РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Волосникова Л.М./
__________ _____________ 2011г.
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
010200.62 – Математика и компьютерные науки,
профили подготовки: "Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии", "Алгебра и дискретная математика", "Математическое и компьютерное моделирование", "Математический анализ и приложения", форма обучения очная
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы ________________/ Трефилина Е.Р./
«______»___________2011г.
Рассмотрено на заседании кафедры математики и информатики, 28.04.2011, протокол №7.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 9 стр.
Зав. кафедрой _______________________/Мальцева Т.В./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК ИМЕНИТ, 13.05.2011г., протокол № 2.
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/Глухих И.Н./
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/Федорова С.А./
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математики и информатики
Трефилина Е.Р.
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010200.62 – Математика и компьютерные науки,
профили подготовки: "Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии", "Алгебра и дискретная математика", "Математическое и компьютерное моделирование", "Математический анализ и приложения", форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2011
Трефилина Е.Р. Теория интерполирования и приближения функций. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов 010200.62 – Математика и компьютерные науки, профили подготовки: "Вычислительные, программные, информационные
системы и компьютерные технологии", "Алгебра и дискретная математика", "Математическое и компьютерное моделирование", "Математический анализ и приложения", форма
обучения очная. Тюмень, 2011, 9 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теория интерполирования и приближения функций [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математики и информатики. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Мальцева Т.В., зав. кафедрой математики и
информатики, д.ф.-м. н., доцент.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Трефилина Е.Р., 2011.
1.
Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины является изучение основных приемов и методик интерполирования и приближения функций для решения на ЭВМ различных математических задач,
возникающих как в теории, так и в приложениях к физике, механике. Курс обязательно
должен сопровождаться как семинарскими занятиями, где рассматриваются конкретные
приемы по интерполированию и приближению функций, так и компьютерным практикумом, где студенты обязаны решить определенное количество задач на ПК.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина входит в вариативную часть профессионального цикла дисциплин.
Для изучения и освоения дисциплины нужны первоначальные знания из курсов математического анализа и линейной алгебры. Знания и умения, приобретенные студентами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при выполнении курсовых и выпускной квалификационной работ, связанных с математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных задач из механики, физики и т.п.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями: способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной
деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6);способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);фундаментальной подготовкой в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовностью к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11); значительными навыками самостоятельной работы с компьютером, программирования, использования
методов обработки информации и численных методов решения базовых задач (ОК-12); базовыми знаниями в областях информатики и современных информационных технологий,
навыками использования программных средств и навыками работы в компьютерных сетях,
умением создавать базы данных и использовать ресурсы Интернета (ОК-13). Научноисследовательская и научно-изыскательская деятельность: умением понять поставленную
задачу (ПК-2); умением формулировать результат (ПК-3); умением грамотно пользоваться
языком предметной области (ПК-7); умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знанием корректных постановок классических задач (ПК-9); пониманием корректности постановок задач (ПК-10); навыками самостоятельного построения алгоритма и его анализа
(ПК-11); пониманием того, что фундаментальное знание является основой компьютерных
наук (ПК-12). Производственно-технологическая деятельность: владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК19);владением методами математического и алгоритмического моделирования при анализе и
решении прикладных и инженерно-технических проблем (ПК-20);владением проблемнозадачной формой представления математических и естественнонаучных знаний (ПК-21). Педагогическая деятельность: возможностью преподавания физико-математических дисциплин
и информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях среднего профессионального образования (ПК-29).
Часть этих компетенций формируется при изучении дисциплины.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: постановку задачи о приближении функций, основные теоремы и формулы теории приближения и интерполирования функций.
 Уметь: решать задачи точечного интерполирования и квадратического приближения
функций, используя изученные полиномы и сплайны. Применять теорию приближения
функций к задачам математической статистки, операционного исчисления, механики.
 Владеть: теорией и методами интерполирования и приближения функций.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1.
Структура и трудоемкость дисциплины
Вид учебной работы
Всего часов
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зачетных ед.
3.
Семестры
7
72
36
36
72
36
36
72
72
экзамен
144
4
144
4
Тематический план.
Таблица 2.
2
3
4
5
Итого
часов
по
теме
В том
числе в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
6
7
8
9
Самостоятельная работа
1
Практические
занятия
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
Лекции
№
недели семестра
Тематический план
1 семестр
1.
2
Модуль 1
Точечное интерполирование
Теоремы Вейерштрасса
1-3
4-5
6
4
10
8
2
10
15
5
20
29
11
40
1
1
2
0-10
0-10
0-20
6-12
14
14
28
56
1
0-30
13-15
6
6
12
24
1
0-30
20
20
40
80
2
0-60
6
6
12
24
2
0-20
6
36
2
6
36
4
12
72
24
144
2
0-20
0-100
Всего
Модуль 2
Квадратические приближения
2. Средние степенные приближения и равномерные
(наилучшие)
1.
Всего
Модуль 3
1.
Сплайны в теории приближения
Всего
Итого (часов, баллов):
В том числе в интерактивной
форме
16-18
6
Таблица 3.
другие формы
Информационные
системы и
технологии
комплексные
ситуационные
задания
электронные
практикумы
Технические формы
контроля
компьютерное
тестирование
Письменные работы
индивидуальная дом. работа
тест
ответ на практическом занятии
собеседование
коллоквиумы
Устный опрос
контрольная
работа
№ темы
Итого количество
баллов
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Модуль 1
Точечное интерполирование
Теоремы Вейерштрасса
0-10
0-10
0-10
Всего
Модуль 2
0-10
0-10
0-10
0-20
Квадратические
приближения
Средние степенные
приближения и
равномерные
(наилучшие).
0-5
0-5
0-10
0-10
0-30
0-5
0-5
0-10
0-10
0-30
Всего
Модуль 3
0-10
0-10
0-20
0-20
0-60
Сплайны в теории
приближения
0-5
0-5
0-10
0-20
0-5
0-15
0-5
0-15
0-10
0-30
0-20
0-100
Всего
Итого
0-10
0-30
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Точечное интерполиро-
вание
1.2
Теоремы Вейерштрасса
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Квадратические при-
ближения
Виды СРС
Неделя
обязательные дополнительные семестра
Проработка лекций; решение
задач; чтение
обязательной и
дополнительной
литературы
Проработка лек- Самостоятельное
ций чтение обя- изучение заданзательной и до- ного материала
полнительной
литературы;
решение задач;
Объем
часов
Кол-во
баллов
1-3
15
0-10
4-5
5
0-10
20
Проработка
лекций; чтение
обязательной и
дополнительной литературы;
решение
Самостоятельное
изучение заданного материала
6-12
0-20
28
0-30
2.2
Средние степенные приближения и равномерные (наилучшие)
задач;
Проработка
лекций; чтение
обязательной и
дополнительной литературы;
решение
задач;
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Сплайны в теории при- Проработка
ближения
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Самостоятельное
изучение заданного материала
Подготовка сооблекций; чтение щений по теме
обязательной и
дополнительной литературы;
решение
задач
13-15
12
40
16-18
0-60
12
12
72
0-30
0-20
0-20
0-100
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Дисциплина изучается в седьмом семестре из восьми. Знания, приобретенные студентами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при выполнении выпускных
квалификационных работ, связанных с математическим моделированием и обработкой
наборов данных, решением конкретных задач из механики, физики и т.п.
5.
Содержание дисциплины.
7 семестр
Тема 1. Точечное интерполирование.
1. Постановка задачи о приближении функций. Многочленная интерполяция. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений. Интерполяционные формулы Ньютона.
2. Определители Вандермонда. Интерполяционные полиномы Лагранжа. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита. Оценки погрешности в интерполяционной
формуле Лагранжа. Остаточный член в форме Коши.
3. Конечные разности и факториальные полиномы. Бесконечные интерполяционные
процессы и их сходимость. Примеры расходящихся интерполяционных процессов.
Тема 2. Теоремы Вейерштрасса.
4. Первая теорема Вейерштрасса, доказательства Лебега, Ландау, Бернштейна. Свойства
полиномов Бернштейна.
5. Вторая теорема Вейерштрасса. Теорема Фабера об узлах интерполяции. Сходящийся
интерполяционный процесс Фабера.
Тема 3. Квадратические приближения.
6. Квадратические приближения и системы ортогональных полиномов. Метод наименьших квадратов. Случай системы дискретных точек.
7. Обобщение метода наименьших квадратов на случай непрерывного промежутка.
Взвешенное приближение.
8. Квадратическое приближение периодических функций посредством тригонометрических полиномов.
9. Дифференциальное уравнение Пирсона. Классификация решений дифференциального
уравнения Пирсона. Дифференциальное уравнение для классических ортогональных
полиномов. Обобщенная формула Родрига.
10. Ортогональные системы функций. Основные свойства ортогональных полиномов.
Специальные системы ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева.
11. Полиномы Эрмита и Лагерра, полиномы Якоби.
12. Применение ортогональных полиномов в математической статистике и операционном
исчислении.
Тема 4. Средние степенные приближения и равномерные (наилучшие).
13. Чебышевское направление в теории функций. Функции, наименее отклоняющиеся от
нуля. Задачи Золотарева Е.И., неравенство Маркова В.А.
14. Непрерывные дроби. Экстремальные свойства подходящих дробей. Знаменатели подходящих дробей и общая теория систем ортогональных полиномов.
15. Интерполирование по способу Чебышева П.Л. Разложение некоторых функций одной
переменной, ряды Грама-Шарлье. Проблема моментов. Равномерные (наилучшие)
приближения.
Тема 5. Сплайны в теории приближения.
16. Что такое сплайн? Кубические сплайны: существование, единственность и наилучшее
приближение, сходимость, остаточные члены.
17. Полиномиальные сплайны: определение и основные уравнения. Существование и сходимость. Сплайн пятой степени дефектов 2 и 3.
18. Обобщенные сплайны: существование, единственность и наилучшее приближение.
Сходимость производных, сходимость по норме.
6.
Планы практических занятий.
7 семестр
Тема 1. Точечное интерполирование.
Практическое занятие №1. Постановка задачи о приближении функций. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений. Интерполяционные формулы Ньютона.
Практическое занятие №2. Построение интерполяционных полиномов Лагранжа. Оценка
погрешности в интерполяционной формуле Лагранжа.
Практическое занятие №3. Построение факториальных полиномов.
Практическое занятие №4. Контрольная работа
Тема 2. Теоремы Вейерштрасса.
Практическое занятие №5. Задачи на доказательство свойства полиномов Бернштейна.
Тема 3. Квадратические приближения.
Практическое занятие №6. Метод наименьших квадратов. Случай системы дискретных
точек.
Практическое занятие №7. Обобщение метода наименьших квадратов на случай непрерывного промежутка.
Практическое занятие №8. Квадратическое приближение периодических функций посредством тригонометрических полиномов.
Практическое занятие №9. Контрольная работа.
Практическое занятие №10. Специальные системы ортогональных полиномов. Полиномы
Чебышева.
Практическое занятие №11. Полиномы Эрмита и Лагерра,
Практическое занятие №12. Полиномы Якоби.
Тема 4. Средние степенные приближения и равномерные (наилучшие).
Практическое занятие №13. Применение ортогональных полиномов в математической
статистике и операционном исчислении.
Практическое занятие №14. Задачи Золотарева Е.И., неравенство Маркова В.А.
Практическое занятие №15. Интерполирование по способу Чебышева П.Л. Разложение
некоторых функций одной переменной, ряды Грама-Шарлье. Равномерные приближения.
Тема 5. Сплайны в теории приближения.
Практическое занятие №16. Построение кубических сплайнов.
Практическое занятие №17. Построение полиномиальных сплайнов.
Практическое занятие №18. Построение обобщенных сплайнов.
7.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины.
Для самостоятельной работы студентов преподавателем будут разработаны индивидуальные задания по темам «Квадратические приближения», «Средние степенные приближения
и равномерные», «Сплайны в теории приближения» для выполнения индивидуального
домашнего задания. После проверки такого задания с каждым студентом проводится собеседование, и выставляются баллы за работу. Для текущего контроля – контрольные работы.
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Постановка задачи о приближении функций.
2. Многочленная интерполяция. Построение интерполяционного многочлена с помощью
системы линейных уравнений.
3. Интерполяционные формулы Ньютона.
4. Определители Вандермонда. Интерполяционные полиномы Лагранжа.
5. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита.
6. Оценки погрешности в интерполяционной формуле Лагранжа. Остаточный член в
форме Коши.
7. Конечные разности и факториальные полиномы.
8. Бесконечные интерполяционные процессы и их сходимость. Примеры расходящихся
интерполяционных процессов.
9. Первая теорема Вейерштрасса, доказательства Лебега, Ландау, Бернштейна. Свойства
полиномов Бернштейна.
10. Вторая теорема Вейерштрасса. Теорема Фабера об узлах интерполяции. Сходящийся
интерполяционный процесс Фабера.
11. Квадратические приближения и системы ортогональных полиномов.
12. Метод наименьших квадратов. Случай системы дискретных точек.
13. Обобщение метода наименьших квадратов на случай непрерывного промежутка.
Взвешенное приближение.
14. Квадратическое приближение периодических функций посредством тригонометрических полиномов.
15. Дифференциальное уравнение Пирсона. Классификация решений дифференциального
уравнения Пирсона.
16. Дифференциальное уравнение для классических ортогональных полиномов. Обобщенная формула Родрига.
17. Ортогональные системы функций. Основные свойства ортогональных полиномов.
18. Специальные системы ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева.
19. Полиномы Эрмита и Лагерра,
20. Полиномы Якоби.
21. Применение ортогональных полиномов в математической статистике и операционном
исчислении.
22. Чебышевское направление в теории функций. Функции, наименее отклоняющиеся от
нуля.
23. Задачи Золотарева Е.И., неравенство Маркова В.А.
24. Непрерывные дроби. Экстремальные свойства подходящих дробей. Знаменатели подходящих дробей и общая теория систем ортогональных полиномов.
25. Интерполирование по способу Чебышева П.Л.
26. Разложение некоторых функций одной переменной, ряды Грама-Шарлье.
27. Проблема моментов. Равномерные (наилучшие) приближения.
28. Кубические сплайны: существование, единственность и наилучшее приближение.
29. Сходимость, остаточные члены кубических сплайнов.
30. Полиномиальные сплайны: определение и основные уравнения.
31. Существование и сходимость. Сплайн пятой степени дефектов 2 и 3.
32. Обобщенные сплайны: существование, единственность и наилучшее приближение.
33. Сходимость производных, сходимость по норме.
Образовательные технологии.
Активные и интерактивные формы: лекции, практические занятия, контрольные работы, тестирование. В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, готовят сообщения на лекции. По каждой теме проводятся контрольные работы на
практических занятиях или индивидуальные домашние контрольные работы.
8.
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
9.1. Основная литература:
1. Волков Е.А. Численные методы, Санкт-Петербург: Лань, 2007.-256 с.
2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения, М.: Наука, 1984.
3. Пирумов У.Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. подготовки диплом. спец. «Прикладная математика»/ У.Г. Пирумов. - Москва: Дрофа,
2004.-224 с.
4. Численные методы : сб. задач : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. подготовки «Математика. Прикладная математика»/ ред. У. Г. Пирумов. - Москва: Дрофа,
2007.-144 с.
9.2. Дополнительная литература:
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения, М.: Мир,
1972.- 316 с.
2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации, М., 1965;
3. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций, М., 1954;
4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения,
М., 1969;
5. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного, М.: 1960.
9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1.
http://www.umk3.utmn.ru
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
Аудитории для лекций и практических занятий (с необходимым материальным
оснащением – компьютерный класс). Наличие рекомендованной литературы. Наличие электронных версий методических материалов.
10.
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010200.62 – Математика и компьютерные науки, профили подготовки: "Вычислительные, программные,
информационные системы и компьютерные технологии", "Алгебра и дискретная математика", "Математическое и компьютерное моделирование", "Математический анализ и
приложения", форма обучения очная.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
фундаментальной подготовкой в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовностью к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11);
значительными навыками самостоятельной работы с компьютером, программирования, использования методов обработки информации и численных методов решения базовых
задач (ОК-12);
Научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность: навыками самостоятельного построения алгоритма и его анализа (ПК-11).
Производственно-технологическая деятельность: владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-19).