Основные формулы (матстат)

Интервальные оценки
1. Интервальная оценка (с надежностью 𝑝) матем.ожидания 𝑀𝑥 нормально распределенного признака Х
𝜎
𝜎
𝑝
a) при известном 𝜎: 𝑥̅ − 𝑧𝑝⁄ 𝑛 < 𝑀𝑥 < 𝑥̅ + 𝑧𝑝⁄ 𝑛 , где 𝑧𝑝⁄ -квантиль ф. Лапласа : Φ(𝑧) = ⁄2
√
√
2
2
2
𝑠
𝑠
б) при неизвестном 𝜎: 𝑥̅ − 𝑡(1−𝑝)/2;𝑛−1 𝑛 < 𝑀𝑥 < 𝑥̅ + 𝑡(1−𝑝)/2;𝑛−1 𝑛 , где 𝑡(1−𝑝)/2;𝑛−1 −
√
√
квантиль распределения Стьюдента
𝑝̂(1−𝑝̂)
𝑛
2. Интервальная оценка (с надежностью 𝑝) для доли (вероятности) 𝑝̂ − 𝑧𝑝⁄ √
2
𝑝̂(1−𝑝̂)
𝑛
< 𝑝̃ < 𝑝̂ + 𝑧𝑝⁄ √
2
3. Интервальная оценка (с надежностью 𝑝) среднего квадратичного отклонения 𝜎 нормально
распределенного признака Х : 𝑠(1 − 𝑞) < 𝜎𝑥 < 𝑠(1 + 𝑞),
,где
𝑞 = 𝑞(𝑝, 𝑛) находят по таблице
Проверка статистических гипотез
1. Сравнение выборочной средней 𝑥̅ с гипотетической генеральной средней 𝑀𝑥 нормальной совокупности,
дисперсия генеральной совокупности неизвестна (малая выборка)
𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; вычисляют статистику 𝑇набл =
(𝑥̅ −𝑀0 )√𝑛−1
𝑠
а) 𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; 𝐻1 ∶ 𝑀𝑥 ≠ 𝑀0 ; находят 𝑡двуст.кр = 𝑇(∝/2, 𝑛 − 1) квантиль распределения Стьюдента
Если |Тнабл | < 𝑡двуст.кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
б) 𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; 𝐻1 ∶ 𝑀𝑥 > 𝑀0 находят 𝑡правост.кр = 𝑇(∝, 𝑘)
Если 𝑇набл < 𝑡правост.кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
в)𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; 𝐻1 : 𝑀𝑥 < 𝑀0 находят 𝑡правост.кр = 𝑇(∝, 𝑘)
Если 𝑇набл > −𝑡правост.кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
2. Сравнение выборочной средней 𝑥̅ с гипотетической генеральной средней: 𝑀𝑥 нормальной совокупности,
дисперсия 𝜎 2 генеральной совокупности известна
𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ;
вычисляют статистику 𝑍набл =
(𝑥̅ −М0 )√𝑛
𝜎
а) 𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; 𝐻1 ∶: 𝑀𝑥 ≠ 𝑀0 ; находят 𝑧кр квантиль функции Лапласа : Φ(𝑧кр ) =
(1 − 𝛼)⁄
2-
Если |𝑍набл | < 𝑍кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
б) 𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; 𝐻1 ∶ 𝑀𝑥 > 𝑀0 ;
находят 𝑍правост.кр
: Φ(𝑍правост.кр ) =
(1 − 2𝛼)⁄
2
Если 𝑍набл < 𝑍правост.кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
в)𝐻0 ∶ 𝑀𝑥 = 𝑀0 ; 𝐻1 ∶ 𝑀𝑥 < 𝑀0 ;
находят 𝑍правост.кр
: Φ(𝑍правост.кр ) =
(1 − 2𝛼)⁄
2
Если 𝑍набл > −𝑍правост.кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
3. Сравнение выборочной доли
𝐻0 ∶ 𝑝̅ = 𝑝̂ ;
𝑝̂ с гипотетической генеральной долей 𝑝̅ нормальной совокупности
вычисляют статистику 𝑍набл =
(𝑝̂−𝑝̅ )√𝑛
√𝑝̅ (1−𝑝̅ )
4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы
2 независимых выборки объемами 𝑛 < 30 и 𝑚 < 30 извлечены из нормальных генеральных
совокупностей; 𝑥̅ и 𝑦̅ – выборочные средние; 𝑠𝑋2 и 𝑠𝑌2 – исправленные выборочные дисперсии
𝐻0 ∶ 𝑀𝑋 = 𝑀𝑌 ;
𝑥̅ −𝑦̅
вычисляют статистику 𝑇набл =
√
2 +(𝑚−1) 𝑠2
√(𝑛−1)𝑠𝑋
𝑌
𝑛𝑚(𝑛+𝑚−2)
𝑛+𝑚
∝
а) 𝐻0 ∶ 𝑀𝑋 = 𝑀𝑌 ; 𝐻1 ∶ 𝑀𝑋 ≠ 𝑀𝑌 ; находят 𝑡двуст.кр = 𝑇( 2 , 𝑛 + 𝑚 − 2) квантиль распределения Стьюдента
Если |𝑇набл | < 𝑡двуст.кр
, нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
5. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие выборки)
2 независимых выборки объемами 𝑛 > 30 и 𝑚 > 30 извлечены из нормальных генеральных
совокупностей; 𝑥̅ и 𝑦̅ – выборочные средние; дисперсии 𝐷𝑋 и 𝐷𝑌 известны
𝑥̅ −𝑦̅
𝐻0 ∶ 𝑀𝑋 = 𝑀𝑌 ;
вычисляют статистику 𝑍набл =
𝐷
𝐷
√ 𝑋+ 𝑌
𝑛
𝑚
а) 𝐻0 ∶ 𝑀𝑋 = 𝑀𝑌 ; 𝐻1 ∶ 𝑀𝑋 ≠ 𝑀𝑌 ; находят 𝑧кр квантиль функции Лапласа : Φ(𝑧кр ) =
(1 − 𝛼)⁄
2-
Если |𝑍набл | < 𝑍кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
6. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
2 независимых выборки объемами 𝑛1 и 𝑛2 извлечены из нормальных генеральных совокупностей;
𝑠𝑋2 и 𝑠𝑌2 –дисперсии , 𝑠𝑋2 > 𝑠𝑌2 ;
𝑠2
𝐻0 ∶ 𝐷𝑋 = 𝐷𝑌 ; вычисляют статистику 𝐹набл = 𝑠2𝑋
𝑌
а) 𝐻0 ∶ 𝐷𝑋 = 𝐷𝑌 ; 𝐻1 ∶ 𝐷𝑋 ≠ 𝐷𝑌 ; ; находят 𝐹кр = 𝐹(∝⁄2 , 𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1) квантиль распределения Фишера –
Снедекора . Если 𝐹набл < 𝐹кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
б) 𝐻0 ∶ 𝐷𝑋 = 𝐷𝑌 ; 𝐻1 : 𝐷𝑋 > 𝐷𝑌 𝐹кр = 𝐹(∝, 𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1)
Если 𝐹набл < 𝐹кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
7. Сравнение двух выборочных долей нормальных генеральных совокупностей
𝐻0 ∶ 𝑝𝑋 = 𝑝𝑌 ; вычисляют статистику 𝑍набл =
а) 𝐻0 𝑝𝑋 = 𝑝𝑌 ; 𝐻1 ∶ 𝑝𝑋 ≠ 𝑝𝑌 ;
𝑝̂1 −𝑝̂2
1
1
√𝑝̅ (1−𝑝̅ )(𝑛 +𝑛 )
1
2
находят 𝑧кр квантиль функции Лапласа : Φ(𝑧кр ) =
(1 − 𝛼)⁄
2
Если |𝑍набл | < 𝑍кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
8. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной
совокупности
вычисляют статистику 𝜒 2 набл =
𝐻0 ∶ 𝐷 = 𝐷0 ;
а) 𝐻0 ∶ 𝐷 = 𝐷0 ; 𝐻1 ∶ 𝐷
Если 𝜒 2 лев.кр < 𝜒 2
набл
≠ 𝐷0 ;
находят
(𝑛−1)𝑠2
𝐷0
𝜒 2 лев.кр (1 − ∝⁄2 , 𝑛 − 1), 𝜒 2 прав.кр (∝⁄2 , 𝑛 − 1)
< 𝜒 2 прав.кр , нулевую гипотезу принимают; иначе 𝐻0 отвергают
Проверка гипотезы о распределении (критерий Пирсона)
𝐻0 ∶ 𝐹(𝑥) = 𝐹0 (𝑥)
Вычисляют теоретические значения вероятностей 𝑝𝑖𝑇 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ); теоретические частоты 𝑛𝑖𝑇 = 𝑝𝑖𝑇 ∙ 𝑛;
2
𝜒набл
= ∑𝑘𝑖=1
(𝑛𝑖 −𝑛𝑖𝑇 )2
;
𝑛𝑖𝑇
находят
𝜒 2 прав.кр (∝, 𝑙)