CH-9

Глава 9. Проверка статистических гипотез.
9.1. Критерий согласия.
Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины X неизвестен,
но есть основания предположить, что он имеет вполне определённый вид: нормальный,
биноминальный или какой-либо другой. Под статистической гипотезой H принимается
утверждение о виде неизвестного распределения, или параметрах генеральной
совокупности известных распределений.
Для проверки гипотезы H о распределении случайной величины X производится
выборка:
xi
x2
…
n2
…
x1
xk
k
ni
n1
, где
nk
n
i 1
i
 n - объём выборки.
Требуется сделать заключение: согласуются ли результаты наблюдений с высказанным
предположением
H . Для этого используют специально подобранную величину –
критерий согласия.
Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о
предполагаемом законе неизвестного распределения.
Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и другие.
Наиболее часто для проверки гипотезы о законе распределения применяется критерий
согласия Пирсона хи-квадрат (  2 ) .
Пусть эмпирическое распределение задано в виде
xi
x1
x2
…
xk
ni
n1
n2
…
nk
Если эмпирические частоты
 ni 
сильно отличаются от теоретических  npi  ni , то
проверяемую гипотезу H следует отвергнуть, в противном случае – принять.
В качестве меры расхождения между ni и npi для i  1, k Пирсон предложил величину
(критерий Пирсона):
k
 ni  npi 
i 1
npi
 
2
2
k

i 1
ni2
 n (9.1.1)
npi
Согласно теореме Пирсона, при n   статистика  2 - распределение с   k  r  1
степенями свободы, где k - число групп (интервалов) выборки, r - число параметров
предполагаемого распределения.
В частности, если предполагаемое распределение нормально, то оценивают 2 параметра (
a и  ), поэтому число степеней свободы   k  3 .
Вычислим теоретические вероятности pi попадания случайной величины X в частичные
интервалы  xi 1 , xi  по формуле:
pi  p  xi 1  x  xi     ui     ui 1  ,
i  1, k ,
где ui 
xi  x

1
  ui  
2
;
ui
e
t2
2
dt
0
(9.1.2)
Правило применения критерия  2 сводится к следующему:
2
1. По формуле (9.1.1) вычисляют  набл
- выборочное значение статистики критерия.
2. Выбрав уровень значимости  критерия по таблице  2 распределения находим
критическую точку 2, .
2
3. Если набл
 2, , то гипотеза H
не противоречит опытным данным; если
2
набл
 2, , то гипотеза H отвергается.
Пример 9.1.1.
Измерены 100 обработанных деталей; отклонения от заданного размера приведены в
таблице
 xi ; xi 1 
3; 1
1;0
0;1
1;2 
2;3
3;5
ni
13
15
24
25
13
10
(9.1.1).
n  100 . Проверить при уровне значимости   0,01 гипотезу H о том, что отклонения от
проектного размера подчиняются нормальному закону распределения.
Решение: Случайную величину – отклонение – обозначим через X . Для вычисления
вероятностей pi необходимо вычислить параметры, определяющие нормальный закон
распределения
(a
и
Их
оценки
 ).
1
Xв 
13   2   15   0,5  ...  4  10   0,885  0,9 .
100
Dв 
вычислим
по
выборке:
 ;   ,
то крайние
1
2
 4  13  0, 25  15  ...  16  10    0,885  2,809 ,   1,676  1,7 .
100


Находим pi i  1,6 . Так как c  b  
N (a;  ) определена на
интервалы в ряде распределения заменим, соответственно, на  ; 1 и  3;  .
Применяя формулу (9.1.2), вычислим
1
 1  0,9 
P1  p    X  1   
        1,12   0,1314 .

2
 1,7 
Аналогично получим
P2  0,1667 , P3  0,2258 , P4  0,2183 , P5  0,1503 ,
 3  0,9  1
P6  p  3  X           
    1, 24   0,1075 .
 1,7  2
Полученные результаты приведём в следующей таблице:
 xi ; xi 1 
 ; 1
 1;0 
0;1
1;2 
2;3
3;
ni
13
15
24
25
13
10
n '  npi
13,14
16,68
22,58
21,83
15,03
10,75
(9.1.2).
2
Вычислим  набл
:
6
2
 набл

i 1
 132
ni2
152
102 
2
 1,045 .
n 

 ... 
 100  101,045  100 , т.е.  набл

npi
10,75 
 13,14 16,67
Найдём число степеней свободы. По выборке рассчитаны два параметра, значит, r  2 .
Количество интервалов 6, т.е. k  6 . Следовательно,   6  2  1  3 . Зная, что   0,01 и
  3 , по таблице  2 -распределения находим 2,  11,3 . Таким образом, 1,045  11  3,2 ,
2
т.е. набл
 2, . Следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности.