Элементы математической статистики. Пример 1.
advertisement
Элементы математической статистики.
Пример 1. Для определения точности измерительного прибора,
систематическая ошибка которого практически равно нулю, было
произведено пять независимых измерений, результаты которых
представлены в таблице.
№
измерения
x j, м
1
2
3
4
2781
2836
2807
2763
Таблица
5
2858
Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерительного
прибора, если: значение измеряемой величины а) известно и равно 2800 м; б)
неизвестно.
Решение. Значение измеряемой величины равно x . Поэтому в случае а)
несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле
1 n
6439
2
2
~
D[X] = ∑ ( x j − x ) =
= 1287,8 м .
n j=1
5
Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка
1 n
~
x = ∑ x j = 2809 м.
n j=1
Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии
1 n
6034
2
2
~
D[X] =
(x j − ~
x) =
= 1508,5 м .
∑
n − 1 j=1
4
Пример.2. Среднее значение расстояния до ориентира, полученное по
четырем независимым измерениям, равно 2250 м. Срединная ошибка
измерительного прибора Е=40 м, систематическая ошибка отсутствует.
Найти с надежностью 95% доверительный интервал для измеряемой
величины.
Решение. Вероятность накрыть истинное значение измеряемой величины
x интервалом ( ~
x − ε, ~
x + ε) со случайными концами при известном Е
определяется формулой
P{~
x − x ≤ ε} =
где E1 =
E
n
ρ
π E1
ε
∫e
−ε
−ρ
2
z
2
2
E1
ε
dz = Ф̂ ,
E1
n
1
- срединное отклонение случайной величины ~x = ∑ x j .
n
ε n
= 0,95 , из таблицы [2] находим
Решая уравнение Ф̂
E
ε n
= 2,91 ,
E
2,91
2,91 ⋅ 40
= 58,2 м.
ε=
E=
2
n
j =1
Отсюда искомые границы доверительного интервала будут:
верхняя 2250 м + 58,2 м =2308,2 м,
нижняя 2250 м - 58,2 м =2191,8 м.
Таблица 2.
Приведенная функция Лапласа
Ф̂(z) =
z
0,
1,
2,
3,
4,
5,
0,0
0
5000
8227
9570
9930
9992
0,1
538
5419
8533
9635
9943
9994
0,2
1073
5817
8622
9691
9954
9995
2ρ
z
2 2
−ρ x
∫e
π0
0,3
1603
6194
8792
9740
9963
9996
dx = Ф(zρ 2 ) .
0,4
2127
6550
8945
9782
9970
9997
0,5
2641
6883
9082
9818
9976
9998
0,6
3143
7195
9205
9848
9981
9998
0,7
3632
7485
9314
9874
9985
9999
0,8
4105
7753
6410
9896
9988
9999
4
В таблице приведены значения Ф̂(z) ⋅ 10 . В первом столбце указаны
целые, а в верхней строке - десятые доли аргумента z.
Пример 3. Радиоактивное вещество наблюдалось в течение 2608 равных
интервалов времени (по 7,5 сек. каждый). Для каждого из этих интервалов
регистрировалось число частиц, попавших в счетчик. В таблице приведены
числа mi интервалов времени, в течение которых в счетчик попало ровно i
частиц.
i
0
1
2
3
4
5
mi
57
203
383
525
532
408
i
6
7
8
9
10
Итого:
mi
273
139
45
27
16
n = ∑ m i = 2608
Проверить, используя критерий x2, гипотезу о согласии наблюденных
данных с законам распределения Пуассона
P(i, a) =
e
−a i
a
.
i!
Уровень значимости α принять равным 0,05.
Решение. На основании наблюденных данных вычисляем оценку a~
параметра а закона распределения Пуассона по формуле
∞
a~ =
∞
где n = ∑ m i = 2608, a~ =3,870.
i =0
∑ imi
i =0
n
,
0,9
4562
8000
9495
9915
9990
9999
Вычисляем теоретические вероятности pi попадания в счетчик i при
наличии закона Пуассона, используя таблицу 3 для функции P(i, a~) = pi . В
результате интерполирования по а=3 и а=4 получим значения pi и npi,
приведенные в таблице.
(mi - npi)
npi
0,088
0,318
1,392
0,001
1,007
0,512
1,581
0,023
7,667
0,101
0,289
2
i
pi
npi
(mi - npi)
(mi - npi)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,021
0,081
0,156
0,201
0,195
0,151
0,097
0,54
0,026
0,011
0,007
1,000
54,8
211,2
406,8
524,2
508,6
393,2
253,0
140,8
67,8
28,7
18,3
2,2
-8,2
-23,8
0,8
23,4
14,2
20,0
-1,8
-22,8
-1,7
-2,3
4,84
67,24
566,44
0,64
547,56
201,64
400,00
3,24
519,84
2,89
5,29
2
2
xq = 13,049
2
Вычисляем значение xq ,
2
xq
2
(m − npi )
=∑ i
=13,05.
npi
i =0
10
Так как число степеней свободы k = l-r-1, где общее число интервалов
l=11, а число параметров, определенных на основании наблюденных данных,
r = 1 (параметр а), то
k = 11-1-1 =9.
2
По таблице 4, входя в нее с величинами k =9 и xq =13,05, находим
2
2
вероятность Р(x2 ≥ xq ) того, что величина x2 превзойдет значение xq .
Получаем
2
αq= Р(x2 ≥ xq ) = 0,166.
Так как αq>α=0,05, то отклонения от закона Пуассона не значимы.
Таблица 3.
Закон распределения Стьюдента
k +1
k + 1
Г
t
2 − k
x
2
⋅ ∫ 1 +
P ( t; k ) =
dx
k
k
Г kπ −∞
2
t\k
0,0
0,1
1
500
532
2
500
535
3
500
537
4
500
537
6
500
538
8
500
539
10
500
539
12
500
539
14
500
539
16
500
539
18
500
539
∞
500,00
539,83
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
563
593
621
648
672
694
715
733
750
779
803
822
839
852
874
891
904
914
922
570
604
636
667
695
722
746
768
789
823
852
875
893
908
931
946
957
965
971
573
608
642
674
705
733
759
783
804
842
872
896
915
930
952
966
975
982
986
574
610
645
678
710
739
766
790
813
852
883
908
927
942
963
976
984
989
992
576
613
648
683
715
745
773
799
822
862
894
920
939
954
973
984
991
993
996
577
614
650
685
717
748
777
803
827
868
900
926
945
960
978
988
993
996
998
577
615
651
686
719
750
779
805
830
871
904
930
949
963
981
991
995
998
999
578
615
652
687
720
751
780
807
832
873
907
932
951
966
983
992
996
998
999
578
616
652
688
721
752
781
808
833
875
908
934
953
967
985
993
997
999
999
578
616
653
688
722
753
782
809
834
876
910
935
955
969
986
994
997
999
999
578
616
653
688
722
754
783
810
835
877
911
936
956
970
986
994
997
999
999
В таблице приведены значения P(t; k)⋅103.
Таблица
4.
Закон распределения x2
2
P(x ≥
2
xq
1
)=
k
Г 2
2
2
xq \ k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
2
6065
3679
2231
1353
821
498
302
183
111
67
25
9
3
1
0
4
9098
7358
5578
4060
2873
1992
1359
916
611
404
174
73
30
12
5
1
0
6
9856
9197
8088
6767
5438
4232
3208
2381
1736
1246
620
296
138
62
28
3
0
8
9982
9810
9344
8571
7576
6472
5366
4335
3423
2650
1512
818
424
212
103
16
2
∞
∫x
k
2
2 xq
k
x
−1 −
2
2
e
10
9998
9963
9814
9474
8912
8153
7254
6288
5321
4405
2851
1730
996
550
292
54
9
2
dx
12
15
20
25
10000
9994
9955
9834
9580
9161
8576
7851
7029
6160
4457
3007
1912
1157
671
148
28
10000
10000
9996
9977
9921
9798
9576
9238
8775
8197
6790
5255
3821
2627
1719
499
119
10000
10000
10000
10000
9997
9989
9967
9919
9829
9682
9161
8305
7166
5874
4579
2014
698
10000
10000
10000
10000
10000
10000
9998
9995
9986
9966
9866
9617
9148
8424
7468
4624
2243
В таблице приведены значения Р(x2 ≥ xq )⋅104.
579,26
617,91
655,42
691,46
725,75
758,04
788,14
815,94
841,34
884,93
919,24
945,20
964,07
977,25
991,80
997,44
999,31
999,84
999,97
Задачи.
7.1.1 Даны результаты 8 независимых измерений одной и той же величины
прибором, не имеющим систематических ошибок: 369, 378, 315, 420, 385,
401, 372, 383 м. Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок
измерений, если: а) длина измеряемой базы известна: x =375 м; б) длина
измеряемой базы неизвестна.
7.1.2. Определение скорости снаряда было проведено на 5 испытаниях, в
результате которых вычислена оценка v~ =870,3 м/сек. Найти 95%-ый
доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости
подчинено нормальному закону со срединным отклонением Ev=2,1 м/сек.
7.1.3. Произведен выбор 200 деталей из текущей продукции прецизионного
токарного автомата. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1
мк. В таблице приведены отклонения xi от номинального размера, разбитые
*
на разряды, численности разрядов mi и их частоты pi .
Таблица.
№
разряда
i
1
2
3
4
5
Границы
интервала
xi ÷ xi+1
-20÷-15
-15÷-10
-10÷-5
-5÷0
0÷5
mi
pi
7
11
15
24
49
0,035
0,055
0,075
0,120
0,245
*
№
разряд
аi
6
7
8
9
10
Границы
интервала
xi ÷ xi+1
5÷10
10÷15
15÷20
20÷25
25÷30
mi
pi
41
26
17
7
3
0,205
0,130
0,085
0,035
0,015
*
Оценить с помощью критерия x2 гипотезу о согласии выборочного
распределения с законом нормального распределения при уровне значимости
α=0,05.
7.1.4. Из таблицы случайных чисел выбрано 150 двузначных чисел (в
совокупность двузначных чисел включается и 00). Результаты выборки
приведены в таблице.
Границы
интервала
0÷9
10÷19
20÷29
30÷39
40÷49
Численность
разряда mi
16
15
19
13
14
*
Частота pi
0,107
0,100
0,127
0,087
0,093
Границы
интервала
50÷59
60÷69
70÷79
80÷89
90÷99
Численность
разряда mi
19
14
11
13
16
*
Частота pi
0,127
0,093
0,073
0,087
0,107
Проверить, используя критерий x2, гипотезу о согласии наблюдений с
законом равномерного распределения при уровне значимости α=0,05.
