorem on
tensor products. Criteria for the existence of a single linearly independent invariant vector.
Second theorem on tensor products. Bibliography: [GGPS]
8. The adele group of GL(2). Statement of the problem and summary of the results. The structure
of the space X. Cylindrical sets. The horospherical map. Investigation of the kernel. Connection
with the operator of the horospherical automorphism. Bibliography: [GGPS]
8
Образовательные технологии
В рамках семинара предусмотрены мастер-классы экспертов в различных разделах теории представлений и геометрии. Предусмотрены научные и научно-популярные доклады студентов, научные дискуссии.
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2) II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашнего задания или контрольной работы:
1.
Define the group of adeles of a linear algebraic group over Q. Prove that the principal adeles
form a discrete subgroup.
2.
Give a sufficient condition for an irreducible representation of a topological group G to have
not more than one vector invariant under compact subgroup of G.
3.
Prove that the ring of continuous finite functions is commutative.
9.1
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1.
What is a cuspidal representation? Is it irreducible?
2.
Describe the decomposition of representations induced from parabolic subgroup.
3.
What is the connection between Gamma functions of representations and the classical
Gamma function from analysis?
9.2
10
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1
Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
11.2 Основная литература
[M] I.G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford Mathematical Monographs,
1999.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Automorphic representations of GL(2) II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
[PS] I. Piatetski-Shapiro, Complex representations of GL(2,K) for finite field K, AMS, 1983.
[GGPS] I. Gelfand, M. Graev, I. Piatetsky-Schapiro, Representation theory and automorphic functions, W.B.Saunders, 1969.
11.3 Дополнительная литература
[JL] H. Jacquet, R. Langlands, Automorphic forms on GL(2), LNM 114, Springer, 1970.
11.4
Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
11.5
Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены.
12
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование.
6